Máquinas do Tempo Série Rádio Cangália

Máquinas do Tempo
Série Rádio Cangália
Objetivos
1. Apresentar uma aplicação de função
exponencial.
Máquinas do
Tempo
Série
Rádio Cangália
Conteúdos
Probabilidade, Função
exponencial.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar uma aplicação de
função exponencial.
Sinopse
O programa apresenta uma
notícia de que foi possível fazer o
seqüenciamento genético de
seres vivos pré-históricos e assim
poder “voltar no tempo” dos
processos de evolução biológica.
Material relacionado
Vídeos: Salvador, o
hipocondríaco, Osso duro de
roer;
Áudios: O que é exponencial,
Mortos vivos;
Experimento: Eliminando
quadrados.
ÁUDIO
Máquinas do tempo 2/12
Introdução
Sobre a série
A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de
variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de
conhecimentos gerais, com comentários de um professor de
matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas
oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos
interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O
programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem
preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em
torno de um conteúdo e reforçar a descontração.
Sobre o programa
A descoberta de que fragmentos de DNA e de colágeno podem
sobreviver muitos anos, permitiu isolar o colágeno de um tiranossauro
de 68 milhões de anos, sequenciar o genoma de um mamute africano
extinto há 6 milhões de anos e o do Homem de Neandertal (que tinha
pele clara e cabelo avermelhado), e concluir que um dedo de 40 mil
anos congelado numa caverna da Sibéria pertenceu a uma nova
espécie de hominídeo.
Uma questão matemática e forense levantada é saber se proteínas
complexas como DNA e colágeno podem sobreviver por tanto. Essas
moléculas são protegidas no ser vivo, mas se degradam em tecidos
mortos. A probabilidade de degradação (destruição total ou parcial das
moléculas) depende das condições externas, como temperatura,
pressão, radiação, umidade, e microorganismos. Mas essas
probabilidades podem ser calculadas, com alguma margem de erro,
em laboratório. Com base nessas probabilidades, pode-se estimar a
probabilidade de que um tecido de um tiranossauro, um mamute, um
homem de Neandertal ou um hominídeo pode existir. Em geral essa
probabilidade é uma função exponencial decrescente com a passagem
do tempo. Esse mesmo tipo de análise é feito para o tempo que um
ÁUDIO
Máquinas do tempo 3/12
remédio atua em um paciente, estimativa de tempo de um material
orgânico que morreu pela datação do carbono 14 etc.
O programa foi desenvolvido a partir das seguintes falas:
• Pssiiiiiiu!!!
• Vai começar mais uma "Rádio Cangália", a minha, a sua, a nossa
favorita e com mais conteúdo! E como vão todos?
• (...) (Silêncio)
• Ivone???
• (...)
• Ivone??? Você ainda está brava comigo porque eu disse que gostava
mais do seu cabelo daquela outra cor??? Já pedi milhõoooooes de
desculpas!
• Isso não basta Henrique! (brava) Você foi muito é mau comigo!
(meio sentimental)
• Mas eu não queria dizer aquilo...
• Ah é! Saiu sem querer né? (brava)
• Sim... quer dizer, não era aquilo...você entendeu errado!
• ENTÃO AGORA SOU EU A CULPADA?
• Oi oi pessoal, já começamos assim o programa é?
• VOCÊ TAMBÉM ESTÁ CONTRA MIM PROFESSOR?
• Não, Ivone, não. (para Henrique - sussurando) Concorde com ela
Henrique, concorde logo senão não vai ter programa hoje... (risos)
• Hunf... Ok, Ivone, me desculpa!
• Mesmo?
• Mesmo.
• Ham ham (coça garganta). Vamos então ao nosso programa?
• É, é...bem, claro né... (confuso)
• E por que não né...é... E hoje o assunto do dia éeee...
• Fragmentos de DNA e colágeno funcionando como máquinas do
tempo.
• Oi??? Como assim? Isso é cientificamente...
