Notas de Aula 2 - SOL - Professor | PUC Goiás

Notas de aula
Fundamentos de Matemática I
Prof Me Samuel Lima Picanço
1. Conjuntos Numéricos
Exemplos
1) 2 é racional pois existem várias divisões cujo resultado é 2
1.1. Números Naturais
Os números naturais (N) são aqueles que aprendemos naturalmente. Uma criança não precisa frequentar escola para
aprender a contar Desde pequena, quando indagada sobre
sua idade, ela já mostra os dedinhos, mesmo que fale uma
quantidade diferente daquela que está mostrando. Sendo assim, o conjunto dos números naturais é:
4 −6 18
=
=
= ···
2 −3
9
2=
Com este exemplo fica evidente que todo número inteiro é também racional e podemos escrever Z ⊂ Q.
Agora nos resta averiguar os números racionais não
inteiros:
N = {0, 1, 2, 3, · · · }
As operações básicas estão definidas em N mas com certas
restrições. Por exemplo, quando você frequentava as séries
inicias, a professora não passava "contas"do tipo
3 − 8.
Sendo assim, surge a necessidade de um novo conjunto numérico para estas operações se tornem possíveis.
1.2. Números Inteiros
Os números inteiros (Z) são usados para contar quantidades
inteiras, positivas e negativas. Durante o campeonato de futebol por exemplo, se o seu time não tiver uma defesa muito
boa, provavelmente irá levar mais gols do que fez. O número
que representa o saldo de gols nesse caso é um número negativo. O conjunto dos números inteiros é:
Z = {· · · − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
Note que todo número natural é também inteiro e podemos
escrever que N ⊂ Z (N está contido em Z).
ASsim como em N, as operações definidas em Z têm certas restrições, como por exemplo, não está definido nesse o
conjunto o número
1÷2
por exemplo. Sendo assim, surge a necessidade de um novo
conjunto numérico para que sejam possíveis tais operações:
1.3. Números Racionais
Os números racionais (Q) são aqueles que podem ser escritos como o resultado de uma divisão entre inteiros, sendo
que o divisor deve ser não nulo. Em outras palavras, definimos Q assim:
o
na
, a, b ∈ Z, b 6= 0
Q=
b
A partir desta definição irei agora exemplificar os números racionais e você irá perceber que eles estão presentes
o tempo todo em sua vida.
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2) 0, 5 é racional pois existem várias divisões cujo resultado é 0, 5.
Basta você imaginar na situação em que um real deve
ser dividido para duas crianças e cada uma delas irá
ficar com cinquenta centavos (0,50).
0, 5 =
50
−2
1
=
=
= ···
2 100 −4
3) 1, 25 é um número racional pois existem várias
divisões cujo resultado é 1.25.
A partir daqui vamos estabelecer uma maneira de
escrever estes números no formato de uma divisão
(fração) entre dois inteiros. Note que tanto 0,5
quanto 1,25 são números racionais que possuem
representação decimal finita. Isso significa que
vieram de uma divisão com resto zero. Como nossa
base de numeração é a decimal, todas as divisões
por 2, por 5, ou por qualquer número que é um
produto dos fatores 2 e 5, é finita. Sendo assim, todas
os números racionais com representação decimal
finita podem ser representados por uma divisão por
uma potência de dez. Uma potência de 10 é um
número que,em sua composição só aparece o algarismo 1 uma vez e o restante dele é formada por zeros.
1, 25 =
125 5
=
100 4
5
é a fração irretudível que representa 1,25. Ela é ob4
125
tida da simplificação de
. Dividimos numerador e
100
denominador por 25 (nesse caso).
Note que o numerador da fração é 125, ou se você
preferir, 1,25 quando se "esconde"a vírgula. O denominador é formado por uma potência de dez (lembra?)
e a quantidade de zeros corresponde à quantidade de
casas decimais de 1,25, nesse caso, duas.
Mas vamos agora entender por que eu posso usar esta
1
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regra. Nosso objetivo é escrever uma fração que representa 1,25 e, como não sabemos qual é esta fração,
iremos chamá-la de x.
1, 25 = x
(1)
Em (1) vamos transformar o lado esquerdo em um número inteiro. Para isto, basta analisar o número de
casas decimais e multiplicar por uma potência de 10
cujo número de zeros corresponda ao número de casas. Aqui temos duas casas então devemos multiplicar
por 100.
1, 25(×100) = x(×100)
(2)
Lembre-se que, o que fazemos em um dos lados devemos fazer também no outro.
125 = 100x
5) 1, 35 · · ·
Aqui usamos o traço para indicar quem é o período.
Nesse caso, o período é formado pelos algarismos 3 e
5.
1, 35 · · · = 1 + 0, 35 · · · = 1 +
Agora vem a pergunta? Por que, ou de onde veio, esta
regra? Novamente irei usar x para representar a fração
desconhecida.
0, 333 · · · = x
(3)
Agora, na equação 3, busquemos uma maneira de acabar com a parte infinita. Primeiro vamos analisar a
quantidade de algarismos do período e percebemos
que se multiplicarmos por 10, teremos duas equações
em que os lados esquerdos terão a mesma parte infinita.
