O Equilíbrio Hidrostático

Introdução à Astrofísica
INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA
LIÇÃO 21 – O EQUILÍBRIO
HIDROSTÁTICO
Lição 20 – O Equilíbrio
Hidrostático
As estrelas se formam a partir de regiões densas e frias, chamadas de
nebulosas. A nebulosa começa a colapsar devido à gravidade, espremendo
cada vez mais seu centro. Isso faz com que as regiões internas comecem a
produzir reações nucleares. A reação nuclear fará com que radiação seja
emanada do centro da estrela para fora. Cria-se então duas forças opostas:
uma força de dentro pra fora, em forma de radiação, e uma força de fora
pra dentro (a gravidade). Essas duas forças em equilíbrio ocasionam a
estabilidade da estrela. Nessa lição, vamos estudar esse processo.
Para deduzir a estrutura das estrelas de forma detalhada precisamos gerar
modelos computadorizados consistentes com as leis físicas. O estudo teórico
da estrutura estelar, junto com os dados observacionais, mostram que as
estrelas são objetos dinâmicos, com variações a uma taxa que poderiam ser
consideradas lentas para os padrões humanos, embora as vezes variem de
maneira drástica, como uma supernova.
No sol, 3,839 × 1026 J de energia é emitida por segundo. Uma vez que as
estrelas não possuem um reservatório infinito de energia, elas usam o que é
disponível e morrem. A medida que as estrelas queimam seu combustível elas
buscam superar a força gravitacional que busca o colapso. Evolução estelar
é o resultado dessa luta constante contra a gravidade.
A força gravitacional é sempre uma força atrativa. Isso implica
que deve existir uma força oposta que faça com que a estrela
não colapse. Essa força oposta é a pressão interna. Para
calcular como a pressão deve variar com a profundidade vamos
considerar que a estrela seja um cilindro de massa 𝑑𝑚 cuja
base esteja localizada a uma distância 𝑟 do centro de uma
estrela esférica. A força 𝐹𝑃,𝑡 é a força de pressão aplicada no
topo do cilindro, enquanto que 𝐹𝑃,𝑏 é a força de pressão
aplicada na base do cilindro. Da segunda lei de Newton, temos
que:
𝑑2𝑟
𝑑𝑚 2 = 𝐹𝑔 + 𝐹𝑃,𝑡 + 𝐹𝑃,𝑏
𝑑𝑡
Nessa equação, 𝐹𝑔 é a força gravitacional que sempre aponta
para o interior da estrela. Também existem forças nas laterais
do cilindro, mas todas elas irão se cancelar.
A força exercida na parte superior do cilindro será direcionada para o interior (𝐹𝑃,𝑡 < 0), enquanto que a pressão na parte
inferior será para cima (𝐹𝑃,𝑏 > 0). Assim, escrevemos:
𝐹𝑃,𝑡 = − 𝐹𝑃,𝑏 + 𝑑𝐹𝑃
Substituindo esse valor na equação anterior:
𝑑2 𝑟
𝑑𝑚 2 = 𝐹𝑔 − 𝑑𝐹𝑃
𝑑𝑡
A força gravitacional sobre um elemento de massa 𝑑𝑚 localizada à uma distância 𝑟 do centro da estrela é dada por:
𝑀𝑟 𝑑𝑚
𝐹𝑔 = −𝐺
𝑟2
Onde 𝑀𝑟 é a massa dentro da esfera de raio 𝑟. A pressão é definida como a força por unidade de área (𝑃 = 𝐹/𝐴). A força
diferencial pode ser escrita como 𝑑𝐹𝑃 = 𝐴𝑑𝑃. Assim:
𝑑2 𝑟
𝑀𝑟 𝑑𝑚
𝑑𝑚 2 = −𝐺
− 𝐴𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑟2
Se a densidade do gás no cilindro é 𝜌, sua massa é dada em termos de
𝑑𝑚 = 𝜌𝐴𝑑𝑟
Note que o termo 𝐴𝑑𝑟 é o volume do cilindro. Assim, escrevemos:
Dividindo tudo por 𝐴𝑑𝑟:
𝑑2 𝑟
𝑀𝑟 𝜌𝐴𝑑𝑟
𝜌𝐴𝑑𝑟 2 = −𝐺
− 𝐴𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑟2
𝑑2 𝑟
𝑀𝑟 𝜌 𝑑𝑃
𝜌 2 = −𝐺 2 −
𝑑𝑡
𝑟
𝑑𝑟
Essa é a equação para o movimento radial do cilindro, assumindo uma simetria esférica.
