Banco de questões

UNIDADE V I I
análise combinatória, binômio de Newton e
probabilidade
CA P Í T U LO
Banco de questões
21 Análise combinatória
1(Fuvest – SP) Em uma classe de 9 alunos, todos
se dão bem, com exceção de Andréia, que vive
brigando com Manoel e Alberto.
Nessa classe, será constituída uma comissão de
cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros.
Quantas comissões podem ser formadas?
a)71
b)75
c)80
d)83
e)87
2(UEMG – MG) Pretende-se selecionar 6 pessoas
de um grupo de 3 professores e 6 alunos, para
participarem de uma propaganda da escola. Na
propaganda devem aparecer 2 professores e 4
alunos.
Esta seleção poderá ser feita de:
a)360 modos
b)45 modos
c)1080 modos
d)60 modos
3(UERJ – RJ) Sete diferentes figuras foram criadas
para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do
Candidato do Vestibular Estadual 2007.
Um desses grupos está apresentado a seguir.
Considere que cada grupo de quatro figuras que
poderia ser formado é distinto de outro somente
quando pelo menos uma de suas figuras for diferente.
Nesse caso, o número total de grupos distintos
entre si que poderiam ser formados para ilustrar
o Manual é igual a:
a)24
b)35
c)70
d)140
4(UERJ – RJ) Um sistema de numeração de
base b, sendo b ≥ 2, utiliza b algarismos:
0, 1, 2, 3, …, b − 1. O sistema de numeração usual
é o decimal. Quando escrevemos um número
nesse sistema, a base 10 não precisa ser indica-
da. Por exemplo, o número 3548 corresponde a
3 ⋅ 103 + 5 ⋅ 102 + 4 ⋅ 101 + 8 ⋅ 100. Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base. Por exemplo, o número ( 2043)5 está escrito na base b = 5
e corresponde a 2 ⋅ 53 + 0 ⋅ 52 + 4 ⋅ 51 + 3 ⋅ 50, ou seja,
273 no sistema decimal.
Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de
zeros à esquerda da representação de um número não altera seu valor. Os números ( 301)7 e
(0301)7 são, portanto, iguais e formados por três
algarismos.
Calcule, no sistema de numeração de base 7, a
quantidade total de números que possuem somente quatro algarismos distintos.
5(UFAC – AC) Emanuel investigou os seguintes
números: A quantidade máxima de maneiras de
preencher, ao acaso, a folha de respostas de uma
prova de matemática que contém 7 questões do
tipo múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas e a quantidade máxima de triângulos
que podem ser construídos com vértices tomados sobre 30 pontos distintos de uma circunferência de raio r > 0.
Se seus cálculos foram feitos corretamente, neles
podemos ver que:
a)o maior número de triângulos que podem
ser construídos é maior que o maior número
possível de folhas de respostas preenchidas
ao acaso
b)os números investigados são iguais
c)os números investigados são maiores que
4070
d)os números investigados são menores que
70000
e)o maior número de triângulos que podem
ser construídos é menor que o maior número possível de folhas de respostas preenchidas ao acaso
6(UFMS – MS) Dispomos de quatro cores para
colorir os vértices de um retângulo. Sabendose que os vértices adjacentes não podem ter a
mesma cor, então, pode-se colorir os vértices
do retângulo de L maneiras distintas, em que L
vale:
a)48
c)72
e)102
b)64
d)84
MATEMÁTICA – CIÊNCIA E LINGUAGEM - Jackson Ribeiro
7(UFPI – PI) A quantidade de números inteiros
ímpares de três dígitos, escritos na base 10 , tais
que em cada um deles nenhum dígito se repita,
é igual a:
a)320
c)340
e)360
b)330
d)350
8(UFRN – RN) Arranjam-se os dígitos 1, 2, 3 e 4
de todos os modos possíveis, formando-se 24
números de 4 dígitos distintos. Listam-se, em
ordem crescente, os 24 números formados.
Nessa lista, o número 3241 ocupa a:
a)14.a posição
b)13.a posição
c)16.a posição
d)15.a posição
9(Ufscar – SP) Um encontro científico conta com
a participação de pesquisadores de três áreas,
sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo
decidiu formar uma comissão de dois cientistas
para representá-lo em um congresso. Tendo sido
estabelecido que a dupla deveria ser formada
por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no
congresso é igual a:
a)46
b)59
c)77
d)83
e)91
10(Unesp – SP) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números
1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme
o esquema.
