Principais Estados do Campo Eletromagnético e suas Propriedades

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA
Principais Estados do Campo Eletromagnético e
suas Propriedades Estatísticas
Jonas Gomes Machado de Oliveira
ORIENTADOR: Prof. Msc. José de Souza Sales
Anápolis
09 de Dezembro de 2011
2
JONAS GOMES MACHADO DE OLIVEIRA
Principais Estados do Campo Eletromagnético e
suas Propriedades Estatísticas
Monografia apresentada como Trabalho de Conclusão
do Curso de Licenciatura em Física, como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do título de
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de
Goiás.
ORIENTADOR: Prof. Msc. José de Souza Sales
Anápolis
09 de Dezembro de 2011
3
4
Aos meus pais, José
Gomes Machado e Dulcelene de Oliveira Cardoso.
5
Agradecimentos
• Agradeço primeiramente a Deus, pela minha vida, saúde, família. E a quem dedico toda
honra e toda glória.
• Ao meu Orientador, José Salles, pela escolha do tema, discussões e apoio.
• Aos meus pais, José e Dulcelene, que sempre me guiaram e orientaram nos estudos e na
minha vida com muita sabedoria.
• A minha Esposa, Patrícia Gomes, pela paciência e compreensão.
• A minha Irmã, Brunna Karoliny, que sempre me deu força e orientação ao longo do
trabalho.
• Ao Professor Clodoaldo Valverde, pelas orientações e idéias.
• Aos meus colegas de curso, que devo muito apoio e idéias.
• A todos, meus sinceros agradecimentos.
6
Conteúdo
Lista de Figuras ........................................................................................................................ ii
Introdução ................................................................................................................................. 9
1.1 Breve Histórico da Mecânica Quântica ............................................................................ 9
1.2 Introduções a Óptica Quântica ......................................................................................... 10
1.3 O Campo Eletromagnético na Óptica Quântica ............................................................. 12
A Quantização do Campo Eletromagnético ......................................................................... 14
2.1 A Contribuição da Física Clássica ................................................................................... 14
2.2 A Energia Quantizada ....................................................................................................... 16
2.3 Notação de Dirac ............................................................................................................... 28
Estados do Campo Eletromagnético ..................................................................................... 30
3.1 Estado de Número.............................................................................................................. 31
3.2 Estado Coerente ................................................................................................................. 33
3.3 Estado de Número Deslocado .......................................................................................... 37
3.3.1 Alternativa para o Estado de Número Deslocado.......................................... 39
3.4 Estado Coerente Comprimido (ECC).............................................................................. 42
Propriedades Estatísticas ....................................................................................................... 44
4.1 Distribuição de Número Médio de Fótons ..................................................................... 44
4.2 Estatística de Fótons ......................................................................................................... 50
Conclusão ................................................................................................................................ 55
Referências Bibliográficas ..................................................................................................... 57
ii 7
Lista de figuras
2.1 Componente campo elétrico , de uma onda eletromagnética que se propaga ao longo de
z. O comprimento de onda é λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
2.2 O potencial do oscilador harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1 Distribuição de número de fótons do estado coerente
e
. . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Distribuição de número médio de fótons do estado de número deslocado (linha sólida)
para
e
a)
; b)
; c)
. Comparado com a distribuição de
número médio de fótons do estado coerente (linha tracejada) para
e
. . . 40
4.3 Comparação entre a distribuição de número médio de fótons para um estado coerente
com
(linha sólida) e a distribuição de número médio de fótons para o estado
coerente comprimido
, para
e
,
,e
(linha
tracejada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
iii8
Resumo
No contexto da Mecânica Quântica faremos uma breve revisão do seu histórico.
Utilizando de álgebra de operadores e da associação de um único modo de vibração do campo
eletromagnético á um oscilador harmônico simples, relembraremos que a energia do estado do
campo é quantizada. Estudaremos os principais estados do campo eletromagnético calculando
seus coeficientes e suas propriedades estatísticas como a distribuição de número de fótons, o
número médio de fótons e a estatística de fótons dado pelo parâmetro
de Mandel, do estado
de número, do estado coerente, do estado de número deslocado e do estado coerente
comprimido.
9
Capítulo 1
Introdução
Este trabalho foi disposto com objetivo servir como base inicial de pesquisa na área da
Óptica Quântica para alunos e professores da graduação.
1.1 Breve Histórico da Mecânica Quântica
A Mecânica Quântica trata-se de um ramo fundamental da Física que estuda o "O
mundo invisível", ou seja, sistemas físicos com dimensões microscópicas, próximas ou abaixo
da escala atômica, como moléculas, átomos, elétrons, prótons e outras partículas subatômicas,
entretanto alguns fenômenos macroscópicos ela também explica.
A Mecânica Quântica recebe essa denominação por prever um fenômeno famoso para
os físicos: A Quantização. A história da Mecânica Quântica se inicia com alguns estudos
bastante importantes para seu desenvolvimento são eles precisamente: O descobrimento dos
Raios Catódicos em 1838 realizado por Michael Faraday [1], a introdução do termo Corpo
Negro por Gustav Kirchhoff em 1860 [2], a sugestão feita por Ludwig Boltzman em 1877
sobre os estados de energia de um sistema físico deveria ser discretizado [3].
E como verdadeiro impulsor, a hipótese quântica de Max Planck em 1900, que
afirmou que a radiação de energia atômica de qualquer sistema teoricamente deve ser divido
num número de elementos de energia discretos E, sendo que cada um destes elementos seja
proporcional a frequência ν, e cada um de maneira individual irradiaria energia. Em poucas
palavras, Planck introduziu a idéia de que a energia era quantizada, com o fim de derivar uma
fórmula para a dependência da frequência observada com a energia emitida por um corpo
negro.
10
Albert Einstein, no ano de 1905 apresentou uma solução para o Efeito Fotoelétrico [4]
com um postulado. Em que a luz, ou mais especificamente toda a radiação eletromagnética,
pode ser dividida num número finito de "quanta de energia", que são localizados como pontos
no espaço. E formulou a famosa teoria da relatividade [5], com o propósito de estudar os
movimentos das partículas que apresentavam grandes velocidades que a Mecânica
Newtoniana [6] não explicava.
Em 1913, Niels Bohr encontrou as explicações para os erros do Modelo Atômico de
Rutherford [7], através das linhas espectrais do átomo de hidrogênio, novamente utilizando
quantização. Em 1924, o físico francês Louis Victor de Broglie, apresentou a sua teoria de
ondas de matéria, "Se a luz apresenta natureza dual, uma partícula pode comportar-se de
modo semelhante, apresentado também propriedades ondulatórias" [8]. Ou seja, as partículas
podem exibir características de onda e vice-versa. Esta teoria era para uma partícula simples e
derivada da teoria especial da relatividade.
Diante dos estudos de De Broglie, nasceu a Mecânica Quântica moderna em 1925,
quando os físicos alemães Werner Heisenberg e Max Born desenvolveram a mecânica
matricial e o físico austríaco Erwin Schrödinger iniciou a Mecânica de Ondas e apresentou a
equação de Schrödinger [9]. E muitos físicos deram continuidade e a cada dia surgem novos
estudos e novas descobertas, pois muitas são as perguntas, mas poucas são as respostas.
1.2 Introduções a Óptica Quântica
A luz é feita de partículas chamadas fótons e, portanto, inerentemente "granulada"
(quantizada), após a indicação de que a luz podia ser quantizada, por Planck. A compreensão
da interação entre luz e matéria não só formou a base da Ótica Quântica, mas também foram
cruciais para o desenvolvimento da Mecânica Quântica como um todo.
