da quebra suave à quebra espontânea da simetria

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares
Daniel Guimarães Tedesco
BRST: da quebra suave à quebra espontânea da simetria
Rio de Janeiro
2014
Daniel Guimarães Tedesco
BRST: da quebra suave à quebra espontânea da simetria
Tese apresentada como requisito parcial para
obtenção do tı́tulo de Doutor, ao Programa
de Pós-Graduação em Fı́sica, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. Silvio Paolo Sorella
Coorientador: Prof. Dr. Márcio André Lopes Capri
Rio de Janeiro
2014
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/D
T256
Tedesco, Daniel Guimarães.
BRST: da quebra suave à quebra espontânea da simetria / Daniel Guimarães Tedesco. – 2014.
117 f.: il.
Orientador: Silvio Paolo Sorella.
Coorientador: Márcio André Lopes Capri.
Tese (Doutorado) – Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto
de Fı́sica Armando Dias Tavares.
1. Simetria (Fı́sica) - Teses. 2. Campos de calibre - Teses. 3. Simetria
quebrada (Fı́sica) - Teses. 4. Partı́culas (Fı́sica nuclear) - Teses. I. Sorella,
Silvio Paolo. II. Capri, Márcio André Lopes. III. Universidade do Estado
do Rio de Janeiro. Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares. IV. Tı́tulo.
CDU 539.12
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e cientı́ficos, a reprodução total ou parcial desta
tese, desde que citada a fonte.
Assinatura
Data
Daniel Guimarães Tedesco
BRST: da quebra suave à quebra espontânea da simetria
Tese apresentada como requisito parcial para
obtenção do tı́tulo de Doutor, ao Programa
de Pós-Graduação em Fı́sica, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 16 de Abril de 2014.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Silvio Paolo Sorella (Orientador)
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Márcio André Lopes Capri (Coorientador)
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Vitor Emanuel Rodino Lemes
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Cesar Augusto Linhares da Fonseca Junior
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Rodrigo Ferreira Sobreiro
Universidade Federal Fluminense
Prof. Dr. José Abdalla Helayel-Neto
Centro Brasileiro de Pesquisas Fı́sicas
Prof. Dr. Luis Steban Oxman
Universidade Federal Fluminense
Prof. Dr. Bruno Wernecck Mintz
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Rio de Janeiro
2014
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus. Sem Ele não existiria esta tese. Ele me deu forças nos momentos
mais difı́ces desta fase da minha vida. Muitas mudanças, muitos problemas, e algumas
decepções. Consegui enfrentar somente graças à Ele. À Ele seja a glória desta tese.
Agradeço as minhas meninas Grezielle e Sara. Duas lindas meninas que estão
sempre do meu lado. Grezielle, a matriarca da famı́lia, é aquele ”doce”de sempre. Complicada e perfeitinha, assim como a música, perfuma minha vida desde adolescente. Sara,
nossa filha, é outro doce. Sempre com o sorriso no rosto alegrando nossas vidas com tanta
beleza. Minhas meninas que amo tanto, são um dos meus alicerces.
Agradeço aos meus pais que me ensinaram a dar valor a vida. Me ensinaram a
ter caráter e força de vontade. Dois exemplos a serem seguidos. Mesmo com todas as
dificuldades e limitações, conseguiram educar dois doutores e uma pedagoga. Amo vocês
papai e mamãe.
Agradeço a meus irmãos Julio e Estela. Sempre estiveram ao meu lado, me apoiando (do jeitão deles, claro). Amo vocês dois. Não poderia esquecer do Adiel e sua prole
imensa, Shasnay, Júnior, Josué e Emanuelle. Muitas saudades de vocês! Estarão sempre
no meu coração.
Agradeço aos meus sogros pois sem eles, minha linda Guigui não existiria!
Meus grandes amigos Márcio, Miriam e Ana. Obrigado pelo carinho e por tudo
que fizeram por minha famı́lia.
Meus amigos Felipe Negreiros (Irmão preto), Bruno Inchausp (irmão gordinho,
vulgo Maricá), Marcus Vı́nicius Colaço (nota 7), Anderson (o insuportável), Bulmer
(vulgo Valdir), Otávio (continua sendo o senhor da mecânica analı́tica) e tantos outros
(não muitos) que não me recordo agora e que levarei bronca pelo resto da vida. Vocês são
felizardos de serem meus amigos!
Meus orientadores que me ensinaram um bocado desta tal de fı́sica além da paciência
em meio a tanta mudança. Silvio Sorella, Marcio Capri, Marcelo Guimarães e Vitor Lemes. Obrigado por todos os cafés, puxões de orelha e afins.
A Capes pelo apoio financeiro.
that God made the laws only nearly symmetrical
so that we should not be jealous of His perfection!
R. P. Feynman
RESUMO
TEDESCO, D. G. BRST: da quebra suave à quebra espontânea da simetria. 2014. 117 f.
Tese (Doutorado em Fı́sica) – Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares, Universidade
do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
Nesta tese falamos essencialmente sobre a simetria BRST no modelo de GribovZwanziger. Estudamos a quebra suave, a quebra linear e a quebra espontânea, todas
da simetria BRST. Na formulação padrão do modelo, quebrada suavemente, construı́mos
o modelo de réplica usado para estimar os valores das massas das glueballs. Utilizando
campos auxiliares construı́mos um modelo quebrado linearmente, e utilizando basicamente o mesmo procedimento, uma formulação mais recente onde a simetria é quebrada
espontâneamente.
Palavras-chave: BRST. Simetria. Confinamento.
ABSTRACT
TEDESCO, D. G. BRST: from soft breaking to spontaneous symmetry breaking. 2014.
117 f. Tese (Doutorado em Fı́sica) – Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares,
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
In this thesis we talk mainly about the BRST symmetry in the Gribov-Zwanziger
model. We study the soft breaking, the linear breaking and spontaneous breaking, all
of BRST symmetry. In the standard formulation of the model, broken softly, we built
the replica model used to estimate the values of the glueballs’ masses. Using auxiliary
fields, we built a linearly broken model, and using basically the same procedure, a newer
formulation where the symmetry is broken spontaneously.
Keywords: BRST. Symmetry. Confinement.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura
Figura
Figura
Figura
Figura
1
2
3
4
5
-
Horizontes de Gribov . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagadores do gluon a esquerda e dressing function
Massas das Glueballs em função de a para p = 5 . . .
Massa das Glueballs em função de p para a = 1.3 . .
m2
Quocientes entre as massas m20++ (a, p) . . . . . . . .
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a
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direita.
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34
47
69
69
70
0−+
Figura 6 -
Quocientes entre as massas
Figura 7 -
Quocientes entre as massas
m2++
0
(a, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2
(a, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
m2++
2
m2++
m2−+
0
LISTA DE TABELAS
Tabela
Tabela
Tabela
Tabela
1
2
3
4
-
Númetros quânticos do quarteto de fontes externas
Númetros quânticos de campos e fontes . . . . . . .
Números Quânticos para os campos . . . . . . . . .
Números Quânticos para as fontes . . . . . . . . . .
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46
82
93
93
SUMÁRIO
1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.3
1.3.1
1.4
2
2.1
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.3
2.4
2.4.1
2.5
3
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.3.1
3.3.3.2
3.3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.3.6
3.3.7
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TEORIA DE YANG-MILLS E A SIMETRIA BRST . . . . .
Ação de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema dos dubletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uso dos Quartetos de BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construção do subsespaço fı́sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estados de norma negativa e carga de BRST . . . . . . . . . . . . . .
Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A PROBLEMÁTICA DE GRIBOV . . . . . . . . . . . . . . . .
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ambiguidades de Gribov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cópias de Gribov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Região e Horizonte de Gribov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedades da Região de Gribov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Restrição da Integral à Região de Gribov . . . . . . . . . . . . . . . .
Função Horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A ação de Gribov-Zwanziger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quebra soft da simetria BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MODELOS COM QUEBRA SUAVE DE BRST . . . . . . . .
A quebra suave da simetria BRST . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelo de Gribov-Zwanziger e sua versão aprimorada (RGZ)
Lidando com a quebra na GZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A teoria GZ aprimorada (RGZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O modelo de réplica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construção da ação do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduzindo o conceito de i-particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Renormalizabilidade e teoremas de não renormalização . . . . . . . .
Obtendo a ação inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Identidades de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caracterização do Contratermo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatores de renormalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Não-renormalização do parâmetro massivo v 2 . . . . . . . . . . . . . .
Inclusão dos condensados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construção dos operadores compostos locais BRST invariantes . . . .
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12
18
18
22
23
23
24
27
29
31
31
32
32
33
35
36
38
40
41
42
43
43
45
45
47
48
49
51
53
53
54
56
57
58
59
60
3.3.7.1
3.3.8
3.3.8.1
3.3.9
3.3.10
3.4
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.5.1
4.5.2
4.6
4.7
5
5.1
5.2
5.2.1
5.3
5.3.1
5.4
5.4.1
5.4.2
5.5
Representação Espectral de Kallen-Lehmann dos operadores de Glueballs .
Cálculo das massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abordagem de SVZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fórmula das massas das glueballs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análise qualitativa das massas das glueballs m20++ , m22++ , m20−+ . . . . . . .
Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QUEBRA LINEAR DE BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ação quebrada linearmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ação de GZ quebrada linearmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Identidades de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estabilidade e Contratermo Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construção do Contratermo Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Renormalização e Fatores Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Generalização para a RGZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusões do capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QUEBRA ESPONTÂNEA DE BRST . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ação com simetria exata de BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quebra espontânea de BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modo de Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Restrições na ação efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Identidades de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prova da renormalizabilidade a todas as ordens . . . . . . . . . . .
Construção do contratermo invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fatores de Renormalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APÊNDICE A - Simetrias Clássicas e Quânticas - De Noether a
Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APÊNDICE B - Quebra de Simetria em Fı́sica . . . . . . . . . . .
62
64
64
67
68
70
72
72
72
74
76
80
80
83
84
86
88
88
90
92
92
92
97
97
100
101
103
105
112
115
12
INTRODUÇÃO
A natureza muitas vezes nos surpreende ao exibir certos tipos de padrões que se
repetem ao nosso redor. A esses tais padrões é comum associarmos a palavra simetria. Mas
o que é exatamente simetria? E como a simetria se manifesta na fı́sica? Rigorosamente
falando, algo é dito simétrico por uma dada operação, quando este não muda ao se aplicar
tal operação. Na fı́sica, a simetria surge em diversos lugares. Na mecânica analı́tica e
na teoria clássica de campos, por exemplo, o conceito de simetria tem um papel crucial.
Sabemos, através dos trabalhos seminais de Emily Noether, elegantemente enunciados na
forma de teorema1 , que, a uma simetria da ação de um sistema mecânico, está associada
uma quantidade conservada. Ou seja, se a ação é invariante por alguma operação de
transformação das coordenadas generalizadas e do tempo, existe uma quantidade desse
sistema que é conservada e está ligada a esta transformação. Por exemplo, se um sistema
é invariante por translações temporais a energia desse sistema é conservada.
Além da mecânica clássica, grande parte da fı́sica moderna (mecânica quântica,
teoria quântica de campos, etc) é baseada no conceito de simetria, sendo este sempre
associado a leis de conservação. Já mencionamos os trabalhos de Noether e a importância
destes no cenário clássico, porém, em teoria quântica de campos, existe ainda um “análogo
quântico”do teorema de Noether que são as chamadas identidades de Ward2 . Assim, as
identidades de Ward, juntamente com o teorema de Noether, são ferramentas essenciais
para o entendimento das simetrias clássicas e quânticas dos campos e de fato, o conceito
de cargas conservadas por transformações de simetria é extensamente usado em teoria de
campos. Em especial, a simetria descoberta por Becchi, Rouet, Stora e, separadamente,
por Tyutin, que é conhecida atualmente como simetria BRST, mostra-se como uma ferramenta poderosa em varias áreas da teoria de campos [10, 35] . A carga de BRST, que é a
quantidade conservada obtida da invariância pela transformação de BRST, é responsável
por prover a “real fı́sica“ de processos subatômicos, pois, é a partir dela que se pode
extrair o espectro fı́sico das teorias de calibre.
Ao longo desta tese, retornaremos à questão da simetria BRST e discutiremos
em detalhes seus diversos aspectos, inclusive o conceito de quebra (tanto explicitamente,
quanto espontaneamente) desta simetria. Agora, voltemos nossa atenção para um breve
apanhado histórico sobre o uso da simetria na fı́sica.
Até a primeira metade do século XX, as simetrias já desempenhavam um belo papel
na fı́sica teórica. Os gregos, como Platão e outros, ficaram fascinados com as simetrias
1
Detalhes sobre o Teorema de Noether se encontram no Apêndice 5.5
2
Sobre as identidades de Ward, ver Apêndice 5.5.
13
de objetos e acreditavam que estes seriam espelhados na estrutura da natureza. Mesmo
Kepler tentou impor suas noções de simetria sobre o movimento dos planetas. As leis
de Newton estão cheias de simetria, como o princı́pio de equivalência entre referenciais
inerciais, chamado de invariância de Galilei. As equações de Maxwell do eletromagnetismo
incorporam a invariância de Lorentz e a invariância de calibre. No entanto, estas simetrias
da teoria eletromagnética ficaram, por assim dizer, “abandonadas“ por cerca de 40 anos.
Esta situação mudou drasticamente no inı́cio século XX com Einstein. Os avanços de
1905 (o ano mágico de Einstein) colocaram a simetria como principal caracterı́stica da
natureza, restringindo leis dinâmicas. Einstein reconheceu a simetria de Lorentz implı́cita
nas equações de Maxwell elevando-a para uma simetria do próprio espaço-tempo. Esta
foi a primeira instância da geometrização de uma simetria. Dez anos mais tarde, este
ponto de vista foi coroado com sucesso, através da construção de Einstein da relatividade
geral. Nesta teoria, o princı́pio de equivalência, um princı́pio de simetria local que deixa
invariante as leis da natureza sob transformações locais das coordenadas do espaço-tempo,
ditou a dinâmica da gravidade e do próprio espaço-tempo. Com o desenvolvimento da
mecânica quântica na década de 1920, as simetrias passaram a desempenhar um papel
ainda mais fundamental e, a partir da segunda metade do século XX, têm sido o conceito
dominante na exploração e formulação das leis fundamentais da fı́sica, servindo atualmente
como princı́pio orientador na busca da unificação e de progresso da f´ isica.
Ao falar sobre simetrias, é impossı́vel deixar de mencionar as teorias de calibre, a
exemplo do eletromagnetismo, também conhecidas como teorias de Yang-Mills. Tais teorias, recebem este nome justamente por serem invariantes por transformações de calibre.
Das quatro interações fundamentais conhecidas na natureza, apenas a gravitação parece
não se enquadrar como uma teoria de calibre. As demais, eletromagnetismo, interação
nuclear forte e fraca, são exemplos de teorias de calibre, sendo cada uma delas associada
a um grupo de simetria especı́fico: o eletromagnetismo sozinho está associado ao grupo
abeliano U (1); a interação fraca, juntamente com o eletromagnetismo, formam a teoria
eletrofraca, associada ao grupo SU (2); e a interação forte ao grupo de cor SU (3). Além
disso, essas três interações podem ser unificadas dentro de um grupo de simetria maior,
englobando os demais, sendo cada uma delas uma manifestaç ao de uma única interação
fundamental3 .
Das três teorias de calibre listadas acima, a interação forte desperta-nos um parti-
3
De fato, as três interações, junto com o campo de Higgs, formam uma teoria unificada invariante pelo
grupo U (1) × SU (2) × SU (3) que é um subgrupo de SU (5), o grupo de simetria da chamada grande
unificação.
14
cular interesse devido ao chamado problema do confinamento4 . Essa teoria foi proposta
nos anos 70 por David Politzer, Frank Wilczek e David Gross como a teoria que descreve
a dinâmica de quarks e glúons5 . De acordo com a teoria, os quarks possuem um tipo de
carga que aparece em três tipos, sendo então associados a cores (azul, vermelho e verde).
Assim, essa teoria é comumente conhecida como Cromodinâmica Quântica, ou QCD (do
inglês Quantum Chromodynamics). Um ponto crucial da teoria é que, em baixas energias, os quarks se combinam de maneira a formar estados (mesons e hadrons) de carga
de cor neutra e de carga elétrica quantizada pela carga fundamental. Já os glúons são
responsáveis por “colar”os quarks6 e também formam estados ligados conhecidos como
glueballs, ou “bolas de glúons”. Dessa forma, não se encontra quarks e glúons livres na
natureza e isto constitui o fenômeno do confinamento da QCD. Os observáveis fı́sicos da
QCD, em baixas energias, são então objetos compostos de quarks e glúons. No entanto,
a teoria possui o que chamamos de liberdade assintótica, o que significa que no regime
de altas energias, ou limite ultravioleta, os métodos perturbativos utilizados em teoria de
campos funcionam, o que não é verdade no limite infravermelho (baixas energias), onde
surgem efeitos não perturbativos que são os prováveis responsáveis pelo confinamento.
Entre esses efeitos, está o da quebra da simetria BRST. Nesta tese, veremos que esta
quebra é um indı́cio do confinamento, sendo uma importante ferramenta na construção
de uma teoria confinante.
Portanto, podemos concluir desta breve introdução sobre simetrias na fı́sica, que
a natureza não vive só de simetrias, mas também de algumas eventuais quebras dessas
simetrias. Nas palavras de Feynman: Deus fez as leis apenas quase simétricas para que
não tivéssemos ciúmes de Sua perfeição7 .
Como dissemos inicialmente, esta tese tem como base o estudo da simetria BRST
na teoria de Yang-Mills, com particular interesse na evolução do conceito de quebra dessa
simetria. Por trás deste estudo, gostarı́amos de entender pelo menos alguns aspectos do
confinamento de quarks e glúons na QCD, que continua até hoje um problema em aberto.
Ninguém, até o momento, conseguiu completar o exemplo matemático da teoria
quântica de calibre num espaço-tempo de quatro dimensões, nem forneceu uma definição
precisa da teoria quântica de calibre em quatro dimensões.
4
Uma teoria do grupo SU (2) poderia, em princı́pio, ser também confinante. No entanto, no caso da
teoria eletrofraca, ocorre ainda o efeito do campo de Higgs, responsável pela massa dos bósons Z
e W através do mecanismo de quebra espontânea da simetria de calibre, e o grupo de simetria é o
SU (2) × U (1). O efeito do campo de Higgs compete com outros efeitos não perturbativos e leva a uma
fase não confinante da teoria [92].
5
Em 2004, os três autores foram laureados com o prêmio Nobel de fı́sica por essa teoria.
6
De fato, o nome gluon vem de glue, que signfica cola em inglês.
7
A versão em inglês é a epı́grafe desta tese.
15
A frase anterior é uma tradução livre do texto feito por Witten e Jaffe para o
Instituto de Matemática Clay [1]. O problema do gap de massa é conhecido como um dos
sete maiores problemas do milênio, o que torna muito importante e até mesmo instigante
o estudo das teorias de Yang-Mills, que, como vimos, trata-se do modelo matemático que
descreve as interações fundamentais eletrofraca e forte.
Observa-se o confinamento da QCD quando analisamos a constante de acoplamento
da teoria. A baixas energias, seu valor deixa de ser pequeno, não fazendo mais sentido
toda a formulação perturbativa da teoria de campos. Além disso, o pólo de Landau, que
aparece numa análise via grupo de renormalização, sugere uma transição de fase, sendo,
de um lado, uma teoria livre, e, após a transição, uma teoria confinante.
Uma forma de entender o confinamento de modo simples é supondo um estado
ligado de dois quarks vivendo a baixas energias, ou seja, com a constante de acoplamento
sendo maior do que um. Ao tentar separar um quark do outro, como eles estão fortemente
acoplados com um potencial que varia linearmente com a distância, precisamos de mais e
mais energia para separá-los, até que, em certo ponto, a energia é tão alta que cria-se um
novo par quark-antiquark.
Um método que é geralmente utilizado como base de comparação de resultados
é a chamada QCD na rede [2]. Este método consiste na discretização do espaço-tempo
euclideano, formando redes de pontos espaciais. Com isso, consegue-se regularizar as
divergências, tanto infravermelhas quanto ultravioletas. Para fazer simulações numéricas
na rede é exigido um aparato computacional poderoso, resolvendo então a integral de
caminho de Feynman diretamente. Existem ainda problemas com este método, como
limite para o contı́nuo e o de introdução de férmions, mas, ainda assim, este continua
sendo um dos melhores métodos de estudo e comparação que se tem disponı́vel até então.
Há também estudos semi-perturbativos onde são usadas as equações do grupo de
renormalização. Nesta abordagem, são estudados, no âmbito dos fenômenos crı́ticos,
pontos fixos e transições de fase. Muitas vezes a temperatura se torna útil para estudar
estas duas fases da QCD, a ultravioleta e a infravermelha. Também faz-se muito o uso de
soluções clássicas estáveis para tentar definir o vácuo da QCD, os famosos instantons [8].
Algumas tentativas de entendimento do confinamento foram feitas dentro da teoria
de cordas. A chamada dualidade AdS/QCD [25] mostra-se muito promissora, não somente
no entendimento da QCD a baixas energias, como também é utilizada como ferramenta
na matéria condensada [26–28]. Essa correspondência nos diz que uma teoria de cordas
num background de AdS8 em 5 dimensões é equivalente a uma teoria de calibre conforme
no espaço de Minkowski em 4 dimensões.
Um outro método extensamente utilizado é o estudo através das equações de
8
AdS – anti de Sitter.
16
Schwinger-Dyson [3, 17–24]. Neste método são feitos ansätze para os propagadores e
suas propriedades, que são levados em conta nas equações de Schwinger-Dyson. Para
resolver estas equações são utilizados métodos numéricos em união com considerações
fenomenológicas.
E finalmente, existe a abordagem puramente analı́tica, sendo esta a forma que
escolhemos para o decorrer desta tese. Nesta, leva-se em conta certos efeitos não perturbativos. Um deles é uma espécie de “patologia”da teoria de Yang-Mills que é o problema
das ambiguidades de Gribov. Este problema, intrı́nseco de uma teoria de calibre, consiste no fato de que, mesmo após a fixação de calibre, existe ainda uma simetria residual
fazendo com que persistam configurações equivalentes sendo computadas na medida funcional da integral de caminho de Feynman. O efeito das cópias de Gribov é essencialmente
não perturbativo de maneira que a quantização de Faddeev-Popov ainda é satisfatória no
regime perturbativo. No entanto, fundamentalmente falando, a existência das cópias de
Gribov indicam que ainda não sabemos a maneira correta de se quantizar uma teoria de
calibre, tal como afirmam Witten e Jaffe na citação anterior. No capı́ tulo 3, falaremos
com mais detalhes sobre esta questão. Um outro efeito não perturbativo com o qual iremos nos deparar é o da condensação de operadores de campo de dimensão dois. Esses
efeitos levam ao surgimento de parâmetros massivos na teoria que modificam os propagadores já ao nı́vel árvore. Tais modificações podem ser interpretadas como um indı́cio do
confinamento.
Podemos resumir esta tese como a evolução do entendimento da simetria de BRST.
Partiremos da teoria de Yang-Mills clássica e, através do estudo do problema das cópias de
Gribov, chegaremos, ao final, na formulação da teoria de Gribov-Zwanziger (GZ) em sua
versão invariante de BRST. Essa versão da teoria apresenta indı́cios de quebra espontânea
da simetria BRST. No caminho, passaremos pela construção original da ação GZ e sua
versão aprimorada (ou refinada), que, como veremos, apresenta uma quebra explı́cita,
porém suave, da simetria BRST. A quebra suave pode ser convertida em uma quebra
linear nos campos e, indo um pouco mais além, esta primeira pode ainda ser convertida
numa quebra espontânea. Além disso, veremos, através do chamado modelo de réplica,
um exemplo interessante de como é possı́vel usar a quebra da simetria BRST para se
obter outros modelos confinantes e ainda levar em conta a problemática de Gribov de
uma maneira diferente daquela feita por Gribov e Zwanziger.
No capı́tulo 2, começaremos falando sobre a teoria de Yang-Mills. Faremos sua
quantização através do ansätz de Faddeev-Popov e enunciaremos a simetria de BRST
desta ação. Ainda neste capı́tulo, faremos um exercı́cio sobre a construção de KugoOjima do espectro fı́sico de Yang-Mills utilizando a cohomologia da carga de BRST.
No capı́tulo 3, iremos tratar da problemática de Gribov no calibre de Landau.
Apresentaremos alguns conceitos importantes como a condição de existência de cópias de
Gribov, a divisão do espaço funcional nas regiões de Gribov e a necessidade de se restringir
17
o domı́nio de integração do espaço funcional à primeira dessas regiões. Chegaremos ainda
na ação de Gribov-Zwanziger, que é uma maneira local e renormalizável de se lidar com as
cópias infinitesimais. Ainda neste capı́tulo, veremos que a ação GZ quebra explicitamente
a simetria BRST.
No capı́tulo 4, veremos como lidar com uma teoria que exibe quebra explı́cita,
porém suave, da simetria BRST e apresentaremos dois exemplos que vão um pouco além
da teoria GZ. O primeiro é a teoria GZ aprimorada e o segundo é o modelo de réplica.
O modelo de réplica é, como veremos, particularmente adequado na determinação do
espectro das glueballs.
No capı́tulo 5, veremos como uma quebra suave pode ser convertida em uma quebra linear nos campos e como se reescreve a ação GZ neste contexto. Ainda, mostraremos
a renormalização algébrica desta nova ação, reobtendo os mesmo teoremas de não renormalização da formulação original da teoria GZ.
No capı́tulo 6, utilizando basicamente as mesmas ferramentas do capı́tulo anterior,
iremos obter uma formulação da teoria GZ que possui simetria BRST exata, ou seja,
consegue-se contornar a quebra, escrevendo uma teoria BRST invariante e abrindo, em
princı́pio, caminho para a construção do espaço de Fock. No entanto, a quebra, antes
explı́cita, agora dá lugar a uma quebra espontânea.
Por fim, apresentaremos algumas conclusões e perspectivas. Alguns detalhes demasiadamente técnicos, porém fundamentais, foram deixados na forma de apêndices.
18
1 TEORIA DE YANG-MILLS E A SIMETRIA BRST
Neste capı́tulo, será feita uma revisão da teoria de Yang-Mills9 , incluindo a quantização de Faddeev-Popov, e falaremos de algumas caracterı́sticas do operador de BRST.
Algumas convenções e propriedades dos campos serão também discutidas. Ao final, construiremos o espectro fı́sico da teoria, utilizando a noção da cohomologia da carga de
BRST.
1.1 Ação de Yang-Mills
Para definir o que seria a ação de Yang-Mills e as notaç oões que serão utilizadas
ao longo desta tese, começaremos com o grupo compacto SU (N ) de matrizes N × N
unitárias, cujo determinante é igual a um. Denominando as matrizes do grupo como
U (x), estas podem ser escritas como
U (x) = exp[−igθa (x)X a ]
(1)
onde X a são os geradores do grupo, θa (x) são parâmetros locais e g é uma constante10 . Os
ı́ndices latinos, {a, b, c, . . . }, são os ı́ndices do grupo SU (N ) que variam de 1 a (N 2 − 1).
Os geradores obedecem a uma álgebra de Lie
[X a , X b ] = if abc X c ,
(2)
onde f abc são as constantes de estrutura do grupo. Outra relação importante é o traço
entre produtos de geradores
Tr(X a X b ) =
δ ab
.
2
(3)
Os campos de calibre Aµ (x) tomam valores em uma álgebra de Lie, com geradores
hermitianos X a de um dado grupo de calibre. Assim temos
Aµ (x) = Aaµ (x)X a .
9
10
(4)
Muitas vezes usa-se o termo “teorias de Yang-Mills”(no plural), por incluir todas as teorias de calibre.
Nesta tese, no entanto, iremos, por simplicidade, adotar o termo “teoria de Yang-Mills”(no singular)
com o mesmo efeito.
Mais adiante a contante g aparecerá como a constante de acoplamento entre as interações da teoria.
19
Os ı́ndices gregos, {µ, ν, σ, . . . }, são ı́ndices vetoriais do espaço euclideano quadrimensional11 , variando de 1 até 4. Então, podemos construir uma lagrangeana que é simétrica
sobre transformações do grupo12 . A ação clássica que descreve a dinâmica dos campos de
calibre é, no espaço euclideano, dada por:
SYM
1
=
4
Z
d4 x Tr(Fµν Fµν ) ,
(5)
que é conhecida como ação de Yang-Mills pura, ou simplesmente ação de Yang-Mills.
Nesta, Fµν é o chamado tensor de curvatura do campo de calibre, ou, na linguagem de
formas diferencias, é uma 2-forma da curvatura do fibrado principal com grupo de simetria
SU (N ) [7], sendo então definido como:
i
Fµν = [Dµ , Dν ] = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ig[Aµ , Aν ] ,
g
(6)
onde
Dµ · = ∂µ + ig[ · , Aµ ]
(7)
é a derivada covariante. A curvatura também toma valores em uma álgebra de Lie,
a
Fµν = Fµν
X a,
(8)
e, dessa forma, podemos escrever a ação de Yang-Mills como
SYM
1
=
4
Z
a
a
d4 x Fµν
Fµν
(9)
a
onde o tensor Fµν
assume a forma
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf abc Abµ Acν .