Se assumirmos que a estrela é estática, então termo 𝑑 2 𝑟/𝑑𝑡² , que é a
aceleração, tem de ser zero. Logo:
𝑑𝑃
𝑀𝑟 𝜌
= −𝐺 2 = −𝜌𝑔
𝑑𝑟
𝑟
Note que escrevemos
𝑀𝑟
𝑔≡𝐺 2
𝑟
Que nada mais é do que a aceleração da gravidade. Essa equação é a
condição de equilíbrio hidrostático e representa uma das equações
fundamentais da estrutura estelar para objetos esfericamente simétricos. Essa
equação nos diz que, para uma estrela ser estática, então o gradiente de
pressão deve existir para compensar a gravidade. Note que não é a pressão
que mantém a estrela em equilíbrio, mas sim a variação da pressão com o
raio.
Para calcular a pressão no centro do Sol, vamos assumir que 𝑀𝑟 = 1𝑀⊙,𝑟 = 1𝑅⊙ e 𝜌⊙ =
1410 𝑘𝑔𝑚−3 é a densidade solar média. Assumindo também que a pressão na superfície seja
zero, temos:
𝑑𝑃 𝑃𝑠 − 𝑃𝑐
𝑃𝑐
≈
≈−
𝑑𝑟 𝑅𝑠 − 0
𝑅⊙
O termo 𝑃𝑐 é a pressão central. Substituindo na equação de equilíbrio hidrostático:
30
𝑀⊙ 𝜌⊙
1,988
×
10
× 1410
𝑃𝑐 ~ 𝐺
~ 6,674 × 10−11
~ 2,7 × 1014 𝑁𝑚−2
8
𝑅⊙
6,957 × 10
Para obter um valor mais preciso, devemos integrar a equação de equilíbrio hidrostático da
superfície até o centro, considerando as variações de massa no interior da estrela em cada
ponto junto com a variação de densidade. Logo:
𝑃𝑐
𝑅𝑐
𝐺𝑀𝑟 𝜌
𝑑𝑟
2
𝑟
𝑃𝑠
𝑅𝑠
Para resolver essa integral, necessitamos de 𝑀𝑟 e 𝜌𝑟 , o que, infelizmente, não estão disponíveis
de maneira simples. Uma estimativa mais rigorosa da pressão central obtida através de modelos
precisos é 2,34 × 1016 𝑁𝑚−2 . Note que esse valor é bem maior do que o obtido anteriormente.
Isso se deve ao fato do crescimento de densidade em direção à região central.
𝑑𝑃 = 𝑃𝑐 = −
Uma segunda relação existe envolvendo massa, raio e
densidade. Novamente, consideremos uma estrela com
simetria esférica. Seja uma camada de massa 𝑑𝑀𝑟 , e espessura
𝑑𝑟, localizada a uma distância 𝑟 do centro.
Se a camada é suficientemente fina (𝑑𝑟 ≪ 𝑟), o volume da
camada é dado por:
𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟
Se a densidade do gás é 𝜌, a massa da camada será dada por
𝑑𝑀𝑟 = 𝜌 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟
Reescrevendo, obtemos a equação de conservação de massa:
𝑑𝑀𝑟
= 4𝜋𝑟 2 𝜌
𝑑𝑟
Essa equação nos diz que a massa no interior de uma estrela
deve variar com a distância ao centro.
A EQUAÇÃO DO ESTADO
Vimos que existe uma pressão interna na estrela, porém ainda não vimos
nenhuma informação a respeito da origem desse termo. Devemos obter uma
equação de estado, a fim de descrever as interações entre as partículas. Um
exemplo famoso de uma equação de estado é a lei dos gases ideais, dada
por 𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇, onde 𝑉 é o volume do gás, 𝑁 é o número de partículas, 𝑇 é a
temperatura e 𝑘 é a constante de Boltzmann.
Considere um cilindro de comprimento Δ𝑥 e área A. Dentro do
cilindro há gás, de modo que o mesmo seja composto por
partículas pontuais de massa 𝑚 que interagem através de
colisões elásticas. Para determinar a pressão exercida sobre um
dos extremos do cilindro devemos examinar o resultado de um
impacto sobre a parede do lado direito por uma partícula
individual. A colisão é perfeitamente elástica e portanto o
ângulo de incidência deve ser igual ao ângulo de reflexão. A
variação da quantidade de movimento da partícula é dada
somente na direção x. A partir da segunda e terceira lei de
Newton, o impulso (força aplicada em certo tempo)
transmitido à parede é o negativo da variação da quantidade
de movimento da partícula:
𝐹Δ𝑡 = −Δ𝑝 = 2𝑝𝑥
Note que a partícula deve atravessar o cilindro duas vezes antes de retornar para
uma segunda colisão. Logo, o tempo de colisão com a mesma parede (pela mesma
partícula) é:
Δ𝑥
Δ𝑡 = 2
𝑣𝑥
Logo, a força média exercida sobre a parede por uma única partícula, em certo
período de tempo, é:
2𝑝𝑥 𝑝𝑥 𝑣𝑥
𝐹=
=
Δ𝑡
Δ𝑥
Atente para o numerador. Pela relação da quantidade de movimento, sabemos que
𝑝 ∝ 𝑣, logo podemos escrever 𝑝𝑥 𝑣𝑥 ≡ 𝑣𝑥2 . Para partículas se movendo em direções e
sentidos aleatórios, escrevemos a velocidade como: 𝑣 2 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 . Como o
movimento provável em cada uma das 3 direções é o mesmo, escrevemos 𝑣𝑥2 =
𝑣𝑦2 = 𝑣𝑧2 = 𝑣 2 /3.
