Métodos de Física Teórica II

Métodos de Física Teórica II
Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aula 7
Ref. Butkov, cap. 9, seções 9.3 e 9.4
O problema de Sturm-Liouville
• A separação de variáveis da equação de
Helmholtz, em coordenadas cilíndricas ou
esféricas, leva a equações do tipo
Essas equações são conhecidas como equações de Sturm-Liouville, onde λ é uma constante a ser determinada e as funções p(x),
s(x) e r(x) são conhecidas.
A equação de Sturm-Liouville pode ser escrita
em termos do operador
como
,
Propositalmente, deixamos o termo envolvendo
λ fora do operador .
Esta equação pode ser pensada, então, como
uma equação de autovalores para λ, e
autofunções y(x). A função r(x) é chamada
função peso, e nos casos mais simples r(x)=1.
Esse operador é dito linear, graças à propriedade
análoga a outros operadores diferenciais.
Como nos casos estudados anteriormente,
esperamos que as soluções (autofunções de )
formem um conjunto completo de funções
ortonormais como as funções seno e cosseno,
no caso das séries de Fourier.
Para mostrar este resultado explicitamente,
vamos considerar que a variável x está definida
no intervalo (a,b), que pode ser convenientemente estendido ao infinito, se necessário.
• Vamos, então, considerar, duas autofunções
quaisquer
e
, não triviais, cujos
autovalores são
e
, então
Vamos multiplicar a primeira equação por
e a segunda por
, subtrair as duas e
então integrar entre a e b. O termo em s(x) se
cancela. Já os termos com derivada podem ser
reescritos fazendo uma integração por partes:
e uma equação análoga trocando
por
.
A subtração dessas equações cancela as integrais contendo o produto
.
Assim, encontramos
• Note que o lado esquerdo desta equação contém fatores que vão a zero, caso sejam impostas
condições de contorno. Sendo este o caso, encontramos
que é a condição de ortogonalidade das autofunções correspondentes a diferentes autovalores
, levando em conta a função
peso r(x).
Vamos, agora, supor que:
a) existe um número infinito de autofunções
b) as autofunções são todas ortogonais entre si
c) uma função f(x) pode ser representada pela
série infinita
Multiplicando ambos os lados desta expansão
por
, integrando entre a e b, e usando a
ortogonalidade das autofunções, vemos que
todos os termos se cancelam, exceto para
aqueles nos quais n = m. Logo,
Com isso, determinamos o n-ésimo coeficiente
da série
Resta, agora, analisar as condições de contorno
sobre as autofunções do operador de SturmLiouville.
• Para obter a ortogonalidade das autofunções,
impusemos que
admitindo que essa expressão se anula devido às condições de contorno.
Quais são essas condições?
Existem várias possibilidades de satisfazer essa
equação e portanto várias condições de contorno possíveis. Vejamos:
a) As funções
e
se anulam em x=a
e x=b . Condição (homogênea) de Dirichlet.
b) As derivadas
e
se anulam
em x=a e x=b. Condição (homogênea) de
Neumann)
Esses são os casos mais comuns e que encontraremos frequentemente no nosso curso.
Outras condições de contorno possíveis
c) Uma combinação linear das funções
e
suas derivadas
se anula em x=a e
x=b, ou seja
onde α e β são constantes, ou seja fixas para
todas as funções
. Essas são as condições
intermediárias (homogênas).
Mais casos
d) Uma das condições anteriores para x = a e
outra para x = b.
e) Condições mistas, isto é, misturam as
condições sobre
e/ou suas derivadas
nos pontos x = a e x = b. O exemplo mais
simples é:
desde que
f) Outro caso é p(a)=0 e p(b)=0.
Este caso ocorre na ED de Legendre.
Operadores Autoadjuntos
• Vimos a pouco que o problema de SturmLiouville
pode ser escrito na forma
onde o operador
é definido como
• O procedimento usado na discussão da ortogonalidade do operador de Sturm-Liouville
pode ser resumido como
Conforme nossa discussão anterior, o lado
esquerdo desta equação pode ser reescrito
como
e portanto, se as funções
satisfazem à
alguma das condições de contorno, então elas
são ortogonais e
• De fato, podemos repetir o argumento acima para
quaisquer funções f(x) e g(x) que satisfaçam às
condições de contorno, e portanto implicam na
relação
Como as funções f(x) e g(x) são quaisquer
(exceto pela exigência das c.c.) podemos entender a equação
como uma condição sobre sobre o operador .
Assim, operadores que satisfazem essa relação são
chamados de autoadjuntos.
Obs.: Essa discussão é válida para funções e
operadores reais.
No caso funções e operadores complexos, um
operador é dito autoadjunto se
• Neste caso, a ortogonalidade das autofunções
é escrita como
para r(x) real. Operadores autoaudjuntos complexos são também chamados de Hermitianos.
Polinômios de Legendre
• Na discussão da separação de variáveis da equação de Helmholtz em coordenadas esféricas encontramos a ED de Legendre
As soluções para esta equação foram estudadas
no curso de Métodos I, usando o método de
séries de Frobenius.
Vimos que as soluções são finitas entre x = +1 e
x = -1 desde que
de modo a truncar a série num polinômio.
Os primeiros polinômios de Legendre são
onde escolhemos uma certa normalização,
como mostraremos adiante.
Vamos ver como aparecem esses polinômios
associados à equação de Laplace na eletrostática:
2  0
• Ao invés de começar pela solução de Frobenius, vamos partir da solução conhecida para
o potencial de uma partícula carregada (na
origem do sistema de coordenadas)
Se, agora, deslocarmos a partícula por uma
distância igual a 1, na direção do eixo z, temos
onde k é o unitário nessa direção.
Essa escolha é conveniente, por exemplo, para
tratar de dipolos elétricos.
Vamos ver que essa solução nos levará
diretamente aos polinômios de Legendre!
Escrevendo essa solução em coordenadas
esféricas temos que (mostrar diagrama vetorial)
que é independente da coordenada φ, devido à
simetria azimutal do problema.
Vamos, agora, voltar à equação de Laplace,2  0
que em coordenadas esféricas é
Note que o último termo desta equação se
anula devido à simetria azimutal.
• Assim, separando a parte em θ desta equação,
temos
que corresponde à equação de Legendre, cujas
soluções são os polinômios de Legendre
,
já que
Assim, a equação radial fica
que identificamos como a equação de Euler,
cujas soluções são
e
Como queremos uma solução não singular em
r = 0 (partícula fora da origem), vamos ficar
somente com
Logo, a solução para o potencial
ser escrita como
, pode
desde que r < 1, para que a série seja bem
comportada.
Por outro lado, sabemos que o potencial para a
partícula deslocada da origem no eixo z, é
Naturalmente, essas duas expressões devem ser
idênticas, para o problema em questão, ou seja
• onde fizemos