11
No entanto, os sub-campos da Mecânica Quântica que lidavam com a interação de
materiais leves foram considerados investigações mais sobre a "matéria" do que sobre a "luz"
e, portanto, falava-se mais de Física Atômica e Eletrônica Quântica [10] do que sobre Óptica
Quântica.
Isso mudou com a invenção do maser, em 1953 , dispositivo que produz ondas
eletromagnéticas coerentes através da amplificação de emissão estimulada e do laser,
dispositivo
que
produz radiação
eletromagnética com
características:
monocromática
(possui comprimento de onda muito bem definido) , coerente (todas as ondas dos fótons que
compõe o feixe estão em fase) e colimada (propaga-se como um feixe de ondas praticamente
paralelas), em 1960.
Com a ciência do laser, ou seja, com a investigação de seus princípios, design e
utilidades, a Óptica Quântica tornou-se uma área importante, sendo a parte da Mecânica
Quântica que fundamenta os princípios dos estados do campo eletromagnético, estudando
com mais ênfase suas características e suas aplicações.
Como a ciência do laser necessitava de uma boa fundamentação teórica, e também
porque a pesquisa se revelou muito proveitosa, o interesse em Óptica Quântica aumentou. Em
1977, H. Jeff Kimble e outros construíram a primeira fonte de luz que exigia uma descrição
quântica: um único átomo emitia um único fóton de cada vez. Esta foi a primeira evidência
conclusiva de que a luz era composta de fótons. Rapidamente foi proposta a luz comprimida
[11], outro estado quântico da luz.
Podemos citar outras respostas e resultados notáveis como a demonstração
do Emaranhamento Quântico [12], o Teletransporte de Estado Quântico [13] e, também, em
1995, as Portas Lógicas Quânticas [14]. Os últimos são de muito interesse na Teoria Quântica
da Informação [15], um campo que surgiu em parte da Óptica Quântica e em parte da Ciência
da Computação teórica.
12
Atualmente, a Óptica Quântica é alvo de inúmeras pesquisas em diferentes áreas de
atuação, tornando-se uma grande aliada para os altos avanços tecnológicos.
1.3 O Campo Eletromagnético na Óptica Quântica
A luz é o principal gerador de estudos para a Óptica Quântica, através dela vamos
analisar sua geração e medidas de estados quânticos. Com esta base, o propósito deste estudo
é apresentar de modo objetivo o campo eletromagnético dentro de uma didática não-clássica,
utilizando os preceitos da Física quântica. Pesquisaremos em diversas fontes os principais
estados do campo eletromagnético e seus respectivos coeficientes investigando algumas
propriedades estatísticas, como o número médio de fótons, a distribuição de número de fótons
e a estatística de fótons desses campos, com simulações numéricas, visualizações gráficas e
comparações com o que é esperado de acordo com a Teoria Quântica da Luz.
Os estados deste tipo, e consequentemente suas pesquisas são fundamentais por terem
inúmeras aplicações práticas, que observamos em nosso cotidiano, como os avanços
tecnológicos, tais como a possibilidade de detecção de ondas gravitacionais, aplicações nas
áreas militares, médicas, sociais. Um resultado que se relaciona diretamente com nosso objeto
de estudo, os estados do campo eletromagnético, é o laser, pois se aproxima do chamado
estado do campo coerente.
Elaboramos uma pesquisa bibliográfica dos principais estados do campo
eletromagnético concentrando nossos estudos no estado de número que tem o número de
fótons bem definido, o estado coerente, o estado de número deslocado e o estado coerente
comprimido.
Utilizando a solução da Equação de Schroedinger demonstraremos que configurando o
estado da luz como um Oscilador Harmônico, os níveis de energia do estado do campo pode
ser
discretizado.
Também,
estabeleceremos
os
estados
fundamentais
do
campo
13
eletromagnético com seus operadores que formam os seus correspondentes estados, e
utilizando a álgebra de operadores e a notação de Dirac, calcularemos na íntegra, os
coeficientes que rotulam os estados do Campo Eletromagnético.
Neste trabalho, apresentaremos um método alternativo estendido para gerar o Estado
de Número Deslocado [16]. A proposta atual requer a geração deste estado, partindo do estado
de número, o qual ainda não foi gerado em laboratório. Por requerer para isso técnicas de
medidas condicionadas ou propriedades de interações átomo-campo em cavidades de
microondas em processos que necessitam de máxima redução do ruído quântico. Por outro
lado, mostraremos que ele pode ser gerado partindo do Estado Coerente, que é um estado de
fácil obtenção, por intermédio da passagem de uma corrente clássica através de uma cavidade.
Contando com estes coeficientes apresentaremos expressões literais das propriedades
estatísticas de alguns estados do campo eletromagnético estudado e comparando com as
propriedades estatísticas do estado coerente. Estas comparações se fazem necessárias, porque
o estado coerente é um estado do campo eletromagnético que mantém a sua fase na
propagação sem perda e com perda de energia para o meio ambiente, e também porque o
estado coerente é o único estado do campo eletromagnético produzido em laboratório.
14
Capitulo 2
A Quantização do Campo Eletromagnético
2.1 A Contribuição da Física Clássica
No ano de 1672, o físico inglês Isaac Newton através de estudos elaborou um Modelo
Corpuscular da Luz [17]. Onde a luz é tratada como um feixe de partículas desprendidas por
uma fonte que alcança o olho estimulando a visão. Alguns fenômenos de propagação da luz
podem também ser muito bem explicados por esta teoria.
Podemos relacionar os muitos de seus trabalhos publicados como impulsores para
estudos aprofundados no campo da óptica e da matemática. Newton revolucionou a ciência
Física formulando as três leis básicas da mecânica e a lei da gravitação universal. Descobriu
também que a luz poderia se dividir em muitas cores, através de um prisma, fenômeno da
dispersão da luz, e usou esse conceito experimental para analisá-la.
O cientista francês L. Foucault, no século XIX, aferindo a velocidade da luz em
diferentes meios (ar/água) [18], verificou que a mesma era maior no ar do que na água,
contradizendo a teoria corpuscular (Newton não tinha condições, na época, de medir a
velocidade da luz). Na segunda metade do século XIX, o físico escocês James Clerk Maxwell,
através da sua Teoria de Ondas Eletromagnéticas [19], provou que a velocidade com que a
onda eletromagnética se propagava no espaço era igual à velocidade da luz.
Ele fez importantes trabalhos em eletricidade e eletromagnetismo. O seu maior foi a
previsão da existência de ondas eletromagnéticas. Maxwell estabeleceu teoricamente que: A
luz é uma modalidade de energia radiante que se propaga através de ondas eletromagnéticas.
15
Heinrich Hertz, 15 anos após a descoberta de Maxwell, comprovou experimentalmente a
teoria ondulatória, usando um circuito oscilante e constatou que quanto maior a freqüência
menor o comprimento de onda e vice-versa.
As equações de Maxwell são um grupo de equações de derivadas parciais [20] que,
juntamente com a Lei da Força de Lorentz [21], compõe a base do Eletromagnetismo
Clássico [22] no qual está imerso toda a Óptica Clássica [23]. A teoria de Maxwell do campo
eletromagnético prevê que a luz (radiação eletromagnética) consiste numa onda transversal
com duas componentes perpendiculares: um campo elétrico
e um campo magnético
(Figura 2.1) e é caracterizada pelo seu comprimento de onda λ e freqüência ν
(2.1)
(FIGURA 2.1): Componente campo elétrico , de uma onda eletromagnética que se propaga
ao longo de z. O comprimento de onda é λ.
