A Origem dos Jogos

GRUPO 5.4
MÓDULO 15
Índice
1. Operações com Números Naturais - Continuação ...........3
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Grupo 5.4 - Módulo 15
1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS - CONTINUAÇÃO
A adição envolve dois tipos de ações: juntar (agregar, reunir) ou acrescentar
(somar), e sugerimos ao professor atividades que ajudem o aluno a descobrir
propriedades como a comutativa e a associativa e o zero como elemento
neutro na adição.
Propriedade comutativa da adição: a ordem dos números não
altera a soma. Exemplo:
7 + 5 + 2 = 14
2 + 5 + 7 = 14
5 + 7 + 2 = 14
Propriedade associativa da adição: a soma não é alterada porque
se associou os números de modo diferente. Exemplo:
7 + 5 + 2 = 14
(5+5) + (2+2) = 14
(5+2) + (5+2) = 7 + 7 = 14
Zero: é um elemento neutro na adição, por sua presença não se altera
a soma.
A subtração diz respeito às ações de retirar, comparar (o que tem menos ou
quanto tem a mais do que tem menos) ou completar (o que falta para).
49 – 35 = 14 35 + 14 = 49
A criança precisa buscar na teoria as ações que a ajudem a pensar e
solucionar suas necessidades e problemas, portanto, não há espaço para
perguntas ao professor do tipo “Que conta eu tenho que fazer? É conta de
mais ou de menos?”
O professor, portanto, deve promover experiências que contenham todas
essas ações e utilizar materiais de sucata para promover situações em que o
aluno possa empregar as ações citadas.
Em algumas atividades de subtração propostas pelo professor, não aparecem
frases que indicam a necessidade de subtração dos elementos, o que pode
induzir a criança ao erro se ela se basear em expressões como “menos”.
Ações de tirar: são o emprego de contas de tirar elementos de um
todo. Estão presentes em situações que temos o total e deste total
tiramos determinada quantidade.
Muitos professores enfocam apenas a ação de tirar quando trabalham com a
subtração, mas existem outras ações ligadas a essa operação, como o
comparar e o completar.
Ações de comparar: as ações de comparar que envolvem a
subtração estão presentes nas situações em que confrontamos duas
quantidades independentes; por exemplo, num problema proposto
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pelo professor, como este: João tinha 12 figurinhas do Corinthians,
seu time preferido. Luiz, seu amigo, tinha 22 figurinhas do mesmo
time de futebol. Quem tem mais figurinhas? Quanto a mais tem de
figurinha?
Noutra situação, as ações podem envolver a comparação de uma parte com
o todo e depois com a outra parte, por exemplo: João tem doze figurinhas;
desse total, cinco são do time de futebol do São Paulo e as demais são do
Corinthians. Quantas figurinhas do Corinthians João tem?
Ações de completar: as ações de completar aparecem nas situações
em que o cálculo começa por uma parte até chegar ao todo. Exemplo:
João gostaria de ter 50 figurinhas dos diferentes times de futebol para
completar sua coleção. Acontece que o João tem apenas 28 figurinhas.
Quantas figurinhas faltam para João ter as 50 figurinhas?
Segundo os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 111), muitos
livros didáticos enfatizam a ideia de “tirar” quando tratam da subtração, mas
é na ação de comparar e completar que os alunos apresentam maior
dificuldade, sendo necessária maior intervenção do professor na proposta de
atividades.
Os autores (1997, p. 117) denunciam a forma controversa de ensinar
subtração por meio do método do “emprestando”. Abaixo, daremos um
exemplo de como é ensinada a subtração pelo empréstimo:
25 – 8 = 17
Não é possível tirar 8 unidades de 5 unidades, portanto, pede-se emprestado
1 do número 2 ao lado para o número 5, formando 15. Agora é possível
tirarmos 8 de 15, e o resultado é 7. Como emprestado na conta é dado,
então o número dois agora é o número 1, que menos 0 é o número 1. O
resultado da conta é 17.
Segundo os autores, o termo “emprestar”, além de inadequado, trata de um
valor errado, como o de emprestar e não pagar o que emprestou. O aluno
também efetua uma conta de forma mecânica, não compreende e não sabe o
valor das trocas, ou seja, 25 unidades, troca-se 10 unidades por uma dezena
que se ajunta com o número 5, tendo condições, portanto, de executar a
subtração.
Com essa atitude, segundo os autores, o professor estimula o aluno a fazer
contas apenas no papel para que tenha condições de realizar os empréstimos
e não favorece a aprendizagem das trocas de uma dezena para 10 unidades
e assim por diante.
