Conjuntos Noções básicas Noções básicas Elementos de um

07/02/2017
Conjuntos
Noções básicas
 Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma
 Conjunto dos números pares:
turma torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia.
0, 2, 4, 6, 8, ...
BIR Y SAR KYS
BIR Y SAR KYS
1
Noções básicas
Torcedores do Ceilândia
BIR Y SAR KYS
Torcedores do Gama
Torcedores do Brasiliense
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
BIR Y SAR KYS
Capítulo
1.5
1.1
 Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica
natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.1
Elementos de um conjunto
Representação de um conjunto
Igualdade de conjuntos
O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 2, 5 e 10.
O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 3, 5, 7 e 9.
Dois conjuntos, A e B, são iguais (A = B) se A tem os mesmos
Podemos representá-lo:
elementos de B.
 enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9}
1∊A
3
1 pertence a A
 considerando uma propriedade que todos os elementos do
∉A
conjunto, e somente eles, verificam:
naturais menores que 5.
 O conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4}
 desenhando uma figura:
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
 O conjunto A contém os números
A = {xx é um número ímpar menor que 10}
3 não pertence a A
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exemplo
1.5
1.2
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
14243
Então:
A=B
1.5
1.4
Igualdade de conjuntos
Conjunto universo
Conjunto unitário e conjunto vazio
Quando um conjunto tem ao menos um elemento
Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado
Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento.
diferente dos elementos de outro conjunto, dizemos que
por todos os elementos utilizados para estudar uma situação.
Exemplo
os conjuntos são diferentes.
Vamos resolver a equação x² = 4:
C = {xx é um número natural primo par} = {2}
14243
Exemplo
 X = {0, 2, 3, 4, ...}
x=2
X ≠ Y (X é diferente de Y)
 Y = {1, 2, 3, 4, ...}
 se U = ℤ:
x = –2 ou
x=2
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.4
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Conjunto vazio, cuja notação é  ou {}, é o conjunto que
uma solução
14243
14243
 se U = ℕ:
não tem elementos.
Exemplo
duas soluções
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
B = {xx é um número primo par maior que 5} = 
1.5
1.5
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.6
1
07/02/2017
Se um conjunto A não é subconjunto de B, dizemos que A não
Observações
se, todos os elementos de A pertencem a B.
está contido em B.
 O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {1, 2, 3, 7}
A ⊂ B ou B ⊃ A
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C=0
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
Exercício resolvido
1.5
c) C  A
d) C  B
b) B  X
1.5
1.7
Exercício resolvido
R2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um exemplo
de um conjunto X, em cada caso.
a) X  B
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.7
R2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um exemplo
classificar cada sentença como verdadeira ou falsa.
b) B  A
 Se A  B e B  A, então o conjunto A é igual a B.
Exercício resolvido
R1. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {b, c},
a) A  C
Subconjuntos de um conjunto
 Todo conjunto está contido nele mesmo.
A⊄B
C ⊄B
C ⊄A
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.7
1442443
Subconjuntos de um conjunto
Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente
14243
Subconjuntos de um conjunto
de um conjunto X, em cada caso.
c) X  B e B  X
a) X  B
b) B  X
c) X  B e B  X
Resolução
Resolução
Resolução
a) Verdadeira. Todos os elementos de C pertencem a A.
a) Se X  B, então X é um subconjunto de B. Logo, há
b) Se B  X, então B é um subconjunto de X. Logo,
b) Verdadeira. O elemento d de B não pertence a A.
mais de um conjunto X que obedece a essa condição.
poderemos determinar infinitos exemplos para X, desde
c) Falsa. O elemento a pertence a A e não a C.
Poderíamos ter, por exemplo: X = , uma vez que o
que os elementos 1, 2 e 3 pertençam ao conjunto X. Como
d) Falsa. O elemento b pertence a C e não a B.
conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
exemplo, temos:
X = {1}; ou X = {1, 2}, entre outros.
