Cargas elétricas em movimento

Eletromagnetismo
Cargas elétricas em movimento
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Introdução
Até o início do século XIX, pensava-se que os fenômenos elétricos e magnéticos fossem
completamente distintos, ou seja, havia a ciência do magnetismo, cujo grande marco fora o livro
“De Magnete”, de William Gilbert (ano de 1600), e a ciência da eletricidade. Esta última se encontrava num estágio mais avançado, pois alguns princípios da eletrostática já eram conhecidos. Até
1820, tudo que se sabia sobre o magnetismo era o comportamento estranho dos materiais magnéticos e o magnetismo da Terra refletindo-se na orientação das bússolas.
Evidências de que os dois fenômenos tivessem alguma relação eram praticamente inexistentes.
Sabia-se, por exemplo, que relâmpagos provocavam alterações no funcionamento das bússolas.
No entanto, isso não era suficiente para se estabelecer uma relação segura entre os fenômenos
elétricos e magnéticos.
A partir dos trabalhos de Oersted e de Ampère, tudo isso mudou. A partir daí, ocorreu uma
unificação das duas ciências. O eletromagnetismo passou a ser a ciência dos fenômenos elétricos e
magnéticos, pois, como sabemos, eles estão inter-relacionados. Com essas experiências podemos
concluir que a eletricidade e o magnetismo estão interligados.
Existem duas formas de abordar este assunto. Na primeira, apresentamos as leis que regem
esse fenômeno. Esta é a maneira usual de apresentar este tema.
A segunda forma, apresentada a seguir, consiste de explicar o fenômeno tomando como base a
teoria da relatividade restrita. Parece ser uma forma menos ad hoc.
Neste capitulo, adotaremos o segundo método. Utilizando a relatividade, veremos que o resultado das experiências de Oersted e de Ampère pode ser traduzido de uma forma simples afirmando que conquanto uma carga elétrica em repouso produz apenas um tipo de campo, uma carga

