1 Trigonometria

1
Trigonometria
2
Atividade de diagnóstico
6.
Pág. 10
b
c
b
1.1. sin α = , cos α = e tan α =
a
a
c
30 3
40 4
30 3
1.2. a) sin α =
= ; cos α =
= e tan α =
=
50 5
50 5
40 4
4,5 3
6
4
4,5 3
b) sin α =
= ; cos α =
= e tan α =
=
6
4
7,5 5
7,5 5
Logo, h =
6.1.
6.2.
2.1.
sin 25° = cos ( 90° − 25° ) = cos 65°
2.2.
cos ( a − 30° ) = sin 90° − ( a − 30° )  = sin ( 90° − a + 30° ) =
= sin (120° − a )
3.
1
3
1
h 2 +   = 12 ⇔ h 2 = 1 − ⇔ h 2 =
4
4
2
7.
1
AM 2 1
sin 30° =
= =
AC 1 2
1
AM
2
3
tan 30° =
= 2 =
=
3
MC
3 2 3
2
2
4
5
2
sin 2 α +   = 1 ⇔ sin 2 α = 1 − ⇔ sin 2 α =
9
9
3
5
sin α
5
3
tan α =
=
=
2
cos α
2
3
4.1.
4.2.
4.3.
5,2
≈ 0,9
32,33
8.
α ≈ tan −1 ( 2 ) ≈ 63, 4°
9.1.
BC = 42 + 32
2
BC = 16 + 9 ⇔ BC = 5
BC = 5 cm
sin 2 α
tan α = 25 ⇔
= 25 ⇔ sin 2 α = 25cos 2 α
cos 2 α
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇔
⇔ 25cos 2 α + cos 2 α = 1 ⇔
⇔ 26cos 2 α = 1 ⇔
1
⇔ cos 2 α =
26
(
)
ˆ =3
9.2. a) tan CBA
4
2
Como cos α > 0 , então cos α =
2,3
2,3
≈ 0, 4 ; sin α =
≈ 0,4 e
5, 2
32,33
cos α =
5
.
3
Como sin α > 0, sin α =
BC > 0
2
BC = 2,32 + 5, 22 ⇔ BC = 32,33
tan α =
sin 2 α + cos 2 α = 1
3
.
2
ˆ = tan −1  3  ≈ 36,9° .
Logo, CBA
 
4
ˆ = 90° − CBA
ˆ ≈ 90° − 36,87° ≈ 53,1°
b) ACB
ˆ = 90° − 20° = 70°
10.1. ACB
1
26
.
=
26
26
10.2.
AC
AC
= tan 20° ⇔
= tan 20° ⇔ AC = 6 × tan 20°
6
AB
sin 2 α = 25cos 2 α
1 25
sin 2 α = 25 ×
=
26 26
AC ≈ 2, 2 cm
5
5 26
Como sin α > 0 , então sin α =
=
.
26
26
BC ≈ 6, 4 cm
2sin α × cos α = 2 ×
AB
6
= cos 20° ⇔ 6 = BC × cos 20° ⇔ BC =
cos 20°
BC
5 26
26 2 × 5 × 26 10 5
×
=
=
=
26
26
26 × 26
26 13
Atividade inicial 1
Pág. 12
h
= sin 82º ⇔ h = 81sin 82º
81
h
= sin 58º ⇔ h = a sin 58º
a
a sin 58º = 81sin 82º ⇔
81sin 82º
⇔a=
⇒ a ≈ 94,6
sin 58º
Pág. 11
5.1.
sin 60° − 2 tan 45° + cos 2 45° =
2
5.2.
=
 2
3
− 2 × 1 + 
 =
2
 2 
=
3
1
3 3
3 −3
−2+ =
− =
2
2
2 2
2
A distância a percorrer entre S. Jorge e a Ilha Terceira é de
94,6 km, aproximadamente.
sin 2 45° + cos 2 60° + tan 3 45° =
2
 2   1 2 3
= 
 +   + 1 =
 2  2
1 1
7
= + +1 =
2 4
4
Pág. 14
1.1.
5
A = 180° − 60° − 45° = 75°
sin 75° sin 45° sin 60°
=
=
4
b
c
1.1. Resolução de triângulos
5.1.
2
4×
4 × sin 45°
2 2
2
b=
=
=
≈ 2,928
sin 75°
sin 75° sin 75°
cos A =
AC ≈ 2,9 cm
AB ≈ 3,6 cm
 44,79 
B = cos −1 
 ≈ 54,32°
 76,8 
B = 180° − 63° − 82° = 35°
sin 82° sin 63° sin 35°
=
=
16
a
b
16sin 35°
a=
≈ 14,396
sin 82°
cos c =
a 2 + b 2 − c 2 4,8 + 6,52 − 82 1,29
=
=
2ab
2 × 4,8 × 6,5
62,4
 1, 29 
c = cos −1 
 ≈ 88,82°
 62, 4 
A ≈ 36,86°, B ≈ 54,32° e C ≈ 88,82°
BC ≈ 14, 4 cm
16sin 35°
b=
≈ 9,267
sin 82°
5.2.
AC ≈ 9,3 cm
1.3.
b 2 + c 2 − a 2 6,52 + 82 − 4,82 83,21
=
=
2bc
2 × 6,5 × 8
104
 83, 21 
A = cos −1 
 ≈ 36,86°
 104 
a 2 + c 2 − b 2 4,82 + 82 − 6,52 44,79
cos B =
=
=
2ac
2 × 4,8 × 8
76,8
3
4×
4 × sin 60°
2 3
2
c=
=
=
≈ 3,586
sin 75°
sin 75° sin 75°
1.2.
a = 4,8 ; b = 6,5 e c = 8
A = 180° − 85° − 15° = 80°
sin 85° sin 80° sin15°
=
=
20
a
c
20 × sin 80°
a=
≈ 19,771
sin 85°
a =3,b =c=5
b 2 + c 2 − a 2 52 + 52 − 32 41
cos A =
=
=
2bc
2×5×5
50
 41 
A ≈ cos −1   ≈ 34,92°
 50 
Como b = c, temos B = C .
180° − 34,92°
B=C =
= 72,54°
2
A ≈ 34,92°, B ≈ 72,54° e C ≈ 72,54°
BC ≈ 19,8 cm
20 × sin15°
c=
≈ 5,196
sin 85°
AB ≈ 5,2 cm
Pág. 19
2.
3.
Pág. 15
1
sin150° + sin 30° + sin 90° = sin (180° − 30° ) + + 1 =
2
3 1 3
= sin 30° + = + = 2
2 2 2
6.
A = 101°, a = BC , b = 7 cm, c = 12 cm
6.1.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 7 2 + 122 − 2 × 7 × 12 × cos101° ≈
≈ 225,056
a ≈ 225,056 ≈ 15,0
BC ≈ 15,0 cm
6.2.
180º −20º −25º = 135º
sin 20° sin135° sin 25°
=
=
55
a
b
55 × sin135°
a=
≈ 113,7
sin 20°
55 × sin 25°
b=
≈ 68,0
sin 20°
cos B =
a 2 + c 2 − b 2 225,0559 + 122 − 7 2
≈
≈ 0,8889
2ac
2 × 225,0559 × 12
B ≈ cos −1 ( 0,8889 ) ≈ 27,3°
ˆ ≈ 27,3°
CBA
7.
Logo, AC ≈ 68,0 cm e BC ≈ 113,7 cm.
cos120° − sin150° + cos90° =
= cos (180° − 60° ) − sin (180° − 30° ) + 0 =
1 1
= − cos 60° − sin 30° = − − = −1
2 2
Pág. 17
4.1.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Pág. 20
a = 3 + 5 − 2 × 3 × 5cos 26º ⇔
2
2
8.1. a = 7 cm, b = 8 cm e c = 9 cm
b 2 + c 2 − a 2 82 + 9 2 − 7 2 96 2
cos A =
=
=
=
2bc
2×8×9
144 3
2
A = cos −1   ≈ 48, 2°
3
2
⇔ a 2 = 34 − 30cos 26º ⇒
⇒ a 2 ≈ 7,0362
BC = a ≈ 7,0362 ≈ 2,7
a 2 + c 2 − b 2 7 2 + 92 − 82 66 11
=
=
=
2ac
2×7×9
126 21
 11 
B = cos −1   ≈ 58, 4°
 21 
cos B =
BC ≈ 2,7 cm
4.2.
cos B =
a 2 + c 2 − b 2 2,7 2 + 52 − 32
≈
≈ 0,8626
2ac
2 × 2,7 × 5
B ≈ cos −1 ( 0,8626 ) ≈ 30,4º
cos C =
6
a 2 + b 2 − c 2 7 2 + 82 − 92 32 2
=
=
=
2ab
2× 7×8
112 7
1.1. Resolução de triângulos
2
C = cos −1   ≈ 73, 4°
7
A ≈ 48, 2°; B ≈ 58, 4° e C ≈ 73, 4°
9.3.
8.2. a = 5 cm, b = 8 cm e c = 5 cm
Como a = c, temos A = C.
b 2 + c 2 − a 2 82 + 52 − 52 64 4
cos A =
=
=
=
2bc
2×8×5
80 5
4
A = cos −1   ≈ 36,9°
5
C ≈ 36,9°
B ≈ 180° − 2 × 36,9° = 106,2°
A ≈ 36,9°; B ≈ 106,2° e C ≈ 36,9°
c ≈ 58,6824 ≈ 7,660
AB ≈ 7,7 cm
AB ≈ 7,7 cm, B = 40° e C = 100°
10.
(
= 6 3
b 2 + c 2 − a 2 4,52 + 5,32 − 2,82 40,5
=
=
2bc
2 × 4,5 × 5,3
47,7
a 2 + c 2 − b2
cos B =
=
2ac
a 2 + b 2 − c 2 2,82 + 4,52 − 5,32
=
=0
2ab
2 × 2,8 × 4,5
Pág. 21
11.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A =
= 62 + 7 2 − 2 × 6 × 7 × cos35° ≈
≈ 16,1912
)
2
(
+ 92 − 6 3
2 × 27 × 9
)
2
=
27 + 81 − 108
=0
18 27
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A =
= 1002 + 1502 − 2 × 100 × 150 × cos 70°
≈ 22 239,396
a ≈ 22 239,396 ≈ 149,1
A distância entre os dois balões
é de 149 m, aproximadamente.
a ≈ 16,1912 ≈ 4,0
a 2 + c 2 − b 2 16,1912 + 7 2 − 62
≈
≈ 0,5182
2ac
2 16,1912 × 7
Pág. 22
B = cos −1 ( 0,5182 ) ≈ 58,8°
12.1. A = 72°; C = 48° e c = 50 cm
a 2 + b 2 − c 2 16,1912 + 62 − 7 2
=
≈ 0,0661
2ab
2 × 16,1912 × 6
B = 180° − 72° − 48° = 60°
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
sin 72° sin 60° sin 48°
=
=
a
b
50
50 × sin 72°
≈ 63,989
a=
sin 48°
50sin 60°
b=
≈ 58, 268
sin 48°
P[ABC] ≈ ( 63,989 + 58, 268 + 50 ) cm ≈ 172,3 cm
C ≈ cos −1 ( 0,0661) ≈ 86,2°
BC ≈ 4,0 cm; B ≈ 58,8° e C ≈ 86, 2°
B = 15° , a = 5 cm e c = 8 cm
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B =
= 52 + 82 − 2 × 5 × 8 × cos15° ≈ 11,7259
b ≈ 11,7259 ≈ 3,424
AC ≈ 3, 4 cm
12.2. A = 25°, C = 130° e b = 12 cm
b 2 + c 2 − a 2 11,7259 + 82 − 52
=
≈ 0,9258
2bc
2 11,7259 × 8
B = 180° − 25° − 130° = 25°
A ≈ cos −1 ( 0,9258 ) ≈ 22, 2°
cos C =
27
BC = 3 3 cm, B = 90° e C = 60°
A = 35°, b = 6 cm e c = 7 cm
cos A =
(
C = 90° − 30° = 60°
A ≈ 31,9°; B ≈ 58,1° e C = 90°
9.2.
3
=
2
B = cos −1 ( 0 ) = 90° (O triângulo [ABC] é retângulo em B.)
C = cos −1 ( 0 ) = 90°
cos C =
+ 9 2 − 2 × 6 3 × 9 × cos30° =
a = 27 = 3 3
 15,68 
B = cos −1 
 ≈ 58,1°
 29,68 
cos B =
2
= 27
a 2 + c 2 − b 2 2,82 + 5,32 − 4,52 15,68
=
=
cos B =
2ac
2 × 2,8 × 5,3
29,68
9.1.
)
= 108 + 81 − 2 × 54 3 ×
 40,5 
A = cos −1 
 ≈ 31,9°
 47,7 
cos C =
A = 30°, b = 6 3 e c = 9
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A =
8.3. a = 2,8 cm; b ≈ 4,5 cm e c ≈ 5,3 cm
cos A =
A = 40° e a = b = 5 cm
O triângulo [ABC] é isósceles.
B = A = 40°
C = 180° − 2 × 40° = 100°
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C =
= 52 + 52 − 2 × 5 × 5 × cos100° ≈ 58,6824
O triângulo [ABC] é isósceles: BC = AC = 12 cm
a 2 + b 2 − c 2 52 + 11,7259 − 82
=
≈ −0,7965
2ab
2 × 5 × 11,7259
a = 12 cm
sin130° sin 25°
12 × sin130°
=
⇔c=
≈ 21,751
c
12
sin 25°
P[ABC] ≈ (12 + 12 + 21,751) ≈ 45,8 cm
C ≈ cos −1 ( −0,7965 ) ≈ 142,8°
AC ≈ 3, 4 cm; A ≈ 22, 2° e C ≈ 142,8°
7
1.1. Resolução de triângulos
13.
ˆ = 180° − 90° − 55° = 35°
CBF
ˆ = CED
ˆ = 70°
BCG
Pág. 24
sin 63° sin B
15.1.
=
6,3
7
7 × sin 63º
≈ 0,9900
sin B =
6,3
(ângulos alternos internos)
ˆ = 180° − 70° − 35° = 75°
BGC
Aplicando a lei dos senos ao triângulo
[BCG], temos:
sin 75° sin 70° sin 35°
=
=
10
BG
CG
10sin 70°
BG =
≈ 9,728
sin 75°
10sin 35°
CG =
≈ 5,938
sin 75°
Se B é um ângulo agudo,
B ≈ sin −1 ( 0,9900 ) ≈ 81,89
Se B é um ângulo obtuso,
B ≈ 180º −81,89 ≈ 98,11
Se B ≈ 81,89 , A ≈ 180º −63º −81,89º ≈ 35,11º
Se B ≈ 98,11 , A ≈ 180º −63º −98,11º ≈ 18,89º
BG ≈ 9,7 cm e CG ≈ 5,9 cm
Determinação de a = BC :
sin A sin 63°
=
a
6,3
sin 35,11º sin 63°
sin18,89º sin 63°
=
ou
=
a
6,3
a
6,3
6,3 × sin 35,11º
6,3 × sin18,89º
a≈
≈ 4,1 ou a =
≈ 2,3
sin 63°
sin 63°
Pág. 23
14.
Conclusão:
BC = 4,1 , A ≈ 35,1º e B ≈ 81,9º ou
BC = 2,3 , A ≈ 18,9º e B ≈ 98,1º
sin 55° sin C
15.2.
=
5
4
4 × sin 55°
sin C =
≈ 0,6553
5
Aplicando a lei dos senos ao triângulo [DCB]:
ˆ = 180° − 122° − 35° = 23°
CBD
sin 23° sin 35°
=
14
BC
14 × sin 35°
BC =
≈
sin 23°
≈ 20,5514
Se C é um ângulo agudo,
C ≈ sin −1 ( 0,6553) ≈ 40,94° .
Se C é um ângulo obtuso,
C = 180° − 40,94° = 139,06° .
Se C ≈ 40,94° :
B = 180° − ( 55° + 40,94° ) ≈ 84,06°
Aplicando a lei dos senos ao triângulo [ADC]:
ˆ = 180° − 126° − 34° = 20°
DAC
sin 20° sin126°
=
14
AC
14 × sin126°
AC =
≈ 33,1157
sin 20°
Se C ≈ 139,06° :
B = 180° − ( 55° + 139,06° ) ≈ 180° − 194,06° < 0
B não pode ser negativo. Logo, o problema tem apenas
uma solução: B ≈ 84,06°
Determinemos b = AC :
sin 55° sin ( 84,06° )
=
5
b
5 × sin ( 84,06° )
≈ 6,1
b=
sin 55°
b ≈ 6,1 ; B ≈ 84,1° e C ≈ 40,9°
Aplicando o Teorema de Carnot
ao triângulo [ACB]:
Pág. 25
16.1. a = 7, c = 4 e C = 12°
sin12° sin A
=
4
7
7 × sin12°
sin A =
4
≈ 0,36385
ˆ = 122° − 34° = 88°
BDA
2
2
2
AB = AC + CB − 2 AC × CB × cos88° =
≈ 33,1157 2 + 20,5514 2 − 2 × 33,1157 × 20,5514 × cos88°
≈ 1471,506
AB ≈ 1471,506 ≈ 38, 4 m
Se A é agudo:
A ≈ sin −1 ( 0,36385 ) ≈ 21,337
A distância entre A e B é aproximadamente igual a 38,4 m.
B ≈ 180° − 12° − 21,337° ≈ 146,663°
8
1.1. Resolução de triângulos
sin146,663º sin12°
=
b
4
4sin146,663º
b=
≈ 10,6
sin12°
5 × sin130°
≈ 1, 28
3
Como sin B > 1 , o triângulo [ABC] não existe.
sin B =
16.5. b = 7, c = 5 e C = 63º
sin 63° sin B
=
5
7
7sin 63°
sin B =
≈ 1, 25
5
Se A é obtuso:
A ≈ 180° − 21,337 ≈ 158,663
B ≈ 180° − 12° − 158,663° ≈ 9,337
sin 9,337° sin12°
≈
b
4
4sin 9,337°
b≈
≈ 3,1
sin12°
A = 21,3°; B = 146,7° e b = 10,6 ou
O seno de um ângulo é sempre não superior a 1.
Logo, o triângulo [ABC] não existe.
16.6. a = 3, b = 7 e c = 11
c ≥ a + b . Logo, o triângulo [ABC] não existe.
A = 158,7°; B = 9,3° e b = 3,1
16.7. A = 110º, B = 70º e c = 10
A + B ≥ 180º . Logo, o triângulo [ABC] não existe.
Também se pode usar o Teorema de Carnot.
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
16 = 49 + b 2 − 2 × 7 × b × cos12° ⇔
⇔ b 2 − 14cos12° × b + 33 = 0 ⇒
⇒ b = 10,573 ∨ b ≈ 3,121
Atividades complementares
Pág. 27
17.1. B = 180° − 43° − 55° = 82°
sin 82° sin 43° sin 55°
=
=
10
a
c
10sin 43°
a=
≈ 6,9
sin 82°
10sin 55°
c=
≈ 8,3
sin 82°
a ≈ 6,9 cm e c ≈ 8,3 cm
Para estes valores de b, determinam-se A e B.
16.2. a = 6, c = 20 e A = 25°
sin A sin C
=
a
c
sin 25 sin C
=
6
20
20 × sin 25
sin C =
≈ 1, 4
6
Como sin C > 1 , o triângulo [ABC] não existe.
17.2. C = 180° − 62° − 56° = 62°
sin 56° sin 62° sin 62°
=
=
3
a
c
3sin 62°
a=c=
≈ 3, 2
sin 56°
a = c ≈ 3, 2 cm
16.3. a = 8, b = 11 e A = 41°
sin A sin B
=
a
b
sin 41° sin B
=
8
11
11 × sin 41°
sin B =
≈ 0,90208
8
17.3. A = 180° − 80° − 85° = 15°
sin 85° sin 80° sin15°
=
=
72
b
a
72sin15°
a=
≈ 18,7
sin 85°
72sin 80°
b=
≈ 71,2
sin 85°
a ≈ 18,7 cm e b ≈ 71,2 cm
Se B é agudo:
B ≈ sin −1 ( 0,90208 ) ≈ 64, 433°
C ≈ 180° − 41° − 64,433° ≈ 74,567
sin 74,567° sin 41°
=
c
8
8 × sin 74,567º
c≈
≈ 11,8
sin 41
18.
Se B é obtuso:
B = 180° − 64, 433° = 115,567°
C = 180º −41º −115,567º = 23,433°
sin 23, 433° sin 41°
=
c
8
8 × sin 23, 433º
c≈
≈ 4,8
sin 41°
B ≈ 64, 4°; C ≈ 74,6° e c = 11,8 ou
B ≈ 115,6 ; C ≈ 23, 4° e c ≈ 4,8
ˆ = 17° − 14° = 3°
ACB
ˆ = 180° − 17° = 163°
CBA
d = AC
sin 3° sin163°
=
200
d
200sin163°
≈ 1117
d=
sin 3°
O desenho não está feito à escala.
A distância entre A e C é aproximadamente 1117 m.
16.4. b = 5, c = 3 e C = 130º
sin C sin B
=
c
b
sin130° sin B
=
3
5
19.
c = AB = 10 m
C = 105°
A = 2B
A + B + C = 180°
2 B + B + 105° = 180°
3B = 75°
9
1.1. Resolução de triângulos
B = 25° e A = 50°
20.4. a = 2,1 cm; b = 2 cm e c = 2,9 cm
b2 + c2 − a2
cos A =
=
2bc
22 + 2,92 − 2,12
=
=
2 × 2 × 2,9
8
20
=
=
11,6 29
sin105° sin 50° sin 25°
=
=
10
a
b
10sin 50°
a=
≈ 7,93
sin105°
10sin 25°
b=
≈ 4,38
sin105°
P[ ABC ] ≈ ( 7,93 + 4,38 + 10 ) m ≈ 22,3 m
 20 
A = cos −1   ≈ 46, 4°
 29 
2
a + c 2 − b 2 2,12 + 2,92 − 22 8,82 21
=
=
=
cos B =
2ac
2 × 2,1 × 2,9
12,18 29
 21 
B = cos −1   ≈ 43,6°
 29 
a 2 + b 2 − c 2 2,12 + 22 − 2,9 2
cos C =
=
=0
2ab
2 × 2,1 × 2
20.1. A = 55°, b = 5 cm e c = 4 cm
C = cos −1 ( 0 ) = 90°
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A =
= 52 + 42 − 2 × 5 × 4 × cos55° ≈
≈ 18,0569
A ≈ 46, 4° ; B = 43,6° e C = 90°
a ≈ 18,0569 ≈ 4,249
cos B =
21.
a 2 + c 2 − b 2 18,0569 + 42 − 52
≈
≈ 0, 2664
2ac
2 × 18,0569 × 4
d ≈ 139 426,639 ≈ 373,4 km
A distância entre os dois aviões é de 373,4 km,
aproximadamente.
B ≈ cos −1 ( 0, 2664 ) ≈ 74,5°
cos C =
C ≈ cos
a 2 + b 2 − c 2 18,0569 + 52 − 42
=
≈ 0,6367
2ab
2 18,0569 × 5
−1
d 2 = 250 2 + 300 2 − 2 × 250 × 300 × cos85° ≈ 139 429,639
22.
Diagonal maior:
 1
d12 = 2 2 + 42 − 2 × 2 × 4 × cos120° = 20 − 2 × 8 ×  −  = 28
 2
( 0,6367 ) ≈ 50,5°
a ≈ 4, 2 cm; B ≈ 74,5° e C ≈ 50,5°
d1 = 28 = 2 7
Diagonal menor
180° − 120° = 60°
20.2. O triângulo [ABC] é isósceles.
180° − 70°
A=B=
= 55°
2
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
= 102 + 102 − 2 × 100 × cos 70°
≈ 131,5960
d 22 = 2 2 + 42 − 2 × 2 × 4 × cos 60° = 20 − 2 × 8 ×
1
= 12
2
d 2 = 12 = 2 3
d1 = 2 7 cm e d 2 = 2 3 cm
c ≈ 131,5960 ≈ 11,5
c ≈ 11,5 cm e A = B = 55°
Pág. 28
20.3. a = 12 cm, b = 15 cm e c = 17 cm
b2 + c2 − a2
cos A =
=
2bc
152 + 17 2 − 12 2
=
=
2 × 15 × 17
370 37
=
=
510 51
 37 
A = cos −1   ≈ 43,5°
 51 
23.1. a = 2, b = 2,8 e c = 3,2
b2 + c2 − a2
cos A =
=
2bc
2,82 + 3, 22 − 22
=
=
2 × 2,8 × 3, 2
14,08 11
=
=
17,92 14
 11 
A = cos −1   ≈ 38, 21°
 14 
a 2 + c 2 − b 2 2 2 + 3, 22 − 2,82 6, 4 1
cos B =
=
=
=
2ac
2 × 2 × 3, 2
12,8 2
a 2 + c 2 − b 2 12 2 + 17 2 − 152 208 26
=
=
=
2ac
2 × 12 × 17
408 51
 26 
B = cos −1   = 59,3°
 51 
cos B =
1
B = cos −1   = 60°
2
a 2 + b 2 − c 2 22 + 2,82 − 3,22 1,6 1
cos C =
=
=
=
2ab
2 × 2 × 2,8
11, 2 7
a 2 + b 2 − c 2 122 + 152 − 17 2 80 2
=
=
=
2ab
2 × 12 × 15
360 9
2
C = cos −1   ≈ 77, 2°
9
A ≈ 43,5° ; B ≈ 59,3° e C ≈ 77, 2°
cos C =
1
C = cos −1   ≈ 81,79°
7
A ≈ 38, 21° ; B = 60° e C ≈ 81,79°
10
1.1. Resolução de triângulos
23.2. a = 15 cm, b = 8 cm e c = 9 cm
b2 + c2 − a2
cos A =
=
2bc
82 + 9 2 − 152
=
=
2×8×9
−80
5
=
=−
144
9
 5
A = cos −1  −  ≈ 123,75°
 9
24.1. a = 5,2 ; b = 3,2 e c = 6
b 2 + c 2 − a 2 3,2 2 + 62 − 5,2 2 19, 2 1
cos A =
=
=
=
2bc
2 × 3, 2 × 6
38, 4 2
1
A = cos −1   = 60°
2
ˆ
BAC = 60°
24.2.
a 2 + c 2 − b 2 152 + 9 2 − 82 242 121
=
=
=
2ac
2 × 15 × 9
270 135
 121 
B = cos −1 
 ≈ 26,32°
 135 
h
3
8 3
= sin 60° ⇔ h = 3, 2 ×
⇔h=
3, 2
2
5
25.1. A = 48°, b = 28 cm e c = 30 cm
cos B =
a 2 + b 2 − c 2 152 + 82 − 92 208 13
=
=
=
2ab
2 × 15 × 8
240 15
 13 
C = cos −1   ≈ 29,93°
 15 
A ≈ 123,75° ; B ≈ 26,32° e C ≈ 29,93°
cos C =
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A =
= 282 + 302 − 2 × 28 × 30 × cos 48°
≈ 559,861
23.3. a = 3,3 cm ; b = 5,6 cm e c = 6,5 cm
b2 + c2 − a2
cos A =
=
2×b×c
5,6 2 + 6,52 − 3,32
=
=
2 × 5,6 × 6,5
62,72 56
=
=
72,8 65
a ≈ 559,861 ≈ 23,7
cos B =
a 2 + c 2 − b 2 559,861 + 302 − 282
≈
≈ 0,476
2ac
2 559,861 × 30
B ≈ cos −1 ( 0, 476 ) ≈ 61,6°
cos C =
 56 
A = cos −1   ≈ 30,51°
 65 
a 2 + c 2 − b 2 3,32 + 6,52 + 5,62 21,78 33
cos B =
=
=
=
2ac
2 × 3,3 × 6,5
42,9 65
a 2 + b 2 − c 2 559,861 + 282 − 302
≈
≈ 0,335
2ab
2 559,861 × 28
C ≈ cos −1 ( 0,335 ) ≈ 70, 4°
a ≈ 23,7 cm, B ≈ 61,6° e C ≈ 70,4°
25.2. C = 60° , a = 7,5 cm e b = 4 cm
 33 
B = cos −1   ≈ 59, 49°
 65 
a 2 + b 2 − c 2 3,32 + 5,62 − 6,52
cos C =
=
=0
2ab
2 × 3,3 × 5,6
C = cos −1 ( 0 ) = 90°
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos 60° =
A ≈ 30,51° ; B ≈ 59,49° e C = 90°
= 7,52 + 42 − 2 × 7,5 × 4 ×
23.4. a = 3 cm, b = 5 cm e c = 7 cm
b2 + c2 − a2
cos A =
=
2bc
52 + 7 2 − 32 65 13
=
=
=
2×5×7
70 14
 13 
A = cos −1   = 21,79°
 14 
1
= 42, 25
2
c = 42,25 = 6,5
cos A =
b 2 + c 2 − a 2 42 + 6,52 − 7,52
2
1
≈
=
=
2bc
2 × 4 × 6,5
52 26
 1 
A = cos −1   ≈ 87,8°
 26 
a 2 + c 2 − b 2 7,52 + 6,52 − 4 2 82,5 11
cos B =
=
=
=
2ac
2 × 7,5 × 6,5
97,5 13
a 2 + c 2 − b 2 32 + 7 2 − 52 33 11
=
=
=
2ac
2× 3× 7
42 14
 11 
B = cos −1   = 38, 21°
 14 
cos B =
 11 
B = cos −1   ≈ 32,2°
 13 
c = 6,5 cm ; A ≈ 87,8° e B = 32, 2°
25.3. B = 46,7° ; a = 3 cm e c = 11 cm
a 2 + b 2 − c 2 32 + 52 − 7 2 −15
1
=
=
=−
2ab
2 × 3× 5
30
2
1


