LCC Cálculo Proposta de resoluç˜ao - NECC

LCC
Universidade do Minho
Departamento de Matemática e Aplicações
2009/2010
Cálculo
Primeiro Teste
7 de Abril de 2010
Duração: 1h30m
Proposta de resolução
{
}
1. [4.5 valores] Seja R = P ∪Q, onde P = {x ∈ R : |3x − 2| = 7 } e Q = x ∈ R+ : |x − 3| ≤ 5 .
{ }
(a) Verifique que R = − 53 ∪ ]0, 8] .
(b) Determine o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo
e o ı́nfimo do conjunto R.
(c) Indique pontos a e b tais que a ∈ R mas a ̸∈ R′ e b ∈ R′ mas b ̸∈ R.
(d) Apresente um subconjunto A ⊂ R que possua exactamente dois pontos de
acumulação.
(e) Considere o conjunto C = R ∩ Q. Determine intC, f rC e C.
Resolução:
(a) Como |3x − 2| = 7 ⇐⇒ 3x − 2 = 7 ∨ 3x − 2 = −7 ⇐⇒ x = 9 ∨ x = − 53 ,
{
}
vem P = − 53 , 9 . Sendo |x − 3| ≤ 5 ⇐⇒ −5 ≤ x − 3 ≤ 5 ⇐⇒ −2 ≤ x ≤ 8,
{ }
temos Q = [−2, 8] ∩ R+ =]0, 8]. Assim, R = − 35 ∪]0, 8].
(b) Majorantes de R : [8, +∞[; sup R = 8
]
]
Minorantes de R : −∞, − 53 ; inf R = − 53
(c) R′ = [0, 8]; a = − 53 ; b = 0
{
} {
}
(d) A = n1 : n ∈ N ∪ 7 + n1 : n ∈ N ; Pontos de acumulação: {0, 7}
(e) int C = ∅; fr C = C = R ∪ {0}
1
2. [5 valores] Apresente um exemplo de, ou justifique porque não existe:
(a) uma bijecção entre os conjuntos N e N\{1, 2};
(b) uma sucessão convergente, não constante, com todos os termos em ]1, 2[;
(c) uma sucessão não limitada possuindo uma subsucessão convergente para 2;
(d) uma sucessão divergente com todos os termos em {1, 3}.
(e) uma sucessão decrescente em R+ que seja divergente.
Resolução:
(a)
φ : N −→ N\{1, 2}
n 7→ n + 2
(b) un = 1 +
{
(c) un =
{
(d) un =
1
2n ,
∀n ∈ N
n
se n par
1
2+
n
se n ı́mpar
1
3
se n par
se n ı́mpar
(e) Não é possı́vel. Uma vez que (un )n , n ∈ N, é decrescente de termos positivos,
tem-se 0 < un ≤ u1 , ∀ n ∈ N, ou seja, (un )n é uma sucessão limitada. Como
também é uma sucessão monótona, segue-se, portanto, que é uma sucessão
convergente.
3. [3 valores] Calcule os seguintes limites:
(
)
n+3 n
cos(nπ) + 3
(a) lim
;
(b) lim
.
n
n
n+1
2n
Resolução:
(
(a) lim
n
n+3
n+1
)n
(
= lim
n
n+1+2
n+1
)n
(
= lim 1 +
n
2
n+1
[(
)n
= lim
1+
n
2
n+1
)n+1 (
. 1+
= e2 .1 = e2
(b) lim
n
cos(nπ) + 3
= 0 uma vez que
2n
 4

se n par

cos(nπ) + 3  2n
=

2n

 2 se n ı́mpar
2n
2
e
lim
n
4
2
= lim n = 0.
n
n 2
2
2
n+1
)−1 ]
=
4. [5 valores] Diga, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou
falsa.
(a) As séries
∑ (−1)n
e
∑ 1 + 3n−1
são ambas convergentes.
3n+2
2n
n≥1
∑
∑
∑
(b) Se
an e
bn são séries convergentes de termos positivos, então
n≥1
n≥1
n≥1
n≥1
an
3 + bn
também é uma série convergente.
∑
1
(−1)n 3
(c) A série alternada
é divergente.
n +1
n≥1
∑
∑
u3n é também
un é divergente, então
(d) Se (un )n é uma sucessão tal que
n≥1
n≥1
divergente.
∑
∑ sen(un )
(e) Se
un é convergente então
é divergente.
un
n≥1
n≥1
Resolução:
(a) Afirmação falsa. A série
∑
(
)
1 n
∑ (−1)n
n≥1
3n+2
( )n
1
1∑
−
é convergente uma vez
=
9
3
n≥1
que a
é uma série geométrica convergente (de razão − 31 e
n≥1 − 3
1
− < 1). Mas a série
3
∑ 1 + 3n−1 ∑ ( 1 )n 1 ∑ ( 3 )n
=
+
2n
2
3
2
n≥1
n≥1
n≥1
é divergente
por
com uma série diver( 1 )nser a soma de uma série convergente
∑
1
é
uma
série
geométrica
de
razão
gente.
<
1, portanto, convern≥1 2( )
2
∑
3
3 n
gente, e n≥1 2 é uma série geométrica de razão 2 > 1, logo, divergente.
∑
∑
(b) Afirmação verdadeira. Sendo as séries
n≥1 an e
n≥1 bn convergentes,
temos lim an = lim bn = 0 e
n
n
an
3+bn
an
1
1
= lim
= .
n
n an (3 + bn )
n 3 + bn
an
3
∑
∑
an
Pelo Segundo Critério de Comparação, as séries n≥1 an e n≥1 3+b
têm a
n
mesma natureza, ou seja, são ambas convergentes.
(
)
(c) Afirmação falsa. Como lim n31+1 = 0 e n31+1
é uma sucessão decrescente,
n
∑n
pelo Critério de Leibnitz, a série alternada n≥1 (−1)n n31+1 é convergente.
∑
(d) Afirmação falsa. Por exemplo, a série harmónica n≥1 n1 é divergente e a
∑
série de Riemann n≥1 n13 é convergente.
∑
(e) Afirmação verdadeira. Se n≥1 un é convergente, então lim un = 0 e teremos
n
∑ sen(un )
sen(un )
lim un = 1. Logo, a série
é divergente.
n
un
lim
= lim
n≥1
3
5. [2.5 valores] Estude a natureza da série
∑
(−1)n
n≥1
n! cos n
, justificando conveniente(2n + 1)!
mente a sua resposta.
Resolução:
Estudemos a série dos módulos
∑
∑ n!
(−1)n n! cos n =
| cos n|.
(2n + 1)! (2n + 1)!
n≥1
Temos
n≥1
n!
n!
| cos n| ≤
, ∀n ∈ N,
(2n + 1)!
(2n + 1)!
e
lim
n
(n+1)!
[2(n+1)+1]!
n!
(2n+1)!
= lim
(2n + 1)!(n + 1)!
(2n + 3)!n!
= lim
(2n + 1)!(n + 1)n!
(2n + 3)(2n + 2)(2n + 1)!n!
n
n
n+1
= 0 < 1.
n (2n + 3)(2n + 2)
∑
n!
Pelo Critério de D’Alembert, temos que a série
n≥1 (2n+1)! é convergente e,
∑
n!
usando o Primeiro Critério de Comparação, segue-se que a série n≥1 (2n+1)!
| cos n|
∑
n! cos n
é também convergente. Assim, a série
(−1)n
é absolutamente conver(2n + 1)!
n≥1
gente.
= lim
4