3. Elementos de Sistemas Elétricos de Potência

Sistemas Elétricos de Potência
3. Elementos de Sistemas Elétricos de
Potência
3.1.4 Capacitância e Susceptância Capacitiva de
Linhas de Transmissão
Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito
E-mail:[email protected]
disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito
Conteúdo
- Introdução;
- Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de
raio ínfimo a uma distância D;
- Capacitância de uma Linha a dois fios (bifilar);
- Capacitância de uma Linha Trifásica;
- Capacitância de uma Linha Trifásica com arranjo equilátero
de Condutores;
- Transposição de Condutores;
- Cabos múltiplos por fase;
- Reatância Capacitiva e Susceptância Capacitiva
Introdução
• A capacitância, ou efeito capacitivo, de linhas de transmissão é o
resultado da diferença de potencial elétrico entre os condutores.
• De modo geral, a capacitância entre condutores (C) é a relação entre
carga (q) e diferença de potencial (V):
C=
q
V
(F
m
)
e depende das dimensões e da distância entre os condutores.
• O efeito da capacitância para linhas curtas é pequeno e, por isso, é
geralmente desprezado em cálculos com linhas de transmissão.
• Por outro lado, em linhas longas de tensões elevadas, o efeito
capacitivo afeta consideravelmente o transporte de energia
elétrica, tornando importantíssimo o cálculo desse parâmetro.
• Assim como o Campo Magnético é importante na determinação da
indutância, o estudo e análise do Campo Elétrico é essencial no
cálculo da Capacitância de linhas de transmissão aéreas.
Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de
raio ínfimo a uma distância D
• Considere um condutor cilíndrico de raio “r”, reto e longo, tendo uma carga
elétrica “q” uniforme em toda a sua extensão e que está a uma distância “D”
de um condutor de raio ínfimo “P” (com q = 0).
•
Observe que todo o fluxo de campo elétrico está fora do condutor, já que as cargas
elétricas tendem a se agrupar na superfície externa do condutor. Assim, para
calcularmos a capacitância causada por este condutor até “P”, devemos:
i) aplicar a Lei de Gauss do Campo Elétrico;
ii) calcular a diferença de potencial entre “P” e a superfície do condutor;
iii) calcular a capacitância através de C =q/V.
Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de
raio ínfimo a uma distância D
• Através da Lei de Gauss, a densidade do campo elétrico (ou
densidade do fluxo elétrico) pode ser obtida por:
r
r
∫s D E ⋅ dA = q
D E ⋅ 2π ⋅ x ⋅ L = q
q
C / m2
2π ⋅ x
onde: q é a carga no condutor por metro de comprimento; x é a distância do
centro do condutor até o ponto onde deve ser calculada a densidade de fluxo
elétrico.
A partir da densidade de campo, podemos calcular a intensidade de campo
elétrico:
DE =
E=
DE
ε
=
q
2π ⋅ x ⋅ ε
sendo ε a permissividade elétrica do meio
V /m
(ε = ε r ⋅ ε 0 ) ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 F / m
Capacitância causada por um Condutor até um Condutor de
raio ínfimo a uma distância D
• A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície do
condutor de raio “r” e o condutor P (distante “D” metros do centro
do condutor) pode ser calculada pela integral de linha do campo
elétrico, da seguinte forma:
r
D r
V = ∫r E ⋅ dx =
r
q
D1
⋅
d
x
∫
2π ⋅ ε r x
q
[ln D − ln r ]
2π ⋅ ε
q
D
V =
ln  (V )
2π ⋅ ε  r 
V =
• A partir da diferença de potencial entre o condutor de raio “r” e o
condutor P sem carga, a capacitância é calculada por:
C=
q
q ⋅ 2π ⋅ ε
2π ⋅ ε
=
=
V
D
D
q ⋅ ln  ln 
r 
r 
( F / m)
Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)
• Considere um condutor cilíndrico de raio “r1” e outro condutor de
raio “r2” (retorno), que estão distantes entre si em “D” metros, e que
q2 = - q1.
Fig.: Linha monofásica bifilar
• No cálculo da capacitância C12, deve-se calcular primeiramente o
valor da tensão V12 entre os dois condutores da linha.
• Por sua vez, a tensão V12 pode ser obtida através da superposição de
efeitos, isto é, calculando primeiro a diferença de potencial devido à
carga q1 do condutor 1; e depois, a diferença de potencial devido à
carga q2 do condutor 2.
V12 = V12' + V12''
Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)
• Para o cálculo de cada efeito, teremos:
q1
2π ⋅ ε
V12' =
D1
r1
∫ x
⋅ dx =
q1
D
ln
2π ⋅ ε r1
V12'' = −V21
q2
2π ⋅ ε
V21 =
V12'' = −V21 =
Somando os efeitos, temos:
V12 = V12' + V12'' =
D
q2
1
D
∫r 2 x ⋅ dx = 2π ⋅ ε ln r
2
q2
r
ln 2
2π ⋅ ε D
q1
q
r
D
ln + 2 ln 2
2π ⋅ ε r1 2π ⋅ ε D
como q2 = - q1, a equação acima fica:
V12 =
V12
q1
q1
r
D
ln −
ln 2
2π ⋅ ε
D
r1 2π ⋅ ε
D
r
q1
=
ln  1
2π ⋅ ε  r2
D



q1
D2
=
ln
r1 ⋅ r2
 2π ⋅ ε


Capacitância de uma linha a dois fios (bifilar)
A expressão anterior ainda pode ser escrita como:
V12
q1
q
D2
D
=
ln
= 1 ln
π ⋅ε
r1 ⋅ r2 π ⋅ ε
r1 ⋅ r2
• Por fim, a capacitância C12 entre os condutores é:
C12 =
q1
=
V12
q1 ⋅ 2π ⋅ ε
 D2
q1 ⋅ ln
 r1 ⋅ r2




