cap5-iqp

1
F602 Eletromagnetismo II
Turma C
2o. Semestre - 2010
Márcio José Menon
Capítulo V POTENCIAIS E CAMPOS
• ÍNDICE
1. Potenciais Escalar Elétrico e Vetorial Magnético
2. Invariância de Calibre
3. Potenciais Retardados
4. Potenciais e Campos de Liénard-Wiechert
1. Potenciais Escalar Elétrico e Vetorial Magnético
1.1 Introdução e Abordagem Geral
1.2 Campos e Potenciais Associados
1.2.1 Caso Estático - Revisão
1.2.2 Eletrodinâmica
1.2.3 Resumo
1.3 Equações Gerais Obedecidas pelos Potenciais
1.3.1 Caso Estático - Revisão
1.3.2 Eletrodinâmica
2. Invariância de Calibre
2.1 Relação Não Recíproca entre Campo e Potencial
2.2 Trasformações de Calibre
2.2.1 Caso Estático
2.2.2 Eletrodinâmica
2.3 Campo de Calibre e o Divergente do Potencial Magnético
2.3.1 Abordagem Geral
2.3.2 Exemplos
2.4 Equações Calibradas Obedecidas pelos Potenciais
2.4.1 Caso Estático: Calibre de Coulomb (Equações de Poisson)
2.4.2 Eletrodinâmica: Calibre de Lorentz (Equações de D’Alembert)
a) Equação de Onda Não Homogênea
b) Operador D’Alembertiano
2.4.3 A Questão das Soluções para os Potenciais
a) Caso Estático - Revisão
b) Eletrodinâmica - Questões Fundamentais
2
3. Potenciais Retardados
3.1 Potencial Escalar Retardado
3.1.1 Argumentos Físicos - Tempo Retardado
a) Conceito e Definição
b) Solução da Equação de D’Alembert
3.1.2 Potencial de Fonte Localizada
a) Carga Puntual
b) Distribuição Contínua
3.1.3 Comentários sobre o Método de Green e Fourier
3.2 Potencial Vetorial Retardado
3.3 Campos Retardados: Equações de Jefimenko
3.3.1 Comentários sobre a Dedução
3.3.2 Comentários sobre as Interpretações Físicas
4. Potenciais e Campos de Liénard-Wiechert
4.1 Introdução e Abordagem geral
4.2 Efeito Geométrico de um Corpo em Movimento
4.3 Potencial de Carga Puntual em Movimento
4.3.1 Potencial Escalar
4.3.2 Potencial Vetorial
4.3.3 Exemplos
4.4 Campos de Carga Puntual em Movimento
4.4.1 Formulação
4.4.2 Força de Lorentz
4.4.3 Exemplos
Referências do Capítulo
• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd edition (Person Education, New
Jersey, 1999), capítulo 10.
• John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy Fundamentos da Teoria Eletromagnética (Campus, Rio de Janeiro, 1982), Sec. 16.6 e capítulo 21.
• W.K.H. Panofsky, M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, (Addison Wesley,
Reading, 1962), capítulos 14, 19 e 20.
• J. Vanderline, Classical Electromagnetic Theory, (John Wiley, New York, 1993), capítulo 10.
3
• QUESTÕES PROPOSTAS
Os exemplos e problemas indicados, referem-se à referência principal (Griffiths, 3a. edição).
1. Potenciais Escalar Elétrico e Vetorial Magnético
~ e B,
~ no caso de fontes
Questão 1. A partir das equações de Maxwell para os campos E
de carga e corrente no vácuo, obtenha as equações que relacionam esses campos com os
~ Justifique a resolução em detalhe,
potenciais escalar elétrico V e vetorial magnético A.
considerando:
a) caso estático;
b) eletrodinâmica.
Questão 2. Com base na questão anterior, obtenha as equações diferenciais gerais obedeci~ considerando:
das pelos potenciais V e A,
a) caso estático;
b) eletrodinâmica.
2. Invariância de Calibre
~ B)
~ ou os potenciais (V ,
Questão 3. a) Quais são as grandezas fundamentais, os campos (E,
~
A)? Explique.
b) Discuta a reciprocidade na determinação de campos e potenciais. A especificação dos
potenciais determina completamente os campos? A recíproca é verdadeira? Explique através
de alguns exemplos analíticos.