(10)
A ação de Yang-Mills é invariante frente a seguinte transformação da curvatura13 :
0
Fµν → Fµν
= U Fµν U † .
(11)
11
Nesta tese consideramos sempre o espaço euclideano quadridimensional e, portanto, esta convenção
será adotada em toda a tese, a menos que se especifique o contrário. Além disso, a convenção de
somatório para ı́ndices repetidos duas vezes é adotada, não havendo distinção entre ı́ndices covariantes
e contravariantes, pois a métria do espaço é trivial.
12
Uma construção de uma teoria invariante frente transformações SU (N ) pode ser vista em detalhes
em [4]
13
Representação adjunta
20
Isso se verifica imediatamente através da propriedade cı́clica do traço. Assim, a transformação do campo de calibre deve ser
i
Aµ → A0µ = U Aµ U † − (∂µ U )U † .
g
(12)
Infinitesimalmente14 , a transformação acima se torna
δAaµ = −Dµab θb
(13)
onde a derivada covariante, na representação adjunta, é dada
Dµab = δ ab ∂µ − gf abc Acµ .
(14)
A ação de Yang-Mills permanece invariante mesmo quando fazemos a transformação
de calibre (12). Classicamente, a presença da invariância de calibre já elimina qualquer
possibilidade de se encontrar soluções consistentes das equações de campo [9]. E, mesmo
a este nı́vel, para se obter a propagação clássica do campo, precisamos fixar o calibre. Tal
fixação de calibre é necessária para não levar em conta graus de liberdade redundantes.
Vale a pena citar que o termo de autointeração entre os campos de calibre permitem
soluções topológicas como monopólos e vórtices [8].
Quanticamente, o caminho mais natural da quantização da teoria de Yang-Mills
é através da integral de caminho de Feynman [4]. O processo de segunda quantização
falha, e não podemos fazer o uso da prescrição de Gupta-Bleuler, que funciona apenas no
caso abeliano U (1) [9]. Fisicamente, ao se calcular valores esperados através da integral de
caminho, soma-se sobre todas as configurações possı́veis dos campos, sendo o fator e−SYM [A]
o peso estatı́stico. A questão é que a simetria de calibre acaba com a interpretação
probabilistica inerente, pois faz com que o campo seja sobrecontado, ou seja, o peso
estatı́stico, e−SYM [A] , é o mesmo para infinitas configurações ligadas por transformações de
calibre. A solução deste problema é fixar sobre um calibre introduzindo um vı́nculo para
o campo de calibre. A primeira vista, a fixação resolveria o problema da degenerescência
de campos. O método para se introduzir um vı́nculo na integral de caminho é chamado
de ansatz de Faddeev-Popov [4, 9]. O custo é a introdução de campos escalares com
estatı́stica de Fermi conhecidos como fantasmas, ou ghosts, de Faddeev-Popov. Estes
campos violam a causalidade, via teorema spin-estatistica, porém estes campos aparecem
em loops fechados, não sendo excitações fı́sicas da teoria. De fato, os ghosts têm a função
de eliminar os graus de liberdade não fı́sicos da teoria, tornando-a unitária [5].
14
Expandindo U = exp[−igθa X a ] em potências de g como U = 1 − igθa X a + O(g 2 )
21
Fixando o calibre de Landau, ∂µ Aaµ = 0, temos a seguinte função de partição:
Z
Z=
DAµ δ ∂µ Aaµ det Mab exp{−SYM [A]} ,
(15)
onde surge o determinante do operador de Faddeev-Popov:
Mab = −∂µ Dµab .
(16)
Esta expressão pode ser convertida em uma forma local, introduzindo os ghosts de FaddeevPopov {ca , c̄a },
Z
Z
ab 4
4
a
ab b
(17)
det −∂µ Dµ δ (x − y) ∝ DcDc̄ exp − d x c̄ ∂µ Dµ c ,
e a representação da função delta,
Z
Z
a
4
a
a
det ∂µ Aµ ∝ Db exp − d x b ∂µ Aµ .
(18)
O campo ba é o chamado campo de Lautrup-Nakanishi, que funciona como um multiplicador de Lagrange para o vı́nculo de Landau. Então, a ação local total é
Z
SFP =
4
dx
1 a a
Fµν Fµν + ba ∂µ Aaµ + c̄a ∂µ Dµab cb
4
= SYM + Sgf .
(19)
A prova da renormalizabilidade desta ação a todas as ordens foi mostrada por ’t Hooft
e Veltman [34]. Ao fixar o calibre como descrito anteriormente a simetria de calibre é
claramete quebrada. No entanto, em 1974/1976, o trio Becchi, Rouet e Stora, e de forma
independente Tyutin, descobriram que a ação de Faddeev-Popov possui uma simetria que
é chamada hoje em dia de simetria BRST [10,35]. Reconheceu-se que esta simetria implica
na renormalizabilidade da teoria e que, além disso, nos permite provar a unitariedade da
teoria [36].
Definindo o operador BRST como s, a ação SFP se mostra invariante sob as seguintes transformações:
sAaµ = −Dµab cb ,
g abc b c
f cc ,
sca =
2
sc̄a = ba ,
sba = 0 .
(20)
Uma importante propriedade deste operador é a sua nilpotencia, ou seja, s2 = 0. Esta
propriedade permite provar a unitariedade da matriz de espalhamento de uma teoria,
dando sentido fı́sico à teoria [36].
22
A questão do calibre a ser escolhido é importante. Na literatura há uma infinidade
de calibres a serem escolhidos [referências]. Nesta tese, no entanto, utilizaremos essencialmente o calibre de Landau15 , ∂µ Aaµ = 0. Outro calibre utilizado frequentemente é o
calibre de Feynman, ∂µ Aaµ + ba = 0, que será utilizado somente na seção 1.3.
1.2 Cohomologia
As teorias de Yang-Mills possuem uma interpretação geométrica fascinante. De
modo mais geral, a ação de Yang-Mills descreve a dinâmica da conexão Aaµ definida num
fibrado principal, não trivial, do grupo de simetria SU (N ), e do espaço de imersão R4 .
Neste contexto, os campos fantasmas são as 1-formas de Maurer-Cartan, enquanto que
a variação de BRST é isomorfa à derivada exterior. A fixação de calibre, neste contexto
geométrico, consiste na definição de uma seção no fibrado. Todavia, sabe-se, através de
conceitos de topologia, que definir uma seção global em um fibrado não trivial não é
algo possı́vel [7]. Este é um dos problemas fundamentais das teorias de calibre. De fato,
usaremos um conceito de topologia para entender o esquema de renormalização que é a
noção de cohomologia do operador de BRST, ou melhor, das classes de cohomologia deste
operador.
A partir do operador de BRST, e de sua propriedade de nilpotência, ou seja,
s2 = 0 .
(21)
A cohomologia de s é dada pelas soluções da equação
sΘ = 0
(22)
que não podem ser escritas na forma
Θ = sα .
(23)
A quantidade que obedece a equação (22) é chamada de forma fechada, enquanto que
a quantidade que obedece a (23) é chamada de forma exata. A cohomologia de Θ é,
portanto, identificada por quantidades que são fechadas, mas não exatas, ou melhor
sΘ = 0 ,
15
com
Θ 6= sα .
(24)
O calibre de Landau é um dos poucos onde se pode lidar com o problema das ambiguidades de Gribov.
A razão disso vem do fato que, neste calibre, o operador de Faddeev-Popov é hermitiano, o que não
ocorre no calibre de Feynman, por exemplo. Um outro calibre onde se pode lidar com a problemática
de Gribov é o maximal Abelian gauge (MAG) [30–33, 56], que não abordaremos nesta tese.
23
Mais precisamente, a parte não trivial de Θ é sempre definida adicionando uma parte
arbitraria exata. De fato, pegando duas quantidade fechadas Θ1 e Θ2 , estas quantidades
pertencem a mesma classe de cohomologia se
Θ1 − Θ2 = s(...)
(25)
ou melhor, se Θ1 e Θ2 diferem por uma parte exata. Desta forma, podemos sempre
escrever Θ como uma soma de uma parte trivial e uma parte não trivial
Θ = Θn.trivial + s(...),
(26)
onde a parte não trivial não contém partes que possam ser escritas como s(...). O conteúdo
observável da teoria é definido pelas classes de cohomologia não triviais do operador de
BRST, e não dependem da escolha de calibre. Por outro lado, a parte da ação que envolve
a fixação de calibre corresponde as classes de cohomologia triviais [11]. A própria teoria
de Yang-Mills, após fixação de calibre, é escrita como a soma de um termo não trivial
com um trivial:
Z
Z
a
4 1 a
(27)
SFP = d x Fµν Fµν + s d4 x c̄a ∂µ Aaµ .
4
1.2.1 Teorema dos dubletos
Considere, por exemplo, o campo de antighost c̄a e o campo de Lautrup-Nakanishi
ba . De acordo com as transformações de BRST apresentadas anteriormente, eq. (20),
esses campos aparecem na seguinte maneira:
sc̄a = ba ,
sba = 0.
(28)
Esta estrutura é chamada de dubleto de BRST. O teorema dos dubletos, que não iremos
demonstrar, diz que os campos que formam o dubleto nunca aparecem na parte não trivial
da ação [11]. Isso será de suma importância mais a frente.
1.2.2 Uso dos Quartetos de BRST
Além dos dubletos de BRST, existe ainda um outro tipo de estrutura, que, na
verdade, é uma extensão do conceito de dubletos, que são os chamados quartetos de
BRST. A estrutura de quarteto surge, por exemplo, no mecanismo de localização de
24
certos operadores não locais através da utilização campos auxiliares16 . Ao aplicar um
mecanismo como esse, onde fatalmente se introduz novos campos na teoria, a pergunta
que vem a tona é: — Esses campos trariam novos graus de liberdade à teoria? Para
responder tal pergunta, consideremos um modelo simples envolvendo um par de campos
bosônicos {v, v̄} e um par de campos fermiônicos {u, ū} (assim como os ghosts de FaddeevPopov). Consideremos ainda que esses campos se transformam pelo operador de BRST
da seguinte maneira:
su = v ,
sv = 0
sv̄ = ū ,
sū = 0 .
(29)
Note-se que esta estrutura consiste de dois dubletos e relaciona os dois pares de campos. Atribuindo-se dimensão um a todos os campos e número de ghost zero aos campos
bosônicos, conclui-se que o campo v terá número de ghost (+1) e o campo v̄ terá número
de ghost (−1). Logo, podemos construir uma ação invariante de BRST para este modelo:
Z
S = s d4 x [−v̄(∂ 2 − m2 )u + λ v̄u(ūu − v̄v)]
Z
=
d4 x [−ū(∂ 2 − m2 )u + v̄(∂ 2 − m2 )v + λ(ūu − v̄v)2 ] .
(30)
Note-se que a estrutura de quarteto (29), permite que esta ação seja obtida a partir de uma
variação exata do operador de BRST. Dessa forma, se calcularmos todos os gráficos de
Feynman desta ação, veremos que cada gráfico de número de ghost zero de loop bosônico
tem um equivalente constituido com um loop fermiônico de tal forma que se anulam todas
as contribuições e esta ação é apenas uma forma complexa de se escrever campos que
não possuem graus de liberdade geométricos. Além disso, os campos nesta estrutura de
quarteto não pertencem à cohomologia do operador de BRST [11]
1.3 Construção do subsespaço fı́sico
Simetrias geram quantidades conservadas globalmente. Então, podemos pensar na
existência de uma carga de BRST. Discutiremos como, a partir da carga BRST, podemos
construir o subespaço fı́sico da teoria, cujos estados apresentam norma positiva correspondente as duas polarizações fı́sicas transversas do campo de calibre, ou seja, o espectro
dos observáveis. Seja a ação de Faddev-Popov no calibre de Feynman, no espaço-tempo
16
Um bom exemplo disso é a localização da função horizonte do modelo de Gribov-Zwanziger, que
veremos no próximo capı́tulo.
25
de Minkowski17 :
Z
1 a aµν 1 a a
F ey
4
a µ a
a µ ab b
SFP = d x − Fµν F
+ b b + b ∂ Aµ + c̄ ∂ Dµ c
4
2
(31)
e que possui a mesma simetria BRST de (19). Vamos considerar a ação livre, ou seja,
sem a constante de acoplamento,
Z
Slivre =
1
1 2
µν
µ
2
d x − fµν f + b + b ∂ Aµ + c̄ ∂ c ,
4
2
4
(32)
onde fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ e, além disso, estamos, por conveniência, omitindo os ı́ndices
de cor, que, no entanto, podem ser facilmente reintroduzidos. Esta ação corresponde a
parte livre da ação de Faddeev-Popov, podendo então ser considerada como a descrição
dos campos assintoticamente livres e como tal, é a ação adequada para a construção do
espaço de Fock da teoria. Estamos ignorando o problema do confinamento dos glúons.
Esta análise se mostra como um exercı́cio útil para um melhor entendimento da simetria
de BRST e seu uso. Além disso, com algum esforço adicional, tudo isso pode ser generalizado para modelos mais realistas, como as teorias de Yang-Mills massivas quebradas
espontâneamente, caso em que as massas são fornecidas por campos de Higgs.
Voltando à ação (32), esta possui a simetria BRST
sAµ = −∂µ c,
sc = 0,
sc̄ = b,
sb = 0
(33)
que deixa a ação invariante. Já as equações de movimento ficam:
δ
Slivre
δb
δ
Slivre
δAµ
δ
Slivre
δc
δ
Slivre
δc̄
= ∂ µ Aµ + b = 0
= −∂ 2 Aµ = 0
= −∂ 2 c̄ = 0
= ∂ 2 c = 0.
(34)
Seguindo a linha do trabalho de Kugo-Ojima [36], iremos empregar as seguintes relações
17
A métrica de Minkowski tem assinatura ηµν = (+, −, −, −), e os ı́ndices gregos variam de 0 até 3,
sendo o ı́ndice 0 relacionado à componente temporal.
26
de hermiticidade
c† = c ,
c̄† = −c̄ ,
A†µ = Aµ ,
b† = b ,
(35)
que tornam a ação hermitiana. Das equações de movimento (34), podemos ver que tanto
o campo de calibre quanto os ghosts admitem solução de onda plana:
Z
d3 k 1
A0 (x) =
(a0 (k)e−ikx + a†0 (k)eikx ) ,
(36)
3
(2π) 2ωk
Z
3
d3 k 1 X (m) −ikx
(m) ikx
†
am (k)i e
+ am (k)i e
,
(37)
Ai (x) =
(2π)3 2ωk m=1
→
−
onde i = 1, 2, 3; ωk = k 0 = | k |; e m
i são os vetores de polarização, sendo a polarização
longitudinal
(3)
i
→
−
k
= →
−
|k|
(38)
(1)
e as polarizações transversas i
(2)
e i , que obedecem a relação
n
mn
m
.
i i = δ
A expansão
Z
c(x) =
Z
c̄(x) =
(39)
em onda plana para os ghosts ficam
d3 k 1
(c(k)eikx + c† (k)e−ikx ) ,
(2π)3 2ωk
d3 k 1
(c̄(k)eikx + c̄† (k)e−ikx ) .
(2π)3 2ωk
(40)
(41)
E finalmente, da equação b = −∂ µ Aµ , temos, para o vı́nculo
Z
b(x) = i
i
ikx †
d3 k 1 h
†
−ikx
a
(k)
−
a
(k)
e
+
a
(k)
−
a
(k)
e
.
0
3
0
3
(2π)3 2
(42)
Para fazer o procedimento canônico, precisamos dos momentos conjugados
∂L
= −f0i ,
∂(∂0 Ai )
∂L
=
= b,
∂(∂0 A0 )
∂L
=
= ∂ 0 c̄ ,
∂(∂0 c)
∂L
=
= −f0i ,
∂(∂0 c̄)
πiA =
π0A
πc
πc̄
(43)
27
onde L é a densidade lagrangeana, e das relações de comutação a tempos iguais
[Aµ (t, ~x), πν (t, ~y )] = iηµν δ 3 (~x − ~y )
(44)
{c(t, ~x), ∂ 0 c̄(t, ~y )} = iδ 3 (~x − ~y )
(45)
{c̄(t, ~x), ∂ 0 c(t, ~y )} = −iδ 3 (~x − ~y )
(46)
que, junto com as expansões em onda plana, nos dão as relações
[a (k), a†0 (q)] = −2(2π)3 ωk δ 3 (~k − ~q)
h 0
i
ai (k), a†j (q) = 2(2π)3 ωk δij δ 3 (~k − ~q)
{c(k), c̄† (q)} = −2(2π)3 ωk δ 3 (~k − ~q)
{c̄(k), c† (q)} = −2(2π)3 ωk δ 3 (~k − ~q) .
(47)
1.3.1 Estados de norma negativa e carga de BRST
A fim de construir o espaço de estados, introduziremos um estado de vácuo |0i que
é aniquilado por todos os operadores de destruição
a0 (k)|0i = aj (k)|0i = c(k)|0i = c̄(k)|0i = 0.
(48)
Os estados de n particulas são obtidos agindo os operadores de criação no estado de vácuo.
Contudo, isto nos leva a estados de norma negativa. Como exemplos podemos citar os
seguintes estados de norma negativa:
h0|a0 (q)a†0 (k)|0i = −2(2π)3 ωq δ 3 (~q − ~k)
h0|c̄(q1 )c(k1 )c† (k)c̄† (q)|0i = −4π(2π)6 δ 3 (k~1 − ~q)δ 3 (~k − q~1 ).
(49)
Podemos citar ainda, um exemplo de estado com norma positiva, mas que leva a modos
longitudinais não fı́sicos:
h0|aj (q)a†i (k)|0i = 2(2π)3 ωq δij δ 3 (~q − ~k).
(50)
Portanto, os operadores de criação a†0 , c̄† e c† , criam estados com norma negativa, enquanto
que o operador a†3 cria modos longitudinais não fı́sicos. Vamos recorrer a simetria de
BRST para tentar obter informações do espectro fı́sico. Fazendo uso de uma ferramente
fundamental da teoria de campos, podemos utilizar o teorema de Noether para construir
a corrente associada
µ
JBRST
= b∂ µ c − (∂ µ b)c
(51)
28
usando as simetrias da ação sem o termo de interação, obviamente. Da corrente, podemos
calcular a carga associada
Z
QBRST =
d3 x(b∂ 0 c − (∂ 0 b)c)
Z
i
d3 k h †
†
†
a
(k)
−
a
(k)
+
c(k)
a
(k)
−
a
(k)
,
(52)
=
c
0
3
0
3
(2π)3 k
onde a carga associada a BRST também possui a propriedade de nilpotência
Q2BRST = 0 .
(53)
Para contar os modos não fı́sicos da teoria, escrevemos um operador de contagem, a saber
Z
d3 k 1 †
†
†
†
a
N =
(k)a
(k)
−
a
(k)a
(k)
−
c
(k)c̄(k)
−
c̄
(k)c(k)
.
(54)
3
0
0
(2π)3 2ωk 3
Tal operador, ao atuar em um estado de vácuo, conta os modos não fı́sicos:
†m †i †j
†n †m †i †j
N (a†n
0 a3 c c̄ )|0i = (n + m + i + j)(a0 a3 c c̄ )|0i .
(55)
Porém, o operador N pode ser expresso como como um anticomutador entre a carga de
BRST e um certo operador R
N = {QBRST , R} ,
onde R é dado por
Z
i
d3 k 1 h †
†
†
R=
(a
(k)
+
a
(k))c̄(k)
+
c̄
(k)(a
(k)
+
a
(k))
.
0
3
0
3
(2π)3 8πωk2
(56)
(57)
Estas propriedades nos permitem definir como subespaço fı́sico o conjundo de estados que
fazem parte da cohomologia da carga de BRST, ou, melhor dizendo,
n
o
¯
HP hys = |f i =
6 QBRST |f i QBRST |f i = 0 .
(58)
Um estado |f i é chamado de fı́sico se é aniquilado pela carga de BRST e não pode ser
obtido por uma aplicação da carga em outro estado. É possı́vel mostrar que este espaço
não contém modos não fı́sicos, sendo pertencentes a este conjunto somente estados de
norma positiva. Vamos supor que um dado estado |αi sendo aniquilado pela carga
QBRST |αi = 0
(59)
e que este contenha modos não fı́sicos, vistos quando atuamos o operador de contagem
N |αi = n|αi , n 6= 0.
(60)
29
Assim, podemos utilizar a relação de anticomutação (56) na equação acima e escrever o
estado |αi como
1
1
N |αi = {QBRST , R}|αi
n
n 1
= QBRST
R|αi
n
|αi =
(61)
que vai de contra a definição do espaço fı́sico dita anteriormente. Em suma, estados
invariantes de BRST que pertencem ao subespaço fisico HP hys são aqueles gerados pelos
operadores de criação a†1 e a†2 , correspondentes a duas polarizações transversas do campo
de calibre.
Para um estado genérico, pertencente ao subespaço HP hys , podemos escrever
|f1 i = a†1 m a†n
2 |0i
(62)
que é aniquilado atuando a carga de BRST. Este não pode ser obtido pela aplicação de
QBRST |...i.
1.4 Discussão
Começamos este capı́tulo falando da teoria de Yang-Mills e seus aspectos clássicos.
Vimos que mesmo classicamente, a teoria de Yang-Mills precisa de um procedimento chamado de fixação de calibre, que serve para escolher sobre quais configurações de calibre
devemos integrar funcionalmente. A fixação de calibre feita de maneira coerente é feita
utilizando-se do ansatz de Faddeev-Popov, onde temos o aparecimento dos campos de
ghost. Chegamos na chamada simetria de BRST que se mostra uma ferramenta essencial
para o entendimento da teoria, tanto classicamente quanto quanticamente. Mais adiante, na discussão de outros modelos, faremos uso da chamada renormalização algébrica
e da cohomologia de BRST para a construção do contratermo invariante mais geral18 .
Mostramos ainda algumas propriedades topologicas do operador de BRST e usamos a
cohomologia da carga de BRST para construir o espectro fı́sico observável.
Podemos ainda notar que a cohomologia de BRST é algo imprescindı́vel na construção de observáveis fı́sicos na teoria de Yang-Mills. No entento, veremos mais adiante o
modelo a ação de Gribov-Zwanziger que possui um termo que quebra explicitamente a
simetria de BRST, sendo então inviável a construção feita neste capı́tulo. É um desafio
até hoje a construção do espectro fı́sico da teoria de Gribov-Zwanziger e também de sua
18
A aplicação da renormalização algébrica para a teoria de Yang-Mills pode ser vista em detalhes em [11].
30
versão refinada (o modelo RGZ). Contudo, abordaremos no final desta tese, uma forma de
se reescrever a ação de Gribov-Zwanziger de tal forma que esta seja invariante de BRST,
porém, a quebra da simetria passa a ser expontânea .
31
2 A PROBLEMÁTICA DE GRIBOV
Neste capı́tulo iremos discutir toda a problemática da quantização das teorias de
calibre na região infravermelha que foi exposta por Gribov em [37]: partindo da construção
da idéia das chamadas cópias de Gribov, passando pelas propriedades das regiões de
Gribov e, finalmente, chegando à ação de Gribov-Zwanziger. Como veremos, o modelo de
Gribov-Zwanziger apresenta uma quebra explı́cita, porém suave (ou soft, como se costuma
dizer), da chamada simetria de BRST (Becchi-Rouet-Stora-Tyutin). Esta quebra será o
ponto fundamental que iremos explorar nesta tese.
2.1 Introdução
Como vimos no capı́tulo anterior, a quantização da teoria de Yang-Mills pela integral de caminho de Feynman, tão conhecida na literatura [4], exibe problemas em sua
correta definição, devido à simetria de calibre que a teoria apresenta, algo que não ocorre,
por exemplo, na quantização do campo escalar. A definição da medida funcional se torna
ambigua, pois, existe uma sobrecontagem de configurações equivalentes. Este problema é
parcialmente resolvido através do ansatz de Fadeev-Popov, onde se faz a chamada fixação
de calibre, levando-se em conta a necessidade da eliminação de graus de liberdade espúrios,
introduzindo-se os chamados campos fantasmas (ou ghosts) de Faddeev-Popov [5]. Isto
levou a um entendimento do comportamento quântico da QCD no regime perturbativo,
ou seja, na região ultravioleta.
No entando, esta abordagem falha quando estudamos o regime infravermelho. Assim, Gribov chamou a atenção para o fato de que a fixação de calibre feita por FaddeevPopov não é suficiente para eliminar a simetria de calibre, ou seja, o calibre não está
inteiramente fixado. Existe ainda uma simetria de calibre residual que sobrevive ao processo de quantização perturbativa e seus efeitos ficam evidentes na região infravermelha.
Este problema é conhecido como o problema das ambiguidades de Gribov que é uma patologia da teoria de Yang-Mills e não somente de um calibre especı́fico. De fato, provou-se
que as ambiguidades de Gribov existirão em qualquer calibre [38] pois elas ocorrem em
razão da teoria de Yang-Mills ser não trivial sob o ponto de vista topológico [7].
Portanto, é necessária, para uma quantização eficiente no regime infravermelho, a
eliminação do problema de ambiguidades e isto será discutido em detalhes neste capı́tulo.
O intuito deste é estudar as ambiguidades de Gribov desde o inı́cio do problema da
quantização, passando pelas condições e restrições que devem ser impostas e chegando,
por fim, na ação de Gribov-Zwanziger em sua versão local.
32
2.2 Ambiguidades de Gribov
2.2.1 Cópias de Gribov
A maneira usual de se quantizar a teoria de Yang-Mills é pela integral de caminho
de Feynman, usando o método de Faddeev-Popov. No calibre de Landau, o funcional
gerador assume a forma
Z
Z = DA δ(∂µ Aaµ ) det(Mab )e−SY M ,
(63)
garantindo a imposição do calibre de landau, ∂µ Aaµ = 0, e lembrando que Mab é o operador
de Fadeev-Popov, já apresentado no capı́tulo anterior.
No trabalho seminal de Gribov, foi mostrado que a condição de Landau não fixa
o calibre univocamente. Isso significa que para uma dada configuração de calibre Aµ
que obedece ao calibre de Landau, existe uma configuração equivalente A˜µ que também
obedece a mesma condição de calibre. Para enxergar isso, faremos o seguinte: seja A˜µ
uma transformação de calibre de Aµ , i.e.,
A˜µ = Aµ + U † Dµ U ,
(64)
tal que
∂µ A˜µ = ∂µ Aµ = 0.
(65)
Derivando a equação (64) e usando a condição (65), temos
∂µ (U † Dµ U ) = 0.
(66)
que é conhecida como equação das cópias de Gribov. As soluções desta equação para os
elementos do grupo definem a existência de cópias Ãµ para uma configuração Aµ . Em
primeira ordem, ou seja, para transformações infinitesimais, U = 1 + ω, a equação das
cópias fica
Mab ω b = 0,
(67)
onde ω a (x) é o parâmetro da transformação de calibre. Esta expressão é vista como
∂µ (∂µ ω + ig[ω, Aµ ]) = 0.
(68)
Esta equação conecta a existência das cópias de Gribov com os autovalores nulos (modos
zero) do operador de Faddeev-Popov. Autovalores nulos dentro da integral funcional nos
levam a integrar levando em consideração muitas configurações de calibre equivalentes,
33
ou seja, uma sobrecontagem de configurações.
A idéia inicial seria contar a quantidade de cópias e retirá-las, porém, descobriu-se
recentemente, em calibres distintos19 que há infinitas cópias a serem contadas [33, 39],
sendo infinita a contagem. Voltando para o procedimento de Faddeev-Popov, é admitido
que dada uma condição de calibre que intercepta com cada órbita de calibre uma vez
somente, que é a condição ideal. A introdução do termo de Faddeev-Popov da maneira
correta seria
Z
1
,
(69)
Z = DA δ(∂µ Aaµ ) det(Mab )e−SYM
1 + N (A)
onde N (A) é o número de cópias para cada órbita. Esta última expressão, embora correta,
é apenas formal. Na prática, é possı́vel lidar com esse problema apenas am calibres onde
o operador de Faddeev-Popov é hermitiano. Essa condição permite definir as chamadas
regiões de Gribov (assunto que abordaremos a seguir) e a eliminação das cópias consiste
em restringir o domı́nio de integração da integral funcional a primeira regial de Gribov, ou
simplesmente região de Gribov, denotada por Ω e cuja definição veremos adiante. Assim,
a função de partição dever ser
Z
Z =
DA δ(∂µ Aaµ ) det(Mab )e−SYM
ZΩ
(70)
=
DA δ(∂µ Aaµ ) det(Mab )e−SYM ν(Ω) ,
onde ν(Ω) é o fator que promove tal restrição.