C = cos −1  −  = 180° − 60° = 120°
 2
A ≈ 21,79° ; B ≈ 38, 21° e C = 120°
cos C =
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac × cos B =
= 32 + 112 − 2 × 3 × 11 × cos 46,7° ≈ 84,7360
11
1.1. Resolução de triângulos
b ≈ 84,7360 ≈ 9,2
cos A =
c
= cos ( 53° ) ⇔ c = 12cos ( 53° ) ⇒ c ≈ 7, 2
12
A = 90° ; b = 9,6 cm e c ≈ 7,2 cm
b +c −a
84,7360 + 11 − 3
≈
≈ 0,9715
2bc
2 84,7660 × 11
2
2
2
2
2
A ≈ cos −1 ( 0,9715 ) ≈ 13,7°
28.
a 2 + b 2 − c 2 32 + 84,7360 − 112
cos C =
=
≈ −0,4936
2ab
2 × 3 × 84,7360
ˆ = 180° − 42° = 138°
CBA
ˆ = 42° − 33° = 9°
ACB
C ≈ cos −1 ( −0,4936 ) ≈ 119,6°
b = 9,2 cm ; A ≈ 13,7° e C ≈ 119,6°
26.
502 + 412 − 352
=
2 × 50 × 41
2956
=
4100
 2956 
α = cos −1 
 ≈ 44°
 4100 
cos α =
sin 9° sin 33°
=
20
BC
20sin 33°
BC =
sin 9°
h
= sin 42°
BC
27.1. A = 52°, B = 68° e c = 15 cm
C = 180° − 52° − 68° ≈ 60°
sin 60° sin 52° sin 68°
=
=
15
a
b
15sin 52°
a=
≈ 13,6
sin 60°
15sin 68°
≈ 16,1
b=
sin 60°
C = 60° ; a = 13,6 cm e b = 16,1 cm
h = BC × sin 42° =
20sin 33°
× sin 42° ≈ 46,6
sin 9°
O prédio tem 46,6 m de altura.
29.
27.2. B = 180° − 110° − 25° = 45°
BC = 2 × 25° = 50°
ˆ = 50°
BOC
BO = OC = 5 cm
2
BC = 52 + 52 − 2 × 5 × 5 × cos50° ≈ 17,8606
sin 45° sin110° sin 25°
=
=
8
a
c
8sin110°
a=
≈ 10,6
sin 45°
8sin 25°
c=
≈ 4,8
sin 45°
B = 45°, a ≈ 10,6 cm e c ≈ 4,8 cm
BC ≈ 17,8606 ≈ 4, 2
BC ≈ 4,2 cm
Pág. 29
30.
ˆ = 58° − 42° = 16°
ADB
Pela lei dos senos no
triângulo [BAD]:
sin16° sin 42°
=
4
AD
4sin 42°
AD =
≈ 9,7103
sin16°
27.3. A = 180° − 37° − 53° = 90°
Aplicando a lei dos
cossenos ao triângulo [ACD]:
DC ≈ 82 + ( 9,7103) − 2 × 8 × 9,7103 × cos58° ≈ 75,9591
2
O triângulo [ABC] é retângulo em A.
b
= sin 53° ⇔ b = 12sin 53° ⇒ b ≈ 9,6
12
2
DC ≈ 75,9591 ≈ 8,72
O poste mede 8,72 m, aproximadamente.
12
1.1. Resolução de triângulos
31.
2 h 30 min = 2,5 h
2,5 × 24 = 60 → O barco A percorreu 60 km.
2,5 × 20 = 50 → O barco B percorreu 50 km.
Pág. 30
1.
d 2 = 82 + 52 − 2 × 8 × 5 × cos 60° =
1
= 64 + 25 − 2 × 40 × = 49
2
d = 49 = 7
Resposta: (B)
2.
ˆ , então DOB
ˆ = α (ângulos verticalmente
Se α = COA
opostos). Seja x = BD .
d 2 = 60 2 + 502 − 2 × 60 × 50 × cos 40° ≈ 1503,733
d ≈ 1503,733 ≈ 38,778
O barco percorreu 38,778 km a uma velocidade de 24
km/h.
e
38,778
38,778
V = , logo 24 =
⇔t=
t
24
t
t ≈ 1,616 , pelo que t ≈ 1 h 37 min
0,616 × 60 = 36,96
O barco demorou 1h 37 min.
32.
cos α =
FB = a
ˆ = 180° − 59° − 83° = 38°
AFB
4 2 + 52 − 6 2
5 1
=
=
2× 4×5
40 8
1
x 2 = 62 + 42 − 2 × 6 × 4 × cos α = 36 + 16 − 48 × = 46
8
DB = x = 46 cm
sin 59° sin 38°
=
a
5
5sin 59°
a=
≈ 6,9614
sin 38°
ˆ .
Seja β = HBA
Resposta: (C)
3.
32 + 52 − 42 3
=
2× 3× 5
5
3


β = cos −1   ≈ 53,1301°
5
ˆ .
Seja α = FBH
sin 30° sin 45°
=
x
2 2
2 2 × sin 45°
x=
=
sin 30°
cos β =
2 2×
1
2
2
2 = 2× 2 = 4
Resposta: (A)
α = 83° − 53,1301° ≈ 29,8699°
4.
d = HF
d 2 ≈ 32 + 6,96142 − 2 × 3 ×
× 6,9614 × cos 29,8699° ≈
≈ 21, 2413
d ≈ 21,2413 ≈ 4,6
O helicóptero está a cerca de 4,6 km do incêndio.
33.
[ABC] é um triângulo equilátero, logo AB =
Seja [ABC] um triângulo qualquer inscrito numa
circunferência de centro O e
raio r e seja A′ o ponto da
circunferência tal que [ BA′]
360°
= 120° .
3
ˆ = 120° = 60° .
Assim, ADC
2
Pela lei dos cossenos:
2
AB = 22 + 32 − 2 × 2 × 3 × cos 60° = 4 + 9 − 6 = 7
é um diâmetro.
Então, o triângulo [ A′BC ] é
Logo, AB = 7 cm.
um retângulo em C pelo que
Resposta: (B)
BC
= sin ( BA′C ) .
BA′
5.
ˆ = 1 BC , temos
Como BC = a, BA′ = 2r e BAˆ ′C = BAC
2
a
a
= sin A , ou seja,
= 2r .
que
2r
sin A
sin 30° sin x
=
2
3
3sin 30º
sin x =
=
2
Resposta: (D)
6.
Avaliação 1
13
1
2 = 3×1 = 3
2
2 2 4
3×
1.1. Resolução de triângulos
x = 6,76 = 2,6
AB = 1, 4 + 2,6 = 4
y 2 = 32 + 4 2 − 2 × 3 × 4 × cos 60° = 9 + 16 − 12 = 13
y = 13
CB = 13 cm
ˆ = CBA
ˆ =α
BAC
2
α
2
+
α
2
10.
+ β = π ⇔ α + β = π ⇔ β = π −α
cos α =
6 2 + 52 − 4 2 45 3
=
=
2× 6×5
60 4
cos β = cos ( π − α ) = − cos α = −
3
4
Resposta: (D)
Pág. 31
7.
(1,5r )
C = 180° − 35° − 112° = 33°
sin C sin A
=
c
a
sin 33° sin 35°
=
100
a
100 × sin 35°
a=
≈ 105,3
sin 33°
2
= r 2 + r 2 − 2 × r × r × cos α
2, 25r 2 = 2r 2 − 2r 2 cos α
2r 2 cos α = 2r 2 − 2,25r 2
−0, 25r 2
⇔
2r 2
0, 25
1
⇔ cos α = −
⇔ cos α = −
2
8
cos α =
A distância de B a C é de 105,3 m, aproximadamente.
11.
O triângulo [ABC] é retângulo em C.
8.
2
AC = 12 2 + 352
AC = 144 + 1225 = 1369 = 37
Pela lei dos cossenos, se AD = x cm:
37 2 = x 2 + 332 − 2 x + 33 × cos 60° ⇔
⇔ x 2 − 33 x − 280 = 0 ⇔
ˆ = 180° − 82° − 84° = 14°
BCA
sin14° sin 84
=
(Lei dos senos no triângulo [ABC])
100
AC
100sin 84
AC =
≈ 411,092
sin14
DC
= tan 9°
AC
⇔x=
( −33)
2
− 4 × ( −280 )
2
⇔ x = 40 ∨ x = −7
(O triângulo [ACD] é retângulo em C.)
Como x > 0, temos AD = 40 cm.
DC
≈ tan 9° ⇒ DC ≈ 411,092 × tan 9° ⇒ DC ≈ 65
411,092
A torre tem 65 m de altura, aproximadamente.
9.
33 ±
Seja x = CD e y = CB .
x 2 = 32 + 1, 42 − 2 × 3 × 1,4 × cos 60° = 6,76
14
⇔
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
Pág. 38
Atividade inicial 2
Pág. 32
4.
1.1. C
1.2. E
1.3. F
1.4. B
1.5. D
1.6. D
2.
Rotação de centro O e amplitude 60° de sentido positivo ou
rotação de centro O e amplitude 300° de sentido negativo
ˆ
α = BAC
cos α =
(
52 + 52 − 5 3
)
2
=
2×5×5
50 − 75
25
1
=
=− =−
50
50
2
 1
cos −1  −  = 180° − 60° = 120°
 2
360° − 120° = 240°
α = −120° e α = 240°
Pág. 33
1.1. C
1.2. α = 90° ou α = −270°
Pág. 35
Pág. 40
2.1. a) 225° : 45° = 5
5.1.
ɺ
Lado extremidade: OF
b) 135° : 45° = 3
ɺ
Lado extremidade: OF
2.2. a) 1575° = 135° + 4 × 360°
1575
135
360°
α é do 3.º quadrante
sin α < 0 e cos α < 0
4
ɺ
Lado extremidade: OD
b) −1170° = −90° − 3 × 360°
1170°
90°
5.2.
360°
3
ɺ
Lado extremidade: OG
Pág. 37
3.
α é do 4.º quadrante
sin α < 0 e cos α > 0
120° − 90° = 30°
5.3.
3.1. 1170° = 90° + 3 × 360°
O transformado do ponto A é o ponto B.
3.2.
3.3.
1170
90
360
5.4.
3
900° = 180° + 2 × 360°
900
360
O transformado do ponto A é o ponto D.
180
2
600
360
240
1
600° = 240° + 360°
240° = 180° + 60°
α é do 2.º quadrante
sin α > 0 e cos α < 0
α é do 2.º quadrante
sin α > 0 e cos α < 0
O transformado do ponto A é o ponto E.
3.4.
−1530° = −90° − 4 × 360°
O transformado do ponto A é o ponto F.
3.5.
−840° = −120° − 2 × 360°
O transformado do ponto A é o ponto E.
3.6.
−1080° = −3 × 360°
O transformado do ponto A é o ponto A.
1530
90
840
120
1080
0
6.
α é do 1.º quadrante
6.1. α ∈ 1.º Q; sin α > 0
α + 180° ∈ 3.º Q; cos (α + 180° ) < 0
360
4
sin α + cos (α + 180° ) < 0
360
O sinal é negativo.
6.2. α + 90° ∈ 2.º Q; cos (α + 90° ) < 0
2
α − 90° ∈ 4.º Q; tan (α − 90° ) < 0
360
cos (α + 90° ) × tan (α − 90° ) > 0
3
O sinal é positivo.
15
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
6.3. α − 90° ∈ 4.º Q; cos (α − 90° ) > 0
3
2
1
cos 780° = cos 60° =
2
sin 780° = sin 60° =
α + 90° ∈ 2.º Q; sin (α + 90° ) > 0
cos (α − 90° ) + sin (α + 90° ) > 0 .
O sinal é positivo.
6.4. α + 180° ∈ 3.º Q; tan (α + 180° ) > 0
tan 780° = tan 60° = 3
1470
α − 90° ∈ 4.º Q; − sin (α − 90° ) > 0
8.3. 1470° = 30° + 4 × 360°
1470° = ( 30°, 4 )
tan (α + 180° ) − sin (α − 90° ) > 0
O sinal é positivo.
sin1470° = sin 30° =
Pág. 42
7.1.
 3 1
P ( cos30°, sin 30° ) ou P 
, 
2
 2

3
M (1 , tan 30° ) ou M  1 ,

3 

9.1.
Q é a imagem de P pela reflexão central de centro O. Logo,

3
1
Q  −
, − 
2
 2
ˆ
7.2. AOQ = 180° + 30° = 210°
3
2
tan1470° = tan 30° =
3
3
495° = 135° + 360°
495 = (135° , 1)
= − cos 45° = −
9.2.
2
2
840° = 120° + 2 × 360°
840° = (120° , 2 )
840
360
120
2
sin 840° = sin120° = sin (180° − 60° ) =
3
2
3
2
cos840° = cos120° = cos (180° − 60° ) =
= sin 60° =

3 1
R  −
, 
2
 2
1
2
9.3. 1230° = 150° + 3 × 360°
1230° = (150° , 3)
= − cos 60° = −
7.4. S é a imagem de R pela reflexão central de centro O.
 3
1
Logo, S tem coordenadas 
, −  .
2
 2
ˆ
Portanto, como POS = 360° − 30° = 330° , temos
= − cos30° = −
45
cos 765° = cos 45° =
2
2
tan 765° = tan 45° = 1
780° = 60° + 2 × 360°
780° = ( 60° , 2 )
3
2
9.4. 1170° = 90° + 3 × 360°
1170° = ( 90°, 3)
765
2
2
3
1
2
cos1230° = cos150° = cos (180° − 30° ) =
1170
90
360
3
sin1170° = sin 90° = 1
cos1170° = cos90° = 0
Pág. 43
sin 765° = sin 45° =
150
360
= sin 30° =
7.5. N é a imagem de M pela reflexão de eixo Ox.

3
Logo, N  1 , −
.
3 

765° = 45° + 2 × 360
765° = ( 45° , 2 )
1230
sin1230° = sin150° = sin (180° − 30° ) =
1
3
sin 330° = − e cos330° =
.
2
2
8.2.
cos1470° = cos30° =
2
2
cos 495° = cos135° = cos (180° − 45° ) =
1
sin150° = sin (180° − 30° ) = sin 30° =
2
8.1.
1
2
= sin 45° =
3
1
cos 210° = −
e sin 210° = − .
2
2
R ( cos150° , sin150° )
cos150° = cos (180° − 30° ) = − cos30° = −
360
4
sin 495° = sin135° = sin (180° − 45° ) =

3
1
Logo, como Q tem coordenadas  −
, −  , então
2
2

7.3.
30
360
2
Pág. 45
10.1.
780
60
Graus
Rad
180
–––– π
135
–––– x
135π 3π
x=
=
180
4
360
2
16
135° =
3π
rad
4
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
°
22 30 

10.9. 39° 22′ 30′′ =  39 +
+ 2  = 39,375°
60 60 

10.2.
Graus
Rad
180
–––– π
270
–––– x
270π 3π
x=
=
180
2
3π
180° =
rad
2
Graus
Rad
180
–––– π
39,375 –––– x
39,375π 7 π
x=
=
180
32
7π
39° 22′ 30′′ =
rad
32
10.3.
Graus
Rad
180
–––– π
150
–––– x
150π 5π
x=
=
180
6
5π
150° =
rad
6
11.1.
Graus
180
x
Rad
––––
––––
π
2π
3
2π
180 ×
3 = 120
x=
10.4.
π
Graus
Rad
180
–––– π
330
–––– x
330π 11π
x=
=
180
6
11π
330° =
6
2π
rad = 120°
3
11.2.
Graus
180
x
10.5.
Rad
––––
––––
π
5π
6
5π
180 ×
6 = 150
x=
Graus
Rad
180
–––– π
450
–––– x
450π 5π
x=
=
180
2
5π
450° =
rad
2
π
5π
rad = 150°
6
11.3.
Graus
180
x
10.6.
Graus
Rad
180
–––– π
252
–––– x
252π 7 π
x=
=
180
5
7π
252° =
5
Rad
––––
––––
π
5π
4
5π
180 ×
4 = 225
x=
π
5π
rad = 225°
4
11.4.
10.7.
Graus
180
x
Graus
Rad
180
–––– π
202,5 –––– x
202,5π 9π
9π
x=
=
; 202,5° =
rad
180
8
8
Rad
––––
––––
π
5π
8
5π
180 ×
8 = 112,5 ; 5π rad = 112,5°
x=
π
8
12.1.
10.8. 337º 30′ = 337,5º
Graus
Rad
180
–––– π
x
–––– 8
180 × 8
x=
≈ 458,366 24
Graus
Rad
180
–––– π
337,5 –––– x
337,5π 15π
x=
=
180
8
15π
337,5° =
8
π
0,366 24 × 60 ≈ 21,9744
0,9744 × 60 ≈ 58
8 rad ≈ 458° 21′ 58′′
17
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
12.2.
2
Graus
180
x
1
1
sin 2 α +   = 1 ⇔ sin 2 α = 1 −
⇔
25
5
Rad
π
8π
––––
––––
⇔ sin 2 α =
24
24
⇔ sin α = ±
25
5
7
8π
180 ×
7 ≈ 205,714 29
x=
Como α ∈ 4.º Q, sin α < 0 . Logo, sin α = −
0,714 29 × 60 ≈ 42,8574
tan α =
π
0,857 × 60 ≈ 51
8π
rad ≈ 205° 42′ 51′′
7
2 6
e tan α = −2 6
5
24
13.3. tan α = −
e α ∈ 2.º Q
7
1
1 + tan 2 α =
cos 2 α
Rad
π
5π
––––
––––
2 6
5 = −2 6
1
5
sin α = −
12.3.
Graus
180
x
−
2 6
.
5
11
5π
180 ×
11 ≈ 81,818 18
x=
2
1
576
1
 24 
1+ −  =
⇔1+
=
⇔
cos 2 α
49 cos 2 α
 7 
1
625
49
⇔
=
⇔ cos 2 α =
⇔
cos 2 α
49
625
7
⇔ cos α = ±
25
π
0,818 18 × 60 ≈ 49,0908
0,0908 × 60 ≈ 5
5π
rad ≈ 81° 49′ 5′′
11
Como α ∈ 2.º Q, cos α < 0 . Logo, cos α = −
Graus
Rad
180
–––– π
x
–––– 2,4
180 × 2,4
≈ 137,509 87
x=
sin 2 α + cos 2 α = 1
49
49
sin 2 α +
= 1 ⇔ sin 2 α = 1 −
⇔
625
625
576
24
⇔ sin 2 α =
⇔ sin α = ±
625
25
0,509 87 × 60 ≈ 30,5922
Como α ∈ 2.º Q, sin α > 0 . Logo, sin α =
12.4.
π
0,5922 × 60 ≈ 36
cos α = −
2,4 rad ≈ 137° 30′ 36′′
Pág. 47
14.
sin α
tan α =
=
cos α
cos α = −
−
1
3
2
1
8
 1
2
2
2
 −  + cos α = 1 ⇔ cos α = 1 − ⇔ cos α = ⇔
3
9
9
 
⇔ cos α = ±
2 2
3
=
1
e α ∈ 4.º Q.
3
sin 2 α + cos 2 α = 1
8
3
−
ˆ .
Seja α = BOP
P ( cos α , sin α ) e A (1 , tan α )
Portanto, sin α = −
2
 1
2
 −  + cos α = 1 ⇔
 3
1
8
⇔ cos 2 α = 1 − ⇔ cos 2 α = ⇔
9
9
Como α ∈ 3.º Q, cos α < 0 . Logo, cos α = −
24
.
25
7
24
e sin α =
.
25
25
Pág. 46
1
13.1. sin α = − e α ∈ 3.º Q
3
sin 2 α + cos 2 α = 1
⇔ cos α = ±
7
.
25
2 2
.
3
2 2
3
Como α ∈ 4.º Q, então cos α =
2 2
.
3
1
−
sin α
3
2
tan α =
= 3 =−
=−
cos α 2 2
4
3× 2 2
3
3
2
=
4
3× 2 2
2 2
2
e tan α =
3
4

2
A  1 , −
 ;
4


1
e α ∈ 4.º Q
5
sin 2 α + cos 2 α = 1
13.2. cos α =
OC = BA =
2
4

2
O ponto C tem coordenadas  0 ,
.
4 

18
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
15.1.
sin 2 x
1 − cos 2 x
=
=
1 − cos x 1 − cos x
(1 − cos x )(1 + cos x ) =
=
(1 − cos x )
π
π
2
 3π 
 4π π 

−  = cos  π −  = − cos = −
16.5. cos   = cos 
4
4
2
 4 
 4 4

11π
 11π 
 12π π 
16.6. tan  −
= − tan 
− =
 = − tan
6
6
 6 
 6
= 1 + cos x
1 + sin x (1 + sin x )(1 − sin x )
15.2.
=
=
cos x
cos x (1 − sin x )
=
=
π
3

 π
 π
= − tan  2π −  = − tan  −  = tan   =
6
6
6
3




 
7π
 7π 
 8π π 
16.7. sin  −  = − sin
= − sin 
− =
4
 4 
 4 4
1 − sin 2 x
=
cos x (1 − sin x )
π

 π
= − sin  2π −  = − sin  −  =
4

 4
2
cos x
cos x
=
cos x (1 − sin x ) 1 − sin x
2
π
= sin   =
4 2
sin x cos x − sin x
cos 2 x =
cos 2 x
=
sin 2 x cos 2 x + sin 2 x
1+
cos 2 x
cos 2 x
2
2
cos x − sin x
cos 2 x − sin 2 x
cos 2 x
=
=
× cos 2 x =
1
cos 2 x
cos 2 x
= cos 2 x − sin 2 x
3
tan x
 1

