Análise de Circuitos Lineares
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2 Matéria 1 Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica Análise de Circuitos Lineares Teresa Mendes de Almeida [email protected] DEEC Área Científica de Electrónica © T.M.Almeida ACElectrónica Março de 2011 3 Resulta de aplicar © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Resistências em série TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 4 1 malha todos componentes em série mesma corrente em todos componentes simplificar geradores de tensão v ( t ) = v1 ( t ) − v2 ( t ) + v3 ( t ) − v4 ( t ) − v5 ( t ) R1 R2 R1 + R2 Geradores de Tensão em série Resistências em paralelo RP = Calcular i(t) simplificando o circuito RS = R1 + R2 Circuitos equivalentes Thévenin Norton Teoremas de Thévenin e de Norton Equivalentes de circuitos sem geradores com geradores independentes com geradores dependentes e independentes só com geradores dependentes Conversão de geradores aplicação na análise e simplificação de circuitos Exemplos de aplicação Exemplo de simplificação de circuitos Lei Ohm, KCL, KVL IST-DEEC- Simplificação de circuitos Simplificação de circuitos Resistências em série e em paralelo Fontes de tensão em série Fontes de corrente em paralelo Simplificação de circuitos Circuito Linear Linearidade Homogeneidade Aditividade Aplicação na simplificação de circuitos Teorema da Sobreposição Aplicação na análise e simplificação de circuitos Fontes de Corrente em paralelo + V - é preciso ter em conta polaridade das tensões V = V1 − V2 I + V - TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 simplificar resistências RS = R1 + R2 v ( t ) v1 ( t ) − v2 ( t ) + v3 ( t ) − v4 ( t ) − v5 ( t ) = i (t ) = RS R1 + R2 I é preciso ter em conta sentido das correntes I = I1 − I 2 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica circuitos equivalentes para o cálculo de i(t) resulta um circuito mais simples para o cálculo da grandeza eléctrica pretendida, neste caso, a corrente i(t) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 5 Exemplo de simplificação de circuitos Calcular i5(t)=iR2(t) simplificando o circuito i5 ( t ) Descrito por equações algébricas lineares Componentes do circuito 2 nós – todos componentes em paralelo simplificar fontes de corrente usar equação do divisor de corrente io ( t ) = i1 ( t ) − i3 ( t ) + i4 ( t ) − i6 ( t ) i5 ( t ) = R1 io ( t ) R1 + R2 Calcular Vbc=Vb-Vc=V20kΩ simplificando o circuito + Vbc TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 Homogeneidade (escalamento) f(αx)= α f(x) 7 Quanto vale I se V=24V? E se V=1,2V? I= + Vbc - © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 20 + (10 + 30 ) ( −6 ) = −2V V = 6mA R V ↔ x I ↔ f ( x) não é preciso voltar a analisar o circuito para obter o novo resultado como é um circuito linear pode fazer-se escalamento do resultado © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares I= V = 6mA R TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 8 Quanto vale Vout? V = 24V → I = ? = 12mA V = 1, 2V → I = ? = 0, 6mA pela estrutura do circuito (circuito em escada), para fazer a sua análise é preciso propagar o efeito de VIN=12V desde a entrada até à saída Vout é preciso escolher uma forma de análise do circuito é preciso analisar o circuito da esquerda para a direita usando homogeneidade arbitra-se um valor numérico para Vout analisa-se da direita para a esquerda determina-se VIN correspondente faz-se escalamento (regra de três simples) não linear Homogeneidade (escalamento) f(αx)= α f(x) Quanto vale Vout? linear linearidade implica homogeneidade e aditividade f (α x ) = α f ( x ) homogeneidade aditividade f ( x + y) = f ( x) + f ( y) num circuito linear pode ser, por exemplo: x , y → tensão ou corrente f(x) , f(y) → tensão ou corrente © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica têm características lineares têm características não lineares mas podem ser localmente aproximadas por características lineares modelos lineares por troços Linearidade simplificar geradores de tensão, simplificar resistências (10kΩ+30kΩ) usar equação do divisor de tensão 20 Vbc = 6 Circuito Linear usando homogeneidade arbitra-se um valor numérico para Vout analisa-se da direita para a esquerda determina-se VIN correspondente faz-se escalamento (regra de três simples) calcula-se Vout real Quanto vale IO se I = 6mA? V 'out = 4V V 'out = 2mA 2k V '1 = ( 4k + 2k ) I '2 = 12V I '2 = V '1 = 4mA 3k I '0 = I '1 + I '2 = 6mA I '1 = V '0 = 2kI '0 + V '1 = 24V Março de 2011 V' arbitrar valor numérico para IO (p. ex. IO’=2mA) Vout = out V0 = 2V V '0 calcular I’ e escalar o valor obtido para determinar I © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 9 Exemplos de aplicação Calcular IO usando linearidade (homogeneidade) Circuito linear + V1 – Calcular VO usando linearidade (homogeneidade) f (α x ) = α f ( x ) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 11 Teorema da Sobreposição Num circuito linear, contendo vários geradores independentes, a corrente ou a tensão num ponto pode ser calculada como a soma algébrica das contribuições individuais de cada um dos geradores independentes agindo isoladamente calcular I1: V1=6V V2=0V 6 I1 = = 50 µ A 80k + 40k calcular I2: V1=0V V2=12V I2 = calcular I: I = I1 + I 2 = −50 µ A © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica ++ 0V V1 –– + 0V – 1 2 −12 = −0,1mA = −100 µ A 80k + 40k TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 12 Exemplo de aplicação Calcular VO=VR6 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) Sub-circuito 1 VO = V 'O + V ''O V 'O = 6kI O 2k + 1k 2 2 = mA 2k + 1k + 6k 3 V 'O = 4V I 'O = eliminar gerador(fonte) de tensão = substituir por curto-circuito eliminar gerador de corrente = substituir por circuito aberto num circuito com N geradores(fontes) independentes + V2 – a corrente I resulta da presença das duas fontes de tensão V1 e V2 a corrente I é a soma de duas parcelas uma resulta da presença de V1: V1 → I1 + V2 – a outra resulta da presença de V2: V2 → I2 considera-se um gerador independente de cada vez eliminam-se os restantes geradores independentes 10 Aditividade f(x+y)=f(x)+f(y) Sub-circuito 2 faz-se a análise de N sub-circuitos mais simples cada sub-circuito só tem um gerador(fonte) independente V ''O = 6k 3 = 2V 1k + 2k + 6k divisor de corrente divisor de tensão Calcular i Sub-circuito 1 i i1 Sub-circuito 2 i = i1 + i2 Soma algébrica das 2 contribuições Analisaram-se 2 circuitos mais simples i2 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 VO = V 'O + V ''O = 6V cada um só com uma fonte independente escolheu-se um determinado método de análise – que se considerou mais adequado para cada um dos circuitos (simples e rápido) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 Exemplos de aplicação Calcular VO usando o Teorema da Sobreposição © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton linear ou não linear A – circuito linear B – circuito linear ou não linear fonte de tensão em série com resistência VOC = tensão em circuito aberto (open circuit) Circuito equivalente de Norton © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 16 VTH = VOC tensão equivalente de Thévenin tensão em circuito aberto (VAB) RTH resistência equivalente de Thévenin resistência vista dos dois terminais (A e B) Como determinar circuito equivalente de Thévenin? fonte de corrente em paralelo com resistência ISC = corrente de curto-circuito (short-circuit) Março de 2011 Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, é equivalente a um circuito constituído por uma fonte de tensão em série com uma resistência Circuito equivalente de Thévenin TCFE Análise de Circuitos Lineares Teorema de Thévenin O circuito linear A pode ser substituído por um circuito equivalente mais simples 15 Calcular IO e IA usando o Teorema da Sobreposição © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Pode ser dividido em 2 circuitos Março de 2011 14 Exemplos de aplicação Dado um circuito para análise 13 + VOC - analisar circuito linear calcular VOC e RTH © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares RTH Março de 2011 17 Teorema de Norton Um circuito linear, quando visto de um par de terminais, é equivalente a um circuito constituído por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência IN = ISC corrente equivalente de Norton corrente medida em curto-circuito (VAB=0) RTH resistência equivalente de Thévenin (Norton) resistência vista dos dois terminais (A e B) analisar o circuito linear calcular ISC e RTH © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Circuito sem geradores depende da estrutura do circuito linear que se tem de analisar e do qual se pretende calcular o circuito equivalente (Thévenin ou Norton) Tem geradores?... São independentes?... Tem geradores dependentes?... © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica são apenas uma resistência de valor RTH VOC = 0 e ISC = 0 Qual o circuito equivalente de Thévenin/Norton? A RTH=3kΩ Podem calcular-se as 3 grandezas: VOC, ISC ou RTH B TCFE Análise de Circuitos Lineares 20 Circuito só com geradores independentes V Março de 2011 ISC RTH – elimina-se fonte independente RTH © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Março de 2011 associação de resistências em série e em paralelo RTH=22kΩ TCFE Análise de Circuitos Lineares RTH = OC VOC – calculada com o circuito em aberto I SC ISC – calculada fazendo um curto-circuito aos terminais RTH – eliminam-se geradores independentes e simplificam-se resistências calcular apenas 2 grandezas – escolher as mais fáceis 1 Calcular circuito equivalente de Thévenin + visto para a esquerda dos nós 1 e 2 VOC VOC – divisor de tensão 2 20k VOC = V12 = ( −6 ) = −2V 20k + 40k 1 se não existe nenhuma fonte de energia no