Capítulo 11 Análise em Regime Permanente C.A. - DECOM

EA-513 – Circuitos Elétricos I
DECOM-FEEC-UNICAMP
Capítulo 11
Análise em Regime Permanente C.A.
EA-513 – Circuitos Elétricos I
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11.1 Análise Nodal
Relação tensão-corrente:
V = ZI
Diferença entre circuitos resistivos e fasoriais:
•  as excitações e as respostas são complexas nos circuitos fasoriais.
Assim, os métodos de análise nodal e de malhas, ou de laços, podem ser
utilizados em circuitos fasoriais.
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Exemplo: Cálculo de v1 e v2 em regime permanente.
1F
1/2 Ω
5cos(2t) [V] +
-
v1
v2
1/2 H
1/2 F
1/4 H
1 Ω
5cos(2t) [A]
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Circuito fasorial:
− j1 2 Ω
1 2Ω
5∠0º [V]
ZC = − j
+
-
1
ωC
Z L = jω L
V1
V2
j1 Ω
− j1 Ω
j1 2 Ω
1Ω
5∠0º [A]
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Circuito simplificado:
1 2Ω
5∠0º [V]
+
-
V1
− j1 Ω
− j1 Ω
V2
1 + j2
Ω
5
5∠0º [A]
Equações nodais:
V1 − 5∠0° V1 V1 − V2
+
+
=0
12
− j1
− j1
(2 + j2) V1 − jV2 = 10
V2 − V1
V2
+
= 5∠0°
− j1
1+ j2 5
− jV1 + 1− j V2 = 5
(
)
(
)
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Resolvendo por determinantes:
10
−j
5 1− j
Δ1
V1 =
=
Δ
2 + j2 − j
−j
=
10 − j5
= 2− j
5
1− j
2 + j2 10
−j
Δ2
V2 =
=
Δ
2 + j2
−j
5
−j
=
10 − j20
= 2 + j4
5
1− j
(
)
V1 = 5∠ − 26,6° #$V%&
v1 = 5 cos 2t − 26,6°
V2 = 2 5∠63,4° "#V$%
v2 = 2 5 cos 2t + 63,4°
(
)
"V$
# %
!V#
" $
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Exemplo: Cálculo da resposta forçada i. Fonte dependente.
3000i [V]
1 2 kΩ
i
v
-
+
v + 3000i
2 kΩ
4cos(5000t) [V]
+
-
I
4∠0º [V]
+
-
1
µF
5
2 kΩ
1 2 kΩ
2
(1 − j 2) kΩ
5
3000I
V
-
+
1
µF
5
V + 3000I
(2 − j1) kΩ
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I
4∠0º [V]
1 2 kΩ
V
-
+
3000I
2
(1 − j 2) kΩ
5
+
-
V + 3000I
(2 − j1) kΩ
V−4
V
V + 3000I
+
+
=0
3
1 3 2
⋅10
1− j2 ⋅103 2 − j1 ⋅10
2
5
(
I=
)
4−V
1 3
⋅10
2
I = 24 ⋅10−3∠53,1° $%A&'
(
)
Substituindo
1
V = 4 − ⋅103 I
2
(
)
i = 24cos 5000t + 53,1°
!mA#
"
$
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Exemplo: Cálculo da resposta forçada v para vg = Vm cos(ωt).
1 µF
1
vg
2 kΩ
2 kΩ
v2
v1
+
-
1 µF
2 kΩ
v
2 kΩ
Fonte de tensão controlada a tensão:
v2
+
v
v2
-
2 kΩ
2 kΩ
! 2000 $
v = #1+
& v2 = 2v2
" 2000 %
v2 =
v
2
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− j1000 ω kΩ
1
Vm∠0º
2 kΩ
2 kΩ
V/2
V1
+
-
− j1000 ω kΩ
2 kΩ
V
2 kΩ
Equações nodais:
Nó V1:
Nó V/2:
V
V1 −Vm∠0°
V1 − V
2
+
+
=0
6
3
1
10
2 ⋅10
⋅103
−j
ω
2
V
V
− V1
#
&
2
1
2
2
+
=0
V1 = %%
+ (( V
6
3
3
10
2 ⋅10
$ − j2 ⋅10 ω 2 '
−j
ω
V1 −
Substituindo
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V=
2Vm
( " ω 2 %+ " 2ω %
*1− $$
'
'- + j $$
6'
3 '
*) # 10 &-, # 10 &
Forma polar:
V=
onde
2Vm∠θ
" ω %4
1+ $
'
# 1000 &
"
%
$ 2ω 1000 '
θ = − tan −1 $
2'
1−
ω
1000
$#
'&
(
Domínio do tempo:
v=
2Vm
! ω $
1+ #
&
1000
"
%
4
)
(
cos ω t + θ
)
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11.2 Análise de Malha
Exemplo: Análise de malha para um circuito em regime permanente c.a.,
cálculo de v1.