15.4.
− tan 3 x = tan 3 x 
− 1 =
2
cos 2 x
 cos x 
1 − tan 2 x
15.3.
=
1 + tan 2 x
1−
2
2
2
16.8. cos
3
 π
π
16.9. tan  −  = − tan   = −
3
 6
6
π
 5π 
 6π π 

sin   = sin 
16.10.
−  = sin  2π −  =
3
 3 
 3 3

16.11.
1 − cos 2 x
sin 2 x
= tan 3 x ×
=
2
cos x
cos 2 x
= tan 3 x × tan 2 x =
= tan 5 x
= tan 3 x ×
16.12.
1 − cos x
sin x
(1 − cos x ) + sin 2 x =
15.5.
+
=
sin x
1 − cos x
sin x (1 − cos x )
2
16.13.
1 − 2cos x + cos 2 x + sin 2 x
=
=
sin x (1 − cos x )
=
1 − 2cos x + 1
=
sin x (1 − cos x )
16.14.
2 − 2cos x
=
=
sin x (1 − cos x )
=
2 (1 − cos x )
sin x (1 − cos x )
=
2
sin x
16.15.
16.16.
Pág. 49
π

 π
= − tan  π −  = tan   = 3
3

3
 5π 
 5π 
 6π π 
sin  −  = − sin   = − sin 
− =
 6 
 6 
 6 6
π
1

 π
= − sin  π −  = − sin   = −
6
6
2


 
π
 11π 
 12π π 

cos 
−  = cos  2π −  =
 = cos 
6
6
 6 
 6

 π
 π
tan  −  = − tan   = −1
 4
4
 4π 
 4π 
 3π π 
sin  −  = − sin 
+ =
 = − sin 
 3 
 3 
 3 3
 5π 
 3π 
 4π 
17.1. cos 
 − sin  −  − 2 tan 
=
 4 
 4 
 3 
 4π π 
 3π 
 3π π 
= cos 
+  + sin   − 2 tan 
+ =
 4 4
 4 
 3 3
π
π

 4π π 

= cos  π +  + sin 
+  − 2 tan  π +  =
4
4
4
3





π
π 1

 π
= cos  2π −  = cos  −  = cos =
3
3 2

 3
π
 4π 
 3π π 

16.3. tan 
+  = tan  π +  =
 = tan 
3
 3 
 3 3

3
 2π 
 2π 
 3π π 
tan  −  = − tan   = − tan 
− =
 3 
 3 
 3 3
π
3

 π
= − sin  π +  = sin   =
3

3 2
 5π 
 5π 
 6π π 
16.2. cos  −  = cos   = cos 
− =
3
3


 
 3 3
π
3
 π
 π
= sin  −  = − sin   = −
2
 3
3
 π
π 1
cos  −  = cos   =
 3
3 2
3
 π
 π
= cos  −  = cos   =
 6
6 2
7π
π
π
1
 6π π 

16.1. sin
= sin 
+  = sin  π +  = − sin = −
6
6
6
2
 6 6

= tan
5π
3
 6π π 
 π
= cos 
−  = − cos   = −
6
2
 6 6
6
= 3
5π
 5π 
 4π π 
16.4. sin  −  = − sin
= − sin 
+ =
4
 4 
 4 4
= − cos
π
π
2

= − sin  π +  = sin =
4
4
2

19
π
4
π

π
+ sin  π −  − 2 tan   =
4

3
=−
2
 π
+ sin   − 2 3 =
2
4
=−
2
2
+
− 2 3 = −2 3
2
2
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
π

tan ( π − α ) × sin  + α 
2

=
18.2.
 3π

cos 
−α 
 2

tan ( −α ) × cos α
− tan α × cos α
=
=
=

π
  − cos  π − α 
cos  π +  − α  


2

2


sin α
−
× cos α
sin α
cos
α
=
=
=1
− sin α
sin α
 7π 
 5π 
 6π π 
 6π π 
cos 
+  + sin 
− 
 − sin  −  cos 
6
3
6
6



=


 3 3 =
17.2.
 13π 
 12π π 
tan 
tan 
+ 

6
6


 6
π
π


cos  π +  + sin  2π − 
6
3


=
=
π

tan  2π + 
6

π
π


cos  π +  + sin  2π − 
6
3


=
=
π

tan  2π + 
6

Pág. 51
π
3
 π
 π
 π
− cos   + sin  −  −
− sin  
6
3
2


3 =
=
=
π
3
tan  
6
3
=
−
=−

19.1. sin ( π − α ) + cos  − α  + 2sin ( −α ) =
2

= sin α + sin α − 2sin α =
=0
π

19.2. tan ( −α ) × sin  + α  + sin ( π + α ) =
2

= − tan α × cos α − sin α =
sin α
=−
× cos α − sin α =
cos α
= − sin α − sin α =
= −2sin α
3
3
−
2
2 =− 3 =
3
3
3
3
3 3
= −3
3
 11π 
 5π 
17.3. cos 
 + sin  −  =
 6 
 3 
 12π π 
 6π π 
= cos 
−  − sin 
− =
6
 6
 3 3
π

19.3. sin 2  + α  + sin 2 ( 5π − α ) =
2

2
 π

= sin  + α   + sin ( 4π + π − α )  =

 2
2
π
π


= cos  2π −  − sin  2π −  =
6
3


= cos 2 α + sin ( π − α )  =
= cos 2 α + sin 2 α = 1
2
 π
 π
= cos  −  − sin  −  =
6


 3
 π
 π
= cos   + sin   =
6
3
20.
3
3
+
= 3
2
2
 7π 
 4π 
2 sin 
 + 3 tan 
=
4


 3 
 8π π 
 3π π 
= 2 sin 
−  + 3 tan 
+ =
 4 4
 3 3
•
=
17.4.
⇔ sin x = −
•
π
π


= 2 sin  2π −  + 3 tan  π +  =
4
3


=− 2×
π
4
3π 
⇔
2 
3π 
⇔
2 
12
3π 

∧ x ∈ π ,
13
2 

π

13sin  x −  − 5 tan ( 2π + x ) =
2

 π

= 13sin  −  − x   − 5 tan x =
2

 
π
 π
= 2 sin  −  + 3 tan =
3
 4
= − 2 sin
π
 12

cos  + x  = ∧ x ∈  π ,
2
 13

12

⇔ − sin x = ∧ x ∈  π ,
13

π

= −13sin  − x  − 5 tan x =
2


= −13cos x − 5 tan x
+ 3× 3 =
2
+ 3 = −1 + 3 = 2
2
•
sin 2 x + cos 2 x = 1
2
144
 12 
2
2
⇔
 −  + cos x = 1 ⇔ cos x = 1 −
169
 13 
Pág. 50
25
25
⇔ cos x = ±
169
169
5
Como x ∈ 3.º Q, então cos x = − .
13
12
−
sin x
12
tan x =
= 13 =
5
cos x −
5
13
π

sin  − θ 
π

2

 × sin θ =
18.1. tan  − θ  × tan θ =
π
 cosθ
2

cos  − θ 
2

cosθ sin θ
=
×
=1
sin θ cosθ
⇔ cos 2 x =
20
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
•
21.
•
−13cos x − 5 tan x =
12
 5
= −13 ×  −  − 5 × = 5 − 12 = −7
5
 13 
1 + tan 2 α =
2
1
1
5
4
1
1+   =
⇔
= ⇔ cos 2 α =
cos 2 α
cos 2 α 4
5
2
4 1
sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 − =
5 5
π

3sin  x −  − 2 = 0 ∧ x ∈ ]0 , π[ ⇔
2

π 2

⇔ sin  x −  = ∧ x ∈ ]0 , π[ ⇔
2 3

Como α ∈ 1.º Q, sin α =
π
 2
⇔ − sin  − x  = ∧ x ∈ ]0 , π[ ⇔
2
 3
2
⇔ − cos x = ∧ x ∈ ]0 , π[ ⇔
3
2
π

⇔ cos x = − ∧ x ∈  , π 
3
2

•
•
A[ ABC ] =
23.
AC = 360° − ( 260° + 40° ) = 60°
AB = 40° + 60° = 100°
ˆ = 40°
23.1. a) BOC
360° − 40° = 320°
α = 40° ou α = −320°
ˆ = 100°
b) BOA
2
5
5
⇔ sin x = ±
9
3
22.
360° − 100° = 260°
α = −100° ou α = 260°
5
.
3
23.2. Se D é imagem de B numa rotação de centro A, então
AD = AB . Logo, AD = AB = 100° .
5
5
3
=−
tan x =
2
2
−
3
− tan x − sin x =
=
BC = 2 × 20° = 40°
ADB = 2 × 130° = 260°
4
 2
sin 2 x +  −  = 1 ⇔ sin 2 x = 1 − ⇔
9
 3
•
sin α 1
5
5
= ×
=
2
2 5
10
Pág. 54
sin 2 x + cos 2 x = 1
Como x ∈ 2.º Q, temos sin x =
1
1
5
=
=
.
5
5
5
Atividades complementares
π

tan ( π − x ) + cos  + x  =
2

= − tan x − sin x
⇔ sin 2 x =
1
cos 2 α
Assim, BD = 360° − (100° + 100° ) = 160° pelo que:
ˆ = 160° : 2 = 80°
DAB
360° − 80° = 280°
5
5 3 5−2 5
5
−
=
=
2
3
6
6
ˆ = π +α .
ˆ = α , AOC
Sendo AOB
2
π

A ordenada de T é igual a tan  + α  .
2

π

Logo, tan  + α  = −2 .
2

Portanto, β = −80° ou β = 280° .
π

sin  + α 
π

2

 = −2 ⇔
tan  + α  = −2 ⇔
π

2

cos  + α 
2


cos α
⇔
= −2 ⇔
− sin α
1
⇔−
= −2 ⇔
tan α
1
⇔ tan α =
2
24.1. a)
ˆ = 90° + 30° + 90° = 210°
AOD
ɺ
Lado extremidade: OD
ˆ = −30° − 90° = −120°
b) AOE
ɺ
Lado extremidade: OE
No triângulo [OAB], considerando [OA] para base, temos que
a altura é igual a sin α .
sin α
Logo, a área de [OAB] é A =
pois OA = 1 .
2
1
Determinemos sin α sabendo que tan α = .
2
c) 330° = 360° − 30°
ˆ = 330°
AOF
ɺ
Lado extremidade: OF
21
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
ˆ = −30° − 90° − 30° = −150°
d) AOD
ɺ
Lado extremidade: OD
24.2. a) 960° = 240° + 2 × 360°
960° = ( 240° , 2 )
f)
960
360
240
2
O transformado do ponto A é o ponto D.
g) 1520° = 80° + 4 × 360°
ˆ = 80°
AOB
ˆ = 90° + 30° + 90° + 30° = 240°
AOE
ɺ
Lado extremidade: OE
b) −1470° = −30° − 4 × 360°
−1470° = ( −30° , 4 )
1470
30
O transformado do ponto A é o ponto B.
h) −1440° = 0 − 4 × 360°
360
O transformado do ponto A é o ponto A.
4
ˆ = −30°
AOF
ɺ
Lado extremidade: OF
c) 1530° = 90° + 4 × 360°
1530° = ( 90° , 4 )
1530
90
26.1. 360° − 96° = 264°
α = −96° ou α = 264°
26.2. 96° × 2 = 192°
360° − 192° = 168°
180° − 96°
= 42° ; 42° × 2 = 84°
2
360
4
ˆ = 90°
AOB
ɺ
Lado extremidade: OB
d) −1320° = −240 − 3 × 360
−1320° = ( −240° , − 3)
1320
240
−1180° = −100° − 3 × 360°
ˆ = −100°
AOD
360
3
ˆ = −30° − 90° − 30° − 90° = −240°
AOC
ɺ
Lado extremidade: OC
e) 1200° = 120° + 3 × 360°
1200° = (120° , 3)
1200
120
360
3
ˆ = 90° + 30° = 120°
AOC
ɺ
Lado extremidade: OC
f)
−990° = −270° − 2 × 360°
990° = ( −270° , − 2 )
a) β = −192° ou β = 168°
b) β = 84° ou β = −276°
c) β = −84° ou β = 276°
990
360
270
2
27.1. 351° = 360° − 9°
ˆ = − ( 360° − 90° ) = −270°
AOB
ɺ
Lado extremidade: OB
25.
CD = 40° × 2 = 80° ; AB = CD = 80°
AD = 180° − 80° = 100° ; BC = AD = 100°
25.1. AB = 80° , BC = 100° , CD = 80° e DA = 100°
25.2.
α pertence ao 4.º quadrante
sin α < 0 e cos α > 0
27.2. 147° = 180° − 33°
a) 540° = 180° + 360°
α pertence ao 2.º quadrante
sin α > 0 e cos α < 0
O transformado do ponto A é o ponto C.
b) −640° = −280° − 360°
ˆ = −280°
AOB
O transformado do ponto A é o ponto B.
c) 980° = 260° + 2 × 360°
ˆ = 260°
AOD
O transformado do ponto A é o ponto D.
d) −900° = −180° − 2 × 360°
O transformado do ponto A é o ponto C.
e) 1080° = 0° + 3 × 360°
O transformado do ponto A é o ponto A.
27.3. 221° = 180° + 41°
980
360
260
2
900
360
180
2
1080
0
α pertence ao 3.º quadrante
sin α < 0 e cos α < 0
360
3
22
1180
100
1520
80
360
3
360
4
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
29.3. 405° = 45° + 360°
405° = ( 45° , 1)
27.4. −227° = −180° − 47°
sin 405° = sin 45° =
2
2
cos 405° = cos 45° =
2
2
tan 405° = tan 45° = 1
α pertence ao 2.º quadrante
sin α > 0 e cos α < 0
30.1. 480° = 120° + 360° ; 480° = (120° , 1)
Pág. 55
cos 480° = cos120° = cos (180° − 60° ) = − cos 60° = −
 2
2
28.1. A ( cos 45° , sin 45° ) ou A 
,

2
2


M (1 , tan 45° ) ou M (1 , 1)
30.2. 870° = 150° + 2 × 360°
870° = (150° , 2 )
C é a imagem de A na reflexão central de centro O.

2
2
Logo, C  −
, −

2 
 2
ˆ = 180° + 45° = 225° . Logo, C ( cos 225° , sin 225° ) .
28.2. POC
sin 870° = sin150° = sin (180° − 30° ) = sin 30° =
cos135° = cos (180° − 45° ) = − cos 45° = −
2
2
30.4. 810° = 90° + 2 × 360°
810° = ( 90° , 2 )
sin 810° = sin 90° = 1
cos810° = cos90° = 0
31.1.
Graus
Rad
180
–––– π
240
–––– x
240π 4π
x=
=
180
3
4π
240° =
rad
3
2
2
e cos315° =
.
2
2
28.5. N é a imagem de M pela reflexão de eixo Ox.
Como M (1 , 1) , então N tem coordenadas (1 , –1).
Logo, sin 315° = −
31.2.
750
30
Graus
Rad
180
–––– π
210
–––– x
210π 7 π
x=
=
180
6
7π
210° =
rad
6
360
2
1
2
cos 750° = cos30° =
3
2
tan 750° = tan 30° =
3
3
29.2. 1140° = 60° + 3 × 360
1140° = ( 60° , 3)
3
2
1215
135
31.3.
1140
60
360
3
Graus
Rad
180
–––– π
300
–––– x
300π 5π
x=
=
180
3
5π
300° =
rad
3
3
2
1
cos1140° = cos 60° =
2
sin1140° = sin 60° =
tan1140° = tan 60° = 3
23
360
3
2
2
cos1215° = cos135° = cos (180° − 45° ) = − cos 45° = −
2
2
360
2
1
2
sin1215° = sin135° = sin (180° − 45° ) = sin 45° =
Por outro lado, D é a imagem do ponto B pela reflexão
 2
2
central de centro O. Assim, D 
, −
.
2 
 2
sin 750° = sin 30° =
870
150
30.3. 1215° = 135° + 3 × 360°
1215° = (135° , 3)

2
2
B  −
,

2
2


ˆ = 360° − 45° = 315° ; D ( cos315° , sin 315° )
28.4. POD
29.1. 750° = 30° + 2 × 360
750° = ( 30° , 2 )
1
2
cos870° = cos150° = cos (180° − 30° ) = − cos30° = −
2
2
Temos, portanto, sin 225° = −
e cos 225° = −
.
2
2
ˆ = 180° − 45° = 135° ; B ( cos135° , sin135° )
28.3. POB
sin135° = sin (180° − 45° ) = sin 45° =
3
2
sin 480° = sin120° = sin (180° − 60° ) = sin 60° =
2
2
810
90
360
2
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
31.4.
32.5.
Graus
Rad
180
–––– π
315
–––– x
315π 7 π
x=
=
180
4
7π
315° =
rad
4
Graus
180
––––
Rad
x
––––
π
3π
32
3π
180 ×
32 = 16,875° , logo 3π rad = 16,875°
x=
π
32
32.6.
31.5.
Graus
Rad
180
–––– π
–288
–––– x
−288π
8π
x=
=−
180
5
8π
−288° = −
rad
5
33.
Graus
Rad
180
–––– π
420
–––– x
420π 7 π
x=
=
180
3
7π
420° =
rad
3
x
––––
––––
x
––––
34.
π
7π
5
Rad
−
––––
ˆ = π − 7 π − π = 12π − 7 π − 2π = 3π = π
ACB
12 6
12
12 4
rad = 45°
Se [AC] é o lado de um triângulo equilátero inscrito na
2π
rad.
circunferência, então AC =
3
2π 4 π
Como BC = 2 ×
=
rad, temos que:
15 15
2π 4π 10π − 4π 6π 2π
AB =
−
=
=
=
3 15
15
15
5
2π
5
= 2π×
=5
2π
2π
5
[AB] é o lado de um pentágono regular inscrito na
circunferência.
π
5π
35.1. T1 (1 , tan α )
2
5π
− × 180
5π
x= 2
= −450 , logo −
rad = –450°
π
2
tan α = 2
1 + tan 2 α =
32.3.
Graus
180
––––
x
––––
1 + 22 =
Rad
π
3π
sin 2 α +
x
––––
1
5
=
.
5
5
1
1
4
= 1 ⇔ sin 2 α = 1 − ⇔ sin α = ±
5
5
5
Como α ∈ 1.º Q, temos sin α =
Rad
−
1
1
1
⇔ cos 2 α = ⇔ cos α = ±
2
cos α
5
5
sin 2 α + cos 2 α = 1
32.4.
––––
1
cos 2 α
Como α ∈ 1.º Q, cos α =
8
3π
180 ×
8 = 67,5 , logo 3π rad = 67,5°
x=
π
8
Graus
180
−
π
6π
ˆ = π rad = 45°
ACB
4
32.2.
Graus
180
x
4
Rad
7π
rad = 252°
5
––––
π
32.1.
––––
Rad
25
6π
− × 180
6π
x = 25
= −43, 2° , logo −
rad = -43,2°
π
25
31.6.
Graus
180
Graus
180
π
5π
2
2 5
=
.
5
5
2 5
5
, cos α =
e tan α = 2
5
5
35.2. P2 ( cos β , sin β )
sin α =
16
5π
− × 180
5π
x = 16
= 56,25° , logo −
rad = – 56,25°
π
16
3
4
sin 2 β + cos 2 β = 1
sin β =
24
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
(
Como β ∈ 2.º Q, então cos β = −
sin β
tan β =
=
cos β
(
BC =
3
3 7
=−
=−
7
7
7
−
4
37.1. tan x +
=
4 2
7
4 2
, cos θ = − e tan θ =
9
9
7
35.4. T4 (1 , tan ϕ )
3
4
1
cos 2 ϕ
2
1
9
1
 3
1+ −  =
⇔ 1+ =
⇔
2
cos ϕ
16 cos 2 ϕ
 4
1
25
16
⇔
=
⇔ cos 2 ϕ =
cos 2 ϕ 16
25
4
Como ϕ ∈ 4.º Q, então cos ϕ = .
5
2
2
sin ϕ + cos ϕ = 1
  3π π 
5π 
 12π π   
= sin 
+  − cos 
−   ×  − tan  =
6  
6 
 6
  3 3

π
π 


 6π π 
=  − sin  π +  − cos  2π −   × tan 
− =
3
6 


 6 6

Pág. 56
2
BD = AB + AD ⇔ BD = 22 + 12
)
)

π
π 
 π

= −  − sin − cos  −  × tan  π −   =
3
6
6 




(

3
π
 π
= −  −
− cos  × tan  −  =
6
 6
 2
)
ˆ , sabendo que tan BDC
ˆ =2.
Determinemos cos BDC
(
)
ˆ =
1 + tan 2 BDC
1 + 22 =
1
1
(
ˆ
cos BDC
2
(
ˆ
cos BDC
2
)
sin x + 1
1
=
cos x ( sin x + 1) cos x
1 + sin x − 1 + sin x
=
1 − sin 2 x
2sin x 2sin x
1
=
=
×
=
cos 2 x cos x cos x
1
2 tan x
= 2 tan x ×
=
cos x cos x
4π
11π   5π 

38.1.  sin
− cos
 tan  −  =
3
6   6 

2
(
sin x + sin 2 x + cos 2 x
=
cos x (1 + sin x )
=
16
9
 4
sin 2 ϕ +   = 1 ⇔ sin 2 ϕ = 1 −
⇔ sin 2 ϕ =
25
25
5
3
Como ϕ ∈ 4.º Q, temos sin ϕ = − .
5
3
4
3
sin ϕ = − , cos ϕ = e tan ϕ = −
5
5
4
(
cos x (1 + sin x )
=
sin x cos x
cos x
+
=
sin x − cos x 1 − tan x
sin x cos x
cos x
=
+
=
sin x − cos x 1 − sin x
cos x
sin x cos x
cos x
=
+
=
sin x − cos x cos x − sin x
cos x
sin x cos x
cos 2 x
=
−
=
sin x − cos x sin x − cos x
sin x cos x − cos 2 x cos x ( sin x − cos x )
=
=
= cos x
sin x − cos x
sin x − cos x
1
1
37.4.
−
=
1 − sin x 1 + sin x
1 + sin x − (1 − sin x )
=
=
(1 − sin x )(1 + sin x )
sin θ = −
2
2
2
ˆ
BC = BD + DC − 2 BD × DC × cos BDC
sin x (1 + sin x ) + cos 2 x
37.3.
4 2
−
sin θ
9 =4 2
=
tan θ =
7
cos θ
7
−
9
BD = 5 cm
5
5× 5
= 5 + 9 − 6×
=8
5
5
= (1 − cos 2 x ) × cos 2 x = cos 2 x − cos 4 x
32
4 2
Como θ ∈ 3.º Q, sin θ = −
=−
.
9
9
2
+ 32 − 2 5 × 3 ×
37.2. sin 2 x − sin 4 x = sin 2 x (1 − sin 2 x ) =
2
49
32
 7
sin 2 θ +  −  = 1 ⇔ sin 2 θ = 1 −
⇔ sin 2 θ =
81
81
 9
2
2
cos x
sin x
cos x
=
+
=
1 + sin x cos x 1 + sin x
=
7
9
sin 2 θ + cos 2 θ = 1
2
( 5)
BC = 8 cm = 2 2 cm
cosθ = −
36.
)
)
2
3
4
3
7
3 7
, cos β = −
e tan β = −
4
4
4
35.3. P3 ( cos θ , sin θ )
1 + tan 2 ϕ =
(
ˆ = 1 = 5
cos BDC
5
5
7
.
4
sin β =
tan ϕ = −
)
ˆ < π e tan BDC
ˆ > 0 , então cos BDC
ˆ >0.
Como 0 < BDC
9
9
7
+ cos 2 β = 1 ⇔ cos 2 β = 1 − ⇔ cos 2 β =
16
16
16

3
3 
π
= −  −
−
 ×  − tan  =
2
2
6

 
)

3
3× 3
3
= − − 3 ×  −
= − = −1
 = −
3
3
3


(
ˆ =1
⇔ cos 2 BDC
5
25
)
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
38.2.
7π
9π
5π
2 sin
+ tan
+ cos
=
4
4
2
 8π π 
 8π π 
 4π π 
= 2 sin 
−  + tan 
+  + cos 
+ =
 4 4
 4 4
 2 2
=
=
π
π
π



= 2 sin  2π −  + tan  2π +  + cos  2π +  =
4
4
2



=
2=
−
= cos 2 x + 2sin x cos x + sin 2 x − 1 =
= ( sin 2 x + cos 2 x ) + 2sin x cos x − 1 =
= 1 + 2sin cos x − 1 = 2sin x cos x
 5π

π

39.2. cos 
+ x  × sin ( π + x ) × tan  − x  =
 2

2

π

sin  − x 
2
 4π π


=
= cos 
+ + x  × ( − sin x ) ×
π

 2 2

cos  − x 
2

π 
cos x

= − cos  2π + + x  × sin x ×
=
2
sin x


π

= − cos  + x  × cos x =
2


= − ( − sin x ) × cos x = sin x cos x
40.1. A (1 , 0 ) , P ( cos x , sin x ) , Q (1 , tan x )
Área de [AQP] = Área de [OAQ] – Área [OAP] =
OA × AQ OA × ordenada de P
=
−
=
2
2
1 × tan x 1 × sin x tan x − sin x
=
−
=
2
2
2
40.2. Como OP = OA = 1 , se AP = OP então
OA = AP = OP = 1 , ou seja, o triângulo [OAP] é equilátero,
pelo que x =
a)
3
π
 π
−3tan  −  − 2sin
6
 6
A[ AQP ] =
=
π
.
3
tan
π
3
− sin
2
π
3 = 1 3 − 3  =


2 
2 
1
3
3
×
=
2 2
4
b) OA = 1, AP = 1 e AQ = tan
2
2
OQ = OA + AQ
π
 π
2cos  −  + tan
3
3

=
=
π

 π
−3tan  2π −  + 2sin  − 
6

 6
=
) = 3 + 2 3 +1 =
3 −1
3 − 1)
3 +1
2
2 1
×
2 2=
2
+ 3
)(
3 − 1)(
3 +1
= ( cos x + sin x ) − 1 =
π
π


2cos  4π −  + tan  π + 
3
3


=
=
π
 12π π 

−3tan 
−  + 2sin  2π − 
6
6
 6

π
(
(
2
1 1
− 2× ×
2 2 =−1
=
4
2
11π
4π
2cos
+ tan
3
3
38.4.
=
 11π 
 11π 
3tan  −
 + 2sin 

