A Equação de Onda do Campo Eletromagnético no Vácuo

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – DFIS
A Equação de Onda do Campo Eletromagnético no
Vácuo
Prof. Dr. José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Centro de Ciências Tecnológicas
Universidade do Estado de Sana Catarina
1. As Equações de Maxwell
Como sabemos, o Eletromagnetismo baseia-se nas Equações de Maxwell. Em sua forma
diferencial [1] as Equações de Maxwell são expressas como mostrado abaixo.
r r
∇•D = ρ
r r
∇•B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t r
r r r ∂D
∇× H = J +
∂t
1a
1b
1c
1d
r
r
Na Equação 1, D é o vetor deslocamento elétrico, ρ é a densidade de carga elétrica, B é o vetor
r
r
r
campo magnético, E é o vetor campo elétrico, H é o vetor intensidade magnética e J é o vetor
densidade de corrente elétrica. O deslocamento elétrico e o campo elétrico estão relacionados
através da equação constitutiva [2] mostrada abaixo.
r
r
D =ε ⋅E
2
Na Equação 2, ε é a permissividade elétrica do meio. Por sua vez, o campo magnético e a
intensidade magnética estão relacionados através da equação constitutiva [3] também mostrada
abaixo.
r
r
B = µ⋅H
3
Na Equação 3, µ é a permissividade magnética do meio.
2. As Equações de Maxwell para o Vácuo
Por definição o vácuo é ausência de matéria. Assim, na situação em que o meio onde se
encontra o campo eletromagnético é o vácuo não existem cargas elétricas, o que significa que tanto
a densidade de carga elétrica é nula (ρ = 0), quanto a densidade de corrente elétrica também é nula
r
( J = 0). Assim, no caso do vácuo a Equação 2 passa a ser escrita como abaixo.
r
r
D = ε0 ⋅ E
4
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Na Equação 4 ε0 = 8,8542×10-12 C2/N⋅m2 é a permissividade elétrica do vácuo. Por sua vez,
também no caso do vácuo a Equação 3 passa a ser escrita como abaixo.
r
r
B = µ0 ⋅ H
5
Na Equação 5 µ0 = 4⋅π×10-7 T⋅m/A é a permissividade magnética do vácuo.
Substituímos a Equação 4 e a Equação 5 na Equação 1 e levando em conta que tanto ε0
r
quanto µ0 são constantes, além do fato de ρ = 0 e J = 0 encontramos o conjunto de equações
mostradas abaixo.
r r
∇•E = 0
r r
∇•B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t r
r r
∂E
∇ × B = µ0 ⋅ ε 0 ⋅
∂t
6a
6b
6c
6d
Observamos que na Equação 6 temos apenas representados o campo elétrico e o campo magnético
em equações acopladas, isto é, equações nas quais o rotacional de um campo depende da variação
temporal do outro campo (Equação 6c e Equação 6d). Por fim, temos que ter clareza que a Equação
6 é uma simplificação das Equações de Maxwell, válida apenas para o vácuo.
3. A Equação de Onda para o Campo Elétrico
Partimos então da Equação 6c, e calculamos o operador rotacional em ambos os lados da
igualdade.
r
r r r
r  ∂B 
∇ × ∇ × E = −∇ ×  
 ∂t 
(
)
7
Observemos o lado esquerdo da Equação 7. Vamos utilizar aí a identidade vetorial mostrada
r
abaixo, válida para qualquer campo vetorial F [4].
(
) (
)
r r r
r r r
r
∇ × ∇ × F = ∇ ∇ • F − ∇2F
8
Em outras palavras a identidade vetorial expressa pela Equação 8 mostra que “o rotacional do
rotacional de um campo vetorial é igual ao gradiente de sua divergência menos o seu laplaciano”.
Aplicamos a identidade vetorial contida na Equação 8 especificamente para o campo elétrico e
obtemos o resultado mostrado abaixo.
(
) (
)
r r r
r r r
r
∇ × ∇ × E = ∇ ∇ • E − ∇2E
9
Por sua vez, a Equação 6a nos mostra que para o vácuo a divergência do campo elétrico é nula, o
que nos leva a uma simplificação da Equação 9, mostrada abaixo.
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(
)
r r r
r
∇ × ∇ × E = −∇ 2 E
10
Substituímos então a Equação 10 na Equação 7 e obtemos o resultado mostrado abaixo.
r
r
r  ∂B 
− ∇ E = −∇ ×  
 ∂t 
2
11
Vamos agora voltar nossa atenção para o lado direito da Equação 11. Lembremos que
derivadas parciais são operações comutáveis [5]. Desta forma, na Equação 11 não alteramos a
igualdade ao inverter a posição da derivada temporal com a derivada espacial, o que nos leva ao
resultado mostrado abaixo.
r
r  ∂B  ∂ r r
∇ ×   =
∇× B
 ∂t  ∂t
(
)
12
Observamos que na Equação 12 surge o rotacional do campo magnético, cuja expressão está
contida na Equação 6d. Substituímos então a Equação 6d na Equação 12.
r
r
r
r  ∂B  ∂ 
∂E 
∂2E
 = µ0 ⋅ ε 0 ⋅ 2
∇ ×   =  µ 0 ⋅ ε 0 ⋅
∂t 
∂t
 ∂t  ∂t 
13
Substituímos então a Equação 13 na Equação 11.
r
r
∂2E
− ∇ E = −µ0 ⋅ ε 0 ⋅ 2
∂t
2
14
Uma simples manipulação da Equação 14 nos conduz finalmente ao resultado final para a Equação
de Onda do Campo Elétrico.
r
r 1 ∂2E
∇ E− 2 ⋅ 2 =0
c ∂t
2
15
Na Equação 15 escrevemos a velocidade da luz no vácuo c em termos das constantes µ0 e ε0 como
mostrado abaixo.
c=
1
= 2,9979 × 10 8
µ0 ⋅ ε 0
m/ s
16
Analisemos com atenção a Equação 15. Observamos que nela está presente apenas o campo
elétrico respeitando uma equação diferencial cuja estrutura é conhecida como Equação de Onda.
r
No caso geral, uma onda escalar Ψ( r ,t) obedece a seguinte equação diferencial [6]
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∇2Ψ −
1 ∂ 2Ψ
=0
v 2 ∂t 2
17
Na Equação 17 v é a velocidade de propagação da onda. Por analogia, podemos afirmar que no
vácuo o campo elétrico obedece a uma Equação de Onda e que este campo elétrico se propaga com
a velocidade da luz neste meio.
4. A Equação de Onda para o Campo Magnético
Para obter um resultado similar para o campo magnético, repetimos o procedimento anterior.
Partimos agora da Equação 6d, e calculamos o operador rotacional em ambos os lados da
igualdade.
r
r r r r 
∂E 