0, 333 · · · (×10) = x(×10)
(4)
Como o 100 está multiplicando, vai para o outro membro dividindo. Sendo assim:
125
x=
100
Os próximos exemplos trazem as dízimas periódicas que são
números racionais que possuem representação decimal infinita, porém periódica. Esses números são resultado da divisão em que o divisor tem algum fator diferente de 2 ou
5.
4) 0, 333 · · · é um número racional pois é o resultado de
uma divisão entre dois inteiros.
Nossa missão agora é determinar qual é a fração que
representa esta dízima. Esta é uma dízima simples
pois, após a vírgula, só aparece o período (algarismos
que se repetem). Para as dízimas simples você poderá
usar a seguinte regra:
No numerador escreva o período (nesse exemplo o período é 3). No denominador escreva apenas algarismos 9, cuja quantidade vai ser igual à quantidade de
algarismos do período.
3%período
9&quantidade de algarismos do período
(5)
3, 333 · · · − 0, 333 · · · = 10x − x
=
(6)
3 = 9x
O 9 que está multiplicando vai dividindo e pronto:
x=
3 1
=
9 3
E se a dízima não for simples? Dizemos que uma dízima
não é simles (composta) se, do lado direito da vírgula, além
do período, aparecer também algum algarismo que não se
repete. Irei chamá-lo de intruso.
6) 0, 2666 · · ·
Nesse caso o intruso é formado pelo algarismo 2 e o
período por 6.
No numerador escreva o intruso seguido do período.
Em seguida subtraia o intruso. No denominador continua valendo a regra do 9, porém, agora irá aparecer
zero também. A quantidade de zeros é equivalente à
quantidade de algarismos do intruso.
26
0, 2666 · · · =
1
3
1
Note que é a forma simplificada da fração que gerou
3
a dízima 0, 333 · · · . Dizemos que é sua fração geratriz.
Observe ainda que, se a dízima for maior que 1, então
nos será conveniente separar a parte inteira da parte
decimal, como no exemplo a seguir:
2
3, 333 · · · = 10x
Agora fazemos (5) - (3), membro a membro e parte
infinita do lado esquerdo irá se cancelar:
Isto explica o que fizemos de forma direta lá atrás.
Tente não decorar o jeito de fazer e sim entender o
que está se passando.
Faça você mesmo agora, escreva cada um dos seguintes números como uma divisão entre dois inteiros:
1,2; 0,62; 12,5; 0,025; 0,002
0, 333 · · · =
35 99 + 35 134
=
=
99
99
99
%intruso + período
9
|{z}
%intruso
−2
0
|{z}
quantidade de algarismos do período quantidade de algarismos do intruso
=
24÷2
12÷3
4
= ÷3 =
÷2
90
45
15
4
15
é a forma mais simples da fração que representa
0, 2666 · · · . Dizemos que é sua fração geratriz.
Mas novamente você pode se perguntar: de onde veio
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esta regra? Lá vai a explicação:
Iremos usar x para representar a fração desconhecida.
0, 2666 · · · = x
(7)
Em (7) vamos tentar separar o intruso do período.
Nesse exemplo, basta multiplicarmos por 10 pois o
intruso é composto apenas por um algarismo.
O número que expressa a medida da diagonal desse quadrado não é racional. Podemos resolver o problema usando
o famoso Teorema de Pitágoras e a diagonal será a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1.
x2 = 12 + 12
Resolvendo-se a equação temos que:
x2 = 2
0, 2666 · · · (×10) = x(×10)
2, 666 · · · = 10x
(8)
Vamos agora separar a parte inteira da parte decimal.
2 + 0, 666 · · · = 10x
A parte fracionária agora você já sabe como fica:
2+
6
9
6
= 10x
9
24
= 10x
9
O 10 multiplicando vai dividindo e pronto:
x=
24
4
=
90 15
Faça você mesmo agora: escreva a fração geratriz de
cada uma das dízimas periódicas: 0, 2 · · · ; 20, 13 · · · ;
0, 123 · · · ; 2, 312 · · ·
Os números racionais, como vimos, podem ser todos representados por uma fração de inteiros. Quais seriam então os
números que não podem ser representados por uma divisão
entre dois inteiros?
1.4. Números Irracionais
Os números irracionais (I) são aqueles que não podem ser
escritos por meio de uma divisão entre dois inteiros.
Ao se expressar a medida da diagonal de um quadrado cujo
lado é um por exemplo, nos deparamos com um problema:
E aqui vemos que não existe número racional capaz de ser a
solução desse problema.
√
Hoje sabemos que esse número é o 2. Sendo assim, surgem os números que, assim como este último, não têm representação decimal finita. Diferentemente das dízimas periódicas, os números irracionais têm representação decimal
infinita, porém não periódica.
Podemos destacar como números irracionais todas as raízes
de índice n não exatas. Além destas temos o π, o famoso
número de Euler (e), dentre outros que você irá aprender ao
longo do curso.