X = {0, 1, 2, 3} ou X = {0, 1, 2, 3, 4}
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.8
Exercício resolvido
R2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um exemplo
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.9
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.9
Operações com conjuntos
Operações com conjuntos
União de conjuntos
União de conjuntos
de um conjunto X, em cada caso.
a) X  B
b) B  X
Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto
c) X  B e B  X
formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
Resolução
c) Se X  B e B  X, então o conjunto X é igual a B. Logo, só
A  B = {xx ϵ A ou x ϵ B}
existe uma possibilidade: X = {1, 2, 3}
14243
A região hachurada
representa A  B.
A = {2, 3, 5, 7}
B = {0, 2, 4, 6}
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.9
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
A  B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.10
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.10
2
07/02/2017
Operações com conjuntos
Operações com conjuntos
Intersecção de conjuntos
Intersecção de conjuntos
Exercício resolvido
R3. Determinar A  B, sabendo que:
A = {xx é um número natural menor que 8} e
A = {xx é um número natural menor que 8}
B = {xx é um número natural par menor que 10}
B = {xx é um número natural entre 7 e 11}.
Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o
conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A
e a B.
Resolução
Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B.
A  B = {xx ϵ A e x ϵ B}
Assim, temos:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {8, 9, 10}
Desse modo: A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A região hachurada
representa A  B.
A  B = {0, 2, 4, 6}
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.11
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
Exercício resolvido
Exercício resolvido
R3. Determinar A  B, sabendo que:
R4. Determinar A  B, sabendo que:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.11
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.12
Exercício resolvido
R5. Considerar os conjuntos representados abaixo.
A = {xx é um número natural menor que 8} e
A = {xx é um número natural maior que 9} e
Resolução
B = {xx é um número natural entre 7 e 11}.
B = {xx é um número natural menor que 9}.
a) Inicialmente, vamos determinar os
elementos pertencentes a cada
Resolução
Resolução
Representando a união desses conjuntos em um diagrama, temos:
Inicialmente, determinamos os elementos dos conjuntos A e B.
conjunto. Assim: A = {1, 2, 3, 4},
B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7}
Assim, temos:
Agora, determinamos (A  B):
A = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ...} e
A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}
Determinar:
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Como não há elementos em comum, A  B =
.
A região hachurada representa A  B.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.12
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.13
a) (A  B)  C
desse conjunto com C e obtemos:
b) (A  B)  C
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R5. Considerar os conjuntos representados abaixo.
Depois, determinamos a intersecção
(A  B)  C = {1, 3, 7}
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.14
Exercício resolvido
R5. Considerar os conjuntos representados abaixo.
R5. Considerar os conjuntos representados abaixo.
Resolução
Resolução
Resolução
a) Representando em um diagrama
b) Primeiro, determinamos (A  B):
b) Representando em um diagrama
de Venn:
A  B = {1, 2}
de Venn:
Depois, determinamos a união desse
conjunto com C:
(A  B)  C = {1, 2, 3, 5, 7}
Determinar:
a) (A  B)  C
b) (A  B)  C
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
A parte laranja representa (A  B)  C.
1.5
1.14
Determinar:
Determinar:
a) (A  B)  C
a) (A  B)  C
b) (A  B)  C
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
b) (A  B)  C
1.5
1.14
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
A parte azul representa (A  B)  C.
1.5
1.14
3
07/02/2017
Exercício resolvido
R6. Sabendo que A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A  B = {4 ,5},
escrever duas possibilidades diferentes para A e B.
Operações com conjuntos
Operações com conjuntos
Diferença de conjuntos
Diferença de conjuntos
A = {xx é um número natural e está entre 20 e 30}
B = {xx é um número primo menor que 30}
Resolução
Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas
Como A  B = {4, 5}, devemos considerar que os elementos
não pertencem a B.
4 e 5 pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.
Sabemos também que os conjuntos A e B são formados
A – B = {xx  A e x  B}
necessariamente pelos elementos que pertencem a A  B.