• (interrompendo) Calma calma Professor, não estamos falando de
DNA que se transformam em máquinas super potentes que irão
salvar a Terra das forças do mal! he he he...he...he? (risos - com o
tempo vai parando de rir e perdendo a graça quando vê que
ninguém achou engraçado)
• EU não havia pensado nisso, Henrique Camargo da Cos...
• (interrompendo) Nãaaaaaooo!!! Meu nome inteiro não! (meio rindo)
• Mas VOLTANDO ao assunto do dia, hoje iremos tratar de uma
descoberta e tanto!
ÁUDIO
Máquinas do tempo 4/12
• Iremos conversar a respeito da sobrevivência de moléculas de DNA
e do colágeno e como isso pode nos ajudar a desvendar mistérios
do nosso passado, assim como uma máquina do tempo. Entendido
professor? (risos)
• (risos) Agora sim, Henrique!
• Bem, nossa curiosidade do dia é sobre a notícia que uma molécula
de DNA e de colágeno pode, incrivelmente, sobreviver a muitos,
muitos anos mesmo.
• Mas antes é sempre bom lembrar de alguns conceitos, não é
mesmo? Bem, colágeno é uma das proteínas de maior importância
na constituição do nosso organismo, que participa da formação de
diversos órgãos e tecidos de sustentação, como a pele e ossos.
• E DNA é a sigla em inglês para Ácido Desoxirribonucleico.
• Uau, que nome complicado!
• Sim, é um nome difícil mesmo. Mas é muito importante todos
saberem, já que o DNA é essencial para nossa existência e
perpetuação da espécie humana.
• Eu sempre ouço falar desse tal de DNA, mas o que ele é
exatamente?
• Bem, o DNA é um composto orgânico que contém as principais
informações genéticas e códigos para nosso funcionamento e
reprodução. Ele participa também na fabricação das proteínas...É
uma das moléculas mais importante das células!
• Mas precisava de um nome tão difícil... Ácido De-so-xir-ri-bo-nu-clei-co...
• Correto! Se você preferir pode chamar de ADN.
• O importante, no contexto dessa notícia, é que o DNA da uma
célula de um organismo é um código único daquele ser vivo, como
um código identificador de barras que vemos nos produtos de
supermercado.
• Agora que os nomes foram desvendados, podemos voltar a nossa
curiosidade.
• Bem, a descoberta de que fragmentos dessas moléculas podem
sobreviver a tanto tempo permitiu aos cientistas isolar o colágeno
de um tiranossauro de 68 MILHÕES de anos. Acreditam???
• Cara, que bacana!!! Imaginem só um tiranossauro...
• Pois é, mas não foi só isso. Conseguiram também sequenciar o
genoma de um mamute africano extinto há cerca de 6 milhões de
anos e do Homem de Neandertal!!!!
• Relembrando, genoma é toda a informação genética de um ser
vivo, que fica guardada em códigos no seu DNA.
ÁUDIO
Máquinas do tempo 5/12
• Hum... por isso a importância desses descobrimentos, não é? Por
exemplo, através disso podemos saber com mais certeza que o
Homem de Neandertal é nosso ancestral. É realmente uma viagem
pelo tempo!
• Sim! Não é magnífico o poder da ciência??? (empolgado)
• Com certeza, nisso eu vou ter que concordar com você Professor! A
ciência é incrível!
• Sabe o que também é incrível, meus jovens?
• Não... O que é, Professor Leumas?
• O poder do riso!!! E, claro, das minha piadas!!!
• (para Ivone) Mas ele não aprende né...
• (risos)
• Falou alguma coisa, Henrique?
• Não, nada... Só disse que estou ansioso para escutar!
• (disfarçando)
• Então vamos lá!
• O que o MMC tava fazendo debaixo da escada?
• Hum... não sei não...
• Esperando o MDC!!! (gargalhada)
• Nossa, e não é que essa foi boa? Estou surpreso!
• Há! Vocês estão começando a aprender a apreciar o mais fino
humor...
• (para si) Vixe, não pode elogiar...
• Henrique???
• Opaaa!!! Acho que é a hora do nosso intervalo!!! (disfarçando)
• Bem, então é isso: intervalo galera!!!
