+ - - 3 x2 x6x4 1 x2 x3x 6 x x5x2

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO
PRETO
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
Disciplina: REC2304 – Matemática Aplicada à Economia
Profa. Dra. Roseli da Silva
Site: http://roselisilva.wordpress.com/npng-matii/
1º. Semestre de 2015
Primeira Lista de Exercícios - não integrada à Macroeconomia
Cada grupo é responsável pelo trabalho entregue: pela organização do raciocínio, pela elaboração do texto.
Não serão admitidas cópias de respostas entre grupos; uma única resposta copiada entre grupos renderá
aos grupos envolvidos nota zero para a lista inteira. Seja responsável.
Obs: Esta é uma seleção mínima, recomendo que façam todos os exercícios do livro-texto, acompanhando o
andamento das aulas.
1) Dadas as seguintes matrizes:
 2 4
3 7
A=
B=


 − 1 5
0 4 
− 3 1 6 
C=

7 − 2 5
6 3
1


D = 1 4 − 2 
4 − 1 5 
a) Escreva suas respectivas transpostas: A', B', C', D'.
b) Verifique se os requisitos dimensionais são atendidos em cada caso abaixo e calcule quando possível:
A
+ B; C - B; B - A; AxB; CxD; DxD' ; CxC’ ; DxI
c) O que é um menor? Calcule todos os menores associados aos elementos da matriz D.
d) O que é um cofator? Calcule todos os cofatores associados aos elementos da matriz D.
e) Calcule o determinante de D por Sarrus e por Laplace.
2) Explique o processo de solução por inversão e como a regra de Cramer é obtida nesse processo. Escreva
os sistemas abaixo em forma matricial e resolva-os por Inversão e por Cramer. Confira os resultados
resolvendo os problemas no Excel
 2 x1 − x 2 = 2