=
2π ⋅ ε
 D2
ln 
 r1 ⋅ r2




( F / m)
Caso r1 = r2 = r, podemos simplificar a equação anterior:
C12 =
2π ⋅ ε
π ⋅ε
=
 D2 
D
ln


 
ln  2 
r 
r 
( F / m)
Observe que “r” é o raio externo do condutor ou do cabo encordoado.
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• Considere 3 condutores retilíneos, paralelos e de raios distintos, que
constituem uma linha trifásica onde q&1 + q& 2 + q& 3 = 0 .
Também considere um ponto P (ou condutor de raio ínfimo com
q=0) afastado desses condutores conforme a figura abaixo:
Figura: Condutores de uma Linha Trifásica distantes de um ponto P
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• Nosso objetivo é calcular a matriz de capacitância trifásica:
 q&1   C11 C12
q&  = C
 2   21 C 22
 q& 3  C31 C32
C13  V&1P 
& 

C 23  ⋅ V2 P 
C33  V&3 P 
• Inicialmente, calcularemos a diferença de potencial elétrico entre o
condutor 1 e P. Por sua vez, essa diferença de potencial é composta
de três parcelas:
V1P = VC1Pq1 + VC1Pq 2 + VC1Pq3
-
A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q1;
A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q2;
A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q3.
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q1, pode
ser calculada como:
VC1Pq1
 D1P
q&1
=
ln 
2π ⋅ ε  r1



(V )
• Já a diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q2 é:
VC1Pq 2
 D2P
q& 2
ln
=
2π ⋅ ε  D12



(V )
• Por fim, a diferença de potencial entre C1 e P devido à carga q3 é:
V C1Pq 3
D
q& 3
=
ln  3 P
2π ⋅ ε  D13




(V )
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• A partir da soma das três parcelas, obtemos:
V1P = VC1Pq1 + VC1Pq 2 + VC1Pq 3
V1P =
1
2π ⋅ ε

 D1P
q&1 ⋅ ln

 r1

D
 + q& 2 ⋅ ln 2 P

 D12
D

 + q& 3 ⋅ ln 3 P
D

 13




(V )
Utilizando o mesmo raciocínio realizado em termos de fluxo concatenado
(para indutância), e considerando P → ∞ e q&1 + q& 2 + q& 3 = 0 , podemos
simplificar a equação acima por:
V1 =
1
2π ⋅ ε

1
q&1 ⋅ ln

 r1

 1
 + q& 2 ⋅ ln

 D12
 1

 + q& 3 ⋅ ln
D

 13




(V )
De modo análogo, podemos calcular os potenciais dos condutores 2 e 3 em
função das cargas:
V2 =
1
2π ⋅ ε

 1
q&1 ⋅ ln

 D12

1
 + q& 2 ⋅ ln

 r2
 1

 + q& 3 ⋅ ln
D

 23




(V )
V3 =
1
2π ⋅ ε

 1
q&1 ⋅ ln

 D13

 1
 + q& 2 ⋅ ln

D

 23
1

 + q& 3 ⋅ ln

r
 3





(V )
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• De posse das três tensões, obtemos a seguinte equação matricial:
 1
 1 
 1 






ln
ln
ln
  



r1 
D12 
D13  




&
V1 
 q&1 


 1   
 1 
1
& 
1






V
=
ln
ln
ln

 2  2π ⋅ ε
D 
r 
 D  ⋅ q& 2 
  12 
 2
 23   q& 
V&3 
  1 
 
 1 
 1    3
 ln
 ln  
ln




r  
  D13 
 D23 
 3 
C −1
Observe que a equação acima é a forma matricial da equação
V& = C −1 ⋅ q&
assim para obtermos a matriz de capacitâncias “C”, basta invertermos a
matriz C-1 da equação acima.
Capacitância de uma linha trifásica com
espaçamento assimétrico
• Outra forma de representar a equação matricial anterior pode ser
obtida utilizando-se a hipótese inicial de que q&1 + q& 2 + q& 3 = 0 . Assim,
eliminando q3 da primeira e da segunda equação, e eliminando q1
da terceira equação, temos:
  D13 

 D13 




0
 ln

 ln D 
r
 12 
  1 
  q& 
V&1 
  1
 D 23 
& 
1   D 23 
0
 ⋅ q& 2 
V 2  = 2π ⋅ ε ln D  ln r 
 & 
  12 
 2 
V&3 
q