Vale dizer que um número é racional ou irracional, ou seja,
não pode ser ao mesmo tempo pertencente aos dois conjuntos.
1.5. Números Reais
O conjunto formado pela reunião dos elementos de Q e I é
denominado conjunto dos números Reais (R).
R = Q∪I
O conjunto dos números reais é formado pelo números que
você utiliza em seu dia a dia. Praticamente todos os números que você precisa para contar, medir, somar, dividir, no
seu trabalho, são reais. Na disciplina de cálculo diferencial
e integral serão os únicos números que você irá precisar.
Os números reais podem ser representados por uma reta,
chamada reta real, em que cada ponto está associado a um
número.
Fig. 2. Reta Real
Vamos agora resolver alguns exercícios com operações básicas com os números reais.
Fig. 1. Representação do cálculo da diagonal
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1.6. Exercícios Resolvidos
1.6..1 Resolva as operações expressando a resposta na
forma de fração
a) 0, 5 + 0, 25 = É claro que somar estas quantidades não
é algo nada difícil de se fazer, ainda mais se você associar cada uma delas a moedinhas de 50 e 25 centavos, respectivamente. Mas aqui iremos explorar as
frações.
50
1
0, 5 =
=
100 2
e
25
1
0, 25 =
=
100 4
Nosso problema agora se resume em somar
1 1
+
2 4
E vale ressaltar que para somar duas frações é necessário que os denominadores delas sejam iguais. O denominador de uma fração indica em quantas partes o
todo foi dividido. Pense em duas pizzas de mesmo
tamanho. Você só pode comparar ou somar fatias de
uma pizza com a outra se os pedaços forem de mesmo
tamanho. Para que isto ocorra é necessário que o ńumero de fatias seja o mesmo.
Observe que ter 1 fatia em 2 na primeira pizza
é o equivalente a ter duas fatias em 4. Agora que os
denominadores são iguais, podemos simplesmente
somar os numeradores:
2 1 3
+ =
4 4 4
É claro que não iremos desenhar pizzas todas as vezes
que quisermos somar duas ou mais frações, mesmo
porque isso poderia ser trabalhoso demais para denominadores muito grandes. Então, qual será o procedimento? A ideia é deixar os denominadores iguais e
para isto, vamos buscar o menor número que os divide
ao mesmo tempo.
Nesse exemplo foi o 4. Logo o novo denominador
será 4. Mas se alteramos o denominador, obviamente
deveremos alterar o numerador para obtermos frações
equivalentes.
+
4 4
A pergunta é: qual número multiplicamos pelo antigo
denominador para obter o 4? Esse mesmo número
deverá ser multiplicado no numerador. Na primeira
fração foi o 2 e na segunda o 1. Caso não consiga fazer
de cabeça, divida o novo denominador pelo antigo.
Use o resultado para multiplicar no numerador:
2 1 3
+ =
4 4 4
b) 1, 236 · · · + 3, 25 Nesse exercício temos uma dízima
periódica (composta por sinal). Vamos escrever as
frações separadamente:
1, 236 · · · = 1 + 1, 236 · · · = 1 +
Fig. 3. Representação das frações por pizzas
Note que é evidente a diferença entre os tamanhos de
cada fatia. Caso queiramos comparar ou somá-las,
devemos antes fazer algum procedimento que nos
permita deixá-las do mesmo tamanho. Tal procedimento será ilustrado a seguir, primeiro por meio do
desenho.
Fig. 4. Representação das pizzas com fatias de mesmo tamanho
236 − 23
900
71
300 + 71 371
213÷3
= 1+
=
=
900÷3
300
300
300
Esta é só a primeira fração. A próxima será mais simples de se obter:
1+
325÷25
13
=
100÷25
4
Agora nos resta somar as frações:
3, 25 =
371 13
+
300
4
O mínimo múltiplo comum entre 300 e 4 é o próprio
300.
+
300 300
Agora vamos dividir 300 por cada um dos antigos denominadores e multiplicar o resultado pelo respectivo
numerador:
371 975 371 + 975 1346
+
=
=
300 300
300
300
1346÷2
673
=
÷2
300
150
4
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c) (0, 222 · · · )2 − 0, 025 + 1, 333 · · · Este exemplo irei resolver de modo mais direto:
2
3
2
25
+1+
−
9
1000
9
Note que apareceu um termo a mais que é justamente
o 1 (parte inteira da última dízima).
2
2
25
9+3
−
+
9
1000
9
Para calcular potência de uma fração lembre-se de elevar o numerador e depois o denominador:
25
12
4
−
+
81 1000
9
Agora os fatores que aparecem na decomposição devem ser multiplicados. Este será o novo denominador.
Vamos simplifcar as frações possíveis antes de continuar:
2×2×2×3×3×3×3×5 =
25
12
4
25÷25
12÷3
4
−
+
=
−
+
81 1000
9
81 1000÷25
9÷3
Divida este número por cada um dos antigos denominadores e multiplique o valor obtido pelo numerador:
4
1
4
−
+
81 40 3
Vamos recordar aqui um procedimento que você
aprendeu nas séries inicias para determinar o mínimo
múltiplo comum entre 2 ou mais números. Faremos
a decomposição simultânea de 81, 40 e 3, em fatores
primos.