2.2.2 Região e Horizonte de Gribov
A equação das cópias (68) fornece informações preciosas de como as cópias de
Gribov se arrumam no espaço funcional dos campos de calibre. A fim de introduzirmos a
noção do horizonte de Gribov vamos estudar os autovalores do operador de Fadeev-Popov,
ou seja,
−∂µ (∂µ ψ + [A, ψ]) = (A)ψ
(71)
Esta equação pode ser vista como uma equação de Schrödinger, com o campo de calibre
Aµ desempenhando o papel de “potencial”e com o operador de Faddeev-Popov no papel de
“hamiltoniano”. Vale lembrar que, no calibre de Landau, este operador é, de fato, hermiti-
19
Calibre de Landau e no Abeliano máximo
34
Figura 1 - Horizontes de Gribov
Fonte: SOBREIRO, 2007, p.81. Adaptado pelo autor.
ano, fornecendo, dessa forma, autovalores reais. Para pequenos valores do “potencial”Aµ
, esta é equação possui apenas autovalores positivos de , basta lembrar que o termo
cinético domina a equação e que −∂ 2 possui sempre autovalores positivos. Para estudar
o operador em questão iremos começar considerando o conjunto {1 (A), 2 (A), 3 (A), . . . }
como o conjunto de autovalores de uma dada configuração de calibre Aµ . Sabemos que
para o campo de calibre pequeno os autovalores (A) são positivos. Porém, a medida que o
campo de calibre Aµ começa a crescer em sua magnitude, um dos autovalores, digamos 1 ,
se torna nulo. Aumentando um pouco mais a magnitude do campo, o autovalor se torna
negativo. E crescendo um pouco mais, um segundo autovalor, digamos, 2 , se anula, se tornando negativo conforme a configuração vai aumentando ainda mais, e assim por adiante.
A fim de contornar o problema dos modos zero do operador de Faddeev-Popov, dividimos o domı́nio do espaço funcional dos campos de calibre em regiões {C0 , C2 , C3 , . . . , Cn }
onde o operador possui {0, 1, 2, . . . , n} auto valores negativos, respectivamente, conforme
representado na figura 2. Estas regiões são denominadas regiões de Gribov. As curvas
li ≡ ∂Ci , são os horizontes de Gribov, definidos como curvas sobre as quais o operador
possui autovalores nulos.
A primeira região de Gribov, C0 , será chamada simplesmente de região de Gribov a
partir daqui e será denotada por Ω, como é comumente encontrado na literatura. Também
o primeiro horizonte, l0 ≡ ∂C0 , será chamado simplesmente de horizonte de Gribov. A
partir desta análise podemos concluir que configurações onde Aµ → 0 ficam mais distantes
do horizonte de Gribov. Na vizinhança do horizonte habitam configurações de maior
autovalor do operador. Sendo assim, podemos dizer que o vácuo perturbativo reside
dentro da região de Gribov.
35
2.2.3 Propriedades da Região de Gribov
De acordo com a discussão anterior, a região de Gribov Ω define-se o conjunto de
conexões calibre {Aµ } que são transversas e para as quais o operador de Faddeev-Popov
é positivo. Portanto, em linguagem matemática, podemos escrever o seguinte:
Ω :=
Aaµ | ∂µ Aaµ = 0 , Mab > 0 .
(72)
Na vizinhança do horizonte, os autovalores se aproximam de zero e as cópias cada
vez ficam mais próximas uma das outras, que nos leva a concluir que as cópias infinitesimais estão próximas ao horizonte.
De posse da definição da região, podemos mencionar algumas propriedades que são
úteis para tentar eliminar as cópias. Para não ficarmos muito extensos, as demonstrações
e outras propriedades da região de Gribov serão omitidas. Para o leitor mais curioso
podemos indicar como leitura [6].
1. A região de Gribov é convexa e limitada em todas as direções [40]. Esta simples
propriedade nos diz que sempre podemos afirmar se uma dada configuração finita
esteja dentro ou fora da região. Essencialmente, isto significa que qualquer ponto em
∂Ω pode ser visto como tendo uma distancia finita da origem do espaço funcional.
2. Toda órbita de calibre passa, pelo menos uma vez, dentro da região de Gribov [40,41].
Este resultado nos leva a pensar na proposta de restringir o dominio de integração
funcional a região de Gribov, pois, não extarı́amos excluindo nenhuma configuração
não equivalente, mas apenas cópias, ou seja, não se perde nenhuma informação
relevante ao fazer tal restrição. Nas seções que seguem, vamos abordar essa questão
com mais detalhes.
3. A configuração Aµ = 0 está contida na região de Gribov. Isto significa que a teoria
da perturbação habitual, ou seja, a quantização de Faddeev-Popov, encontra-se
dentro desta região.
4. Para cada campo de calibre Aµ , que pertence a região de Gribov próximo a fronteira
∂Ω, visto como Aµ = Cµ + aµ , onde Cµ fica na fronteira e aµ uma pequena perturbação, existe um campo equivalente A˜µ = Cµ + aµ + Dµ (C)ω, perto da fronteira
mas localizado do outro lado do horizonte, fora da região Ω [37]. Essa propriedade
é muito importante pois com ela podemos entender a quebra de simetria BRST na
região infravermelha de Yang-Mills. Discutiremos isso logo mais.
A pergunta natural a ser feita a esta altura é: — A região de Gribov é livre de
cópias? A resposta, infelizmente, é não. Para entender melhor essa questão precisamos
36
olhar a formulação variacional da região de Gribov. A região de Gribov é o conjunto de
todos os mı́nimos relativos do funcional
Z
U 2
(73)
kA k = Tr d4 x AUµ (x)AUµ (x) ,
o que corresponde a selecionar sobre cada órbita de calibre, a configuração que minimiza
a norma acima. Porém pode-se ter mais de um mı́nimo relativo. No caso do calibre de
Landau, podemos ver a minimização como
Z
Z
a
2
4
a
(74)
δkAk = δ
d x Aµ (x)Aµ (x) = d4 x ω a (x)∂µ Aaµ (x) = 0
logo, as configurações de obedecem ao calibre de landau, ∂ · A = 0. Usando o teste da
segunda variação e impondo que a configuração seja um mı́nimo, temos
Z
2
2
δ kAk = dxω a (x)(−∂µ Dµab )ω b (x) > 0,
(75)
o que implica na positividade do operador de Fadeev-Popov, Mab = −∂µ Dµab , de acordo
com o que já tinhamos visto.
Como vimos, o conjunto de mı́nimos relativos corresponde a região de Gribov. O problema
vem do fato de (73) ser uma função de Morse e ter um termo diferente de zero ao se calcular
a terceira variação δ 3 kAk2 [42]. Podemos restringir mais ainda para o que chamamos
de região modular fundamental (RMF) que é definida como o conjunto dos mı́nimos
absolutos da norma do campo de calibre. Tomando somente o mı́nimo absoluto para cada
conexão de calibre, vamos selecionar apenas uma configuração do mesmo. Esta região é
um subconjunto de Ω. Esta região modular ainda não foi implementada analiticamente,
ou seja, ainda não conseguimos restringir a integração funcional a RMF de maneira local
e renormazável. Para sair deste impasse, de termos cópias de calibre na região de Gribov,
foi mostrado formalmente que as cópias dentro da primeira região não afetam os valores
esperados da teoria [43]. Esta prova é feita argumentando que a região de Gribov e a
RMF possuem uma fronteira comum, e a maior contribuição para a integral de caminho
viria desta fronteira. Juntando este argumento com o fato de não sabermos implementar
a RMF, faremos a restrição da integral funcional somente na região de Gribov.
2.2.4 Restrição da Integral à Região de Gribov
Como a fixação de calibre, via Faddeev-Popov, não escolhe apenas um representante por órbita de calibre, ou seja, há uma simetria residual que permite que a xistência
das cópias Gribov, é natural, depois do estudo dos autovalores do operador de FaddeevPopov que venhamos a restringir a integração nos campos de calibre somente na região
37
onde não há cópias, ou pelo menos, que não afetem o conteúdo fı́sico da teoria. A restrição
é feita na função de partição
Z
Z =
DA δ(∂µ Aaµ ) det(M)e−SY M
ZΩ
=
DA δ(∂µ Aaµ ) det(M)e−SY M ν(Ω) ,
(76)
onde o fator ν(Ω) garante que a integração será feita apenas na região de Gribov. Para
caracterizar esta função devemos analisar a relação entre o setor dos campos fantasmas
com o operador de Faddeev-Popov. Gribov sugeriu a não existência de polos no propagador dos campos fantasmas, uma vez que este é justamente o inverso do operador de
Faddeev-Popov, ou melhor dizendo:
hc̄a (x)cb (y)i ≡ G ab (x, y) = M−1
ab
(x, y) .
(77)
Então, a medida em que se aproxima do horizonte, o inverso deste operador se torna
cada vez maior, até que, no horizonte, ele se torna singular. Como na região de Gribov
o operador de Faddeev-Popov é positivo-definido, o propagador dos campos de ghosts
também deve ser. Por fim, concluı́mos que para garantir que a integraçãoo seja feita
apenas dentro da região de Gribov devemos impor que o propagador fantasma não possua
pólos finitos.
Para, de fato, chegarmos a uma expressão para ν(Ω), a condição de não existência
de pólos finitos no propagador dos ghosts pode ser desenvolvida através do cálculo perturbativo de
G ab (x, y; A) =
N2
1
hc̄a (x)cb (y)iconexas .
−1
(78)
No trabalho de Gribov [37], a expressão do propagador no espaço dos momenta, é vista
como
G(k; A) =
1
1
2
k 1 − σ(k, A)
onde G(k; A) é obtida fazendo a transformada de Fourier do traço de G(k; A)
Z
G(k; A) = d4 xd4 y exp {ik(x − y)} T r G ab (x, y; A)
e o fator de forma σ(k, A) no limite termodinâmico é dado por
Z
N
1
d4 q (k − q)µ kν a
A (−q)Aaν (q).
σ(k, A) = 2
N − 1 k2
(2π)4 (k − q)2 µ
(79)
(80)
(81)
Como o fator de forma σ(k, A) acaba sendo uma função decrescente nos momenta, Gribov
38
impôs a condição
σ(0, A) ≤ 1
(82)
chamada de condição de não existencia de pólo (do inglês no-pole condition). Desta
condição, temos um propagador do ghost sem pólos em valores finitos do momento k.
Então, a expressão (79) fica sempre positiva, o que significa que estamos dentro do horizonte de Gribov. O único pólo permitido é em k = 0, que significa que estamos na
vizinhança do horizonte, onde o propagador do ghost é singular, por causa dos modos
zero do operador de Faddeev-Popov. Então, tendo em vista a condição (82), a maneira
de restringir na integral funcional ao primeiro horizonte de Gribov é a uma função degrau
Z
dβ
exp{β (1 − σ(0, A))}.
(83)
ν(1 − σ(0, A)) =
2πiβ
A função de partição, logo após a integração em β, na aproximação de ponto sela [37]
ficamos com
Z
Z = DA δ(∂µ Aµ ) det Mab exp − (SY M + β ∗ σ(0, k)) ,
(84)
onde β ∗ é determinado pela equação do gap
Z
3N g 2
d4 k
1
= 1.
4
(2π)4 k 4 + N2g2 2 β ∗
(85)
2(N −1)
2.3 Função Horizonte
Como vimos, a restrição no espaço funcional dos campos de calibre nos leva a
modificar o peso estatı́stico de tal forma que devemos somar um termo não local que gera
modificações na teoria, porém não somos capazes de realizar contas explı́citas com este
termo. Depois do trabalho de Gribov, Zwanziger conseguiu implementar a restrição de
forma local partindo de um caminho diferente que consiste em estudar o menor autovalor
do operador de Fadeev-Popov. Ele mostrou usando a equivalência entre os ensembles
canônico e microcanônico no limite termodinâmico, que a restrição ao horizonte poderia
ser feita acrescentando um termo não local na ação de Yang-Mills. O termo conhecido
como função horizonte é dado
Z
Z
ab
4
2
(86)
H = d x h(x) = g
d4 xd4 y f abc Abµ (x) M−1 (x, y)f dec Aeµ (y) .
39
Então, a função de partição, no limite termodinâmico V → ∞, em uma aproximação que
exige que o traço do operador de Faddeev-Popov seja positivo, fica da forma
Z
Z = DA δ(∂µ Aµ ) det(Mab ) exp −(SYM + γ 4 H − 4(N 2 − 1)γ 4 ) ,
(87)
onde o parâmetro massivo γ é um parâmetro dinâmico determinado de forma autoconsistente através da condição de horizonte
hh(x)i = 4(N 2 − 1) .
que a primeira ordem fica na forma
Z
d4 k
1
3N g 2
=1
4
4
4
(2π) k + 2N g 2 γ 4
(88)
(89)
que podemos identificar na expressão (85) com β ∗ , onde β ∗ = 4(N 2 − 1)γ 4 . De fato,
Gribov e Zwanziger seguiram caminhos diferentes para resitringir a integração na região de
Gribov, e suas prescrições coincidem. Foi mostrado explicitamente em [73] a equivalência
entre a função horizonte H e o fator de forma do campo fantasma σ(0, k) a todas as
ordens em teoria de perturbações, ou melhor dizendo, uma equivalência exata entre a nopole condition feita por Gribov e a condição de existência do horizonte de Zwanziger. No
trabalho de Gribov é feita a expansão do fator de forma até segunda ordem na expansão
do propagador dos ghosts, pois seu interesse era na modificação do propagador dos glúons.
Em uma aproximação de primeira ordem, a função horizonte fica
Z
H≈
d4 x Aµ
1
Aµ ,
∂2
(90)
que é suficiente para se verificar a modificação do propagador de glúons, tal como desejava
Gribov em seu trabalho. De fato, Zwanziger em seu trabalho consegue ressomar toda a
série [45].
Ao restringir o espaço funcional introduzindo o corte (83) no espaço dos campos
de calibre estamos afetando o peso estatı́stico na integral de caminho. Esta alteração
deve garantir que a integração ocorra para configurações que estão na primeira região de
Gribov. Sendo assim, o propagador do campo de calibre Aµ ao nivel árvore fica
k2
kµ kν
ab
a
b
hAµ (k)Aν (−k)i = δ 4
δµν − 2
.
(91)
k + 2N g 2 γ 4
k
Este propagador tem caracterı́sticas interessantes como ser nulo no limite infravermelho.
Outra caracterı́stica é o fato deste propagador possuir pólos imaginários, indicando que
o glúon não pertence ao espectro fı́sico de Yang-Mills. Além dos pólos, este propagador
viola a positividade, que é um forte indı́cio de confinamento [44]. Olhando agora para
o propagador dos ghosts, vemos que este também se altera. Ao nı́vel árvore, temos, no
40
limite infravermelho, o seguinte comportamento20 :
G(k) ∼
1
,
k4
(92)
que é mais singular do que na quantização de Faddeev-Popov, na qual o propagador de
ghost vai como 1/k 2 . Isto indica forças de longo alcance [12].
2.4 A ação de Gribov-Zwanziger
Finalmente, precisamos saber o comportamento quântico da ação de Yang-Mills
com a restrição à região de Gribov. Como vimos, ao impor o horizonte, devemos acrescentar à ação de Yang-Mills, além dos termos de fixação de calibre de Faddeev-Popov,
um termo não local que é a função horizonte de Zwanziger, eq.(86). Isso define a ação do
modelo de Gribov-Zwanziger21 :
SGZ = SYM + Sgf + γ 4 H − 4(N 2 − 1)γ 4 .
(93)
Logo, a função de partição da teoria é:
Z
ZGZ = DADc̄DcDb e−SGZ .
(94)
O primeiro problema com o qual temos que lidar é com a não localidade da função
horizonte. Para tanto, precisamos tentar localizar este termo. De fato, exite uma maneira
de fazer isso que é através do uso de campos auxiliares na forma de quarteto de BRST,
tal como descrito no capı́tulo anterior. O primeiro passo, é introduzir um par de campos
ab
bosônicos complexos {ϕ̄ab
µ , ϕµ }, o que nos permite escrever:
e
−γ 4 H
Z
=
Z
4
ac
ab bc
2
abc
ac
ac
b
Dϕ̄Dϕ (det M) exp − d x[ϕ̄µ M ϕµ + γ gf (ϕµ − ϕ̄µ )Aµ ] .
f
(95)
O determinante (det M)f , onde f = 4(N 2 − 1), também pode ser localizado usando
campos vetoriais compexos anticomutantes {ω̄µab , ωµab }:
f
(det M) =
Z
Z
4
ac
ab bc
Dω̄Dω exp − d x ω̄µ M ωµ .
(96)
20
Este resultado não estão de acordo com os resultados encontrados com a QCD na rede. Porém, devemos
ainda levar em conta o efeito dos condensados que é feito na teoria GZ aprimorada, que iremos discutir
no próximo capı́tulo.
21
Sobre a estabilidade na ação de Gribov-Zwanziger veja em [13, 14]
41
Assim, obtemos a versão local da ação de Gribov-Zwanziger:
local
local
SGZ
= SYM + Sgf + SH
,
Z
local
ab bc
ac
ab bc
SH
=
d4 x[ϕ̄ac
µ M ϕµ − ω̄µ M ωµ ]
Z
2
ac
b
2
4
−γ
d4 x g f abc (ϕac
−
ϕ̄
)A
µ
µ
µ − 4(N − 1)γ .
(97)
De acordo com o que foi mencionado no capı́tulo anterior a respeito dos quartetos de
BRST, não queremos introduzir novos graus de liberdade em consequência da introdução
dos campos auxiliares. Dessa forma, esses campos devem obedecer a uma estrutura de
quarteto:
ab
sϕab
µ = ωµ ,
sωµab = 0 ,
sω̄µab = ϕ̄ab
µ ,
sϕ̄ab
µ = 0.
(98)
A partir destas transformações, podemos também escrever a ação de Gribov-Zwanziger
como
Z
1 a a
a
a
ac
ab bc
local
4
(99)
SGZ = d x Fµν Fµν + s(c̄ ∂µ Aµ − ω̄µ ∂ν Dν ϕµ ) + Sγ ,
4
onde Sγ é dado por
Z
2
ac
b
2
4
Sγ = −γ
d4 x gf abc (ϕac
µ − ϕ̄µ )Aµ − 4(N − 1)γ .
(100)
2.4.1 Quebra soft da simetria BRST
Ao localizar a função horizonte usando o conjunto de campos auxiliares
deparamo-nos com o seguinte problema: a ação deixa de ser invariante de BRST. De fato, o problema está no termo Sγ , pois anulando este termo, vemos
imediatamente que a ação é BRST invariante, ou seja,
Z
1 a a
local 4
a
a
ac
ab bc
sSGZ = s d x Fµν Fµν + s(c̄ ∂µ Aµ − ω̄µ ∂ν Dν ϕµ ) = 0 .
(101)
4
γ=0
ab
ab
ab
{ϕ̄ab
µ , ϕµ , ω̄µ , ωµ },
A variação de BRST do termo Sγ é explicitamente diferente de zero
Z
2
ac
sSγ = gγ
d4 xf abc Abµ ωµac − (Dµbm cm )(ϕac
µ − ϕ̄µ ) 6= 0 .
(102)
Assim, fica claro que a presença do parâmetro de Gribov na teoria impede que a ação seja
invariante de BRST. No entanto, esta quebra, embora explı́cita, é uma quebra dita suave,
ou soft, do inglês, significando que a quebra tem dimensão, nos campos, menor que a do
42
espaço (neste caso a dimensão da quebra é dois), podendo então ser desprezada na região
ultravioleta profunda, onde recuperamos a simetria BRST exata, assim como a noção de
cohomologia do operador de BRST, usada para definir o espectro fı́sico da teoria. No
próximo capı́tulo, ficará claro que a quebra não interfere no esquema de renormalização
algébrica. Ocorre apenas uma ligeira modificação da identidade de Slavnov-Taylor, que
agora apresenta um termo de quebra, que, sendo suave, pode ser controlado. O efeito da
quebra surge na região não perturbativa, onde o termo de quebra não pode ser ignorado.
A presença da quebra está intimamente relacionada com a perda da unitariedade do setor
gluônico na região infravermelha, que, por sua vez, é um indı́cio de confinamento dos
glúons.
2.5 Discussão
Neste capı́tulo falamos das ambiguidades de Gribov, provenientes da simetria residual inerente ao processo de fixação de calibre de Faddeev-Popov. Para tentar contornar
este problema, seguimos os passos propostos por Gribov [37] que é o de restringir o domı́nio
de integração da integral de caminho de Feynman a uma região do espaço dos campos de
calibre que é supostamente livre cópias de calibre. Esta região é chamada de região de
Gribov que, na verdade, não é inteiramente livre de cópias. Porém, de acordo com o que
foi discutido, esta região pode ser definida operacionalmente em alguns calibres, como o
de Landau, fato que não ocorre com a região modular fundamental. Por fim, a ação que
é encontrada de forma local é a ação de Gribov-Zwanziger. Esta ação seria a forma local
de obtermos o comportamento quântico da teoria no limite infravermelho. No entanto,
esta ação tem um termo de quebra soft da simetria BRST. De fato, a discussão feita neste
capı́ tulo a respeito da quebra soft é apenas o começo de uma análise mais profunda. No
próximo capı́tulo, etudaremos com mais detalhes a quebra suave e veremos como esta
aparece em outros modelos confinantes além do modelo GZ.
43
3 MODELOS COM QUEBRA SUAVE DE BRST
Neste capı́tulo, veremos outras teorias, além da de Gribov e Zwanziger, que também
apresentam quebra suave da simetria BRST. São estas: a teoria de Gribov-Zwanziger
aprimorada, ou refinada, que chamaremos simplesmente de teoria RGZ devido a sigla
adotada em inglês, refined Gribov-Zwanziger theory, e o modelo de réplica. Em particular,
no modelo de réplica, mostraremos sua renormalizabilidade e ainda, como obter o espectro
fı́sico desta teoria, onde, para tanto, introduz-se um conceito recentemente criado que é o
das chamadas i-particles, ou, em tradução livre, partı́culas imaginárias, que recebem este
nome por possuirem massas cujos quadrados são números imaginários.
3.1 A quebra suave da simetria BRST
O surgimento de um termo de quebra suave da simetria BRST na ação GZ é um fato
interessante e merece ser estudado mais a fundo. Antes do inı́cio da análise, é bom lembrar
de onde vem esta quebra. Podemos relacionar a transformação de BRST sAaµ = Dµab cb
com a transformação de calibre δω Aaµ = Dµab ω b onde ω é o parâmetro de calibre que
neste contexto é promovido a campo fantasma no esquema de Faddeev-Popov. Baseados
nisso lembremos de uma propriedade da região de Gribov: ” Qualquer transformação
de calibre infinitesimal de configurações de campo localizadas no interior da região de
Gribov necessariamente dará origem à configurações que estão localizadas fora da região“.
Para tentar demonstrar isso tomamos campos de calibre longe da fronteira da região de
Gribov e campos de calibre localizados perto da fronteira. Primeiro, para campos longe
da fronteira, mas que pertente a região de Gribov, temos que ele respeita a condição
de Landau e possui autovalores positivos do operador de Faddeev-Popov. A cópia desse
campo é obtida fazendo uma transformação de calibre
Ãµ = Aµ + Dµ (A)ω.
(103)
Supondo que o campo e sua cópia respeitam a condição de Landau temos que Dµ (A)ω = 0
o que contradiz a hipótese de Aµ não estar localizado no horizonte. Portanto não há modo
zero compatı́vel. Já com campos próximos a fronteira podemos decompor em Aµ = Cµ +aµ
onde Cµ pertence a fronteira e aµ é uma perturbação infinitesimal. Obviamente, estes dois
campos também respeitam a condição de Landau. Fazendo uma transformação de calibre
obtemos a cópia do campo
Ãµ = Cµ + aµ + Dµ (C)ω + ...
(104)
44
a primeira ordem. Assim a cópia fica muito próximo a fronteira, onde é imediato concluir
que está configuração está fora da região de Gribov. Podemos ver a quebra da simetria
de BRST como um reflexo natural disto.
Então, para dar inı́cio à análise da quebra soft, consideremos o termo Ssof t , tal que,
sSsof t = ∆sof t . Consideremos ainda, a ação de partida S0 de um dado modelo. Podemos
então dividir esta ação em dois setores: um setor invariante de BRST, que denotaremos
Sinv , e um setor de quebra, que assumimos ser soft. Portanto, a ação de partida é escrita
como
S0 = Sinv + µ Ssof t ,
(105)
sendo µ um parâmetro. Ao atuarmos o operador de BRST sobre esta, temos
sS0 = s(Sinv + µ Ssof t ) = µ∆sof t .
(106)
Vemos então que o parâmetro µ é o parâmetro da quebra, exercendo o mesmo papel do
parâmetro γ 2 na GZ. A questão da dimensão do parâmetro µ é fundamental para esta
análise. De um modo geral, ∆sof t é um polinômio local nos campos, integrado em todo
o espaço d-dimensional. Se este polinômio tem dimensão inferior a d e lembrando que a
ação tem dimensão zero22 , então, necessariamente, o parâmetro µ adquire dimensão de
massa não nula e positiva. Assim sendo, podemos reintroduzir o termo de quebra na ação
de forma a preservar a simetria BRST, usando um dubleto de fontes externas. Em outras
palavras, em lugar da ação S0 , escrevemos
S1 = Sinv + s(Q Ssof t )
= Sinv + (sQ) Ssof t − Q sSsof t
= Sinv + J Ssof t − Q ∆sof t ,
(107)
sendo
sQ = J ,
sJ = 0 .
(108)
A ação S0 é obtida então como caso particular de S1 , quando as fontes {Q, J} assumem
seus “valores fı́sicos”:
J|phys = µ ,
22
Q|phys = 0 ,
S1 |phys = S0 .
(109)
A densidade lagrageana tem dimensão de massa d e a integral volumétrica tem dimensão −d, fazendo
com que a ação, em unidades de ~, seja, como esperado, adimensional.
45
Vemos claramente que o termo S1 é invariante de BRST devido a nilpotência do operador
s e, escolhendo adequadamente o sistema de fontes externas, contornamos a quebra. De
fato, a escolha do sistema de fontes é fundamental para a questão da renormalizabilidade.
Dependendo do modelo, é possı́vel que tenhamos que introduzir mais dubletos de fontes
externas, ou quartetos de BRST, porém, o raciocı́nio apresentado acima continua válido.
A questão da dimensão de ∆sof t é também importante para a discussão da renormalizabilidade, pois, se a dimensão desta fosse igual a da ação, as fontes teriam dimensões iguais a
zero e não poderı́amos controlar polinômios de fontes, em qualquer grau, que apareceriam
nos contratermos, ou seja, infinitos contratermos, acabando assim com a renormalizabilidade da teoria. Um caso deste tipo, constituiria uma quebra hard, em lugar de soft,
que não poderia ser desprezada na região ultravioleta profunda e iria requerer um outro
tratamento. É preciso deixar claro que o que estamos fazendo, na verdade, é imergir a
teoria original em uma teoria mais geral, que depende das fontes externas, e ao final, para
obter resultados fı́sicos, fazemos com que as fontes colocadas ad hoc sejam postas nos seus
“valores fı́sicos”.
3.2 Modelo de Gribov-Zwanziger e sua versão aprimorada (RGZ)
3.2.1 Lidando com a quebra na GZ
Relembrando o que foi dito no capı́tulo anterior, a teoria de Gribov-Zwanziger,
que leva em consideração a ação de Faddeev-Popov integrada funcionalmente na primeira
região de Gribov
Z
1 a a
local
a
a
4
ac
ab bc
SGZ = d x Fµν Fµν + s(c̄ ∂µ Aµ − ω̄µ ∂ν Dν ϕµ ) + Sγ ,
(110)
4
com
Sγ = γ
2
Z
ac
b
d4 x gf abc (ϕac
µ − ϕ̄µ )Aµ ,
possui uma quebra da simetria BRST proporcional a γ 2 :
Z
ac
local
2
d4 x gf abc Abµ ωµac − (Dµbm cm )(ϕac
sSGZ = sSγ = γ
µ − ϕ̄µ ) .
(111)
(112)
Vejamos então como lidar com essa quebra que, como vimos, é uma quebra suave. De
acordo com a discussão paresentada na seção anterior, devemos imergir a teoria original,
numa teoria mais geral, dependente de um conjunto adequado de fontes externas. É esta
teoria mais geral que será renormalizável e a teoria original será um caso partidular desta.
Seguindo os passos de Zwanziger [45, 46], vamos primeiramente introduzir o seguinte
46
Tabela 1 - Númetros quânticos do quarteto de fontes externas
Dimensão
Número de ghost
M
M̄
N
N̄
2
0
2
0
2
1
2
−1
Fonte: O AUTOR, 2014.
quarteto de fontes externas:
ab
ab
,
= Nµν
sMµν
ab
= 0,
sNµν
ab
ab
,
= M̄µν
sN̄µν
ab
= 0.
sM̄µν
(113)
As respectivas dimensões e os números de ghost das fontes externas se encontram na Tabela
1. A partir deste quarteto de BRST, podemos escrever, em lugar de Sγ , o seguinte:
Z
Sf ontes = s
4
dx
ac
−N̄µν
Dµab ϕbc
ν
+
ac
Mµν
Dµab ω̄νbc
−
ab
ab
N̄µν
Mµν
.
(114)
Este termo é claramente invariante de BRST e tem o termo de quebra Sγ como caso
particular quando as fontes assumem os seguintes valores:
ab Mµν
phys
ab = M̄µν
phys
= γ 2 δ ab δµν ,
ab Nµν
phys
ab = N̄µν
= 0.