2.1) 3x 2 + 2 x 3 = 16
 5x + 3x = 21
3
 1
 10 x1 − 2 x 2 + x 3 = 8

2.2)  7 x1 − x 2 − x 3 = 0
− 2 x + 3x + 6 x = 7
3
2
1

− 2 x 1 − 5 x 2 + x 3 = 6

2.3)  x 1 − 3x 2 − 2x 3 = −1
 4x + 6x − 2x = 3
2
1
 3
1
 15x 1 − 2x 2 + x 3 = 0

2.4) − 3x 1 − x 2 + 2x 3 = 0
− x + 3x + 4 x = 0
2
1
 3
3) Considere um modelo de equilíbrio parcial para explicar o comportamento de preço (p) e quantidade (q)
de um bem normal (valem todos os pressupostos da teoria do consumidor e da firma em concorrência
perfeita, expressos nos sinais dos coeficientes):
(1) oferta:
qs = a + bp - cw
(2) demanda:
qd = d - ep + fy - gpcom
(3) Cond. de equilíbrio: q s = q d = q
Onde: w = preço relativo dos fatores de produção, determinado fora do modelo (variável exógena)
y = renda do consumidor, também determinada fora do modelo (variável exógena)
pcom = preço de um bem complementar, também variável exógena
a, b, c, d, e, f , g são todos parâmetros positivos
a) Encontre as soluções algébricas para preço e quantidade de equilíbrio, utilizando a regra de
Cramer, e esboce o gráfico. Realize todos os experimentos de estática comparativa possíveis e
interprete-os matematicamente. Ilustre graficamente.
b) Suponha agora que se trata de um bem de Giffen. Como o modelo anterior deve ser alterado e
sob que condições haveria equilíbrio único? Ilustre graficamente.
4) Considere um modelo de equilíbrio parcial para explicar o comportamento de preço e quantidade de um
bem normal:
(1) oferta:
(2) demanda:
q s = 20 + 6 p − 4 w
q d = 16 − 4 p + 6 y
(3) Cond. de equilíbrio: q s = q d = q
Onde: y = renda real, determinada fora do modelo (exógena)
w = preço relativo dos fatores de produção
todos os parâmetros são positivos.
a) Encontre as soluções algébricas para preço e quantidade de equilíbrio e esboce o gráfico. Realize
todos os experimentos de estática comparativa possíveis e interprete-os matematicamente.
b) Considere y0=50 e w0=10 e encontre os novos valores de equilíbrio das variáveis endógenas,
utilizando as derivadas de estática comparativa, para primeiro w1=8 e, depois, para y1=55. Faça o
mesmo para um w2=12 e para um y2=48.
c) Discuta os graus relativos de abstração apresentados nos modelos desta e da questão anterior.
2
5) Para a oferta agregada do modelo macroeconômico clássico, responda:
6) Uma economia fechada (sem setor externo), com agentes privados e governo, pode ser representada pelo
seguinte modelo macroeconômico:
i) Identidade contábil básica: Y = C + I + G
Y: renda agregada;
C: consumo agregado;
I: investimento privado.
G: gasto do governo, igual a G0.
ii)
Função consumo agregado:
C = 100 + 0,5(Y-T)
T: montante de impostos agregado, dado e igual a T0.
Y-T: renda disponível.
iii)
Função investimento privado:
I = 25 + 0,25Y
a) Calcule os valores de equilíbrio para as variáveis determinadas pelo modelo: renda, consumo e
investimento, como funções das variáveis exógenas (utilize álgebra matricial).
b) Em seguida, realize todos os experimentos de estática comparativa possíveis, arriscando uma
interpretação econômica. Ilustre graficamente.
c) Utilizando as derivadas de estática comparativa e G0=170 e T0=120, calcule os novos valores de equilíbrio
para cada um dos novos valores das exógenas: G1=180, G2=150, T1=110, T2=150.
3
7) Considere o seguinte modelo de determinação da renda, versão IS-LM:
y= c + i + g
c = c 0 + b( y − t )
i = i 0 − ar
M d = hy − lr
MS = H
MS = Md
Hipóteses: i) Oferta agregada infinitamente elástica (portanto, nível geral de preços (P) é fixo); ii) Não há
setor externo (país fechado); iii) Há apenas três mercados: bens, moeda e títulos.
Os parâmetros a, h, l são positivos e a propensão marginal a consumir, b, está entre zero e um. A
renda agregada (y) é igual ao dispêndio agregado (c + i + g) - identidade contábil básica. O consumo
agregado (c) é função da renda disponível (y - t), onde t é o montante de impostos agregado. O investimento
agregado (i) é uma função da taxa de juro real (r). A demanda por moeda (Md) depende da renda agregada e
da taxa de juro nominal, igual à real, já q P é fixo e, portanto a taxa de inflação é zero. A oferta de moeda
(Ms) é fixa e determinada pelo governo, considerando um multiplicador monetário unitário e H, a base
monetária.
a) Deduza e interprete todas as derivadas de estática comparativa possíveis. Interprete os
resultados matemática e economicamente.
Além da dedução analítica, utilize o
instrumental gráfico em toda sua análise.
b) Analise o impacto da política monetária e da fiscal nos seguintes casos: armadilha da liquidez e
ramo clássico da curva LM (pense, em termos matemáticos, como certos parâmetros do modelo
devem ser alterados para representar tais casos)
8) Sob as mesmas condições do exercício anterior, deduza e interprete todas as derivadas de estática
comparativa possíveis para esse IS-LM numérico.
y= c + i + g
c = 0,7( y − t )
i = −0,2r
M d = 6 y − 2r
MS = M
MS = Md
Suponha que os valores iniciais para as variáveis exógenas sejam: M = 400 ,
t = 20, g = 35. Determine
o valor do equilíbrio inicial e o novo equilíbrio, utilizando as derivadas de estática comparativa, se o estoque
real de moeda se altera para 410 e para 395. Ilustre graficamente.
9) Considere a seguinte forma estrutural de um modelo tipo IS-LM, que representa uma economia fechada,
com apenas três mercados: bens, moeda e títulos . A oferta agregada é infinitamente elástica (portanto, nível
geral de preços (P) fixo):
4
Y = 0,6(Y − T ) − 0,3R + G