elétrica em movimento produz dois tipos de campos: O potencial escalar, v, e o potencial vetor A.
Claro que a partir deles podemos determinar o campo elétrico e o campo magnético produzido por
cargas elétricas em movimento.
A teoria da relatividade nos leva a concluir que campos elétricos e magnéticos são relativos.
Isto é, se apenas um deles existir num determinado referencial então, num outro referencial em
movimento em relação a este existirão dois campos e não apenas um deles. Ou seja, os campos
elétricos e magnéticos podem ser entendidos como duas faces da mesma moeda. Esta é a essência
do eletromagnetismo.
1
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2
2 As Descobertas de Oersted e de Ampère
Importante
Hans Christian Oersted era professor na Universidade de Copenhague quando,
em 1819, decidiu dar uma aula de demonstrações. Sua ideia era demonstrar
o aquecimento de um fio resultante da passagem de uma corrente elétrica e
apresentar demonstrações do fenômeno do magnetismo. Por isso, tinha diante
da plateia de alunos e amigos uma pilha para produzir a corrente elétrica e uma
bússola. Notou que, colocando a bússola paralelamente ao fio, então, quando
no fio passa uma corrente (ao inicia-la, portanto), a bússola se movimentava
à procura da direção perpendicular ao fio. Mas, nessa posição nada acontecia
quando se iniciava a corrente.
Com essa experiência pioneira, ficava estabelecida pela primeira vez uma relação entre os
fenômenos elétricos e magnéticos, pois a mera passagem da corrente elétrica produz um campo
magnético ao qual a bússola fica sujeita e que a impele a se movimentar.
Hans Christian Oersted, dinamarquês, nasceu em 14 de Agosto de
1777, morte em 9 de Março de 1851.
André-Marie Ampère, francês,
nasceu em 20 de janeiro de 1775,
morte em 10 de junho de 1836.
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3
A experiência pioneira de Oersted.
Tendo tomado conhecimento da descoberta de Oersted, André-Marie Ampère decidiu realizar
experiências envolvendo a passagem da corrente elétrica. Verificou, experimentalmente, que fios
dispostos paralelamente um em relação ao outro, sofriam a ação de forças. As forças têm duas
características interessantes.
Se as correntes tiverem o mesmo sentido, os fios experimentam uma força de atração.No entanto,
eles se repelem se as correntes tiverem sentidos opostos.
A força tem uma intensidade diretamente proporcional à intensidade das correntes. A intensidade
da força varia com o inverso do quadrado da distância entre os fios. Portanto, um afastamento
produz uma força mais débil e o contrário ocorre quando aproximamos os fios. Esse resultado
pode ser resumido, para fios paralelos, pela expressão:
F=
KI1 I 2
R2
( 1 )
onde k é uma constante (dependendo do comprimento dos fios) e R é a distância entre os fios. I1 e
I2 são as correntes que passam pelos fios.
Ampère entendeu, a partir das suas experiências envolvendo forças entre fios, que se tratava,
como no caso da experiência de Oersted, da interação do campo magnético produzido por um dos
fios com o segundo fio (quando por ele passa uma corrente elétrica).
A experiência de Ampère. Um fio exerce força
sobre outro fio, quando sobre ambos passam
correntes.
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4
Com a experiência de Oersted, concluimos que uma corrente
elétrica, passando por um condutor (como no caso de um fio), produz
um campo magnético. Esse campo se localiza ao redor do condutor.
Ou seja, um condutor quando percorrido por uma corrente se comporta
como se fosse um ímã.
Com a experiência de Ampére inferimos que um condutor percorrido
por corrente elétrica, quando colocado numa região na qual existe um
campo magnético, fica sujeito á ação de uma força.
Campos Produzidos por uma Carga Elétrica em Repouso
Como primeiro passo no entendimento dos fenômenos observados por Oersted e Ampére,
consideremos a situação mais simples dentre todas: aquela na qual observamos uma carga elétrica
puntiforme em movimento uniforme.
É importante notar que no referencial da partícula que se coloca em movimento, um observador
constatará que, naquele referencial a partícula produza apenas um campo escalar e um campo
dele derivado, o campo elétrico. Neste referencial escrevemos:
V ′ ( x′, y′, z ′ ) =
q
4πε 0
1
x′ + y ′2 + z ′2



x′i + y′j + z ′k
2

q
E ′ ( x′, y′, z ′ ) =
4πε 0 ( x′2 + y′2 + z ′2 )3/ 2
( 2 )
Os campos denominados potencial vetor e campo magnético são nulos nesse referencial. Isto é,
podemos escrever:

A′ ( x′, y′, z ′ ) = 0

B′ ( x′, y′, z ′ ) = 0
( 3 )
Ou seja, no referencial que se movimenta junto com a partícula um observador nele colocado,
percebe apenas a existência de um potencial, e consequentemente, de um campo elétrico.
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5
Campos Produzidos por uma Carga Elétrica em Movimento
Consideremos agora, o caso de um observador num referencial no qual essa mesma partícula
encontra-se em movimento ao longo do eixo x com velocidade constante V0. Nesse caso, o vetor
velocidade será escrito como:


V = V0 i
( 4 )
Nesse novo referencial, a situação é diferente. O observador nele localizado perceberá dois
conjuntos de campos. Podemos dizer, por exemplo, que ele detectará um campo elétrico e um
campo magnético. Para entendermos isso, recorreremos à Teoria da Relatividade restrita.
De acordo com a Teoria da Relatividade de Einstein, no limite de baixas velocidades, velocidades
muito menores do que a velocidade da luz c (v/c << 1) esse movimento dá lugar a dois campos
potenciais e dois campos vetoriais. O primeiro deles é potencial escalar, dado por
V ( x, y , z , t ) =
q
4πε 0
1
( x − vt )
Donde obtemos um campo elétrico dado por:

q
E ( x, y , z , t ) =
4πε 0
2

( 5 )
+ y2 + z2


( x − vt ) i + yj + zk
3/ 2
2
2
2
+
+
−
x
vt
y
z
(
)
(
)
( 6 )