Seu desenvolvimento, e entendimento do eletromagnetismo, contribuíram de modo
significativo para toda uma Revolução Tecnológica [24] iniciada no final do século XIX e
continuada durante as décadas seguintes.
De grande e importante valor é o trabalho de Maxwell. Ele serviu-se das idéias e dos
trabalhos experimentais de Faraday, que em 1838 [1] elaborou o modelo de "linhas de força".
E introduziu estes estudos na formulação de sua teoria de eletricidade e magnetismo.
Inúmeros resultados na óptica são retirados das soluções de problemas utilizando as equações
de Maxwell. Elas são escritas, no vácuo, desta forma:
(2.2)
16
(2.3)
(2.4)
.
(2.5)
Podemos fazer uma combinação com as quatro equações de Maxwell obtendo
equações que descrevem o caráter ondulatório, elétrico e magnético da luz, escritas
matematicamente como:
(2.6)
e
,
(2.7)
chamadas de equações de ondas do campo eletromagnético.
2.2 A Energia Quantizada
A natureza da luz como onda eletromagnética, até então, era aceita e aprovada em
geral como respostas as dúvidas sobre o comportamento luminoso, mas esta teoria não
conseguia explicar o fenômeno de emissão fotoelétrica, que é a ejeção de elétrons quando a
luz incide sobre um condutor, resolvido por Albert Einstein em 1905.
A natureza corpuscular da luz foi confirmada por Compton [25]. Quando constatou
que quando um fóton colide com um elétron, eles se comportam como corpos materiais.
Hoje em dia aceitamos a natureza ondulatória e corpuscular da luz: os fenômenos de
reflexão, refração, interferência, difração e polarização da luz são explicadas pela teoria
ondulatória e os de emissão e absorção podem ser explicados pela teoria corpuscular.
Deve-se a Heisenberg em 1925 uma primeira tentativa de formulação de uma Teoria
Quântica [26], a qual foi pouco mais tarde aperfeiçoada por Max Born e Jordan com a
introdução de Métodos Matriciais [27]. A equação de Schrödinger surgiu independentemente
17
do tempo em 1926. Logo no ano seguinte, Schrödinger, Eckart e Dirac demonstraram que as
duas formulações eram equivalentes, e Dirac formulou uma Álgebra Quântica.
Então em 1927, Dirac, propôs uma teoria quântica para a luz, ao associar um único
modo de vibração do campo eletromagnético á um oscilador harmônico quântico, onde as
energias são igualmente espaçadas e dadas por:
(2.8)
Analisando a equação, podemos definir: n como o número de fótons em cada modo do
campo.
Na época, a teoria proposta por Dirac, sofreu inúmeros questionamentos, pois todos os
fenômenos em que foram aplicadas os resultados também poderiam ser encontrados pela
teoria semi-clássica. A questão era a seguinte: Existiria uma carência por uma teoria quântica
da luz?
Diversos fenômenos envolvendo o campo luminoso, como o efeito fotoelétrico, efeito
Compton podem ser explicados por modelos puramente clássicos, onde a luz é descrita como
uma onda eletromagnética obedecendo as equações de Maxwell e possuindo fase e amplitude
bem definidos [28]. Mesmo após a quantização do campo eletromagnético realizada por
Dirac, o modelo semi-clássico continuou a fornecer respostas satisfatórias para os fenômenos
luminosos.
Entretanto, em 1977 [29], foi demonstrada a necessidade de uma teoria quântica, para
explicar o antiagrupamento de fótons, que consiste na diminuição da probabilidade em
detectar um segundo fóton após um intervalo de tempo em que um primeiro foi detectado.
Fenômeno que se manifesta no contexto dos estados comprimidos da luz, os quais
apresentam uma diminuição da incerteza em uma das quadraturas do campo eletromagnético
menor que o ruído do vácuo, consequentemente dando a teoria quântica da luz a importância
necessária.
18
Deste ponto em diante, as contribuições que esta teoria proporcionou e vem
proporcionado ao desenvolvimento da Física são várias e inaugura uma nova área do
conhecimento: a Óptica Quântica, que trata dos fenômenos luminosos com caráter quântico,
em especial as interações da radiação com a matéria, assim como a geração de novos estados
do campo luminoso, a partir da Engenharia de Estados Quânticos [30].
Uma das equações diferenciais mais importantes da Física, a equação de Schrödinger é
fundamental para o entendimento do mundo quântico e para a investigação da Estrutura da
Matéria [31]. Mas, o fato é que esta equação apresenta um número bastante limitado de
potenciais que admitem uma solução analítica exata da Equação de Schrödinger, e quase na
totalidade dos casos realistas apenas soluções numéricas são viáveis. Um potencial que
apresenta solução analítica exata é o Oscilador Harmônico Simples (OHS). E mais, o OHS
serve para descrever vários modelos físicos que envolvam oscilações no processo.
De fato, um único módulo de vibração do campo eletromagnético pode ser
representado por um OHS de massa unitária, assim como as vibrações de átomos e moléculas
diatômicas e outras. A quantização do campo eletromagnético foi feita por Dirac, associando
um único modo do campo eletromagnético a um oscilador harmônico onde o número de
fótons é associado ao nível de excitação do oscilador.
Portanto, ao determinarmos as autofunções do OHS estaremos determinando as
autofunções do campo eletromagnético. Ou seja, quantizar o OHS, significa quantizar o
campo eletromagnético, e isto é feito, segundo a Física Quântica, resolvendo-se a equação de
Schrödinger para o potencial do OHS.
Um sistema massa-mola quântico é definido por uma partícula quântica de massa m
sob ação de um potencial da forma
,
tal como o ilustrado na Figura (2.2).
(2.9)
19
(FIGURA 2.2): O potencial do oscilador harmônico.
A Equação de Schrödinger (ES) independente do tempo é escrita como
,
(2.10)
sendo que o Hamiltoniano do OHS é expresso em termos da energia cinética e potencial
,
onde
e
(2.11)
na Mecânica Quântica são operadores de momento e posição respectivamente, que
não comutam e não podem ser determinadas com total precisão simultaneamente. A relação
de comutação dos operadores
e
é dada por:
,
(2.12)
e o operador momento pode ser ainda representado por:
.
(2.13)
Substituindo na Eq. (2.10), as Eqs. (2.11) e (2.13) obtemos:
,
como a constante
(2.14)
esta relacionada com a frequência do oscilador pela relação
,
então podemos reescrever a ES como
(2.15)
20
,
multiplicando todos os termos por
(2.16)
, e agrupando os membros obtemos:
.
Introduzindo por conveniência os termos
e
(2.17)
, podemos reescrever a
equação acima como:
.
(2.18)
Reescrevendo a equação anterior em termos de uma nova variável u adimensional
definida como
.
Temos agora
(2.19)
e suas derivadas parciais:
,
(2.20)
.
(2.21)
Substituindo tais derivadas na Eq. (2.18):
,
e dividindo os termos por
(2.22)
obtemos:
.
(2.23)
O uso da técnica de serie de potencias é frequentemente empregada na resolução de
equações diferenciais como a Eq. (2.23), no entanto a aplicação direta de tal procedimento nos
levará a uma solução com mais de duas constantes arbitrárias.
No entanto as autofunções, só terão significado físico se obedecer a algumas
propriedades tais como, uma função de onda e suas derivadas, deverão ser: finitas, unívocas e
contínuas.
21
A nossa Equação diferencial em questão possui uma solução não-trivial, portanto
iremos resolvê-la por partes, á começar pela procura de uma solução unívoca, continua e
finita para
, em tal situação a grandeza
pode ser desprezada quando comparada a
, então a Eq.(2.23), assume o formato:
.
