Mecanica Racional e Celeste

M ecanica Racional e Celeste
49
Mecanica Racional e Celeste
LUCTO MARTINS RODRIGUES, Lente Cathedratico de
Mecanica Racional da Escola Polytechnica de São Paulo.
II
AS INTEGRAES INFINITAMENTE VISINHAS DAS EQUAÇÕES
DIFFERENCIAES DA DYNAMICA
'
Vamos fazer agora uma I.a applicação, extremamente simples, da questão
de dynamica que estamos desenvolvendo.
Devido á sua simplicidade, não ha necessidad~ agora de recorrermos á
theoria mais geral que foi já exposta, empregando as formulas que ahi foram
dadas. Mas vamos inverter as condições do problema, tal como elle foi a principio tratado :
EXPO~IÇÃO DO PROBLEMA
As equações do movimento dos planetas em torno do Sol, dadas pelas
observações, pouco tempo antes da descoberta das leis de Kepler, eram e são
.ainda hoje as empregadas em uma theoria elementar :
r
(1)
a
(}
-
1
- nt
+
~
e cos nt
2 e sen nt
.onde :
r é o raio vector do centro do planeta, referido ao centro do Sol como
()rigem de coordenadas.
(} a longitude do planeta contada a partir de um eixo fixo do plano de sua
·orbita, á época inicial t = o.
n, o médio movimento.
e (excentricidade) uma constante, como n, determinadas ambas pelas
'Observações.
a uma outra constante, tambem determinada pelas observações, que representa o valor médio de r.
50
Revista Polytechnica
Estas equações definem, como se vê, um movimento infinitamente vis-i
nho de um movimento circular e uniforme, dado por :
r = a
(2)
{
(Solução periodica geratriz dada) .
O
=
nt
A constante arbitraria e é considerada então como infinitésima.
Sabemos que a astronomia do tempo de Tycho Brah~ e Kepler, como ainda hoje, representa as equações (1) como consequencia de um movimento circular, mas em circulo excentrico ao Sol, com tres centros : o centro do circulo
(centro das distancias eguaes), o centro de egualdade do movimento em longitude (longitude proporcional ao tempo) e o centro occupado pelo Sol.
Estes centros são dispostos symetricamente em relação ao centro do circulo,
á distancia a e.
E' a famosa bissecção da excentricidade, effectuada por Kepler, para poder representar a distancia e a longitude do planeta, ao mesmo tempo, na
phase anterior á da legisl~ção mais rigorosa dos movimentos planetarios, que
seu genio deduzio das observações do planeta Marte.
Devemos lembrar, na mesma ordem de idéas, que as mesmas equações (1)
podem provir de um movimento médio sobre um circulo ("deferente", dos
antigos), composto com um pequeno movimento sobre uma ellipse ("epicyclo"
aqui elliptico), cujo centro é a posição média do planeta.
Estes dois movimentos têm n'este caso o mesmo período, de modo que
a trajectoria é uma curva fechada.
Esta concepção do movimento é justamente aquella que nos dá a theoria
geral que estamos applicando.
Aquestão a resolver é então a seguinte :
Partindo-se das equações (1), dadas pelas observações, determinar
as leis de Kepler e a lei de Newton de attracçiio, que vão reger o
movimento do planeta.
Tal é a questão proposta, que differe pela fôrma, do problema classico
analogo tratado nos compendios ~e Mecanica Racional, pois que aqui partimos de um movimento differencial, dadó em funcção do tempo por:
r
a
{ ()- nt
- a ecos nt
=
-
2 e sen nt
Designemos por x e y/a os accrescimos infinitésimos de r e O.
Temos:
a ecos nt
(3)
-
2 a e sen nt
M ecanica Racional e Celeste
51
E' facil de vêr que x e y são as coordenadas cartesianas do planeta, em
relação a eixos moveis que têm sua origem na posição média do planeta. O
eixo dos x coincide com o raio vector da posição media, e o dos y com a normal
a esse raio.
Estes valores (3) correspondem á solução linear das equações differenciaes
do movimento do planeta, em torno de sua posição média, e que damos em (4) :
Derivando em relação ao tempo as relações (3) e tendo em conta as mesmas relações, temos:
· d 2x
-+
dt 2
(4) .
dy
dt
+
n 2x -
o.
=o.
2nx
Estas equações devem ser identicas ás equações aos accrescimos das variaveis r e (}, ou empregando a terminologia de Poincaré, ás equações ás "variações das equações differenciaes de movimento", que em coordenadas polares são :
(5)
d(}
r2
=
'Y
dt
F é a força acceleratriz do movimento.
'Y é a constante das áreas.
Vejamos, de facto, se a identificação póde ser feita.
Determinemos as equações ás variações de (5).