Assim, podemos escrever:
A = {1, 4, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} ou
A região hachurada
representa A  B.
A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 4, 5}
A – B = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}
Há outras possibilidades além dessas.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.15
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.16
Exercício resolvido
Complementar de um conjunto
1.16
R8. Descrever a parte azul do
A = {xx é um número natural menor que 10} e
diagrama por meio de
B = {xx é um número natural e está entre 3 e 7}.
operações de conjuntos.
Resolução
Resolução
Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto B
Enumerando os elementos de A e B, temos:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6}
em relação a A é a parte laranja da figura.
1.5
Exercício resolvido
R7. Determinar A – B sabendo que:
Dados os conjuntos A e B, o complementar do conjunto B
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos:
= A – B, com B  A
A – B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}
está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C.
Devemos observar ainda que somente uma parte do conjunto A
está colorida de azul. Como essa parte representa os elementos de
A que não pertencem a B nem a C, podemos escrever a seguinte
operação para representar a parte azul
da figura: A – B – C ou A – C – B
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.17
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
1.5
1.18
Exercício resolvido
R9. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10}
R9. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10}
e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}.
Determinar:
Determinar:
b)
c)
, com E =
a) Ac
1.5
1.19
Exercício resolvido
e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}.
a) Ac
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
R9. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10}
e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}.
Determinar:
b)
c)
, com E =
a) Ac
b)
c)
, com E =
Resolução
Resolução
Resolução
a) Como o conjunto U é um conjunto finito, para facilitar a
a) Determinando U – A, encontramos:
b) Nesse caso, devemos determinar A – B. Assim:
= {5, 15}
Ac = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}
resolução podemos enumerar seus elementos:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.20
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.20
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.20
4
07/02/2017
Exercício resolvido
Exercício resolvido
R9. Considerar os conjuntos A = {0, 5, 10, 15}, B = {0, 10}
Exercício resolvido
R10. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18},
R10. Dados os conjuntos U = {3, 6, 9, 12, 15, 18},
AC = {3, 6, 9} e BC = {15, 18}, determinar:
e U = {xx é um número natural menor ou igual a 15}.
AC = {3, 6, 9} e BC = {15, 18}, determinar:
Determinar:
a) Ac
c)
b)
, com E =
Resolução
c) Inicialmente, devemos encontrar os elementos do conjunto E.
Como E =
a) o conjunto A.
b) o conjunto B.
a) o conjunto A.
b) o conjunto B.
Resolução
Resolução
a) Como AC = {3, 6, 9}, os elementos de U que não pertencem
b) Como BC = {15, 18}, os elementos de U que não pertencem
a AC pertencem ao conjunto A; portanto:
, temos: E = {5, 15}.
Agora, determinamos U – E e encontramos:
a BC pertencem ao conjunto B; portanto:
A = {12, 15, 18}
B = {3, 6, 9, 12}
= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.20
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.21
Aplicação das operações com conjuntos
Aplicação das operações com conjuntos
O número de elementos de A ∪ B é:
O número de elementos de A ∩ B é:
A∪B
A∩B
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.21
Exercício resolvido
R11. Esportes. Em uma pesquisa com uma turma de Ensino
Médio, verificou-se que 15 alunos praticavam basquete
como atividade esportiva, 25 alunos praticavam futebol e
7 alunos praticavam duas atividades: basquete e futebol.
Determinar quantos alunos participaram da pesquisa,
sabendo que todos optaram por pelo menos um dos dois
esportes.
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.22
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
1.5
1.22
Exercício resolvido
R11. 15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
1.23
Exercício resolvido
R11. 15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam
futebol e 7 alunos praticavam as duas atividades.
futebol e 7 alunos praticavam as duas atividades.
Determinar quantos alunos foram pesquisados.
Determinar quantos alunos foram pesquisados.
R11. 15 alunos praticavam basquete, 25 alunos praticavam
futebol e 7 alunos praticavam as duas atividades.
Determinar quantos alunos foram pesquisados.