(2.24)
Que possui solução geral do tipo
,
(2.25)
onde A e B são constantes arbitrárias que podem perfeitamente serem determinadas pelas
condições de contorno do problema em questão.
Entretanto, o segundo membro da solução geral da Eq. (2.25) não tende a ser finita
quando
, tornando-se necessário fazer
para que esta função de onda tenha
alguma lógica Física para valores muito grandes de
e para estes casos temos
.
(2.26)
A solução acima garante significado físico nas situações em que
altos, porém para quaisquer valores
devemos ter uma solução da Eq. (2.24) do tipo:
,
(2.27)
esta seria então uma solução mais completa, contando que
decaimento de
assume valores
tornado a função de onda
equilibre o rápido
bastante comportada em qualquer
valor de .
Fazendo a segunda derivada da Eq.(2.27), temos:
,
(2.28)
assim:
22
.
(2.29)
Uma equação deste estilo pode ser resolvida através da técnica de série de potências,
que consiste em admitir que a solução possa ser representada por uma série de potências na
variável independente, ou seja:
.
(2.30)
com derivadas
(2.31)
(2.32)
Substituindo as derivadas na Eq. (2.29), temos
(2.33)
A equação acima deve ter validade para todos os valores de u e esta condição só será
satisfeita se os coeficientes de cada potencia de u se anularem individualmente, de forma que
a validade da equação não dependa do valor da variável u e assim agrupando os coeficientes
que possuem a mesma potencia de u, e igualando-os a zero teremos:
(2.34)
onde obtemos:
.
(2.35)
Essa fórmula de recorrência permite que os coeficientes com índice par possam ser
determinados sucessivamente em termos de
e o ímpares em termos de
, o que já era
23
esperado, pois a Eq.(2.29) é de segunda ordem, e sua solução geral deve conter duas
constantes arbitrárias. Com o auxílio da fórmula de recorrência expressa pela Eq. (2.30),
pode ser editada na seguinte forma:
. (2.36)
Para valores arbitrários de
, ambas as séries contam com um número infinito de
termos e isto não nos levará a soluções aceitáveis para a função de onda
. Sendo
uma quantidade finita, tentaremos determinar a razão de seus coeficientes para grandes
valores de k. E Isto nos leva a seguinte razão
.
(2.37)
Aplicando as propriedades de séries, podemos concluir que para valores altos de k, os
termos da série par, expressa pela Eq. (2.36), somente diferem dos termos correspondentes da
série conhecida
, por uma constante multiplicativa
somente por outra constante
, e eles diferem da série ímpar
multiplicada por u. Então a série
toma a forma
.
A partir deste resultado, a função
(2.38)
expressa pela Eq. (2.27), pode ser escrita como
.
Porém esta função diverge quando
(2.39)
, não tendo assim nenhuma importância
física. Mas podemos obter autofunções fisicamente coerentes para determinados valores de .
Para anularmos as constantes arbitrárias,
ou
, devemos através da Eq. (2.37) fazer:
,
(2.40)
onde:
,
(2.41)
,
(2.42)
24
então a Eq. (2.29) assume a forma
(2.43)
A solução da equação acima é chamada de equação diferencial de Hermite, e suas
soluções são conhecidas na literatura [32] com o nome de Polinômios de Hermite
,
dados por:
,
(2.44)
de acordo as propriedades dos Polinômios de Hermite: fórmula de recorrência, função
geradora e ortogonalidade podemos obter nossa função de onda do Oscilador Harmônico para
qualquer valor de u como sendo
, faltando apenas normalizá-la, com
o intuito de encontrarmos o valor da constante A.
Tal condição exige que:
.
(2.45)
De acordo a ortogonalidade dos Polinômios de Hermite, podemos reescrever esta
constante A da normalização da seguinte forma:
.
(2.46)
Portanto, a função de onda do oscilador harmônico simples (normalizada) no espaço
das posições é dada por
,
onde cada
corresponde a um estado especifico:
(estado de vácuo),
(2.47)
(estado de
um fóton), etc. Já dissemos que o campo eletromagnético foi quantizado fazendo a devida
associação com o Oscilador Harmônico Simples e que o nível de excitação do oscilador é
associado com o número de fótons na cavidade.
25
A Eq. (2.47) representa a função de onda do estado de número de fótons do campo
eletromagnético. Tanto o vetor estado que veremos no Capítulo 3 como a função de onda
representam o estado de número de fótons, apenas em espaços diferentes (espaço de
número de fótons n e espaço de coordenadas x respectivamente).
Outra característica de extrema importância que surge no momento em que fazemos
e para que a função de onda representasse alguma característica física. Tal
imposição acaba levando a quantidade
a não poder mais assumir quaisquer valores,
assumindo apenas alguns valores determinados, conforme estabelecido na Eq. (2.40). Como
conseqüência disso tem-se:
,
sabendo que
e substituindo
(2.48)
, temos:
.
(2.49)
Mostrando que a energia do campo eletromagnético é quantizada.
A Mecânica Quântica fornece as autofunções para o Oscilador Harmônico Simples, e
consequentemente para o estado de número de fótons. Algumas autofunções
equivalem a alguns dos primeiros autovalores que estão listados a seguir:
Tabela 3.1 – Autofunções e Autovalores do Oscilador Harmônico Simples
Número Quântico
0
1
2
Auto Funções
Energia
26
3
4
Relacionando com o estado de número de fótons do Campo Eletromagnético temos
então quantidades discretas de energia, pois Eq. (2.49) nos indica os possíveis valores da
energia do OHS.
Concluindo, podemos afirmar que o espectro do Oscilador Harmônico Simples é
discreto, e sua menor energia é igual a
, quando
, conhecido como energia de ponto
zero do Oscilador Harmônico.
Um campo de luz polarizada linearmente e oscilando com uma única frequência é
expresso como um Oscilador Harmônico, sendo o número de fótons do modo de oscilação
associado ao nível de excitação do oscilador. O único modo do operador do campo
eletromagnético em termos de suas duas partes de freqüência (positiva e negativa) pode ser
escrito como:
,
onde
é a amplitude do operador campo, V é o volume quantizado,
dá direção de propagação da onda,
de oscilação da onda, e
e
(2.50)
é o vetor que
é a posição de um ponto da frente de onda,
é o modo
são os operadores de aniquilação e criação de fótons do
oscilador harmônico, respectivamente, satisfazendo a seguinte relação de comutação
.
(2.51)
O operador hamiltoniano do campo é o de um Oscilador Harmônico Quantizado, dado
por
,
onde
é o operador número de fótons.
(2.52)
27
Definindo dois operadores Hermitianos
e
da seguinte forma:
,
(2.53)
,
(2.54)
podemos mostrar que obedecem a seguinte relação de comutação
,
(2.55)
e, além disso, permitem reescrever a Eq. (2.50), que será dada por:
,
(2.56)
e também reescrever a Eq. (2.52), dada por:
.
(2.57)
Devido a forma como o campo elétrico na Eq. (2.56) é escrito em termos de
e
,
estes operadores são chamados de operadores de quadratura do campo.
No Oscilador Harmônico Quantizado de um sistema físico, por exemplo, um sistema
massa-mola, os operadores de quadratura estão relacionados com os operadores de momento
e de posição , por isso a semelhança da hamiltoniana de tal sistema com a Eq. (2.57).
A Eq. (2.55) implica que os operadores de quadratura obedecem a relação de incerteza
de Heisenberg:
,
onde as incertezas ou variâncias
(2.58)
são definidas da seguinte maneira:
,
(2.59)
e o valor médio de uma grandeza física representada por um operador Hermitiano, por
exemplo , é calculado em um estado qualquer por
,
supondo que o estado esteja normalizado, isto é
(2.60)
28
.
