Matemática Villare

Matemática
Roteiro de Recuperação9°anoProfessora: Marcia P. Ravagnani
Nome:
Nº:
2015
TEMA I:
 Semelhança
PARTE 1 – O QUE SERÁ NECESSÁRIO VOCÊ SABER DESTE CONTEÚDO:
 Analisar as características de polígonos semelhantes.
 Reconhecer a proporcionalidade entre as dimensões das figuras.
 Reconhecer a proporcionalidade entre segmentos de retas transversais cortadas
por paralelas.
 Representar a semelhança entre dois triângulos pela identificação de seus lados
correspondentes e pela existência de razão de semelhança.
 Analisar as condições que permitem classificar dois triângulos como semelhantes.
PARTE 2 – PENSANDO SOBRE O ASSUNTO:
1) Quando duas figuras planas são semelhantes?
2) Seja k a razão de semelhança entre os lados de um polígono, qual será a razão entre
suas áreas?
3) Quando afirmamos que dois triângulos são semelhantes?
4) Quais os casos de semelhança de triângulo que nós estudamos?
ATENÇÃO: muito mais do que decorar os casos, é necessário que você consiga entender
o que eles representam. Para isso, escreva com as suas palavras como você
compreende cada um deles.
5) O que afirma o teorema de Tales?
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PARTE 3 – TESTE SEUS CONHECIMENTOS
6) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez
com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a
projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala,
a distância do projetor em relação à tela era de:
a) 18 m.
b) 8 m.
c) 36 m.
d) 9 m.
7) Considere a figura em que r // s // t . O valor de x é:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
8) Uma reta paralela ao lado BC de um triângulo ABC intercepta os lados AB e AC do
triângulo em P e Q, respectivamente, onde AQ = 4, PB = 9 e AP = QC. Então o
comprimento de AP é:
a) 5.
b) 6.
c) 8.
d) 2.
e) 1.
9) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a
figura.
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Os valores dos segmentos identificados por x e y são respectivamente:
a)
3
20
e
3
40
b) 6 e 11
c) 9 e 13
d) 11 e 6
e)
20
3
e
40
3
PARTE 4 – PREPARE-SE PARA A AVALIAÇÃO
10) Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau
de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do desafio
fincou paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras
projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125
dm. Portanto, qual é a altura do “pau de sebo”, em metros?
A altura do “pau de sebo” é de 5 m.
11) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço,
colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas
extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.
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Qual a altura do suporte em B?
A altura do suporte B é de 5,2 m.
12) A figura ao lado tem as seguintes características:
- o ângulo Ê é reto;
̅̅̅̅;
- o segmento de reta ̅̅̅̅
𝐴𝐸 é paralelo ao segmento 𝐵𝐷
-
os
segmentos
̅̅̅̅
𝐴𝐸 ,
̅̅̅̅
𝐵𝐷
e
̅̅̅̅
𝐷𝐸 ,
medem
respectivamente 5, 4 e 3;
̅̅̅̅ ?
Quanto mede o segmento o segmento 𝐴𝐶
̅̅̅̅ = 5√10
𝐴𝐶
13) Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja,
em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com
essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.
Considere que:
– os pontos A, B, C e D estão alinhados;
– os pontos H, G, F e E estão alinhados;
– os segmentos ̅̅̅̅
𝐴𝐻 , ̅̅̅̅
𝐵𝐺 , ̅̅̅̅
𝐶𝐹 e ̅̅̅̅
𝐷𝐸 são, dois a dois, paralelos entre si;
– AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE = 1980 m.
Nessas condições, qual a medida do segmento ̅̅̅̅
𝐺𝐹 ?
̅̅̅̅
𝐺𝐹 = 660 𝑚
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14) Considerando a figura abaixo, calcule a medida AC.
̅̅̅̅
𝐴𝐶 = 5,4 𝑐𝑚
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TEMA II:
 Equação de segundo grau.
PARTE 1 – O QUE SERÁ NECESSÁRIO VOCÊ SABER DESTE CONTEÚDO:
 Relembrar os casos de fatoração que são úteis para a resolução de uma equação de
segundo grau: fator comum em evidência, o quadrado da soma ou da diferença de
dois termos (trinômio quadrado perfeito), diferença de dois quadrados, fatoração de
um trinômio qualquer.