23 × 34 × 5 = 3240
81
4320
160
−
+
3240 3240 3240
160 − 81 + 4320 4399
=
3240
3240
1.6..2 Simplifique as expressões a seguir:
√
√
24 + 54 = Expressões com números irracionais
muitas vezes se tornam uma pedra no sapato dos estudantes na área de exatas.
O procedimento é simples. Decomponha os radicandos (números que aparecem dentro da raiz). Em seguida separe os fatores que se repetem de acordo ao
índice (número sobre escrito dentro da raiz). Nesse
caso é 2.
24 = 2 × 2 2 × 2 × 3
| {z }
2 f atores
54 = 3 × 3 ×3 × 2
| {z }
Do lado direito só podem aparecer números primos.
Comece pelo menor e vá aumentando, conforme a divisão for acontecendo:
2 f atores
p
p
22 × 2 × 3 + 32 × 2 × 3
Os fatores que têm expoente igual ao índice podem
ser cortados e escritos fora da raiz. Assim:
√
√
2 ×2 × 3 + 3 ×2 × 3
Os fatores que ficaram dentro da raiz serão multiplicados.
√
√
2 6+3 6
Note que a divião por 2 não é mais possível. Vamos
ao próximo primo, que é o 3, e depois, finalmente, ao
5.
Observe aqui que as raízes ficaram iguais. Assim
como usamos a ideia das frutas, aqui também vale a
analogia.
√
√
√
2 6+3 6 = 5 6
Portanto:
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√
√
√
24 + 54 = 5 6
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2. Intervalos Reais
Antes de continuarmos, observe a desigualdade
−3 < −1
Um intervalo real nada mais é que um subjconjunto de R.
Usamos a ideia de intervalo para representar um conjunto
infinito. Dizemos que um conjunto é infinito se a quantidade de elementos dele não puder ser contada.
Considerando a e b dois números reais quaisquer, um intervalo real terá uma das seguintes formas:
. Ela é verdadeira e, você aprendeu que, numa equação, se multiplicarmos ambos os lados por algum valor, a igualdade não se altera. Com as inequações, se o
valor multiplicado for negativo, veja o que acontece:
[a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
−3 × (−1) < −1 × (−1)
]a, b[= {x ∈ R|a < x < b}
3 < 1 o que é falso, obviamente
]a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}
Este erro pode ser corrigido se invertermos o sinal de
desigual também. E faremos sempre! Ao multiplicar
o (-1) numa inequação, o sinal se inverte:
[a, b[= {x ∈ R|a ≤ x < b}
] − ∞, a[= {x ∈ R|x < a}
] − ∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}
[a, +∞[= {x ∈ R|x ≥ a}
]a, +∞[= {x ∈ R|x > a}
Aqui vale a observação que ∞, apenas um símbolo. Podemos ainda representar estes intervalos geometricamente e
isto será muito útil. Faremos isto conforme os exemplos
exijam.
Exemplos
1
5
Vamos representar esta solução graficamente:
5x ≥ 1 =⇒ x ≥
Fig. 5. Solução Gráfica da Inequação
1) Expresse o conjunto {x ∈ R|2x − 3 < x + 1} em notação de intervalo:
Solução:
Devemos resolver uma inequação para representar o
conjunto na forma de um intervalo:
2x − 3 < x + 1
Assim como numa equação de 1o grau, resolvemos a
inequação isolando a variável:
2x − x < 1 + 3 =⇒ x < 4
Podemos representar a solução assim:
] − ∞, 4[
Este resultado significa que, qualquer valor de x menor que 4, torna verdadeira a afirmação 2x − 3 < x + 1.
2) Determine o conjunto solução da seguinte inequação:
−3x + 5 ≤ 2x + 4
Solução:
Novamente, isolando-se a variável, teremos:
−3x − 2x ≤ 4 − 5
−5x ≤ −1
6
−5x × (−1) ≤ −1 × (−1)
3) Estude o sinal da expressão −2x + 8
Solução:
Estudar o sinal de uma expressão significa dizer quais
valores de x torna aquela expressão positiva, negativa
ou nula.
É claro que posteriormente iremos desenvolver maneiras mais diretas para resolver esta questão,mas
por enquanto, vamos usar um procedimento eficiente.
Lembre-se que, na reta real, o zero está entre os números negativos e os positivos. Então, vamos primeiro
descobrir qual valor de x anula a expressão. Faremos
isto igualando a zero.
−2x + 8 = 0 =⇒ −2x = −8 =⇒ x =
−8
−2
x=4
Significa que em 4 a expressão muda de sinal. O que
eu sugiro aqui é que você escolha dois números, um
menor que 4 e outro maior que 4. Substitua-os na
expressão e verifique o que acontece:
Para x < 4 (x = 3) =⇒ −2 × 3 + 8 =⇒ −6 + 8 = 2
2>0
Como esta é uma expressão de grau 1, o sinal só se
altera uma vez.