O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje
um rapaz, é:
a)4
b)6
c)8
d)12
e)16
11(FGV – SP) Uma empresa tem n vendedores que,
com exceção de dois deles, podem ser promo-
vidos a duas vagas de gerente de vendas. Se há
105 possibilidades de se efetuar essa promoção,
então o número n é igual a:
a)10
b)11
c)13
d)15
e)17
12(FGV – SP) Três números inteiros distintos, de –20
a 20, foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. O número de maneiras diferentes de se fazer essa escolha é:
a)4940
b)4 250
c)3820
d)3640
e)3280
13(Udesc – SC) O valor de n, para que o número
de combinações de n elementos tomados dois a
dois seja igual ao número de combinações de n
elementos tomados quatro a quatro, é:
a)4
b)7
c)5
d)8
e)6
14(Udesc – SC) A soma dos valores de m e n, que
são soluções do sistema
 Am, 2 − 2Cn, 2 = 14

, é:
 Cm, 1 + An, 2 = 11
a)6
b)7
c)8
d)5
e)3
15(UESC – BA) O valor de x ∈N, tal que
( x + 2)!( 2x + 2)! = 40, é:
( 2x + 1)!( x + 1) x !
a)6
b)3
c)4
d)5
e)2
16(UFC – CE) Escolhemos cinco números, sem repetição, dentre os inteiros de 1 a 20. Calcule
quantas escolhas distintas podem ser feitas, sabendo que ao menos dois dos cinco números selecionados devem deixar um mesmo resto quando divididos por 5.
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17(UFPE – PE) Um quarteto de cordas é formado
por dois violinistas, um violista e um violoncelista, e os dois violinistas exercem funções
diferentes. De quantas maneiras se pode compor um quarteto, se podemos escolher entre
quatro violinistas, três violistas e dois violoncelistas?
Sabe-se que os 12 candidatos são distintos e que
a votação para Reitor seria realizada primeiro e o
eleito seria o mais votado entre os 7 inscritos. Em
seguida, realizar-se-ia a eleição para Vice-reitor,
ocasião em que o mais votado, entre os inscritos
da categoria profissional diferente da do Reitor
eleito, seria o escolhido, isto é, se o Reitor eleito fosse um docente, o Vice-reitor deveria ser
um funcionário administrativo e vice-versa. Com
base nesses dados, podemos afirmar que o número de maneiras possíveis de escolher o Reitor
e o Vice-reitor dessa Universidade é:
a)15
b)16
c)17
d)18
e)19
18(UFS –SE) O proprietário de 5 casas enfileiradas
deseja pintá-las, cada uma de uma só cor. Ele
dispõe de 5 cores de tinta diferentes. Julgue em
verdadeira ou falsa as afirmações.
( )Há 2000 maneiras distintas de pintá-las de
mo­do que não haja duas casas vizinhas com a
mes­ma cor.
( )Há 150 maneiras distintas de pintá-las de mo­
do que somente a primeira e a última tenham
a mesma cor.
( )Há 60 maneiras distintas de pintá-las de modo
que somente as três casas centrais tenham a 22(Uespi – PI) Num debate entre candidatos a
governador de certo Estado, compareceram 7
mesma cor.
candidatos, sendo 4 homens e 3 mulheres. A
( )Há 20 maneiras distintas de pintá-las de mo­
organização do evento resolveu que os candido que: a primeira, a terceira e a quinta sejam
datos ficariam lado a lado, numa disposição não
de uma mesma cor; e a segunda e a quarta
circular e que os homens não ficariam juntos um
se­jam de uma mesma cor, diferente da ante­
do outro, e sim em posição alternada com as
rior.
mulheres. Para isso, em cada um dos sete locais
( )Há 180 modos distintos de pintá-las utilizana serem ocupados pelos candidatos, foi colocado as 5 cores de tinta disponíveis.