 Resolver equações de 2o grau por fatoração.
 Saber a fórmula de Bháskara e quais as condições necessárias para aplicá-la.
PARTE 2 – PENSANDO SOBRE O ASSUNTO
Considere a equação x² = 64
• Quando temos uma equação do tipo x² igual a um número positivo, podemos ter uma ou
duas soluções distintas. Por quê?
• A resolução deste tipo de equação está relacionada à qual produto notável?
• Dê o conjunto solução desta equação, considerando o conjunto universo dos reais.
Observe as equações:
•O que elas têm em comum?
• A resolução deste tipo de equação está relacionada à qual caso de fatoração notável?
• Resolva cada uma delas, considerando o conjunto universo dos reais.
• Se a equação fosse x² + x = 6 ela poderia ser resolvida da mesma maneira? Porquê?
• Quando a equação de 2° grau é um trinômio possível de ser fatorado temos que, depois
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de fatorado, igualá-lo a 0. E daí, como resolver?
• Resolva a equação x² + x = 6, usando a fatoração adequada e considerando o conjunto
universo dos reais.
Considere a equação x² + x = 6. Agora, vamos resolvê-la utilizando a fórmula de
Bháskara:
• Qual é a forma geral que deve ter uma equação de 2° grau para ser resolvida pela
fórmula de Bháskara?
• Qual é a fórmula de Bháskara?
• Resolva a equação x2 + x = 6 aplicando a fórmula de Bháskara?
PARTE 2 – VOCÊ PRECISA SABER
15) Dê o valor de x nas igualdades abaixo:
a) x = √25
𝑥=5
b) x² = 25
𝑥 = ±5
16) Resolva as seguintes equações:
a)x (x – 3) = 0
𝑆 = {0,3}
b) (x – 9)(x + 5) = 0
𝑆 = {−5,9}
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PARTE 3 – TESTE SEUS CONHECIMENTOS
17) As soluções da equação x² + 3x – 4 = 0 são:
a) - 4 e -1.
b) - 4 e 1.
c) - 4 e 3.
d) - 1 e 3.
e)1 e 3.
18) Assinale a alternativa que complete a frase: A equação do 2° grau 2x² - 5x = 3 ...
a) admite duas raízes inteiras.
b) admite uma raiz natural.
c) não admite raízes reais.
d) admite duas raízes naturais.
e) admite duas raízes negativas.
19) A adição de um número real positivo x com o seu quadrado dá um resultado igual 42.
Então esse número é:
a) Ímpar
b) é maior que 15
c) é múltiplo de 3
d) é menor que 5
20) Quanto à equação x² - 4x + 3 = 0 é correto afirmar que:
a) a soma de suas raízes é igual a – 4.
b) tem duas raízes reais e iguais.
c) tem duas raízes reais e distintas.
d) não tem raízes reais.
e) o produto de suas raízes é nulo.
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PARTE4 – PREPARE-SE PARA A AVALIAÇÃO
21) Qual o valor da maior das raízes da equação 2x2 + 3x + 1 = 0?
1
−
2




22) Qual é a soma das soluções inteiras da equação x2  1  x2  25  x2  5x  6  0 ?
5
23) Fulano vai expor seu trabalho em uma feira e recebeu a informação de que seu
estande deve ocupar uma área retangular de 12m2 e perímetro igual a 14m. Determine,
em metros, a diferença entre as dimensões que o estande deve ter.
A diferença entre as dimensões que o estande deve ter é de 1m.
24) Qual é um número x cujo quadrado aumentado do seu dobro é igual a 15?
𝑆 = {−5,3}
25) Um quintal tem a forma de um retângulo tal que a medida de um de seus lados é o
triplo da medida do outro e seu perímetro em metros é igual à sua área em metros
quadrados. Quanto mede o maior lado do quintal?
O maior lado do quintal mede 8 m.
26) Sabendo que as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0 expressam os lados de um
retângulo, em centímetros, qual é a área e o perímetro desse retângulo?
𝐴 = 6 𝑐𝑚2
𝑃 = 10 𝑐𝑚
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TEMA III:
 Sistemas de equações de 2º grau.
