09314415_Folha Verdes _matemática II _ 1ºAno_3ª

Matemática II
Capítulo 38
Capítulo 37
Seno e cosseno de um arco
trigonométrico
Medidas de arcos trigonométricos
1.
C
1.
12
11
10
cos
2
α
9
3
8
4
7
2.
A=
Seja α a medida do ângulo, procurado então temos:
H = 11 e M = 45
60 · H − 11 · M
60 · 11 − 11 · 45
660 − 495
α =
=
=
=
2
2
2
2.
3.
165
= 82,5º = 82º30’.
2
=
J
4.
5
120º
5
60º
O 2,5 M
E
Dividindo 3290° por 360°, temos:
3290º 360º
(50º) 9
Portanto, cos3290° = cos50°
A
P
A
sen5x + cos 10x sen5 ⋅ 30° + cos 10 ⋅ 30°
=
=
sen9x
sen9 ⋅ 30°
1 1
+
1
sen150° + coss 300° 2 2
=
= −1
=
=
sen270°
−1
−1
5
6
B
26π
89π
+ cos
= cos 1560° + cos 5340° = cos 120° +
3
3
1 1
+ cos 300° = − + = 0
2 2
1
E
E=
C
=
1 + ( −1)
2
2
=
−2
= −1
2
Capítulo 39
Trigonometria dos números reais
C
1.
α —————— 0,14 (14%)
C
m+1
m+1
m+1
2
= cos 3015° ⇒
= cos 135° ⇒
=−
m−2
m−2
m−2
2
α = 0,14 · 360º = 50,4° = 50°24'
⇒ 2m + 2 = − 2m + 2 2 ⇒ 2m +
Basta fazer a proporção:
360º —————— 1 (100%)
4.
1 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ ( −1)
Portanto, E2 – E + 1 = (–1)2 – (–1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
Veja:
OM 2, 5
=
⇒ MÔJ = 60°
OJ
5
logo, o caminho percorrido por João é igual a
1
10π
· (2π · 5) =
m.
3
3
3.
cos 0° ⋅ cos 180° + sen90° ⋅ sen270°
=
sen2 90° + cos2 180°
(
⇒m 2 +
C
O percurso cumprido é um arco de circunferência de
aproximadamente πrad. Calculando o comprimento desse
arco, temos:
=
2 2−2 2−
⋅
2+ 2 2−
2
2
=
4 2−4−4+2 2 6 2−8
=
= 3 2 −4
4−2
2
3015° 360°
d = π · R

R = 3670 ⇒ d = ( 3,14 ) · (6370 ) = 20.001, 8 km ≅ 20.000 km

π ≅ 3,14
v = 800 km/h

⇒t=
)
2 =2 2 −2⇒m=
2m = 2 2 − 2 ⇒
(135°) 8
Portanto, m é igual a 3 2 − 4.
20.000
= 25 h
800
ensino médio
1
1º ano
2.
B
(tgx – 1) · (4sen2x – 3) = 0
π
5π
π
I. tgx – 1 = 0 ⇒ tgx = 1 ⇒ x =
ou x = =
4
4
4
II. 4sen2x – 3 = 0 ⇒ sen2x =
ou senx = −
Tangente de um arco/
outras relações trigonométricas
3
3
⇒ senx =
4
2
3
2
1.
π
5π
=
3
3
ou x = 2π −
D
Sendo 270° < x < y < 360°, podemos observar que x e y
pertencem ao 4° quadrante e que x é menor que y. Então:
2.
sen
B
1
1
cos x − sen x
−
cossec x − sec x sen x cos x
sen x ⋅ cos x
=
=
=
cos x − sen x
cos x
cotgx − 1
−1
sen x
sen x
sen x
1
=
=
sen x ⋅ cos x cos x
tg
360º
cos
Portanto, a expressão é igual a
y
x
270º
D
1
+ cos θ
cos sec θ + cosθ senθ
=
=
1
sec θ + senθ
+ senθ
cos θ
1 + senθ ⋅ cosθ
cos θ
senθ
=
= cot gθ
=
1 + senθ ⋅ cos θ
senθ
cos θ
2π
π
π
π
2π
ou x = π − =
ou x = π − =
3
3
3
3
3
x=
3.
Capítulo 40
3.
B
4tg2x = 9 ⇒ tg2x =
3
9
⇒ tgx = ±
4
2
3
π 
Como x ∈  , π  , então tgx = − .
2
2 
Como no 4º quadrante o valor do cosseno é positivo,
se y > x, temos que cos y > cos x e, por ser o seno negativo
sen y > sen x.
4.
Analisando as alternativas, podemos concluir que cos y > 0
e sen x < 0, teremos cos y – sen x > 0.
4.
1
4
2 4 2
=
⋅
=
= 2 2.
cos x
2
2 2
B
2 · cos x 2 cos x 2 1
2 1 1
= · =
= ⋅
= ⋅
3 · senx 3 senx 3 tg x 3 2 3
D
senx ⋅ tgx ⋅ sec x = cos x ⋅ cot gx ⋅ cos sec x
senx
1
cos x
1
senx ⋅
⋅
= cos x ⋅
⋅
cos x cos x
senx senx
sen2x cos2 x
=
⇒ sen4 x − cos 4 x ⇒ sen4 x − cos 4 xx = 0 ⇒
cos2 x sen2x
(sen x + cos x ) ⋅ (sen x − cos x ) = 0
sen x − cos x = 0 ⇒ sen x − (1 − sen x ) = 0 ⇒ 2sen x − 1
2
2
2
2
2
2
= 0 ⇒ sen2x =
I. senx =
2
2
2
1
2
2
∴ senx =
ou senx = −
2
2
2
π
π 3π
2
⇒ x = ou x = π − =
2
4
4
4
II. senx = −
π 7π
2
π 5π
⇒x=π+ =
ou 2π − =
2
4
4
4
4
Portanto, a soma das raízes é igual a
π 3π 5π 7π 16π
+
+
+
=
= 4π
4
4
4
4
4
ensino médio
2
1º ano