do o nome do seu respectivo ocupante. Nessas
19(UEL – PR) Antônio e Bruno são membros atuan­
condições, é correto afirmar que o número de
tes do Grêmio Estudantil e estão se formando
maneiras diferentes de esses candidatos serem
nu­ma turma de 28 alunos. Uma comissão de forarrumados em seus respectivos locais no debate
matura, com 5 membros, deve ser formada para
é de:
a organização dos festejos. Quantas comissões
a)121
podem ser formadas de modo que Antônio e
b)124
Bruno sejam membros?
c)136
a)2600
d)144
b)9828
e)169
c)9288
23(UFPA – PA) No cartão da mega-sena existe
d)3276
a opção de aposta em que o apostador marca
e)28
oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o
20(UEPB – PB) Suponha que
apostador conheça um pouco de Análise Com n  n  n
 n
binatória e que ele percebeu que é mais vanta 1 +  2 +  3 + … +  n = 8191. O valor de n
joso marcar um determinado número de cartões
usando apenas os oito números, de modo que,
será:
se os seis números sorteados estiverem entre
a)14
os oito números escolhidos, ele ganha, além da
b)12
sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis
c)13
números,
a quantidade de cartões que o apostad)15
dor deve apostar é:
e)11
a)8
21(Uespi – PI) Na eleição para a diretoria de uma
b)25
Universidade pública, apresentaram-se 7 candida­
c)28
tos a Reitor, sendo 4 docentes e 3 funcionários
d)19
administrativos, e 5 candidatos a Vice-reitor, sendo 3 docentes e 2 funcionários administra­tivos.
e)17
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24(Ufpel – RS) O futebol de salão, também chamado de futsal, é uma variante do futebol com regras diferentes. As equipes têm 5 participantes,
o goleiro e mais 4, e o jogo é realizado em uma
quadra menor, com piso de madeira. O Brasil
tem se destacado nesse esporte, com a conquista de vários títulos mundiais.
Considerando que o treinador da Seleção Brasileira dispõe de 10 jogadores e que três desses
são goleiros e só jogam nessa posição, o número
de times diferentes que ele poderá formar é:
a)38
b)105
c)840
d)843
e)252
f )I.R.
exemplo, CACI. O número de siglas possíveis
é 12.
( )Quando sete pessoas se encontram e todas
se cumprimentam, o número de apertos de
mão possível, sem que os cumprimentos se
repitam, é 42.
( )Numa lanchonete há cinco tipos de sucos:
laranja, abacaxi, acerola, limão e morango.
Eles são servidos em copos de três tamanhos:
pequeno, médio e grande. Não é permitido
misturar sabores. O número de maneiras possíveis de se pedir um suco é 15.
25(UFRJ – RJ) Nove pessoas serão distribuídas em
três equipes de três para concorrer a uma gincana.
O número de maneiras diferentes de formar as
três equipes é menor do que 300?
26(UFRJ – RJ) Seja n = 20!. Determine o maior fator
primo de n.
27(UFRJ – RJ) Um sítio da internet gera uma senha
de 6 caracteres para cada usuário, alternando le­
tras e algarismos. A senha é gerada de acordo com
as seguintes regras:
•não há repetição de caracteres;
•começa sempre por uma letra;
•o algarismo que segue uma vogal corresponde
a um número primo;
•o algarismo que segue uma consoante corresponde a um número par.
Quantas senhas podem ser geradas de forma
que as três letras sejam A, M e R, em qualquer
ordem?
28(UFSC – SC) Julgue em verdadeiras ou falsas as
seguintes proposições:
( )Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma das retas determinadas pelos seus vértices, a probabilidade
de que a reta passe pelo centro do hexágo1
no é .
8
( )Se cinco atletas disputam uma prova de corrida de 800 metros, então o número de resultados possíveis para os dois primeiros lugares,
sem que haja empates, é 10.
( )Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram
uma empresa de prestação de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla
formada pelas iniciais dos seus nomes, por
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Respostas do capítulo 21
1a
2b
3b
4720
5e
6d
7d
8c
9d
10e
11e
12a
13e
14c
15b
1614 480
1772
18F, F, V, V, F
19a
20c
21c
22d
23c
24b
25Sim, porque 280 é menor do que 300.
26 19
27432 senhas
28F, F, V, F, V
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