1 2Ω
5∠0º [V]
+
-
I1
− j1Ω
V1
− j1Ω
V2
1+ j2
Ω
5
I2
5∠0º [A]
5A
I1
− j1 I1 − I 2 = 5
2
I
V1 = 5 − 1
2
(
)
! 1+ j2 $
− j1 I 2 − I1 − j1I 2 + #
& I2 + 5 = 0
" 5 %
(
Resolvendo:
I1 = 6 + j2 !"A#$
)
V1 = 2 − j1 "#V$%
(
)
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Procedimento simplificado para escrever as equações de laço e de malha em
circuitos fasoriais (semelhante aos resistivos):
Definido I3 = -5 como a corrente da malha à direita no sentido horário, as
equações de malhas podem ser escritas como:
1 2Ω
5∠0º [V]
+
-
I1
V1
− j1Ω
− j1Ω
I2
1+ j2
Ω
5
V2
I3
"1
%
$ − j1' I1 − j1 −I 2 = 5
#2
&
( )
"
" 1+ j2 %
1+ j2 %
− − j1 I1 + $ − j1− j1+
' I2 − $
' I3 = 0
5
5
#
&
#
&
( )
5∠0º [A]
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Exemplo: Cálculo de v1 em regime permanente.
sen(2t) [A]
1 2 µF
1Ω
+
4cos(2t) [A]
v1
-
1 2H
2v1 [A]
1H
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1∠-90º = -j1
1∠-90º
-j1
+
4∠0º
4A
− j1 Ω
j1 Ω
V1
2V1
1 + j2 Ω
2V1
I
-
Aplicando Lei de Kirchhoff para tensões no laço I:
(
)(
)
−V1 − j1(− j1+ I) + 1+ 2 j I + 2V1 = 0
V1 = j1(4 − I)
V1
I =− +4
j1
V1 =
−4 + j3
= 1∠143,1°
5
(
)
v1 = cos 2t +143,1°
!V#
" $
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11.3 Teoremas de Rede
Todos os teoremas de rede para circuitos resistivos são aplicáveis em circuitos
fasoriais:
§  Superposição,
§  Teorema de Norton,
§  Teorema de Thévenin,
§  Princípio da Proporcionalidade.
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Exemplo: Superposição, resposta forçada i.
1/4 F
i
5cos(2t) [V] +
-
3 Ω
1H
1/2 H
1/2 F
1 Ω
Fonte de tensão c.a. com ω = 2 rad/s e fonte de corrente c.c.
i = i1 + i2
i1 = se deve à fonte de tensão.
i2 = se deve à fonte de corrente.
4 [A]
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Corrente fasorial I1:
I1
+
-
5∠0º
I1 =
3 + j2 Ω
-j1 Ω
5∠0°
# 1+ j2 − j1
3+ j2 + %
%$ 1+ j2 − j1
(
)( )
&
(
('
= 2∠ − 8,1°
j2 Ω
1 Ω
(
)
i1 = 2 cos 2t − 8,1°
" A$
# %
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Corrente fasorial I2:
I2
3 Ω
4∠0º
1 Ω
Fonte de tensão morta e ω = 0.
I2
I g = 4∠0°
Por divisão de corrente:
3 Ω
" 1 %
I2 = −$
' 4 = −1∠0°
1+
3
#
&
i2 = −1 "#A$%
Resposta forçada:
(
)
i = i1 + i2 = 2 cos 2t − 8,1° −1 "#A$%
1 Ω
4∠0º
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No caso dos teoremas de Thévenin e de Norton, o procedimento é semelhante
ao adotado em circuitos resistivos, mudanças:
Voc ⇔ Voc (tensão fasorial de circuito aberto)
Isc
⇔ Isc (corrente fasorial de curto circuito)
Rth ⇔ Zth (impedância de Thévenin de circuito morto)
Deve haver uma única frequência (ω) presente, caso contrário devemos
empregar superposição para dividir em problemas de frequências únicas, onde
para cada circuito temos um equivalente de Thévenin ou Norton,
Zth
Voc
+
-
Isc
Zth
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Exemplo: Teorema de Thévenin. Cálculo da resposta forçada v.
1
F
3
a
+
2cos(3t) [A]
1Ω
2v1 [A]
1
F
3
v1
-
b
+
v
-
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− j1 Ω
a
2V1 [A]
+
2∠0º [A]
1Ω
Voc
V1
-
Zth =
V1 = 2 ⋅1 = 2
-
b
Voc
I sc
Lei de Kirchhoff de tensões:
( )
+
(
)
Voc = V1 − − j1 2V1 = 2 1+ j2 = 2 + j4
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− j1 Ω
a
+
2∠0º [A]
1Ω
2V1 [A]
Isc
V1
-
b
Equações nodais:
V1 V1
+
− 2V1 = 2
1 − j1
V1 = −1− j1
V1
+2
1
I sc = 3+ j1
I sc = −
Zth =
Voc 2 + j4
=
= 1+ j1 "#Ω$%
I sc 3+ j1
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Circuito equivalente de Thévenin:
1 + j1 Ω
2 + j4 !"V#$
a
+
+
-
− j1
V
-
b
Divisão de tensão:
"
− j1
V= $
$# 1+ j1 + − j1
(
) ( )
%
' 2 + j4 = 4 − j2 = 2 5∠ − 26,6° "#V%&
'&
(
)
Domínio do tempo:
(
)
v = 2 5 cos 3t − 26,6°
"V$
# %
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Exemplo: Cálculo da resposta forçada V em regime permanente (Proporção).