Questão 4. Considere transformações gerais dos potenciais nas formas:
V → V ′ = V + f,
~ →A
~′ = A
~ + F~ ,
A
onde f é um campo escalar,
onde F~ é um campo vetorial.
Com base nas relações entre campos e potenciais (questão 1), determine as expressões de f e
~ eB
~ através das transformações acima. Considere:
de F~ que deixam invariantes os campos E
a) caso estacionário;
b) eletrodinâmica.
Questão 5. a) Explique os conceitos de transformação de calibre e invariância de calibre
no eletromagnetismo.
b) Discuta a relação formal entre o campo de calibre e o divergente do potencial vetorial
~ ·A
~ é compatível com as transformações de
magnético. Uma escolha arbitrária para o ∇
calibre? Explique.
4
~ r) seja obtido de um potencial A(~
~ r)
Questão 6. No caso estático, suponha que o campo B(~
tal que
~ ×A
~=B
~
∇
e
~ ·A
~ 6= 0.
∇
~ r ) através de um potencial
Mostre que é formalmente possível obter o mesmo campo B(~
′
~
A (~r) que obedece
~ ×A
~′ = B
~
∇
e
~ ·A
~ ′ = 0.
∇
Consulte Griffiths, Sec. 5.4.1.
Questão 7. Repita a questão anterior no caso da eletrodinâmica através dos passos seguintes.
~ r, t) seja obtido de um potencial vetorial A(~
~ r, t) tal que
Suponha que o campo B(~
~ ×A
~=B
~
∇
e
~ ·A
~ 6= −µ0 ǫ0 ∂V .
∇
∂t
~ r, t) através de um potencial
Mostre que é formalmente possível obter o mesmo campo B(~
′
~ (~r, t) que obedece
A
~ ×A
~′ = B
~
∇
e
~ ·A
~ ′ = −µ0 ǫ0 ∂V .
∇
∂t
′
~ (questão 2), determine as
Questão 8. A partir das equações gerais para os potenciais V e A
equações calibradas correspondentes, nos casos estático (calibre de Coulomb) e na eletrodinâmica (calibre de Lorentz).
Questão 9. a) O calibre de Lorentz é um caso particular do calibre de Coulomb? Explique.
b) Considerando o calibre mais geral, determine a equação diferencial obedecida pelo campo
de calibre.
Questão 10. Problema 10.1.
Questão 11. Problema 10.6.
Questão 12. Problema 10.7.
3. Potenciais Retardados
~ no caso estático (calibre de
Questão 13. a) Considere as equações calibradas para V e A
Coulomb). Através de argumentos físicos discuta as expressões dos potenciais que fornecem
soluções dessas equações.
b) Essas soluções são aplicáveis no caso da eletrodinâmica? Justifique a resposta através de
argumentos físicos.
5
Questão 14. No caso da eletrodinâmica (calibre de Lorentz), o potencial escalar V (~r, t)
obedece à equação de D’Alembert (questão 8),
2
~ 2 V − µ0 ǫ0 ∂ V = − ρ .
∇
∂t2
ǫ0
a) Resolva analiticamente essa equação no caso em que a fonte é uma carga puntual, localizada na origem, com densidade associada
ρ (~r ′ , t′ ) = q(t′ )δ 3 (~r ′ ).
′
1 q(t )
Resposta: V (~r, t) = 4πǫ
, onde t′ = t − rc e c = √µ10 ǫ0 .
0 r
b) Mostre que no caso de uma distribuição volumétrica finita ρ(~r ′ , t′ ) de cargas localizadas
a solução é dada por
Z
1
ρ (~r ′ , t − r/c) ′
dτ ,
V (~r, t) =
4πǫ0 ν
r
onde ~r é o ponto de observação, ~r ′ o vetor posição do elemento de volume dτ ′ e ~r = ~r − ~r
o vetor relativo.
c) Verifique que, de fato, V (~r, t) obedece à equação de D’Alembert (Griffiths Sec. 10.2.1).
d) Explique fisicamente o conceito de potencial retardado.
′
Questão 15. Através de argumentos físicos e matemáticos, justifique a solução da equação
de D’Alembert, para o potencial vetorial magnético, na forma
~ r , t) = µ0
A(~
4π
Z ~ ′
J(~r , t − r/c)
r
ν
dτ ′ .
Questão 16. Exemplo 10.2.
