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Índice
Apresentação . . . . . . . .
Dedicatória . . . . . . . . .
Prefácio à edição brasileira
Prefácio . . . . . . . . . . .
Agradecimentos . . . . . . .
Nomenclatura e notação . .
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1.1 Perspectivas globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 História da computação quântica e informação quântica . . . . . .
1.1.2 Direções futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bits quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Muitos qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Computação quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Portas de 1 qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Portas de múltiplos qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Medidas em bases diferentes da base computacional . . . . . . . .
1.3.4 Circuitos quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Circuito para copiar qubit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Exemplo: estados de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Exemplo: teleporte quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Algoritmos quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Computação clássica em um computador quântico . . . . . . . . .
1.4.2 Paralelismo quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 O algoritmo de Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 O algoritmo de Deutsch-Jozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Resumo sobre algoritmos quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Processamento experimental da informação quântica . . . . . . . . . . . .
1.5.1 O experimento de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Perspectivas para o processamento prático da informação quântica
1.6 Informação quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Teoria da informação quântica: exemplos de problemas . . . . . .
1.6.2 Informação quântica em um contexto mais amplo . . . . . . . . . .
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1 Introdução e panorama geral
2 Introdução à mecânica quântica
2.1 Álgebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bases e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Operadores lineares e matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 As matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Produtos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Autovetores e autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Operadores adjuntos e hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Produtos tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Funções de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 O comutador e o anticomutador . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 A decomposição polar e a decomposição em valores singulares .
iii
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ii
x
xi
xii
xvi
xvii
1
2
2
12
13
16
17
17
20
21
22
23
24
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28
29
31
32
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40
41
44
48
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56
59
60
61
62
64
64
67
68
71
75
77
79
Índice
iv
2.2
Os postulados da mecânica quântica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.2.1
Espaço de estados
2.2.2
Evolução
2.2.3
Medidas quânticas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
2.2.4
Distinção entre estados quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.2.5
Medidas projetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.2.6
Medidas POVM
91
2.2.7
Fase
2.2.8
Sistemas compostos
2.2.9
Mecânica quântica: uma visão geral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3
Aplicação: codicação superdensa
2.4
O operador densidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1
`Ensembles' de estados quânticos
2.4.2
Propriedades gerais do operador densidade
2.4.3
O operador densidade reduzido
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Decomposição de Schmidt e puricações
2.6
EPR e desigualdade de Bell
3.2
3.3
Máquinas de Turing
3.1.2
Circuitos
103
108
112
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
123
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3.1.1
101
101
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3 Introdução à ciência da computação
Modelos de computação
95
95
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
3.1
82
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A análise de problemas computacionais
125
126
132
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
3.2.1
Como quanticar recursos computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
3.2.2
Complexidade computacional
3.2.3
Problemas de decisão e as classes de complexidade P e NP
3.2.4
Um mundo de classes de complexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
3.2.5
Energia e computação
154
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Perspectivas em ciência da computação
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Circuitos quânticos
140
142
162
171
4.1
Algoritmos Quânticos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
4.2
Operações sobre um qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
4.3
Operações controladas
178
4.4
Medidas
4.5
Portas quânticas universais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1
Portas unitárias de dois níveis são universais
4.5.2
Portas de 1 qubit e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
4.5.3
Um conjunto discreto de operações universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
4.5.4
Diculdade na aproximação de portas unitárias arbitrárias . . . . . . . . . . . . . .
196
4.5.5
Complexidade computacional quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cnot são universais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6
Resumo do modelo de circuitos de computação quântica
4.7
Simulação de sistemas quânticos
198
200
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
4.7.1
Simulação em ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
4.7.2
O algoritmo de simulação quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
4.7.3
Um exemplo ilustrativo
4.7.4
Perspectivas para as simulações quânticas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
A transformada de Fourier quântica
5.2
Estimativa de fase
5.2.1
5.4
187
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 A transformada de Fourier quântica e suas aplicações
5.3
184
186
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
216
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
Desempenho e condições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
Aplicações: busca de ordem e fatoração
5.3.1
Aplicação: busca de ordem
5.3.2
Aplicação: fatoração
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicações gerais da transformada de Fourier quântica
5.4.1
207
209
231
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
Busca de período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
v
Índice
5.4.2
5.4.3
5.4.4
Logaritmo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
O problema do subgrupo oculto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
E outros algoritmos quânticos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6 Algoritmos quânticos de busca
6.1 O algoritmo quântico de busca . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 O oráculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 A rotina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Visualização geométrica . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 A busca quântica como uma simulação . . . . . . . . . .
6.3 Contagem quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Acelerando as soluções de problemas NP-completos . . .
6.5 Busca quântica em um banco de dados não-estruturado
6.6 Otimização do algoritmo de busca . . . . . . . . . . . .
6.7 Limites para algoritmos com `caixas-pretas' . . . . . . .
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8.1 Ruído clássico e processos markovianos . . . . . . . . . . . .
8.2 Operações quânticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Panorama geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 O ambiente e as operações quânticas . . . . . . . . .
8.2.3 Representação de operador-soma . . . . . . . . . . .
8.2.4 Abordagem axiomática para as operações quânticas
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7 Computadores quânticos: implementação experimental
7.1 Princípios gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Condições para a computação quântica . . . . . . . . . . .
7.2.1 Representação da informação quântica . . . . . . .
7.2.2 A realização das transformações unitárias . . . . .
7.2.3 Preparação dedigna de estados iniciais . . . . . .
7.2.4 Medida do resultado na saída . . . . . . . . . . . .
7.3 O computador quântico de oscilador harmônico . . . . . .
7.3.1 Aparato experimental . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 O hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Computação quântica . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Desvantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 O computador quântico óptico . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Equipamento experimental . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Computação quântica . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Desvantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Eletrodinâmica quântica de cavidades ópticas . . . . . . .