(2.61)
Portanto, os estados de mínima incerteza são aqueles em que a relação (2.58) assume o
menor valor possível, isto é,
. Concluindo, as incertezas nas quadraturas
dependem apenas do estado em que o campo se encontra.
2.3 Notação de Dirac
A Mecânica Quântica é um ramo da Física que possui cálculos bastante complicados e
extensos. E diante desta questão, em 1930, Paul Adrien Maurice Dirac, um inglês, físico
teórico que fez contribuições fundamentais para o desenvolvimento precoce da Mecânica
Quântica [33] desenvolveu uma álgebra a fim de facilitar os estudos. Álgebra esta que recebeu
o nome de Notação de Dirac, ou Notação Bra-Ket, nomenclatura que advêm dos elementos
que iremos conhecer.
A Notação de Dirac é utilizada para fazer a descrição dos estados quânticos na teoria
da Mecânica Quântica e é composta por símbolos, são eles colchetes e barras verticais. Em
matemática podemos citar seu uso na denotação abstrata de vetores e funcionais lineares [32].
Um vetor do espaço dos estados é descrito por um símbolo
Um elemento dual desse espaço é denotado por
O produto escalar dos estados
e
, que se pronuncia ket.
e denominado bra.
é denotado por
, e se trata de um braket,
justificando os nomes.
Agora, seja
um operador. Denotaremos por
seus autoestados, de modo que
,
(2.62)
onde os números o são os autovalores.
Os autoestados do operador de posição
,
(2.63)
29
são denotados por
. O símbolo
descreve o estado
na representação das
coordenadas:
.
(2.64)
A analogia que pretendemos estabelecer entre as funções
e os vetores no espaço
fica facilitada pela introdução da notação criada por Dirac, que passaremos a utilizar. Vamos
reescrever a norma da função
em que o braket
, do seguinte modo:
– formado do ket
,
(2.65)
e do bra
– constitui uma forma
conveniente de representar a integral indicada. Nessa nova notação, temos que a existência de
um espaço representado pelos kets
,
representado pelos bras
..., chamado de espaço dual. Em geral, essa
,
... Implica a existência de outro espaço vetorial
correspondência entre os autovetores no espaço dos kets e os autovetores no espaço dos bras é
representado por
,
...
Os autovetores no espaço dos bras podem ser vistos como imagens dos autovetores no
espaço dos kets e vice-versa. Na Eq. (2.65), se o autovetor
for normalizado, temos que
.
(2.66)
Sendo A um observável físico, vimos que existe associado a esse observável um
operador quântico , cujo valor médio esperado é representado por
.
(2.67)
Usando a notação previamente introduzida, esse valor médio esperado fica expresso
por
.
(2.68)
Teremos a oportunidade de ver em algumas ocasiões, o uso dos brakets na Mecânica
Quântica constituindo uma maneira prática e elegante para o desenvolvimento dessa teoria.
30
Capítulo 3
Estados do Campo Eletromagnético
Se pensarmos na Física Clássica, especificar um estado nada mais é do que dar valores
numéricos a todas as coordenadas e velocidades das várias componentes do sistema em algum
instante de tempo através de observações. No entanto, se o sistema em questão consistir de
corpos pequenos (de acordo com o critério dado anteriormente), não seria possível fornecer
tantas informações, já que observações alteram o estado do sistema.
As teorias clássicas sobre o campo eletromagnético foram derrubadas pela Mecânica
Quântica, como vimos anteriormente. Pois vários fenômenos envolvendo o campo de luz,
como por exemplo, a difração e a interferência, eram bem entendidos dentro do formalismo
da Física Clássica. E somente nas últimas décadas que se tornou claro que alguns fenômenos
relativos a luz não encontravam explicação em tratamento clássico, que trata a luz como uma
onda, com amplitude e fase bem definidas.
Em virtude do caráter não-clássico de alguns fenômenos, ficou evidente a necessidade
de um novo formalismo teórico e de novos procedimentos experimentais. Surgindo a
Mecânica Quântica e um ramo dela que foi designado para o estudo da luz, dos estados
quânticos, entre outros, é a Óptica Quântica.
Nos últimos anos, uma grande variedade de novos estados do campo eletromagnético
têm sido propostos e suas propriedades estatísticas investigadas mostrando que estes estados
são de grande interesse do ponto de vista de aplicações tecnológicas por apresentarem baixo
ruído quântico e características puramente quânticas.
Após o trabalho de H. J. Kimble, M. Dagenais e L. Mandel [29], que demonstrou
definitivamente a necessidade de uma teoria quântica para a luz, com o efeito de
31
antiagrupamentos de fótons, uma infinidade de novos estados vem sendo propostos na
literatura [34]. Os estados do campo luminoso possuem em sua natureza quântica uma
representação estatística que os definem e diferem entre si.
É neste caminho que faremos uma revisão de alguns fundamentais e importantes
estados do campo eletromagnético e contribuiremos realizando estudos dos processos de não
linearização de alguns estados do campo eletromagnético, ressaltando casos particulares que
são de extrema importância para a literatura, por servirem como bases para posteriores
estudos e comparações das propriedades estatísticas.
Para uma melhor compreensão do nosso trabalho, faremos uma breve revisão sobre
quatro estados do campo eletromagnético: i) O Estado de Número, refere-se a representação
da solução do Oscilador Harmônico Quântico, ou seja, são os auto-estados de energia do
Oscilador Harmônico. ii) O Estado Coerente, introduzido por Roy J. Glauber em 1963 [35].
iii) O Estado de Número Deslocado [28]. iv) O Estado Coerente Comprimido [40].
3.1 Estado de Número
Em 1982, L. Mandel [28] fez a primeira proposta para a representação do campo
luminoso pelo Estado de Número. Que são aqueles que apresentam um número de fótons bem
definido, e consequentemente uma indefinição total na fase do campo. Estado simbolizado
por
, também conhecido como Estado de Fock do campo de radiação, e se tornou
extremamente importante para as pesquisas em Mecânica Quântica, sendo o Estado básico
para a obtenção dos outros estados.
O Estado de Número é auto-estado do operador de número,
operadores
, onde os
respondem pela criação e aniquilação de fótons, respectivamente; com
autovalores dados por
,
(3.1)
32
onde
.
O resultado acima é devido a atuação dos operadores de criação de fótons
aniquilação de fótons
e
no Estado de Número dado por [9]:
,
(3.2)
.
(3.3)
O Estado de Número também é conhecido como solução geral do Oscilador
Harmônico Quântico, portanto de fundamental importância para o domínio da Óptica
Quântica, devido a analogia de Dirac em comparar as soluções do oscilador com a
quantização do campo eletromagnético.
O Estado de Número
constitui um conjunto {
} completo no espaço de Hilbert
( ) [29] e ainda possuem a propriedade de serem ortonormais.
Isto é, definem que o resultado do produto escalar entre dois Estados de Número
quaisquer é obtido por uma delta de Krönecker, portanto
,
(3.4)
com a relação de completeza
,
onde
(3.5)
é o operador identidade, portanto, qualquer vetor de estado
pode ser expandido
nesta base, do seguinte modo
onde
,
(3.6)
,
(3.7)
, logo
equivalem aos coeficientes da expansão do estado
na base de número.
33
3.2 Estado Coerente
O Estado Coerente surgiu no estudo do oscilador harmônico quântico por Schrödinger
em 1926 [35], ao qual se referiu como estados de incerteza mínima. Porém foi com os
trabalhos do também ganhador do premio Nobel Roy J. Glauber [28] que reconheceram a
importância da coerência óptica.