Resolução
Resolução
Resolução
7 alunos praticavam as duas atividades esportivas.
Como 15 pessoas praticavam basquete e, desse total, 7 também
Como 25 pessoas praticavam futebol e, desse total, 7 também
praticavam futebol, a quantidade de alunos que estão no
praticavam basquete, a quantidade de alunos que estão no
conjunto A e não estão no conjunto B é: 15 – 7 = 8
conjunto B e não estão no conjunto A é: 25 – 7 = 18
AeB
Somente B
Somente A
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.23
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
n(A  B) = 8 + 18 + 7 = 33
1.5
1.23
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.23
5
07/02/2017
Exercício resolvido
Exercício resolvido
R12. Consumidor. Após uma pesquisa com os clientes de
Exercício resolvido
R12. De 200 pesquisados, 150 compraram o refrigerante da
R12. De 200 pesquisados, 150 compraram o refrigerante da
um supermercado, verificou-se que 150 pessoas
marca C e 75 compraram o da marca P. Determinar
marca C e 75 compraram o da marca P. Determinar
compraram o refrigerante da marca C e 75 compraram o
quantas compraram refrigerantes das duas marcas.
quantas compraram refrigerantes das duas marcas.
da marca P. Sabendo que 200 pessoas participaram da
Resolução
das duas marcas.
Marca C e marca P: x
Resolução
123
pesquisa, determinar quantas compraram refrigerantes
Marca C: 150 – x
Marca P: 75 – x
N(C  P) = (150 – x) + x + (75 – x)
200 = (150 – x) + x + (75 – x)
x = 150 + 75 – 200  x = 25
Assim, concluímos que 25 pessoas compraram refrigerantes
das duas marcas.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.24
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
1.5
1.24
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
R13. Carnaval. Uma empresa faz colares para o carnaval. As
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.24
Exercício resolvido
R13. 1.750 colares com o plástico rosa, 1.200 colares com
R14. Cultura. Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de
matérias-primas utilizadas são plásticos rosa e verde. Em
plástico verde e rosa. Quantos colares foram fabricados
identificar o tipo de leitura preferida de 145 alunos de
um ano, foram produzidos 1.750 colares com o plástico
apenas com o plástico rosa?
Ensino Médio. Nessa pesquisa, história em quadrinhos
rosa, 1.200 colares com plástico verde e rosa e uma
teve 60 votos, romance, 85 votos, e ficção científica, 55.
Resolução
certa quantidade de colares feitos somente com o
plástico verde. Quantos colares foram fabricados apenas
com o plástico rosa?
Sabe-se ainda que 20 alunos votaram em história em
R  conjunto dos colares com
o plástico rosa
quadrinhos e em romance, 30 votaram em romance e em
V  conjunto dos colares com
o plástico verde
ficção, 10 votaram em história em quadrinhos e em ficção
O número de colares feitos apenas com o plástico rosa é:
alunos votaram somente em romance.
e 5 alunos votaram nos três tipos. Determinar quantos
1.750 – 1.200 = 550
Então, 550 colares foram feitos apenas com o plástico rosa.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.25
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.25
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Exercício resolvido
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.26
Exercício resolvido
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar
quantos votaram apenas em romance.
Resolução
quantos votaram apenas em romance.
Resolução
quantos votaram apenas em romance.
Resolução
Vamos chamar de:
Inicialmente, vamos considerar a quantidade de alunos que
 Fazemos o mesmo com os 30 que votaram em romance
 Q o conjunto dos que preferem história em quadrinhos;
votaram nos três tipos de literatura (5 alunos).