 6 
 6 
 12π π 
 3π π 
2cos 
−  + tan 
+ 
3
3


 3 3 =
=
11π
 12π π 
−3tan
+ 2sin 
− 
6
6
 6
2cos
3 +1
=
3 −1
1+ 3
=
3
3×
−1
3
= ( cos x + sin ( π − x ) ) − 1 =
π
π

− cos  π −  × sin
4
6

=
=
2
×
1
3tan − 2 ×
6
2
2
π
 4π π  
− cos 
−  ×  − sin 
4 4 
6

=
=
2
4
2
=
π
 π


39.1. sin  + x  − sin ( x − π )  − 1 =

 2

2
=− 2×
+1 =
2
2
= − +1 =
2
= −1 + 1 = 0
11π
 7π 
cos
× sin  − 
4
 6  =
38.3.
π
π
2 sin 2 + 2 cos 2
5
5
 8π 3π   6π π 
− cos 
+
+ 
 sin 
4   6 6
 4
=
=
π
π

2  sin 2 + cos 2 
5
5

3
π
π



− cos  2π +
 × sin  π + 
4
6



=
=
2 ×1
π 1
1
+ 3
2
= 3+2
π
π
 π
= 2 sin  −  + tan + cos =
4
4
2


− cos
2×
2
OQ = 12 +
( 3)
2
π
3
= 3
2
⇔ OQ = 1 + 3 ⇔ OQ = 2
PQ = OQ − PQ = 2 − 1 = 1
Perímetro de [ AQP ] = AQ + PQ + AP =
= 3 +1+1 = 3 + 2
=
26
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
8
π

40.3. sin  + x  − cos ( π − x ) = ⇔
2
5


8
8
⇔ cos x + cos x = ⇔ 2cos x = ⇔
5
5
4
⇔ cos x =
5
sin 2 x + cos 2 x = 1
A[ PQB ] =
42.3. Se x =
41.2. sin
=
41.3. cos
π
12
12
90
360
2
Em cada hora o ponteiro das horas descreve um ângulo de
30° de amplitude.
60 min –––– 30°
15 min ––––
x
15 × 30
x=
= 7,5 ; 90° + 7,5° = 97,5°
60
= −a
Graus
180
––––
97,5
––––
97,5π 13π
x=
=
180
24
Rad
π
x
Às 6 h 15 min os ponteiros formam um ângulo de
= −a
13π
rad
24
de amplitude.
42.1. A[ PQB ] = A[OQB] − A[OPB] =
5π
π
7π
π
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2 =
11
22
12
12
π
π
2  10π 
2 π
2  6π
= cos 
+ cos 
+  + cos 2
 + cos
22
12
 22 
 12 12 
44.1. cos 2
OB × OA OB × abcissa de P
−
=
2
2
1 × 1 1 × cos x
=
−
=
2
2
1 cos x 1 − cos x
= −
=
2
2
2
=
π   π π 
π
 11π π 
= cos 2 
−  + cos 2
+ cos  +   + cos 2
22
22
22
2
12
12



 
2
  π π 
π 
π
π
= cos  −   + cos 2
+  − sin  + cos 2
22 
12 
12
  2 22  
2
π

42.2. 9sin ( π + x ) + 8cos  + x  + 15 = 0 ⇔
2

⇔ −9sin x − 8sin x = −15 ⇔
15
⇔ −17 sin x = −15 ⇔ sin x =
17
sin 2 x + cos 2 x = 1
2
π
π 
π
π

=  sin 2
+ cos 2  +  sin 2 + cos 2  = 1 + 1 = 2
22
22  
12
12 

4π
5π
14π
13π
44.2. sin
+ sin
+ sin
+ sin
=
9
9
9
9
4π
5π
 9 π 5π 
 9 π 4π 
= sin
+ sin
+ sin 
+
+
 + sin 
=
9
9
9 
9 
 9
 9
2
225
64
 15 
2
2
⇔ cos 2 x =
  + cos x = 1 ⇔ cos x = 1 −
289
289
 17 
π

Como x ∈  0 ,  , então cos x =
2

810
43.2. 360° :12 = 30
=a
π
4
=1
4
volta. Logo, passaram 2 h 15 min após as 4 horas.
O relógio marca 6 h 15 min.
7π
 6π π 
π π 
= cos 
+  = cos  +  =
12
12
12


 2 12 
= − sin
1 3
+ =
4 4
1
O ponteiro dos minutos deu 2 voltas +
de
4
5π
 6π π 
π π 
= cos 
−  = cos  −  =
12
12
12


 2 12 
= sin
41.4. cos
π
2
43.1. 810° = 90° + 2 × 360°
=a
12
)
2
13π
π
 12π π 

= sin 
+  = sin  π +  =
12
12
12
12




= − sin
3
2
2
3
 1 
1  3
PQ = 1 −  +  3 −
 =   + 
 =
2 
 2 
 2   2 
11π
π
 12π π 

= sin 
−  = sin  π −  =
12
12
12
12




12
:
(
Pág. 57
π
3
π

Q 1 , tan  ou Q 1 ,
3

2
= sin
π
1
π
π
3

P  cos , sin  ou P  ,

2 
3
3

2
16
9
 4
sin 2 x +   = 1 ⇔ sin 2 x = 1 −
⇔ sin 2 x =
5
25
25
 
3
Como x ∈ 1.º Q, então sin x = .
5
3
sin x 5 3
tan x =
= =
cos x 4 4
5
3 3
3
−
3
4
5
20
A[ AQP ] =
=
=
2
2 40
41.1. sin
8
9
17 = 17 = 9
2
2 34
1−
4π
5π
5π 
4π 


+ sin
+ sin  π +
 + sin  π +
=
9
9
9 
9 


4π
5π
5π
4π
= sin
+ sin
− sin
− sin
=0
9
9
9
9
= sin
64
8
=
.
289 17
27
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
11π
14π
15π
+ cos
+ cos
=
25
25
26
π
11π
 25π 11π 
 13π 2π 
= sin + cos
+ cos 
−
+
 + cos 
=
13
25
25 
 25
 26 26 
π
11π
11π 

π π 
= sin + cos
+ cos  π −
 + cos  +  =
13
25
25


 2 13 
π
11π
11π
π
= sin + cos
− cos
− sin = 0
13
25
25
13
44.3. sin
π
13
+ cos
(A) −
P é do 2.º quadrante.
5π 6 π π
π
=
− = π−
6
6 6
6
Q é do 2.º quadrante.
[PQ] não é um diâmetro da circunferência.
(B) −
45.1.
Amplitude
2π
––––
x
––––
Área
π × 82
64π
= 2π + π +
π
 3 1
P 
, 
2
 2
π
 19π 

cos 
 = cos  2π + π +  =
6
 6 

3
1
= 112
2
π
π
3

= cos  π +  = − cos = −
6
6
2

π
 19π 

sin 
 = sin  2π + π +  =
6
6



Avaliação 2
Pág. 58
3π 

Se x ∈  π ,
, sin x < 0, cos x < 0 e tan x > 0 .
2 

• sin x × tan ( − x ) = − sin x × tan x > 0
−
2.
π
π
1

= sin  π +  = − sin = −
6
6
2

+
•
cos ( − x ) + sin ( π − x ) = cos x + sin x < 0
•
sin ( − x ) × cos x = − sin x × cos x < 0
•
π

sin  − x  × tan x = cos x × tan x < 0
+
2
−


−
−
6
π
π 1
 11π 

sin  −
 = sin  −2π +  = sin =
6
6 2
 6 

MA = 112 cm = 4 7 cm
1.
π
Q é do 3.º quadrante
π
π
3
 11π 

cos  −
 = cos  −2π +  = cos =
6
6
6
2




π

= 64 + 16 − 2 × 32cos  π − 
3

= 80 + 2 × 32 ×
11π
12π π
π
=−
+ = −2π +
6
6
6
6
P é do 1.º quadrante
19π 12π 7 π
6π π
=
+
= 2π +
+ =
6
6
6
6 6
3
64
2π × π
3 = 2π , logo AOB
ˆ = 2π rad.
x=
64π
3
3
2
2π
2
2
45.2. MA = 8 + 4 − 2 × 8 × 4 × cos
=
3
= 80 + 2 × 32cos
7π
6π π
π
=−
− = −π −
6
6 6
6

3
1
Q  −
, − 
2
2

−
−
Logo, [PQ] é um diâmetro da circunferência.
Resposta: (B)
Resposta: (A)
4π
d=
5
4π π
a =c = π−
=
5
5
π π 2π
a+c= + =
5 5
5
4.
Resposta: (A)
3.
P( x , y) e Q (−x , − y)
ˆ = FOA
ˆ = π ; OFE
ˆ = 1×π = π
ˆ = EOF
FAO
3
2 2 4
π π π
π 5π
ˆ
ˆ
BAO = − = ; AOC = π − =
2 3 6
6
6
π
π
5
π
7
π
ˆ = 2π − − −
ˆ = π − 7 π = 5π
COE
=
; DCO
4 3 6 12
12 12
Resposta: (A)
P e Q têm coordenadas simétricas
28
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
5.
O ponto T tem coordenadas (1, tan θ ) sendo θ o ângulo cujo
A amplitude do arco descrito por P0 pode ser 504° ou 864°,
por exemplo.
7.2. • 810° = 90° + 2 × 360
90° :18° = 5
lado origem é o semieixo positivo Ox e o lado extremidade é
ɺ .
a semirreta OT
3
π
, pelo que θ = − e o ponto P tem
3
6
π
π 



coordenadas  cos  π −  , sin  π −   .
6
6 



Logo, tan θ = −
•
π
π
3

cos  π −  = − cos = −
6
6
2

π
π 1

sin  π −  = sin =
6
6 2

•

3 1
Logo, P  −
,  .
2
2

8.
Pág. 59
6.
360
2
O 1.º jogador obteve 60 pontos ( 5 setores)
16π
16
rad =
× 180° = 576°
5
5
576° = 216° + 360°
216° :18 = 12
O 2.º jogador obteve 25 pontos (12 setores)
7 π rad = 7 × 180° =
= 180° + 3 × 360°
180 :18 = 10
360° :12 = 30°
Em cada hora, o ponteiro das horas descreve um arco de 30°
de amplitude.
60 min –––– 30°
20 min ––––
x
20 × 30
x=
= 10
60
30° − 10° = 20°
20° + 4 × 30° = 140°
6.1.
ˆ = ADC
ˆ − EDC
ˆ =π−π=π
ADE
2 3 6
6.2.
ˆ = FDA
ˆ + ADE
ˆ =π+π=π
FDE
3 6 2
Graus
180
140
140π
x=
=
180
o triângulo [DFE] é isósceles.
9.1.
ˆ = π (o triângulo [DEF] é retângulo em D e isósceles)
DEF
4
ˆ = π (o triângulo [CDE] é equilátero)
CED
3
ˆ = DCB
ˆ − DCE
ˆ =
ECB
π π
2
−
3
=
π
x
17 π
 2π 
 5π 
sin  −  − cos
− tan  −  =
6
 3 
 4 
2π
12
π
5π 

 5π 
= − sin
− cos 
+
 + tan   =
3
6 
 6
 4 
6π π 
 3π π 

 4π π 
= − sin 
−  − cos  2π +
−  + tan 
+ =
3
3
6
6




 4 4
π
π
π
π



= − sin  π −  − cos  π −  + tan  π +  =
3
6
4



6
ˆ = BEC
ˆ porque o triângulo [BCE] é isósceles, sendo
CBE
EC = BC .
(
Rad
––––
––––
7π
9
Às 11 h 20 min, os ponteiros formam um ângulo de
7π
amplitude
rad.
9
Logo, o triângulo [DFE] é retângulo em D.
Como FD = AD e ED = DC = AD vem FD = AD . Assim,
= − sin
)
ˆ = 1  π − π  = 5π
ˆ = 1 π − ECB
Logo, BEC


2
2
6  12
ˆ = DEF
ˆ + CED
ˆ + BEC
ˆ = π + π + 5π = π
BEF
4 3 12
9.2.
π
3
+ cos
π
6
+ tan
π
4
3
3
+
+1=1
2
2
=−
π
 3π 
 7π 
sin 2   + sin 2   − tan 2 
=
8
 8 
 4 
 π    4π π     8π π  
= sin 2   + sin 
−   −  tan 
−  =
 8    8 8    4 4 
Como o ângulo BEF é raso, o ponto E pertence à reta BF.
7.
90
O 3.º jogador obteve 5 pontos (10 setores)
A melhor pontuação (60 pontos) foi obtida pelo 1.º jogador.
Resposta: (D)
6.3.
810
2
360° : 20 = 18°
2
π 
 π    π π   
= sin 2   +  sin  −   −  tan  2π −   =
4 
 8    2 8   
2
7.1. Para obter 90 pontos a roda terá de rodar oito setores, para
além das voltas inteiras.
8 × 18° = 144°
144° + 360° = 504°
144 + 2 × 360° = 864°
2
2
 π
 π    π 
= sin 2   + cos 2   −  tan  −   = 1 − ( −1) = 0
8
 8    4 
2
29
1.2. Ângulos generalizados. Fórmulas trigonométricas. Redução ao primeiro quadrante
10.
3π 

1 + cos ( π × x ) × sin  x −
=
2 

12.1. Base do triângulo [PQR] =
= RQ = OA = 1

 3π

= 1 − cos x ×  − sin 
− x  =
2



Altura do triângulo [PQR] =
= ordenada de Q – ordenada de P =
= tan x – sin x
tan x − sin x
.
Logo, A[ PQR ] =
2

π

= 1 + cos x × sin  π +  − x   =
2


π

= 1 − cos x × sin  − x  =
2

= 1 − cos x × cos x =
= 1 − cos 2 x =
12.2. Abcissa do ponto P = cos x
3
cos x =
5
sin 2 x + cos 2 x = 1
= sin 2 x
2
11.
3
sin 2 x +   = 1 ⇔
5
9
2
⇔ sin x = 1 −
⇔
25
16
⇔ sin 2 x =
25
sin 2 x
− sin 2 x =
cos 2 x
 1

= sin 2 x × 
− 1 =
2
 cos x 
tan 2 x − sin 2 x =
1 − cos 2 x
=
cos 2 x
sin 2 x
= sin 2 x ×
=
cos 2 x
= sin 2 x × tan 2 x =
= tan 2 x × sin 2 x
π
4

Como x ∈  0 ,  , sin x = .
2
5

4
sin x 5 4
tan x =
= =
cos x 3 3
5
4 4
8
−
4
A[ PQR ] = 3 5 = 15 =
2
2 15
= sin 2 x ×
30
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
Atividade inicial 3
3.1.
Pág. 60
3.1. e 3.2.
arcsin
2
2
 π π
=x⇔
= sin x ∧ x ∈  − ,  ⇔
2
2
 2 2
⇔x=
π
4

3
3
 π π
arcsin  −
= sin y ∧ y ∈  − ,  ⇔
 = y ⇔ −
2
2
 2 2


⇔ y=−
3.2.
3.3.
x
f ( x ) = 3 − 2sin   ; D f = ℝ
2
x
x∈ℝ ⇔ ∈ℝ ⇔
2
 x
⇔ −1 ≤ sin   ≤ 1 ⇔
2
4.
4.1.
0 ∉ D′f . Logo, a função f não tem zeros.
x
h ( x ) = 1 + 2cos   , Dh = ℝ
3
x
x
x ∈ ℝ ⇔ ∈ ℝ ⇔ −1 ≤ cos ≤ 1 ⇔
3
3
x
⇔ −2 ≤ 2cos ≤ 2 ⇔
3
x
⇔ 1 − 2 ≤ 1 + 2cos ≤ 1 + 2 ⇔
3
⇔ −1 ≤ h ( x ) ≤ 3
Dh′ = [ −1 , 3]
1.3. Se x ∈ D f , x + 4π∈ D f porque D f = ℝ
4.2.
 x + 4π 
 x 4π 
f ( x + 4π ) = 3 − 2sin 
 = 3 − 2sin  +
=
 2 
2 2 
x
x

= 3 − 2sin  + 2π  = 3 − 2sin =
2
2

Dh = ℝ
Se x ∈ Dh , então − x ∈ Dh , pois Dh = ℝ .
 −x 
 x
h ( − x ) = 1 + 2cos   = 1 + 2cos  −  =
 3 
 3
 x
= 1 + 2cos   = h ( x )
3
= f ( x)
∀x ∈ D f , f ( x + 4π ) = f ( x )
h ( − x ) = h ( x ) , ∀x ∈ ℝ . Logo, h é uma função par.
Portanto, a função f é periódica de período 4π .
a
 −a 
1.4. f ( a ) + f ( −a ) = 3 − 2sin + 3 − 2sin 
=
2
 2 
2.
( 3)
Pág. 67
 x
⇔ 3 − 2 ≤ 3 − 2sin   ≤ 3 + 2 ⇔
2
⇔ 1 ≤ f ( x ) ≤ 5 , logo D′f = [1 , 5] .
a
 a
= 6 − 2sin − 2sin  −  =
2
 2
a
a
= 6 − sin + 2sin =
2
2
=6
π 1
π 1 π

2arcsin  sin  − arcsin (1) = 2 × − × =
12 2 2
 12  2
π π 2π − 3π
π
= − =
=−
6 4
12
12
(2)
 x
⇔ 2 ≥ −2sin   ≥ −2 ⇔
2
 x
⇔ −2 ≤ −2sin   ≤ 2 ⇔
2
1.2.
7π
12
π
π
1
1 1
arcsin  + sin  = arcsin  +  = arcsin (1) =
6
2
2
2 2
=
Pág. 64
1.1.
3
 2

3  π  π  3π + 4π
arcsin 
=
 − arcsin  −
 = −  −  =
2
2
12



 (43)  ( 43) 
3.3. A altura máxima foi de 31 metros e em cada volta ocorre
uma vez.
3.4. A cabine esteve a 16 metros de altura após 1 minuto e após 3
minutos do instante inicial. Em cada volta esta altura ocorre
duas vezes.
1.
π
4.3. Seja P o período positivo mínimo da função h.
Se x ∈ D f , então x + P ∈ D f porque D f = ℝ .
∀x ∈ ℝ, f ( x + P ) = f ( x ) ⇔
x
x+P
⇔ ∀x ∈ ℝ, 1 + 2cos 
 = 1 + 2cos ⇔
3
 3 
x
x P
⇔ ∀x ∈ ℝ, 1 + 2cos  +  = 1 + 2cos ⇔
3
3
3


( sin ( − x ) = − sin x, ∀x ∈ ℝ )
x
x P
⇔ ∀x ∈ ℝ, cos  +  = cos ⇔
3
3 3
P
⇔ = 2π porque 2π é o período positivo mínimo
3
da função cosseno. Logo, P = 6π .
π

g ( x ) = 1 + 2sin  x − 
2

O gráfico da função g pode ser obtido do gráfico de
y = sin x por uma dilatação vertical de coeficiente 2 seguida
π

de uma translação de vetor  , 1 .
2

Logo, a função h é uma função periódica de período
fundamental igual a 6π .
31
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
4.4. O gráfico da função h pode ser obtido do gráfico da função
y = cos x por uma dilatação horizontal de coeficiente 3
6.2.
π

⇔ tan  2 x −  = 0 ⇔
3

seguida de uma dilatação vertical de coeficiente 2 e de uma
translação de vetor (0 , 1).
5.1.
5.2.
⇔ 2x −
 1
arccos  −  = x ⇔
 2
1
⇔ − = cos x ∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
2
π
2π
⇔ x = π− ⇔ x =
3
3
2π π
 1
π − arccos  −  = π −
=
3
3
 2
⇔ 2x =
⇔x=
π
1
 1
arccos  − sin  + arccos  −  =
2
2
 2
 1  2π
= arccos  − 1 +
=
2  3
π
12
6.5.

2
2
arccos  −
= cos x ∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
 = x ⇔ −
2
 2 
5.4.
6
+
2
, k ∈ℤ
⇔ a tan
3π
4
π
3
π π
− 3a tan  −  = 6 ⇔
6 3
⇔ 3a + 3a ×
π

f ( x ) = a tan  2 x −  , a ∈ ℝ \ {0}
3

=
2
⇔a=
=6⇔
3
=6⇔
3
6 3
⇔
2× 3 × 3
⇔a= 3
+ k π, k ∈ ℤ ⇔
7.1.
π π
+ + k π, k ∈ ℤ ⇔
2 3
5π
⇔ 2x =
+ k π, k ∈ ℤ ⇔
6
5π k π
⇔x=
+
, k ∈ℤ
12
2
⇔ 2x =
6
⇔ 2 3a = 6 ⇔
6
⇔a=
⇔
2 3
Cálculo auxiliar:
π π
3
π
⇔ 3a + 3a = 6 ⇔
π π


D f = ℝ \  x : 2 x − = + k π, k ∈ ℤ  =
3 2


5π k π


= ℝ \ x : x =
+
, k ∈ ℤ
12
2


2x −
∈ Df .
 π
⇔ a × 3 − 3a tan  −  = 6 ⇔
 6
π
3
π
3
 π π
sin  − arccos
 = sin  −  = sin =
2
2
2
6
3
2




Pág. 70
6.1.
2
 π
π
f  −3f   = 6 ⇔
3
 12 
π π
 2π π 

⇔ a tan 
−  − 3a tan  2 × −  = 6 ⇔
 3 3
 12 3 
⇔ 3a + 3a tan
6.
π
π

= a tan  2 x −  = f ( x )
3

Cálculo auxiliar:
4
π kπ
π

π 


= a tan  2 x + π −  = a tan  π +  2 x −   =
3
3 




π
⇔ x=
+ k π, k ∈ ℤ ⇔
π
 
π π

∀x ∈ D f , f  x +  = a tan  2  x +  −  =
2
2 3


 
12
π
3
6.4. Se x ∈ D f , então x +
π

+ arccos  − sin  =
4

⇔ x=π−
π
= k π, k ∈ ℤ ⇔
π
 π
= − a tan  −  = a tan = a 3 ≠ 0
3
 3

2
+ arccos  −
 =
2


π 3π 5π
= +
=
12 4
6
=
3
2π
π
 2π 

= a tan  −
= − a tan  π −  =
 = − a tan
3
3
3



π
  π 

arccos  cos  + arccos  sin  −   =
12 

  4 
=
π
6.3. A função f não é ímpar.
 π
 π
π
Por exemplo, f  −  ≠ − f   pois f   = 0 e
 6
6
6
 π
 2π π 
f  −  = a tan  −
− =
 6
 6 3
 1  2π
= arccos  −  +
=
 2 3
2 π 2 π 4π
=
+
=
3
3
3
5.3.
π

f ( x ) = 0 ⇔ a tan  2 x −  = 0 ⇔
3

π
2
 π
cos ( arctan ( −1) ) = cos  −  = cos =
4
4
2


Cálculo auxiliar:
π
 π π
arctan ( −1) = x ⇔ −1 = tan x ∧ x ∈  − ,  ⇔ x = −
4
 2 2
32
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
7.2.
π
π

arctan  sin  = arctan (1) =
2
4


7.3.

 3 5 3
π 5 3
arctan  cos −
−
 = arctan 
=
6
6 
6 

 2
8.5.
3 3 −5 3
 2 3
= arctan 
 = arctan  −
 =
6


 6 
8.6.