O Estado Coerente simbolizado por
; bastante estudados na literatura [35] é auto-
estado do operador de aniquilação de fótons , ou seja,
,
de forma que operador de aniquilação
(3.8)
não é hermitiano, seus auto-valores
pertencem ao
conjunto dos números complexos e são chamados de parâmetro de coerência que pode ser
escrito por
, sendo
o módulo do parâmetro de coerência e
a fase.
De acordo com a Eq. (3.7) podemos escrever o estado coerente por
,
(3.9)
sendo que os coeficientes do estado coerente são definidos por
.
(3.10)
A atuação dos operadores de aniquilação na Eq. (3.9) resulta então
.
(3.11)
Como o estado coerente é auto-estado do operador de aniquilação de fótons, podemos
reescrever a Eq. (3.11):
,
fazendo a mudança
(3.12)
, e substituindo a Eq. (3.9) no lado esquerdo da Eq. (3.11)
teremos
,
com isto, obtemos fórmula de recorrência dos coeficientes do estado coerente dado por:
(3.13)
34
.
(3.14)
A partir da Eq. (3.14), teremos para
,
para
para
(3.15)
temos
,
(3.16)
.
(3.17)
temos
De maneira geral, temos
,
(3.18)
Pela fórmula de recorrência dada pela Eq. (3.18) podemos obter todos os coeficientes
a partir do coeficiente
. Este por sua vez pode ser obtido pela condição de normalização
do estado coerente, ou seja,
.
(3.19)
Substituindo a Eq. (3.18) na Eq. (3.9), obtemos
,
(3.20)
e de acordo com a condição normalização Eq. (3.19)
.
Usando a condição de ortogonalidade
, verificamos que
,
para
(3.21)
(3.22)
, portanto, temos:
.
Usando que
, então
(3.23)
35
,
(3.24)
substituindo a Eq. (3.24) na Eq. (3.18), temos os coeficientes
do estado coerente:
(3.25)
que rotulam o campo eletromagnético no estado coerente.
Este Estado também pode ser descrito pela atuação do operador deslocamento de
Glauber [28], dado por:
,
(3.26)
no estado de vácuo, ou seja,
,
(3.27)
demonstrado a seguir:
Sendo atuação do operador de criação de fótons
no estado de número dado pela Eq.
(3.2) e de modo sucessivo será dado por:
.
(3.28)
Temos para o estado de vácuo com
,
(3.29)
logo, o estado de número pode ser escrito por:
,
substituindo os coeficientes
(3.30)
na Eq. (3.9), temos
,
sabendo que
(3.31)
, temos
.
De acordo com a Fórmula de Baker-Hausdorff [40] dada por
(3.32)
36
,
com
(3.33)
, podemos reescrever o operador de Glauber Eq. (3.26) por
,
(3.34)
visto que
,
(3.35)
de acordo com a Eq.(3.27), obtemos
,
(3.36)
veja que
,
pois a atuação do operador de aniquilação de fótons
no estado de vácuo
,
(3.37)
, então
(3.38)
comparando a Eq. (3.32), fica demonstrado que atuação do operador de Glauber no estado de
vácuo leva ao estado coerente, ou seja,
.
(3.39)
Outros resultados importantes são as transformações unitárias envolvendo o operador
Deslocamento de Glauber e os operadores
e
, resultando em:
,
(3.40)
,
(3.41)
demonstrado a seguir.
Como
e
são operadores unitários, ou seja,
antinormal do operador deslocamento de Glauber
pode ser escrito por
,
usando a fórmula de Baker-Hausdorff [40], teremos
. Uma forma
(3.42)
37
,
(3.43)
e assim podemos verificar que
.
(3.44)
Portanto, combinando os operadores deslocamento e aniquilação, temos
,
(3.45)
Usando a identidade [40]
,
lembrando que
(3.46)
, a Eq. (3.45) ficará
,
como o operador de aniquilação de fótons
comuta com
, por fim, temos
.
Analogamente para o operador de criação
(3.47)
(3.48)
, temos
.
(3.49)
3.3 Estado de Número Deslocado
O Estado de Número Deslocado (END) aparece inicialmente no trabalho de Cahill e
Glauber [37] em 1969. Todavia, somente em 1990, F.A.M de Oliveira e colaboradores [38]
dão atenção a este estado. Que pode ser visto como uma generalização do estado coerente, já
que é o resultado da atuação do operador deslocamento nos estados de número, e pode ser
visualizado como um oscilador harmônico deslocado de sua posição inicial por um fator . A
proposta original levantava o resultado da atuação do operador de deslocamento de Glauber
dado pela Eq. (3.26) atuando no Estado de Número
, ou seja,
.
(3.50)
38
Sabemos que o estado de número é ortogonal, e formam uma base completa, o que nos
permite expandir qualquer estado
nesta base, assim podemos escrever o END
.
(3.51)
.
(3.52)
Usando a Eq. (3.50), temos
Aplicando a projeção do estado de número no END da (3.52), temos
,
(3.53)
então, os coeficientes do END serão dados por:
.
(3.54)
De acordo com a Eq. (3.34) podemos reescrever a Eq. (3.54) do seguinte modo
(3.55)
.
(3.55)
Sabendo que o operador de aniquilação de fótons atuando no estado de número resulta
em
.
A atuação sucessiva
(3.56)
vezes resultará em:
,
, para
.
(3.57)
Analogamente, temos
, para
E usando
Eq. (3.55) como
.
(3.58)
, podemos reescrever os coeficientes do END dado pela
39
,
usando a ortogonalidade
(3.59)
, temos
,
(3.60)
ou ainda,
,
(3.61)
onde o termo
,
(3.62)
são os polinômios associados de Laguerre, que podem ser obtidos da relação
,
onde identificamos
;
e
(3.63)
.
Assim podemos escrever os coeficientes do END por:
.
Note que se fizermos
(3.64)
na equação acima obteremos os coeficientes do estado
coerente, conforme a Eq. (3.25).
3.3.1 Alternativa para o Estado de Número Deslocado
Através de um método alternativo a partir do Estado Coerente, O. C. Guilherme e
colaboradores [16] obtiveram os coeficientes do END os quais demonstraremos nesta seção.
Primeiramente vamos mostrar a identidade usando
,
(3.65)
para facilitar vamos introduzir um
,
(3.66)
40
usando a propriedade
e a identidade dada pela Eq. (3.40), temos
,
usando a propriedade
(3.67)
e a identidade dada pela Eq. (3.40), temos
,
continuando o processo
(3.68)
vezes,
.
(3.69)
Lembrando que o estado de número pode ser escrito por:
,
(3.70)
e substituindo a Eq. (3.70) na Eq. (3.50) e novamente usando a propriedade
,
temos
,
recorrendo o fato que
(3.71)
o estado de número deslocado pode
ser escrito por
,
(3.72)
usando a identidade [36]
,
(3.73)
podemos reescrever o estado de número deslocado
,
(3.74)
é visto que
,
ou seja, o estado de número deslocado a partir do estado coerente.
(3.75)
41
A partir deste momento O. C. Guilherme e colaboradores [16] obtêm os coeficientes
do END a partir das fórmulas de recorrência, porém, propomos a seguir a finalização dos
cálculos dos coeficientes do END literalmente.