7.5.1 Dispositivo experimental . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 O hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3 Absorção e refração de átomos e fótons individuais
7.5.4 Computação quântica . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Armadilhas iônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Equipamento experimental . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 O hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.3 Computação quântica . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.4 O experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Ressonância magnética nuclear . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Equipamento experimental . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 O hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 Computação quântica . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.4 O experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Outros esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Ruído quântico e operações quânticas
247
247
247
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vi
Índice
8.3 Exemplos de ruído quântico e operações quânticas . . . . . . . . .
8.3.1 Traço e traço parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Descrição geométrica de operações quânticas sobre 1 qubit .
8.3.3 Canais de inversão de bit e inversão de fase . . . . . . . . .
8.3.4 Canal de despolarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.5 Atenuação de amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.6 Atenuação de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Aplicações das operações quânticas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Equações mestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Tomograa de processo quântico . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Limitações do formalismo de operações quânticas . . . . . . . . . .
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10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 O código de três qubits para inversão de bit . . . . . . . . . . .
10.1.2 Código de três qubits para inversão de fase . . . . . . . . . . .
10.2 O código de Shor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Teoria da correção quântica de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Discretização dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Modelos de erros independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Códigos degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.4 O limite quântico de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Construindo códigos quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Códigos lineares clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Os códigos de Calderbank-Shor-Steane . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Códigos estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 O formalismo de estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.2 Portas unitárias e o formalismo de estabilizadores . . . . . . . .
10.5.3 Medidas segundo o formalismo de estabilizadores . . . . . . . .
10.5.4 O teorema de Gottesman-Knill . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.5 Construção de códigos estabilizadores . . . . . . . . . . . . . .
10.5.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.7 Forma padrão de um código estabilizador . . . . . . . . . . . .
10.5.8 Circuitos quânticos para a codicação, decodicação e correção
10.6 Computação quântica resistente a falhas . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1 Resistência a falhas: quadro geral . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.2 Lógica quântica resistente a falhas . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.3 Medidas resistentes a falhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.4 Elementos de computação quântica robusta . . . . . . . . . . .
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9 Normas de distância em informação quântica
9.1 Normas de distância em informação clássica .
9.2 Quão próximos são dois estados quânticos? .
9.2.1 Distância de traço . . . . . . . . . . .
9.2.2 Fidelidade . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Relação entre as normas de distância .
9.3 Qual o grau de preservação da informação em
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
um canal quântico?
10 Correção quântica de erro
11 Entropia e informação
11.1 A entropia de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Propriedades básicas da entropia . . . . . . . . . .
11.2.1 A entropia binária . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 A entropia relativa . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Entropia condicional e informação mútua .
11.2.4 A desigualdade de processamento de dados
11.3 A entropia de Von Neumann . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Entropia relativa quântica . . . . . . . . . .
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517
vii
Índice
11.3.2 Propriedades básicas da entropia . . . . . . . . .
11.3.3 Medidas e entropia . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.4 Sub-aditividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.5 Concavidade da entropia . . . . . . . . . . . . . .
11.3.6 A entropia de uma mistura de estados quânticos
11.4 Sub-aditividade forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Demonstração da sub-aditividade forte . . . . . .
11.4.2 Sub-aditividade forte: aplicações elementares . .
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12.1 Distinção entre estados quânticos e a informação acessível . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 O limite de Holevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Aplicações do limite de Holevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Compressão de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Teorema de Shannon para a codicação em canais sem ruído . . . . . . .
12.2.2 Teorema de Schumacher para a codicação em canais quânticos sem ruído
12.3 Informação clássica em canais ruidosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Comunicação através de canais clássicos ruidosos . . . . . . . . . . . . . .
12.3.2 Comunicação através de canais quânticos ruidosos . . . . . . . . . . . . .
12.4 Informação quântica em canais quânticos ruidosos . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Troca de entropia e a desigualdade quântica de Fano . . . . . . . . . . . .
12.4.2 A desigualdade quântica de processamento de dados . . . . . . . . . . . .
12.4.3 O limite quântico de Singleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.4 Correção quântica de erro, refrigeração e o demônio de Maxwell . . . . . .
12.5 O emaranhamento como um recurso físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Transformações de estados emaranhados puros de dois parceiros . . . . .
12.5.2 Destilação e diluição de emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.3 Destilação de emaranhamento e correção quântica de erro . . . . . . . . .
12.6 Criptograa quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1 Criptograa de chave privada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.2 Amplicação de privacidade e reconciliação de informação . . . . . . . . .
12.6.3 Distribuição de chave quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.4 Privacidade e informação coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.5 A segurança na distribuição de chave quântica . . . . . . . . . . . . . . .
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12 Teoria da informação quântica
1 Noções básicas de teoria de probabilidade
2 Teoria de grupos
A2.1 Denições básicas . . . . . . . . . . .
A2.1.1 Geradores . . . . . . . . . . .
A2.1.2 Grupos cíclicos . . . . . . . .
A2.1.3 Espaços-quociente . . . . . .
A2.2 Representações . . . . . . . . . . . .
A2.2.1 Equivalência e redutibilidade
A2.2.2 Ortogonalidade . . . . . . . .
A2.2.3 A representação regular . . .
A2.3 Transformadas de Fourier . . . . . .
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3 O teorema de Solovay-Kitaev
4 Teoria dos números
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A4.1 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A4.2 Aritmética modular e o algoritmo de Euclides
A4.3 Redução da fatoração à busca de ordem . . .
A4.4 Frações contínuas . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Criptograa de chave pública e o sistema criptográco RSA
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LEEE
6 Demonstração do teorema de Lieb
Índice
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