• Fiquem ai que a “Rádio Cangália” volta já!
• Estamos de volta ao nosso programa sobre as máquinas do tempo
e do DNA que sobreviveu por milhões de anos.
• Nossa!!! Vamos que vamos então!
• Professor, qual é o tema matemático desse programa?
• Vocês lembram do assunto de nossas curiosidades, não é mesmo?
• Sim sim, claro!
• Pois bem, o fato do DNA ou do colágeno sobreviverem num tecido
morto por tanto tempo é algo raro que depende de condições
externas determinadas de temperatura, pressão, radiação, umidade
etc.
• É... Sei que no ser vivo essas complexas moléculas estão
protegidas, mas em tecidos mortos elas sofrem degradação, total
ou parcial.
ÁUDIO
Máquinas do tempo 6/12
• Sim!!! No entanto, apesar de ser um evento raro, podemos calcular
a possibilidade dessas moléculas sobreviverem por tanto tempo.
• E mais uma vez, aí está o poder da ciência!
• Mas como eles fazem isso, Professor?
• Vou dar apenas algumas ideias e passos de como esses cálculos
são feitos.
• Já ouviu falar em Funções Exponenciais, Ivone?
• Sim!!! Lembro que essas funções tem a característica de ter a
variável como expoente, né?
• Lembrando que uma função existe toda vez que o valor de uma
incógnita depende do valor de uma outra incógnita... ou seja, uma
está em função da outra!
• Brilhante!!!
• Então, por exemplo...hum... Y é igual a "B" elevado a "X"... O valor
de "Y", que é uma incógnita, está em função do valor de "X", outra
incógnita.
• Seeeeendo que, o "B" será chamado a base e o "X" será chamado
expoente. Melhor todos anotarem, né?
• Vocês estão de parabéns, é isso mesmo.
• A partir disso temos que, se a base for maior que 1, a função é
crescente. Agora se a base estiver entre zero e "1" a função é
decrescente.
• Mas é preciso que esta base seja um número real!!!
• Mas, e ai??? Quando que as continhas para sabermos a
probabilidade de sobrevivência daquelas moléculas entram em
jogo?
• Agora, Ivone! Em geral essa probabilidade é uma função
exponencial decrescente com a passagem do tempo.
• Hum... Então quanto mais tempo passa, menor é a possibilidade de
serem encontradas moléculas não deterioradas desse material.
• Sim, essa é a lógica!!!
• Já ouvi falar de algo parecido... o uso de funções exponenciais para
medir alguma coisa, assim, daquele tempo...
• Bem Ivone, esse mesmo tipo de análise é feita para estimar há
quanto tempo morreu determinado material orgânico pela datação
do carbono 14, ou para sabermos o tempo que um remédio atua
em um paciente ou para...
• (interrompendo) Isso!!! Esse tal de carbono 14!!! Era isso mesmo!
Obrigada Professor Leumas!
• Bem, os desdobramentos desse assunto os alunos interessados
podem estudar com a ajuda dos professores... Como nosso tempo
já está no fim, que tal agora irmos para a nossa frase do dia??? É
sua deixa, Professor.
ÁUDIO
Máquinas do tempo 7/12
• Ai, seria tão bom se tivesse a ver com o nosso assunto todo
científico...
• E tem! Nossa frase hoje é de autoria de Charles Darwin!!!
• Nossa, tudo a ver mesmo! Ainda mais que você falou do Homem de
Neandertal, genoma, DNA...
• Sim, Ivone! Foi Darwin quem propôs a famosa Teoria da Evolução
das Espécies.
• Charles Darwin foi um cientista inglês que, após muuuuita
observação, propôs que os seres vivos se diferenciaram por
processos de seleção e evolução.
• Bem, antes que começamos uma outra discussão, vamos para a
frase, Professor?
• Sim, claro! A frase é, ham ham! (coça a garganta)
• "Um homem que ousa desperdiçar uma hora ainda não descobriu o
valor da vida"
• Sim!!! Carpe Diem!!!
• Carpar o quê???!!!