(115)
phys
O fato de termos introduzido um quarteto, em vez de um simples dubleto, está
ligado à necessidade de se encontrar a ação mais geral que seja renormalizável. Escolhendo
as fontes dessa forma, a ação de partida mais geral tem um conjunto de identidades de
Ward capaz de garantir sua renormalizabilidade a todas as ordens. Vale a pena comentar
que é possı́vel mostrar as seguintes relações:
1/2
Zc ZA Zg = 1
1/2
e
−1/4
Zγ 2 = Zg−1/2 ZA
,
(116)
1/2
sendo Zc o fator de renormalização do ghost e do antighost, ZA o fator de renormalização do campo de calibre, Zg a renormalização da constante de acoplamento g e Zγ 2
a renormalização do parâmetro de Gribov γ 2 . A primeira relação é o teorema de não
renormalização do vértice ghost-gluon-antighost e a segunda relação nos mostra que o
parâmetro de Gribov não é um parâmetro independente da teoria.
47
Figura 2 - Propagadores do gluon a esquerda e dressing function a direita.
Fonte: MENDES, 2007, p.2. Adaptado pelo autor.
3.2.2 A teoria GZ aprimorada (RGZ)
A teoria GZ é uma teoria que lida com a problemática de Gribov através de uma
ação local, renormalizável e que possui um propagador confinante, violando a positividade
e indo a zero a momento nulo, como se pode inferir da expressão abaixo:
hAaµ (k)Abν (−k)i
k2
=δ 4
k + 2N g 2 γ 4
ab
kµ kν
δµν − 2
.
k
(117)
Entretanto, infelizmente, este não é exatamente o comportamento encontrado em simulações numéricas na rede [55, 57]. Antes, em trabalhos mais antigos [58], as simulações
diziam que o propagador de glúons violava a positividade e era suprimido no setor infravermelho, sendo nulo a momento zero. No entanto, resultados mais recentes [55, 58]
indicam que este é suprimido no infravermelho, viola a positividade, mas não é nulo à
momento zero. Além disso, observou-se que o propagador dos campos fantasma têm
uma divergência mais fraca do que aquela obtida no capı́tulo anterior, onde mostramos
que o propagador de ghosts se comportava como 1/k 4 no regime de baixas energias. A
proposta feita ao modelo de Gribov-Zwanziger, para tentar salvá-lo, foi a de incluir condensados de dimensão dois como forma de adicionar efeitos não perturbativos, gerando
outros parâmetros de massa para os glúons e para os campos auxiliares23 . Surgiu então
23
Os efeitos não perturbativos dos condensados de dimensão dois nas teorias de Yang-Mills já eram
conhecidos e haviam sido largamente estudados na literatura [48–54]. Em particular, pelos grupos da
Uerj (Sorella, S. P. et al) e de Ghent (Dudal, D. et al), na Bélgica.
48
o modelo de Gribov-Zwanziger aprimorado, que chamaremos daqui para frente de RGZ
(do inglês refined Gribov-Zwanziger), onde a ação é dada por
2
Z
m a a
local
4
2
ab ab
ab ab
SRGZ = SGZ + d x
A A − M (ϕ̄µ ϕµ − ω̄µ ωµ ) .
(118)
2 µ µ
Esta mudança nos leva a um propagador
hAaµ (k)Abν (−k)i
k2 + M 2
=δ 4
k + (M 2 + m2 )k 2 + λ4
ab
kµ kν
δµν − 2
,
k
(119)
onde λ4 = 2g 2 N γ 4 + M 2 m2 , que está de acordo com simulaçoes numéricas. Esta mudança
gera uma modificação também no propagador dos ghosts, estando também em acordo com
os dados da rede [55,58,74,87]. Notemos ainda que o parâmetro M 2 vem da condensação
ab ab
ab
do operador (ϕ̄ab
µ ϕµ − ω̄µ ωµ ), que é BRST invariante, ao contrário dos demais operadores que estão ligados aos parâmetros m2 e γ 2 . Este parâmetro só faz sentido na teoria
na presença do termo de quebra, Sγ , pois, se fizermos m2 e γ 2 iguais a zero, podemos
facilmente conferir que M 2 desaparece automaticamente da expressão do propagador de
glúons e reobtemos o propagador perturbativo da teoria.
3.3 O modelo de réplica
O modelo de réplica, como veremos em detalhes ao longo desta seção, recebe
este nome devido ao fato de termos, como ponto de partida, duas teorias de calibre
independentes (uma sendo a replicação da outra) ligadas por um termo de quebra soft
da simetria BRST. O modelo surgiu originalmente em [47], sendo um modelo local e
renormalizável, onde é possı́vel estudar aspectos do confinamento e ainda levar em conta
os efeitos das cópias de Gribov. No entanto, tal como é dito em [47], não podemos afirmar
que este modelo é equivalente, ou alternativo, ao modelo de Gribov-Zwanziger, ou seja,
que os dois modelos dão origem à mesma fı́sica. Porém, podemos, e devemos, alertar que
a principal motivação para o estudo deste modelo é a investigação das consequências da
quebra soft da simetria de BRST em uma teoria confinante que exibe um propagador
de glúons tipo Gribov. Uma grande vantagem deste modelo é que podemos introduzir
operadores correspondentes aos estados das glueballs mais leves (0++ , 2++ , 0−+ ) de forma
consistente24 .
24
Essa classificação das glueballs é dada através dos números quânticos arranjados na forma J P C , onde
J é o momento angular total, C a conjugação de carga e P a paridade.
49
3.3.1 Construção da ação do modelo
Para construir a ação do modelo de réplica, nosso ponto de partida será a ação de
Faddeev-Popov no calibre de Landau, que vimos no capı́tulo sobre introdução à teoria de
Yang-Mills,
Z
SFP =
4
dx
1 a
a
Fµν (A)Fµν
(A) + iba ∂µ Aaµ + c̄a ∂µ Dµab (A)cb
4
.
(120)
a
Note-se que nesta expressão, estamos frisando que Fµν
(A) e Dµab (A) são funcionais do
campo de calibre Aaµ :
a
Fµν
(A) = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf abc Abµ Acν ,
Dµab (A) = δ ab ∂µ − gf abc Acµ .
(121)
Isto será importante para que não ocorra confusão na notação. O próximo passo é considerar uma segunda teoria de calibre, também quantizada no calibre de Landau, porém
com a mesma constante de acoplamento da teoria descrita pela ação (120). Em outras
palavras, essa segunda teoria é uma replicação da primeira e será escrita com o conjunto
de campos {Uµa , b̄a , ω a , ω̄ a }:
Z
SFP2 =
4
dx
1 a
a
U (U )Uµν
(U ) + ib̄a ∂µ Uµa + ω̄ a ∂µ Dµab (U )ω b
4 µν
.
(122)
Fica claro que: o campo Uµa é um campo de calibre com mesmo papel que Aaµ ; o campo
b̄a é um multiplicador de Lagrange, tal como o ba , implementando o calibre de Landau;
{ω a , ω̄ a } são, respectivamente, os campos de ghost e antighost de Faddeev-Popov desta
teoria replicada, assim como {ca , c̄a } são os ghosts de Faddeev-Popov da teoria (120).
Além disso, temos que:
a
Uµν
(U ) = ∂µ Uνa − ∂ν Uµa + gf abc Uµb Uνc ,
Dµab (U ) = δ ab ∂µ − gf abc Uµc .
(123)
Suponha agora que as duas teorias (120) e (122) são acopladas, suavemente, uma a outra
através do termo
√ 2Z 4
d x Aaµ Uµa ,
(124)
Sv = i 2v
onde v é um parâmetro de massa que irá desempenhar um papel muito parecido com o do
parâmetro que Gribov na ação de Gribov-Zwanziger [37,45,65]. O então chamado modelo
50
de réplica é descrito pela ação
Sréplica = SFP + SFP2 + Sv
Z
√
1 a
1 a
a
a
4
(A) + Uµν
(U ) + i 2v 2 Aaµ Uµa
(U )Uµν
Fµν (A)Fµν
=
dx
4
4
a
a
a
ab
b
a
a
a
ab
b
+ib ∂µ Aµ + c̄ ∂µ Dµ (A)c + ib̄ ∂µ Uµ + ω̄ ∂µ Dµ (U )ω .
(125)
A primeira caracterı́stica interessante que salta aos olhos neste modelo são os propagadores
dos campos de calibre:
hAaµ (k)Abν (−k)i
k2
=δ 4
k + 2v 4
kµ kν
δµν − 2
,
k
hUµa (k)Uνb (−k)i
k2
=δ 4
k + 2v 4
,
(127)
hAaµ (k)Uνb (−k)i
√
kµ kν
−i 2v 2
=δ 4
δµν − 2
.
k + 2v 4
k
(128)
ab
ab
ab
δµν
kµ kν
− 2
k
(126)
Estes propagadores têm o mesmo caráter confinante visto em Gribov, que correspondem
a excitações não fı́sicas, não possuindo pólo de Lorentz. Note-se ainda, como o parâmetro
v 2 é análogo ao parâmetro de Gribov.
A segunda caracterı́stica deste modelo é que este contém somente uma única constante
de acoplamento g. Ambos campos Aaµ e Uµa interagem com o mesmo acoplamento. O
fato de terem a mesma constante de acoplamento nos leva a uma simetria discreta que
reflete a simetria de réplica. Isto leva a uma invariância na ação (125) pelas seguintes
transformações:
Aaµ → Uµa ,
Uµa → Aaµ ,
ba → b̄a ,
b̄a → ba ,
ca → ω a ,
ω a → ca ,
c̄a → ω̄ a ,
ω̄ a → c̄a .
(129)
Esta simetria significa que os campos {Aaµ , ba , c̄a , ca } podem ser trocados por {Uµa , b̄a , ω̄ a , ω a },
e vice-versa. Esta simetria desaparece imediatamente quando muda-se uma das constantes.
A terceira caracterı́stica da ação (125) é a existência da quebra soft de BRST. Sendo
51
as tranformações BRST dadas por
sAaµ
sca
sc̄a
sba
= −Dµab (A)cb
g abc b c
=
f cc
2
= iba
= 0
sUµa
sω a
sω̄ a
sb̄a
= −Dµab (U )ω b
g abc b c
=
f ωω
2
= ib̄a
= 0
(130)
a quebra suave da ação de réplica é:
sSréplica = v 2 ∆quebra ,
(131)
onde
∆quebra
√ Z 4
= −i 2 d x Uµa Dµab (A)cb + Aaµ Dµab (U )ω b ,
(132)
que é um polinômio de dimensão dois nos campos integrado no 4-volume.
3.3.2 Introduzindo o conceito de i-particles
Façamos agora uma observação interessante a respeito dos propagadores tipo Gribov. É fácil verificar que os propagadores (126) e (127) podem ser reescritos na forma:
k2
1
=
4
4
k + 2v
2
1
1
√
√
+
2
2
2
k + i 2v
k − i 2 v2
.
(133)
Ou seja, um propagador tipo Gribov pode ser visto como a propagação de dois modos
não fı́sicos cujas massas são mais que seus quadrados são números imaginários, i.e., m2± =
√
±i 2 v 2 . Estes modos não fı́sicos foram então batizados como i-particles, ou, “partı́culas
imaginárias” [72].
Para escrevermos a ação em termos das i-particles devemos fazer uma mudança de
váriaveis nos campos de calibre Aaµ e Uµa . Isto equivale a diagonalizar a ação. Tomemos
então a forma quadrática da ação (125) do modelo de réplica:
Z
√ 2 a a
1 a
1 a
quad
4
2
a
2
a
Sréplica = d x
A (−∂ )Aµ + Uµ (−∂ )Uµ + i 2v Aµ Uµ ,
(134)
2 µ
2
onde já levamos em conta o calibre de Landau para ambos campos. Utilizando a trans-
52
formação nos campos
1
λaµ = √ Aaµ + Uµa ,
2
1
ηµa = √ Aaµ − Uµa .
2
(135)
temos a ação quadrática em termos das i-particles:
quad
Si−particles
Z
4
=
dx
√
√
1 a
1
λµ (−∂ 2 + i 2v 2 )λaµ + ηµa (−∂ 2 − i 2v 2 )ηµa
2
2
,
(136)
que descreve a propagação de dois modos não fı́sicos cujos propagadores são dados por
1
h(Aaµ (k) + Uµa (k))(Abν (−k) + Uνb (−k))i
2
1
kµ kν
ab
√
= δ
,
δµν − 2
k
k 2 + i 2v 2
1
hηµa (k)ηνb (−k)i =
h(Aaµ (k) − Uµa (k))(Abν (−k) − Uνb (−k))i
2
kµ kν
1
ab
√
δµν − 2
= δ
.
k
k 2 − i 2v 2
hλaµ (k)λbν (−k)i =
(137)
(138)
Vemos assim, que a ação 125 tem uma interpreção direta em termos das i-particles. Como
visto em [72], a vantagem de se introduzir os campos {λaµ , ηµa } baseia-se no fato de que eles
se tornam úteis na construção dos operadores compostos locais cuja função de correlação
a 1-loop exibe uma representação espectral de Källén-Lehmann correspondente. Ou seja,
integrais tı́picas como
2
I(k ) =
Z
1
d4 p
√ √ ,
4
2
(2π) (k − p) + i 2v 2 p2 − i 2v 2
(139)
possuem uma uma representação espectral [72]:
Z
2
I(k ) − I(0) =
∞
√
2 2v 2
dτ ρ(τ )
1
1
−
τ + k2 τ
,
(140)
onde a densidade espectral ρ(τ ) é dada
1
ρ(τ ) =
16π 2
√
τ 2 − 8v 4
,
τ
(141)
e é positiva no domı́nio de integração25 . O fato de podermos reescrever o modelo em
25
A subtração do fator I(0) em (140) é necessária para levar em consideração o carater divergente da
expressão (139) em 4 dimensões.
53
termos de i-particles nos permite introduzir operadores com propriedades analı́ticas correspondentes as da integral (139) [72]. Como exemplo, seja o operador
Oλη = ∂µ λaν − ∂ν λaµ
∂µ ηνa − ∂ν ηµa ,
(142)
visto em [72], cuja função de correlação a dois pontos pode ser escrita na forma espectral:
Z ∞
ρ(τ )
dτ
hOλη (k)Oλη (−k)i =
,
√
τ + k2
2 2v 2
√
τ 2 − 8v 4 (8v 4 + τ 2 )
2
.
(143)
ρ(τ ) = 12(N − 1)
32π 2 τ
3.3.3 Renormalizabilidade e teoremas de não renormalização
Vamos adotar o procedimento da renormalização algébrica utilizando o mesmo
procedimento feito na teoria de Gribov-Zwanziger convencional e na aprimorada (RGZ),
onde fontes externas são utilizadas.
3.3.3.1 Obtendo a ação inicial
Para escrever as identidades de Ward precisamos levar em conta primeiramente,
as fontes acopladas a simetrias não lineares eq. (130):
Z
h
i
Sexternal =
d4 x Ωaµ (sAaµ ) + La (sca ) + Ω̄aµ (sUµa ) + L̄a (sω a )
Z
g abc a b c
g abc a b c
a
ab
b
4
a
ab
b
=
d x −Ωµ Dµ (A)c + f L c c − Ω̄µ Dµ (U )ω + f L̄ ω ω .(144)
2
2
Pela simetria de réplica (129) podemos extender para as fontes de BRST
Ωaµ → Ω̄aµ ,
Ω̄aµ → Ωaµ ,
La → L̄a ,
L̄a → La .
(145)
Agora, precisamos adicionar o dubleto de BRST de fontes externas26
sK ab = J ,
26
sJ ab = 0 ,
(146)
Fontes com dois ı́ndices de cor evitam o aparecimento de termos no contratermo da forma Aaµ Aaµ +Uµa Uµa .
54
e escrevemos o termo BRST invariante
Z
Z
h
i
4
ab a b
SJ = s d x K Aµ Uµ = d4 x J ab Aaµ Uµa + K ab (Dµac (A)cc )Uµb + K ab Aaµ Dµbc (U )ω b . (147)
O termo soft Sv pode ser recuperado fazendo em SJ os seguintes limites fı́sicos nas fontes
J ab e K ab
√
J ab phys = i 2v 2 δ ab ,
K ab phys = 0 ,
SJ phys = Sv .
(148)
A invariancia na simetria de réplicas é garantida se
J ab → J ba ,
K ab → K ba .
Para fins de renormalização, devemos introduzir os termos extras
Z
ζ
4
ab ab
abc ad bd c
abc da db c
s d x K J − gf K K c − gf K K ω
Sextra =
2
Z
1 ab ab
4
J J − gf abc J ad K bd cc − gf abc J da K db ω c
= ζ dx
2
2
g abc cmn ad bd m n g 2 abc cmn da db m n
− f f
K K c c − f f
K K ω ω .
4
4
(149)
(150)
que não estragam a teoria quando tomados os limites fı́sicos. Aqui, ζ é um parametro,
quando o valores fisicos são tomados, o único termo que sobrevive é o termo de vacuo de
GZ
Sextra phys = −ζ(N 2 − 1)v 4 V ,
(151)
onde V é o volume 4-dimensional euclideano.
O ponto de partida para a análise da renormalizabilidade é a ação
Σ = SFP + SMFP + Sexternal + SJ + Sextra
(152)
3.3.3.2 Identidades de Ward
• Equações provenientes da fixação de calibre:
δΣ
= i∂µ Aaµ ,
δba
δΣ
= i∂µ Uµa .
δ b̄a
(153)
55
• Equação de movimento dos antighosts c̄a e ω̄ a :
δΣ
δΣ
+
∂
= 0,
µ
δc̄a
δΩaµ
δΣ
δΣ
= 0.
+
∂
µ
δ ω̄ a
δ Ω̄aµ
(154)
• Identidade de Slavnov-Taylor:
Z
S(Σ) =
δΣ δΣ
δΣ δΣ
δΣ δΣ
δΣ δΣ
+ a a+ a a
+
a
a
a
a
δAµ δΩµ δUµ δ Ω̄µ δc δL
δω δ L̄
δΣ
δΣ
δΣ
= 0.
+iba a + ib̄a a + J ab
δc̄
δ ω̄
δK ab
4
dx
(155)
• Simetria rı́gida:
Z
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
+ bb c + c̄b c + cb c + Ωbµ c
c
δAµ
δb
δc̄
δc
δΩµ
δΣ
δΣ
δΣ
+Lb c + J bd cd + K bd
= 0,
δL
δJ
δK cd
Z
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
a
abc
4
W (Σ) = gf
d x Uµb c + b̄b c + ω̄ b c + ω b c + Ω̄bµ c
δUµ
δ ω̄
δω
δ Ω̄µ
δ b̄
δΣ
δΣ
δΣ
+L̄b c + J db dc + K db
= 0.
δJ
δK dc
δ L̄
a
W (Σ) = gf
abc
4
d x Abµ
(156)
(157)
Estas simetrias impõem que que o primeiro ı́ndice de cor das fontes J ab e K ab
podem ser contraı́dos únicamente com os campos da famı́lia de campos A, isto é,
(Aaµ , ba , c̄a , ca , Ωaµ , La ), enquanto o segundo ı́ndice pode ser contraı́do com a famı́lia de
campos replicados, (Uµa , b̄a , ω̄ a , ω a , Ω̄aµ , L̄a ). Termos com a forma J ab Aaµ Abµ e J ab Uµa Uµb
são proibidos no contratermo final.
• Equações de movimento dos ghosts ca e ω a :
a
¯a ,
G (Σ) = ∆
class
G a (Σ) = ∆aclass ,
(158)
onde
G
a
∆aclass
δ
abc b δ
abc bd δ
=
dx
− igf c̄ c + gf K
,
δca
δb
δJ cd
Z
g cmn b md nd
4
abc
b c
b c
=
d xf
Ωµ Aµ − L c + f
cK K
,
2
Z
4
(159)
(160)
56
e
G
a
¯a
∆
class
δ
abc b δ
abc db δ
=
dx
,
− igf ω̄ c + gf K
δω a
δJ dc
δ b̄
Z
g cmn b dm dn
4
abc
b c
b c
.
=
d xf
Ω̄µ Uµ − L̄ ω + f
ωK K
2
Z
4
(161)
(162)
• Simetria SL(2, R) :
δΣ δΣ
a δΣ
D(Σ) =
d x c a − i a a = 0,
δc̄
δb δL
Z
δΣ δΣ
4
a δΣ
D(Σ) =
dx ω
− i a a = 0.
δ ω̄ a
δ b̄ δ L̄
Z
4
(163)
(164)
3.3.3.3 Caracterização do Contratermo
Para obter o contratermo invariante mais geral perturbarmos a ação Σ,
Σ → Σ + Σc ,
(165)
com sendo um parâmetro perturbativo de expansão, e impomos que a ação perturbada
obedece as mesmas identidades da ação não perturbada. Isto impõe os seguintes vı́nculos
para o contratermo Sc :
δ
Σc = 0 ,
δba
δ
Σ = 0,
a c
δ b̄
δ
δ
+
∂
Σc = 0 ,
µ
δc̄a
δΩaµ
δ
δ
+ ∂µ a Σc = 0 ,
δ ω̄ a
δ Ω̄µ
SΣ Σc = 0 ,
W a Σc = 0 ,
a
W Σc = 0 ,
G a Σc = 0 ,
a
G Σc = 0 ,
DΣ Σc = 0 ,
D Σ Σc = 0 ,
(166)
57
onde SΣ , DΣ e DΣ são os operadores linearizados:
Z
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
4
+
+
+ a a+ a a
SΣ =
dx
+
a
a
a
a
a
a
a
a
δAµ δΩµ δΩµ δAµ δUµ δ Ω̄µ δ Ω̄µ δUµ
δc δL
δL δc
δΣ δ
δ
δ
δ
δΣ δ
+ a a + a a + iba a + ib̄a a + J ab
,
δω δ L̄
δc̄
δ ω̄
δK ab
δ L̄ δω
Z
δΣ δ
δΣ δ
4
a δ
DΣ =
d x c a −i a a −i a a ,
δc̄
δb δL
δL δb
Z
δΣ δ
δΣ δ
4
a δΣ
DΣ =
dx ω
−i a a −i a a .
δ ω̄ a
δ L̄ δ b̄
δ b̄ δ L̄
(167)
(168)
(169)
O contratermo mais geral Σc , que obedece as equações (166) e a simetria de espelho é
dado por
Z
n
4
Σc = a0 (SYM [A] + SYM [U ]) + SΣ d x a1 [(Ωaµ + ∂µ c̄a )Aaµ + (Ω̄aµ + ∂µ ω̄ a )Uµa ]
o
a3 ζ ab ab
(K J − gf abc K ad K bd cc − gf abc K da K db ω c ) .
(170)
+a2 K ab Aaµ Uµb +
2
3.3.4 Fatores de renormalização
Resta saber como o contratermo invariante (170) pode ser reabsorvido através da
redefinição de parâmetros, campos e fontes na ação clássica Σ, de acordo com
1/2
φ0 = Zφ φ ,
Φ0 = ZΦ Φ ,
(171)
onde
φ ≡ {A, U, b, b̄, c, ω, c̄, ω̄} ,
Φ ≡ {g, ζ, Ω, Ω̄, L, L̄, J, K} ,
(172)
de modo que
Σ[φ0 , Φ0 ] = Σ[φ, Φ] + Σc [φ, Φ] + O(2 ) .
(173)
Por inspeção direta, os fatores que são encontrados são
−1/2
1/2
ZU = Zb
1/2
Zc
1/2
= Zc̄
1/2
= Zω
1/2
= Zω̄
−1/2
= Zb̄
1/2
= ZA ,
−1/2
= ZΩ = ZΩ̄ = ZL
−1/2
ZK = ZJ Zg
1/4
ZA ,
−1/2
= ZL̄
−1/2
= Zg
−1/4
ZA
,
(174)
58
com
a0 + 2a1
,
2
a0
= 1− ,
2
= 1 − (a0 − a2 ) ,
1/2
ZA
= 1+
Zg
ZJ
Zζ = 1 + (2a0 − 2a2 + a3 ) .
(175)
As eqs. (308), (174), (175) mostram que o contratermo Σc pode ser reabsorvido por
uma redefinição de campos parametros e fontesna ação inicial Σ, estabelecendo então a
renormalizabilidadeda teoria.
3.3.5 Não-renormalização do parâmetro massivo v 2
O teorema de não renormalização do parâmetro v 2 não pode ser encontrado pois
não há nenhuma identidade de Ward que nos fornece esta informação. É provavel que
haja esta identidade mas não fomos capazes de encontrá-la. Nesta seção mostraremos
com argumentos gráficos que o termo
√
(J ab Aaµ Uµa )phys = i 2v 2 Aaµ Uµa
(176)
não se renormaliza. Em outras palavras, mostraremos que
(v 2 Aaµ Uµa )0 = v 2 Aaµ Uµa ,
(177)
que implica que
Zv2 = ZA−1 ,
(178)
e a2 = −2a1 em (175).
Primeiro vamos prestr atenção a função de Green a dois pontos 1PI do campo Aaµ
a 1-loop (resultados equivalentes são obtidos para o campo replica Uµa ). Neste caso, o
contratermo v 2 Aaµ Aaµ pode surgir de um tadpole. O diagrama é visto como
Z
I=
q2
dd q
,
(2π)d q 4 + 2v 4
(179)
onde d = 4 − ε. a integral I pode ser reescrita como
Z
I=
dd q 1
− 2v 4
d
2
(2π) q
Z
d4 q
1
.
4
2
4
(2π) q (q + 2v 2 )
(180)
59
A primeira integral é zero usando a regularização dimensional. A segunda é convergente na
região ultravioleta por contagem de potência e o limite d = 4 pode ser tomado. Podemos
então dizer que o contratermo na forma v 2 Aaµ Aaµ não existe. Um cálculo similar pode ser
feito para função a dois pontos mista dos campos A-U para provar que o contratermo
v 2 Aaµ Uµa também não é necessário. Contudo, graças ao comportamento do propagador
misto, os graficos a 1-loop sao convergentes no limite UV por contagem de potência.
Então, o termo de massa que aparece na ação não se renormaliza e, como consequência,
todas as possı́veis divergências que occorrem neste modelo são todas familiares da teoria
de Yang-Mills no calibre de Landau quando v 2 = 0. De fato, as integrais relevantes neste
caso são do tipo
Z
I(k) =
√
√
dd q −i 2v 2
−i 2v 2
.
(2π)d q 4 + 2v 4 (q − k)4 + 2v 4
(181)
3.3.6 Inclusão dos condensados
Para se obter o análogo do modelo RGZ, teremos que incluir condensados de dimensão 2 para obter os propagadores correspondentes. Podemos introduzir na ação Σ o
termo de massa
Z
2
4 m
(Aaµ Aaµ + Uµa Uµa ) .
(182)
Sm = d x
2
Este termo de massa modifica o comportamento dos propagadores para a forma
k 2 + m2
kµ kν ab
δ
δ
−
,
µν
(k 2 + m2 )2 + 2v 4
k2
k 2 + m2
kµ kν a
b
ab
hUµ (k)Uν (−k)i =
δ δµν − 2 ,
(k 2 + m2 )2 + 2v 4
k
√ 2
kµ kν −i 2v
ab
δ
δ
−
.
hAaµ (k)Uνb (−k)i =
µν
(k 2 + m2 )2 + 2v 4
k2
hAaµ (k)Abν (−k)i =
(183)
Este termo também é invariante frente a simetria de réplica (129) e sob a simetrias rı́gidas
(156) e (157). Logo, pode ser introduzido na teoria de forma BRST invariante com a
introdução de um dubleto de BRST de fontes externas
sλ = σ ,
sσ = 0 ,
(184)
60
como segue:
Z
ξ 4
a a
a a
Sσ = s d x λ(Aµ Aµ + Uµ Uµ ) − λσ
2
Z
1
ξ =
d4 x σ(Aaµ Aaµ + Uµa Uµa ) + λ(Aaµ ∂µ ca + Uµa ∂µ ω a ) + σ 2 ,
2
2
(185)
onde o ultimo termo no lado direito da equação acima é permitido por contagem de
potência e ξ um parâmetro constante. Então, obtemos o termo inicial quando
σ phys = m2 ,
λphys = 0 .
(186)
Agora então, podemos definir a ação
Σ0 = Σ + S σ ,
(187)
que possui uma identidade de Ward extra
Z
4
dx
0
0
δΣ0
a δΣ
a δΣ
− ic a − iω a
δλ
δb
δ b̄
= 0.
(188)
Daı́, o contratermo mais geral de Σ0 é dado por :
Σ0c
Z
= Σc +
d4 x
a
1
2
σ(Aaµ Aaµ + Uµa Uµa ) +
a4 ξ 2 σ .
2
(189)
E este termo pode ser reabsorvido na ação Σ0 quando escrevemos os fatores da forma
−1/2
σ0 = Zg ZA
σ,
−1/4
λ0 = Zg1/2 ZA
λ,
ξ0 = [1 + (2a0 + 2a1 + a4 )] ξ ,
(190)
em adição com os fatores já encontrados (174) e (175).
3.3.7 Construção dos operadores compostos locais BRST invariantes
Os operadores de glueballs, no sentido da teoria quantica de campos, criam estados
do vácuo. Glueballs são estados compostos de glúons que não possuem cores, invariantes
de calibre, e são completamente caracterizadas por seu momento angular total (J), conjugação de carga (C) e paridade (P ). Portanto, um estado de glueball é representado por
um operador composto local BRST invariante com os números quânticos J P C [59, 75, 88].