Questão 17. A partir das expressões gerais dos potenciais retardados (questão 14, ítem (b)
e questão 15), mostre que as expressões gerais para os campos retardados (Equações de
Jefimenko), são dadas por (consulte Griffiths, Sec. 10.2.2)
)
Z (
′
′
˙ ′
~
ρ
(~
r
,
t
)
ρ̇
(~
r
,
t
)
J(~
r
,
t
)
1
r
r
r
~ r, t) =
dτ ′ .
r̂ +
r̂ −
E(~
4πǫ0
r2
cr
c2 r
~ r , t) = µ0
B(~
4π
Z (~ ′
J (~r , tr )
r2
)
˙ ′
J~ (~r , tr )
× r̂ +
× rˆ dτ ′ .
cr
onde
r
tr = t − ,
c
ρ̇ =
∂ρ
,
∂tr
˙ ∂ J~
J~ =
.
∂tr
6
Questão 18. Com base nas equações de Jefimenko, responda às questões seguintes.
a) No caso em que não há dependência explícita com o tempo, essas equações reduzem-se a
resultados conhecidos? Quais?
b) Os potenciais retardados podem ser obtidos através da introdução do tempo retardado nas
expressões dos potenciais no caso estático? Essa receita (prescrição) aplica-se nos casos dos
~ e B?
~ Explique.
campos E
c) Quais os termos dominantes a grandes distâncias da fonte? Qual fenômeno físico é associado a esses termos dominantes?
Questão 19. a) O que é aproximação quase-estática ( ou quase-estacionária)? Consulte
Griffiths, final da Sec. 7.2.2.
b) Problema 10.12.
4. Potenciais e Campos de Liénard-Wiechert
Questão 20. Considere um pequeno objeto de volume dτ , deslocando-se para a direita com
velocidade ~v e seja k̂ a direção de visada de um observador, conforme abaixo. Mostre que o
volume aparente visto pelo observador é dado por
dτ ′ =
dτ
1−
k̂·~
v
c
.
Questão 21. Com base no resultado da questão anterior e a partir das expressões gerais dos
potenciais retardados, mostre que no caso de uma carga puntual q, com velocidade ~v , os
potenciais são dados por (potenciais de Liénard-Wiechert):
V (~r, t) =
qc
1
4πǫo r c − ~r · ~v
onde ~v = ~v(tr ) e tr = t − r/c.
e
~ r, t) = µ0 q c ~v
A(~
4π r c − r~ · ~v
7
Questão 22. Exemplo 10.3 (Kleber Machado, Exemplo 20.12).
O problema trata dos potenciais de uma carga puntual, com velocidade constante ~v
(MRU), que passa pela origem em tr = 0. Nesse caso, por integração, ~rq (tr ) = ~v tr .
Observação: guarde o resultado
r −
~r · ~v
1p 2
(c t − ~r · ~v )2 + (c2 − v 2 )(r 2 − c2 t2 )
=
c
c
na “caixa de ferramentas”, para a questão 27.
Questão 23. Problema 10.14.
~ é distância da carga, no instante t, ao
Veja esquema auxiliar na figura abaixo, onde R
~ + AB
~ + BC
~ = OC,
~ decorre:
ponto de observação ~r. Sendo OA
~ = ~r → ~v t = ~r − R
~
~r(tr ) + ~v (t − tr ) + R
~ 2 como está no manual de soluções)
(e não R
Questão 24. Consultando Griffths, Sec. 10.3.2, mostre que os campos produzidos por uma
carga puntual com velocidade ~v são dados por (campos de Liénard-Wiechert):
~ r, t) =
E(~
onde
2
q
r
2
~
(c
−
v
)~
u
+
r
×
(~
u
×
~
a
)
,
4πǫ0 (r~ · ~u)3
~v = ~v (tr ),
~a =
d~v
,
dtr
~u = crˆ − ~v ,
~
~ r , t) = r̂ × E(~r, t) ,
B(~
c
r
tr = t − .
c
Questão 25. Com base nos resultados da questão anterior, discuta os conceitos de Campo
de Coulomb Generalizado (ou Campo Elétrico de Velocidade) e de Campo de Radiação (ou
Campo Elétrico de Aceleração).
8
Questão 26. Escreva a expressão da força de Lorentz sobre uma carga puntual Q com
velocidade ~vQ , devida aos campos produzidos por uma carga puntual q, com velocidade ~v e
aceleração ~a.
Questão 27. Exemplo 10.4.
....................................................................................