• (risos)
• Ele disse Carpe Diem, Ivone! Em latim isso significa "Aproveite o
momento, aproveite o dia".
• Ahhhh...mas eu não tenho a obrigação de saber latim ué???
• Não, não... Mas eu só disse porque esta expressão sintetiza bem a
frase de Darwin.
• Sim, é a recomendação de não desperdiçar o tempo!
• Realmente, uma frase muito sábia.
• É algo para todos nós ficarmos pensando...
• Inclusive você, Henrique!!!
• Oi??? Por que essa diretamente para mim, Professor? (começa a se
alterar, começando a ficar bravo)
• Calma, só acho que já passou da hora de você convidar a Ivone
para sair né??? (provocando) (risos)
• Cof cof...Professor!!! (encabulado, tossindo, tentando disfarçar)
• Ai Professor, que é isso... Henrique, desculpa ele...é...bem...cof cof
(encabulada, tossindo, tentando disfarçar, confusa)
• Pensem bem meus jovens, a vida é curta!!! Vocês tem que
aproveitar o momento! Carpe Diem, Carpe Diem!
• Ivone, quer dizer, querida, opa, queridos ouvintes, acho que nosso
tempo já acabou, não é? (encabulado, confuso)
• Então é melhor nos despedirmos, né? Acho melhor...por que... é
melhor...e... (encabulada, confusa)
ÁUDIO
Máquinas do tempo 8/12
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(gargalhando)
Ai ai, jovens...tsc tsc... (som em sinal de desaprovação)
Bem, hora de ir! Já falei isso né??? (ainda confuso)
(risos) Sim...Até mais galera...(mais controlada)
Tchau Professor... Tchau Henrique! (com uma voz mais charmosa e
melindrosa)
Tchau Ivone. (tímido)
Tchau Pessoal, e não se esqueçam: CARPE DIEM!!!!!
(sai rindo)
E esse foi mais um...
Sugestões de atividades
Antes da execução
Revisar os conceitos
probabilidade.
necessários
funções
exponenciais
e
de
Durante a execução
Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no
programa à medida que eles forem falados.
Depois da execução
O DNA, como aprendemos da Biologia, é uma cadeia (dupla em forma
de hélice) composta por quatro bases diferentes: Adenina, Citosina,
Guanina e Timina. O código genético e o genoma identificam um
indivíduo. Por essa razão, ao fazer o seqüenciamento genético de um
ser vivo, os cientistas têm a identidade do indivíduo, da sua espécie e
até das mutações genéticas que aquele ser vivo sofreu.
Problemas de Probabilidades
Vamos supor que as bases estejam aleatoriamente distribuídas em um
segmento do DNA.
ÁUDIO
Máquinas do tempo 9/12
1. Se o segmento tem dez bases, qual é a probabilidade que
segmento tenha apenas uma Timina?
2. Se o segmento tem 100 bases, qual é a probabilidade que
segmento tenha 40 Citosinas?
3. Se o segmento tem 1000 bases, qual é a probabilidade que
segmento tenha pelo menos cinco Adeninas em seguida,
menos uma vez?
esse
esse
esse
pelo
Solução
1 . Podemos dizer que o segmento tem dez vagas disponíveis para as
quatro bases e que em cada base, a probabilidade de ter uma Timina é
¼ e a probabilidade de não ter uma Timina é ¾. Assim, a
probabilidade de ter uma Timina na primeira vaga e não ter mais
Timina nas demais vagas é
ଵ ଷ ଽ
ቀ ቁ . Essa Timina pode ocupar qualquer
ସ ସ
uma das dez vagas. Assim a resposta à pergunta feita é:
3 ଽ
1
10 × × ൬ ൰ ≅ 0,18771
4
4
Isto é, quase 19%.
2 . O problema é parecido com o anterior, mas dessa vez, há mil
vagas. Em 40 dessas vagas devem estar as Citosinas e as demais 60
outras bases. A probabilidade de uma combinação possível é
1 ସ଴
3 ଺଴
൬ ൰ ×൬ ൰
4
4
Claramente podemos ter uma combinação de 100, 40 a 40 dessas.