A partir da expressão dada pela Eq. (3.74) e sabendo que os coeficientes do END são
dados por:
,
(3.76)
podemos escrevê-los
,
utilizando
vezes do operador
(3.77)
e isto, decorre da aplicação sucessiva
no estado dual do estado de número
e podemos reescrever os
coeficientes do END por
,
(3.78)
utilizando os coeficientes do estado coerente e de acordo com a Eq. (3.25), temos os
coeficientes do END dado por
,
(3.79)
onde o termo da soma, semelhante a Eq. (3.62) são os polinômios associados de Laguerre, que
podem ser obtidos da relação dada anteriormente, Eq. (3.63), onde identificamos
e
;
.
Assim, podemos escrever os coeficientes do END, dados por:
.
(3.80)
Através de um método alternativo estendido, esse resultado obtido está de acordo com
o resultado do trabalho de F. A. M Oliveira em 1990 [37], bem como o trabalho publicado por
O. C. Guilherme e colaboradores em 2005 [16].
42
3.4 Estado Coerente Comprimido (ECC)
Além do estado com número de fótons bem definidos e o quase clássico, como o
estado coerente, há os estados puramente quânticos. Um exemplo de estado puramente
quântico é o estado coerente comprimido, também conhecido como estado coerente de dois
fótons [39].
Matematicamente pode ser escrito como atuação do operador deslocamento no estado
de vácuo, seguido pela atuação do operador de compressão dado por:
onde
,
(3.81)
,
(3.82)
é o operador compressão dado por [39]
sendo
o parâmetro de compressão,
é o modulo do parâmetro de compressão e
a
fase.
O operador de compressão
é unitário, e produz a seguintes transformações [39,
40] que são análogas as Eqs. (3.48) e (3.49)
,
(3.83)
,
(3.84)
sendo que
,
(3.85)
,
(3.86)
Este estado se caracteriza pelo possuir ruído em uma das variáveis canonicamente
conjugadas, menor que o ruído correspondente ao estado coerente ou de vácuo. Menor ruído
em uma das variáveis de quadratura, dada pelas Eqs. (2.53) e (2.54) significa uma redução da
variância de uma das quadraturas deste estado, e por esta redução se dá o nome de estado
43
coerente comprimido. A redução na incerteza de uma quadratura é sempre acompanhada de
um aumento na incerteza da sua variável conjugada de acordo com o principio de incerteza.
O estado coerente comprimido é gerado através de processos não-lineares, envolvendo
termos quadráticos dos operadores de criação e aniquilação
conforme visto nas Eqs.
(3.81) e (3.82). O estado coerente comprimido é amplamente estudado na literatura [39, 40].
Sendo
os coeficientes do estado coerente comprimido
calculado por Scully e
colaboradores [40] na íntegra dado por:
, (3.87)
sendo
os polinômios de Hermite.
44
Capítulo 4
Propriedades Estatísticas
Existe um conjunto de propriedades estatísticas que serve para caracterizar a natureza
dos estados do campo eletromagnético, tais como: número médio de fótons, distribuição de
número médio de fótons, estatística de fótons dado pelo parâmetro Q de Mandel que iremos
discutir. Uma das maneiras de se caracterizar um estado arbitrário
do campo
eletromagnético é através da projeção do estado do campo na base do Estado de Número, ou
seja,
.
(4.1)
Que mostra a distribuição de número médio de fótons e denota a probabilidade de
encontrar n fótons em um dado estado do campo. Pode-se também caracterizar um estado, por
seu número médio de fótons que nos mostra a intensidade média do estado do campo e pela
estatística de fótons dado pelo parâmetro Q de Mandel que indica a qual estatística pertence o
estado. E sobre essa caracterização iremos fazer um breve estudo.
4.1 Distribuição de Número Médio de Fótons
A distribuição de número médio de fótons
determina a probabilidade de obter
equivale a uma função estatística que
fótons no sistema determinado. Com o estado do campo
sujeito a ser escrito de acordo com a Eq. (3.7) dado por:
.
sendo
o estado arbitrário.
(4.2)
45
Portanto, a distribuição de número médio de fótons conforme a Eq. (4.1) será dada
por:
.
Como podemos verificar, o produto escalar
estado do campo
na base de número
(4.3)
corresponde aos coeficientes do
. Assim, com os coeficientes calculados no
Capítulo anterior, iremos encontrar a distribuição de número médio de fótons para cada um
dos estados.
Da definição de valor médio esperado, dada pela Eq.(2.68), calcularemos também o
número médio de fótons de cada estado por:
,
(4.4)
Distribuição de número médio de fótons do Estado de Número
A partir da definição de distribuição de número médio de fótons para um estado
qualquer dada pela Eq. (4.3), a distribuição de número médio de fótons para o estado de
número será dada por:
,
(4.5)
o que mostra como esperado que esse estado possui o número de fótons completamente
definido.
De acordo com a Eq. (4.4) temos o número médio de fótons do estado de número dado
por:
,
pela atuação do operador de aniquilação de fótons
(4.6)
no estado de número
podemos
reescrever o número médio de fótons do estado de número por:
,
pela atuação do operador de criação de fótons
número será dado por:
(4.7)
o número médio de fótons do estado de
46
,
(4.8)
ou seja, no estado de número, o número médio de fótons é igual ao número de fótons.
Em um campo eletromagnético a grandeza canonicamente conjugada do número de
fótons é a fase [28] e, portanto, uma completa definição no número implica uma fase
totalmente indefinida. Isto ocasiona ao estado uma máxima flutuação na fase, obedecendo ao
Principio da Incerteza de Heisenberg.
Distribuição de número médio de fótons do Estado Coerente
Através da Eq. (4.3) podemos escrever a distribuição de número médio de fótons do
estado coerente utilizando seus coeficientes conforme Eq.(3.25), então, a distribuição de
número médio de fótons do estado coerente será dada por:
.
(4.9)
O número médio de fótons do estado coerente de acordo com a Eq.(4.4) será
,
como o estado coerente é auto estado do operador de aniquilação
(4.10)
, ou seja
,
teremos o número médio de fótons do estado coerente
.
(4.11)
Na Figura (4.1) mostramos a distribuição de número médio de fótons do estado
coerente para um parâmetro de coerência
e para uma fase
.
47
Figura 4.1: Distribuição de número médio de fótons do estado coerente (
)e
Veja que a Figura (4.1) é uma gaussiana, com valor médio
, dando a
probabilidade máxima, conforme esperado.
Distribuição de número médio de fótons do Estado de Número Deslocado
A distribuição de número médio de fótons do estado de número deslocado conforme a
Eq. (4.3) e de posse dos coeficientes do END dado pela Eq. (3.64), a distribuição de número
médio de fótons do END será:
.
(4.12)
De acordo com a Eq. (4.4) o número médio de fótons do estado de número deslocado:
,
utilizando a Eq. (3.50) e usando a propriedade
(4.13)
, temos
,
(4.14)
de acordo com as Eqs. (3.48) e (3.49) podemos reescrever a equação anterior, como
,
(4.15)
então,
,
(4.16)
48
logo,
,
(4.17)
Como os estados de número deslocado são representados por osciladores harmônicos
deslocados, suas propriedades estatísticas estão sujeitas a serem muito semelhantes as de um
estado coerente. Como podemos ver nas Figuras (4.2), onde mostramos a
número deslocado para
,
e
do estado de
e .
Figura 4.2: Distribuição de número médio de fótons
do estado de número deslocado (linha sólida)
para
e
. a)
; b)
; c)
.
Comparado com a distribuição de número médio de
fótons do estado coerente (linha tracejada) para
e
.
Porém, os gráficos indicam a presença de oscilações na distribuição de número médio
de fótons do END, que é um efeito quântico.