Logo, obtemos a relação da força média por partícula:
1 𝑝𝑣
𝐹 𝑝 =
3 Δ𝑥
No caso geral, as partículas possuem certo intervalo de momentum. Se o
número de partículas com momentum entre 𝑝 e 𝑝 + 𝑑𝑝 é dado por 𝑁𝑝 𝑑𝑝,
então o número total de partículas no cilindro será:
∞
𝑁=
𝑁𝑝 𝑑𝑝
0
A contribuição para a força total, 𝑑𝐹(𝑝), por todas as partículas no intervalo
de momentum 𝑑𝑝 será:
1 𝑁𝑝
𝑑𝐹 𝑝 = 𝐹 𝑝 𝑁𝑝 𝑑𝑝 =
𝑝𝑣𝑑𝑝
3 Δ𝑥
Integrando sobre todos os possíveis valores de 𝑝:
1 ∞ 𝑁𝑝
𝐹=
𝑝𝑣𝑑𝑝
3 0 Δ𝑥
Que será a força total exercida pela partícula na colisão.
Dividindo ambos os lados da expressão pela área 𝐴, obteremos a pressão sobre a superfície
𝑃 = 𝐹/𝐴. Atente que 𝐴Δ𝑥 nada mais é do que o volume Δ𝑉 do cilindro. O termo 𝑛𝑝 𝑑𝑝 é o
número de partículas por unidade de volume:
𝑁𝑝
𝑛𝑝 𝑑𝑝 ≡
𝑑𝑝
Δ𝑉
Logo, a pressão exercida sobre a parede do cilindro é:
1
𝐹=
3
∞𝑁
𝑝
0
Δ𝑥
𝑝𝑣𝑑𝑝
1 ∞
𝑃=
𝑛 𝑝𝑣𝑑𝑝
3 0 𝑝
Chamamos esse termo de pressão integral. Essa equação é válida para partículas com e sem
massa (fótons) viajando a qualquer velocidade. Para o caso de partículas com massa, não
relativísticas, podemos usar 𝑝 = 𝑚𝑣 e escrevemos a integral como:
1 ∞
𝑃=
𝑚𝑛𝑣 𝑣²𝑑𝑣
3 0
Onde o termo 𝑛𝑣 𝑑𝑣 = 𝑛𝑝 𝑑𝑝 é o número de partículas por unidade de volume com velocidade
entre 𝑣 e 𝑣 + 𝑑𝑣.
A função 𝑛𝑣 𝑑𝑣 é dependente da natureza física do sistema. No caso de um
gás ideal, 𝑛𝑣 𝑑𝑣 é a distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann.
𝑚 3/2 −𝑚𝑣 2 /2𝜅𝑇
𝑛𝑣 𝑑𝑣 = 𝑛
𝑒
4𝜋𝑣²𝑑𝑣
2𝜋𝜅𝑇
Onde a densidade numérica de partículas é:
∞
𝑛=
𝑛𝑣 𝑑𝑣
0
Substituindo na equação de pressão integral, temos 𝑃𝑔 = 𝑛𝜅𝑇.
Em astrofísica é comum expressar esta equação de outra forma. Já que 𝑛 é a
densidade numérica de partículas, deve estar relacionada à densidade de
massa do gás. Podemos então escrever 𝑛 = 𝜌/ 𝑚 , onde 𝑚 é a massa média
das partículas do gás.
Assim, podemos escrever a lei dos gases ideais como:
𝜌𝜅𝑇
𝑃𝑔 =
𝑚
Definimos o peso molecular médio como
𝑚
𝜇≡
𝑚𝐻
Onde 𝑚𝐻 = 1,673532499 × 10−27 𝑘𝑔 é a massa do átomo de Hidrogênio. O peso
molecular médio é a massa média de uma partícula livre do gás, em unidades
da massa do Hidrogênio. Logo, escrevemos a lei dos gases ideais como:
𝜌𝜅𝑇
𝑃𝑔 =
𝜇𝑚𝐻
O peso molecular médio depende da composição do gás e do estado de
ionização. O nível de ionização entra porque os elétrons livres devem ser
incluídos na massa média por partícula. A equação de Saha é necessária para
calcular os números relativos dos estados de ionização. No entanto, quando o
gás é neutro ou ionizado, os cálculos se simplificam.