Pondo-se:
{:
a
-
+
x
y
nt
+ -.
a
e conservando no resultado apenas os termos lineares do désenvolvimento e
observando que r = a, (} = nt, verificam as m~smas equações, o que dá
F= - n 2 a
'
vem:
dF
d 2x
2n dy - n 2x X
2
da
dt
dt
--
(6)
dy
dt
+
2nx -
o.
52
Revista Polytechníca
Ob ervemos que, pa samos rapidamente das equações (5) ás equações
lineares (6) por uma operação de differenciação (symbolo o), onde no resultado d'essa differenciação devemos fazer :
r o.r -
dO
dt
dO
o
dt
a
X
n
-
dy
dt
-
1
a
+ 2r ~ o ~ -
2
[ dO ] or
dt
dt
n 2x
+ 2n
dt
dy
dt
Assim:
o . r2
dO - dO . 2ror
dt
+
r 2o dO - 2anx
dt
dt
+
a
dy
dt
A 2. a equação (6) é a equação á "variação das áreas" identica á tirada das
observações (4), o que mostra que o movimento do planeta se realisa segundo
a lei das áreas e que, portanto, a força é central, como suppuzemos pelas equações (5).
Como admittimos "a priori" a existencia de uma funcção de forças, conclue-se que a força F é funcção da distancia, não dependendo de O.
Effectuando a separação da variavel x em (6), temos a equação :
d2x
dt 2
+
[3n2- dF]x =O
da
Identificando com a equação (4) deduzida das equações do movimento
observado, e tendo em conta o valor obtido :
F
a
temos:
dF
da
+ 2 _!_ -
O
a
Integrando esta equação differencial, vem :
M ecanica Racional e Celeste
5.3
FA constante de integração J.L é determinada, comparando-se os dois valores obtidos para F, o que dá :
Do calculo feito de identificação, (observações e theoria), concluímos pois :
1. o - O movimento do planeta se effectua segundo a lei das áreas (lei
de Kepler).
2.
Que a força acceleratriz varia na razão inversa do quadrado da
distancia, pois esta força é
0
-
F-
J.L
--,
para r - a.
que tomou o valor -
a2
Ella é attractiva, como se verifica pelo signal - .
E' a lei de Newton, de attracção.
3.
Da relação J.L = n 2a 3 , concluímos, pois que :
0
-
n
=
27r
T
T sendo o tempo de revolução do planeta :
que é a 3. a lei de Kepler, de proporcionalidade dos cubos das distancias médias
para os quadrados dos tempos das revoluções slderaes.
As equações (1) se applicam tanto ao circulo excentrico como á ellipse,
pois que aos termos da ordem de grandeza de e2 , estas duas curvas se confundem.
Basta suppôr para isso, que a ellipse seja a projecção orthogonal do circulo
infinitamente visinho. O coseno do pequeno angulo de projecção vae differir
então da unidade, por termos da ordem e2 , o que nos faz vêr a egualdade dos
elementos da ellipse, com os correspondentes do circulo, á ordem e2 perto.
Assim, os fócos e o centro da ellipse se confundem respectivamente com os
•
54
Revista Polytechnica
.
tres centros estabelecidos pelos antigos, no circulo, para representação do movimento dos planetas.
Mas agora estamos habilitados a tratar o problema proposto, em toda
sua generalidade, pois determinamos a lei çla força acceleratriz do movimento
do planeta e portanto, podemos verificar a fórma elliptica, rigorosa, da respectiva trajectoria, para valores finitos de e, como discutir a solução geral.
Mas, nosso intuito foi apenas mostrar, como das equações não rigorosas de
movimento podemos concluir as verdadeiras leis d'esse movimento.
Ou ainda, como de um movimento differencial (e infinitésimo), podemos
concluir o movimento geral. Este resultado mostra não ser necessario o conhecimento prévio das leis de Kepler, para obtermos a lei de Newton de gravitação. Basta o conhecimento das equações empíricas do movimento dos planetas, dos antigos astronomos.
Poderíamos chegar ao mesmo resultado suppondo que a trajectoria é uma
curva fechada e a força central é funcção da distancia (Problema de Bertrand).
A seguir, faremos pelo mesmo methodo elementar, a determinação da
solução que se apresenta em certos problemas da Mecanica Celeste e Racional
como ainda a das soluções chamadas asymptoticas, nosso intuito sendo, repetimos, o de apresentar theorias elementares, facilmente accessiveis, para a comprehensão de bellos problemas de movimento, apresentados pela Natureza.
TRANSITO BRASI,L
NACIONAL
MAX BERETTi\.
Fabricam-se e concertam-se Instrumentos de Engenharia e de Labo-
.
ratorio.
25 annos de
pratica nas
.
casas europeas e
.
maiores
americanas.
C.OJ.Il. E OEEICIN./1:
R. ANTONIO DE GODOY, 1:8
TELEPH.
4 • 0682
-
S.IÍO
P.ll(JC.O
Prefiram os nossos annunciantes.