3
π
= arctan  −
 = − 6
3


π
π
π



sin 2  x −  = 1 ⇔ sin  x −  = 1 ∨ sin  x −  = −1 ⇔
4
4
4





π π
π 3π
⇔ x − = + 2k π ∨ x − =
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
4 2
4
2
3π
7π
⇔x=
+ 2k π ∨ x =
+ 2k π, k ∈ ℤ
4
4
1
2sin 2 x − 1 = 0 ⇔ sin 2 x = ⇔
2
⇔ sin x =
1
1
∨ sin x = −
⇔
2
2
⇔ sin x =
2
2
∨ sin x = −
⇔
2
2
Cálculo auxiliar:

3
3
π
 π π
arctan  −
= tan x ∧ x ∈  − ,  ⇔ x = −
 = x ⇔ −
3
6
 2 2
 3 
⇔ sin x = sin
Pág. 72
8.1.
1
π
2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ sin x = sin ⇔
2
6
⇔x=
⇔x=
8.2.
π
6
π
6
+ 2k π ∨ x = π −
+ 2k π ∨ x =
π
6
⇔x=
⇔x=
π
8.3.
+ 2k π ∨ x −
π
= π−
π
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
3 3
3
3
2π
⇔x=
+ 2k π ∨ x = π + 2k π, k ∈ ℤ
3
=
8.7.
⇔ 2x +
=−
4
4
⇔x=−
8.4.
2
π
4
2
8.8.
)
3sin x + 2 3 sin 2 x = 0 ⇔ sin x 3 + 2 3 sin x = 0 ⇔
π
2
+ 2k π ∨ x = −
π
6
+ 2k π ∨
 π
∨ x = π −  −  + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
 6
π
π
7π
⇔ x = + 2k π ∨ x = − + 2k π ∨ x =
+ 2k π, k ∈ ℤ
2
6
6
4sin 2 ( 3 x ) = 8sin ( 3 x ) − 3 ⇔
y = sin ( 3x )
⇔ 4y − 8y + 3 = 0 ⇔
8 ± 64 − 4 × 4 × 3
⇔
8
1
3
⇔ y= ∨y= ⇔
2
2
1
3
⇔ sin ( 3 x ) = ∨ sin ( 3 x ) = ⇔
2
2
⇔ y=
 π
⇔ sin x = 0 ∨ sin x = sin  −  ⇔
 3
3
π
2
3
⇔ sin x = 0 ∨ sin x = −
⇔
2
π
+ 2k π ⇔
⇔ 4sin 2 ( 3 x ) − 8sin ( 3 x ) + 3 = 0 ⇔
⇔ sin x = 0 ∨ 3 + 2 3 sin x = 0 ⇔
3
⇔ sin x = 0 ∨ sin x = −
⇔
2 3
⇔ x = kπ∨ x = −
4
2sin 2 x − sin x − 1 = 0 ⇔
⇔x=
+ k π, k ∈ ℤ
(
π
 π
⇔ sin x = 1 ∨ sin x = sin  −  ⇔
 6
+ 2k π ∨ 2 x = π + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
π
+ 2k π ∨ x = π +
+ 2k π ∨
1± 1+ 8
1
⇔ y = 1∨ y = − ⇔
4
2
1
⇔ sin x = 1 ∨ sin x = − ⇔
2
+ 2k π ∨
+ kπ∨ x =
4
4
⇔ y2 =
 π
∨2 x + == π −  −  + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
4
 4
⇔ 2x = −
π
π
⇔ 2y − y −1 = 0 ⇔
π
π
+ 2k π ∨ x = π −
y = sin x
π
2
π


 π
⇔ sin  2 x +  = −
⇔ sin  2 x +  = sin  −  ⇔
4
2
4


 4
π
 π
∨ sin x = sin  −  ⇔
 4
2
π
π
2 2


4sin  2 x +  + 8 = 0 ⇔ sin  2 x +  = −
⇔
4
4
4


π
4
3π
π
+ 2k π ∨ x =
+ 2k π ∨ x = − + 2k π ∨
4
4
4
5π
∨x =
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
4
π kπ
⇔x= +
, k ∈ℤ
4
2
5π
+ 2k π, k ∈ ℤ
6
π
π

⇔ sin  x −  = sin ⇔
3
3

π
4
∨x = −
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
π
π
3


2sin  x −  − 3 = 0 ⇔ sin  x −  =
⇔
3
3
2




⇔ x−
π
π
+ 2k π ∨
⇔ sin ( 3 x ) = sin
 π
∨ x = π −  −  + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
 3
π
4π
⇔ x = k π ∨ x = − + 2k π ∨ x =
+ 2k π, k ∈ ℤ
3
3
π
π
6
∨ condição impossível ⇔
33
6
+ 2k π ∨ 3 x = π −
π
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
6
π 2k π
5π 2 k π
⇔x= +
∨x=
+
, k ∈ℤ
18
3
18
3
⇔ 3x =
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
8.9.
sin 3 x − 2sin 2 x = 0 ⇔
⇔ sin 2 x ( sin x − 2 ) = 0 ⇔
x=
⇔ sin 2 x = 0 ∨ sin x − 2 = 0 ⇔
⇔ sin x = 0 ∨ sin x = 2 ⇔
⇔ x = k π, k ∈ ℤ ∨ condição impossível ⇔
5π
+ 2k π
12
k
⇔ x = k π, k ∈ ℤ
k
Pág. 73
9.1.
π
S=
12
2 sin x − 1 = 0 ∧ x ∈ [ 0 , 2π[
2 sin x − 1 = 0 ⇔
9.3.
1
2
⇔ sin x =
⇔ sin x =
⇔
2
2
⇔ sin x = sin
⇔x=
π
4
π
+ 2k π ∨ x = π −
π
4
π

sin  x +  − cos x = 0 ∧ x ∈ [ −π , π[
3

π

sin  x +  − cos x = 0 ⇔
3

⇔
4
5π
19π
− 2π ⇔ x = −
12
12
5π
=0⇒ x=
12
5π
=1⇒ x =
+ 2π
12
5π 
,

12 
k = −1 ⇒ x =
π

⇔ sin  x +  = cos x ⇔
3

+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
π

π

⇔ sin  x +  = sin  − x  ⇔
3
2




π
3π
⇔ x = + 2k π ∨ x =
+ 2k π, k ∈ ℤ
4
4
⇔ x+
Atribuindo os valores a k, obtemos as soluções do intervalo
[0 , 2π[ :
π
3π
k =0⇒ x= ∨ x=
4
4
 π 3π 
S= ,

4
4
⇔ 2x =
⇔x=
π

2 3 sin  x +  − 3 = 0 ∧ x ∈ [ −π , π[
4

π
π
k = −1 ⇒ x =
π
π

⇔ sin  x +  = sin ⇔
4
3


k =1⇒ x =
x=
π
12
3
+ 2k π ∨ x +
π
π
= π − + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
4
3
π π
2π π
⇔ x = − + 2k π ∨ x =
− + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
3 4
3 4
π
5π
⇔ x = + 2k π ∨ x =
+ 2k π, k ∈ ℤ
12
12
Soluções no intervalo [ −π , π[ :
=
9.4.
k =0⇒ x =
k =1⇒ x =
12
3
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
− 2π ⇔ x = −
π
12
−π⇔ x=−
π
12
π
12
+π
 11π π 
S = −
,

 12 12 
sin 2 ( π x ) − 1 = 0 ∧ x ∈ [ 0 , 2]
⇔ sin ( π x ) = 1 ∨ sin ( π x ) = −1 ⇔
⇔ πx =
⇔x=
π
−
sin 2 ( π x ) − 1 = 0 ⇔ sin 2 ( π x ) = 1 ⇔
+ 2k π
k = −1 ⇒ x =
2
π
k =0⇒ x =
4
π π
+ k π, k ∈ ℤ ∨ condição impossível ⇔
π
3

⇔ sin  x +  =
⇔
4
2


⇔ x+
π

= π −  − x  + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
2

+ 2k π ∨ x − x =
6
12
3
11π
12
π
23π
k = −2 ⇒ x = − 2 π ⇔ x = −
12
12
π

⇔ 2 3 sin  x +  = 3 ⇔
4

π
3

⇔ sin  x +  =
⇔
4

 2 3
π
π
+ k π, k ∈ ℤ
12
Soluções no intervalo [ −π , π[ :
⇔x=
π

2 3 sin  x +  − 3 = 0 ⇔
4

π
− x + 2k π ∨
2
∨x +
π
9.2.
π
=
3
23π
12
π
2
+ 2k π ∨ π x =
3π
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
2
1
3
+ 2k ∨ x = + 2k , k ∈ ℤ
2
2
As soluções que pertencem ao intervalo [0 , 2] são as que se
1 3 
obtém para k = 0, ou seja, S =  ,  .
2 2
π
12
π
12
+ 2π
Pág. 75
1
π
10.1. 2cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = ⇔ cos x = cos ⇔
2
3
⇔x=
34
π
3
+ 2k π ∨ x = −
π
3
+ 2k π, k ∈ ℤ
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
1
π
⇔ cos x = − cos ⇔
2
3
π
2π

⇔ cos x = cos  π −  ⇔ cos x = cos
⇔
3
3

2π
2π
⇔x=
+ 2k π ∨ x = −
+ 2k π, k ∈ ℤ
3
3
10.6. 2cos 2 x + cos x − 1 = 0 ⇔
10.2. 2cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = −
−1 ± 1 + 8
⇔
4
1
⇔ y = −1 ∨ y = ⇔
2
⇔ y=
π
π
2


10.3. 2cos  x −  = 2 ⇔ cos  x −  =
⇔
3
3
2


⇔ cos x = −1 ∨ cos x =
π
π

⇔ cos  x −  = cos ⇔
3
4

⇔ x−
π
3
=
π
4
+ 2k π ∨ x −
10.4.
π
3
π π
=−
π
4
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
⇔ x = π + 2k π ∨ x =
π π
+ 2k π ∨ x = −
10.8.
(
π
2
∨ sin x = 2 ⇔
2
π

⇔ cos x = cos  π −  ∨ condição impossível ⇔
4

3π
3π
⇔x=
+ 2k π ∨ x = −
+ 2k π, k ∈ ℤ
4
4
10.9. 4sin 2 x + 8cos x − 7 = 0 ⇔
⇔ 4 (1 − cos 2 x ) + 8cos x − 7 = 0 ⇔
⇔ 4 − 4cos 2 x + 8cos x − 7 = 0 ⇔
⇔ 4cos 2 x − 8cos x + 3 = 0 ⇔
6
π

∨ cos x = cos  π −  ⇔
6

π
π
5π
⇔ x = + 2k π ∨ x = − + 2 k π ∨ x =
+ 2k π ∨
6
6
6
5π
∨x = −
+ 2k π ⇔
6
⇔ 4 y2 − 8y + 3 = 0 ⇔
8 ± 64 − 4 × 4 × 3
⇔
8
1
3
⇔ y= ∨y= ⇔
2
2
1
3
⇔ cos x = ∨ cos x =
2
2
⇔ y=
⇔ cos x = cos
⇔x=
6
+ 2k π, k ∈ ℤ
)
π
π
3
π
⇔ cos x = −
3
3
⇔ cos x =
∨ cos x = −
⇔
2
2
+ kπ∨ x = −
π
= π + 2k π ∨ x − = 2k π, k ∈ ℤ ⇔
8
8
9π
π
⇔x=
+ 2k π ∨ x = + 2k π, k ∈ ℤ
8
8
sin
x


2 cos x + 1 
− 1 = 0 ⇔
 2

sin x
⇔ 2 cos x + 1 = 0 ∨
−1 = 0 ⇔
2
1
⇔ cos x = −
∨ sin x − 2 = 0 ⇔
2
⇔ x−
π
π


⇔ cos  2 x +  = cos  π −  ⇔
4
6


π
5π

⇔ cos  2 x +  = cos
⇔
4
6

π 5π
π
5π
⇔ 2x + =
+ 2k π ∨ 2 x + = −
+ 2k π, k ∈ ℤ
4
6
4
6
5π π
5π π
⇔ 2x =
− + 2k π ∨ 2 x = −
− + 2k π, k ∈ ℤ
6 4
6 4
7π
13π
⇔ 2x =
+ 2k π ∨ 2 x = −
+ 2k π, k ∈ ℤ
12
12
7π
13π
⇔x=
+ kπ∨ x = −
+ k π, k ∈ ℤ
24
24
3
10.5. cos 2 x = ⇔
4
6
⇔
π
π


⇔ cos  x −  = −1 ∨ cos  x −  = 1 ⇔
8
8



π
3

⇔ cos  2 x +  = −
⇔
4
2

π
3
3
π

⇔ cos 2  x −  = 1 ⇔
8

π
3

⇔ cos  2 x +  = −
⇔
4
4

⇔x=
π
π
π

10.7. cos 2  x −  − 1 = 0 ⇔
8

π
π
6


8 cos  2 x +  + 6 = 0 ⇔ cos  2 x +  = −
⇔
4
4
8


⇔ cos x = cos
1
⇔
2
⇔ cos x = −1 ∨ cos x = cos
+ + 2k π ∨ x = − + + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
4 3
4 3
7π
π
⇔x=
+ 2k π ∨ x = + 2k π, k ∈ ℤ
12
12
⇔x=
y = cos x
⇔ 2 y2 + y −1 = 0 ⇔
+ k π, k ∈ ℤ
35
π
3
π
3
∨ condição impossível ⇔
+ 2k π ∨ x = −
π
3
+ 2k π, k ∈ ℤ
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
10.10.
cos 2 ( 2 x ) = sin 2 ( 2 x ) ⇔
x=
⇔ cos ( 2 x ) = 1 − cos ( 2 x ) ⇔
2
2
π
4
+ 2k π
k =0⇒ x=
⇔ 2cos 2 ( 2 x ) = 1 ⇔
1
⇔ cos ( 2 x ) = ⇔
2
2
1
1
∨ cos ( 2 x ) =
⇔
2
2
⇔ cos ( 2 x ) = −
2
2
∨ cos ( 2 x ) =
⇔
2
2
4
π
k =1⇒ x =
⇔ cos ( 2 x ) = −
π
4
+ 2π
 π 7π 
S= ,

4 
4
 πx 
11.3. 8cos 
 + 32 = 0 ∧ x ∈ [ −2 , 2]
 2 
π
π

⇔ cos ( 2 x ) = cos  π −  ∨ cos ( 2 x ) = cos ⇔
4
4

3π
3π
⇔ 2x = −
+ 2k π ∨ 2 x =
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
4
4
π kπ
⇔ 2x = +
, k ∈ℤ ⇔
4
2
32
 πx 
 πx 
8cos 
⇔
 + 32 = 0 ⇔ cos 
=−
8
 2 
 2 
32
 πx 
⇔ cos 
⇔
=−
64
 2 
1
 πx 
⇔ cos 
⇔
=−
2
 2 
2
π x
⇔ cos 
⇔
=−
2
 2 
⇔x=
π kπ
8
+
4
π
 πx 

⇔ cos 
 = cos  π −  ⇔
4
 2 

π x 3π
πx
3π
⇔
=
+ 2k π ∨
=−
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
2
4
2
4
( 4)
( 4)
(2)
, k ∈ℤ
⇔ 2π x = 3π + 8k π ∨ 2π x − 3π + 8k π, k ∈ ℤ ⇔
⇔ 2 x = 3 + 8k ∨ 2 x = −3 + 8k , k ∈ ℤ ⇔
3
3
⇔ x = + 4k ∨ x = − + 4k , k ∈ ℤ
2
2
11.1. 2cos x + 3 = 0 ∧ x ∈ ]−π , π]
2cos x + 3 = 0 ⇔
⇔ cos x = −
Atribuindo valores a k obtemos as soluções que pertencem
ao intervalo [–2 , 2].
3
3
k =0⇒ x= ∨ x =−
2
2
3
3
k = −1 ⇒ x = − 4 ∨ x = − − 4
2
2
3
3
k =1⇒ x = + 4 ∨ x = − + 4
2
2
3
3


S = − , 
 2 2
3
⇔
2
π

⇔ cos = cos  π −  ⇔
6

5π
⇔ cos x = cos
⇔
6
5π
5π
⇔x=
+ 2k π ∨ x = −
+ 2k π, k ∈ ℤ
6
6
As únicas soluções que pertencem ao intervalo ]−π , π] são
 5π 5π 
as que se obtêm para k = 0, ou seja, S = −
,
.
6 
 6
11.4. cos x + sin x = 0 ∧ x ∈ ]−π , π[
cos x + sin x = 0 ⇔
⇔ cos x = − sin x ⇔
⇔ cos x = sin ( − x ) ⇔
11.2. cos x − 0,5 = 0 ∧ x ∈ [ 0 , 2π[
cos x − 0,5 = 0 ⇔ cos x =
1
⇔
2
π

⇔ cos x = cos  − ( − x )  ⇔
2

2
π
⇔ cos x =
⇔ cos x = cos ⇔
2
4
⇔x=−
π
4
+ 2k π ∨ x =
π
4
π

⇔ cos x = cos  + x  ⇔
2

+ 2k π, k ∈ ℤ
⇔x=
Atribuindo valores a k, obtemos:
x=−
π
4
+ 2k π
π
2
+ x + 2k π ∨ x = −
π
2
− x + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
⇔ Equação impossível ∨ 2 x = −
k =0⇒ x=−
k =1⇒ x =
(2)
π
⇔x=−
4
7π
4
k =2⇒ x=−
π
4
π
4
+ k π, k ∈ ℤ
k = −1 ⇒ x = −
+ 4π
k =0⇒ x=−
36
π
4
π
4
−π
π
2
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
3π
4
π
7π
k = 2 ⇒ x = − + 2π =
4
4
 π 3π 
S = − ,

4
 4
k =1⇒ x = −
π
4
1
∧ 2 x ∈ [ −5 π , − 4 π ] ⇒
3
⇒ 2 x ≈ ( −4π − 1,2310 ) rad ⇒
cos ( 2 x ) =
+π=
⇒ 2 x ≈ −13,7974 rad ⇒ x ≈ −6,90 rad
x 6
12.4. 2cos + = 0 ∧ x ∈ [ −8π , − 6π] ⇔
2 5
x
6 x
⇔ 2cos = − ∧ ∈ [ −4π , − 3π] ⇔
2
5 2
x
3 x
⇔ cos = − ∧ ∈ [ −4π , − 3π]
2
5 2
3
Na calculadora obtemos arccos   ≈ 0,9273 .
5
Pág. 76
 5π 7 π 
12.1. sin x = 0,6 ∧ x ∈ 
,
2 
 2
Recorrendo à calculadora, obtemos, arcsin ( 0,6 ) ≈ 0,6435 .
cos
 5π 7 π 
sin x = 0,6 ∧ x ∈ 
,
⇒
2 
 2
⇒ x ≈ ( 3π − 0,6435 ) rad
⇒ x ≈ 8,78 rad
π
 π
12.2. 5sin ( 3 x ) + 4 = 0 ∧ x ∈  − , −  ⇔
3
6

4
π

⇔ sin ( 3 x ) = − ∧ 3 x ∈  −π , − 
5
2

x
3 x
= − ∧ ∈ [ −4π , − 3π] ⇒
2
5 2
x
⇒ ≈ ( −3π − 0,9273) rad ⇒
2
x
⇒ ≈ −10,3521 rad ⇒ x ≈ −20,70 rad
2
Pág. 77
13.1. tan ( π x ) + 1 = 0 ∧ x ∈ [ 0 , 1]
tan ( π x ) + 1 = 0 ⇔ tan ( π x ) = −1 ⇔
4
Recorrendo à calculadora, obtemos arcsin   ≈ 0,9273 .
5
π
 π
⇔ tan ( π x ) = tan  −  ⇔ π x = − + k π, k ∈ ℤ ⇔
4
4


1
⇔ x = − + k, k ∈ ℤ
4
3
Para k = 1 obtemos x = que é a única solução do intervalo
4
3
 
[0 , 1], ou seja, S =   .
4
π

 π 2π 
13.2. 6 tan  2 x −  − 12 = 0 ∧ x ∈  − ,
6
3 


 3
4
π

sin ( 3 x ) = − ∧ 3 x ∈  −π , −  ⇒
5
2

π

6 tan  2 x −  − 12 = 0 ⇔
6

⇒ 3 x ≈ ( −π + 0,9273) rad ⇒
⇒ 3 x ≈ −2, 2143 rad ⇒
⇒ x ≈ −0,74 rad
π
12

⇔ tan  2 x −  =
⇔
6
6

 5π

12.3. 3cos ( 2 x ) = 1 ∧ x ∈  −
, − 2π  ⇔
2


1
⇔ cos ( 2 x ) = ∧ 2 x ∈ [ −5π , − 4π]
3
π
3

⇔ tan  2 x −  =
⇔
6 3

12 2 3
3
=
=
6
6
3
π
π
π π

⇔ tan  2 x −  = tan ⇔ 2 x − = + k π, k ∈ ℤ ⇔
6
6
6 6

π
π kπ
⇔ 2 x = 2 × + k π, k ∈ ℤ ⇔ x = +
, k ∈ℤ
6
6
2
1
Recorrendo à calculadora obtemos arccos   ≈ 1, 2310 .
3
k = −1 ⇒ x =
k =0⇒ x=
k =1⇒ x =
37
π π
6
−
2
=−
π
3
π
6
π π
6
+
2
=
2π
3
π
S = 
6
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
14.6. 3tan 2 x + 2 3 tan x = 3
Pág. 78
π
π


14.1. 3tan  2 x −  = 0 ⇔ tan  2 x −  = 0 ⇔
6
6


⇔ 2x −
⇔ 2x =
⇔x=
π
6
π
6
π
= k π, k ∈ ℤ ⇔
+ k π, k ∈ ℤ ⇔
+
kπ
, k ∈ℤ
2
12
1
 πx 
2 πx 
14.2. 3tan 
 = 1 ⇔ tan 
= ⇔
 2 
 2  3
π
⇔x=
+ kπ∨
πx
π
1
1
+ 2k ∨ x = − + 2k , k ∈ ℤ
3
3
π
π

14.3. tan ( 2 x ) = tan  − x  ⇔ 2 x = − x + k π, k ∈ ℤ ⇔
6
6

π
π kπ
⇔ 3 x = + k π, k ∈ ℤ ⇔ x = +
, k ∈ℤ
6
18 3
sin x
14.4. tan x + sin x = 0 ⇔
+ sin x = 0 ⇔
cos x
 1

⇔ sin x 
+ 1 = 0 ⇔
 cos x 
1
⇔ sin x = 0 ∨
+1 = 0 ⇔
cos x
1
⇔ sin x = 0 ∨
= −1 ⇔
cos x
⇔ ( sin x = 0 ∨ cos x = −1) ∧ cos x ≠ 0 ⇔
⇔ ( x = k π ∨ x = π + 2k π ) ∧ x ≠
⇔ x = k π, k ∈ ℤ
3
⇔
3
3
⇔
3
π
2
π
3
+ kπ∨ x =
π
6
+ k π, k ∈ ℤ
5π 

15.1. 3tan ( 2 x ) = 1 ∧ x ∈  π ,
⇔
4 

1
5π 

⇔ tan ( 2 x ) = ∧ 2 x ∈  2π ,
3
2 

1
Na calculadora obtém-se arctan   ≈ 0,3218 .
 3
= − + k π, k ∈ ℤ ⇔
2
6
⇔ 3π x = π + 6k π ∨ 3π x = −π + 6k , k ∈ ℤ ⇔
6
−2 3 ± 4 3
−6 3
3
⇔ y=
∨y=
⇔
6
6
3
⇔x=−
π
 πx 
 πx 
 π
⇔ tan 
 = tan ∨ tan 
 = tan  −  ⇔
6
 2 
 2 
 6
=
⇔ y=
π
 π
⇔ tan x = tan  −  ∨ tan x = tan ⇔
6
 3
3
3
 πx 
 πx 
⇔ tan 
∨ tan 
⇔
=
=−
3
 2  3
 2 
2
−2 3 ± 12 + 36
−2 3 ± 48
⇔ y=
⇔
6
6
⇔ tan x = − 3 ∨ tan x =
1
 πx 
⇔ tan 
⇔
=±
3
 2 
πx
⇔ y=
⇔ y=− 3∨ y =
2
⇔
y = tan x
⇔ 3y2 + 2 3 y − 3 = 0 ⇔
1
5π 

∧ 2 x ∈  2π ,
⇒
3
2 

⇒ 2 x ≈ 2π + 0,3218 rad ⇒
⇒ 2 x ≈ 6,6050 rad ⇒
⇒ x ≈ 3,30 rad
x
15.2. tan + 2 = 0 ∧ x ∈ ]−3π , − 2π] ⇔
2
x
x  3π

⇔ tan = − 2 ∧ ∈  −
, − π
2
2  2

tan ( 2 x ) =
+ k π, k ∈ ℤ ⇔
14.5. sin x = tan 2 x sin x = 0 ⇔
⇔ sin x − tan 2 x sin x = 0 ⇔
Na calculadora obtemos arctan
( 2 ) ≈ 0,9553 .
⇔ sin x (1 − tan 2 x ) = 0 ⇔
⇔ sin x = 0 ∨ tan 2 x = 1 ⇔
⇔ sin x = 0 ∨ tan x = 1 ∨ tan x = −1 ⇔
π
π


⇔  x = k π ∨ x = + k π ∨ x = − + k π ∧
4
4


∧x ≠
π
2
+ k π, k ∈ ℤ ⇔
x
x  3π

= − 2 ∧ ∈ −
, − π ⇒
2
2  2

x
x
⇒ ≈ ( −π − 0,9553) rad ⇒ ≈ −4,0969 rad ⇒
2
2
⇒ x ≈ −8,19 rad
tan
⇔ x = kπ∨ x =
π kπ
4
+
2
, k ∈ℤ
38
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
 5π

15.3. tan 2 x = 1, 21 ∧ x ∈  −
, − 2π  ⇔
2


 5π

⇔ tan x = − 1, 21 ∧ x ∈  −
, − 2π  ⇔
 2

16.3. 4sin x + 12 > 0 ∧ x ∈ [ 0 , 2π[ ⇔
x ∈ 4.º Q
tan x < 0
⇔ sin x > −
12
∧ x ∈ [ 0 , 2π[ ⇔
4
12 = 2 3
3
⇔ sin x > −
∧ x ∈ [ 0 , 2π[
2
 5π

⇔ tan x = −1,1 ∧ x ∈  −
, − 2π 
 2

Na calculadora obtém-se arctan (1,1) ≈ 0,8330 .
3
π
π
∧ x ∈ [ 0 , 2π[ ⇔ x = π + ∨ x = 2π − ⇔
2
3
3
4π
5π
⇔x=
∨x=
3
3
sin x = −
 5π

tan x = −1,1 ∧ x ∈  −
, − 2π  ⇒
 2

⇒ x ≈ ( −2π − 0,8330 ) rad ⇒ x ≈ −7,1 rad
3
∧ x ∈ [ 0 , 2π[ ⇔
2
4π   5π


⇔ x ∈ 0 ,
∪
, 2π 
3   3


sin x > −
Pág. 79
16.1. 2sin x − 2 ≤ 0 ∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
Pág. 80
 π
17.1. 2cos x < 1 ∧ x ∈  − ,
 2
1
 π
cos x = ∧ x ∈  − ,
2
 2
2
⇔ sin x ≤
∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
2
sin x =
⇔x=
2
∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
2
π
∨ x = π−
π
π
2 
⇔ cos x <
π
π
1
 π π
∧ x ∈ − , 
2
 2 2
π
⇔x=− ∨x=
2 
3
3
⇔
4
π
3π
⇔x= ∨x=
4
4
4
cos x <
2
π   3π


∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔ x ∈  0 ,  ∪ 
, π
2
4  4


2sin x + 1 ≤ 0 ∧ x ∈ [ −π , π] ⇔
sin x ≤
16.2.
17.2.
1
π  π π
 π π
 π
∧ x ∈ − ,  ⇔ x ∈ − , −  ∪  , 
2
3 3 2
 2 2
 2
2 − 2cos x > 0 ∧ x ∈ [ −π , π] ⇔
⇔ 2cos x < 2 ∧ x ∈ [ −π , π] ⇔
1
⇔ sin x ≤ − ∧ x ∈ [ −π , π]
2
1
π
π
sin x = − ∧ x ∈ [ −π , π ] ⇔ x = −π + ∨ x = − ⇔
2
6
6
5π
π
⇔x=−
∨x=−
6
6
⇔ cos x <
1
π
 5π
sin x ≤ − ∧ x ∈ [ −π , π] ⇔ x ∈  −
, − 
2
6
6

39
2
∧ x ∈ [ − π , π]
2
cos x =
2
π
π
∧ x ∈ [ − π , π] ⇔ x = − ∨ x =
2
4
4
cos x <
2
π  π