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Concluímos que se x < 4 a expressão é positiva e caso
contrário, a expressão é negativa. Podemos escrever:
Se x < 4, −2x + 8 > 0
Se x = 4, −2x + 8 = 0
Se x > 4, −2x + 8 < 0
Podemos representar (e nos será muito útil) a expressão graficamente:
Fig. 6. Solução Gráfica do Estudo do Sinal
4) Estude o sinal da expressão x2 + 2x − 8
Solução:
Esta é uma expressão de 2o grau e iremos resolver
este problema usando a fatoração de polinômios trabalhada em aulas anteriores:
x2 + 2x − 8 não é um trinômio quadrado perfeito (verifique você mesmo). Outra forma de fatorar esta expressão é buscar dois números cujo produto é -8 e a
soma é 2.
Depois de fazer algum exercício mental você pode verificar que os números procurados são 4 e -2. Então
podemos escrever:
x2 + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2)
Agora podemos estudar o sinal da expressão trabalhando com o produto do lado direito da igualdade
acima. Vamos chamar os fatores de A e B respectivamente:
(x + 4) (x − 2)
| {z } | {z }
A
B
Estudando o sinal de A (usando a mesma ideia do
exemplo anterior) temos:
x + 4 = 0 =⇒ x = −4
É notório que A > 0 se x > −4 e A < 0 se x < −4.
Analogamente:
x − 2 = 0 =⇒ x = 2
Daí temos que B > 0 se x > 2 e B < 0 se x < 2. Vamos
representar estas informações graficamente: Note que
Fig. 8. Solução Gráfica do Estudo do Produto das Expressões
é importante respeitar a relação de ordem dos reais,
ou sejam, números menores escritos à esquerda.
Agora iremos multiplicar a expressão A pela expressão B, usando a representação gráfica. Observe que
na terceira reta (a que representa A · B) os sinais foram
obtidos fazendo-se a multiplicação dos sinais das retas anteriores.
Podemos escrever então que:
x2 + 2x − 8 > 0 se x < −4 ou se x > 2
x2 + 2x − 8 < 0 se − 4 < x < 2 (x está entre - 4 e 2)
x2 + 2x − 8 = 0 se x = −4 ou se x = 2
5) Estude o sinal da expressão −x2 − x + 2
Solução:
Aqui, novamente, iremos transformar a expressão em
um produto de fatores mais simples. Até agora você
viu apenas duas possibilidades para um trinômio de
grau 2. Ou ele é quadrado perfeito ou é da forma x2 +
Sx + P, sendo S a soma de dois números cujo produto
é P. Nesse exemplo, vamos colocar inicialmente o -1
em evidência:
−(x2 + x − 2)
Sendo assim, a expressão dentro dos parênteses pode
ser fatorada mais facilmente pois o número que multiplica x2 é 1.
Devemos buscar agora dois números cujo produto seja
-2 e a soma seja 1. Os números são 2 e -1. Então:
−(x2 + x − 2) = −[(x − 1)(x + 2)]
O sinal de menos antes dos colchetes significa que -1
multiplica a expressão. Podemos usar a distributividade no fator x − 1 e a expressão se torna:
(−x + 1)(x + 2)
Assim como no exemplo anterior, vamos chamar os
fatores de A e B:
(−x + 1) (x + 2)
| {z } | {z }
A
B
Estudaremos agora o sinal de A.
−x + 1 = 0 =⇒ x = 1
Fig. 7. Solução Gráfica do Estudo do Sinal de Cada Expressão
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Lembre-se de fazer "testes"em A com valores menores e maiores que 1. Descobrimos que, quando
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x < 1, A > 0 e quando x > 1, A < 0
Estudando o sinal de B:
Exemplo
1) Determine a solução da inequação
x + 2 = 0 =⇒ x = −2
|x| > 1
Ao escolher valores em B, menores e maiores que 2,
descobrimos que quando x < 2, B < 0 e quando
x > 2, B > 0.
Vamos representar o estudo do sinal de cada expressão
graficamente e em seguida fazer o produto dos sinais
das expressões:
Solução:
Nesta desigualdade, estamos interessados em valores
de x que possuem tamanho maior que 1. Vamos representar isso graficamente:
Fig. 10. Representação para |x| > 1
Fig. 9. Solução Gráfica do Estudo do Produto das Expressões
Note que os extremos do intervalo não fazem parte
do conjunto, por isso o representamos com uma "bolinha"vazia.
Os números que têm tamanho maior que 1 são esses
da região hachurada da figura 10. Sendo assim:
|x| > 1 =⇒ x < −1 ou x > 1
Analisando a solução gráfica, podemos escrever:
−x2 − x + 2 > 0 quando − 2 < x < 1
2) Qual é a solução para a inequação
|x + 3| ≤ 4 ?
