ROTAÇÃO DE CORPOS SOBRE UM PLANO INCLINADO

Física I – MIEB, EA, CM
Protocolos das Aulas Práticas
DF - Universidade do Algarve
ROTAÇÃO DE CORPOS SOBRE UM
PLANO INCLINADO
1. Resumo
Corpos de diferentes formas deslocam-se, sem deslizar, ao longo de um plano inclinado.
Estuda-se a aceleração desse movimento em função da forma geométrica dos corpos.
2. Tópicos teóricos
sCM
α
Fig. 1
Considere-se um corpo de simetria cilíndrica e raio r que se desloca sobre um plano
inclinado com atrito. O movimento dá-se de forma que a translação ao longo do plano
inclinado se faz com rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de massa do corpo, é
paralelo ao plano inclinado e perpendicular à trajectória descrita. Considera-se que a força de
atrito é tal que impede totalmente que o corpo deslize sobre o plano.
Pode-se mostrar que, nestas condições, a aceleração do centro de massa do corpo (CM) é
dada por:
a CM = λgsen (α )
(1)
onde g é a aceleração da gravidade, α o ângulo associado à inclinação do plano e λ é um
factor numérico que depende unicamente da forma geométrica do corpo que se desloca sobre
o plano inclinado. Alguns exemplos de valores deste factor são: λ = 2/3 para um cilindro,
λ = 5/7 para uma esfera e λ = 1/2 para um anel cilíndrico.
Verifica-se, através da expressão (1), que a aceleração não está relacionada, como à
partida se poderia supor, com a massa do corpo.
1
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Pretende-se, neste trabalho, medir a aceleração do movimento do CM do corpo ao longo
do plano inclinado e verificar se os resultados acima referidos se observam
experimentalmente. A medida da aceleração far-se-á com base na relação que existe entre a
distância percorrida pelos corpos ao longo do plano inclinado, sCM, e o tempo gasto durante o
seu percurso, t:
s CM =
1
a CM t 2
2
(2)
-2
Assume-se que o valor da aceleração da gravidade é conhecido e dado por g = 9.80665 m s .
3. Problemas propostos
Pretende-se estudar o movimento de corpos que se deslocam sem deslizar ao longo de um
plano inclinado, tentando determinar a aceleração do movimento em função da forma
geométrica do corpo.
4. Material
Plano inclinado em alumínio.
Cilindro.
Anel.
Esfera.
Relógio electrónico.
Dois detectores fotoeléctricos.
Fita métrica.
Balança.
Fios de ligação.
5. Procedimento experimental
Tenha o cuidado de anotar os erros de leitura de escala associados a todos os aparelhos de
medida que usar.
5.1.
Meça a inclinação do plano baseando-se no seguinte esquema:
2
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A
α
B
tg (α ) =
C
AB
BC
5.2.
Verifique que todos os corpos têm a mesma massa.
5.3.
Fixe a distância, sCM, a percorrer sobre o plano inclinado (a maior possível de
acordo com as condições da experiência) colocando os dois detectores
fotoeléctricos nos extremos do percurso (fig. 1).
5.4.
Largue (sem velocidade inicial e junto do detector mais alto) um dos corpos sobre o
plano inclinado medindo o tempo de passagem, t, entre os dois fotodetectores.
Repita esta medida 5 vezes.
5.5.
Fixe uma nova distância, sCM, e proceda como em 5.4..
5.6.
Repita 5.5. até perfazer 5 distâncias diferentes. Elabore uma tabela de duas entradas
com os valores de sCM e t medidos.
5.7.
Repita a experiência com todos os corpos de que dispõe.
6. Análise dos resultados obtidos
6.1.
6.2.
6.3.
Calcule os valores médios dos tempos medidos, a partir da tabela referida em 5.4.,
estimando os erros aleatórios respectivos.
2
Construa, para cada corpo, uma tabela com os valores de sCM, t, e t utilizando os
valores de tempo calculados em 6.1. (não esqueça os erros associados a cada uma
das grandezas).
Usando as tabelas referidas em 6.2. construa, para cada corpo, um gráfico de sCM
2
em função de t . Ajuste uma recta de regressão linear a cada gráfico. Calcule, a
partir dos coeficientes das regressões, o valor da aceleração do movimento de cada
corpo, atendendo a que se espera:
1
aCM t 2 + 0
2
Calcule também os erros associados aos coeficientes.
sCM =
6.4.
Sabendo que, para a situação estudada, se espera que a aceleração do sistema tenha
a forma
aCM = λgsen (α ) ,
calcule o factor λ para cada um dos corpos. Compare os valores obtidos com os que
se esperam teoricamente.
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Apêndice
Estudo do movimento de corpos que rodam sem deslizar num plano inclinado
Y
r
N
Fa
X
P
α
Fig. A.1
Considere-se um corpo de simetria cilíndrica e de raio r que se desloca sobre um plano
inclinado com atrito. O seu movimento ocorre de forma que a translação ao longo do plano
inclinado é acompanhada de uma rotação em torno de um eixo que passa pelo centro de massa
do corpo, é paralelo ao plano inclinado e perpendicular à trajectória descrita. Considera-se
que a força de atrito é tal que impede totalmente que o corpo deslize sobre o plano.
Pretende-se determinar a aceleração do movimento do centro de massa (CM) do corpo ao
longo do plano inclinado.
r
r
Na figura A.1 N representa a reacção normal do plano inclinado sobre o corpo, P o seu
r
peso e Fa a força de atrito entre o plano inclinado e o corpo. As leis de Newton permitem
escrever, em concordância com o referencial representado na figura:
 N − P cos(α ) = 0