∧ x ∈ [ − π , π] ⇔ x ∈  − π , −  ∪  , π 
2
4 4


1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
cos x =
17.6. tan 2 x < 3 ∧ x ∈ [ 0 , 2π[
3
 3π π 
∧ x ∈ −
, 
2
4
 4
17.3. 0 ≤ cos x ≤
tan x = y
y2 < 3 ⇔ y2 − 3 < 0 ⇔ − 3 < y < 3
3
π
π
 3π π 
∧ x ∈ −
, ⇔ x=− ∨x=
2
4
6
6
 4
Logo, tan 2 x < 3 ∧ x ∈ [ 0 , 2π[ ⇔
⇔ − 3 < tan x < 3 ∧ x ∈ [ 0,2π[
No intervalo [ 0 , 2π[ :
tan x = 3 ⇔ x =
π
3
∨ x = π+
tan x = − 3 ⇔ x = π −
⇔x=
2π
5π
∨x=
3
3
π
3
π
3
⇔x=
∨ x = 2π −
π
3
π
3
∨x=
4π
3
⇔
3
 3π π 
, ⇔
∧ x ∈ −
2
4
 4
0 ≤ cos x ≤
π π π
 π
⇔ x ∈ − , −  ∪  , 
6 6 4
 2
17.4. tan x > −1 ∧ x ∈ ]−π , π]
tan x = −1 ∧ x ∈ ]− π , π] ⇔ x = −
π
4
∨x=
3π
4
− 3 < tan x < 3 ∧ x ∈ [ 0 , 2π[ ⇔
π   2π 4π   5π


⇔ x ∈ 0 ,  ∪ 
,
∪
, 2π 

3  3
3   3


tan x > −1 ∧ x ∈ ]−π , π] ⇔
Pág. 81
π   π π   3π


⇔ x ∈  −π , −  ∪  − ,  ∪ 
, π
2  4 2  4


x
x
; g ( x ) = 3 − 2cos 2 ; D f = Dg = [ 0 , 4π]
2
2
 x
 x
18.1. f ( x ) = g ( x ) ⇔ 1 − sin   = 3 − 2cos 2   ⇔
2
 
2
x
x
⇔ 2cos 2 − sin − 2 = 0 ⇔
2
2
x
x

⇔ 2 1 − sin 2  − sin − 2 = 0 ⇔
2
2


x
2 x
⇔ 2 − 2sin − sin − 2 = 0 ⇔
2
2
x
x
x
x 
⇔ 2sin 2 + sin = 0 ⇔ sin  2sin + 1 = 0 ⇔
2
2
2
2 
x
x
⇔ sin = 0 ∨ 2sin + 1 = 0 ⇔
2
2
x
x
1
⇔ sin = 0 ∨ sin = − ⇔
2
2
2
x
x
 π
⇔ sin = 0 ∨ sin = sin  −  ⇔
2
2
 6
x
x
π
x 7π
⇔ = k π ∨ = − + 2k π ∨ =
+ 2k π ⇔
2
2
6
2 6
π
7π
⇔ x = 2k π ∨ x = − + 4k π ∨ x =
+ 4k π, k ∈ ℤ
3
3
18.
 π π
17.5. 3tan ( 2 x ) < 3 ∧ x ∈  − ,  ⇔
 2 2
⇔ tan ( 2 x ) <
tan ( 2 x ) =
3
∧ 2 x ∈ ]− π , π ]
3
3
∧ 2 x ∈ ] − π , π] ⇔
3
⇔ 2x =
π
6
∨ 2 x = −π +
π
6
⇔ 2x =
π
6
∨ 2x = −
5π
6
3
∧ 2 x ∈ ]− π , π ] ⇔
3
5π   π π   π


⇔ 2 x ∈  −π , −  ∪  − ,  ∪  , π ⇔
6   2 6 2


5π   π π   π π 
 π
⇔ x ∈ − , −  ∪ − ,
∪
,
12   4 12   4 2 
 2
tan ( 2 x ) <
f ( x ) = 1 − sin
Atribuindo valores a k obtemos as soluções do intervalo
[ 0 , 4π ] :
40
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
x = 0 ∨ x = 2π ∨ x = 4π ∨ x = −
⇔ x = 0 ∨ x = 2π ∨ x =
π
3
+ 4π ∨ x =
7π
⇔
3
  π
π
1 1
π 1
; A , 
 f  3  = 1 − sin 6 = 1 − 2 = 2
 3 2
  
2

 g  π  = 3 − 2cos 2 π = 3 − 2 ×  3  = 3 ; B  π , 3 




  
6
2
 3 2
 2 
 3
7π
11π
∨x=
∨ x = 4π
3
3
1
x 1
⇔ 1 − sin > ∧ x ∈ [ 0 , 4π] ⇔
2
2 2
x
1 x
⇔ sin < 1 − ∧ ∈ [ 0 , 2π] ⇔
2
2 2
x 1 x
⇔ sin < ∧ ∈ [ 0 , 2π]
2 2 2
x 1
x π x 5π
sin = ∧ x ∈ [ 0 , 2π] ⇔ = ∨ =
2 2
2 6 2 6
18.2. f ( x ) >
  5π 
5π
1 1
 5π 1 
; A
, 
 f  3  = 1 − sin 6 = 1 − 2 = 2
2


 3

2

 g  5π  = 3 − 2cos 2 5π = 3 − 2 ×  − 3  = 3 ; B  5π , 3 


  3 
 2 
6
2
2
 3



3π

 f ( 3π ) = 1 − sin 2 = 1 + 1 = 2 ; A ( 3π , 2 )

 g ( 3π ) = 3 − 2cos 2 3π = 3 − 0 = 3 ; B ( 3π , 3)

2
π 1
π 3
 5π 1 
 5π 3 
A ,  e B  ,  ; A
,  e B
,  ou
3
2
3
2
3
2
2






 3
A ( 3π , 2 ) e B ( 3π , 3)
Atividades complementares
x 1 x
x 
π   5π

sin < ∧ ∈ [ 0 , 2π] ⇔ ∈  0 ,  ∪ 
, 2π 
2 2 2
2 
6  6

π   5π


⇔ x ∈ 0 ,  ∪ 
, 4π 
3  3


1 − sin ( 4 x )
, Df = ℝ
2
19.1. x ∈ ℝ ⇔ 4 x ∈ ℝ ⇔ −1 ≤ sin ( 4 x ) ≤ 1 ⇔
19.
⇔ 1 − 1 ≤ 1 − sin ( 4 x ) ≤ 1 + 1 ⇔
x
x
18.3. g ( x ) − f ( x ) = 1 ⇔ 3 − 2cos − 1 + sin = 1 ⇔
2
2
0 1 − sin ( 4 x ) 2
≤
≤ ⇔ 0 ≤ f ( x) ≤ 1
2
2
2
D′f = [ 0 , 1]
2
⇔
x
x

⇔ 2 − 2 1 − sin 2  + sin = 1 ⇔
2
2

19.2. Se x ∈ D f então x +
x
x
+ sin = 1 ⇔
2
2
x
x
x
2 x
⇔ 2sin + sin = 1 ∨ 2sin 2 + sin = −1 ⇔
2
2
2
2
x
x
x
x
⇔ 2sin 2 + sin − 1 = 0 ∨ 2sin 2 + sin + 1 = 0 ⇔
2
2
2
2
⇔ 2 − 2 + 2sin 2
⇔ 2 y2 + y − 1 = 0 ∨ 2 y2 + y + 1 = 0 ⇔
f ( x) =
Pág. 84
π
2
∈ D f porque D f = ℝ
 
π 
1 − sin  4  x +  
2 

 
=
f x+  =
2
2

1 − sin ( 4 x + 2π)
=
=
2
1 − sin ( 4 x )
=
=
2
= f ( x)
π
x

 y = sin 
2

−1 ± 1 + 8
−1 ± 1 − 8
∨y=
⇔
4
4
1
⇔ y = −1 ∨ y = ∨ condição impossível ⇔
2
x
x 1
x
x
 π
⇔ sin = −1 ∨ sin = ⇔ sin = −1 ∨ sin = sin  
2
2 2
2
2
6
x 3π
x π
⇔ =
+ 2k π ∨ = + 2 k π ∨
2 2
2 6
x
π
∨ = π − + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
2
6
π
5π
⇔ x = 3π + 4k π ∨ x = + 4k π ∨ x =
+ 4k π, k ∈ ℤ
3
3
No intervalo [ 0 , 4π] , temos:
⇔ y=
π

f  x +  = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ
2

4
19.3. f ( π + α ) × f ( π − α ) =
⇔
25
1 − sin  4 ( π + α )  1 − sin  4 ( π − α )  4
×
=
⇔
2
2
25
1 − sin ( 4π + 4α ) 1 − sin ( 4π − 4α ) 4
⇔
×
=
⇔
2
2
25
1 − sin 4α 1 − sin ( −4α ) 4
⇔
×
=
⇔
2
2
25
⇔
(1 − sin ( 4α ) ) + (1 + sin ( 4α ) ) =
4
⇔
4
25
16
16
⇔ 1 − sin 2 ( 4α ) =
⇔ sin 2 ( 4α ) = 1 −
⇔
25
25
π
5π
π
5π
x = 3π ∨ x = ∨ x =
⇔x= ∨x=
∨ x = 3π
3
3
3
3
⇔
⇔ sin ( 4α ) = ±
41
9
25
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
π π
Se α ∈  ,  , 4α ∈ ]π , 2π[ .
4 2
3
Logo, sin ( 4α ) = − .
5
 3
1−  −  1+ 3 8
1 − sin ( 4α )
 5 =
5=5=4
f (α ) =
=
2
2
2
2 5
π
2
π π
21.2. sin  + arcsin
 = sin  +  =
2
2
2 4


2
 3π 
= sin   =
4
2
 
22.
ˆ = x , então BOP
ˆ = 2x .
20.1. Se BAP
Tomando [OA] para base do
triângulo [AOP] a altura h é
dada por sin ( 2x ) .
sin 2 x + cos 2 x = 1
2
9
16
 3
2
2
⇔ cos 2 x =
  + cos x = 1 ⇔ cos x = 1 −
25
25
5
4
 π π
Como x ∈  − ,  , cos x > 0 . Logo, cos x = .
5
2
2


A área do triângulo [AOP] é
dada por:
AO × h 1 × sin ( 2 x ) sin ( 2 x )
=
=
2
2
2
3
4

cos  arcsin  = cos x =
5
5

Como OA = OP , [OS] é a mediana do triângulo [AOP]
1
 x
f ( x ) = 3cos   ; g ( x ) = sin ( 3x ) ; D f = Dg = ℝ
3
2
23.1. Se x ∈ D f , então x + 4π∈ D f porque D f = ℝ .
relativa ao vértice O.
1
1 sin ( 2 x ) 1
= sin ( 2 x ) .
Então, A[OPS ] = A[ AOP ] = ×
2
2
2
4
1
Portanto, g ( x ) = sin ( 2 x ) .
4
23.
 x + 4π 
 x 4π 
f ( x + 4π ) = 3cos 
 = 3cos  +
=
 2 
2 2 
x
x

= 3cos  + 2π  = 3cos = f ( x )
2
2


π

20.2. Se x ∈  0 ,  , então 2 x ∈ ]0 , π[ . Logo, 0 < sin ( 2 x ) ≤ 1 e
2

sin ( 2 x ) 1
1

0<
≤ . Assim, Dg′ =  0 ,  e a área máxima do
4
4
4

f ( x + 4π) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ
Logo, f é uma função periódica de período 4π .
triângulo [OPS]
1
é .
4
23.2. Seja P o período positivo mínimo da função g.
Se x ∈ Dg , então x + P ∈ Dg porque Dg = ℝ .
∀x ∈ ℝ, g ( x + P ) = g ( x ) ⇔
20.3. P ( cos ( 2 x ) , sin ( 2 x ) )
1
1
sin 3 ( x + P )  = sin ( 3 x ) ⇔
3 
3
⇔ ∀x ∈ ℝ, sin ( 3x + 3P ) = sin ( 3 x )
⇔ ∀x ∈ ℝ,
5
13
cos 2 ( 2 x ) + sin 2 ( 2 x ) = 1
cos ( 2 x ) =
Como 2π é o período positivo mínimo da função seno e P é
2
25
5
2
2
⇔
  + sin ( 2 x ) = 1 ⇔ sin ( 2 x ) = 1 −
169
 13 
144
⇔ sin 2 ( 2 x ) =
169
12
Como 2 x ∈ ]0 , π[ , temos sin ( 2 x ) = .
13
12
1 12
3
Se sin ( 2 x ) = , g ( x ) = × =
.
13
4 13 13
o menor valor positivo para o qual a proposição é verdadeira,
2π
terá de ser 3P = 2π ⇔ P =
. Logo, a função g é periódica
3
2π
de período positivo mínimo P0 =
.
3
 π − 2α 
23.3. f ( π − 2α ) = 1 ⇔ 3cos 
 =1⇔
 2 
1
π

⇔ 3cos  − α  = 1 ⇔ 3sin α = 1 ⇔ sin α =
3
2


3
3
 π π
21.1. arcsin  −
= sin x ∧ x ∈  − ,  ⇔
 = x ⇔ −
2
2
 2 2


⇔x=−
arcsin
 π α  1   π α 
g  +  = sin 3  +   =
 2 3  3   2 3 
π
1  3π
π
 1 

= sin 
+ α  = sin  π + + α  =
3  2
3
2



3
1
1
 π π
= x ⇔ = sin x ∧ x ∈  − ,  ⇔
2
2
 2 2
⇔x=
3

cos  arcsin  = cos x
5

3
3
 π π
arcsin = x ⇔ = sin x ∧ x ∈  − , 
5
5
 2 2
1 π
1
1  2 2 2 2

= − sin  + α  = − cos α = − ×  −
=
3
3 
3 
9
3 2

π
6
Cálculo auxiliar:
1
1
8
+ cos2 α = 1 ⇔ cos 2 α = 1 − ⇔ cos 2 α =
9
9
9

3
1
π
π
arcsin  −
 + 2arcsin 2 = − 3 + 2 × 6 = 0
2


8
2 2
 π 3π 
Como α ∈  ,
, cosα < 0 , pelo que cos α = −
=−
.
2 
3
3
2
42
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
23.4. Dh = D f ∩ Dg = ℝ

2
3
25.2. cos  2arccos
− arccos
=
2
2 

Se x ∈ Dh , então − x ∈ Dh .
h ( − x ) = ( f × g )( − x ) = f ( − x ) × g ( − x ) =
π π

π π
= cos  2 × −  = cos  − 
4 6

2 6
π 1
= sin   =
6 2
 −x  1
= 3cos   × sin ( 3 × ( − x ) ) =
 2  3
 x 1
= 3cos  −  × sin ( −3 x ) =
 2 3
x 1
= 3cos ×  − sin ( 3 x )  =
2 3
x 1
= −3cos × sin ( 3 x ) =
2 3
= − ( f × g )( x ) = −h ( x )
26.
∀x ∈ ℝ, h ( − x ) = − h ( x )
Logo, h é uma função ímpar.
24.
2
144
25
 12 
sin 2 x +   = 1 ⇔ sin 2 x = 1 −
⇔ sin 2 x =
169
169
 13 
5
Como x ∈ [ 0 , π] , sin x > 0 . Logo, sin x =
.
13
12 
5

sin  arccos  = sin x =
13 
13

f ( x ) = BP ; g ( x ) = AP
24.1. O triângulo [ABP] é retângulo em
P porque o ângulo APB está
inscrito numa semicircunferência.
24.2. Atendendo a que o triângulo [ABP]
é retângulo em P e a que
ˆ = 1 BOP
ˆ = x , temos:
BAP
2
2
 x π
h ( x ) = 2 tan  + 
2 2
x π π


27.1. Dh = ℝ \  x : + = + k π, k ∈ ℤ 
2 2 2


27.
BP
BP
 x
 x
 x
= sin   ⇔
= sin   ⇔ BP = 2sin  
2
AB
2
2
2
= ℝ \ { x : x = 2k π, k ∈ ℤ}
AP
AP
 x
x
 x
= cos   ⇔
= cos   ⇔ AP = 2cos  
2
AB
2
2
2
 π− x π
 x π
27.2. h ( π − x ) × h ( x ) = 2 tan 
+  × 2 tan  +  =
2
2


2 2
π x
sin  + 
 π x π
 2 2 =
= 4 tan  − +  ×
 2 2 2  cos  π + x 


 2 2
 x
 x
cos  
cos  
x

2
 x

2 =
= 4 tan  π −  ×
= −4 tan   ×
2
x
2
 x


− sin  
− sin  
2
2
x
 x
sin   cos  
2 ×
 2  = 4 se cos  x  ≠ 0 ∧ sin  x  ≠ 0
=4
 
 
x
 
x
2
2
cos   sin  
2
2
x kπ
 x
 x
cos   ≠ 0 ∧ sin   ≠ 0 ⇔ ≠
, k ∈ℤ ⇔
2
2
2
2
 
 
⇔ x ≠ k π, k ∈ ℤ
 x
 x
Portanto, f ( x ) = 2sin   e g ( x ) = 2cos   .
2
2
 π − 2α 
24.3. f ( π − 2α ) = 1 ⇔ 2sin 
 =1⇔
 2 
π

⇔ 2sin  − α  = 1 ⇔ 2cos α = 1 ⇔
2


1
⇔ cos α = ⇔
2
⇔α =
π
12 

sin  arccos  = sin x
13 

12
x = arccos ∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
13
12
⇔ cos x = ∧ x ∈ [ 0 , π]
13
sin 2 x + cos 2 x = 1
α ∈ ]0 , π[
3
π
 
π
 π
AP = g (α ) = g   = 2cos  3  = 2cos   = 3
2
3
6
 
 
Pág. 85
27.3. Se x ∈ Dh , então x + 2π∈ Dh .

3
3
25.1. arccos  −
= cos x ∧ x ∈ [ 0 , π]
 = x ⇔ −
2
2


π
5π
⇔ x = π− ⇔ x =
6
6
1 π
arccos   =
2 3
π
 x + 2π π 
x
h ( x + 2π ) = 2 tan 
+  = 2 tan  + π +  =
2
2
 2
2
 x π 

= 2 tan  +  + π =
 2 2 

 x π
= 2 tan  ×  = h ( x )
2 2

3
 1  5π π π
arccos  −
− =
 − arccos   =
2 2 3 2
 2 
∀x ∈ Dh , h ( x + 2π ) = h ( x )
Logo, a função h é periódica de período 2π .
43
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
 π π
28.1. arctan − 3 = x ⇔ − 3 = tan x ∧ x ∈  − ,  ⇔
 2 2
(
)
⇔x=−
30.4. 1 − sin x = cos 2 x ⇔
⇔ 1 − sin x = 1 − sin 2 x ⇔
⇔ sin 2 x − sin x = 0 ⇔
⇔ sin x ( sin x − 1) = 0 ⇔
π
3
 3
π π π
3arctan 
 + arctan − 3 = 3 × − =
3
6 3 6


(
)
⇔ sin x = 0 ∨ sin x − 1 = 0 ⇔
⇔ sin x = 0 ∨ sin x = 1 ⇔
π
2
 π
28.2. sin arctan ( −1)  = sin  −  = − sin = −
4
4
2


⇔ x = kπ∨ x =
2
30.5. sin x − 1 = cos x − 1 ⇔
Cálculo auxiliar:
π

⇔ cos  − x  = cos x ⇔
2

4
4

tan  arccos  = tan x com arccos = x
5
5

4
4
arccos = x ⇔ = cos x ∧ x ∈ [ 0 , π]
5
5
1
2
1 + tan x =
cos 2 x
⇔
π
+ kπ∨ x =
π
30.3.
3± 9 −8
1
⇔ y = ∨ y =1⇔
4
2
1
π
⇔ sin x = ∨ sin x = 1 ⇔ sin x = sin ∨ sin x = 1 ⇔
2
6
π
5π
π
⇔ x = + 2k π ∨ x =
+ 2k π ∨ x = + 2k π, k ∈ ℤ
6
6
2
π
31.1. ( sin x − 1)( 2sin x − 1) = 0 ∧ x ∈ ]0 , π[ ⇔
⇔ ( sin x = 1 ∨ 2sin x − 1 = 0 ) ∧ x ∈ ]0 , π[ ⇔
1

⇔  sin x = 1 ∨ sin x =  ∧ x ∈ ]0 , π[ ⇔
2

π
π
5π
⇔x= ∨x= ∨x=
2
6
6
 π π 5π 
S= ,
,

6 
6 2
+ k π, k ∈ ℤ
+ k π, k ∈ ℤ ⇔ x = k
π
2
 π 3π 
31.2. 2sin 2 ( 2 x ) − sin ( 2 x ) − 1 = 0 ∧ x ∈  ,
⇔
4 
4
 π 3π 
⇔ 2 y2 − y −1 = 0 ∧ x ∈  ,
⇔
4 
4
, k ∈ℤ
3 − sin x = sin x ⇔
⇔ y=
⇔ sin x + sin x = 3 ⇔
3
⇔
2
⇔ sin x = sin
⇔x=
⇔x=
π
3
π
3
π
3
+ 2k π ∨ x = π −
+ 2k π ∨ x =
π
3
y = sin x
1± 1+ 8
 π 3π 
∧ x∈ ,
⇔
4
4 
4
1
 π 3π 
⇔ y = 1∨ y = − ∧ x ∈  ,
⇔
2
4 
4
1

 π 3π 
⇔  sin ( 2 x ) = 1 ∨ sin ( 2 x ) = −  ∧ 2 x ∈  ,
⇔
2
2 

2
π
π
π
7π
⇔ 2x = ∨ 2x = π + ⇔ x = ∨ x =
2
6
4
12
 π 7π 
S= ,

 4 12 
⇔ 2sin x = 3 ⇔
⇔ sin x =
y = sin x
⇔ y=
⇔ sin x = 0 ∨ sin 2 x − 1 = 0 ⇔
⇔ sin x = 0 ∨ − cos 2 x = 0 ⇔
⇔ sin x = 0 ∨ cos x = 0 ⇔
2
+ k π, k ∈ ℤ
⇔ 2 y2 − 3y + 1 = 0 ⇔
⇔ sin x ( sin 2 x − 1) = 0 ⇔
π
4
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
⇔ 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0 ⇔
3
2
30.2. sin 3 x = sin x ⇔ sin 3 x − sin x = 0 ⇔
⇔ x = kπ∨ x =
π
− x = − x + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
⇔ 2 − 2sin 2 x + 3sin x − 3 = 0 ⇔
= + 2k π ∨ 2 x − = π − + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
3 3
3
3
2π
⇔ 2x =
+ 2k π ∨ 2 x = π + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
3
⇔x=
2
2
⇔ 2 (1 − sin 2 x ) + 3sin x − 3 = 0 ⇔
π
3
π
π


30.1. sin  2 x −  =
⇔ sin  2 x −  = sin ⇔
3 2
3
3


π
π
π
30.6. 2cos 2 x + 3sin x − 3 = 0 ⇔
9 3
= .
Logo, tan x =
16 4
4
3

Então, tan  arccos  = tan x = .
5
4


π
2
− x = x + 2k π ∨
⇔x=
2
π
π
⇔ 2x =
25
5
1 + tan 2 x =   ⇔ tan 2 x =
−1 ⇔
16
 4
9
⇔ tan 2 x =
16
Como x ∈ [ 0 , π] ∧ cos x > 0, tan x > 0 .
⇔ 2x −
+ 2k π, k ∈ ℤ
⇔ sin x = cos x ⇔
π
 π π
arctan ( −1) = x ⇔ −1 = tan x ∧ x ∈  − ,  ⇔ x = −
4
 2 2
29.
π
+ 2k π, k ∈ ℤ
2π
+ 2k π, k ∈ ℤ
3
44
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
31.3. sin ( 2 x ) − cos x = 0 ∧ x ∈ ]−π , π[
⇔ cos x = 0 ∨ cos x = −
sin ( 2 x ) − cos x = 0 ⇔ sin ( 2 x ) = cos x ⇔
⇔x=
π

⇔ sin ( 2 x ) = sin  − x  ⇔
2


⇔ 2x =
⇔ 3x =
⇔x=
⇔x=
π
π

− x + 2k π ∨ 2 x = π −  − x  + 2k π, k ∈ ℤ
2
2

π
2
+ 2k π ∨ 2 x = π −
π 2k π
+
π
∨x=
π
+
π

∨ cos x = cos  π −  ⇔
6

π
π
5π
⇔ x = + 2k π ∨ x = − + 2 k π ∨ x =
+ 2k π ∨
6
6
6
5π
∨x = −
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
6
6
π 2π
π
=−
3
2
π 4π
7π
k = −2 ⇒ x = −
=−
6 3
6
π 2π 5π
k =1⇒ x = +
=
6 3
6
π 4π 3π
k =2⇒ x= +
=
6 3
2
• x=
π
2
6
−
+kπ
k =0⇒ x=
2
π
k =1⇒ x =
 π
π
2
π
2
− 2π = −
+ 2π =
π
⇔ 3x =
⇔x=
32.3.
π
2
+ 2k π ∨ x = −
π 2k π
6
+
3
∨x=−
π
2
π
2
π
2
π
1± 1+ 8
⇔ y = −1 ∨ y = 2 ⇔
2
3π
⇔ sin x = −1 ∨ sin x = 2 ⇔ x =
+ 2k π, k ∈ ℤ
2
⇔ y=
33.1. (1 − cos x )(1 + 2cos x ) = 0 ∧ x ∈ ]−π , π[ ⇔
π