O outro conjunto de campos, dois campos vetoriais, são conhecidos como potencial vetor A e

campo magnético B. O potencial vetor, resulta ser dado, de acordo com a teoria da relatividade,
pela expressão:



v
v q
A ( x, y , z , t ) = 2 V ( x, y , z , t ) = 2
c
c 4πε 0
1
( x − vt )
2
+ y2 + z2
( 7 )
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6
A expressão acima nos leva a correlacionar fenômenos magnéticos (o potencial vetor) e elétricos
(o potencial elétrico). Considerando-se a velocidade ao longo do eixo z, obtemos uma expressão
mais simples:
 v


A ( x, y, z , t ) = Az ( x, y, z , t ) k = 2z V ( x, y, z , t ) k
c
( 8 )
O campo magnético obtido a partir do potencial vetor acima, ou da transformação de Lorentz do
próprio campo elétrico, é dado por:

 i
    ∂
B = ∇× A =
 ∂x

 0

j
∂
∂y
0
 

 i

k
 
∂   ∂
=
∂z   ∂x
 
Az  
 0


j
∂
∂y
0
 
k 

∂ 
∂z 

vz 
V
c2 
( 9 )
Donde inferimos que o campo magnético tem componentes dadas por:
vE
vz ∂V
=− z 2y
2
c ∂y
c
v ∂V vz E y
= 2
By = − 2z
c ∂x
c
Bx =
( 10 )
Ou seja, um observador localizado no referencial que vê a carga elétrica em movimento
perceberá, além do campo elétrico, um campo magnético dado pela expressão acima. Eles são
inter-relacionados de uma forma simples.
Na expressão (000), aparece o inverso do produto de constantes o qual introduz uma nova constante:
1
= µ0
ε 0c 2
( 11 )
Denominamos permeabilidade do vácuo a constante μ0, cujo valor, calculado a partir da relação
acima, é:
μ0=4π10-7 Henry/metro
( 12 )
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
Donde inferimos que o campo B, pode ser escrito sob a forma:


B ( x − vt , y, z ) = µ0 v × q



( x − vt ) i + yj + zk
3/ 2
2
2
2
+
+
−
x
vt
y
z
(
)
(
)
( 13 )
Portanto, o campo magnético de uma carga em movimento é dado por:
 v 
B = 2 ×E
c
( 14 )
A conclusão é que uma carga elétrica em movimento produz um campo elétrico e um campo
magnético, ambos campos vetoriais. Ou seja, um observador para o qual ela se desloca com velo
cidade v detectará ambos os campos os campos, os quais, por outro lado são correlacionados de
acordo com a expressão (000).
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Generalização para o Caso Estacionário
Consideremos o caso de uma corrente estacionária. Essa situação ocorre quando não há
a necessidade de especificar a posição de cada uma das partículas que compõem a corrente.
Isso porque em pouco tempo uma partícula ocupa a posição da outra e da seguinte, e assim por
diante. Nessas circunstancias, substituímos a posição na qual a partícula dotada de carga pela
posição do ponto. Isto é, efetuamos a substituição:
vt → x'
( 15 )





vt → r ′ = x′i + y′i + z ′i
( 16 )
Mais geralmente, substituímos:
Ou seja, substituímos o conceito de onde cada um dos transportadores de cargas está, como
função do tempo, pelo conceito de onde está cada ponto pelo qual os transportadores passam.
Não há necessidade
Consideremos a situação estacionária aludida acima. Nesse caso, num volume infinitesimal dV

localizado em r ' a carga ali concentrada é:

dq = ρ ( r ' � ) dV
( 17 )

Assim, o deslocamento com uma velocidade uniforme V , dessa carga infinitesimal, produzirá um

campo magnético infinitesimal no ponto r dado por:

  V   dq
dB =  2  × 
 c   4π ∫ 0
 
r −r' 
  
r −r' 
( 18 )
Numa situação estacionária, uma
carga é reposta pela outra enquanto
elas se movimentam.
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Utilizando a expressão (000), obtemos para o campo magnético infinitesimal produzido