I2
I1
1 Ω
j1 Ω
+
Vg = 6∠0º [V] +
-
V1
-j1 Ω
+
-j1 Ω
1 Ω
-
V
-
Supor V = 1 V.
I1 =
V V
+
= 1+ j1
1 − j1
(
Mas Vg é igual a:
)
V1 = j1I1 + V = j1 1+ j1 +1 = j1
I2 =
V1
+ I = −1+ 1+ j1 = j1
− j1 1
(
)
Vg = 1⋅ I 2 + V1 = j1+ j1 = j2 "#V$%
Vg =
6
⋅ j2 "#V$%
j2
Então,
V = 1⋅
6
= − j3 #$V%&
j2
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11.4 Diagramas Fasoriais
Fasores = números complexos ⇒ representação: vetores em um plano.
Exemplo: Circuito fasorial
I
R
+
Vg
VR
jωL
-
+
-
+
-
VL
-j1/ωC
+
VC
-
Referência: corrente I comum a todos os elementos:
Tensões fasoriais:
I = I ∠0°
VR = RI = R I
VL = jω LI = ω L I ∠90°
VC = − j
1
1
I=
I ∠ − 90°
ωC
ωC
Vg = VR + VL + VC
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Caso a: |VL| > |VC| ⇒ reatância total é indutiva, a corrente atrasa a tensão da
fonte de um ângulo θ.
VL
Vg
VL + VC
θ
VR
I
VC
Caso b: |VL| < |VC| ⇒ reatância total é capacitiva, a corrente adianta a tensão
da fonte de um ângulo θ.
VL
θ
VL + VC
VR
I
Vg
VC
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Caso c: |VL| = |VC| ⇒ reatância total é nula, a corrente e a tensão da fonte
estão em fase.
V
L
VL + VC
Vg = V R
I
VC
I=
Assim,
ωL−
1
=0
ωC
Vg
Z
=
Vg
"
1 %
R + j $ω L −
'
ω
C
#
&
ωL =
1
ωC
ω=
1
LC
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Se a corrente I é fixa, então a componente real da tensão Vg (VR= R | I |)
também é fixa.
Lugar geométrico o fasor Vg para I fixa:
ω → ∞
Vg
ω=
1
LC
I
ω → 0
A amplitude mínima da tensão ocorre quando ω = 1
LC . Para qualquer outra
frequência, uma amplitude maior de tensão é necessária para a mesma
corrente.
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Exemplo: Diagramas fasoriais. Lugar geométrico de I com a variação de R.
I
Vm∠0º
R
jωL
+
-
(
)
Vm R − jω L
Vm
Vm R
Vmω L
I=
=
=
−
j
R + jω L
R 2 + ω 2 L2
R 2 + ω 2 L2
R 2 + ω 2 L2
I = x + jy
x = Re {I} =
Vm R
R 2 + ω 2 L2
y = Im {I} = −
ω LVm
R 2 + ω 2 L2
Para obter o lugar geométrico de I temos que eliminar R nas equações acima.
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x
R
=−
y
ωL
Substituindo na expressão
R=−
y=−
ω LVm
2
2 2
R +ω L
x2 + y2 = −
ω Lx
y
, obtemos
Vm y
ωL
que pode ser reescrita como:
2
2
!
$
!
$
V
V
x2 + # y + m & = # m &
2ω L % " 2ω L %
"
que é a equação de uma circunferência de raio Vm/2ωL e centro em [0, -Vm/2ωL].
A semicircunferência para x > 0 é o lugar geométrico do fasor I = x + jy, com R
variando.
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A tensão Vm∠0º é tomada como referência.
Lugar geométrico de I.
R → ∞
0
Vm
2ω L
Vm
θ
V
− m
2ω L
a
I
−
Vm
ωL
R=0
raio: Vm/2ωL
centro: [0, -Vm/2ωL]
x=
Vm R
R 2 + ω 2 L2
y=−
ω LVm
R 2 + ω 2 L2
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x=
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Vm R
R 2 + ω 2 L2
y=−
ω LVm
R 2 + ω 2 L2
Se R = 0, então:
x=0
y=−
Vm
ωL
Se R → ∞, então:
x=0
y=0
A corrente fasorial move-se ao redor do círculo no sentido anti-horário.
Corrente fasorial possui duas componentes: Imcosθ em fase com a tensão e
Imsenθ que está 90º fora de fase com a tensão.
O diagrama fasorial permite visualizar a componente da corrente de fase
máxima, que ocorre no ponto a, ou seja, com θ = 45º (x = -y ou R = ωL).