⇔ cos ( 2 x ) = cos  − x  ⇔
2

− x + 2k π ∨ 2 x = −
π
+ k π ∨ x = 2k π ∨ x = π + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
2
kπ
⇔x=
, k ∈ℤ
2
32.6. cos 2 x + sin x + 1 = 0 ⇔ 1 − sin 2 x + sin x + 1 = 0 ⇔
⇔ sin 2 x − sin x − 2 = 0 ⇔
y = sin x
⇔ y2 − y − 2 = 0 ⇔
⇔x=
⇔ cos 2 x + sin 2 x − 2sin x cos x = 1 ⇔
⇔ 1 − 2sin x cos x = 1 ⇔ 2sin x cos x = 0 ⇔
⇔ sin x = 0 ∨ cos x = 0 ⇔
π
kπ
⇔ x = k π ∨ x = + k π, k ∈ ℤ ⇔ x =
, k ∈ℤ
2
2
32.2. cos ( 2 x ) − sin x = 0 ⇔ cos ( 2 x ) = sin x ⇔
2
π
⇔ cos x = 0 ∨ cos x = 1 ∨ cos x = −1 ⇔
5π
2
32.1. cos 2 x + sin x ( sin x − 2cos x ) = 1 ⇔
⇔ 2x =
6
⇔ cos x ( cos 2 x − 1) = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos 2 x = 1 ⇔
3π
2
5π 
S = − ,
,
,

6 
 2 6 2
π
π
+ k π ∨ x = − + k π, k ∈ ℤ
6
6
3
3
32.5. cos x = cos x ⇔ cos x − cos x = 0 ⇔
⇔x=
π
k = −1 ⇒ x =
3
⇔
4
3
3
∨ cos x = −
⇔
2
2
⇔ cos x = cos
π
k = −1 ⇒ x =
+ k π, k ∈ ℤ
⇔ cos x =
3
k =0⇒ x=
2
⇔ 3 − 4cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x =
+ 2k π, k ∈ ℤ
π 2k π
6
π
+ k π, k ∈ ℤ ∨ condição impossível
⇔ 3 − 3cos 2 x − cos 2 x = 0 ⇔
6
3
2
Soluções no intervalo ]−π , π[ :
• x=
2
32.4. 3sin 2 x = cos 2 x ⇔ 3 (1 − cos 2 x ) − cos 2 x = 0 ⇔
+ x + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
2
π
2
⇔
3
⇔ (1 − cos x = 0 ∨ 1 + 2cos x = 0 ) ∧ x ∈ ]− π , π[ ⇔
+ x + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
1

⇔  cos x = 1 ∨ cos x = −  ∧ x ∈ ]−π , π[ ⇔
2

+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
⇔ x = 0 ∨ x = −π +
+ 2k π, k ∈ ℤ
⇔ 3 (1 − cos 2 x ) = 3 + 2cos x ⇔
⇔ 3 cos 2 x + 2cos x = 0 ⇔ cos x
(
3
∨ x = π−
2π
2π
∨ x = 0∨ x =
3
3
2
π
2
π


S = −
, 0,

3 
 3
⇔x=−
3 sin 2 x = 3 + 2cos x ⇔
⇔ 3 − 3 cos 2 x − 3 − 2cos x = 0 ⇔
π
)
3 cos x + 2 = 0 ⇔
45
π
3
⇔
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
33.2.
 π 3π 
3 sin x + 2sin x cos x = 0 ∧ x ∈  − ,
⇔
2 
 2
 π 3π 
⇔ sin x 3 + 2cos x = 0 ∧ x ∈  − ,
⇔
2 
 2
(
)
⇔ sin x = 0 ∨ cos x = −
3
 π 3π 
∧ x ∈ − ,
⇔
2
2 
 2
π

 π 3π 
⇔ sin x = 0 ∨ cos x = cos  π −  ∧ x ∈  − ,
⇔
6
2 

 2
5π
5π


⇔ x = kπ∨ x =
+ 2k π ∨ x = −
+ 2k π  ∧
6
6


cos ( 2 x ) = −0,3 ∧ 2 x ∈ ]−π , 0[ ⇒
⇒ 2 x = ( −π + 1,2661) rad ⇒
⇒ 2 x ≈ −1,8755 rad ⇒ x ≈ −0,94 rad
 π 3π 
∧x ∈ − ,
⇔
2 
 2
5π
7π
⇔ x = 0∨ x =
∨ x = π∨ x =
6
6
 5π

34.2. 2sin x = 0,5 ∧ x ∈ 
, 3π  ⇔
2


 5π

⇔ sin x = 0,25 ∧ x ∈ 
, 3π 
 2

Com a calculadora obtemos: arcsin ( 0, 25 ) ≈ 0, 2527 .
Cálculo auxiliar:
x =kπ
k = −1 ⇒ x = −π
k =0⇒ x =0
k =1⇒ x = π
k = 2 ⇒ x = 2π
x=−
5π
+ 2k π
6
k =0⇒ x = −
x=
5π
6
7π
6
19π
k = 2⇒ x =
6
k =1⇒ x =
5π
+ 2k π
6
k =0⇒ x =
5π
6
k = −1 ⇒ x = −
k =1⇒ x =
7π
6
 5π

sin x = 0,25 ∧ x ∈ 
, 3π  ⇒
 2

⇒ x ≈ ( 3π − 0,2527 ) rad ⇒ x ≈ 9,17 rad
17π
6
5π
7π 

S = 0 ,
,π,

6
6 

34.3. cos
33.3.
x
 x
x
8 cos   − 4sin   cos   = 0 ∧ x ∈ ]0 , 2π[ ⇔
2
2
 
 
2
x
x
 x 
⇔ cos   8 − 4sin  = 0 ∧ ∈ ]0 , π[ ⇔
2
2
 2 
x
1
=
∧ x ∈ ]−5π , − 4π[ ⇔
2
3
⇔ cos
1 x  5π
x

=
∧ ∈ −
, − 2π 
2
3 2  2

 1
Na calculadora obtemos arccos 
 ≈ 0,9553 .
 3

 x
 x
 x
⇔  cos   = 0 ∨ 8 − 4sin   = 0  ∧ ∈ ]0 , π[ ⇔
2
2





 2

8 x
 x
x
⇔  cos   = 0 ∨ sin   =
 ∧ ∈ ]0 , π[ ⇔
2
 2  4  2


2 x
 x
 x
⇔  cos   = 0 ∨ sin   =
 ∧ ∈ ]0 , π[ ⇔
2
2
2
 
 

 2
x π x π x
π
⇔ = ∨ = ∨ = π− ⇔
2 2 2 4 2
4
π
3π
⇔ x = π∨ x = ∨ x =
2
2
3π 
π
S= , π,

2
2
1 x  5π
 x

cos   =
∧ ∈ −
, − 2π  ⇒
2
3
2
2
 


x
⇒ ≈ ( −2π − 0,9553) rad ⇒
2
x
⇒ ≈ −7, 2385 rad ⇒
2
⇒ x ≈ −14, 48 rad
 π

34.1. 10cos ( 2 x ) + 3 = 0 ∧ x ∈  − , 0  ⇔
2


3
⇔ cos ( 2 x ) = − ∧ 2 x ∈ ]−π , 0[
10
 π 3π 
34.4. 4sin ( 4 x ) + 3 = 0 ∧ x ∈  ,
⇔
8 
4
 3
Utilizando a calculadora, obtemos arccos   ≈ 1,2661 .
 10 
⇔ sin ( 4 x ) = −
3
3π 

∧ 4x ∈  π ,
4
2 

 3
Utilizando uma calculadora, arcsin 
 ≈ 0,4478 .
 4 
46
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
36.3. tan 3 x = tan x ⇔
⇔ tan 3 x − tan x = 0 ⇔
⇔ tan x ( tan 2 x − 1) = 0 ⇔
⇔ tan x = 0 ∨ tan 2 x − 1 = 0 ⇔
⇔ tan x = 0 ∨ tan x = 1 ∨ tan x = −1 ⇔
⇔ tan x = 0 ∨ tan x = tan
3
3π 

∧ 4x ∈ π ,
⇒
4
2 

sin ( 4 x ) = −
⇔ x = kπ∨ x =
⇔ tan x = −1 ∨ tan x = 0 ∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
36.5. cos x + sin x tan x = 2 ⇔
sin x
⇔ cos x + sin x ×
−2=0⇔
cos x
⇔ cos 2 x + sin 2 x − 2cos x = 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇔
⇔ 1 − 2cos x = 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇔
1
π
⇔ cos x = ⇔ cos x = cos ⇔
2
3
∨ x = 0∨ x = π⇔
3π
∨x=π
4
3π


S = 0 ,
, π
4


π

35.2. 3tan  2 x +  − 3 = 0 ∧ x ∈ ]−π , 0[
6

⇔x=
Para k = –1, x = −
2
⇔ y=
única solução do intervalo ]−π , 0[ .
⇔x=
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
⇔x=
π 2k π
⇔x=−
+
, k ∈ℤ
6
3
36.2. 3 − tan 2 ( 2 x ) = 0 ⇔
37.
⇔ tan 2 ( 2 x ) = 3 ⇔
 π
 π
⇔ tan ( 2 x ) = tan   ∨ tan ( 2 x ) = tan  −  ⇔
3
 3
⇔x=
π
3
+ k π ∨ 2x = −
π kπ
6
+
2
3
∨x=−
π
3
6
+
2
y = tan x
2± 4−4
⇔ y =1⇔
2
π
4
π
4
⇔
+ k π, k ∈ ℤ
π
3
+ 2k π ∨ x = −
π
3
+ 2k π, k ∈ ℤ
3π 

2cos 2 x = tan x − 2sin 2 x ∧ x ∈  π ,
⇔
2 

Recorrendo à calculadora, arctan ( 2 ) = 1,1071 .
+ k π, k ∈ ℤ ⇔
π kπ
+ 2k π, k ∈ ℤ
3π 

⇔ 2 ( cos 2 x + sin 2 x ) = tan x ∧ x ∈  π ,
⇔
2 

3π 

⇔ tan x = 2 ∧ x ∈  π ,
2 

⇔ tan ( 2 x ) = 3 ∨ tan ( 2 x ) = − 3 ⇔
⇔ 2x =
π
2
⇔
cos x
sin 2 x
2
⇔
−
+1 = 0 ⇔
2
cos x cos x
⇔ sin 2 x − 2cos x + cos 2 x = 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇔
⇔ 1 − 2cos x = 0 ∧ cos ≠ 0 ⇔
1
π
⇔ cos x = ∧ cos x ≠ 0 ⇔ cos x = cos ⇔
2
3
 3x 
 3x 
36.1. tan   + 1 = 0 ⇔ tan   = −1 ⇔
2
 
 2 
 3x 
 π
⇔ tan   = tan  −  ⇔
 3 
 4
3x
π
⇔
= − + k π, k ∈ ℤ ⇔
2
4
2
+ 2k π ∨ x = −
36.7. tan 2 x + 1 =
Pág. 86
π
3
⇔ tan x = 1 ⇔ tan x = tan
 π
S = − 
 2
⇔ 3x = −
π
36.6. tan 2 x + 1 = 2 tan x ⇔
⇔ tan 2 x − 2 tan x + 1 = 0 ⇔
⇔ y2 − 2 y + 1 = 0 ⇔
π
π
3


3tan  2 x +  − 3 = 0 ⇔ tan  2 x +  =
⇔
6
6 3


π π
kπ
⇔ 2 x + = + k π, k ∈ ℤ ⇔ x =
, k ∈ℤ
6 6
2
π
π
⇔ x = k π, k ∈ ℤ
⇔ ( tan x + 1 = 0 ∨ tan x = 0 ) ∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
⇔ x = 0∨ x =
π
⇔ tan x = 0 ∨ sin 2 x = 2 ⇔
⇔ x = k π ∨ condição impossível, k ∈ ℤ ⇔
35.1. ( tan x + 1) tan x = 0 ∧ x ∈ [ 0 , π] ⇔
4
 π
∨ tan x = tan  −  ⇔
 4
⇔ tan x ( 2 − sin 2 x ) = 0 ⇔
⇒ 4 x ≈ 3,5894 rad ⇒ x ≈ 0,90 rad
π
4
+ k π ∨ x = − + k π, k ∈ ℤ
4
4
2
36.4. 2 tan x − tan x sin x = 0 ⇔
⇒ 4 x ≈ ( π + 0,4478 ) rad ⇒
⇔ x = π−
π
, k ∈ℤ
47
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
1
 π 7π 
cos x > − ∧ x ∈  ,
⇔
2
4 
4
 π 2 π   4π 7 π 
⇔ x∈ ,
∪
,
3   3
4 
4
38.3. tan x < 1 ∧ x ∈ ]−π , 0[ ⇔
⇔ tan x > −1 ∧ tan x < 1 ∧ x ∈ ]−π , 0[ ⇔
⇔ −1 < tan x < 1 ∧ x ∈ ]−π , 0[
( tan x = −1 ∨ tan x = 1) ∧ x ∈ ]−π , 0[ ⇔
⇔ x = −π +
3π 

tan x = 2 ∧ x ∈  π ,
⇒ x ≈ ( π + 1,1071) rad ⇒
2 

⇒ x ≈ 4, 25 rad
π
4
∨x=−
π
4
⇔x=−
3π
π
∨x=−
4
4
38.1. 6sin x + 18 > 0 ∧ x ∈ [ π , 2π] ⇔
⇔ sin x > −
3 2
∧ x ∈ [ π , 2π ] ⇔
6
⇔ sin x > −
• sin x = −
−1 < tan x < 1 ∧ x ∈ ]−π , 0[ ⇔
2
∧ x ∈ [ π , 2 π]
2
3π   π


⇔ x ∈  −π , −  ∪  − , 0 
4   4


2
∧ x ∈ [ π , 2π ] ⇔
2
⇔ x = π+
π
4
∨ x = 2π −
π
4
⇔x=
5π
7π
∨x=
4
4
39.
f ( x ) = 1 − 2cos ( 2π x )
g ( x ) = sin ( π x + a ) , a ∈ ℝ
D f = Dg = [ 0 , 2]
39.1. x ∈ [ 0 , 2] ⇔ 2π x ∈ [ 0 , 4π]
−1 ≤ cos ( 2π x ) ≤ 1
−2 ≤ −2cos ( 2π x ) ≤ 2
1 − 2 ≤ 1 − 2cos ( 2π x ) ≤ 1 + 2
2
∧ x ∈ [ π , 2π ] ⇔
• sin x > −
2
5π   7 π


⇔ x ∈ π ,
∪
, 2π 
4   4


38.2.
−1 ≤ f ( x ) ≤ 3
D′f = [ −1 , 3]
39.2. f (1) = g (1) ⇔
 π 7π 
12 cos x + 3 > 0 ∧ x ∈  ,
⇔
4 
4
⇔ 1 − 2cos ( 2π ) = sin ( π + a ) ⇔
⇔ 1 − 2 = − sin a ⇔ sin a = 1 ⇔
− 3
 π 7π 
⇔ cos x >
∧ x∈ ,
⇔
4 
12
4
⇔ cos x > −
⇔a=
1
 π 7π 
∧ x∈ ,
⇔
4
4 
4
3
∨ x = π+
π
3
⇔x=
+ k π, k ∈ ℤ
π
2
.
3
.
4
3
3

Então, B tem abcissa x + e f ( x ) = f  x +  .
4
4

39.3. Seja A o ponto de menor abcissa tal que AB =
1
 π 7π 
• cos x = − ∧ x ∈  ,
⇔
2
4 
4
π
2
O menor valor positivo de a é
1
 π 7π 
⇔ cos x > − ∧ x ∈  ,
2
4 
4
⇔ x = π−
π
2π
4π
∨x=
3
3
3

f ( x) = f  x +  ⇔
4

 
⇔ 1 − 2cos ( 2π x ) = 1 − 2cos  2π  x +
 
3 
 ⇔
4  
3π 

⇔ cos ( 2π x ) = cos  2π x +
⇔
2 

3π
⇔ 2 π x = 2π x +
+ 2k π ∨ 2π x =
2
3π
= −2π x − + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
2
48
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
3π
+ 2k π, k ∈ ℤ
2
3
3 k
⇔ 4 x = − + 2k , k ∈ ℤ ⇔ x = − + , k ∈ ℤ
2
8 2
3
Como x ∈ [ 0 , 2] e x + ∈ [ 0 , 2] , temos:
4
3
k = 0 ⇒ x = − ∉ Df
8
1
3 1 3 7
k =1⇒ x = e x + = + =
8
4 8 4 8
5
3 5 3 11
k =2⇒ x= e x+ = + =
8
4 8 4 8
9
3 9 3 15
k =3⇒ x = e x+ = + =
8
4 8 4 8
13
3 13 3 19
k =4⇒ x=
e x + = + = ∉ Df
8
4 8 4 8
π
1
7
f   = 1 − 2cos = 1 − 2 = f  
4
8
8
⇔ condição impossível ∨ 4π x = −
40.4. r = 1; P(a , b) e a =
a
= cos α
OP
a = OP × cos α
3
= r cos α × cos α
4
3
= cos 2 α
4
Como α ∈ 1.º Q, cos α =
Para r = 1 e α =
b = 1 × sin
40.5. A[OAQ] =
PA
PA
= sin α ⇔
= sin α ⇔ PA = r sin α
r
OA
3
OP ⇔
3
6
=
1
3
3
×
=
2 2
4
OA × AQ
2
r tan α = 8
r =1
tan α = 8
π
3
3
π

∧ α ∈  0 ,  , então α = e cos α =
.
6
2
3
2

1
cos 2 α
2
1
1
1
1+ 8 =
⇔ 1+ 8 =
⇔ cos 2 α =
cos 2 α
cos 2 α
9
1
Como α ∈ 1.º Q, vem cos α = .
3
1
8
2
2
sin α + = 1 ⇔ sin α =
9
9
1 + tan 2 α =
( )
3
r
2
π
π

Como α ∈  0 ,  , temos que α = .
3
2

r2
A[OAP ] = sin α cos α =
2
r2
π
π
= × sin × cos =
2
3
3
r2
3 1
×
× =
2
2 2
π
40.6. r = 1 ; AQ = 8
r
r r ≠0
1
⇔ r cos α = ⇔ cos α =
2
2
2
=
× cos
, vem:
=
AP
3
3
⇔
=
⇔ tan α =
3
3
OP
40.3. OP =
6
6
r 2 sin α (1 − cos 2 α )
r 2 sin α − sin α cos 2 α
=
=
2
cos α
2cos α
r 2 sin α × sin 2 α
r 2 sin 3 α
=
=
2cos α
2cos α
PA × OP r sin α × r cos α
=
=
2
2
r2
= sin α cos α
2
A[OAP ] =
OP = r cos α =
π
π
AQ
AQ
= tan α ⇔
= tan α ⇔ AQ = r tan α
r
OA
r × r tan α r 2
A[OAQ] =
= tan α
2
2
r2
r2
A[ AQP ] = A[OAQ] − A[OAP ] = tan α − sin α cos α =
2
2
r2
= ( tan α − sin α cos α ) =
2
r 2  sin α

= 
− sin α cos α  =
2  cos α

e
OP
OP
= cos α ⇔
= cos α ⇔ OP = r cos α
r
OA
Se tan α =
3
π
eα= .
2
6
b
= sin α ⇔ b = OP × sin α ⇔
OP
⇔ b = r cos α × sin α
40.1. [OP ] ⊥ [OA]
40.2. 3 AP = 3 OP ⇔ AP =
r =1
3
2
cos α = ±
5π
5
 11 
f   = 1 − 2cos
=1+ 2 = f  
4
8
8
9
9
π
 
 15 
f   = 1 − 2cos
=1− 2 = f  
4
8
8
Os pares de pontos (A , B) que verificam a condição são
1

7

5

A , 1 − 2  e B  , 1 − 2  ; A , 1 + 2 
8

8

8

 11

9

 15

B
, 1 + 2  ou A  , 1 − 2  e B 
, 1− 2 
8

8

8

3
4
Como α ∈ 1.º Q, sin α =
3
8
.
3
 8
8× 8
1 × 

3 
8× 2 2 ×3 8 2

A=
= 27 =
=
1
2
27 × 2
9
2×
3
3
3 2
r
8
49
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
sin 3 α
.
2cos α
sin 3 x
Fazendo y1 =
e y2 = 1 , determinou-se, no intervalo
2cos x
40.7. Se r =1, A (α ) =
41.4. d = 1450 km
d = 6370 ( π − 2θ )
1450 = 6370π − 12 740θ
6370π − 1450
θ=
12740
θ ≈ 1,45698
π

 0 , 2  a abcissa do ponto de interseção dos dois gráficos:


h=
h≈
6370 (1 − sin θ )
sin θ
6370 (1 − sin (1, 45698 ) )
sin (1, 45698 )
h ≈ 41,5 km
42.
Logo, α ≈ 1,2 .
Pág. 87
41.
42.1. AO = OS = r
Seja M o ponto médio de [AS]
O triângulo [AOM] é retângulo em M.
AM
AM
= cos α ⇔
= cos α ⇔ AM = r cos α
r
AO
41.1.
AS = 2 AM = 2r cos α
r
= sin θ ⇔ r = h sin θ + r sin θ ⇔
h+r
r (1 − sin θ )
⇔ h sin θ = r − r sin θ ⇔ h =
sin θ
6370 (1 − sin θ )
Como r = 6370 km: h =
sin θ
P[ AOS ] = AO + OS + AS = r + r + 2r cos α =
= 2r + 2r cos α
P[ AOS ] = 2r (1 + cos α )
42.2. r = 1
BS = 2 SA ⇔ SA =
41.2. d = comprimento do arco AB
2π R
2π
––––
ˆ
d
–––– AOB
BS
2
BS
=π⇔
2
2π
⇔ 2 BS + BS = 2π ⇔ BS =
3
1
1 2π π
α = BS = ×
=
2
2 3
3
π  1

P[ AOS ] = 2 × 11 + cos  = 2 1 +  = 3
3

 2
BS + SA = π ⇔ BS +
ˆ
d = r × AOB
ˆ = 2 × AOS
ˆ = 2  π − θ  = π − 2θ
AOB


2

d = r ( π − 2θ )
d = 6370 ( π − 2θ )
41.3. h = 150 km
6370 (1 − sin θ )
150 =
⇔
sin θ
⇔ 150sin θ = 6370 − 6370sin θ ⇔
⇔ 150sin θ + 6370sin θ = 6370 ⇔
⇔ 6520sin θ = 6370 ⇔
6370
⇔ sin θ =
⇔
6520
 637 
⇔ θ = arcsin 

 652 
42.3. P = 3r ⇔
2r (1 + cos α ) = 3r ⇔ 1 + cos α =
3
1
⇔ cos α =
2
2
π
π

Como α ∈ α ,  , temos α = .
3
2


Tomando [AO] para base do
triângulo [AOS], a sua altura, h, é:
h
= sin ( 2α ) ⇔ h = r sin ( 2α )
OS
d = 6370 ( π − 2θ ) =
A[ AOS ] =
637 

= 6370  π − 2arcsin
 ≈ 2738 km
652 

50
AO × r sin ( 2α )
2
=
r 2 sin ( 2α )
2
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
π
Para α =
A[ AOS ]
3
:
c) r = 3
π
 2π 

2
r 2 × sin 
 r × sin  π + 
3
3

=

=
2
2
A (α ) =
Considerando na calculadora gráfica:
9
y1 = tan x cos ( 2 x ) e
2
1
π r2
3
3 2
= × r 2 × sin = ×
=
r
2
3 2
2
4
y2 = 1
π

com x ∈  0 ,  , determinam-se as abcissas dos pontos
2

42.4. r = 1 ; P = 2 + 3
P = 2r (1 + cos α )
2 + 3 = 2 (1 + cos α ) ⇔ 2 + 3 = 2 + 2cos α ⇔
⇔ 2cos α = 3 ⇔ α =
9
tan α cos ( 2α )
2
de interseção dos dois gráficos:
3
2
π
π

Como α ∈  0 ,  , vem α = .
6
2


Seja C o comprimento do arco BS .
O ângulo ao centro correspondente ao arco BS tem amplitude
2α = 2 ×
C =r×
π
6
π
3
=
π
.
3
π
= 1×
3
=
A área do triângulo [OSQ] é igual a 1 para,
α ≈ 0,25 ∨ α = 0,63 ∨ α ≈ 0,88
π
3
42.5.
Avaliação 3
1.
Pág. 88
Como P0 < 5 , da análise do gráfico, podemos concluir que
P0 = 3 .
f ( x + kP ) = f ( x ) , ∀x ∈ D f
• f ( 2 ) = f ( 2 + 6 × 3) = f ( 20 )
((A) é verdadeira)
• f (13) = f (13 + 4 × 3) = f ( 25 )
f ( 25 ) = f (13) ⇔ f ( 25 ) − f (13) = 0 ((B) é verdadeira)
• f (12 ) = f ( 0 + 4 × 3) = f ( 0 ) ≠ f ( 4 )
a) Tomando [OQ] para base do triângulo [OSQ], a sua
altura h é dada por:
h
π
= cos 2α ⇔ h = r cos 2α , se 2α ≤
r
2
h
π
= cos ( π − 2α ) ⇔ h = − r cos ( 2α ) , se 2α >
r
2
((C) é falsa)
• f ( 8 ) = f ( 2 + 2 × 3) = f ( 2 )
f (15 ) = f ( 6 × 3 × 3) = f ( 6 )
Logo, f ( 8 ) + f ( 6 ) = f (15 ) + f ( 2 ) ((D) é verdadeira)
Resposta: (C)
Portanto, h = r cos ( 2α ) .
2.
OQ
= tan α ⇔ OQ h= r tan α
AO
Se x é abcissa de A, x +
OQ × h 1
= × r tan α × r cos ( 2α )
2
2
1 2
A (α ) = r tan α cos ( 2α )
2
1
b) A (α ) = 0 ⇔ r 2 tan α cos ( 2α ) = 0 ⇔
2
A[OSQ ] =
⇔ πx = πx +
π