Assim a probabilidade de ter 40 Citosinas nesse segmento é:
1 ସ଴
3 ଺଴
100!
1 ସ଴
3 ଺଴
ଵ଴଴
‫ܥ‬ସ଴ × ൬ ൰ × ൬ ൰ =
× ൬ ൰ × ൬ ൰ ≅ 0,00036263
4
4
40! × 60!
4
4
Isto é, menos de 0,04%.
3 . Nesse caso temos 1000 vagas. As chances de termos cinco vagas
em sequencias ocupadas com cinco Adeninas e as demais 995
ocupadas por outras bases quaisquer (podem ser inclusive Adeninas
ଵ ହ
novamente) é ቀ ቁ . Mas esse quinteto pode ser colocado em 996
ସ
lugares dessa cadeia milenar. Para os alunos verificarem essa
ÁUDIO
Máquinas do tempo 10/12
afirmação observe o caso simples de um quinteto em dez vagas: 6
possibilidades. Depois o caso do quinteto em cem vagas: 96
possibilidades. Portanto, no caso de mil vagas, as chances de termos
um quinteto de Adeninas, pelo menos uma vez são dadas por
1 ହ
൬ ൰ × 996 ≅ 0,97266
4
Isto é, mais de 97%.
Mutações
Em genética, a taxa de mutação é a probabilidade de uma mutação
ocorrer em um gene (ou organismo) em cada replicação (ou geração).
Essa probabilidade é estimada com base na frequência com que uma
mutação é observada em uma população (amostragem). Nem todas as
mutações promovem evolução. Além disso, os biólogos estimam que o
DNA mitocondrial humano tem taxa de mutação da ordem de 10ିହ
pbpg, por base por geração (de vinte anos), enquanto a probabilidade
de mutação no genoma humano é bem menor: 10ି଼ pbpg. São taxas
de mutação baixas em relação à do genoma de um vírus tipo RNA o
qual tem aproximadamente uma mutação pbpg (a taxa de mutação é
0,67 pbpg em média).
Ao aprimorar todas estas taxas e comparar com os dados
paleontológicos, os cientistas podem entender melhor os mecanismos
e as datas das grandes especiações. Esses conhecimentos são
usualmente resumidos em um cladograma. Um cladograma é um
diagrama que mostra as relações ancestrais entre organismos, para
representar a árvore da vida evolutiva.
Um dos objetivos da evolução molecular é acertar os momentos de
bifurcação de espécies na árvore da vida. Para o intervalo de tempo
entre um evento e outro, pode-se usar a datação do carbono 14.
Problema
Sabendo que a meia-vida do carbono 14 é de 5730 anos, escreva a
função que dá a quantidade Q(t) de carbono-14 que permanece no
organismo t anos depois da morte.
ÁUDIO
Máquinas do tempo 11/12
Reposta
Tal função é Q (t ) = Q0 × a t . Como a meia-vida do carbono-14 é de 5730
anos, temos que Q(5730) =
Q0
. Usando a função logarítmica para
2
resolver a equação exponencial, obtemos a ≅ 0,9998790392. Assim,
Q (t ) = Q0 (0,9998790392) t . Como a<1, temos uma função exponencial
decrescente.
Sugestões de leitura
M. Paiva (2002). M ATEMÁTICA: CONCEITOS, LINGUAGEM E APLICAÇÕES.
Editora Moderna. Vol 1, Unidade IV.
M. Paiva (2002). M ATEMÁTICA: CONCEITOS, LINGUAGEM E APLICAÇÕES.
Editora Moderna. Vol 2, Unidade VI e VII.
J. Drake and J. Holland. Mutation rates among RNA viruses. PNAS
November 23, 1999 vol. 96 no. 24 13910-13913. doi: 10.1073/pnas.
96.24.13910.
NRICH – IS YOUR DNA UNIQUE ?. Página Vis. 28 Ago. 2011.
http://nrich.maths.org/6680.
Ficha técnica
Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
ÁUDIO
Máquinas do tempo 12/12