Expansão Multipolar da Energia da Distribuição de Carga Nuclear

Expansão Multipolar da Energia de
uma Distribuição de Carga sob a Ação
de Potencial Eletrostático Externo.
Física Nuclear e de Partículas
Cesar Augusto Zen Vasconcellos
Consideremos uma distribuição localizada de carga
elétrica, de densidade ρ(x), sob a ação de um potencial
eletrostático externo ϕE(x).
A energia eletrostática W do sistema é definida na
r
r
forma:
3
W =
∫
d x ρ ( x )φ E ( x )
Suposição básica: ϕE(x) varia suavemente na região em que ρ(x) é
apreciavelmente ≠ 0. Supomos que ρ(x) ≠ 0 apenas no interior de uma
esfera de raio R no entorno de uma certa origem. Isto porque, como
o nosso propósito é o de estudar propriedades da distribuição de
carga, seja uma distribuição de carga em um núcleo ou em uma
partícula, o potencial externo não pode produzir modificações
apreciáveis nesta distribuição de carga.
Expansão Multipolar da Energia de uma Distribuição de Carga sob a Ação de Potencial Eletrostático Externo.
Física Nuclear e de Partículas
Cesar Augusto Zen Vasconcellos
Expansão de Taylor: como o potencial eletrostático externo ρ(x)
varia suavemente na região que a densidade é expressivamente ≠ 0,
expandimos ρ(x) em relação ao ponto central de sua localização,
ponto este representado por x0 (no caso nuclear, por exemplo, este
ponto seria o centro do núcleo).
r
r rr r
r
∂2
1
φE(x) = φE(x0 ) +x.∇φE(x) r r + 2 ∑∑xixj ∂x ∂x φE(x) +...
r r
x=x
i j
0
i
j
x=x0
Expansão de Taylor:
r série de Taylor (série de potências) é aplicável para
uma dada função f(|x|) contínua em relação a um ponto a, i.e., que as derivadas
desta função existam, na região em x =a:
( x − a)
( x − a)2
f ( x ) = f (a ) +
f ′(a) +
f ′′(a) + ...
1!
2!
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r
r
r r
r
φE (x) = φE (x0 ) + x.∇φE (x) r
r
x = x0
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Cesar Augusto Zen Vasconcellos
+ ∑∑ xi x
1
2
i
j
∂2
j ∂x ∂x
i j
r
φ E ( x)
r r
x = x0
+ ...
Da definição de campo elétrico, podemos escrever para o campo
elétrico externo:
r
r
 ∂φE rˆ
r
j = −∑ EE, jrˆj
EE = −∇φE (x) = −∑ 
 ∂x 
j
j
 j
obtemos:
r
r rr r 1
r
∂
φE(x) = φE(x0 ) − x.EE(x0 ) + 2 ∑∑xixj ∂x EE,j(x) r
i
r r
j
i
r
r
x=x0
+ ...
No ponto em que x = x0 ⇒ρ(x) |xr=xr0 = 0, porque a densidade de carga que
produz o campo externo é exterior à região localizada de carga sob
observação.
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Da lei de Gauss da eletrostática:
r r r
r
∇.EE (x) |xr =xr 0 = 4πρE (x) |xr =xr 0 = 0
Uma vez que
r r
∂E j
∂E j
δ ij
∇ .E = ∑
=∑
j ∂x j
ij ∂x i
subtraimos, convencionalmente,
1
6
r2 r r r
r ∇ .E( x ) |xr = xr 0
da expressão da expansão de Taylor do potencial eletrostático
externo. Obtemos então
r
r
r r
r
φ E ( x ) = φ E ( x 0 ) − x .E E ( x 0 )
r
r
E
(
x
)
∂
2
E ,j
1
− 6 ∑ ∑ 3 x i x j − r δ ij
∂x
i
j
[
]
i
r r
x=x0
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+ ...
Combinando-se esta equação
r
r
r r r
φ E ( x ) = φ E ( x 0 ) − x .E E ( x 0 )
r
r
E
(
x
)
∂
2
E
,
j
− 16 ∑ ∑ 3 x i x j − r δ ij ∂ x
i
j
[
]
i
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r r
x=x0
+ ...
com a expressão da energia eletrostática de interação entre a
distribuição localizada de carga e o potencial eletrostático externo
W =
obtemos:
W=
∫
∫
r
d 3 x ρ ( x )φ
E
r
(x )
r
r
d xρ( x )φ E ( x)
3
Q
r
p
64748
64
4744
8 r
r
r
r
r
r
3
3
W = ∫ d xρ( x ) φ E ( x 0 ) − ∫ d xρ( x )x .E E ( x 0 )
[
[
]
[
{
]
}]
r2
r
3
1
− 6 ∑ ∑ ∫ d xρ( x) 3x i x j − r δ ij
3
i j 1444424444
r
∂E E , j ( x )
∂x i
Q ij
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r r
x= x0
+ ..
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Desta expressão podemos definir:
r
Carga total da distribuição.
Q = ∫ d xρ( x)
r
r r
3
Vetor momento de dipolo elétrico.
P = ∫ d xρ( x )x
r2
r
3
Tensor momento de
Q ij = ∫ d xρ( x ) 3x i x j − r δ ij
quadrupolo elétrico.
3
{
}
Combinando estas e a expressão anterior obtemos:
r
r r r
r
E
(
x
∂
E, j )
1
W = Qφ E ( x 0 ) − p.E E ( x 0 ) − 6 ∑ Q ij ∂x r
ij
i
r
x= x0
+ ...
Esta expansão mostra o modo característico como os diferentes momentos
de multipolos elétricos estáticos interagem com um campo externo: a carga
com o potencial, o dipolo com o campo elétrico, o quadrupolo com o
gradiente de campo, e assim por diante.
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Referências:
1. John David Jackson, Classical Electrodynamics, John
Wiley & Sons, Inc., New, York, 1962.
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