 Psen (α ) − F = ma
a
CM

(segundo o eixo YY)
(A.1)
(segundo o eixo XX)
Estas expressões descrevem a dinâmica da translação do corpo ao longo do plano inclinado.
Em relação ao movimento de rotação pode-se escrever:
r
r
M = Iγ ⇒ M = Iγ
(A.2)
sendo M a resultante do momento das forças em relação ao eixo que passa pelo centro de
massa do corpo, I o momento de inércia referido ao mesmo eixo e γ a aceleração angular do
movimento de rotação. A única força que contribui para o momento resultante é a força de
atrito pois as restantes estão aplicadas no centro de massa do corpo. Desta forma:
M = rFa
(A.3)
A velocidade de qualquer ponto da superfície do corpo em relação ao centro de massa é
dada, em módulo, por:
v = ωr
4
(A.4)
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sendo ω a velocidade angular do movimento de rotação. A velocidade do centro de massa
relativa a qualquer ponto da superfície terá exactamente o mesmo módulo mas sentido
contrário. A velocidade do CM em relação ao ponto de contacto do corpo com o plano
inclinado tem portanto o módulo dado pela expressão (A.4). Atendendo a que esse ponto está
momentaneamente em repouso relativamente a um referencial fixo no laboratório pode-se
escrever que:
vCM = ωr
(A.5)
no referencial representado na figura A.1. Derivando esta expressão em ordem ao tempo
tem-se:
a CM = γr
As equações (A.1), (A.2), (A.3) e (A.6) permitem estabelecer o sistema:

 N − Pcos(α ) = 0

 Psen (α ) − Fa = ma CM

a
rFa = I CM
r

(A.6)
(A.7)
a partir do qual se pode calcular:
a CM


m
=
I

m+ 2
r



 gsen (α )



(A.8)
A equação (A.8) representa a aceleração do CM do corpo no seu movimento ao longo do
plano inclinado. Comparando esta expressão com a que resulta para a aceleração de um corpo
deslizando sem atrito ao longo do plano inclinado (a = g sen(α)) verifica-se ser a aceleração,
no presente caso, inferior a essa. Na realidade aCM pode ser escrita na forma:
aCM = λgsen (α )
(A.9)
em que λ é um factor que depende, em princípio, das características do corpo que se
movimenta, nomeadamente da sua massa, do seu momento de inércia e das suas dimensões
(r).
Aplique-se o estudo realizado aos casos de três corpos de geometrias diferentes:
(i)
Cilindro
No caso do corpo ser cilíndrico o seu momento de inércia é dado por:
I cilindro =
podendo escrever-se para λ:
5
1 2
mr
2
(A.10)
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λcilindro =
m
m
1
2
=
=
=
2
I
1 3
mr
m + cilindro
m + 2 1+
2
r
2
2r
(A.11)
A aceleração do movimento do CM do cilindro será dada portanto por:
a CM = λ cilindro gsen (α )
(ii)
2
3
com λ cilindro =
(A.12)
Esfera
Para uma esfera o momento de inércia é dado por:
I esfera =
2 2
mr
5
(A.13)
e, portanto:
λesfera =
5
m
m
1
=
=
=
2
2 7
I
2mr
+
1
m + esfera
m+
2
5
r
5r 2
(A.14)
Deste modo, tem-se para a aceleração do CM da esfera no seu movimento ao longo do plano
inclinado:
a CM = λ esfera gsen (α )
(iii)
com λ esfera =
5
7
(A.15)
Anel cilíndrico
O momento de inércia de um anel cilíndrico é dado por:
I anel = mr 2
(A.16)
O factor λ assume, assim, para este caso, o valor:
λanel =
m
m
1
1
=
=
=
2
I anel
mr
1+1 2
m+ 2
m+ 2
r
r
(A.17)
Calcula-se então o valor da aceleração do CM do anel como:
aCM = λ anel gsen (α )
com λ anel =
1
2
(A.18)
Os três casos estudados permitem concluir que λ é apenas um factor numérico que não
depende das características particulares (nomeadamente da massa e do raio) do corpo em
questão. Conclui-se, portanto, que λ depende exclusivamente do tipo de geometria do corpo,
assumindo valores distintos consoante a forma geométrica. Por outras palavras, todos os
cilindros se deslocarão com a mesma aceleração ao longo do plano, o mesmo se passando
em relação a todas as esferas e todos os anéis cilíndricos.
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Fica portanto demonstrado que a aceleração de um corpo que roda sem deslizar ao longo
de um plano inclinado é dada por:
aCM = λgsen (α )
(A.19)
com λ dado pelos valores referidos em (A.12), (A.15) e (A.18).
Assumindo que o corpo inicia o seu movimento sobre o plano inclinado sem velocidade
inicial pode-se escrever (ainda em relação ao referencial da figura A.1):
vCM = aCM t = (λgsen (α ))t
(A.20)
de onde resulta para a equação do movimento:
λgsen (α ) 2
1
xCM = x0 + aCM t 2 = x0 +
t
2
2
(A.21)
A distância percorrida pelo centro de massa do corpo será dada então por:
sCM = xCM − x0 = x0 +
⇔ sCM =
λgsen (α )
2
λgsen (α )
2
t2
t 2 − x0 ⇔
(A.22)
O movimento do corpo depende exclusivamente da sua forma geométrica através do
parâmetro λ.
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