Para um gás completamente neutro:
𝑚𝑛 =
𝑗 𝑁𝑗 𝑚𝑗
𝑗 𝑁𝑗
Onde 𝑚𝑗 e 𝑁𝑗 são, respectivamente, a massa e o número total de átomos no
gás. Dividindo tudo por 𝑚𝐻 :
𝑗 𝑁𝑗 𝐴𝑗
𝜇𝑛 =
𝑗 𝑁𝑗
Para um gás ionizado:
𝑗 𝑁𝑗 𝐴𝑗
𝜇𝑖 =
𝑗 𝑁𝑗 1 + 𝑧𝑗
Onde 1 + 𝑧𝑗 leva em conta o núcleo mais o número de elétrons livres.
Invertendo a expressão para 𝑚 é possível escrever equações alternativas para 𝜇
em termos de frações de massa. Lembrando que 𝑚 = 𝜇𝑚𝐻 a equação para 𝑚𝑛
é:
1
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑗 𝑁𝑗
=
=
𝜇𝑛 𝑚𝐻
𝑁
𝑚
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑠
𝑗 𝑗 𝑗
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑗 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑗
=
∙
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑗
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑔𝑎𝑠
𝑗
𝑁𝑗
𝑋𝑗
𝑁𝑗 𝐴𝑗 𝑚𝐻
=
𝑗
=
𝑗
1
𝑋𝑗
𝐴𝑗 𝑚𝐻
Onde 𝑋𝑗 é a fração de massa dos átomos do tipo 𝑗. Resolvendo para 1/𝜇𝑛 :
1
1
=
𝑋𝑗
𝜇𝑛
𝐴𝑗
𝑗
Então, para um gás neutro:
1
1
1
≅𝑋+ 𝑌+
𝜇𝑛
4
𝐴
𝑍
𝑛
O termo 1/𝐴 𝑛 é a média ponderada de todos os elementos do gás mais pesados
que o Hélio.
O peso molecular de um gás completamente ionizado pode ser determinado de
maneira semelhante. Para isso, devemos incluir o número total de partículas, núcleos
e elétrons. Para um gás completamente ionizado, a equação para 1/𝜇𝑖 se torna:
1 + 𝑧𝑗
1
=
𝑋𝑗
𝜇𝑖
𝐴𝑗
𝑗
Incluindo o Hidrogênio e o Hélio:
1
3
1+𝑧
≅ 2𝑋 + 𝑌 +
𝑍
𝜇𝑖
4
𝐴
𝑖
Para elementos mais pesados do que o Hélio, 1 + 𝑧𝑗 = 𝑧𝑗 ≫ 1 representa o
número de prótons (ou elétrons) em um átomo do tipo 𝑗. Além disso, 𝐴𝑗 = 2𝑧𝑗 ,
uma relação baseada no fato que átomos suficientemente massivos tem
aproximadamente o mesmo número de prótons e neutrons em seus núcleos e
que prótons e neutrons possuem massas aproximadamente iguais. Logo:
1+𝑧
1
≅
𝐴
2
𝑖
Se assumimos que 𝑋 = 0,70, 𝑌 = 0,28 e 𝑍 = 0,02, uma composição típica de
estrelas jovens, então 𝜇𝑛 = 1,30 e 𝜇𝑖 = 0,62.
Combinando as equações
𝑃𝑔 = 𝑛𝜅𝑇
1
𝑃=
3
Obtemos
1
𝑛𝜅𝑇 =
3
Podemos reescrever essa equação como:
∞
𝑚𝑛𝑣 𝑣 2 𝑑
0
∞
𝑚𝑛𝑣 𝑣 2 𝑑𝑣
0
1 ∞
3𝜅𝑇
𝑛𝑣 𝑣 2 𝑑𝑣 =
𝑛 0
𝑚
Porém, o lado esquerdo dessa expressão é a integral da média de 𝑣 2 ponderada pela função
de distribuição de Maxwell-Boltzmann. Então:
𝑣
Ou então
2
3𝜅𝑇
=
𝑚
1
3
2
𝑚 𝑣 = 𝜅𝑇
2
2
O fator 3 provém da média das velocidades das partículas nas três direções (ou graus de
liberdade).
Logo, a energia cinética média de uma partícula é
1
𝜅𝑇
2
Por grau de liberdade.