−x2 − x + 2 < 0 quando x < −2 ou x > 1
−x2 − x + 2 = 0 quando x = −2 ou x = 1
Lembre-se que o segredo para que você fique bom nisso é
exercitar. Não meça esforços para praticar o que estudou.
Solução:
Enquanto você não tiver confiança de fazer mais rapidamente, use o seguinte artifício:
x+3 = A
3. Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é o tamanho
desse número. Cada número da reta real tem uma distância
até o zero e desingaremos de módulo esta distância.
Usaremos | | para representar o módulo.
Exemplo
|2| = 2 pois o "tamanho"do 2 é duas unidades.
E agora o problema se resume em resolver a inequação:
|A| ≤ 4
Estamos interessados agora em saber quais são os números que possuem tamanho menor ou igual a 4. Pensando como no exemplo anterior podemos concluir
que esses números são todos aqueles compreendidos
entre -4 e 4. (Na dúvida, represente graficamente!)
Portanto, A está compreendido entre -4 e 4 e iremos
representar assim:
−4 ≤ A ≤ 4
| − 2| = 2 pois o "tamanho"do -2 é duas unidades
Você já deve ter ouvido dizer que o módulo de um número
nunca é negativo, ou que o módulo de um número é o
número sem o sinal. Mas o verdadeiro sentido disso é: para
medir alguma coisa não usamos valores negativos.
Mas queremos resolver a inequação na variável x.
Lembre-se que A = x + 3, portanto:
−4 ≤ x + 3 ≤ 4
Esta é uma inequação simultânea e podemos resolvêla isolando a variável.
3.1. Definição:
Se x é um número real, então:
x se x ≥ 0
|x| =
−x se x < 0
8
−4 − 3 ≤ x ≤ 4 − 3
Logo
−7 ≤ x ≤ 1
Tente representar graficamente esta solução!
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3) Determine a solução para a equação
5) Determine o conjunto solução da equação
|x + 2| = 2.
x2 + 6x + 9 = 16
Solução:
Olhando para a equação interpretamos o seguinte: estamos interessados em saber quais os números cujo
tamanho é 2.
Sendo assim, os números que possuem tamanho 2 são
o próprio 2 e o -2.
Novamente o lado esquerdo da equação de 2o é formado por um trinômio quadrado perfeito. Vamos escrever sua forma fatorada:
x + 2 = 2 ou x + 2 = −2
Resolvendo cada uma das equações temos:
x = 0 ou x = −4
Portanto, a solução para a equação é o conjunto
S = {−4, 0}
Para o próximo exemplo, usaremos uma informação importante sobre o módulo de um número real.
√
x2 = |x|
Posteriormente iremos demonstrar esta igualdade.
4) Qual é a solução da equação
x2 − 4x + 4 = 0?
Resolução:
Você já deve estar pensando que, como esta é uma
equação de 2o , para resolvê-la deveremos usar a famosa Fórmula de Bhaskara. Sim, esta é uma equação
de 2o grau porém iremos usar outro método de resolução.
Observe que o lado esquerdo da igualdade é um trinômio quadrado perfeito:
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2
Então a equação pode ser reescrita como:
(x − 2)2 = 0
Para eliminar o expoente 2 do primeiro membro iremos usar a operação inversa (radiciação) em ambos os
lados:
q
√
(x − 2)2 = 0
√
Usando a ideia de que x2 = |x|:
|(x − 2)| = 0
Estamos agora interessados em saber quais os números cujo tamanho é zero. O único número real cujo
tamanho é zero é o próprio zero.
x − 2 = 0 =⇒ x = 2
Portanto a solução da equação é o conjunto unitário
S = {2}
(x + 3)2 = 16
Escrevendo a raiz quadrada dos dois lados:
q
√
(x + 3)2 = 16
Usando a informação
√
x2 = |x|:
|(x + 3)| = 4
Agora vem a pergunta: quais são os números cujo módulo é 4? A resposta é: -4 e 4.
x + 3 = 4 ou x + 3 = −4
Resolvendo cada uma das equações:
x = 4 − 3 ou x = −4 − 3
x = 1 ou x = −7
A solução da equação então será o conjunto
S = {−7, 1}
Talvez você não tenha percebido mas o que fizemos nos
exemplos 4 e 5 foi resolver uma equação de 2o grau por
um processo bem diferente do que você está acostumado.
Vamos resolver mais alguns exemplos assim:
6) Determine o conjunto solução da equação
x2 + 6x − 7 = 0
Resolução:
Esta equação de 2o está no formato que você acostumou a ver. Note que o trinômio não é quadrado perfeito. Ele pode ser fatorado como soma e produto,
como vimos anteriormente,mas aqui iremos usar um
procedimento chamado de "completar os quadrados".
O objetivo dele é completar o trinômio para que ele
se torne um quadrado perfeito. Preste muita atenção
no que será feito porque aparentemente você achará
difícil, mas verá com a prática que não é:
Primeiro passo: verifique se o número que multplica
o x2 é 1. Se não for, divida a equação inteira por ele.