No que se segue, vamos olhar para a construção destes operadores BRST invariantes
que descrevem os estados mais leves de glueballs, que são os estados J P C = 0++ , 2++ , 0−+ ,
e cujas funções de correlação possuem boas propriedades analı́ticas. Como já visto no
exemplo visto anteriormente , este requisito pode ser obtido olhando para operadores
61
locais que devem ser escritas como i-particles. Para os estados com números quânticos
J P C = 0++ , 0−+ estes operadores são facilmente identificados em [47] e são dados por
1 a
a
a
a
(x) ,
(x)Uµν
(x) − Uµν
Fµν (x)Fµν
2
1
a
a
a
a
O0−+ (x) =
(x) .
(x)Uρσ
(x) − Uµν
(x)Fρσ
εµνρσ Fµν
2
O0++ (x) =
(191)
(192)
Usualmente, o estado 2++ é associado com o tensor momento-energia, porém este não pode
ser escrito em termos de i-particle. Apesar disso, conseguimos contruir um estado puro
de 2++ exigindo-se que este seja simétrico, com traço nulo e um tensor conservado. Deve
ser simétrico pois possui momento angular total 2, deve ter traço nulo pois caso contrátio,
seu traço estaria associado com a glueball escalar e o tensor deve ser conservado pois,
caso contrário, sua divergência estaria associada a glueball vetorial. Para construir este
operador, usamos o procedimento feito em [88], e considerar o operador local
1
a
a
a
a
[O2++ (x)]µν = Pµα Pνβ − Pµν Pαβ Fασ
(x)Fβσ
(x) − Uασ
(x)Uβσ
(x) ,
(193)
3
onde Pµν ≡ δµν ∂ 2 − ∂µ ∂ν é o projetor transverso. Este operador pode ser escrito em
termos de i-particles possuindo as caracterı́sticas descritas acima.
Como visto anteriormente, fazendo a mudança para os campos de i-particles:
Aaµ
=
Uµa =
√1
2
1
√
2
λaµ + ηµa
λaµ − ηµa .
(194)
(195)
os tensores, a 1-loop, possuem uma expressao similar para os tensores eletromagnéticos
a
Fµν
=
a
Uµν
=
√1
2
√1
2
a
λaµν + ηµν
a
,
λaµν − ηµν
(196)
(197)
onde
λaµν = ∂µ λaν + ∂ν λaµ
(198)
a
ηµν
= ∂µ ηνa + ∂ν ηµa .
(199)
Os operadores de glueballs, a primeira ordem, assumem a forma
a
O0++ (x) = λaµν (x)ηµν
(x) ,
1
a
a
[O2++ (x)]µν =
Pµα Pνβ − Pµν Pαβ λaασ (x)ηβσ
(x) + ηασ
(x)λaβσ (x) ,
3
1
a
a
O0−+ (x) =
εµνρσ λaµν (x)ηρσ
(x) + ηµν
(x)λaρσ (x) .
2
(200)
(201)
(202)
62
3.3.7.1 Representação Espectral de Kallen-Lehmann dos operadores de Glueballs
As funções de correlação a 2 pontos destes operadores exibem uma representação
espectral Källén-Lehmann a ordem mais baixa em teoria de perturbações. Relembrando
os propagadores da i-paricles
1
kµ kν
a
b
ab
√
hλµ (k)λν (−k)i = δ
δµν − 2
,
(203)
k
k 2 + i 2v 2
1
kµ kν
a
b
ab
√
,
(204)
hηµ (k)ην (−k)i = δ
δµν − 2
k
k 2 − i 2v 2
hλaµ (k)ηνb (−k)i = 0 .
(205)
que correspondem aos progagadores (126),(127) e (128). A 1-loop, as funções a dois pontos
contruı́das dos operadores de glueballs possuem a forma
Z
d4 p
1
1
√
√ fi (p, k − p) .
hOi (k)Oi (−k)i =
(206)
4
2
2
2
(2π) (k − p) + i 2v p − i 2v 2
onde fi (p, k − p), para i = 0++ , 2++ , 0−+ são polinômios em termos dos momentos (k, p).
Há muitas formas para mostrar que as expressões das funções a dois pontos exibem uma
representação espectral de Källén-Lehmann, que possui a forma
Z ∞
ρi (τ )
.
(207)
hOi (k)Oi (−k)i =
dτ
τ + k2
0
Uma possibilidade é o procedimento feito em [72] baseando-se no uso dos parâmetros de
Feynman e regularização dimensional. Nesta tese, iremos utilizar outro modo para chegar
na representação espectral que são as regras de Cutkosky no espaço de Minkowski. Ao
final, faz-se uma continuação analı́tica para as massas complexas no espaço Euclideano.
Os resultados obtidos por este caminho coincidem com os encontrados em [72].
A função de corelação (216) pode ser considerada como uma função complexa
com momento externo k 2 = s definido no plano complexo s com um corte no eixo real
começando em s = τ0 que nós identificamos como limiar (da expressão em inglês threshold). A relação de dispersão para esta equação é
Z
1 ∞
ImFi (τ )
hOi (k)Oi (−k)i = Fi (s) =
dτ
.
(208)
π τ0
τ +s
O teorema ótico então, afirma que a discontinuidade ImFi sobre o corte é uma
quantidade positiva definida que que dá a seção de choque total, que é, a função espectral.
Isto segue como uma conseqüência direta da unitariedade da teoria. Para massas reais no
espaço de Minkowski, onde as regras estão bem definidas temos
p2
1
→ 2πθ(p0 )δ(p2 − m2 ).
− m2
(209)
63
As regras de Cutkosky [9] nos permitem calcular a discontinuidade associada a diagramas
de Feynmann cortando as linhas no diagrama e substituindo propagadores correspondentes por funções delta, localizando assim o espaço de fases fı́sico correspondente. Para uma
integral a 1-loop temos:
Z
d4 p
ImFi =
2πθ((k − p)0 )δ((k − p)2 − m21 )θ(p0 )δ(p2 − m22 )fi (p, (k − p)) .
(210)
4
(2π)
√
Estamos interessados no caso onde as massas envolvidas são complexas m21 → m2λ = i 2v 2
√
e m22 → m2η = −i 2v 2 com os momentos definidos no espaço Euclideano. Então calculamos a eq. (210) como uma função de massas reais, momentos no espaço de Minkowski
e efetuamos uma continuação analitica da expressão para massas complexas no espaço
Euclideano. Isto nos leva a uma prescrição para a espressão das funções espectrais como
sendo
ρ(τ, mλ , mη ) = ρM ink (τ, m1 , m2 )
,
(211)
m1 =mλ ;m2 =mη
onde ρM ink (τ, m1 , m2 ) é obtido da expressão (210).
Agora (210) é prontamente calculada e podemos encontrar as representações espectrais a
1-loop para cada função a dois pontos dos operadores de glueball
q
4 Z ∞
2
1 − 8v
2(N − 1)
8v 4
τ2
2
=
dτ
+τ
hO0++ (k)O0++ (−k)i
,(212)
√
8π 2
τ + k2
2
one−loop
2 2v 2
h[O2++ (k)]µν [O2++ (−k)]µν i
=
one−loop
4
(N 2
3
− 1)
8π 2
Z
√
2 2v 2
3
+2(8v 4 )τ 4 + τ 6
2
−+
−+
hO0 (k)O0 (−k)i
2
one−loop
8(N − 1)
=
8π 2
Z
q
1−
∞
dτ
τ + k2
7 4 2 2
(8v ) τ
8
(213)
q
1−
∞
√
2 2v 2
8v 4
τ2
dτ
8v 4
τ2
τ + k2
τ 2 − 8v 4 . (214)
√
1
π
onde o limiar encontrado é dado pela expressão 2 2v 2 = (mλ + mη )2 = (2 4 ei 4 v +
−π
1
2 4 ei 4 v)2 . Por fim, podemos falar que todas as densidades espectrais para as glueballs
0++ , 2++ e 0−+ são positivas no domı́nio de integração. Os resultados para as glueballs
0++ e 2++ coincidem com os já encontrados em [67]
64
3.3.8 Cálculo das massas
3.3.8.1 Abordagem de SVZ
Como é habitual na abordagem de Shifman-Vainshtein-Zakharov (SVZ) para a
QCD [60], nós começaremos considerando as funções de correlação a dois pontos
2
Z
Πi (q ) =
d4 x eiqx hOi (x)Oi (0)i ,
(215)
onde Oi , i = 0++ , 2++ , 0−+ , são os operadores compostos invariantes de calibre que geram
estados de glueballs com númetros quânticos J P C = 0++ , 2++ , 0−+ , onde J é o momento
angular, P paridade e C a carga
A representação espectral de Källén-Lehmann exata de Πi (q 2 )
1
Πi (q ) =
π
2
∞
Z
dτ
0
ImΠi (τ )
,
τ + q2
(216)
a qual é esperada a partir das propriedades de unitariedade e analiticidade da teoria não
perturbativa. Usamos então uma parametrização correspondente de uma ressonância para
ImΠi (τ ), [63],
ImΠi (τ )
= Ri δ(τ − m2i ) + θ(τ − τ0i )ρi (τ ) ,
π
(217)
onde m2i denota a i-ésima massa da glueball, τ0i é o limiar energético para a parte contı́nua
do espectro, e ρi (τ ) a correspondente densidade espectral positiva. De fato, os valores
reais de Ri , m2i , τ0i e da densidade espectral ρi (τ ) são desconhecidos. Até agora, o melhor
que se pode fazer é calcular as funções de correlação (215) no nosso formalismo, tentando
levar em conta todos os efeitos não perturbativos, como é resumido na seguinte equação
Ri
+
2
q + m2i
Z
∞
dτ
τ0i
ρi (τ )
= Πnp
i ,
τ + q2
(218)
onde Πnp
representa a expressão das funções de correlação (215) que, na prática, tei
mos sido capazes de calcular. A expressão (218) estabelece as chamadas regras de soma
,possibilitando-nos dar estimativas das massas das glueballs em termos dos parâmetros
presentes em Πnp
i .
Como é feito em [61, 62, 89, 90], esta ferramenta tem sido tem se mostrada ser muito
bem sucedida, a fim de se obter as estimativas das massas dos hádrons na QCD. Com a
regra de soma de SVZ, a quantidade Πnp
i no lado direito da eq.(218) é calculada adici-
65
onando as contribuições perturbativas da QCD termos não perturbativos originados dos
condensados de glúons e quarks bem como a partir de instantons, [63, 64] para alicações
no espectro das glueballs .
Aqui, não devemos seguir o caminho padrão das regras de soma de SVZ. Em vez disso,
tentaremos calcular o lado direito da eq.(218) através do uso do modelo de replica definido
por (125). Este modelo é renormalizavel e se torna a ação de Faddeev-Popov no regime
UV.
De fato, esperamos que qualquer candidata a teoria, data por uma ação S np , cumpra os seguintes requisitos gerais:
• i) a ação S np exiba efeitos não perturbativos provenientes do horizonte de Gribov,
cuja presença é parametrizada pelo parametro massivo de Gribov v 2 [91]. Contudo,
no limite v 2 = 0, onde o horizonte é removido, a ação S np (v 2 ) é reduzida a ação
usual perturbativa de Faddeev-Popov SF P , i.e.
S (v )
np
2
v 2 =0
= SF P ,
(219)
• ii) ela deve levar em conta o confinamento do glúon. Isso significa que a função de
correlação de dois pontos do campo de glúon elementar, calculada com S np (v 2 ) não
pode ser colocada na forma de representações espectrais com densidade espectral
positiva, assim, esta não pode ser interpretado como o propagador de uma partı́cula
fı́sica.
• iii) tem que ser renormalizável, isso significa que calculos perturbativos podem ser
realizados consistentemente.
• iv) deveria possibilitar a introdução de operadores compostos locais invariantes de
calibre, ou equivalentemente, invariantes de BRST Oinp com os números quânticos
J P C = 0++ , 2++ , 0−+ , cuja função de correlação de dois pontos
2 2
Πnp
i (q , v )
Z
=
d4 x eiqx hOinp (x)Oinp (0)i ,
(220)
apresenta, ao menos na ordem mais baixa, uma representação espectral de KällénLehmann, ou seja
2 2
Πnp
i (q , v )
Z
∞
=
dτ
(i)np
τ0
(v 2 )
ρnp
i (τ )
+ O(~2 ) .
τ + q2
(221)
E antecipamos que as três funções de correlação em eq.(220), i = 0++ , 2++ , 0−+ ,
66
possuem o mesmo limiar.
√
τ0(i)np (v 2 ) = 2 2v 2 ,
i = 0++ , 2++ , 0−+ .
(222)
Os requerimentos i)–iv) são bastante restritivos. Como tais, eles devem fornecer um formalismo capaz de obter expressões preditivas para as funções de correlação
2 2
Πnp
i (q , v ), eq.(220).
Dois exemplos de teoria de campos compativeis com os requerimentos são conhecidos.
O primeiro exemplo é fornecido pela ação de Gribov-Zwanziger [37, 45, 65] e sua versão
aprimorada [66,67], que implementa de forma local e renormalizavel a restrição do domı́nio
de integração da integral funcional a uma região no espaço de campos delimitada pelo
horizonte de Gribov. Apesar de, até agora, o item iv) ainda não foi completamente resolvido [72]. O segundo modelo disponı́vel é o modelo de réplicas introduzido em [47]. Este
modelo pode ser considerado como um instrumento útil que reproduz as caracterı́sticas
da teoria de Gribov-Zwanziger. Ele contém um parâmetro de massa que desempenha um
papel semelhante ao parâmetro de Gribov, enquanto que permite a introdução de operadores locais invariantes de BRST com números quânticos J P C = 0++ , 2++ , 0−+ , cujas
funções de correlação possuem representação espectral de Källén-Lehmann a ordem mais
baixa, cumprindo assim o item iv). Ambos os modelos possuem termos que quebram a
simetria BRST suavemente.
Antes de ir mais longe, como nas regras de soma de SVZ [60], precisamos fornecer
uma estimativa para a quantidade
Z
∞
dτ
τ0i
ρi (τ )
,
τ + q2
(223)
que aparece na eq.(217). O requerimento iv) acima indica que a expressão Πnp
i na eq.(218),
a menor ordem perturbativa:
Ri
+
2
q + m2i
Z
∞
τ0i
ρi (τ )
dτ
=
τ + q2
ρnp
(τ )
dτ i 2 + O(~2 ) .
(i)np 2
τ +q
τ0
(v )
Z
∞
(224)
Além disso, o limiar (222) é igualmente uma aproximação de primeira ordem do valor
fisico verdadeiro. Uma vez que o único parâmetro massa que aparece na ação S np é dado
pelo parâmetro de Gribov v 2 , vamos considerar o verdadeiro limiar fı́sico a ser dado por
√
τ0i = a2 2v 2 ,
i = 0++ , 2++ , 0−+ ,
(225)
onde a ∈ R+ representa um parâmetro livre que representa a diferença entre o valor do
√
limiar fı́sico, τ0i , e o que somos capazes de avaliar na prática, i.e.: 2 2v 2 . Note que, para
67
um dado tipo de glueball,a eq. (225) na verdade expressa a expressão geral do verdadeiro
limiar, estamos tornando-o menos geral, porém, impondo o mesmo parâmetro a para
todos os tipos de glueball. Obtemos então
Ri
=
2
q + m2i
ρnp
(τ )
dτ i 2 −
√
τ +q
2 2v 2
Z
∞
Z
∞
√
2 2 av 2
dτ
ρi (τ )
+ O(~2 ) .
2
τ +q
(226)
Vamos assumir na expressão (223) a 1-loop que a aproximação
2
ρi (τ ) = ρnp
i (τ ) + O(~ ) .
(227)
é válida. Portanto, a forma final das regras de soma é
Ri
=
2
q + m2i
Z
√
2 2 av 2
√
2 2v 2
ρnp
(τ, v 2 )
dτ i
+ O(~2 ) .
2
τ +q
(228)
Esta equação é a base na construção da fórmula das massas para as glueballs.
3.3.9 Fórmula das massas das glueballs
Agora estamos prontos para obter uma fórmula de massa para os estados de glueball. Para isso, devemos primeiro fazer uso da transformada de Borel
q 2 Ri
BM ( 2
) = BM
q + m2i
q2
Z
√
2 2 av 2
√
2 2v 2
ρnp (τ )
dτ i 2
τ +q
!
,
(229)
onde BM representa o operador de Borel [59, 60]
(−1)n 2 n+1
(q )
BM (f (q 2 )) = limn,q2 →∞
n!
dn f (q 2 )
dn q 2
q2
n
,
(230)
=M 2 =fixed
e M 2 é a chamada massa de Borel [59, 60].
De
BM
1
q 2 + m2i
m2
i
= e− M 2 ,
(231)
chegamos facilmente em
Ri m2i e
m2
− i2
M
Z
=
√
2 2 av 2
√
2 2v 2
τ
− 2
M
dτ τ ρnp
.
i (τ ) e
(232)
68
Fazendo a transformação de Borel das regras de soma (228)
−
Ri e
m2
i
M2
Z
=
√
2 2 av 2
τ
− 2
M
dτ ρnp
,
i (τ ) e
√
2 2v 2
(233)
e calculando a relação entre eq.(232) e eq.(233), nos temos a fórmula de massa para os
estados de glueballs
R 2√2 av2
m2i
=
− τ2
√
M
dτ τ ρnp
i (τ ) e
2 2v 2
R 2√2 av2
− τ2
√
M
dτ ρnp
i (τ ) e
2 2v 2
.
(234)
Um dos aspectos da expressão (234) é que a massa m2i exibe uma dependência explicita
(i)np
do limiar τ0 (v 2 ) e a densidade espectral ρnp
i (τ ).
3.3.10 Análise qualitativa das massas das glueballs m20++ , m22++ , m20−+
Nós temos todos os ingredientes para uma análise qualitativa das massas das glueball m20++ , m22++ , m20−+ . Eq. (234), utilizando todo o ferramental do anterior temos:
4
R 2√2 av2 √
τ
8v
2
2 − 8v 4
√
e− M 2
dτ
τ
+
τ
2
2
2
2v
m20++ =
,
(235)
R 2√2 av2 √τ 2 −8v4 8v24 +τ 2 − τ
2
√
M
dτ
e
τ
2 2v 2
R 2√2 av2
m22++
=
√
2 2v 2
√
dτ τ 2 − 8v 4
τ
+ 2(8v 4 )τ 4 + 23 τ 6 e− M 2
,
R 2√2 av2 √τ 2 −8v4 ( 78 (8v4 )2 τ 2 +2(8v4 )τ 4 + 32 τ 6 ) − τ
2
√
dτ
e M
τ
2 2v 2
7
(8v 4 )2 τ 2
8
(236)
R 2√2 av2
m20−+ =
τ
3/2
√
dτ (τ 2 − 8v 4 ) e− M 2
2 2v 2
R 2√2 av2 (τ 2 −8v4 )3/2 − τ
√
dτ
e M2
τ
2 2v 2
.
(237)
É possı́vel reescrever estas expressões de tal maneira a fazer todas as massas proporcional
ao parâmetro de Gribov v. Introduzindo a variável
τ
t= √
2 2v 2
(238)
69
Figura 3 - Massas das Glueballs em função de a para p = 5
Fonte: CAPRI, 2010, p.21. Adaptado pelo autor.
Figura 4 - Massa das Glueballs em função de p para a = 1.3
Fonte: CAPRI, 2010, p.21. Adaptado pelo autor.
e o parâmetro p =
√
2 2v 2
.
M2
Como resultado obtemos
√
dt t2 − 1 ( 12 + t2 ) e−pt
,
R a √t2 −1 ( 21 +t2 )
−pt
e
dt
t
1
(239)
√
dt t2 − 1 ( 78 t2 + 2t4 + 32 t6 ) e−pt
,
R a √t2 −1 ( 78 t2 +2t4 + 23 t6 )
−pt
dt
e
t
1
(240)
√
= 2 2v 2
Ra
m20++ (a, p)
√
= 2 2v 2
Ra
m22++ (a, p)
m20−+ (a, p)
R
√ 2 1a dt (t2 − 1)3/2 e−pt
= 2 2v R
.
a
(t2 −1)3/2 −pt
dt
e
t
1
1
1
(241)
As massas são funções dos parâmetros a e p. Podemos ver os gráficos destas massas nas
figuras 3, 4, 5,6 e 7.
Olhando para a figura (3), gráfico que fixa p = 5 e varia a vemos que para valores
de a no intervalo entre 1 > a > 1, 8, as massas possuem a mesma hierarquia vista na rede
que é m20++ < m22++ < m20−+ . A figura, aqui fixamos o valor de a = 1, 35 (4) também
70
Figura 5 - Quocientes entre as massas
m20++
m2−+
(a, p)
0
Fonte: CAPRI, 2010, p.21. Adaptado pelo autor.
Figura 6 - Quocientes entre as massas
m20++
m2++
(a, p)
2
Fonte: CAPRI, 2010, p.21. Adaptado pelo autor.
vemos esta hierarquia porém para qualquer valor de p, ou seja, tem uma dependência
muito fraca do valor p.
3.4 Discussão
Neste capı́tulo vimos sobre a quebra suave, ou soft da simetria de BRST e exemplos
de teorias que possuem esta quebra, e também como contornar esta do ponto de vista
quântico. A quebra foi vista na ação de Gribov-Zwanziger, e em sua versão aprimorada,
chamada de RGZ. Contorna-se esta quebra com a adição de fontes externas indo para
um valor fisico para se recuperar a noção de cohomologia do operador linearizado de
BRST [67]. Também vimos o modelo de réplica que consiste em duas ações com campos
de calibres distintos acopladas por um termo que quebra suavemente a simetria de BRST,
e, desta forma, mimetiza o confinamento visto na teoria GZ. Esta possui este nome por
71
Figura 7 - Quocientes entre as massas
m22++
m2−+
(a, p)
0
Fonte: CAPRI, 2010, p.21. Adaptado pelo autor.
ter uma simetria discreta entre estes campos. Esta teoria é um bom exercı́cio no cálculo
das massas das glueballs mais leves. Ao final, viu-se que há uma faixa onde obtemos a
hierarquia de massas vista na teoria quântica de campos na rede [55], a saber, m20++ <
m22++ < m20−+ . Tomando os valores da rede conseguimos obter as massas [85]
m0++ ≈ 1, 96GeV m0−+ ≈ 2, 19GeV m2++ ≈ 2, 04GeV
(242)
e comparando com os resultados da rede
rede
rede
mrede
0++ ≈ 1, 73GeV m0−+ ≈ 2, 59GeV m2++ ≈ 2, 40GeV
(243)
podemos ver que está de acordo com os resultados da rede, todos os dados sendo dentro
de um intervalo de 20% de aproximação. No próximo capı́tulo veremos uma forma de
transformar a quebra suave em uma quebra linear, abrindo a oportunidade de se lançar
fora as fontes externas.
72
4 QUEBRA LINEAR DE BRST
Neste capı́tulo mostraremos que a quebra soft de BRST pode ser convertida em
uma quebra linear introduzindo um conjunto de quartetos de campos auxiliares. Devido
a compatibilidade com o Princı́pio de Ação Quântica, a quebra linear de BRST pode
ser diretamente convertida num conjunto adequado de identidades de Ward. Como consequência, usando a cohomologia do operador nilpotente, podemos usar a renormalização
algébrica para obter as correções quânticas.
4.1 Introdução
A teoria de GZ surge quando impomos que a ação de Faddeev-Popov pode ser
integrada funcionalmente somente até a primeira região de Gribov. Ao final de tudo o que
ganhamos é uma ação que possui um termo que quebra BRST suavemente. Este problema
é contornado com a adição de fontes que tomam certos limites [68]. A questão das fontes
adicionadas a mão e depois postas a um limite fı́sico é algo questionável. Deverı́amos
estudar a condensação destes operadores e se ver este limite fisico pode ser implementado,
via LCO por exemplo. Neste capı́tulo lançaremos mão desta abordagem e escreveremos a
ação de GZ (e também RGZ) com o uso de campos auxiliares em quartetos para reescrever
a ação e termos somente uma quebra linear e que não estraga a cohomologia do operador
linearizado, essencial para o esquema da Renormalização algébrica.
4.2 Ação quebrada linearmente
Nosso ponto de partida será a ação de Gribov-Zwanziger, que relembramos como
sendo
SGZ
1
=
4
Z
d
4
a
a
Fµν
xFµν
Z
+s
d4 x c̄a ∂µ Aaµ − ω̄µac ∂ν Dνab ϕbc
µ + Sγ ,
(244)
com
Z
Sγ =
bc
2
4
d4 x γ 2 g f abc Aaµ (ϕbc
,
µ − ϕ̄µ ) − d(N − 1)γ
(245)
onde N é o número de cores e d = 4 a dimensão do espaço tempo. Relembrando também
que γ 2 é determinado de forma consistente pela condição de horizonte, a saber
∂Evac
=0,
∂γ 2
(246)
73
onde Evac é a energia do vácuo
Z
−Evac
e
= [dΦ] e−SGZ ,
(247)
e [dΦ] entende-se pela integração funcional sobre todos os campos que aparecem em SGZ .
Olhando para a ação sem o termo Sγ vemos claramente a nilpotência do operador
de BRST
sAaµ = −Dνab cb = −(∂µ δ ab + gf acb Acµ )cb ,
g acb b c
f cc ,
sca =
2
sc̄a = iba ,
sba = 0 ,
sω̄µab = ϕ̄ab
µ ,
sϕ̄ab
µ = 0 ,
sϕab
= ωµab ,
µ
sωµab = 0 ,
(248)
ou, da mesma forma
Z
s
4
dx
1 a a
Fµν Fµν + s c̄a ∂µ Aaµ − ω̄µac ∂ν Dνab ϕbc
µ
4
=0.
(249)
A questão é que a ação de Gribov-Zwanziger nao é invariante pois o termo Sγ não
é nulo frente a transformação
Z
2
bc
abc a bc
sSGZ = sSγ = γ
d4 x −g f abc (Dµad cd )(ϕbc
Aµ ωµ .
(250)
µ − ϕ̄µ ) + g f
O problema era resolvido utilizando fontes externas em dubletos para que a nilpotência fosse preservada como já dissemos extensivamente no capı́tulo anterior. No
entanto há uma maneira de se reescrever de forma consistente a ação gerando uma quebra linear lançando mão do artifı́cio das fontes externas. As fontes eram adicionadas
a ação para que pudéssemos utilizar a cohomologia para a construção do contratermo.
Como, no caso da simetria quebrada linearmente, temos um operador linearizado nilpotente, podemos novamente utilizar desta ferramenta para a construção do contratermo
mais geral. Em suma, a quebra linear não afeta a renormalização algébrica, mesmo tendo
um operador de Slavnov-Taylor exato. Falaremos mais a seguir.
74
4.3 Ação de GZ quebrada linearmente
lin
SGZ
A ação de Gribov-Zwanziger quebrada linearmente é dada por
Z
Z
1
4
a
a
=
d x Fµν Fµν + s d4 x c̄a ∂µ Aaµ − ω̄µac ∂ν Dνab ϕbc
µ
4
Z
cd a bd
ab ab
ab ab
cd a bd
ab
+ s d4 x gf abc C¯µν
Aµ ϕν − C¯µν
ηµν − C¯µν
η̄µν − gf abc η̄µν
Aµ ω̄ν − ρ̄ab
µν η̄µν
Z
ab
ab ab
δ δµν + γ 2 λ̄ab
+
d4 x γ 2 ηµν
µν δ δµν ,
(251)
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
onde (C¯µν
, λab
µν , ηµν , Cµν ) e (ρ̄µν , λ̄µν , η̄µν , ρµν ) são dois quartetos de BRST , que possuem a
simetria
ab
sC¯µν
= λab
µν ,
sλab
µν = 0 ,
ab
ab
sηµν
= Cµν
,
ab
sCµν
=0,
ab
sρ̄ab
µν = λ̄µν ,
sλ̄ab
µν = 0 ,
ab
sη̄µν
= ρab
µν ,
sρab
µν = 0 .
(252)
ab
ab
ab
ab
ab
¯ab ab
Os campos (λab
µν , ηµν ) e (λ̄µν , η̄µν ) são comutantes, enquanto (Cµν , Cµν ), (ρ̄µν , ρµν ) são anticomutantes. Cada um desses campos tem 16(N 2 − 1)2 componentes27 . Além disso, os
ab
ab
ab
, ρ̄ab
campos (C¯µν
µν ) possuem número de ghost (−1), e (Cµν , ρµν ) número de ghost (1).
É fácil checar que a ação acima é quebrada linearmente da forma
Z
lin
2
ab
d4 x δ ab δµν Cµν
.
(253)
sSGZ = γ
Vamos provar que a ação de GZ e a ação eq.(251) são equivalentes. Primeiro
lin
explicitamos a expressão, ou melhor,aplicamos a transformação BRST em SGZ
Z
Z
1
lin
4
a
a
SGZ =
d x Fµν Fµν + s d4 x c̄a ∂Aaµ − ω̄µac ∂ν Dνab ϕbc
µ
4
Z
a bd
abc cd
ap p
bd
ab
+ d4 x gf abc λcd
η̄µν Aaµ ϕ̄bd
− λab
µν Aµ ϕν − gf
ν − (Dµ c )ω̄ν
µν η̄µν
Z
cd
cd
abc a bd
cd
abc a bd
+ d4 x C¯µν
Cµν
+ ρcd
Aµ ων + gf abc (Dµap cp )ϕbd
− ρcd
Aµ ω̄ν )
µν − gf
ν
µν (ρ̄µν + gf
Z
ab
2 ab
ab
2 ab
ab
(254)
+ d4 x λ̄ab
µν (γ δ δµν − η̄µν ) + ηµν (γ δ δµν − λµν ) .
ab
ab
ab
Vemos que os campos (λab
µν , ηµν ) e (λ̄µν , η̄µν ) podem ser eliminados usando a suas equações
ab
ab
ab
de movimento. Os campos anticomutantes (C¯µν
, Cµν
), (ρ̄ab
µν , ρµν ) se desacoplam com uma
ab
redefinição de campos, tudo a nı́vel da função de partição. A princı́pio, os campos ηµν
e λ̄ab
µν são muliplicadores de Lagrange. Dentro da integral de caminho eles vinculam os
27
Os ı́ndices de cor (a, b) variam de 1 até N 2 − 1, e os ı́ndices (µ, ν) de 1 até 4.