circuito, não há corrente eléctrica! Circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton RTH = simplificação das resistências do circuito 19 VOC = 0 e ISC = 0 Março de 2011 escolher o cálculo das duas grandezas que são mais fáceis de calcular independentemente do tipo de circuito equivalente (Thévenin ou Norton) que se pretende determinar Método de cálculo de VOC, ISC e RTH? RTH são equivalentes ao circuito linear logo são equivalentes entre si V Qual a relação entre RTH = OC I SC VOC, ISC e RTH? Uma vez conhecida esta relação, basta calcular duas das grandezas e pode obter-se a terceira ISC 18 Circuitos de Thévenin e Norton Como determinar o circuito equivalente de Norton? Equivalência entre circuitos Thévenin - Norton 13, 3kΩ = 20k // 40k = 40k = 13,3k Ω 3 ISC – curto-circuito entre 1 e 2 não passa corrente na R20kΩ © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 1 2 I SC = −6 = −0,15mA 40k TCFE Análise de Circuitos Lineares 2V 2 Março de 2011 21 Circuito com geradores independentes e dependentes Calcular VOC e ISC VOC – calculada com o circuito em aberto ISC – calculada fazendo um curto-circuito aos terminais VOC = 0 e ISC = 0 Obter RTH = VOC/ISC Calcular equivalente de Norton visto para a esquerda de a-b VOC VOC = Vab = VO 12 − 2VO 3k + 1k VOC = 2V I= ISC ⇔ ISC VO = 0V ⇒ ( 2VO ) = 0, I R =1k Ω = 0 ⇒ I SC = RTH RTH = 12 = 4mA 3k VOC = 500Ω I SC © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 4mA b TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 23 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 1 − 2Vx 1 = mA 1k 7 1 1 = mA I3 = 2k 2 Março de 2011 24 RTH = gerador de tensão real – tem resistência interna em série gerador de corrente real – tem resistência interna em paralelo VOC I SC Um gerador de tensão real é equivalente a um gerador de corrente real (pelos equivalentes de Thévenin e Norton) IT B TCFE Análise de Circuitos Lineares Geradores reais VT IT Conversão de Geradores cálculo de IT KVL malha exterior, KCL nó V1 calcular Vx, I1, I2 e I3, I0=IT V1 V1 − 2Vx V1 − 1 + + =0 1k 2k 1k 3 Vx = V 7 V 3 I1 = x = mA 1k 7 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica VOC=0 ISC=0 aplicar fonte de teste de tensão VT=1V calcular a corrente IT=I0 calcular RTH=VT/IT=1/IT 1 = VAB = Vx + V1 A + VT - VT 500Ω Determinar o equivalente de Thévenin aos terminais AB IT IT a Circuito só com geradores dependentes dependendo do circuito aplica-se fonte de tensão (VT) ou de corrente (IT) aos terminais do circuito calcula-se a corrente IT (ou a tensão VT) V a razão entre VT e IT é a resistência equivalente de Thévenin RTH = T b I = 2mA obtém-se uma indeterminação matemática! É preciso usar uma fonte de teste a VOC = 1k × I se não existe nenhuma fonte de energia independente no circuito, não há corrente eléctrica! Não se pode calcular RTH = VOC/ISC 22 Circuito só com geradores dependentes esta equivalência pode usar-se para simplificar circuitos Calcular VO I2 = I 0 = IT = I1 + I 2 + I 3 = 6k//3k A 15 mA 14 RTH = 1 14 = kΩ IT 15 4k 4mA 4k + ( 4k + 8k ) I O = 1mA B TCFE Análise de Circuitos Lineares IO = Março de 2011 VO = 8V 2k+2k © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 2mA//2mA=4mA TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 Como determinar circuito equivalente? Pode determinar-se circuito equivalente 25 26 Exemplos de aplicação Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton calculando o equivalente de todo o circuito linear calculando parcialmente circuitos equivalentes nunca se podem separar as variáveis de controlo dos geradores dependentes, da parte do circuito onde estes estão inseridos! Calcular VO VOC = −6V I SC = −18mA © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica VO = − 18 V 7 TCFE Análise de Circuitos Lineares Exemplos de aplicação Março de 2011 27 Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Março de 2011 28 Exemplos de aplicação Março de 2011 TCFE Análise de Circuitos Lineares Calcular circuitos equivalentes de Thévenin e Norton vistos dos terminais A-B © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Março de 2011 Exemplos de aplicação 29 Calcular VO e IO usando Teoremas de Thévenin ou Norton Lei de Ohm Leis de Kirchhoff (KCL e KVL) Associação de componentes em série e paralelo Propriedades de circuito linear Resistências, geradores(fontes) de tensão e de corrente Homogeneidade (escalamento), Aditividade Teorema da Sobreposição Teoremas de Thévenin e Norton Circuitos equivalentes de Thévenin e Norton Conversão de geradores Março de 2011 Problemas da Colectânea Podem resolver todos os exercícios até 1.23 Método dos Nós TCFE Análise de Circuitos Lineares Divisores de tensão e corrente © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica 30 Ferramentas de análise de circuitos lineares © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Lineares Acetatos Podem resolver todos os exemplos Março de 2011