∇ × ∇ × B = ∇ ×  µ 0 ⋅ ε 0 ⋅

∂
t


(
)
18
Vamos utilizar no lado esquerdo da Equação 18 a identidade vetorial contida na Equação 8, já vista
anteriormente, aplicada agora ao campo magnético.
(
) (
)
r r r
r r r
r
∇ × ∇ × B = ∇ ∇ • B − ∇2B
19
Por sua vez, a Equação 6b nos mostra que a divergência do campo magnético é nula, o que nos leva
a uma simplificação da Equação 19.
(
)
r r r
r
∇ × ∇ × B = −∇ 2 B
20
Substituímos então a Equação 20 na Equação 18.
r
r r 
∂E 

− ∇ B = ∇ ×  µ 0 ⋅ ε 0 ⋅

∂
t


2
21
Vamos agora voltar nossa atenção para o lado direito da Equação 21. Lembremos que µ0 e ε0
são constantes e, portanto podem ser tiradas para fora do rotacional; além disso, lembremos mais
uma vez que derivadas parciais são operações comutáveis [5]; desta forma, na Equação 21 não
alteramos a igualdade ao inverter a posição da derivada temporal com a derivada espacial, o que nos
leva ao resultado mostrado abaixo.
r
r 
∂B 
∂ r r
 = µ0 ⋅ ε 0 ⋅ ∇ × E
∇ ×  µ 0 ⋅ ε 0 ⋅