75
ab
campos λab
µν e η̄µν a valores constantes . De fato vemos como
Z
R 4
R
2 ab
ab
ab
2 ab
ab
ab
lin
lin
[dΞ] e−SGZ = [dΞ̃][dη][dη̄][dλ][dλ̄] e−S̃GZ − d x(λ̄µν (γ δ δµν −η̄µν )+ηµν (γ δ δµν −λµν ))
−S̃ lin
R
2 ab
ab
2 ab
= [dΞ̃][dη̄][dλ]δ λab
−
γ
δ
δ
δ
η̄
−
γ
δ
δ
e GZ ,
(255)
µν
µν
µν
µν
onde
1
=
4
lin
S̃GZ
Z
Z
4
dx
Z
a
a
Fµν
Fµν
+s
d4 x c̄a ∂Aaµ − ω̄µac ∂ν Dνab ϕbc
µ
cd
cd
abc a bd
cd
abc a bd
d4 x C¯µν
Cµν
+ ρcd
Aµ ων + gf abc (Dµap cp )ϕbd
− ρcd
Aµ ω̄ν )
µν − gf
ν
µν (ρ̄µν + gf
+
Z
a bd
abc cd
ap p
bd
ab
d4 x gf abc λcd
η̄µν Aaµ ϕ̄bd
− λab
µν Aµ ϕν − gf
ν − (Dµ c )ω̄ν
µν η̄µν
+
(256)
ab
Realizando a integral em λab
µν e η̄µν , temos
Z
lin
−SGZ
[dΞ] e
Z
=
lin
[dΞ̃] 0 e−ŜGZ ,
(257)
com
lin
lin ŜGZ
= S̃GZ
,
λab =γ 2 δ ab δµν ;η̄ ab =γ 2 δ ab δµν
µν
(258)
µν
lin
lin
,
, enquanto Ξ̃ são todos os campos ŜGZ
onde Ξ são todos os campos que aparecem em SGZ
ou seja, os campos que permanecem exceto η, η̄, λ, λ̄.
A ação então fica na forma
Z
lin
ŜGZ = SGZ + d4 x γ 2 gf abc (Dµad cd )ω̄µbc
Z
cd
cd
abc a bd
abc
ap p
bd
+
d4 x C¯µν
Cµν
+ ρcd
−
gf
A
ω
+
gf
(D
c
)ϕ
µν
µ ν
µ
ν
Z
cd
abc a bd
−
d4 x ρcd
Aµ ω̄ν ) .
µν (ρ̄µν + gf
(259)
cd
Definindo os campos Cµν
, ρ̄cd
ν como
cd
cd
abc a bd
+ ρcd
Aµ ων + gf abc (Dµap cp )ϕbd
C˜µν
≡ Cµν
µν − gf
ν ,
cd
abc a bd
ρ̄˜cd
Aµ ω̄ν ,
µν ≡ ρ̄ν + gf
(260)
fazem com que estes se desacoplem da ação. Depois eliminamos o termo γ 2 gf abc (Dµad cd )ω̄µbc
na expressão fazendo uma redefinição de campos ωµab
ω̃µbc ≡ ωµbc + [(∂ · D)−1 ]bd γ 2 gf dec Dµep cp ,
(261)
76
Como as redefinições tem jacobiano unitário temos finalmente
Z
R
R
ab C˜ab +ρ̄
ab
lin
˜ab
µν
µν ρµν )
¯ C][d
˜ ρ̄˜][dρ]e−SGZ − d4 x (C¯µν
[dΞ̃] eŜGZ = [dΦ][dC][d
R
= N [dΦ]e−SGZ ,
(262)
onde N é um fator constante. Esta expressão (262) nos mostra a equivalência entre SGZ ,
lin
e SGZ
, dada pela equação (251).
4.4 Identidades de Ward
A importância de termos uma teoria quebrada linearmente nos campos é que podemos converter diretamente em um conjunto de identidades de Slavnov-Taylor compatı́veis
com o princı́pio da ação quântica [11]. Na ação quântica, o operador utilizado é o linearizado e este se apresenta nilpotente quando BRST é quebrado linearmente [11]. Vamos
usar a notação multi-ı́ndice
ab
ab
ab
ϕab
= (ϕai , ϕ̄ai , ωia , ω̄ia ) ,
µ , ϕ̄µ , ωµ , ω̄µ
ab
ab
ab
a
a
a
, Cµi
,
, λaµi , ηµi
C¯µν
, λab
= C¯µi
µν , ηµν , Cµν
ab
ab
ab
a
, ρaµi ,
ρ̄ab
= ρ̄aµi , λ̄aµi , η̄µi
µν , λ̄µν , η̄µν , ρµν
(263)
onde i = 1, ..., f , com f = d(N 2 − 1). Logo
Z
1 a a
lin
4
a
a
a
ab b
SGZ =
dx
F F + ib ∂µ Aµ + c̄ ∂µ Dµ c
4 µν µν
Z
+
d4 x −ϕ̄ai ∂ν Dνab ϕbi + ω̄ia ∂ν Dνab ωib + gf amb (∂ν ω̄ia )(Dνmp cp )ϕbi
Z
c
a
+
d4 x gf abc λcµi Aaµ ϕbi − gf abc η̄µi
Aaµ ϕ̄bi − (Dµap cp )ω̄ib − λaµi η̄µi
Z
c
c
+
d4 x C¯µi
Cµi
+ ρcµi − gf abc Aaµ ωib + gf abc (Dµap cp )ϕbi − ρcµi (ρ̄cµi + gf abc Aaµ ω̄ib )
Z
i
a
a
i
+
d4 x λ̄aµi (γ 2 δ ab δµν δνb
− η̄µi
) + ηµi
(γ 2 δ ab δµν δνb
− λaµi ) .
(264)
Como temos simetrias de BRST não lineares, introduzimos as fontes (Ωaµ , La ) acopladas
a estas simetrias para fins de renormalização
Z
g acb a b c lin
lin
4
a ab b
ΣGZ = SGZ + d x −Ωµ Dµ c + f L c c ,
(265)
2
A ação Σlin
GZ possui a identidade de Slavnov-Taylor quebrada linearmente a seguir
Z
2
i
a
lin
S(ΣGZ ) = γ
d4 x δ ab δµν δbν
Cµi
(266)
77
onde
Z
S(Σ) =
BΣ
δΣ δΣ
δΣ δΣ
a δΣ
a δΣ
a δΣ
+
ϕ̄
+
+
ib
+
ω
i
i
a
δAaµ δΩaµ δLa δca
δc̄a
δϕi
δ ω̄ia
a δΣ
a δΣ
a δΣ
a δΣ
+ λµi ¯a + Cµi a + λ̄µi a + ρµi a .
δηµi
δ ρ̄µi
δ η̄µi
δ Cµi
4
dx
(267)
Da equação (266) obtemos o operador linearizado de Slavnov-Taylor definido como
Z
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
δ
4
=
dx
+
+ a a + a a + iba a
a
a
a
a
δAµ δΩµ δΩµ δAµ δL δc
δc δL
δc̄
δ
δ
δ
a δ
a δ
a
a
a
a δ
+ωi a + ϕ̄i a + λµi ¯a + Cµi a + λ̄µi a + ρµi a ,
(268)
δϕi
δ ω̄i
δηµi
δ ρ̄µi
δ η̄µi
δ Cµi
que é nilpotente, isto é
BΣlin
BΣlin
=0.
GZ
GZ
(269)
De acordo com o arcabouço da renormalização algébrica [11], o contratermo invariante
precisa ser renormalizado utilizando a cohomologia deste operador linearizado BΣlin
no
GZ
espaço dos polinômios locais integrados nos campos com dimensão menor do que 4.
Além da eq. (342), a ação Σlin
GZ possui um conjunto de várias identidades de Ward,
que são:
a
a
e λ̄aµi
, ρ̄aµi , ηµi
1. Equações de movimento dos campos ba , c̄a , Cµi
δΣlin
GZ
= i∂µ Aaµ ,
δba
δΣlin
δΣlin
GZ
GZ
+
∂
=0,
µ
δc̄a
δΩaµ
δΣlin
GZ
i
,
= −λaµi + γ 2 δ ab δµν δbν
a
δηµi
δΣlin
GZ
a
= −C¯µi
,
a
δCµi
δΣlin
GZ
a
i
= −η̄µi
+ γ 2 δ ab δµν δbν
,
δ λ̄aµi
δΣlin
GZ
= ρaµi .
δ ρ̄aµi
(270)
(271)
(272)
Onde todas estas eqs. (270), ( 271), (272) são lineares nos campos
2. Identidade de Ward identity para o parametro de Gribov γ,
∂Σlin
GZ
=
∂γ 2
Z
i
a
d4 x δ ab δµν δbν
(ηµi
+ λ̄aµi ) .
(273)
Que também é quebrada linearmente. Esta equação possui um papel especial. Ela
78
nos diz que o parâmetro de Gribov não deve possuir correções quânticas [45, 65, 71,
77].
3. Equação de movimento de ϕ̄ai
Ξai
ϕ̄ (Σ) ≡
lin
δΣlin
δΣlin
GZ
GZ
abc b δΣGZ
+
∂
+
gf
A
= ∆ai
µ
µ
ϕ̄ ,
δ ϕ̄ai
δλaµi
δ λ̄cµi
(274)
onde
2 a
a
a
2 abc c i
∆ai
Aµ δbµ .
ϕ̄ = −∂ ϕi − ∂ν ηνi − ∂µ η̄µi − gγ f
(275)
4. Equação de movimento de ω̄ia
lin
δΣlin
δΣlin
GZ
GZ
abc b δΣGZ
Ξai
(Σ)
≡
+
∂
+
gf
A
+ gf abc
µ
ω̄
µ
a
δ ω̄ia
δ ρ̄cµi
δ C¯µi
δΣlin
GZ
i
− γ 2 δµb
δ λ̄bµi
= ∆ai
ω̄ ,
!
δΣlin
GZ
δΩcµ
(276)
onde
2 a
a
a
∆ai
ω̄ = ∂ ωi + ∂µ Cµi + ∂µ ρµi .
(277)
5. Equação de movimento de ϕai
Ξai
ϕ (Σ) ≡
lin
lin
δΣlin
δΣlin
GZ
GZ
abc b δΣGZ
abc b δΣGZ
−
∂
−
igf
ϕ̄
+
gf
ω̄
µ
i
i
a
δϕai
δ η̄µi
δbc
δc̄c
− gf
abc
lin
b δΣGZ
Aµ c
δηµi
−
lin
acm δΣGZ
gf
c
δCµi
δΣlin
GZ
= ∆ai
ϕ ,
m
δΩµ
(278)
onde
a
2
abc b i
2 a
a
Aµ δcµ .
∆ai
ϕ = −∂ ϕ̄i + ∂µ λµi + ∂µ λ̄µi − γ gf
(279)
6. Equação de movimento de ωia
Ξai
ω (Σ) ≡
lin
lin
δΣlin
δΣlin
GZ
GZ
abc b δΣGZ
abc b δΣGZ
−
∂
−
igf
ω̄
−
gf
A
= ∆ai
µ
i
µ
ω ,
c
δωia
δρaµi
δbc
δCµi
(280)
79
onde
2 a
a
¯a
∆ai
ω = −∂ ω̄i + ∂µ ρ̄µi + ∂µ Cµi .
(281)
7. Identidades de Ward integrada envolvendo campos auxiliares e ghosts de FaddevPopov
Z
i
I (Σ) ≡
J
i
4
dx
−
δΣlin
ω̄ia GZ
a
δc̄
lin
lin
δΣlin
GZ δΣGZ
c δΣGZ
+
−
∂
c
µ
c
c
δCµi
δΩcµ
δCµi
lin
lin
δΣlin
δΣlin
GZ δΣGZ
a δΣGZ
d x ca GZ
+
ϕ̄
−
i
δϕai
δc̄a
δLa δωia
lin
lin
δΣlin
GZ δΣGZ
2 i δΣGZ
+
γ
δ
=0.
µa
a
δΩaµ δηµi
δΩaµ
Z
(Σlin
GZ )
δΣlin
ca GZ
δωia
≡
−
=0.
(282)
4
(283)
8. Equação do Ghost [11, 84]
a
G a (Σlin
GZ ) = ∆c ,
(284)
onde
G
a
δ
δ
δ
δ
abc
b δ
+ gf
=
dx
−ic̄b c + ω̄ib c + ϕbi c + η̄µi
a
δc
δb
δ ϕ̄i
δωi
δρci
δ
δ
δ
b
b
+ C¯µi
+ ρ̄bµi c + ηµi
,
c
c
δλµi
δCµi
δ λ̄µi
Z
4
(285)
e ∆ac é uma quebra linear nos campos
∆ac
Z
=
i
d4 x gf abc (Ωbµ Acµ − Lb cc − γ 2 δcµ
ρ̄bµi ) .
(286)
9. Identidade linearmente quebrada
Nij
Σlin
GZ
=γ
2
Z
j
a
,
d4 x δ ab δµν δνb
ρ̄aµi + C¯µi
(287)
80
e
δ
δ
δ
δ
a
a
=
d x −ω̄ia a + ϕaj a − η̄µj
− C¯µi
a
δ ϕ̄j
δωi
δρµi
δλaµj
!
δ
δ
a
a
a
− +(ρ̄aµi + C¯µi
) a + (ηµj
+ η̄µj
) a
δCµi
δ λ̄µj
Z
Nij
4
(288)
10. Simetria global linearmente quebrada U (f )
Qij (Σlin
GZ )
Z
2 ab
j a
i
ηµi − δbν
λ̄aµj ) ,
d4 x (δbν
= γ δ δµν
(289)
onde
Qij =
R
4
dx
+ρaµi δρδa
µj
a δ
¯a δ
ϕai δϕδ a − ϕ̄aj δϕ̄δ a + ωia δωδ a − ω̄ia δω̄δ a + Cµi
a − Cµj δ C¯a
δCµj
j
i
j
j
µi
a δ
a δ
− ρ̄aµj δρ̄δa + ηµi
− λaµj δλδa + η̄µi
− λ̄aµj δλ̄δa ,
δη a
δ η̄ a
µi
µj
µi
µj
(290)
µi
11. Simetria Rı́diga linearmente quebrada
W
a
(Σlin
GZ )
2 abc
Z
=γ f
bc
d4 x λ̄bc
µµ + ηµµ ,
(291)
com
Z
δ
δ
δ
δ
δ
δ
+ Ωbµ c + cb c + Lb c + c̄b c + bb c
c
δAµ
δΩµ
δc
δL
δc̄
δb
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
b
b
b
+ ηµi
+ C¯µi
+ω̄ib c + ωib c + ϕ̄bi c + ϕbi c + η̄µi
c
c
c
δ ω̄i
δωi
δ ϕ̄i
δϕi
δ η̄µi
δηµi
δ C¯µi
!
δ
δ
δ
δ
δ
b
+ ρ̄bµi c + ρbµi c + λ̄bµi c + λbµi c .
+Cµi
c
δCµi
δ ρ̄µi
δρµi
δλµi
δ λ̄µi
a
W =
4
d xf
abc
Abµ
(292)
Estas equações são necessárias para o procedimento da renormalização algébrica.
4.5 Estabilidade e Contratermo Invariante
4.5.1 Construção do Contratermo Invariante
Para caracterizar o contratermo invariante mais geral que pode ser adicionado
livremente a todas as ordens em teoria de perturbações, nós perturbamos a ação clássica
81
Σ adicionando um termo arbitrário Σct (um polinômio integrado local nos campos) de
dimensão quatro e números quânticos iguais ao da ação original. Forçamos que a ação
quântica (Γ = Σ + Σct ), é um pequeno parâmetro de expansão) satisfaça as mesmas
identidades de Ward que a ação clássica Σ sem quebras clássicas. Este requerimento nos
providencia vı́nculos para os contratermos Σct :
BΣ Σct = 0 ,
δΣct
= 0,
δba
δΣct
= 0,
a
δηµi
δΣct
= 0,
δ λ̄aµi
δΣct
= 0,
a
δCµi
(293)
δΣct
= 0,
δ ρ̄aµi
∂Σct
= 0 , (294)
∂γ 2
δΣct
δΣct
+
∂
= 0,
µ
δc̄a
δΩaµ
ct
Ξai
ϕ̄ (Σ ) = 0 ,
ct
Ξai
ϕ Σ (Σ ) = 0 ,
G a (Σct ) = 0 ,
ct
Ξai
ω̄ Σ (Σ ) = 0 ,
Nij (Σct ) = 0 ,
(295)
ct
Ξai
ω (Σ ) = 0 ,
IΣi (Σct ) = 0 ,
Qij (Σct ) = 0 ,
(296)
JΣi (Σct ) = 0 ,
W a (Σct ) = 0 .
(297)
(298)
a
a
As equações (294) implicam que o contratermo não depende dos campos (ba , ηµi
, λ̄aµi , Cµi
, ρ̄aµi )
e do parâmetro γ 2 . A equação (295) diz que os campos c̄a e Ωaµ só aparecem no contratermo
na combinação (∂µ c̄a + Ωaµ ).
Temos também as equações (297) associadas às identidades de Ward (276), (278),
(282) e (283), que são
!
δ
δ
δ
δΣ
δ
δ
i
abc δΣ
Ξai
+ ∂µ ¯a + gf abc Abµ c + gf abc
− γ 2 δµb
−
gf
(299)
,
ω̄ Σ =
a
b
δ ω̄i
δ ρ̄µi
δΩcµ
δΩbµ δ λ̄cµi
δ Cµi
δ λ̄µi
δ
δ
δ
δ
δ
− ∂µ a − igf abc ϕ̄bi c + gf abc ω̄ib c − gf abc Abµ c
a
δϕi
δ η̄µi
δb
δc̄
δηµi
δΣ δ
δ
abc δΣ
−gf abc b
−
gf
,
c
δΩbµ δCµi
δCµi δΩcµ
Z
δ
δΣ δ
δΣ δ
4
a δ
a δ
a
=
dx c
− ω̄i a − (∂µ c ) a + a
−
,
a
δωia
δc̄
δCµi δCµi δΩaµ δΩaµ δCµi
Z
δ
δ
δ
δΣ δ
4
i
=
d x ca a + ϕ̄ai a + γ 2 δµa
− a a
a
δϕi
δc̄
δΩµ δL δωi
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
− a
.
− a a−
a
δωi δL
δΩaµ δηµi
δηµi δΩaµ
Ξai
ϕΣ =
IΣi
JΣi
(300)
(301)
(302)
O traço do operador Qij na eq.(298), define um novo númetro quântico: a carga Q,
(ver tabela (2)). Finalmente, relembrando da nilpotência de BΣ , eq.(269), da eq. (293)
82
Tabela 2 - Númetros quânticos de campos e fontes
Dimensão
Número de ghost
Carga Q
A
b
c
c̄
Ω
L
ϕ
ϕ̄
ω
ω̄
λ
λ̄
η
η̄
C
C¯
ρ
ρ̄
1
0
0
2
0
0
0
1
0
2
−1
0
3
−1
0
4
−2
0
1
0
1
1
0
−1
1
1
1
1
−1
−1
2
0
−1
2
0
−1
2
0
1
2
0
1
2
1
1
2
−1
−1
2
1
1
2
−1
−1
Fonte: O AUTOR, 2014.
podemos então escrever Σct olhando para a cohomologia de BΣ no espaço dos polinômios
locais integrados nos campos de dimensão 4, número de ghost zero e carga Q também
zero. De acordo com os resultados gerais da cohomologia de Yang-Mills [11], começamos
escrevendo o contratermo mais geral como
a0
Σ =
4
ct
Z
a
a
d4 x Fµν
Fµν
+ BΣ ∆(−1) .
(303)
O primeiro termo do lado direito da equação (303) representa a parte não trivial da cohomologia de BΣ , com a0 sendo um coeficiente arbitrário, enquanto ∆(−1) é um polinômio
local integrado nos campos e fontes com dimensão quatro, númetro de ghost −1 e carga
Q nula.
Usando as identidades de Ward (294) e (295), escrevemos o contratermo
Z
(−1)
∆
= d4 x a1 Aaµ (Ωaµ + ∂µ c̄a ) + a2 La ca + a3 gf abc Aa ϕb C¯c + a4 ϕa ∂µ C¯a
µ
i µi
i
µi
c
a
a a
+a5 gf abc Aaµ ω̄ib η̄µi
+ a6 ω̄ia ∂µ η̄µi
+ a7 C¯µi
η̄µi + a8 ω̄ia ∂ 2 ϕai + a9 gf abc ω̄ia Acµ ∂µ ϕbi
+a10 gf abc Acµ ∂µ ω̄ia ϕbi + β1abcd ϕai ϕ̄bi ϕcj ω̄jd + β2abcd ϕai ϕ̄bj ϕci ω̄jd + β3abcd ωia ω̄ib ϕcj ω̄jd
+β4abcd ωia ω̄jb ϕci ω̄jd ,
(304)
onde ak (k = 1, . . . , 10) são constantes arbitrárias, enquanto βlabcd (l = 1, 2, 3, 4) são
tensores invariantes de rank 4. Usando os vinculos que restaram de Σct , e usando as
relaçõs de comutação:
ai
BΣ , Ξai
ϕ̄ = −Ξω̄ Σ ,
BΣ , Ξai
= Ξai
ω
ϕΣ,
BΣ , IΣi = −JΣi ,
{BΣ , G a } = W a ,
(305)
chegamos a um termo ∆(−1) que depende de um único parâmetro livre a1 , onde temos
(−1)
∆
Z
= a1
d4 x
a
a
a a
∂µ c̄a + Ωaµ Aaµ + ω̄ia ∂µ Dµab ϕbi + η̄µi
Dµab ω̄ib − C¯µi
Dµab ϕbi + C¯µi
η̄µi . (306)
Ao final, a forma do contratermo invariante mais geral que obedece a todas as identidades
83
de Ward fica da forma
Z
Z
a0
ct
4
a
a
b
Σ =
d x Fµν Fµν + a1 d4 x Aaµ Dνab Fµν
+ ∂µ ca ∂µ c̄a + ∂µ ca Ωaµ + gf bac ∂µ ca ∂µ ω̄ic ϕbi
4
a a
a
m b
m b
ρµi
+ ρaµi ∂µ ω̄ia − C¯µi
ϕi − λaµi ∂µ ϕai + λaµi η̄µi
ω̄i + gf mab ∂µ ca C¯µi
−gf mab ∂µ ca η̄µi
−ϕ̄a ∂µ η̄ a + ω a ∂µ C¯b + ϕ̄a ∂ 2 ϕa − ω̄ a ∂ 2 ω a .
(307)
i
µi
i
µi
i
i
i
i
4.5.2 Renormalização e Fatores Z
Agora nos resta checar que o contratermo encontrado (307) pode ser reabsorvido
na ação de partida Σ fazendo uma redefinição de campos, fontes e parâmetros da teoria,
ou seja
Σ(φ, Φ) + Σct (φ, Φ) = Σ(φ0 , Φ0 ) + O(2 )
(308)
onde (φ, φ0 ) denota os campos renormalizados e os campos nús, respectivamente, enquanto
(Φ, Φ0 ) entende-se por fontes e parâmetros renormalizados e nús , i.e. Φ = (La , Ωaµ , g, γ 2 ).
As quantidades renormalizadas e nuas estão relacionadas entre si como
1/2
φ0 = Zφ φ ,
Φ0 = ZΦ Φ ,
(309)
onde Z são os fatores de renormalização. Podemos provar que a eq.(308), é realizada
escrevendo a ação nua em termos de dois parâmetros de renormalização independentes
1/2
Zg e ZA , ficando a ação escrita da forma:
Z
ZA
3/2
4
(∂µ Aaν )∂µ Aaν + Zg ZA gf abc (∂µ Aaν )Abµ Acν
Σ(φ0 , Φ0 ) = d x
2
1
1/4
−1/2
+ Zg2 ZA2 g 2 f abc f ade Abµ Acν Adµ Aeν + iZA ba ∂µ Aaµ + Zg−1 ZA c̄a ∂ 2 ca + gf abc (∂µ c̄a )Acµ cb
4
−1/2
−1/2
−Zg−1 ZA ϕ̄ai ∂ 2 ϕai − gf abc (∂µ ϕ̄ai )Acµ ϕbi + Zg−1 ZA ω̄ia ∂ 2 ωia
−1/2
+gf abc (∂µ ω̄ia )Acµ ωib + Zg−1 ZA
−1/2 a
λµi ∂µ ϕai
+Zg−1 ZA
gf amb (∂ν ω̄ia )∂ν cm ϕbi + g 2 f amb f mnp (∂ν ω̄ia )Anµ cp ϕbi
−1/2 a
η̄µi ∂µ ϕ̄ai
+ gf acb λaµi Acµ ϕbi − Zg−1 ZA
−1/2
a
−gf acb η̄µi
Acµ ϕ̄bi + Zg−1 ZA
c
c
p b
gf abc η̄µi
(∂µ ca )ω̄ib + g 2 f abc f amp η̄µi
Am
µ c ω̄i
−1/2
−1/2 a
−1/2
c
a
−Zg−1 ZA λaµi η̄µi
− Zg−1 ZA C¯µi
∂µ ωia − gf acb C¯µi
Acµ ωib − ZA Zg−1 ρaµi ∂µ ω̄ia
−1/2 ¯c c
−1/2
−gf acb ρa Ac ω̄ b + C¯c C c + Z −1 Z
C ρ + Z −1 Z
gf abc C¯c (∂µ ca )ϕb
µi
µ i
µi µi
c
p b
+g 2 f amp f abc C¯µi
Am
µ c ϕi
−
g
ρaµi ρ̄aµi
A
µi µi
g
i
γ 2 λ̄aµi δ ab δµν δνb
µi
A
a
λ̄aµi η̄µi
−
+
g
−1/2
a a
−ηµi
λµi − Zg−1 ZA Ωaµ ∂µ ca − gΩaµ f acb Acµ cc + f abc La cb cc .
2
+
i
a ab
i
γ 2 ηµi
δ δµν δνb
(310)
84
1/2
Os dois fatores de renormalização independentes Zg e ZA
coeficientes a0 e a1 da forma:
estão relacionados com os
Zg = 1 − a0 ,
2
a0
1/2
ZA = 1 + + a1 .
2
(311)
(312)
1/2
Todos os fatores de renormalização restantes podem ser escritos em termos de ZA e Zg
como
−1/2
Zb = ZA
1/2
Zω̄
1/2
1/2
= ZC¯ = Zg−1 ,
1/2
ZL = Zρ̄
−1/2
Zc = Zc̄ = Zϕ = Zϕ̄ = Zλ = Zη̄ = Zg−1 ZA
,
Zρ
1/2
= Zω
−1/2
= ZA
−1/2
,
ZΩ = Zg
Zη = Zλ̄ = Zg ZA ,
Zγ 2 = Zg
1/2
,
−1/2
1/2
1/2
= ZA ,
−1/4
ZA
,
ZC
−1/4
ZA
.
= Zg ,
(313)
1/2
Em particular, podemos mencionar duas relações em especial: Zc ZA Zg = 1 e
−1/2 −1/4
Zγ 2 = Zg ZA . A primeira expressa o teorema de não-renormalização do vértice.
A segunda nos diz que o fator Zγ 2 não é um parâmetro independente da teoria. Este
resultado é consequência da identidade de Ward (273). Isto termina a prova da renormalizabilidade multiplicativa da ação de Gribov-Zwanziger nesta formulação linearmente
quebrada.
4.6 Generalização para a RGZ
Tanto a formulação quanto os resultados das seções anteriores podem ser generalizadas para a teoria de Gribov-Zwanziger com a adição dos condensados hAaµ Aaµ i e
hϕ̄ai ϕai − ω̄ia ωia i , chamada RGZ. A presença destes condensados pode ser codificada na
ação inicial modificando-se a ação de GZ como
SRGZ = SGZ + µ
2
Z
d
4
x (ϕ̄ai ϕai
−
ω̄ia ωia )
m2
+
2
Z
d4 x Aaµ Aaµ ,
(314)
onde o parâmetro de massa µ, m são dinâmicos relacionados com os condensados já mencionados [86]. A ação RGZ dá origem a um propagador do glúon que permanece suprimido
na região infravermelha. Contudo, ao contrário do propagador de GZ, ele atinge um valor
não nulo na origem.
Aaµ (k)Abν (−k) RGZ
k 2 + µ2
=δ 4
k + (m2 + µ2 )k 2 + m2 µ2 + γ 4
ab
kµ kν
δµν − 2
,
k
A expressão (315) está de acordo com recentes simulações na rede [58, 80].