49
Distribuição de número médio de fótons do Estado Coerente Comprimido
A distribuição de número médio de fótons do estado coerente comprimido conforme a
Eq. (4.3) e de posse dos coeficientes do ECC dada pela Eq. (3.87), a distribuição de número
médio de fótons do ECC [40] será:
(4.18)
De acordo com a Eq. (4.4) o número médio de fótons do estado coerente comprimido
é dado por [40]:
,
(4.19)
Na Figura 4.3 podemos comparar a distribuição de número de fótons do estado
coerente
(Linha sólida) com a distribuição de número de fótons do estado coerente
comprimido
(Linha tracejada).
Figura 4.3: Comparação entre a distribuição de número médio de fótons para um estado
coerente
com
(linha sólida) e a distribuição de número de fótons para o
estado coerente comprimido
(linha tracejada).
, para
e
,
, e
50
A Figura 4.3 mostra que o estado coerente comprimido é um estado que também
apresenta o efeito quântico da oscilação na distribuição de número médio de fótons.
4.2 Estatística de Fótons
As propriedades estatísticas dos estados da luz são muito importantes e permite
determinar se o estado é puramente clássico ou se apresenta efeitos quânticos. E uma dessas
propriedades é a estatística de fótons, que pode ser obtida pelo parâmetro
definido em termos da variância e do Número Médio de Fótons
de Mandel [28],
, como se segue
(4.20)
onde a variância do número de fótons é dada por
.
A variância no número de fótons de acordo com a Eq. (2.59) é dada por
.
Utilizando a definição do Parâmetro
(4.21)
de Mandel, pode-se estabelecer a seguinte
classificação para a estatística do campo
Estatística Subpoissoniana,
Estatística Poissoniana,
(4.22)
Estatística Superpoissoniana
Abaixo apresentamos uma breve discussão da estatística de fótons do estado de
número, estado coerente, estado de número deslocado e do estado coerente comprimido.
Estatística de fótons do Estado de Número
Utilizando a definição de valor médio dado pela Eq. (2.68) obtemos o valor médio do
quadrado do operador
do estado de número dado por:
,
(4.23)
51
usando a atuação dos operadores de criação de fótons
e aniquilação de fótons
dado pelas
Eqs. (3.2) e (3.3) na equação anterior, temos
,
continuando a atuação de
(4.24)
e , temos
,
(4.25)
então,
,
(4.26)
utilizando o número médio de fótons do estado de número, conforme Eq. (4.8), substituindo
na Eq. (4.21), obtemos a variância do número de fótons do estado de numero
.
Logo, o parâmetro
(4.27)
de Mandel do estado de número, de acordo com a definição dada
pela Eq. (4.20) resulta em:
–
,
(4.28)
ou seja,
(4.29)
Portanto, de acordo com a Eq. (4.22) observamos que o Estado de Número tem
estatística subpoissoniana e é o estado mais subpoissoniano possível, com
, que é um
efeito puramente quântico. Experimentalmente os Estados de Número foram gerados apenas
para números
, e por um tempo muito curto, devido a perda de coerência e
limitações das cavidades [41].
52
Estatística de fótons do Estado Coerente
Da definição de valor médio dado pela Eq. (2.68) obtemos o valor médio do quadrado
do operador
do estado coerente por:
,
com
(4.30)
, temos
.
(4.31)
Com isto, podemos obter variância do número de fótons do estado coerente dada pela
Eq. (4.21) e usando o número médio de fótons do estado coerente visto na Eq. (4.11) por:
.
(4.32)
Ou seja, a variância do número de fótons é igual ao número médio de fótons no estado
coerente.
Logo, o parâmetro
de Mandel do estado coerente, de acordo com a Eq. (4.20) resulta
em:
,
(4.33)
ou seja,
,
(4.34)
assim o estado coerente segunda a Eq. (4.22) obedece a estatística poissoniana.
O estado aqui discutido é também chamado de quase clássico por ser caracterizado
numa estatística prevista pela Física Clássica.
Este estado, então é a representação mais próxima do comportamento clássico da luz.
Eles são a maneira mais adequada de representar a luz produzida por fontes coerentes como
laser e osciladores paramétricos óticos.
53
Estatística de fótons do Estado de Número Deslocado
Obtemos o valor médio do quadrado do operador
do estado de número deslocado
por:
,
(4.35)
utilizando a Eq. (3.50) e usando a propriedade
, temos
,
(4.36)
utilizando as identidades dados pelas Eqs. (3.48) e (3.49) e depois de algumas álgebras
chegaremos em:
.
(4.37)
Usando o número médio de fótons do END dado pela Eq. (4.17) podemos obter a
variância do número médio de fótons dada pela Eq. (4.21) por:
.
Note que se fizermos
(4.38)
teremos a variância do estado coerente, dada pela Eq.
(4.32) como esperado, uma vez que o estado coerente é um caso particular do END.
Logo, o parâmetro
de Mandel do estado de número deslocado, de acordo com a Eq.
(4.20) resulta em
,
(4.39)
que de acordo com a Eq. (4.22), temos que o estado de número deslocado terá estatística
subpoissoniana
para
estatística superpoissoniana
, estatística poissoniana
para
.
para
e
54
Estatística de fótons do Estado Coerente Comprimido
O valor médio do quadrado do operador
do estado coerente comprimido dado por
[42]:
.
(4.40)
A variância do número de fótons do estado coerente comprimido é dada por [42]:
,
que depende do valor de
O parâmetro
e
(4.41)
do estado coerente comprimido.
de Mandel do estado coerente comprimido é dado por [42]:
.
Note que a dependência nos ângulos
e
indica que quando
(4.42)
, com
,e
de acordo com a Eq. (4.22), temos que o valor do parâmetro Q de Mandel denota um caráter
subpoissoniano, o qual indica uma diminuição na flutuação no número de fótons comparado
com o número médio de fótons. Ao contrario, quando
número de fótons aumenta.
, a flutuação no
55
Capítulo 5
Conclusão
Este trabalho teve como objetivo central apresentar uma contribuição para a literatura
científica em língua portuguesa de um tema fascinante e de grande aplicabilidade nos diversos
ramos da Física. Para tanto, utilizamos de alguns conceitos matemáticos que são geralmente
ensinados nos cursos de Mecânica Quântica da graduação, de modo a compilar um texto
didático e rigoroso acerca da formulação dos Principais Estados do Campo Eletromagnético e
suas Propriedades Estatísticas, possibilitando ao leitor uma rápida assimilação e um eventual
aprofundamento no tema.
Neste trabalho conhecemos um pouco da história da Mecânica Quântica, seus
primeiros estudos, e também o surgimento da Óptica Quântica, seus ramos de estudo,
aplicações e seu enquadramento dentro de nosso tema. Pois, tratamos dos Estados do Campo
Eletromagnético, conhecemos seus coeficientes, algumas propriedades estatísticas, aplicações
como o caso do estado coerente.
Apresentamos a idéia de como a energia pode ser considerada quantizada, e como
chegar nesta suposição, através da quantização do oscilador harmônico simples. Também foi
apresentado um formalismo quântico, em nosso caso, a álgebra de Dirac, que foi criada para
facilitar e diminuir os cálculos numéricos na Mecânica Quântica.
Estudando os principais estados do campo eletromagnético, e seus coeficientes,
disponibilizamos um capitulo a parte só com seus resultados e as principais propriedades
estatísticas.
56
De fato, para os leitores ávidos por informação recomendo a leitura das referências
[28,40] e mais recentemente, o excelente artigo [16] que iniciou os trabalhos para a
formulação de uma alternativa para se encontrar os coeficientes do estado de número
deslocado. Em resumo, creio que o trabalho aqui apresentado cumpra sua finalidade e sirva de
incentivo para professores e alunos de graduação, principalmente de nossa Universidade
Estadual de Goiás.
57
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