 
V ρ(r ' )
dB ( r ) = 2 ×
c 4πε0
 
r −r'
'
  ' 3 dV
r −r
( 19 )
A contribuição de toda a densidade de corrente, é o campo magnético total dado pela soma:


1
v
B ( x, y , z ) = 2 ×
c 4πε 0
 
' r − r '
∫∫∫ ρ ( r ) r − r ' 3
( 20 )
O que nos leva a concluir, que também nesse caso, estacionário, vale a expressão:


v 
B ( x, y , z ) = 2 × E ( x, y , z )
c

( 21 )
Nota-se que a despeito das cargas estarem em movimento e, portanto, de não se tratar de uma

situação estática, o campo B não depende do tempo. É uma característica do regime estacionário.
Finalmente, segue de (000), que o campo magnético é muito menos intenso do que o campo
elétrico. Para entendermos isso, consideremos os módulos dos campos. Obtemos a seguinte relação:
 1 v 
B =
E cos ¸
c c
( 22 )
Ou seja, o campo magnético é menor, por um fator 1/c, do que o campo elétrico.
A Lei de Biot-Savart
A lei de Biot-Savart é uma extensão da expressão (000) para uma distribuição volumétrica de
correntes a mais geral possível.
Levando-se em conta a definição de densidade de corrente, obtemos que campo infinitesimal


produzido em r como conseqüência do movimento da carga infinitesimal localizada em r´ é dado por:
 
 
J (r )
1
dB ( r ) = 2 ×
4πε0
c
 
r −r'
'
  ' 3 dV
r −r
( 23 )
Campo magnético dB gerado num ponto P do
plano xy por uma carga dq que se move com
v ao longo do eixo 0x. O vetor
velocidade
 
(r − r ´) é tal que o seu módulo corresponde à
distância da carga ao ponto P.
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10
E, portanto, o campo magnético total devido à existência de uma distribuição de correntes é
dado por:
 
1 1
B (r ) = 2
c 4πε 0
 
 '
r −r'
'
∫∫∫J ( r ) × r − r ' 3 dV
Donde, utilizando a expressão (000), obtemos:
 
µ

B ( r ) = 0 ∫∫∫J ( r ' ) ×
4π
( 24 )
 
r −r'
'
  ' 3 dV
r −r
( 25 )

Observe-se que, diferentemente, da expressão (000), o campo B, não depende do tempo.
Essa é uma característica de toda a magnetostática. Nela, não nos interessamos pela posição de
cada uma das cargas como função do tempo. Assim, substituímos a posição de uma carga elétrica
como função do tempo pela posição de uma carga elétrica genérica que se encontra numa determinada posição. Basicamente, substituímos:
(x−vt) → x
( 26 )
O único efeito não estático, pois as cargas estão em movimento, está contido na densidade de
corrente (associada ao movimento das cargas). Suas localizações são assumidas estáticas. A isso
nos referimos como uma descrição estacionária.
No caso em que a densidade de corrente é uniforme, podemos escolher o eixo z coincidente a
direção da corrente:



J = J 0 � k = ρ0V
( 27 )

A expressão para o campo B pode ser escrita de uma forma muito semelhante ao da eletrostática.
Escrevemos:

 Vk  1
B = 2 ×
c  4πε0


∫
 
  
r −r'
 V
  ' 3 ρ0 dV  = c 2 × E0
r −r

Onde E0 é o campo elétrico produzido por uma distribuição uniforme de cargas.
( 28 )
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Campo Magnético resultante de um fio fino percorrido
por corrente
No caso de uma corrente I percorrendo um fio, efetuamos na expressão (000), a seguinte
substituição :


J ( r ) dV → I � dl

( 29 )

Onde dl é um elemento de comprimento infinitesimal do fio e dl é um vetor tangente ao mesmo
em cada ponto e tem o sentido da corrente.
Nessas circunstâncias, segue que o campo produzido por uma corrente ao longo de uma curva Γ é:

 
µ
B ( r ) = 0 I ∫dl ×
4π Γ
 
r −r'
  3
r −r'
( 30 )
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Exercícios Resolvidos: Campo Magnético resultante de
um fio fino percorrido por corrente
Exemplo 1
Consideremos, a título de exemplo, o caso de um fio infinito de raio da base R. Como sabemos,
Tal problema se reduz ao de determinar o campo elétrico produzido por uma densidade uniforme
de cargas (vide fig 000). A seguir resolveremos tal problema fazendo uso da lei de Gauss o que é
possível desde que façamos uso de argumentos de simetria. De acordo com a lei de Gauss,
Q
E
∫∫S idS = ε 0
( 31 )
Utilizando argumentos de simetria, inferimos que o campo elétrico de uma distribuição uniforme
no interior de um cilindro, (um cilindro imaginário interno de raio r < R ) é dado pela expressão geral:


E0 = E0 ( r )� er
( 32 )
Para um cilindro de altura h e raio r, obtemos que o fluxo do campo elétrico num superfície cilíndrica de raio r e de altura h é dado por (vide fig. 10):
∫∫ E ⋅ dS =
S
E0 ( r ) 2π rh
ε0
( 33 )
Enquanto que para a carga contida no interior do cilindro devemos distinguir duas situações.
Se r > R a carga contida é a carga total, a qual é dada pelo produto da densidade de carga pelo
volume do cilindro que contem todo o fio:
∫ ∫ ∫ρdV = (πR2h)ρ0
( 34 )
∫ ∫ ∫ρdV = ρ0 πr2h
( 35 )
Se r < R
Eletromagnetismo » Cargas elétricas em movimento
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Assim, encontramos que, se r > R o campo elétrico é dado por
 ρ R2 
E0 = 0 er
2r ε 0
( 36 )
 ρr
E0 = 0 er
2ε0
( 37 )
Enquanto que, se r < R o campo é
E, portanto, o campo magnético na região externa ao fio será:
 
1 R2  
1 R2
R2


B (r ) = 2
J 0 × er = 2
ρ0Veϕ = [µ 0
ρ0 v]eϕ
c 2r
c 0 2r
2r
 
No interior do fio a dependência do campo B ( r ) é da forma:
 
µr

B ( r ) = [ 0 J 0 ]eϕ
2
( 38 )
( 39 )
Fig. 9: Superfícies Gaussianas para os pontos
internos e externos ao fio.
Eletromagnetismo » Cargas elétricas em movimento
14
Exemplo 2
Um condutor retilíneo vertical muito comprido, de raio R = 2 x 10-3 m, conduzindo uma corrente
elétrica estacionária I = 10 A, passa perpendicularmente a uma placa de acrílico. Determinar o
campo magnético gerado pela corrente elétrica no ponto M distante d = 10 cm do centro do fio.
Solução
A figura (10) ilustra a situação descrita no enunciado. As cargas em movimento ao longo do fio
geram dois campos no ponto M. Como o ponto se encontra fora do fio, o campo elétrico é descrito
pela eq. 000 enquanto que o campo magnético é descrito pela eq. 000.
O vetor campo magnético tem direção azimutal e é perpendicular à direção radial bem como à
corrente, escrevemos

R²

B( M ) = [µ o
ρo ⋅ v]eϕ .
2r
( 40 )
ρ0.V = J0 = I0πR2
( 41 )
Lembrando que
onde R = radio do fio (considerado uniforme e substituindo na eq. 000 temos:

i 
R²
R²


( 42 )
B( M ) = [µ o
ρo ⋅ v]eϕ = [µ o ](io / πR 2 )eϕ = [µ o o ]eϕ
2r
2r
2πr

Nesse exemplo tomamos r = r = d (distância do ponto M até o centro do fio). Assim, o campo
magnético gerado pelas cargas em movimento ao longo do fio, na condição considerada, é:

i 
B( M ) = [µ o o ]eϕ
2πd
( 43 )
Substituindo-se os valores μ0= 4π∙10−7T∙m/A; i0 = 10 A e d = 10 m resulta:

m
10 A


B( M ) = [4π ⋅10−7 (T ⋅ )
eϕ = [2 ×10−5 ]eϕ (T )
−2
A 2π(10 ⋅10 )m
( 44 )
Figura 10: Os três
 vetores unitários

importantes: k (sentido
da corrente elétrica);er

(sentido radial) e eϕ (perpendicular ao vetor er )
ambos situados no plano da placa.
Eletromagnetismo » Cargas elétricas em movimento
onde T = tesla, unidade de campo magnético no Sistema MKS ou SI.
A expressão B (d ) = [µ 0
i0 
]eϕ está a indicar que para pontos à mesma distância d do fio o campo
2πd
possui a mesma intensidade, ou seja, B = 2 x 10−5 T cuja direção coincide com a da tangente a
circunferência de raio d concêntrica com o fio. Essa é a forma como se posicionam agulhas de uma
bússola colocadas de acordo com a figura.
Andre Marie Ampère (1775-1836), baseado nas experiências de Oersted, estabeleceu que a relação

entre a corrente elétrica estacionária (constante) I e o campo magnético B que ela gera a uma distância
d do fio. Esta relação, conhecida como Lei de Ampère, mostra a “circulação” do campo magnético
gerado por uma corrente elétrica em planos perpendiculares ao fio que transporta a corrente.

O sentido de B é determinado pela regra da mão direita conforme ilustra a figura acima. Neste

exemplo, pela regra da mão direita, o vetor B “circula” o fio no sentido anti-horário.
15
Eletromagnetismo » Cargas elétricas em movimento
16
Exemplo 03

Determinar o campo magnético B(C) no centro de uma espira de material condutor de formato
circular de raio R = 10 cm pela qual flui uma corrente elétrica estacionária I = 10 A.
Resolução
A figura (000) ilustra a espira em questão. Na mesma figura apresentamos o referencial a ser
utilizado. O centro da espira tem, portanto, coordenadas x = y = z = 0.
Portanto, substituindo essas coordenadas em 8.15 obtemos:
 1 −r´

µ0
B(0, 0, 0) =
I dl ×  2 (  )
4π ∫Γ
r´ r´
( 45 )
Verificamos ainda que:

−r ´

(  ) = −er = − vetor unitário radial
−r ´
( 46 )
Ademais, devemos nos lembrar que:
1
1
1
  2 = r´2 = r 2
r − r´
( 47 )
E que,


dl = dl ⋅ eϕ
( 48 )
Assim, a expressão para o camp assume a forma
 1 

µ
µ 1
 
B(0, 0, 0) = 0 I ∫ dl × 2 (−eΓ ) = 0 2 ∫ dl (eϕ × eΓ )
4π Γ
R
4π R Γ
( 49 )
Mas,



(eϕ × −eΓ ) = k
( 50 )
Eletromagnetismo » Cargas elétricas em movimento
17
vetor unitário vertical para cima, perpendicular ao plano da espira e constante. Portanto:


µ I
B(0, 0, 0) = 0 2 ∫ dl ⋅ k
4π R Γ
( 51 )
Usando a relação dl = R.dθ tem-se:
2π
 µ I 2π 

µ I
B(0, 0, 0) = 0 2 ⋅ ∫ R ⋅ d θk = 0 ⋅ ∫ d θk
4π R 0
4π R 0
( 52 )

µ0 I 
µ0 I
(2π) =
B(C ) =
k
4π R
2R

4π ⋅10−7 T ⋅ m / A ) (10 A )

(
O campo magnético no centro da espira B (C ) =
= (2π10−5 )k (tesla)
2 ⋅ (0,1m)
conforme ilustrado na Fig (10).
Campo magnético no centro da espira.
No entanto, o campo magnético não é somente gerado no centro da espira. A fig. (10) ilustra
algumas linhas de força que representam o campo magnético gerado numa espira quando percorrida por uma corrente elétrica.
Campo magnético em outros
pontos do espaço.
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Eletromagnetismo » Cargas elétricas em movimento
Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Design Instrucional: Juliana Moraes Marques Giordano e Vani Kenski.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
Fotografia: Jairo Gonçalves.
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