 
 D13 
 D13   3 
 ln


0
ln




 D 23 
 r3 
C −1
Capacitância de uma linha trifásica com
arranjo equilátero de condutores
• No caso em que os condutores de fases distintas estão num arranjo
equilátero (D12 = D13 = D23 = D) e os raios são iguais, temos:
 D

ln
0
0




r
&


V1 

  q&1 
& 
1 
D
V
=
0
ln
0  ⋅ q& 2 


 2  2π ⋅ ε 
r 
V&3 

  q& 3 
 
D


 0
0
ln 

 r 
C −1
logo, a capacitância total de uma fase pode ser calculada como:
C1 = C 2 = C 3 =
2π ⋅ ε
D
ln 
r 
( F / m)
Transposição de Condutores
• A transposição dos condutores pode ser aplicada a qualquer tipo de
arranjo e serve como uma transformação da linha original em
uma linha equilátera equivalente (minimizando ou eliminando as
capacitâncias mútuas).
• A transposição é realizada conforme mostrado na figura a seguir:
Transposição de Condutores
Considerando os raios iguais para os três condutores (r), obtemos a
seguinte expressão matricial com transposição da linha:
  D eq
ln
  r
V&1 
& 
1 
V
=
0
 2  2π ⋅ ε 
V&3 

 

0


e portanto:




C1 = C 2 = C 3 =
0
 Deq
ln
 r


 &
  q1 
 ⋅ q& 2 
0
  
  q& 3 
 Deq   

ln

r


0




0
2π ⋅ ε
 D eq
ln
 r




( F / m)
lembrando que Deq é a Distância Média Geométrica entre os
condutores (de fases distintas), e calculada neste caso (3 condutores)
como:
Deq = 3 D12 ⋅ D 23 ⋅ D13
Observe que Deq é o espaçamento equilátero equivalente das três
distâncias, causado pela transposição dos três condutores.
Múltiplos condutores por fase e Raio Equivalente Externo
(RMG para efeito capacitivo)
Raio Equivalente Externo de Cabos Múltiplos
Fig.: Casos mais comuns de cabos múltiplos por fase
Considerando rext como o raio equivalente externo de um cabo (ou raio
equivalente de um cabo), e DscCM como o raio equivalente externo de
cabos múltiplos (ou raio equivalente de cabos múltiplos), temos:
2
CM
- p/ dois cabos por fase: => DSC
= 2 (rext ⋅ d )2 = 2 rext ⋅ d
- p/ três cabos por fase:
=>
- p/ quatro cabos por fase: =>
2
CM
DSC
= 3 (rext ⋅ d ⋅ d )3 = 3 rext ⋅ d 2
2
(
CM
DSC
= 4 rext ⋅ d ⋅ d ⋅ 2 ⋅ d
)
4
= 1,09 ⋅ 4 rext ⋅ d 3
Múltiplos condutores por fase e Raio Equivalente Externo
(RMG para efeito capacitivo)
Raio Equivalente Externo de Cabos Múltiplos
Observação importante:
• A partir do valor de DscCM , devemos substituir este valor no lugar
de r (raio externo) nas equações anteriores para capacitância, onde
considerávamos a existência de apenas um condutor por fase.
• Já para o cálculo das distâncias entre fases, devemos adotar as
distâncias entre os centros dos cabos múltiplos.
Expressão Geral da Capacitância por Fase (resumo)
• A expressão geral para cálculo da capacitância por fase em
circuitos trifásicos com transposição de condutores é:
C1 = C 2 = C3 =
sendo:
2π ⋅ ε
 Deq
ln
 rext
( F / m)




Deq = 3 Dab ⋅ Dbc ⋅ Dca
a distância média geométrica entre as três fases;
r o raio externo de um cabo ou raio externo equivalente de um
condutor (geralmente é fornecido pelo fabricante do condutor);
• Para cabos múltiplos por fase, temos:
C1 = C 2 = C 3 =
2π ⋅ ε
 Deq
ln CM
D
 SC




( F / m)
sendo DscCM o raio equivalente externo de cabos múltiplos e calculado
como mostrado anteriormente.
Reatância Capacitiva e Susceptância Capacitiva
• A reatância capacitiva (Xc) por fase da linha de transmissão
corresponde à parte imaginária da impedância complexa em
derivação ou shunt (Zsh) da linha, e depende do valor da freqüência
(f) e da capacitância (C), sendo calculada por:
XC =
1
1
=
⋅ (Ωm)
ω ⋅ C 2π ⋅ f ⋅ C
• O resultado da reatância acima pode ser utilizado em sua forma
matricial, desde que C seja a matriz de capacitância trifásica.
• Geralmente escrevemos o efeito capacitivo das linhas em termos de
susceptância em derivação ou shunt:
Bsh =
1
= ω ⋅ C ( Siemens / m)
Xc
Referências Bibliográficas
[1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a Sistemas de
Energia Elétrica. Editora UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, 2003.
[2] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de
Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.
[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:
linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. 2ª. Edição;
Editora Livros Técnicos e Científicos, Rio de janeiro, 1979.
[4] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos
de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.