⇔ cos ( 2α ) = 0 pois tan α ≠ 0, ∀α ∈  0 , 
2

⇔α =
Se α =
π
4
2
1
é a abcissa de B.
2
 
1 
π

cos ( π x ) = cos  π  x +   ⇔ cos ( π x ) = cos  π x +  ⇔
2
2


 
r ≠0
π
1
2
1

f ( x) = f  x + 
2

⇔ tan α = 0 ∨ cos ( 2α ) = 0 ⇔
⇔ 2α =
f ( x ) = cos ( π x ) ; AB =
π
2
+ 2k π ∨ π x = −π x −
π
2
+ 2k π, k ∈ ℤ
1
⇔ condição impossível ∨ 2 x = − + 2k , k ∈ ℤ ⇔
2
1
⇔ x = − + k, k ∈ ℤ
4
3
1 5
Para k = 1, temos: x = e x + =
4
2 4
⇔
π
4
Resposta: (C)
, [OSQ] reduz-se ao segmento de reta [OC].
51
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
3.
tan x ≤ 1 ∧ x ∈ ]−π , 0[
3π
No intervalo ]−π , 0[ , tan x = 1 ⇔ x = −
.
4
6.
h ( x ) = 2sin ( 4π x + a ) , a ∈ ℝ ; Dh = ℝ
Pág. 89
1
6.1. Se x ∈ Dh , então x + ∈ Dh porque Dh = ℝ .
2
1
 
1


h  x +  = 2sin  4π  x +  + a  =
2
2



 

= 2sin ( 4π x + 2π + a ) =
= 2sin ( 4π x + a ) + 2π =
= 2sin ( 4π x + a ) = h ( x )
tan x ≤ 1 ∧ x ∈ ]−π , 0[ ⇔
1

∀x ∈ Dh , h  x +  = h ( x )
2

3π   π


⇔ x ∈  −π , −  ∪  − , 0 
4
2

 

Logo, h é uma função periódica de período fundamental
1
P0 = .
2
1
1


6.2. h   = 0 ⇔ 2sin  4π× + a  = 0 ⇔
3
 3


Resposta: (A)
4.
f ( x ) = sin x + cos x
4.1.
f ( − x ) = sin ( − x ) + cos ( − x ) =
π
 4π

⇔ sin 
+ a  = 0 ⇔ 4 + a = k π, k ∈ ℤ ⇔
3
 3

4π
⇔a=−
+ k π, k ∈ ℤ
3
4π
k =0⇒a =−
3
= − sin x + cos x
A função f não é par nem ímpar.
π

π

π

∀x ∈ ℝ, f  + x  = sin  + x  + cos  + x  =
2

2

2

= cos x − sin x =
= cos ( − x ) + sin ( − x ) =
k =1⇒ a = −
= f (−x)
4.2.
3
2π
k =2⇒a =
3
2π
Portanto, a =
.
3
6.3. Se x ∈ Dh , então − x ∈ Dh , pois Dh = ℝ .
Resposta: (D)
g ( x) = f (−x) + f ( x) =
= sin ( − x ) + cos ( − x )  × ( sin x + cos x ) =
= ( − sin x + cos x ) × ( sin x + cos x ) =
∀x ∈ ℝ, h ( − x ) = h ( x ) ⇔
= ( cos x − sin x ) × ( cos x + sin x ) =
⇔ ∀x ∈ ℝ, 2sin  4π ( − x ) + a  = 2sin ( 4π x + a ) ⇔
⇔ ∀x ∈ ℝ, sin ( −4π x + a ) = sin ( 4π x + a ) ⇔
= cos 2 x − sin 2 x = 1 − sin 2 x − sin 2 x =
= 1 − 2sin 2 x
⇔ ∀x ∈ ℝ, − 4π x + a = 4π x + a + 2k π ∨
Resposta: (D)
5.
π
∨ − 4π x + a = π − ( 4π x + a ) + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
tan x − 1 = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ tan x = 1 ∨ tan x = −1 ⇔
⇔ ∀x ∈ ℝ, − 4π x + a = π − 4π x − a + 2k π, k ∈ ℤ
π
 π
⇔ tan x = tan ∨ tan x = tan  −  ⇔
4
 4
π
π
⇔ x = + k π ∨ x = − + k π, k ∈ ℤ ⇔
4
4
⇔ 2a = π + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
⇔a=
7.
π
2
+ k π, k ∈ ℤ
π


D f = { x ∈ ℝ : cos x ≠ 0} = ℝ \  x : x = + k π, k ∈ ℤ 
2


π


Dg = { x ∈ ℝ : sin x ≠ 1} = ℝ \  x :
+ 2k π, k ∈ ℤ 
2


D f ∩ Dg = D f = D = { x ∈ ℝ : cos x ≠ 0}
f ( x) =
π kπ
+ , k ∈ℤ
4 2
π kπ
⇔ x = − , k ∈ℤ
4 2
⇔x=
=
1 + sin x (1 + sin x )(1 − sin x )
=
cos x
cos x (1 − sin x )
1 − sin 2 x
cos 2 x
cos x
=
=
= g ( x)
cos x (1 − sin x ) cos x (1 − sin x ) 1 − sin x
Logo, em D = { x : cos x ≠ 0} as funções f e g coincidem.
Resposta: (A)
52
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
8.
f ( x ) = −1 + sin x e g ( x ) = 2sin 2 x − 1
π
π
π
 π
f   = −1 + sin = 0 ; g   = 2sin 2 − 1 = 1
2
2
2
2
 
 
7π
3
1
 7π 
 7π 
2 7π
f
= − ; g
−1 = −
 = −1 + sin
 = 2sin
6
2
6
2
 6 
 6 
D f = Dg = [ 0 , 2π]
8.1.
g ( x ) = 0 ⇔ 2sin 2 x − 1 = 0 ∧ x ∈ [ 0 , 2π] ⇔
⇔ sin 2 x =
1
∧ x ∈ [ 0 , 2π ] ⇔
2
⇔ sin x = ±
11π
3
 11π 
f
=−
 = −1 + sin
6
2
 6 
1
 11π 
2 11π
g
−1 = −
 = 2sin
6
2
 6 
1
∧ x ∈ [ 0 , 2 π] ⇔
2

2
2
⇔  sin x =
∨ sin x = −
 ∧ x ∈ [ 0 , 2 π] ⇔
2
2 

Portanto:
3
1
π

π

 7π
 7π
A  , 0  e B  , 1 ; A 
, −  e B
, − 
2
2
2

2

 6
 6
3
1
 11π
 11π
ou A 
, −  e B
, − 
2
2
 6
 6

π
 π 
⇔  sin x = sin ∨ sin x = sin  −   ∧ x ∈ [ 0 , 2π] ⇔
4
 4 

π
3π
5π
7π
⇔x= ∨x=
∨x=
∨x=
4
4
4
4
 π 3π 5π 7 π 
S= ,
,
,

4
4
4 
4
8.2.
9.
f ( x) = g ( x) ⇔
⇔ −1 + sin x = 2sin 2 x − 1 ∧ x ∈ [ 0 , 2π] ⇔
 π π
2cos ( 2 x ) + 3tan ( 2 x ) = 0 ∧ x ∈  − ,  ⇔
 4 4
sin ( 2 x )
 π π
⇔ 2cos ( 2 x ) + 3
= 0 ∧ 2x ∈ − ,  ⇔
cos ( 2 x )
 2 2
⇔ 2sin 2 x − sin x = 0 ∧ x ∈ [ 0 , 2π] ⇔
⇔ 2cos 2 ( 2 x ) + 3sin ( 2 x ) = 0 ∧ cos ( 2 x ) ≠ 0 ∧
⇔ sin x ( 2sin x − 1) = 0 ∧ x ∈ [ 0 , 2π] ⇔

⇔  sin x = 0 ∨ sin x =

 π π
∧2 x ∈  − ,  ⇔
 2 2
1
 ∧ x ∈ [ 0 , 2π] ⇔
2
⇔ x = 0 ∨ x = π ∨ x = 2π ∨ x =
π
6
∨ x = π−
π
6
 π π
⇔ 2 (1 − sin 2 ( 2 x ) ) + 3sin ( 2 x ) = 0 ∧ 2 x ∈  − ,  ,
 2 2
⇔
 π π
dado que se 2 x ∈  − ,  , cos ( 2 x ) ≠ 0 ⇔
 2 2
π
5π
⇔ x = 0∨ x = ∨ x =
∨ x = π ∨ x = 2π
6
6
f ( 0 ) = −1 + sin x = −1 = f ( π ) = f ( 2π )
 π π
⇔ 2 − 2sin 2 ( 2 x ) + 3sin ( 2 x ) = 0 ∧ 2 x ∈  − ,  ⇔
 2 2
 π π
⇔ 2sin 2 ( 2 x ) − 3sin ( 2 x ) − 2 = 0 ∧ 2 x ∈  − ,  ⇔
 2 2
π
1
 π
 5π 
f   = −1 + sin = − = f  
6
6
2
 
 6 
1
1
π
 5π
Logo, ( 0 , − 1) ,  , −  , 
, −  , ( π , − 1) e
2
2
6
 6
( 2π , − 1) são os pontos de interseção dos dois gráficos.
3 ± 9 + 16
 π π
∧ 2x ∈ − ,  ⇔
4
 2 2
1


 π π
⇔  sin ( 2 x ) − ∨ sin ( 2 x ) = 2  ∧ 2 x ∈  − ,  ⇔
2


 2 2
⇔ sin ( 2 x ) =
8.3. São os pontos de abcissa x tais que f ( x ) − g ( x ) = 1 .
f ( x) − g ( x) = 1 ⇔
⇔ 2x = −
⇔ −1 + sin x − ( 2sin 2 x − 1) = 1 ⇔
⇔x=−
⇔ 2sin x − sin x = 1 ⇔
2
π
6
⇔
π
12
 π
S = − 
 12 
⇔ 2sin 2 x − sin x = 1 ∨ 2sin 2 x − sin x = −1 ⇔
⇔ 2sin 2 x − sin x − 1 = 0 ∨ 2sin 2 x − sin x + 1 = 0
Fazendo y = sin x , temos:
10.1.
2 y2 − y −1 = 0 ∨ 2 y2 − y + 1 = 0 ⇔
1± 1+ 8
1± 1− 8
∨y=
⇔
4
4
1
⇔ y = − ∨ y =1⇔
2
1
⇔ sin x = − ∨ sin x = 1
2
No intervalo [ 0 , 2π] , temos:
⇔ y=
x=
π
∨ x = π+
π
∨ x = 2π −
Se 0 < θ ≤
Se
π
⇔
6
π
7π
11π
⇔x= ∨x=
∨x=
2
6
6
2
6
π
2
π
ˆ = π −θ .
, POB
2
2
ˆ =θ − π .
< θ < π, POB
2
π

π

cos  θ −  = cos  − θ  = sin θ
2
2




ˆ = sin θ
cos POB
(
53
)
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
Pelo Teorema de Carnot:
2
(
2
ˆ
d = OP + OB − 2 × OP × OB × cos POB
2
 7
d 2 = 2 × 4 1 −  ⇔ d 2 = 8 − 7 ⇔ d = 1
 8
)
Comprimento do arco PB =
ˆ = 2 POB
ˆ
= r × POB
d 2 = r 2 + r 2 − 2r × r × sin θ
d 2 = 2r 2 − 2r 2 sin θ
d 2 = 2r 2 (1 − sin θ )
Se 0 < θ ≤
Se
Como θ ∈ ]0 , π[ , sin θ =
6
∨θ = π−
π
6
1
⇔
2
⇔
ˆ =
Se d = r o triângulo [OPB] é equilátero pelo que POB
2
−θ =
π
3
ou θ −
π
2
=
π
3
. Logo, θ =
π
6
ou θ =
π
3
Pág. 90
.
1.
5π
.
6
ˆ = 90°
CBA
Como AB = BC , então:
ˆ = BAC
ˆ = 180° − 90° = 45°
BCA
2
sin 45° sin110°
sin 45°
=
⇔x=
x
1
sin110°
ˆ = 180° − 110° = 70°
BDC
sin 45° sin 70º
sin 45°
=
⇔x=
x
1
sin 70°
Resposta: (B)
2.
10.4. Base do triângulo [OPB] : [OB]
Altura h do triângulo [OBP]:
π h
Se 0 < θ ≤ , = cosθ ⇔ h = r cosθ
2 r
π
h
Se < θ < π, = cos ( π − θ ) ⇔ h = r ( − cos θ )
r
2
Logo, h = r cosθ .
A (1 , tan α ) ; tan α =
3
ˆ =π
; AOB
4
2

π

π

B  cos  + α  , sin  + α  
2

2


π

cos  + α  = − sin α
2

1
1 + tan 2 α =
cos 2 α
OB × h r × r cos θ
r2
=
=
cosθ
2
2
2
2
1
1
25
16
3
1+   =
⇔
=
⇔ cos 2 α =
2
2
4
cos
cos
16
25
α
α
 
2
2
sin α + cos α = 1
16
16
9
sin 2 α +
= 1 ⇔ sin 2 α = 1 −
⇔ sin 2 α =
25
25
25
3
3
Como α ∈ 1.º Q, sin α = , logo − sin α = − .
5
5
15
4
10.5. r = 2 ; A[OBP ] =
 15 
15
⇔ θ = arccos  −

8
 8 
Avaliação global
10.3. Seja y a ordenada de P.
y
y
Então, = sin θ ∨ = sin ( π − θ ) ⇔
r
r
⇔ y = r sin θ ∨ y = r sin θ ⇔
⇔ y = r sin θ
r
r
1
Se y = , temos: r sin θ = ⇔ sin θ =
9
9
9
1
1
16
4
2
2
2
Se sin θ = : d = 2r  1 −  ⇔ d = r 2 ⇔ d = r
9
9
3
 9
A[OBP ] =
2
< 0 ≤ π, cosθ = −
Portanto, o comprimento do arco é aproximadamente 1,01.
5π
⇔ θ = ∨θ =
6
6
π
π
ˆ = θ − π = arccos  − 15  − π
POB
 8  2
2



 15  π 
ˆ = 2  arccos  −
2 POB
 8  − 2  ≈ 1,01




π
Então,
15
15
⇔ θ = arccos
8
8
, cosθ =
ˆ = 2  π − arccos 15  ≈ 1,01
2 POB
2
8 

r2
⇔ 1 − sin θ = 2
2r
1
⇔ 1 − sin θ =
2
1
⇔ sin θ =
2
π
2
ˆ = π − θ = π − arccos 15
POB
2
2
8
10.2. d = r
r 2 = 2r 2 (1 − sin θ ) ⇔
⇔θ =
π
22
15
15
15
cosθ =
⇔ 2 cosθ =
⇔ cosθ =
2
4
4
8
2
 15 
15
2
sin 2 θ + 
 = 1 ⇔ sin θ = 1 − 64
8


49
2
⇔ sin θ =
⇔
64
sin θ > 0
7
⇔ sin θ =
8
2
2
d = 2r (1 − sin θ )
Resposta: (C)
3.
cos 2 x = 1 ⇔ cos x = −1 ∨ cos x = 1
No intervalo [ 0 , 2π[ , a equação cos 2 x = 1 tem duas
soluções: x = 0 ∨ x = π
Como a função cosseno é periódica de período fundamental
2π , em cada um dos 500 intervalos [ 0 , 2π[ ,
54
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
[ 2π , 4π[ , … , [998π , 1000π[
2
2
= ⇔ 6 = 2 BC ⇔ BC = 3
BC 3
Pelo Teorema de Carnot:
a equação tem duas
soluções.
Dado que cos 2 (1000π ) = cos 2 0 = 1 , a equação tem, no
4.
2
Resposta: (D)
x 2 = 32 + x 2 − 2 × 3 × x ×
f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ℝ
⇔x=
Resposta: (A)
7.2.
α é solução da equação cos x = a . Então, cos α = a .
A : cos ( π + α ) = −a ?
cos ( π + α ) = − cos α = − a
Resposta: (A)
Pág. 91
d = AB
(
2
2
ˆ
d 2 = OA + OB − 2OA × OB × cos BOA
)
8.
d 2 = 56,7 2 + 56,7 2 − 2 × 56,7 × 56,7 × cos ( 3,99° )
d 2 ≈ 15,5844
d ≈ 15,5844
AB ≈ 3,95 m
2
6.2.
2
2
OA + OB − AB
2 × OA × OB
56,7 2 + 56,7 2 − 5,442
cos α =
2 × 56,7 × 56,7
cos α ≈ 0,9954
°
42 

26° 42′ =  26 +  = 26,7°
60 

°
18 

13° 18′ = 13 +  = 13,3°
60 

θ = 26,7° − 13,3° = 13, 4°
OB
= cosθ
OS
6370
= cos13,4°
6370 + AS
6370 = 6370 × cos13, 4° + AS × cos13, 4°
6370 − 637 × cos13, 4°
AS =
cos13, 4°
90° + 3,99° = 93,99°
180° − 93,99° − 36,7° = 49,31°
sin 49,31° sin 36,7°
=
s
56,7
56,7 × sin 49,31°
s=
sin 36,7°
AS ≈ 178 km
9.
AC = 2
ˆ = 90°
BAC
DC = DB
cos α =
sin θ sin α
=
(Lei dos senos)
x
BC
2
sin θ
2 × 10
= 3 ⇔ sin θ = 3 ×
⇔
3
9 5
3× 9 5
10
20 5
4 5
⇔ sin θ =
⇔ sin θ =
9
9× 5 × 5
⇔ SB ≈ 1518 km
s ≈ 71,9 m
7.
9 5
.
10
SB
= tan θ ⇔ SB = OB tan θ
OB
SB = 6370 × tan (13,4° ) ⇔
cos α =
α ≈ cos −1 ( 0,9954 ) ≈ 5,5º
6.3.
5
⇔ 2 5x = 9 ⇔
3
9
9× 5
9 5
⇔x=
⇔x=
10
2 5
2× 5 × 5
Logo, CD =
⇔ 2 f ( 0) = 0 ⇔ f (0) = 0
6.1.
2
DC = BC + BD − 2 BC × BD × cos α
f ( −0 ) = − f ( 0 ) ⇔ f ( 0 ) + f ( 0 ) = 0 ⇔
5.
2
intervalo [ 0 , 1000π] , 500 × 2 + 1 = 1001 soluções.
5
3
7.1. Seja CD = x . Então, DB = x .
cos 2 α + sin 2 α = 1
2
 5
5
4
2
2
2

 + sin α = 1 ⇔ sin α = 1 − ⇔ sin α =
3
9
9


2
Como α é um ângulo agudo, sin α = .
3
r = 6370 km
h = 20 200 km
r
= cosθ
h+r
6370
= cosθ
20 200 + 6370
6370
cosθ =
26 570
 637 
2θ = 2arccos 

 2657 
Comprimento do arco AB =
= 2θ × r
( θ em radianos)
 637 
= 2 × arccos 
 × 6370
 2657 
AC
= sin α
BC
≈ 16 927 km
55
Pág. 92
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
10.
Pág. 93
cos x
1
sin 2 x − sin x cos x − 1
12.1. 1 −
=
⇔
=0⇔
sin x sin 2 x
sin 2 x
⇔ − (1 − sin 2 x ) − sin x cos x = o ∧ sin 2 x ≠ 0 ⇔
⇔ − cos 2 x − sin x cos x = 0 ∧ sin x ≠ 0 ⇔
⇔ cos x ( − cos x − sin x ) = 0 ∧ sin x ≠ 0 ⇔
⇔ ( cos x = 0 ∨ cos x + sin x = 0 ) ∧ sin x ≠ 0 ⇔
⇔ cos x = 0 ∨ cos x = − sin x ⇔
⇔ cos x = 0 ∨ cos x = sin ( − x ) ⇔
10.1. OA = OB = OR = OQ = 1
1
OM =
2
Os triângulos [OQM] e [OMR] são iguais e retângulos em M.
cos x = abcissa de P
π

⇔ cos x = 0 ∨ cos x = cos  − ( − x )  ⇔
2

⇔x=
2
ˆ =x=π.
cos x =
. Logo, AOP
2
4
(
OM
ˆ
= cos QOM
OQ
(
1
ˆ
= cos QOM
2
)
⇔x=
⇔x=
π π π
ˆ = QOM
ˆ − AOM
ˆ
QOA
= − =
3 4 12
π
π
2
+ 2k π, k ∈ ℤ
+ kπ∨ x = −
2
π
4
+ k π, k ∈ ℤ
⇔ x−
π
4
=
π
2
+ x + 2k π ∨ x −
π
4
2
sin 2 α (1 − cos 2 α )
cos α
2
⇔ condição impossível ∨ 2 x = −
⇔x=−
(1 − cosα ) sin α
13.
=
π
4
π
2
− x + 2k π, k ∈ ℤ
+ 2k π, k ∈ ℤ ⇔
π
8
−π
k =0⇒ x=−
k =2⇒ x=−
 π π
Se x ∈  − ,  , cos x ≠ 0 .
 2 2
 π π
sin x + 2cos x = 0 ∧ x ∈  − ,  ⇔
 2 2
sin x 2cos x
0
 π π
⇔
+
=
∧ x ∈ − ,  ⇔
cos x cos x cos x
 2 2
sin α − cos α + cos 2 α
=
(1 − cos α ) sin α
(1 − cosα ) sin α
=−
+ k π, k ∈ ℤ
7π
k =1⇒ x = − + π =
8
8
 π 7π 
S = − ,

8 
 8
2
α + cos 2 α ) − cos α
8
π
sin 2 α
× sin 2 α =
cos 2 α
= tan 2 α × sin 2 α
sin α
1
sin α
cos α
11.2.
−
=
−
=
1 − cos α tan α 1 − cos α sin α
sin 2 α − cos α (1 − cos α )
π
k = −1 ⇒ x = −
=
=
2
+ k π ∨ condição impossível ∨
2
π

π

⇔ cos  x −  = cos  + x  ⇔
4
2




sin α
− sin 2 α =
cos 2 α
sin 2 α − sin 2 α cos 2 α
=
=
cos 2 α
(sin
− x + 2k π, k ∈ ℤ ⇔
π

π

⇔ cos  x −  = cos  + x  ⇔
4

2

Uma amplitude do ângulo orientado AOR é, por exemplo,
7π
.
12
=
2
+ x + 2k π ∨
2
π
π


sin x + cos  x −  = 0 ⇔ cos  x −  = − sin x ⇔
4
4


ɺ é, por exemplo, − π rad.
lado extremidade OQ
12
π
π
7
π
ˆ = + =
10.2. AOR
2 12 2
=
π
π
π
π

12.2. sin x + cos  x −  = 0 ∧ x ∈ ]−π , π[
4

ɺ e
Uma amplitude do ângulo orientado de lado origem OA
=
2
∨ 2x = −
ˆ =π.
Logo, QOM
3
=
+ kπ∨ x =
∨x = −
)
11.1. tan 2 α − sin 2 α =
π
=
 π π
⇔ tan x + 2 = 0 ∧ x ∈  − ,  ⇔
 2 2
1 − cos α
=
=
(1 − cosα ) sin α
 π π
⇔ tan x = −2 ∧ x ∈  − ,  ⇔
 2 2
⇔ x = arctan ( −2 ) ⇒
1
=
sin α
⇒ x ≈ −1,11 rad
56
π
8
π
8
+ 2π
1.3. Funções trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas
2
π
π
 π 2 
A   = ×  1 − cos  × tan =
4
2
4
4
 


14.1. AQ = OQ − OA = OQ − r
r
r
= cosθ ⇔ OQ =
cos θ
OQ

2
= 2 × 1 −
 ×1 =
2 

r
r − r cosθ
AQ =
−r =
cosθ
cosθ
r (1 − cosθ )
d=
cosθ
=2− 2
c)
14.2. Se d = r :
r (1 − cosθ )
1 − cosθ
r=
⇔1=
⇔
cosθ
cosθ
⇔ cosθ = 1 − cosθ ⇔
pois cosθ ≠ 0
1
⇔ 2cosθ = 1 ⇔ cosθ =
2
1
(1 − cos x ) tan x e
2
y2 = 2 , determinou-se a abcissa do ponto de interseção
Fazendo, na calculadora gráfica, y1 =
π

dos respetivos gráficos, no intervalo  0 ,  :
2

π
π

Como θ ∈  0 ,  , θ = .
3
2

14.3. r = 1 e d = 2
1(1 − cos θ )
1
2=
⇔ 2cosθ = 1 − cos θ ⇔ cosθ =
cosθ
3
2
1
8
1
2
2
2
  + sin θ = 1 ⇔ sin θ = 1 − ⇔ sin θ =
9
9
 3
Assim, θ ≈ 1,37 .
π
8 2 2

Como θ ∈  0 ,  , sin θ =
=
.
2
3
3

15.
1 2 2 
Logo, P  ,
.
3 
3
Se P é o período de f , então:
(1) • Se x ∈ D f , x + P ∈ D f
(2) • f ( x + P ) = f ( x ) , ∀x ∈ D f
Por (1):
Se x ∈ D f , x + P ∈ D f .
14.4. a) Seja h a altura do triângulo [AQP], relativa ao vértice P
Logo:
Se ( x + P ) ∈ D f , então ( x + P ) + P ∈ D f .
Se x ∈ D f , então x + 2 P ∈ D f .
Por (2):
f ( x + 2P ) = f
(( x + P ) + P )
= f ( x + P)
= f ( x ) , ∀x ∈ D f
h
= sin θ ⇔ h = r sin θ
r
d ×h 1
A[ AQP ] =
= ×d ×h =
2
2
1 r (1 − cosθ )
= ×
× r sin θ =
2
cosθ
1
sin θ
= × r 2 × (1 − cosθ ) ×
2
cosθ
r2
A = (1 − cosθ ) tan θ
2
1
π

b) tan α +
= 2 ∧ α ∈ 0 , 
tan α
2

Logo, se P é período de uma função f, então 2P também é
período da função f.
Como tan α ≠ 0 , vem:
π

tan 2 α + 1 = 2 tan α ∧ α ∈  0 ,  ⇔
2

π

⇔ tan 2 α − 2 tan α + 1 = 0 ∧ α ∈  0 ,  ⇔
2

⇔ tan α =
2± 4−4
π

∧ α ∈ 0 ,  ⇔
2
2

π
π

⇔ tan α = 1 ∧ α ∈  0 ,  ⇔ α =
2
4


57