(315)
85
Para começar a estudar a ação RGZ quebrada linearmente primeiro vamos analisar
os dois termos, (ϕ̄ai ϕai − ω̄ia ωia ) e Aaµ Aaµ , separadamente. Primeiro o termo (ϕ̄ai ϕai − ω̄ia ωia ),
é um termo trivial de BRST, ou seja,
Z
d
4
x (ϕ̄ai ϕai
−
ω̄ia ωia )
Z
=s
d4 x (ϕ̄ai ωia ) .
(316)
Este termo não afeta a quebra de BRST. Além disso, podemos checar todas as identidades
de Ward eqs.(266), (270), (271), (272), (273), (274), (276), (278), (280), (284), (287),
(353), (291) que permanecem válidas a menos de algum termo linearmente quebrado.
Considere, por exemplo, a equação de movimento de ϕ̄ai , eq.(274). Com a inclusão de of
(ϕ̄ai ϕai − ω̄ia ωia ), o termo quebrado ∆ai
ϕ̄ , eq.(275), gera a modificação do termo linear , i.e.
ai
2 a
∆ai
ϕ̄ → ∆ϕ̄ + µ ϕi .
(317)
Então, a indentidade de Ward (274) continua válida. Este argumento pode ser aplicado
a todas as outras identidades. De todo conjunto de identidades mencionadas nas seçoes
anteriores somente as equações (282) e (283) não são mantidas devido a introdução do
termo (ϕ̄ai ϕai − ω̄ia ωia ). Contudo, estas identidades não estragam a renormalizabilidade do
modelo
Já o segundo termo, Aaµ Aaµ , na expressão (314) requer atenção, pois não é BRST
invariante.
Z
Z
4 1 a a
s d x Aµ Aµ = − d4 x Aaµ ∂µ ca .
(318)
2
Contudo, vemos que é uma quebra suave, e podemos repetir a abordagem introduzindo
o quarteto BRST de campos auxiliares (Ẽ, E, σ, β), onde (Ẽ, E) são um par de campos
anticomutantes, e (σ, β) são campos comutantes,
sẼ = σ ,
sσ = 0 ,
sβ = E ,
sE = 0 .
(319)
Então, o termo m2
Z
R
d4 x Aaµ Aaµ pode ser escrito como Sm
1 a a
ẼA A − Ẽβ
2 µ µ
2
Z
d4 x β(x)
+m
Sm = s d x
Z
1 a a
4
a
a
2
=
dx
σA A + ẼAµ ∂µ c + ẼE − β(σ − m ) .
2 µ µ
4
(320)
86
Para checar rapidamente, obtemos a equação de movimento de β:
δSm
= −(σ − m2 ) = 0 .
δβ
e ficamos com
2
Z
m a a
a
a
4
A A + Ẽ(Aµ ∂µ c + E) .
Sm = d x
2 µ µ
(321)
(322)
E também fazemos um shift linear em E que possui jacobiano unitário,
E → E − Aaµ ∂µ ca ,
e obtemos então
2
Z
Z
m a a
4
Sm → d x
Aµ Aµ + d4 x ẼE .
2
(323)
(324)
R
O último termo, d4 x ẼE, desacopla da ação, e pode ser integrado sem problemas, então
R
obtemos o termo m2 d4 x Aaµ Aaµ . A quebra suave em eq.(318) é transformada em quebra
linear e fica da forma
Z
2
sSm = m
d4 x E(x) .
(325)
A quebra linear (325) pode ser incorporada nas identidades de Ward (266), (270), (271),
(272), (273), (274), (276), (278), (280), (284), (287), (353), (291), e a construção algébrica
do contratermo repetida. Nos limitamos então a dizer que o resultado final é o mesmo
da ação de GZ (314): renormalizável possuindo os teoremas de não renormalização do
1/2
−1/2 −1/4
vértice Zg Zc ZA = 1, e a relação entre o fator de Gribov Zγ 2 = Zg ZA .
4.7 Conclusões do capı́tulo
Neste capı́tulo vimos como transformar uma quebra suave da simetria de BRST
em uma quebra linear, oferendo-nos um novo modo de analisar a renormalizabilidade
das ações de GZ e RGZ, obtendo os mesmos resultados da literatura. Faz-se isso com
o uso de campos auxiliares em simetria BRST de quartetos. A nı́vel de renormalizabilidade, podemos fazer o uso da cohomologia do operador linearizado de BRST, pois este é
nilpotente [11]. Ao final, vimos que tanto a nı́vel clássico como quântico, a versão quebrada linearmente e a ação de GZ são equivalentes, pois ao final conseguimos encontrar
os mesmos fatores de renormalização
No próximo capı́tulo veremos, utilizando basicamente o mesmo processo, como po-
87
demos transformar a quebra suave de BRST em uma ação invariante de BRST, ou seja,
BRST exata, também usando quartetos. Esa versão nos abre o precedente de uma construção do espectro fisico utilizando as ferramentas de Kugo-Ojima, que é a cohomologia
da carga de BRST.
88
5 QUEBRA ESPONTÂNEA DE BRST
Neste capı́tulo iremos propor outra formulação da teoria de Gribov-Zwanziger no
calibre de Landau. Utilizando campos auxiliares como no capı́tulo anterior, escreveremos
uma ação invariante frente a simetria de BRST, quebrada devido a presença do horizonte
de Gribov. Esta quebra espontânea de simetria pode ser descrita de uma maneira puramente algébrica através da introdução de um par de campos auxiliares que dão origem
a um conjunto de identidades de Ward linearmente quebrados. O setor de Goldstone se
desacopla. A invariância de BRST nos abre uma margem de uso da cohomologia de BRST
dentro da região de Gribov. Ao final, chegamos em uma ação renormalizável a todas as
ordens fazendo uso da renormalização algébrica.
5.1 Ação com simetria exata de BRST
No capı́tulo anterior, fomos capazes de escrever a ação de Gribov-Zwanziger e sua
versão refinada, de tal forma que, ao final, a simetria BRST fosse quebrada linearmente.
Diferente da quebra suave, a quebra linear não compromete o esquema da renormalização
algébrica, pois, a construção do contratermo invariante mais geral é feita com o operador
linearizado βΣ . Este modelo foi um bom exercı́cio, onde fizemos o uso de campos auxiliares que possuı́am uma simetria BRST em forma de quarteto, que como já mencionamos
anteriormente. Fizemos uso deste tipo de simetria pois, campos que possuem essa caracterı́sitca, não fazem parte do termo não trivial da cohomologia de BRST. Utilizando
basicamente a mesma ideia, porém com um objetivo um tanto diferente, utilizaremos
campos auxiliares em forma de quarteto de BRST, mas agora na intenção de se obter
uma ação que possui uma simetria exata de BRST da ação. Obter uma teoria invariante
de BRST é um grande avanço acerca do espectro fı́sico de YM. Como dito no capı́tulo 2,
o operador de BRST se mostra uma ferramenta útil na construção do subespaço fı́sico da
teoria de Yang-Mills. A teoria de Gribov-Zwanziger não é BRST invariante, e este fato
não nos permite a construção de observáveis. Levando em consideração a cohomologia do
operador s e, obviamente, da carga de BRST, deverı́amos ser capazes de mostrar quais são
os operadores que criam estados de norma positiva. Não faremos o mesmo procedimento
feito no capı́tulo 2 para essa formulação, mas há um modelo de brinquedo muito útil do
ponto de vista didático que mostra como deve ser feito o procedimento [76].
89
SGZ
Nosso ponto de partida é a ação de Gribov-Zwanziger
Z
Z
1
4
a
a
ab bc
=
d xFµν Fµν + s d4 x ca ∂µ Aaµ − ω ac
µ ∂ν Dν ϕµ
4
Z
bc
2
4
+
d4 x γ 2 g f abc Aaµ (ϕbc
,
µ − ϕµ ) − d(N − 1)γ
(326)
que possui a simetria de BRST (248). Relembrando, o último termo é o responsável pela
quebra suave. A proposta de uma ação que equivale a GZ, que possua uma simetria exata
de BRST é
Z
Z
1
ab bc
4
a
a
SGZ =
d xFµν Fµν + s d4 x ca ∂µ Aaµ − ω ac
µ ∂ν Dν ϕµ
4
ab
Z
ab
ab
ab
ab
b
b
b
b
2 bab
2 b ab
ak kb
ak kb
akl b
lp p kb
4
+
d x −G µν ∂ Gµν + F µν ∂ Fµν + F µν Dµ ων − G µν Dµ ϕν + gf F µν Dµ c ϕν
Z
ab
ab
ab
ab
ab
akl ab
lp p kb
+
d4 x −G µν ∂ 2 Gµν
+ F µν ∂ 2 Fµν
− G µν Dµak ϕ̄kb
−
gf
G
D
c
ω̄
ν
µν µ
ν
Z
ab
ab
ab b ab
ab
ab b
bµν
+
d4 x Hµν
(G µν − δµν δ ab γ 2 ) + H
(327)
(G µν − δµν δ ab γ 2 ) − G µν G
µν ,
onde introduzimos os quartetos de BRST (G, G) (comutantes) e (F, F) (anticomutantes),
e seus companheiros com chapéu, que possuem a seguinte simetria
ab
ab
ab
b ab = G
b ab , sG
b ab = 0,
sF µν = G µν , sG µν = 0, sF
µν
µν
µν
ab
ab
ab
ab
ab
sF = G , sG = 0, sFb = Gb , sGbab = 0
µν
µν
µν
µν
µν
µν
(328)
b ab = 0, sHab = 0. Vemos claramente
b ab e Hab , que possuem a simetria sH
e os singletos H
µν
µν
µν
µν
que preservamos a nilpotência de BRST. Uma parte do setor dos campos auxiliares pode
ser expressa como uma variação de BRST que é
Z
Z
1
4
a
a
ab bc
SGZ =
d xFµν Fµν + s d4 x ca ∂µ Aaµ − ω ac
∂
D
ϕ
ν
µ
ν
µ
4
Z
ab
ab 2 ab
ab
ab
b
ak kb
ak kb
4
2 bab
+ s d x −F µν ∂ Gµν − F µν ∂ Gµν − G µν Dµ ω̄ν − F µν Dµ ϕν
Z
ab
ab
ab b ab
4
ab
ab 2
ab b
ab 2
b
+
d x Hµν (G µν − δµν δ γ ) + Hµν (G µν − δµν δ γ ) − G µν G µν ,
(329)
0
e, aplicando a simetria BRST na ação podemos ver que sSGZ
= 0. Olhando para o termo
não expresso como forma exata, podemos notar o papel principal dos campos H e H, pois
90
b ab = G ab = γ 2 δ ab δ , temos
usando suas equações de movimento ficamos com G
µν
µν
µν
ab
ab 2 ab
b ab ak kb
b ab 2 bab
d x −G µν Dµak ϕkb
ν − G µν Dµ ϕν − G µν ∂ Gµν − G µν ∂ Gµν
ab
ab b ab
ab
ab 2
−G µν G µν + Hµν G µν − δµν δ γ
Z
b
H−,H−EOM
2
4
bc
.
−→
d4 −γ 2 gf abc Aaµ ϕbc
µ + ϕµ − 4(N − 1)γ
Z
4
(330)
Os conjunto de dubletos, juntamente com os singletos, são suficientes para reescrever o
termo de quebra, transformando-o num termo invariante de BRST. Contudo ainda resta
o termo trivial adicionado. Fazendo uma mudança de variáveis na integral funcional cujo
jacobiano é unitário,
1
ab
ab
Fbµν
→ Fbµν
− 2 Dµak ωνkb + gf ak` Dµ`p cp ϕkb
,
ν
∂
1
ab
ab
Fµν
→ Fµν
− 2 Dµak ωνkb + gf ak` Dµ`p cp ϕkb
,
ν
∂
tk
ab
ωνtb → ωνtb + (∂D)−1
gf ak` G µν Dµ`p cp ,
(331)
nós temos uma equivalência entre as ações, pois os termos desacoplam.
5.2 Quebra espontânea de BRST
A fim de perceber que a nova formulação de a ação Gribov-Zwanziger exibe uma
quebra espontânea da simetria de BRST, reescrevemos a ação fazendo um uso explı́cito
das equações de movimento dos singletos H e H:
b ab = G ab = γ 2 δ ab δ
G
µν
µν
µν
(332)
ficando com a ação
Z
Z
1
0
4
a
a
am mc
SGZ =
d x Fµν Fµν + d4 x s ca ∂µ Aaµ + ω ac
µ ∂ν Dν ϕµ
4
Z
ab
b ab ∂ 2 Fbab
ab
4
+ d x F µν ∂ 2 Fµν
− γ 2 s(Dµak ω ka
)
+
F
µ
µν
µν
b ab s(Dak ϕkb ) − γ 4 d(N 2 − 1) .
−γ 2 Dµak ϕka
+
F
µ
µν
µ
ν
(333)
91
Esta ação é invariante frente a simetria de BRST nilpotente
sAaµ = −Dµab cb = −(∂µ δ ab + gf acb Acµ )cb , sca =
g acb b c
f c c , sca = iba , sba = 0,
2
ab
ab
ab
ab
sω ab
= ϕab
µ
µ , sϕµ = 0 , sϕµ = ωµ , sωµ = 0 ,
ab
ab
b
2 ab
sF µν = γ 2 δ ab δµν ,
sF
µν = γ δ δµν ,
ab
ab
ab
= Fbµν
,
sFbµν
= 0,
sGbµν
ab
ab
,
= Fµν
sGµν
ab
= 0,
sFµν
(334)
onde podemos ver claramente sS = 0 e s2 = 0. Um olhar mais atento ao conjunto
de simetrias acima revela que o operador BRST sofre quebra espontânea de simetria.
b
Podemos ver isto na transformação dos campos F e F
ab
ab
b i = hsF i = γ 2 δ ab δ
hsF
µν
µν
µν
(335)
Algumas observações em ordem pertinentes:
• ao contrário da formulação de [77], onde termos com quebra explı́cita de Lorentz
são introduzidos nas transformações BRST, esta formulação de quebra espontânea
não precisa de termos xµ dependentes. Esta caracterı́stica relevante nos permite
estudar a quebra espontânea dentro do que conhecemos de uma teoria quântica de
campos local. Tanto a ação quanto as simetrias são puramente locais.
• a quebra da simetria é puramente pela existência de uma restrição da integral funcional. Vemos claramente a dependência da massa de Gribov no valor médio das simetrias. Este é um efeito puramente não perturbativo com um significado geométrico
claro.
b nos permitem
• vale a pena ressaltar que a introdução dos campos auxiliares (H, H)
tratar a quebra espontânea da simetria de maneira puramente algébrica, como segue
das equações de movimento destes campos:
δΣ
a
a 2
= G µi − δµi
γ ,
a
δHµi
δΣ
b a − δa γ 2 ,
=G
µi
µi
ba
δH
(336)
µi
De fato, de acordo com o esquema de renormalização algébrica, estas equações adquirem um significado de identidade de Ward linearmente quebrada a nı́vel quântico,
provendo um poderoso e elegante tratamento das propriedades da quebra espontânea
a nı́vel quântico.
• nós salientamos que a quebra de simetria é generalizada facilmente para o caso de
RGZ. Também uma quebra suave no setor fermiônico se encaixa dentro deste novo
esquema.
92
5.2.1 Modo de Goldstone
Em se tratando de quebra espontânea de simetria, o teorema de Goldstone nos diz:
Seja uma teoria invariante sob a ação de um grupo de transformações G. Se houver
uma quebra espontânea da simetria, de tal forma que o vácuo seja invariante somente sob
a ação de um subgrupo G0 , então aparecerão partı́culas de spin zero sem massa que tomam
valores na álgebra do coset G/G0 , sendo o número de bósons de Goldstone que surgem é
igual ao número de simetrias quebradas, ou melhor dizendo
dim(G/G0 ) = dim G − dim G0
(337)
Então, um grau de liberdade emerge na teoria, este sendo criado do vácuo sem custo
energético usando a corrente de BRST. Escrevendo a parte relevante da corrente temos
a
b a ∂ Fba
a
+G
jµBRST = ... + G νi ∂µ Fνi
νi µ νi
(338)
onde uma combinação linear de F + Fb nos permitem identificar os graus de liberdade dos
bósons de Goldstone provenientes da quebra de BRST. Contudo, fazendo o cálculo das
identidades de Ward a nı́vel quântico, que nos permitem observar relações entre funções
de Green, imediatamente temos que
δ2Γ
δ2Γ
ab
= −δµν,ij
∂ 2 δ(x − y)
=
a
a
b
b
b
δF µi,x Fνj,y
δ F µi,x Fbνj,y
(339)
nos dizendo que o modo de Goldstone é uma partı́cula livre, e como tal, pode ser desacoplada de qualquer definição consistente de um possı́vel subespaço fı́sico.
5.3 Restrições na ação efetiva
5.3.1 Identidades de Ward
Tendo em vista a renormalização algébrica, precisamos listar as identidades de
Ward que são necessárias para a construção algébrica do contratermo invariante. De antemão, introduzimos a notação de multiı́ndice, onde i = (µ, b).28 A existência de simetrias
ab
a
a
não lineares nos leva a introdução de duas fontes λab
i , ρi , Kµ , L que se transformam da
28
ab
a
a
Exemplos: ηµν
= ηµi
e χab
ν = ηı
93
Tabela 3 - Números Quânticos para os campos
A
1
0
0
Dimensão
Número de Ghost
Carga Q
b
2
0
0
c̄
2
−1
0
c
0
1
0
φ̄
1
0
−1
φ
1
0
1
ω̄
1
−1
−1
G
2
0
1
ω
1
1
1
G
0
0
−1
F
2
−1
1
F
0
1
−1
b
G
2
0
−1
Gb
0
0
1
b
F
2
−1
−1
b
F
0
1
1
H
2
0
−1
b
H
2
0
1
Fonte: O AUTOR, 2014.
Tabela 4 - Números Quânticos para as fontes
K
L ρ
Dimensão
3
4 1
Número de Ghost −1 −2 0
Carga Q
0
0 1
λ
1
−1
1
Fonte: O AUTOR, 2014.
seguinte maneira
ab
sλab
i = ρi ,
sρab
i = 0 ,
sKµa = sLa = 0 ,
(340)
onde as fontes Kµa , La são introduzidas acopladas aos operadores compostos Dµab cb e
g acb b c
f c c , que correspondem as transformações não lineares dos campos Aaµ e ca , eqs.(248),
2
b a Dbc cc e F
b a Dbc cc .
e as fontes λab , ρab acopladas aos operadores compostos G
i
i
µi
µ
µi
µ
Após isto, podemos olhar enfim para ação clássica completa, invariante de BRST
Z
1 a a
4
F F + iba ∂µ Aaµ + c̄a ∂µ Dµab cb + φ̄ai ∂µ Dµab φbi − ω̄ia ∂µ Dµab ωib
Σ =
dx
4 µν µν
a
a
a
a
a
a
−gf abc (∂µ ω̄ia )(Dµbd cd )φbi − G µi ∂ 2 Gµi
+ F µi ∂ 2 Fµi
− G µi Dµab φ̄bi + gf abc G µi (Dµbd cd )ω̄ic
b a ∂ 2 Fba + F
b a Dab ω b − G
b a Dab φb − gf abc F
b a (Dbd cd )φc
b a ∂ 2 Gba + F
−G
µi
µi
µi
µi
µi
µ i
µi
µ i
µi
µ
i
a
a
g
a
a
b
b − δa γ 2 − G G
a
a 2
a
abc a b c
ab b
a
bµi
+Hµi
G µi − δµi
G
L cc
γ +H
µi
µi
µi µi − Kµ Dµ c + f
2
o
b a Dbc cc ,
b a Dbc cc − λab G
+ρab
F
(341)
i
µi
µ
i
µi
µ
Esta ação nos fornece as seguintes identidades de Ward:
• Identidade de Slavnov-Taylor
Z
S(Σ) ≡
δΣ δΣ
δΣ δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
+ a a + iba a + φ̄ai a + ωia a
a
a
δKµ δAµ δL δc
δc̄
δ ω̄i
δφi
a δΣ
δΣ
δΣ
a δΣ
b
ab
a δΣ
a
+G µi a + Fµi a + G µi a + Fbµi
+ ρi
= 0.
ab
a
b
b
δGµi
δλ
δF µi
δ
G
i
δF
µi
4
dx
µi
(342)
94
• Identidade de Ward para o parâmetro de Gribov γ 2
∂Σ
=−
∂γ 2
Z
aa
b aa .
+H
d4 x Hµµ
µµ
(343)
Esta identidade em especial é responsável pela não renormalização do parâmetro de
Gribov γ 2 . Sendo esta simetria quebrada linearmente, não afeta correções quânticas
• Condição de calibre e equação do anti-ghost
δΣ
δΣ
+ ∂µ
= 0,
a
δc̄
δKµa
δΣ
= ∂µ Aaµ ,
δba
(344)
• equações de movimento dos campos auxiliares
δΣ
a
= −∂ 2 G µi ,
a
δGµi
δΣ
ba ,
= −∂ 2 G
µi
δ Gba
δΣ
a
= −∂ 2 F µi ,
a
δFµi
δΣ
2 a
a = ∂ Fµi ,
δF µi
(345)
µi
δΣ
ba ,
= −∂ 2 F
µi
δ Fba
(346)
µi
• Equação de movimento dos campos Multiplicadores de Lagrange
δΣ
b a − δa γ 2 ,
=G
µi
µi
ba
δH
δΣ
a
a 2
= G µi − δµi
γ ,
a
δHµi
(347)
µi
• Equações de movimento dos campos localizantes
a
Φi (Σ)
δΣ
δΣ
ab δΣ
ab δΣ
≡
+ ∂µ a − Dµ
− ∂µ λi
b
b
δKµb
δHµi
δ φ̄ai
δG
µi
= −∂
a
Ωi (Σ)
2
a
∂µ Gbµi
a
b a + ∂µ G + γ 2 gf abc Ac δ b ,
+ ∂µ H
µi
µ µi
µi
δΣ
δΣ
≡
+ ∂µ a − gf abc
a
b
δ ω̄i
δF
µi
=∂
Φai (Σ) ≡
2
a
∂µ Fbµi
δΣ
b 2
+ δµi
γ
b
δHµi
!
(348)
δΣ
ab δΣ
+ ∂µ ρi
δKµc
δKµb
,
(349)
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
+ ∂µ a + igf abc φ̄bi c − gf abc ω̄ib c + gf abc bc − Dµab
a
bb
δφi
δb
δc̄
δρi
δG µi
δH
µi
a
b − γ 2 gf abc δ c Ab .
a
a
+ ∂µ Hµi
− ∂µ G
= −∂ 2 ∂µ Gµi
µi
µi µ
(350)
95
• Identidades de Ward Integradas
Z
a δΣ
a δΣ
ab δΣ
dx c
+ ω̄i a − δ
= 0,
δωia
δc̄
δρab
i
(351)
δΣ
δΣ δΣ
δΣ
a δΣ
a δΣ
2 a
+ φ̄i a + a a +
= 0.
d x −c
+ γ δµi
ba
δφai
δc̄
δL δωi
δKµa
δH
µi
(352)
4
Ui (Σ) =
Z
4
Vi (Σ) =
• Identidade de Ward U (4(N 2 − 1))
Z
Qij (Σ) ≡
(
d4 x
φai
δΣ
δΣ
δΣ
δΣ
a δΣ
a δΣ
− φ̄aj a + ωia a − ω̄ja a + G µi a − Gµj
a
a
δφj
δωj
δ ω̄i
δGµi
δ φ̄i
δG µj
a
δΣ
b a δΣ + Fba δΣ − Ha δΣ
a δΣ
b
+
G
−
F
µi
µi
µj
µj
a
a
a
ba
ba
δHµi
δ Gbµj
δ Fbµj
δG
δF
µi
µi
)
δΣ
δΣ
δΣ
a
ab
ab
bµi
+H
+ λi
+ ρi
ba
δρab
δλab
δH
j
j
µj
Z
a
a
a ba
= γ 2 d4 x δµi
Hµj
− δµj
Hµi .
b
−G
µj
• Identidades de Ward integradas exatas:
(1)
Tij (Σ)
≡
(2)
Tij (Σ) ≡
(3)
Tij (Σ) ≡
(4)
Tij (Σ) ≡
(5)
Tij (Σ) ≡
(6)
Tij (Σ) ≡
(7)
Tij (Σ) ≡
(8)
a δΣ
a δΣ
d x F µi a − G µj a = 0 ,
δGµj
δFµi
!
Z
a δΣ
a δΣ
b
4
d x F µi a − G µj
= 0,
a
δGµj
δ Fbµi
!
Z
a δΣ
a δΣ
b
b
d4 x F
−G
= 0,
µi
µj
a
a
δ Gbµj
δ Fbµi
!
Z
a δΣ
δΣ
a
b
d4 x F µi
−G
= 0,
µj
a
a
b
δFµi
δ Gµj
!
Z
δΣ
δΣ
a
a
+ G µj a
= 0,
d4 x Fµi
a
δGµj
δF µi
!
Z
a δΣ
a δΣ
d4 x F µi a − Fµj
= 0,
a
δFµi
δF µj
Z
a δΣ
(δik δjl − δjk δil ) d4 x G µk a = 0 ,
δGµl
!
Z
a δΣ
δΣ
a
b
d4 x G
− G µj
= 0,
µi
a
a
δGµj
δ Gbµi
Z
Tij (Σ) ≡
4
(353)
96
Z
(9)
Tij (Σ)
b a δΣ = 0 ,
d4 x G
µk
a
δ Gbµl
!
δΣ
a δΣ
a
F µi a − Fµj
= 0.
a
δFµi
δF µj
≡ (δik δjl − δjk δil )
Z
(10)
Tij (Σ)
d4 x
≡
(354)
• Identidade de Ward SL(2, R)
Z
D(Σ) ≡
4
dx
δΣ
δΣ δΣ
c a −i a a
δc̄
δb δL
a
= 0.
(355)
• Simetria Rı́gida SU (N ) linearmente quebrada
a
W (Σ) = −γ
Z
2
b c
b c
bµi
d4 x gf abc (Hµi
δµi + H
δµi ) ,
(356)
com
W a ≡ gf abc
Z
(
d4 x
δ
δ
δ
δ
δ
+ ρdb
+ λbd
+ λdb
y b c + ρbd
i
i
i
i
cd
dc
cd
δy
δρi
δρi
δλi
δλdc
i
y∈O
X
)
(357)
onde O é
O = Aaµ , ba , c̄a , ca , φai , φ̄ai , ωia , ω̄ia , . . . ,
(358)
i.e., O é um conjunto de todos os campos e fontes que tem um ı́ndice de cor, onde
não levamos em conta os ı́ndices escondidos na notação multiı́ndice i = (a, µ).
• Equação de movimento da fonte λab
i
δΣ
−
Λab
i (Σ) ≡
δλab
i
δΣ
a
+ γ 2 δµi
a
b
δH
µi
!
δΣ
= 0.
δKµb
(359)
• Carga Qf
(6)
Nesta identidade, combinamos os operadores Qij e Tij , que aparecem em (353) e
(354), respectivamente, e construı́mos os seguintes operadores
(6)
QTij = Qij + Tij .
(360)
O operador QTij comuta com o operador de BRST s
[s, QTij ] = 0 .
(361)
97
Então, o traço de QTij define uma nova carga
QTii ≡ Qf :=
Z
(
d4 x
φai
δ
δ
δ
δ
δ
δ
a
a
− φ̄ai a + ωia a − ω̄ia a + G µi a − Gµi
a
a
δφi
δωi
δ ω̄i
δGµi
δ φ̄i
δG µi
a
δ
b a δ + Fba δ − Ha δ
ba δ − F
a + Gµi
µi
µi
µi
a
a
ba
b
ba
δHµi
δ
G
δ Fbµi
δG
δ
F
µi
µi
µi
)
δ
δ
δ
δ
δ
a
a
ba
+H
+ λab
+ F µi a − Fµi
,
+ ρab
µi
i
i
a
ab
ab
a
b
δFµi
δρi
δλi
δF µi
δ Hµi
b
−G
µi
(362)
onde f ≡ 4(N 2 − 1). A carga Qf nos fornece uma identidade muito útil quando age
em Σ, que é da forma
Qf (Σ) = γ
2
Z
4
dx
a
a
δµi
Hµi
−
a ba
δµi
Hµi
.
(363)
Esta nos providencia o uso da notação multiı́ndice i = (a, µ).
Todas estas identidades são compatı́veis com o princı́pio de ação quântica, mesmo em
algumas tendo termos de quebra linear.
5.4 Prova da renormalizabilidade a todas as ordens
De posse de todas as identidades de Ward, eqs.(342)-(363), podemos então mostrar
a renormalizabilidade a todas as ordens do modelo. Agora, faremos o mesmo procedimento
feito nos capı́tulos anteriores para encontrar o contratermo mais geral compatı́vel com
todas as identidades de Ward.