∂t 
∂t

(
)
22
Observamos que na Equação 22 surge o rotacional do campo elétrico, cuja expressão está contida
na Equação 6c. Substituímos então a Equação 6c na Equação 22.
r
r
r
r 
∂B 
∂  ∂B 
∂2B
 = µ0 ⋅ ε 0 ⋅  −
 = −µ 0 ⋅ ε 0 ⋅ 2
∇ ×  µ 0 ⋅ ε 0 ⋅
∂t 
∂t  ∂t 
∂t

23
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Substituímos então a Equação 23 na Equação 21.
r
r
∂2B
− ∇ B = −µ 0 ⋅ ε 0 ⋅ 2
∂t
2
24
Uma simples manipulação da Equação 24 nos conduz nos conduz finalmente ao resultado final para
a Equação de Onda do Campo Magnético.
r
r 1 ∂2B
∇ B− 2 ⋅ 2 =0
c ∂t
2
25
Também na Equação 25 aparece velocidade da luz no vácuo, já definida anteriormente pela
Equação 16.
Analisemos com atenção a Equação 25. Observamos que, como no caso da Equação 15, nela
está presente agora apenas o campo magnético respeitando uma equação diferencial que tem a
mesma estrutura que o caso do campo elétrico; isto significa que o campo magnético no vácuo
também obedece a Equação de Onda e que este campo magnético também se propaga com a
velocidade da luz neste meio.
5. A Equação de Onda para o Campo Eletromagnético
Coloquemos então lado a lado a Equação de Onda do Campo Elétrico e a Equação de Onda
do Campo Magnético.
r
r 1 ∂2E
∇ E− 2 ⋅ 2 =0
c ∂t r
r
1 ∂2B
∇2 B − 2 ⋅ 2 = 0
c ∂t
2
26a
26b
A Equação 26 mostra duas equações diferenciais desacopladas, uma para o campo elétrico e outra
para o campo magnético. Embora nesta estrutura o campo elétrico e o campo magnético obedeçam
cada um à sua própria equação diferencial, a Equação 26a e a Equação 26b não são independentes.
Lembremos que a sua derivação foi obtida a partir das Equações de Maxwell, onde o campo elétrico
e o campo magnético são interdependentes entre si. Devemos ter sempre em mente que, mais
importante que obedecer às Equações de Onda (Equação 26) o campo elétrico e o campo magnético
tem que obedecer às Equações de Maxwell. Isto porque as Equações de Maxwell expressam
matematicamente a natureza dos efeitos elétricos e magnéticos.
A Equação 26 constitui o que se convenciona chamar de Equação de Onda Eletromagnética.
Bibliografia
[1] – REITZ, J. R., MILFORD, F. J. e CHRISTY, R. W. – Fundamentos da Teoria Eletromagnética
– 3a Edição – pg. 326 – Editora Campus – Rio de Janeiro, 1982.
[2] – REITZ, J. R., MILFORD, F. J. e CHRISTY, R. W. – Fundamentos da Teoria Eletromagnética
– 3a Edição – pg. 92 – Editora Campus – Rio de Janeiro, 1982.
[3] – REITZ, J. R., MILFORD, F. J. e CHRISTY, R. W. – Fundamentos da Teoria Eletromagnética
– 3a Edição – pg. 195 – Editora Campus – Rio de Janeiro, 1982.
[4] – REITZ, J. R., MILFORD, F. J. e CHRISTY, R. W. – Fundamentos da Teoria Eletromagnética
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CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – DFIS
– 3a Edição – pg. 31 – Editora Campus – Rio de Janeiro, 1982.
[5] – SWOKOWSKI, E. W. – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2 – 2a Edição – pg. 377 –
Pearson Education do Brasil, São Paulo, 1991.
[6] – NUSSENZVEIG, H. M. – Curso de Física Básica – Volume 2 (Fluidos, Oscilações e Ondas,
Calor) – 3a Edição – pgs. 98-103 – Editora Edgard Blücher Ltda. – São Paulo, 1983.