Multiplicação e divisão: segundo César Coll e Ana Teberosky (2002,
p. 38), tanto a multiplicação como a divisão possuem relação direta
com as operações de adição e subtração. Os autores explicam que a
multiplicação é utilizada para adicionar um mesmo número várias
vezes, e a divisão, para subtrair várias vezes um mesmo número.
Muitos professores acreditavam que a multiplicação e a divisão deveriam ser
trabalhadas depois que o aluno aprendia e sabia muito bem a operação da
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adição e a da subtração. Dentro dessa idéia, acreditava-se também que a
multiplicação deveria ser ensinada antes da divisão.
As últimas pesquisas têm apontado para o ensino da multiplicação e o da
divisão acontecerem desde os primeiros anos do ensino fundamental e sem
dividi-los, ministrá-los juntos.
Uma das justificativas é que o ensino da matemática não deve estar
desvinculado da realidade do aluno, portanto, como na vida cotidiana, as
operações matemáticas não estão separadas, e o ensino da multiplicação não
deve estar separado do ensino da divisão, como também não há uma única
forma de se multiplicar ou dividir numa operação.
A outra justificativa é a de que os alunos têm contato com os números e com
as operações muito antes de frequentarem a escola, portanto, não há
motivos para deixar de trabalhar com multiplicação e divisão desde cedo,
tendo em vista que possuem experiência (informal) com as operações.
Os atuais especialistas orientam que professores devem evidenciar as
relações existentes entre as operações antes de trabalhar com o registro e a
sistematização dos algoritmos. Esclarecem, também, a necessidade de criar
condições para que o aluno compreenda os conceitos envolvidos nas
operações ao trabalhar com as estruturas multiplicativas.
Podemos trabalhar com três conceitos na operação de multiplicação: a
proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória.
Proporcionalidade: o professor propõe situações-problema para o
aluno resolver de forma a empregar a proporcionalidade, observando a
idade e operações cognitivas próprias do desenvolvimento do aluno.
Nessa atividade, o aluno identifica a idéia de proporção. Marília Toledo e
Mauro Toledo (1997, p. 139) dão o seguinte exemplo de uma atividade
envolvendo a proporcionalidade:
Se tiver que distribuir três lápis para cada aluno de meu grupo: se meu
grupo tem dois alunos, quantos lápis eu tenho que pegar? E se forem quatro
alunos? E se forem nove?
Os autores sugerem, para depois da atividade concreta, a seguinte
representação:
Outro exemplo é: cada pacote de figurinhas de times de futebol tem cinco
figurinhas; João tem um pacote de figurinhas, Marcos tem dois pacotes e
Guilherme tem três pacotes. Quantas figurinhas têm João, Marcos e
Guilherme?
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Há também a idéia de proporcionalidade inversa, que significa a diminuição
proporcional de um dos elementos com o aumento de outro. Exemplo: uma
caixa d’água tem seu volume diminuído pela metade a cada semana.
Quantas semanas serão necessárias para ser esvaziada?
Organização retangular: ações que envolvam a descoberta da área
de uma superfície. Exemplos de atividades: situações-problema que
solicitem à criança dizer o número de peças que cabem em
determinado tabuleiro, o número de casas de um bairro ou propor-lhes
que observem o armário de uma dispensa com cinco fileiras de
gavetas; cada fileira tem quatro gavetas, e lhes perguntar o número
de gavetas que há no local. Essa ação favorece a construção de
conhecimentos para a geometria e a percepção de espaço.
Análise combinatória: envolve desafiar os alunos com atividades de
combinações e análises de possibilidades. Exemplo: a boneca de Alice
tem as seguintes roupinhas: cinco camisetas, quatro bermudas, três
mochilas e dois pares de sandálias. De quantos modos diferentes é
possível vestirmos a boneca de Alice?
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 145) definem a divisão como uma
subtração reiterada de parcelas iguais. Está ligada, conforme os autores, às
idéias de repartir igualmente e medir.
A idéia de medir, menos enfatizada do que o repartir igualmente, diz
respeito, segundo os autores, a determinar a maior quantidade possível de
grupos com uma quantidade prefixada de elementos em cada grupo; por
exemplo, tenho uma sala de aula com 27 alunos e preciso formar grupos de
4 pessoas. Quantos grupos existirão nessa sala?
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 152) explicam que, para o processo
de aprendizagem dos alunos, não interfere o fato de se ensinar a divisão no
método longo ou breve, desde que o aluno compreenda o processo da
divisão.
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