 R o conjunto dos que preferem romance;
 Como 20 alunos votaram em história em quadrinhos e em
 F o conjunto dos que preferem ficção.
e em ficção: 30 – 5 = 25
 E também com os 10 que votaram em quadrinhos e ficção:
romance, os que preferem exclusivamente quadrinhos e
10 – 5 = 5
romance são: 20 – 5 = 15
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.26
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.26
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.26
6
07/02/2017
Exercício resolvido
Exercício resolvido
Conjuntos numéricos
Conjunto dos números naturais
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60
R14. Leitura preferida de 145 alunos: história em quadrinhos, 60
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em
votos; romance, 85 votos; ficção científica, 55; história em
O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história
quadrinhos e romance, 20; romance e ficção, 30; história
e é indicado por:
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar
em quadrinhos e ficção, 10; e nos três tipos, 5. Determinar
quantos votaram apenas em romance.
Resolução
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
quantos votaram apenas em romance.
Resolução
Para descobrir quantos alunos votaram somente em romance:
n(Q ∩ R)
n(Q ∩ R ∩ F)
85 – 15 – 25 – 5 = 40
n(R)
n(R ∩ F)
Portanto, 40 alunos votaram somente em romance.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.26
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.26
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.27
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
Conjunto dos números inteiros
Conjunto dos números racionais
Conjunto dos números reais
Acrescentando os números negativos aos naturais, formamos
O conjunto dos números racionais é formado por todos os
Há números que não podem ser escritos na forma de fração,
o conjunto dos números inteiros, que é representado por:
números que podem ser escritos na forma de uma razão
e sua representação é decimal infinita, e não periódica. Esses
ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
,
com a  ℤ e b  ℤ*.
números são denominados números irracionais.
Por exemplo:
,
,
,
,
etc.
A reunião do conjunto dos números racionais com o dos
números irracionais resulta no conjunto dos números reais,
representados por ℝ.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.28
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.29
Conjuntos numéricos
A reta real
Conjunto dos números reais
Dizemos que cada número real corresponde a um só ponto da
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.30
Representação de subconjuntos
por intervalos
Consideramos a e b números reais tais que a < b.
reta e cada ponto da reta corresponde a um número real.
Representação geométrica
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.31
Representação algébrica
Essa é chamada reta real ou reta numérica.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.32
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.33
7
07/02/2017
Representação de subconjuntos
por intervalos
Representação de subconjuntos
por intervalos
Consideramos a e b números reais tais que a < b.
Consideramos a e b números reais tais que a < b.
Operações com intervalos
Exemplos
a) Dados os conjuntos A =
, determine A ∪ B.
eB=
Representação geométrica
Representação algébrica
Representação geométrica
Representação algébrica
Como o conjunto procurado é o conjunto de todos os
elementos que pertencem a A ou a B, temos:
A∪ B =
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Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.33
1.5
1.33
Operações com intervalos
Operações com intervalos
Exemplos
Exemplos
b) Dados os conjuntos A =
c) Dados os conjuntos A =
, determinar A ∩ B.
eB=
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
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ou [–3, 8]
1.5
1.34
Exercício resolvido
R18. Dados os conjuntos M =
B=
e
N=
, determine A – B.
,
eO=
,
determinar (M ∪ N) – O.
Resolução
Inicialmente, determinamos o intervalo M ∪ N.
O conjunto procurado será o conjunto de todos os elementos
Como a operação A – B indica que devemos encontrar o
que pertencem a A e a B ao mesmo tempo:
conjunto de todos os elementos que pertencem a A e não
A∩B=
pertencem a B, temos:
ou [2, 4[
A–B=
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 1 – Conjuntos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.5
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1.35
Exercício resolvido
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Capítulo 1 – Conjuntos
ou ]–, –4] ∪ ]7, +[
1.5
1.36
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Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.37
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
R18. Dados os conjuntos M =
,
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
N=
eO=
,
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
determinar (M ∪ N) – O.
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA
Diretoria de Tecnologia Educacional
Resolução
Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Depois, fazemos (M ∪ N) – O:
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres
© Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados.
(M ∪ N) – O = ]1, 4[ ∪ ]6, + ∞[
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Capítulo 1 – Conjuntos
1.5
1.37
EDITORA MODERNA
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904
Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510
Fax (0__11) 2790-1501
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2012
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