(5Y − 2 R) = M
( IS )
( LM )
As variáveis determinadas pelo modelo são a renda (Y) e a taxa de juros (R) de equilíbrio, e as
exógenas são os gastos do governo (G), os impostos agregados (T) - instrumentos de política fiscal - e o
estoque real de moeda (M), instrumento de política monetária.
8.a) Identifique as funções comportamentais do consumo agregado, do investimento produtivo e da
demanda por moeda. Discuta os motivos para a simplificação da forma estrutural no formato IS-LM.
8.b) Solucione o modelo por Cramer e avalie o impacto macroeconômico de cada uma das políticas
econômicas algébrica e graficamente.
8.c) Suponha que os valores iniciais para as variáveis exógenas sejam: M = 250 , T= 30, G=45.
Determine o valor do equilíbrio inicial e o novo equilíbrio, utilizando as derivadas de estática comparativa, se:
a) os impostos agregados se alteram para 40. Mostre graficamente.
b) os gastos se alteram para 40. Mostre graficamente.
c) a oferta de moeda se altera para 242. Mostre graficamente.
10) Considere uma economia com setor externo onde inexistem movimentos de divisas externas na forma de
capital financeiro e com um sistema de taxa de câmbio flexível, cujas e exportações e importações de bens e
serviços são representadas por:
 X = a 0 + a1 P X + a 2TC + a3Y ∗

m
 M = b0 − b1 P − b2TC + b3Y

X =M =Q

onde:
X = exportações total de bens e serviços, a preços constantes; M = importações totais de bens e
x
serviços, a preços constantes; P = índice de preços externos dos bens e serviços exportados, em US$;
m
P = índice de preços externos dos bens e serviços importados, em US$; TC = taxa de câmbio
R$/US$;
Y = produto interno bruto dessa economia a preços constantes; Y* = produto interno bruto
dos principais importadores de bens dessa economia.
O equilíbrio do setor externo é dado por
X = M = Q , equilíbrio este obtido pelo ajuste da taxa de
câmbio TC, dados os valores das demais variáveis (exógenas).
Solucione o modelo por Cramer e responda o que acontece com o equilíbrio para uma variação de
cada variável exógena sucessivamente, algébrica e graficamente (interprete matematicamente as derivadas
de estática comparativa):
11) Considere o seguinte modelo linear de determinação da renda para uma economia aberta, versão IS-LMBP:
Y = C + I + G + B
C = β(Y − T)

Mercado de bens 
I = − α R
B = −aY + bY ∗ + cE
M d = HY − LR

Mercado Monetário M S = CD + RI
M S = M d

B = −aY + bY ∗ + cE

Setor Externo K = d R − R ∗ + ε
B + K = 0

[ (
)]
5
Hipóteses: i) Oferta agregada infinitamente elástica (portanto, nível geral de preços (P) é fixo); ii) Há setor
externo (economia aberta); iii) Há apenas três mercados domésticos: bens, moeda e títulos públicos.
Os parâmetros α, a, b, c, d, H, L são positivos e a propensão marginal a consumir, β, está entre zero e
um. A renda agregada (Y) é igual ao dispêndio agregado (C + I + G + B). O consumo agregado (C) é função
linear da renda disponível (Y - T), onde T é o montante de impostos agregado. O investimento agregado (I) é
uma função da taxa de juro real (R). A demanda por moeda (Md) depende da renda agregada e da taxa de
juro nominal, igual à real, já que P é fixo. A oferta de moeda (Ms) é determinada pelo Banco Central,
considerando um multiplicador monetário unitário e constante, sendo a contrapartida às Reservas
Internacionais (RI) e ao Crédito Doméstico (CD). As variáveis G e T também são exógenas, determinadas pelo
governo de acordo com seus objetivos de política fiscal. O Balanço de Pagamentos estará em equilíbrio
quando o saldo de transações Correntes (B), que depende da renda doméstica, da externa e da taxa nominal
de câmbio (E), se equilibra com o da balança de capitais (K), que depende do diferencial de taxa de juros
percebido pelo investidor (ε é a expectativa de desvalorização cambial).
a) Se o país representado por esta economia adota um regime de câmbio fixo (a terceira endógena são as
reservas internacionais RI) e possui mobilidade imperfeita de capitais, mostre algebricamente os impactos
das políticas econômicas sobre o equilíbrio geral da economia. Interprete os resultados matemáticos,
ilustrando suas respostas graficamente.
b) Se o país representado por esta economia adota um regime de câmbio flexível (a terceira endógena é a
taxa nominal de câmbio) e possui mobilidade imperfeita de capitais, avalie algebricamente os impactos das
políticas econômicas sobre o equilíbrio geral da economia. Interprete os resultados matemáticos, ilustrando
suas respostas graficamente, e mostre como esses impactos dependem da inclinação relativa entre LM e BP.
c) Avalie, do ponto de vista matemático, que mudanças a hipótese de mobilidade perfeita de capitais
introduz no modelo e reavalie suas respostas anteriores.
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