Nesse caso já é 1. Segundo passo: pegue o termo que
multiplica o x e divida-o por 2(só o módulo). Nesse
exemplo é o 6.
6÷2 = 3
Terceiro passo: pegue o resultado da divisão do passo
anterior e eleve ao quadrado.
32 = 9
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Escola de Ciências Exatas e da Computação
9
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Se o termo independente fosse 9, então o trinômio seria quadrado perfeito. Como não é, vamos para o próximo passo.
Quarto passo: acrescente ao termo independente uma
quantidade que o torne igual ao resultado obtido no
terceiro passo. Nesse caso devemos acrescentar ao -7
um número que faça o resultado ser 9. Esse número é
16. Só que,numa equação, o que você acrescentar de
um lado, deve também acrescentar no outro.
Descobrimos que devemos acrescentar em ambos os
1
lados
.
400
9
1
2
1
x2 − x +
=
+
10
10 400
400
Lembre-se que
x2 −
x2 + 6x − 7 + 16 = 16
Agora organizando o lado esquerdo:
x2 + 6x + 9 = 16
Note que a equação agora se tornou idêntica à do
exemplo 5 e irei deixar para você resolvê-la. Tente resolver o exemplo também fatorando o trinômio como
soma e produto.
7) Qual é o conjunto solução da equação
10x2 − 9x + 2 = 0?
Resolução:
Note que aqui o termo que multiplica o x2 não é 1.
Nesse caso, vamos dividir e equção toda por 10.
0
10x2 − 9x + 2
=
10
10
O lado direito continuará zero e o lado esquerdo ficará:
9
2
x2 − x +
=0
10
10
O próximo passo agora é dividir o termo que multiplica x por 2.
9
10
2
=
9 1
9
· =
10 2 20
Observe que agora devemos elevar este termo ao quadrado
2
9
81
=
20
400
Agora a pergunta é: qual deverá ser o número acres2
81
centando a
para que o resultado seja
?
10
400
?+
2
81
=
10 400
2
81
−
400 10
O mínimo múltiplo comum entre 400 e 10 é o 400.
O primeiro membro desta última equação é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (verifique):
1
9 2
=
x−
20
400
Vamos calcular agora a raiz quadrada em ambos os
lados:
s
r
9 2
1
=
x−
20
400
√
Não se esqueça que x2 = |x|:
x− 9 = 1
20 20
1
Quais são os números cujo tamanho vale
? Esses
20
1
1
números são
e− .
20
20
Logo:
x−
9
1
9
1
=
ou x −
=−
20 20
20
20
1
9
1
9
+
ou x = − +
20 20
20 20
10
8
x=
ou x =
20
20
Simplificando as frações:
x=
x=
2
1
ou x =
2
5
A solução da equação é o conjunto S =
1 2
,
2 5
8) Qual é o conjunto solução da equação
x2 + 2x + 2 = 0?
81
80
−
400 400
1
400
2 ÷ 2 = 1 =⇒ 12 = 1
?=
10
9
81
1
x+
=
10
400 400
Resolução:
Vamos resolver a equação completando os quadrados,
como fizemos anteriormente.
Primeiro observe que o número que multiplica x2 é 1.
Só nos resta agora dividir o termo que multiplica x por
2 e em seguida elevar o resultado ao quadrado.
?=
?=
1
2
+
= Logo a equação torna-se:
10 400
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Significa que devemos acrescentar algum número no
lado esquerdo para que o termo independente (2) se
torne 1. Esse número é o -1.
b2
deve ser o termo independente. Para que isto ocorra, de4a
vemos somar alguma quantidade na equação. Para descobrir
que quantidade é esta, resolvemos o seguinte problema:
x2 + 2x + 2 − 1 = −1
Agora, o primeiro membro da equação pode ser escrito de forma fatorada, já que é um trinômio quadrado perfeito.
2
x + 2x + 1 = −1 =⇒ (x + 1) = −1
Note que do lado direito desta igualdade aparece uma
quantidade inexistente no conjunto dos números reais.
Como estudamos somente os números reais (pelo menos nesta disciplina), dizemos que a equação não tem
solução:
S={ }
Os últimos exemplos que resolvemos foi uma aperitivo para
o que vamos estudar agora.
?=
b2
c
−
4a2 a
Podemos melhorar o lado direito da igualdade reduzindo as
frações ao mesmo denominador:
?=
4ac
b2 − 4ac
b2
−
=⇒
?
=
4a2 4a2
4a2
A quantidade a ser somada em ambos os lados da equação
b2 − 4ac
então é
.
4a2
b2 − 4ac
Portanto, na equação(10) vamos acrescentar
dos
4a2
dois lados:
b
c b2 − 4ac
b2 − 4ac
2
(11)
x + x+
+
=
a
a
4a2
4a2
Em (11),
4. Equações de 2o Grau
b2
c
= 2
a 4a
Isolando a incógnita:
2
O procedimento agora é análogo ao que fizemos anteriormente. Calculamos a raiz quadrada em ambos os
lados
q
√
(x + 1)2 = −1
?+
c b2 − 4ac
+
a
4a2
=
b2
4a2
Substindo este resultado:
Uma equação de 2o grau tem a forma
b
b2
b2 − 4ac
x2 + x + 2 =
a
4a
4a2
ax2 + bx + c = 0 sendo a, b, c ∈ R e a 6= 0.