PARTE 1 – PENSANDO SOBRE O ASSUNTO
3  x 4  y   20
Considere o seguinte sistema: 
.
x  y  2
•
Considerando o método da substituição, explique como aplicá-lo. (Procure pensar
no que devemos conseguir, depois que atingirmos este objetivo, como devemos
continuar até encontrar o valor das incógnitas)
•
Neste caso, podemos isolar qualquer uma das incógnitas. Vamos isolar a incógnita
x na equação que é mais fácil para nós. Complete a igualdade x = ...
•
Substitua esta igualdade que você acabou de completar no lugar do x da OUTRA
equação. A partir deste momento, você tem uma equação de 2º grau na incógnita
y.
•
Resolva a equação acima encontrando os dois valores para y.
•
Se há dois valores distintos para y, devemos esperar que aconteça o mesmo para
x. De forma organizada, encontre os dois valores de x: o y1 tem o seu respectivo x1
e da mesma forma, o y2 tem o seu respectivo x2.
•
Termine a resolução do seu sistema, escrevendo o seu conjunto solução. Como o
sistema é de 2º grau, é possível que haja 2 pares ordenados. Atenção!
•
Lembre-se de fazer a prova real.
PARTE 2 – VOCÊ PRECISA SABER
xy  4
27) Resolva o seguinte sistema: 
x  y  3
𝑆 = {(4, −1); (−1,4)}
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PARTE 3 – TESTE SEUS CONHECIMENTOS
x  y  5
28) O conjunto solução do sistema  2
é dado por:
2
x  y  13
a) S = {(-3, -2); (-2, -3)}
b) S = {(-3, 2); (-2, 3)}
c) S = {(-3, 3); (-2, 2)}
d) S = {(2, -3); (3, -2)}
PARTE 4 – PREPARE-SE PARA A AVALIAÇÃO
29) Resolva os seguintes sistemas:
xy  40
a) 
𝑆 = {(5,8); (8,5)}
x  y  13
x  y  3
b)  2
2
x  y  15
𝑆 = {4,1}
x  y  1
c) 
(3  x )( y  2)  48
*******
30) Descubra dois números sabendo que a diferença entre eles é 3 e a soma de seus
quadrados é 29.
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TEMA IV:
 Circunferência e círculo.
PARTE 1 – PENSANDO SOBRE O ASSUNTO
 O comprimento da circunferência é dado pelo dobro do produto do ________
por _____ (número irracional cujo valor aproximado é _____).
 A área de um círculo é dada pelo produto de ______ e do quadrado do ________.
 Ao estudarmos ângulos na circunferência, aprendemos que o ângulo central é aquele
que tem o vértice no _______________ da circunferência e que o vértice do ângulo
inscrito está _______________ circunferência.
 Qual é a relação existente entre ângulo central e ângulo inscrito que enxergam o
mesmo arco?
PARTE 2 – VOCÊ PRECISA SABER
31) Calcule a área e o comprimento de uma circunferência:
a) cujo diâmetro mede 13 cm.
𝐴 = 42,25𝜋 𝑐𝑚2
𝐶 = 13𝜋 𝑐𝑚
b) cujo raio mede 23 cm.
𝐴 = 529𝜋 𝑐𝑚2
𝐶 = 26𝜋 𝑐𝑚
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PARTE 3 – TESTE SEUS CONHECIMENTOS
32) Na figura seguinte, qual é a medida do ângulo x.
a) 90º
b) 95º
c) 100º
d) 105°
e) 110º
PARTE 4 – PREPARE-SE PARA A AVALIAÇÃO
33) Calcule a área hachurada na figura abaixo sabendo que o raio do círculo mede 5 cm.
𝐴=
25𝜋 − 50
𝑐𝑚
2
𝑜𝑢
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝜋 𝑝𝑜𝑟 3,14: 𝐴 = 14,25 𝑐𝑚
34) Calcule a área hachurada da figura, sabendo-se que "O" é o centro das
circunferências e OA = 12 cm e AB = 3 cm.
𝐴=
81
𝜋 𝑐𝑚2
2
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35) Na figura, AE é diâmetro da circunferência.
a) Calcule as medidas dos ângulos X, M e T assinalados.
b) Se AE mede 4 2 cm e o triângulo AME é isósceles, calcule o perímetro do
triângulo AME.
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