5.4.1 Construção do contratermo invariante
Como já mencionado, nós perturbamos a ação clássica Γ + Γcount e impomos que
esta também obedeça as identidades de Ward eqs.(342)-(363). Esta imposição nos dá as
seguintes identidades para o contratermo Σcount :
βΣ (Σcount ) = 0 ,
(364)
98
δ
δ
+ ∂µ
a
δc̄
δKµa
Σcount = 0 ,
(365)
δ
δ
δ
∂
δ
Σcount = 0,
Σcount = 0,
Σcount = 0,
Σcount = 0,
Σcount = 0,
a
a
a
2
a
δb
∂γ
δGµi
δFµi
δ Gbµi
δ
δ
δ
δ
Σcount = 0,
Σcount = 0,
Σ
= 0,
(366)
a Σcount = 0,
a
a
b a count
δHµi
δF µi
δ Fbµi
δH
µi
a
Φi (Σcount ) = 0 ,
VΣi (Σcount ) = 0 ,
a,i
ΩΣ (Σcount ) = 0 ,
DΣ (Σcount ) = 0 ,
Qij (Σcount ) = 0 ,
Φai (Σcount ) = 0 ,
W a (Σcount ) = 0 ,
(n)
Tij (Σcount ) = 0 ,
Qf (Σcount ) = 0 .
Ui (Σcount ) = 0 ,
Λab,i
Σ (Σcount ) = 0 ,
n = 1, . . . , 10 ,
(367)
(368)
Nesta notação,operadores com subscrito “Σ” representam os operadores linearizados correspondentes a identidades de Ward que não são lineares em Γ [11]. Por exemplo, βΣ é o
operador linearizado correspondente a identidade de Slavnov-Taylor (342),
Z
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
δΣ δ
δ
δ
δ
4
+
+ a a + a a + iba a + φ̄ai a + ωia a
βΣ =
dx
a
a
a
a
δKµ δAµ δAµ δKµ δL δc
δc δL
δc̄
δ ω̄i
δφi
δ
a
b a δ + Fba δ + ρab δ
a δ
+G µi a + Fµi
+
G
.
(369)
µi
µi
i
a
ba
ba
δGµi
δλab
δF µi
δ
G
i
δF
µi
µi
E, assim como o operador é BRST, o operador linearizado βΣ é nilpotente, βΣ βΣ = 0. Os
outros operadores linearizados são dados por:
!
δ
δ
δΣ
δ
δ
a,i
b 2
abc
abc δΣ
ab δ
+ ∂µ a − gf
+ δµi γ
+ gf
+ ∂µ ρi
,
ΩΣ =
c
b
b
δ ω̄ia
δKµc
δKµb δHµi
δKµb
δHµi
δF
µi
Z
δ
δ
δΣ δ
δΣ δ
VΣi =
d4 x −ca a + φ̄ai a + a a + a a
δφi
δc̄
δL δωi
δωi δL
)
δΣ
δ
δΣ δ
a
+
+ γ 2 δµi
+
,
a
a
b
ba
δKµ δKµa δ H
δH
µi
µi
Z
δΣ δ
δΣ δ
4
a δ
DΣ =
d x c a −i a a −i a a ,
δc̄
δb δL
δL δb
!
δ
δΣ
δ
δΣ δ
a
Λab,i
=
−
+ γ 2 δµi
−
.
(370)
Σ
ab
b
ba
ba
δKµ δKµb δ H
δλi
δH
µi
µi
99
Vamos então construir o contratermo mais geral fazendo o uso das identidades e o que
elas significam. As identidades (366) implicam que o contratermo Σcount é independente
b F, F,
b F, H, H,
b e do parâmetro de Gribov γ 2 . A equação (365)
dos campos b, G, G,
significa que Σcount depende de c̄ e K sempre aparecendo na combinação (∂µ c̄a + Kµa ).
Além disso, da eq.(368) sabemos que Σcount possui carga Qf nula. E por fim, de posse
das propriedades da cohomologia da teoria de Yang-Mills [11], a condição (364) nos leva
a construir o contratermo na forma
a0 SYM + βΣ ∆(−1) ,
Z
1 a a
Fµν ,
=
d4 x Fµν
4
Σcount =
SYM
(371)
onde a0 é um parâmetro de dimensão zero e ∆(−1) é um polinômio nos campos e fontes
com dimensão quatro e número de ghost −1. De posse de tudo isso e usando as tabelas
1 e 2, podemos escrever o termo ∆(−1) como
Z
n
b a ∂ φa + a gf abc F
b a Ac φb
(−1)
∆
= d4 x a1 (∂µ c̄a + Kµa )Aaµ + a2 La ca + a3 F
4
µi µ i
µi µ i
b
+a5 ω̄ia ∂ 2 φai + a6 gf abc (∂µ ω̄ia )Acµ φbi + a7 gf abc ω̄ia Acµ ∂µ φbi + a8 gf abc ω̄ia Acµ G µi
a
b a G a + tabcd ω̄ a φb φ̄c φd + tabcd ω̄ a φb φ̄c φd + tabcd ω̄ a φb ω̄ c ω d
+a ω̄ a ∂ G + a F
9
µ
10
3
i i j j
2
i j i j
1
i i j j
µi µi
c
c
c
b
a b c d
d
abcd ab
d
abcd ab b
abcd ab b
ω̄i φj ω̄i ωj + α1 λi F µi ∂µ c + α2 λi (∂µ F µi ) c + α3 λi G µi Adµ
bc d
abcd ab
2 c d
abcd ab c 2 d
+α4abcd ρab
λi (∂µ ω̄ic ) ∂µ cd + α6abcd λab
λi ω̄i ∂ c
i F µi Aµ + α5
i (∂ ω̄i )c + α7
i
µi
+tabcd
4
c d
abcd ab
abcd ab c
abcd ab
+α8abcd (∂ 2 λab
λi (∂µ φ̄ci )Adµ + α10
λi φ̄i ∂µ Adµ + α11
ρi (∂µ ω̄ic )Adµ
i )ω̄i c + α9
bc d e
abcd ab c
abcde ab
c
d
e
+α12
ρi ω̄i ∂µ Adµ + β1abcde λab
λi (∂µ ω̄ic )cd Aeµ + β3abcde λab
i F µi c Aµ + β2
i ω̄i (∂µ c )Aµ
c d
e
abcde ab c d e
c d e
abcdef ab c d e f
+β4abcde λab
λi φ̄i Aµ Aµ + β6abcde ρab
λi ω̄i c Aµ Aµ
i ω̄i c (∂µ Aµ ) + β5
i ω̄i Aµ Aµ + τ
o
abcdef g ab cd e f g
cd e f g
+M1abcdef g λab
λi λi φ̄j φ̄j c .
(372)
i λj φ̄i φ̄j c + M2
nesta expressão , ai , i = 1, ..., 10, são coeficientes de dimensão zero, enquanto {t}, {α},
{β}, {τ }, {M } são tensores invariantes do grupo de calibre SU (N ).
Aplicando as identidades e usando as seguintes relações de comutação e anti-comutação
n
o
δ
δ
δ
δ
δ
δ
SΣ , δF a = δG a ,
SΣ , δFba = δGbδa ,
SΣ , δba = −i δc̄a + ∂µ δK a ,
µ
n
o
δ
SΣ , δF a = 0 ,
µi
a
ai
SΣ , Φi = −ΩΣ ,
µi
h
SΣ , δGδa
µi
i
µi
= 0,
n
o
ai
SΣ , ΩΣ = 0 ,
µi
SΣ , δGbδa
= 0,
µi
[SΣ , Φai ] = −gf abc Λbc,i
Σ ,
µi
100
Z
[SΣ , Ui ] =
d4 x VΣi + δ ab Λab,i
,
Σ
o
n
(7)
(1)
SΣ , Tij = Tij ,
n
o
SΣ , Λab,i
= 0,
Σ
SΣ , VΣi = 0 ,
n
o
(2)
(8)
SΣ , Tij = Tij ,
o
n
(7)
(4)
SΣ , Tij = −Tji ,
[SΣ , DΣ ] = 0 ,
h
n
o
(3)
(9)
SΣ , Tij = Tij ,
(10)
SΣ , Tij
[SΣ , W a ] = 0 ,
i
= 0,
SΣ , QTij = 0 ,
(373)
chegamos a uma conclusão, após muitos cálculos que o único coeficiente que permanece é
a1 . Então obtemos uma expressão para ∆(−1) , eq. (372), bem mais amigável que é dada
por
Z
b a )Dab φb
(−1)
∆
= a1 d4 x (∂µ c̄a + Kµa )Aaµ + (∂µ ω̄ia + F
µi
µ i
a
b a Dbc cc .
b a G a − λab F
+ G µi Dµab ω̄ib + F
µi µi
µi
µ
i
(374)
e ficamos com o contratermo mais geral
Z
1 a a
Σcount = a0 d4 x Fµν
Fµν
4
Z
b a )Dab φb + G a Dab ω̄ b
+ a1 SΣ d4 x (∂µ c̄a + Kµa )Aaµ + (∂µ ω̄ia + F
µi
µ i
µi
µ i
b a G a − λab F
b a Dbc cc . .
+ F
µi µi
µi
µ
i
(375)
5.4.2 Fatores de Renormalização
Tendo já feito a construção algébrica do contratermo local invariante Σcount , eq.(375),
compatı́vel com todas as identidades de Ward (342)-(363), resta saber como reabsorver
Σcount na ação de partida Σ, mesmo procedimento feito nos capı́tulos anteriores Usando
a expressão (375), depois da ação do operador linearizado βΓ podemos chegar aos fatores
{Z} que ficam da seguinte forma
a
0
1/2
ZA = 1 + η
+ a1 + O(η 2 ) ,
2
a0
Zg = 1 − η
+ O(η 2 ) ,
(376)
2
101
1/2
Zc1/2 = Zc̄
1/2
= Zφ
1/2
= Zg−1 ,
1/2
= Zb
Zω̄
ZG
1/2
ZG
1/2
1/2
=
Zb =
F
1/2
ZF
1/2
ZH
1/2
= Zφ̄
−1/4
= Zg−1/2 ZA
−1/2
Zω1/2 = ZA
,
−1/4
= Zγ 2 = Zg−1/2 ZA
G
1/2
ZGb =
Zg−1 ,
,
,
1/4
Zg1/2 ZA ,
1/2
ZFb = Zg ,
1/2
= ZF = 1 ,
1/4
1/2
= ZHb = Zg1/2 ZA ,
1/4
ZK = Zg1/2 ZA ,
1/4
Zρ = Zg3/2 ZA ,
1/2
ZL = Zg ZA ,
−1/2
Zλ = Zg−1 ZA
.
(377)
E isto finaliza a prova da renormalizabilidade desta formulação da teoria de GribovZwanziger.
Podemos ver que o fator Zγ 2 , do parâmetro de Gribov γ 2 não é uma quantidade
independente, sendo expresso em termos dos fatores Z da constante de acoplamento g e
−1/2 −1/4
do campo de calibre Aaµ , a saber, Zγ 2 = Zg ZA . Isto é visto no modelo convencional
e expressa a propriedade de não-renormalização de γ 2 , vista nesta tese e nos trabalhos
[45, 66, 67, 78, 79], e esta é uma simples consequencia da identidade (343).
5.5 Discussão
Neste capı́tulo escrevemos uma nova formulação da ação da teoria de GribovZwanziger [76], que nos permite obter uma simetria exata do operador de BRST, de uma
ação que restringe o espaço funcional ao primeiro horizonte de Gribov. Esta simetria é
espontaneamente quebrada, por um termo de quebra que é proporcional ao parâmetro de
Gribov γ 2 . Além disto, a nilpotência do operador s é mantida, que é um requisito crucial
para a construção, tanto do contratermo quântico mais geral, como do espaço fı́sico de
Fock, utilizando a cohomologia do operador, que nos permite construir operadores locais
invariantes de calibre sem cor. Ao final, foi provada ser renormalizável a todas as ordens
com apenas 2 parâmetros independentes. E, além disto, foi recuperado o teorema de
não-renormalização do parâmetro de Gribov, uma importante propriedade que checa a
equivalência entre as duas formulações a nı́vel quântico.
Certamente, muitos aspectos do papel da simetria BRST na presença do horizonte
Gribov não resolvidos muito embora, acreditamos que a formulação de Gribov-Zwanziger,
nesta ideia da simetria de BRST espontaneamente quebrada possa ser útil a fim de enfrentar problemas abertos como a identificação de operadores compostos renormalizáveis,
cuja função de correlação possui as propriedades necessárias de analiticidade e unitarie-
102
dade para fazer contato com o espectro fı́sico da teoria de Yang-Mills. Esta formulação
nos permite utilizar as ferramentas de cohomologia para extrair objetos observáveis do espectro fı́sico. Como último comentário, esta formulação pode ser generalizada facilmente
para a teoria de Gribov-Zwanziger aprimorada [76].
103
CONCLUSÃO
Este trabalho é essencialmente um estudo de como a simetria BRST tem ajudado
na compreensão do confinamento do setor gluônico da QCD. Para isso, iniciamos nosso
trabalho sobre as simetrias na Fı́sica de um modo geral, e como este conceito é utilizado
para o entendimento das teorias modernas. Evidente que, para falar de confinamento e
BRST precisarı́amos falar do tijolo fundamental, que é a teoria de Yang-Mills, ação esta
que é a base do modelo padrão das partı́culas elementares. Esta teoria tem como base
a simetria de calibre, que é essencial para o entendimento clássico da propagação dos
campos, onde se faz necessária a fixação de um calibre.
O nosso trabalho começa justamente onde a fixação de calibre falha. No geral, a
fixação de calibre serviria para eliminar graus de liberdades espúrios da teoria de YangMills, porém isto não é verdade. Uma simetria residual surge na história, onde cópias
dos campos surgem naturalmente. Gribov escreveu que para eliminar estes novos campos
indesejáveis, seria necessária uma restrição no espaço funcional dos campos, região esta
que seria livre de cópias dos campos de calibre. Esta implementação foi feita de forma
local e renormalizável por Zwanziger que utilizou campos auxiliares nesta formulação.
Esta chamada ação de Gribov-Zwanziger nos dá uma teoria confinante olhando para o
comportamento do propagador a nı́vel árvore, onde vemos a decomposição deste em duas
partı́culas de massas complexas chamadas i-particles, sendo essas massas, funções de um
parâmetro de massa decorrente das imposições feitas por Gribov, chamado massa de
Gribov γ. Além disso o propagador possui uma violação da positividade, sendo outro
critério de confinamento. Se faz necessário, devido a resultados da QCD na rede, de se
aprimorar esta teoria, adicionando operadores compostos que mudem o comportamento
das funções de correlação do campo de calibre e dos campos de ghosts.
Tanto a teoria de Gribov-Zwanziger, quanto a sua versão refinada, possuem uma
quebra da simetria de BRST, sendo esta quebra de dimensão menor do que a dimensão da
ação e proporcional ao parâmetro γ, chamada de quebra suave. Esta quebra suave, junto
com as i-particles foram o estopim para a construção do modelo de réplica. Este modelo
consiste em duas ações de Yang-Mills distintas, já com calibre fixado, acopladas com um
termo que quebra suavemente a simetria de BRST, nos providenciando um propagador da
mesma forma que na ação de Gribov-Zwanziger. Esta formulação nos fornece um método
sistemático de cálculo das funções espectrais de operadores compostos que correspondem
a estados de glueballs com números quânticos J P C , além de ser renormalizável e nos
fornecer as mesmas caracterı́sticas da ação de Gribov-Zwanziger, como o teorema de não
renormalização do parâmetro de Gribov, e o teorema do ghost. Mas claro, há problemas
inerentes a esta formulação, como o que significaria este modelo a baixas energias, onde
as cópias de Gribov devem ser levadas em consideração [47]. O modelo de réplica pode ser
104
visto como a aplicação da quebre suave de BRST na construção de uma teoria confinante.
Deixando as fontes externas de lado, vemos que a ação de Gribov-Zwanziger pode
ser escrita utilizando campos auxiliares, em uma ação que possui uma quebra linear de
BRST, sendo de fato uma forma mais consistente do que utilizar fontes adicionadas a mão
indo a um limite fı́sico, ou algum tipo de imersão da teoria em uma maior. Não se tinha
noção se este limite fı́sico, a alguma ordem nos contratermos, seria quebrado, não tendo
um mapeamento exato. Ao final desta formulação quebrada linearmente, fomos capazes
de provar que esta ação era renormalizável a todas as ordens utilizando as identidades
de Ward. A este nı́vel, poderı́amos utilizar o conceito de cohomologia para escrever o
contratermo mais geral, pois o operador linearizado correspondente é nilpotente. De
fato, com esta formulação linearmente quebrada ainda não somos capazes de construir
o espectro fı́sico da ação de GZ. Esta construção depende da nipotência do operador de
BRST.
Isto motivou a uma formulação onde a simetria de BRST não era quebrada, ou
seja, uma ação invariante de BRST. Após este exercı́cio, foi possı́vel, com o mesmo tipo de
abordagem feita na teoria linearmente quebrada, escrever uma ação de Gribov-Zwanziger
invariante de BRST, utilizando campos auxiliares em quarteto de BRST. É natural, após
análise da ação e das suas simetrias, o surgimento de uma quebra espontânea desta simetria de BRST, caracterizada com o valor médio de campos auxiliares introduzidos. Esta
quebra espontânea da simetria é bem comportada, no sentido que os bósons de Goldstone que surgem se desacoplam do espectro, e que identidades de Ward associadas as
esta quebra provendo um tratamento adequado para esta quebra a nı́vel quântico. Esta
ação também se mostra renormalizável a todas as ordens nos providenciando os mesmos
teoremas de não renormalização encontrados na teoria convencional.
Esta abordagem nos permite um entendimento profundo do que poderia ser o
fenômeno do confinamento, associado a uma quebra espontânea da simetria de BRST.
Mas esta formulação depende estritamente do calibre escolhido. Deverı́amos ser capazes
de escrever, independentemente do calibre escolhido, como esta quebra de simetria ocorre.
Isto ainda é algo desconhecido na literatura.
Como próximo passo deste entendimento, o imediato a ser feito é estudar o espectro
fı́sico desta teoria espontaneamente quebrada, a partir da cohomologia da carga de BRST,
assim como foi feito nesta tese para o caso de YM. Precisa-se entender o espaço de Fock
desta teoria, e por fim, a construção dos operadores compostos que são responsáveis pelas
excitações fı́sicas. Outro passo importante seria reescrever a ação de Gribov-Zwanziger
no calibre abeliano máximo nos mesmos moldes feitos. Outro passo importante seria o
estudo de Glueballs mais pesadas para testar o modelo de réplicas.
Por fim, a simetria de BRST se mostra uma ferramenta poderosa no caminho do
entendimento do confinamento dos glúons.
105
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112
APÊNDICE A - Simetrias Clássicas e Quânticas - De Noether a Ward
Como tentativa de entender um pouco o papel da simetria na teoria de campos,
vamos falar rapidamente sobre o teorema de Noether e suas correntes conservadas, que
consiste, simplesmente em uma constante de movimento.
Se a ação de um sistema possui uma simetria contı́nua, ou seja, se o sistema
é invariante por uma transformação parametrizada por um parâmetro contı́nuo, então
existe uma corrente conservada associada a essa simetria.
Vamos provar essa afirmação. Considere um funcional de ação que tem a forma
geral:
Z
dd xL(Φ, ∂Φ).
(378)
S=
U
Onde {Φ} é uma coleção de campos. Fazendo a seguinte transformação nas quantidades
x → x0 (U → U 0 )
Φ(x) → Φ0 (x0 )[Φ(x)]
(379)
e sabendo que os novos campos são funcionais dos campos antigos
Φ0 (x0 ) = F[Φ(x)]
obtemos uma ação
Z
0
S =
dd xL(Φ0 (x0 ), ∂ 0 Φ0 (x0 ))
0
0 ZU
∂xν
d ∂x =
d x
L F[Φ(x)], 0µ ∂ν F[Φ(x)]
∂x ∂x
U
(380)
(381)
onde supomos que a forma funcional da densidade Lagrangiana não é modificada e ganhamos o preço de um Jacobiano de transformação. Consideremos as transformações
infinitesimais parametrizadas na ação, da seguinte forma
δxµ
δωa
δF
Φ0 (x0 ) = Φ(x) + ωa
(x)
δωa
x0µ = xµ + ωa
(382)
onde {ωa } é um conjunto de parâmetros infinitesimais. Mantemos somente a primeira
ordem. Podemos definir o gerador Ga de uma transformação de simetria pela expressão
δω Φ(x) ≡ Φ0 (x) − Φ(x) ≡ −iωa Ga Φ(x)
(383)
113
Obtemos em primeira ordem no parâmetro infinitesimal
δF
(x)
δωa
δxµ
δF 0
= Φ(x) − ωa
∂µ Φ(x0 ) + ωa
(x ).
δωa
δωa
Φ0 (x0 ) = Φ(x) + ωa
(384)
A expressão para o gerador é então
iGa =
δxµ
δF
∂µ Φ −
.
δωa
δωa
(385)
Simples exemplos podem ser calculados, como o gerador das translações é simplesmente
o momento Pµ = −i∂µ , ou o gerador das transformações de Lorentz como a soma do
momento angular e o spin. Ao final dos cálculos, a equação (381), fica na forma 29
Z
0
δS = S − S = − dd x jaµ ∂µ ωa
(387)
onde temos a corrente
ν
∂L δF
∂L
δx
µ
µ
−
ja =
∂ν − δν L
∂(∂µ Φ)
δωa ∂(∂µ Φ) δωa
(388)
chamada de corrente de Noether, associada a uma transformação infinitesimal. Integrando
por partes obtemos
Z
δS = dd x(∂µ jaµ )ωa
(389)
E então podemos enunciar o teorema de Noether: se uma configuração de campo obedece
as equações clássicas do movimento, a ação é estacionária sobre qualquer variação dos
campos. Em outras palavras, para uma variação nula da ação δS para qualquer parâmetro
ω a lei de conservação é dita
∂µ jaµ = 0.
(390)
Isto implica na existência de uma corrente que é classicamente conservada. A carga
conservada associada a corrente, chamada carga de Noether é
Z
Qa = dd−1 x ja0
(391)
29
Usando para o Jacobiano a aproximação
0
∂x µ
∂x ≈ 1 + ∂µ (δx )
(386)
114
onde ja0 é a componente temporal da corrente e a medida de integração é puramente
espacial.
A nı́vel quântico, funções de correlação são o objeto de estudo, e simetrias contı́nuas
levam a vı́nculos entre diferentes funções de correlação. Novamente, é preciso da transformação infinitesimal dos campos, em termo dos geradores
Φ0 (x0 ) = Φ(x) − −iωa Ga Φ(x).
(392)
Denotando X a coleção de campos Φ(x1 )...Φ(xn ), δω sua variação e Z o gerador funcional
escrevemos
Z
Z
1
0
µ
hXi =
DΦ (X + δX) exp − S[Φ] + dx∂µ ja ωa (x) .
(393)
Z
Assumimos que a medida de integração funcional é invariante sobre transformações locais.
Expandindo a primeira ordem em ωa obtemos
Z
hδXi = dx∂µ hjµa (x)Xiωa (x)
(394)
A variação δX é explicitada na forma
δX = −i
n
X
(Φ(x1 )...Ga φ(xi )...Φ(xn )) ωa (x)
i=1
Z
= −i
dxωa (x)δ(x − xi )
n
X
(Φ(x1 )...Ga φ(xi )...Φ(xn )) ωa (x)
(395)
i=1
e, comparando com a equação (394), podemos escrever o que se chama de Identidade de
Ward para a corrente j
n
X
∂ n
hj
u
Φ(x
)...Φ(x
)i
=
−i
hΦ(x1 )...Ga φ(xi )...Φ(xn )i
a
1
n
∂xν
i=1
(396)
onde também podemos definir uma carga conservada da mesma forma que classicamente,
mas com um papel de gerador da simetria de transformação no espaço de Hilbert.
115
APÊNDICE B - Quebra de Simetria em FÍsica
O segredo da natureza é a simetria, mas grande parte da textura do mundo é
devida a mecanismos de quebra de simetria. Entendemos por quebra espontanea de
simetria a situação na qual o estado fundamental de um sistema não é invariante por uma
transformação que é uma simetria da Hamiltoniana do sistema. A simetria associada
com tal transformação é então dita quebrada. Para melhor entender esse fenomeno é
conveniente desenvolver uma linguagem que nos permita discutir as propriedades do vacuo
quantico da teoria. Podemos chamar de vácuo clássico um estado de um sistema clássico
quando este está no mı́nimo do seu potencial, dado pela parte não derivativa de sua ação
clássica. Queremos uma definição análoga para o caso quântico. Primeiramente vamos
definir a chamada ação quantica. Considere o funcional gerador das funções de correlação
de um sistema qualquer:
Z
Z[J] = exp{iW [J]} =
Z
D
DΦ exp i S[Φ] + d xJ(x)Φ(x)
(397)
onde, graficamente, W [J] representa a soma de diagramas conexos. Para definir a ação
quantica, imaginamos que ao realizar a integração funcional para obter a forma explı́cita
de W [J], esta pode ser colocada exatamente na mesma forma do integrando, ou seja,
escrevemos algo da forma
Z
D
exp{iW [J]} = exp i Γ[ΦJ ] + d xJ(x)ΦJ (x)
(398)
onde ΦJ é uma função de J a ser determinada. Dessa forma, vemos que Γ[ΦJ ] deveria
representar a ação clássica de um sistema efetivo que leva em conta todos os efeitos
quanticos do sistema original, por isso é chamada de ação quantica ou também de ação
efetiva. Note que de fato, se os efeitos quanticos puderem ser ignorados a integração
funcional seria definida pelo seu extremo e poderı́amos identificar Γ[ΦJ ] com o valor
da ação clássica no seu extremo. Graficamente, a representação gráfica de Γ[ΦJ ] está
associada aos diagramas 1PI (one-particle-irreducible).
Para definir ΦJ , fazemos uma transformada de Legendre
Z
W [J] = Γ[ΦJ ] +
dD xJ(x)ΦJ
(399)
Derivando funcionalmente em relação a J obtemos
δW [J]
=
δJ(x)
Z
δΓ[ΦJ ] δΦJ (y)
d y
+
δΦJ (y) δJ(x)
D
Z
dD y
δΦJ (y)
J(y) + ΦJ (x)
δJ(x)
(400)
116
Portanto, se a ação quantica satisfaz a equação (que corresponde a extremização do argumento da exponencial em eq.(398), ou seja a equação de movimento do sistema efetivo)
δΓ[ΦJ ]
= −J(x)
δΦJ (x)
(401)
temos
δW [J]
= ΦJ (x)
δJ(x)
(402)
Mas sabemos que esta última é a equação que define o valor esperado no vácuo do campo
Φ na presença da corrente externa J
δΓ[ΦJ ]
= hΦiJ
δΦJ (x)
(403)
O vácuo quântico do sistema é definido por esse valor esperado para J = 0. Portanto,
estabelecemos uma forma bastante intuitiva de determinar o vácuo do sistema, basta
resolver a equação
δΓ[Φ0 ]
=0
δΦ0 (x)
(404)
onde Φ0 = hΦiJ=0 . Se a eq.(404) possuir uma solução nao-nula para Φ0 dizemos que
existe um vacuo nao-trivial, em geral associado a quebra de alguma simetria. Note que a
eq.(404) é o que temos em mente quando pensamos no calculo classico do mı́nimo de um
potencial. De fato, podemos escrever a forma geral em expansão derivativa
Z
Γ[Φ0 ] =
dD x(−U (Φ0 ) + Z(Φ0 )(∂Φ0 )2 + ...)
(405)
onde U (Φ0 ), parte não derivativa da ação, representa a energia potencial quântica do
sistema. Considerando um vácuo invariante por simetria de translação, o que é razoável,
temos que a energia sera minimizada quando U (Φ0 ) for minimizado.
A quebra de simetria é um fenômeno do infravermelho (IR), associado ao comportamento em longas distâncias. Vamos supor um conjunto de campos escalares, que se
transformem como
φm (x) → φ0m =
X
Lmn φn (x)
(406)
n
onde Lmn são os elementos de uma matriz constante qualquer. Suponha que a teoria não
possua nenhuma anomalia, ou seja, é uma simetria da ação clássica e da ação quântica,
117
então temos
Γ[φ] = Γ[Lφ]
(407)
a manifestação da simetria. O estado fundamental desta é definido pelo valor do campo
φ no mı́nimo da energia potencial quântica associada a Γ. Ou seja, o campo φ será um
valor constante φ̄ que minimiza a energia potencial U (φ̄) = −Γ(φ̄), mas
Γ[φ̄] = Γ[Lφ̄]
(408)
e portanto, se φ̄ 6= Lφ̄ teremos múltiplos vácuos degenerados, e ao escolher um destes
para quantizar a teoria, obviamente a simetria é quebrada.
Exemplos não faltam de teorias com quebra espontânea de simetria. Dentre dezenas de exemplos podemos destacar:
• A quebra de simetria quiral que possui por consequência a geração de 99% das
massas dos núcleons.
• O ferromagneto, que é um sistema canônico que quebra a simetria contı́nua de spins
a temperatura de Curie e campos magnéticos externos nulos.
• A geração da massas dos campos de calibre no modelo padrão através do mecanismo
de Higgs-Brout-Englert, se basea na quebra espontânea da simetria.
Com isto terminamos esta breve revisão. As simetrias e suas quebras são parte
fundamental da fisica moderna, provendo propriedades importantes da natureza. Em
algumas partes do texto admitimos que o leitor esteja habituado com conceitos da teoria
clássica e quântica de campos. Indicamos como referencia os textos [4, 15, 16]

da quebra suave à quebra espontânea da simetria

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