A condição de a ser diferente de zero você vai entender já
ja.́ Por enquanto, pense que é somente pelo fato de que, se
a for zero, o termo de grau 2 "some" e a equação passa a ser
de primeiro grau.
Para resolver equações de grau 2 você poderá todas as vezes
que quiser, usar o método de completar os quadrados, como
visto anterioremente. Porém iremos desenvolver agora uma
fórmula resolutiva, conhecida como Fórmula de Bhaskara.
Ela se baseia na ideia estudada.
Começaremos dividindo a equação por a:
ax2 + bx + c = 0(÷a)
(9)
b
c
x2 + x + = 0
(10)
a
a
Na equação 10, devemos agora dividir o termo que multiplica x por 2 e em seguida elevar o resultado ao quadrado.
b
a =⇒ b · 1 = b
2
a 2 2a
b
2a
2
=
b2
4a2
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(12)
O primeiro membro de (12) é um trinômio quadrado perfeito
(verifique)! Sua forma fatorada é:
b 2
x+
2a
A equação (12) torna-se:
b 2 b2 − 4ac
x+
=
2a
4a2
(13)
Finalmente agora calculamos a raiz em ambos os lados da
equação:
s
s
b 2
b2 − 4ac
x+
=
(14)
2a
4a2
√
Lembre-se que x2 = |x|.
√ 2
x + b = b − 4ac
(15)
2a 2a
Vamos chamar o número b2 − 4ac de ∆. Na equação (15),
ao calcular o módulo do lado esquerdo, aparecerão dois números no lado direito. Um positivo e outro negativo.
√
b
∆
x+
=±
(16)
2a
2a
11
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Ao isolar o x no primeiro membro, temos:
√
b
∆
x=− ±
2a
2a
ou
√
−b ± ∆
x=
2a
Note que o a aparece na fórmula dividindo uma expressão.
Logo seu valor tem que ser diferente de zero. Muitas
pessoas passam a vida inteira resolvendo equações de 2o
grau com esta fórmula e não sabem de onde ela veio.
A partir de agora, pratique a resolucão de equações desse
tipo com e sem a fórmula. Isso fará de você um excelente
calculista!
5.4. Fatore o polinômio de 2o dado:
a) x2 − 3x + 2
b) x2 − x − 2
c) x2 − 2x + 1
d) x2 − 6x + 9
e) 2x2 − 3x + 1
f) x2 − 25
g) 3x2 + x − 2
i) 4x2 − 9
j) 2x2 − 5x
5.5. Resolva a inequação dada:
a) x2 − 3x + 2 > 0
5. Exercícios Propostos
5.1. Elimine o módulo:
a) | − 5| + | − 2| =
b) x2 − 5x + 6 ≥ 0
c) x2 − 3x > 0
d) x2 − 9 < 0
e) x2 − x − 2 ≥ 0
b) | − 5 + 8| =
c) |2a| − |3a| =
d) | − a| =
f) 3x2 − x ≤ 0
g) 4x2 − 4x − 1 < 0
h) 4x2 − 4x − 1 ≤ 0
5.6. Simplique as expressões:
5.2. Resolva as equações:
a) |x| = 2
a)
x2 − 1
x−1
b)
x3 − 8
x2 − 4
c)
4x2 − 9
2x + 3
b) |x + 1| = 3
c) |2x − 1| = 1
d) |x − 2| = −1
d)
e) |2x + 3| = 0
e)
5.3. Resolva as Inequações
f)
a) |x| ≤ 1
g)
b) |3x − 1| < −2
c) |2x − 1| < 3
12
h)
1
d) |3x − 1| <
3
i)
e) |2x − 3| > 3
j)
1
x
−1
x−1
1
x2
−1
x−1
1
x2
− 19
x−3
− 15
x−5
1
x
1
x
− 1p
x− p
(x + h)2 − x2
h
1
x+h
− 1x
h
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5.7. Resolva as inequações:
a)
2x − 1
<0
x+1
b)
1−x
≥0
3−x
c)
x−2
>0
3x + 1
d) (2x − 1)(x + 3) < 0
e)
3x − 2
≤0
2−x
f) x(2x − 1) ≥ 0
g) (x − 2)(x + 2) > 0
2x − 1
>5
x−3
x
i)
≤3
2x − 3
h)
j)
x−1
<1
2−x
Referências
[1] IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática
Elementar, Vol. 1. São Paulo: Atual Editora, 2006
[2] DANTE, Luiz. Matemática, Vol. único. São Paulo: Editora Ática,
2008.
[3] LIMA, Elon Lajes. A Matemática do Ensino Médio, vol. 1 Rio de
Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
Samuel Lima Picanço
Escola de Ciências Exatas e da Computação,
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
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E-mail: [email protected]
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