Condução - Rodolfo Rodrigues
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Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Transferência de Calor Condução em Placa Plana e Cilindro Prof. Rodolfo Rodrigues Universidade Federal do Pampa BA000200 – Fenômenos de Transporte Campus Bagé 15 de maio de 2017 Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 1 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Lei de Fourier A condução é o transporte de energia em um meio devido a um ∆T e o mecanismo físico é a atividade atômica/molecular aleatória; A equação da taxa de condução é a lei de Fourier; Esta lei é fenomenológica, isto é, é desenvolvida a partir de fenômenos observados ao invés de princípios fundamentais; Da observação chegou-se a: qx ∝ A Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução ∆T ∆x (1) Fenômenos de Transporte 2 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Lei de Fourier Figura 1: Experimento de condução térmica em regime permanente. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 3 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Lei de Fourier A lei de Fourier, para uma direção x, é dada por: qx00 = dT qx = −k A dx (2) O fluxo térmico, qx00 , é uma grandeza vetorial que é normal à área da seção transversal A ; Sua direção será sempre normal a uma superfície isotérmica; Uma forma geral da equação da taxa da condução (lei de Fourier) é: ∂T ∂T ∂T q = −k ∇ T = −k i +j +k ∂x ∂y ∂z 00 Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução ! (3) Fenômenos de Transporte 4 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Lei de Fourier Figura 2: Faixas de condutividades térmicas de vários estados da matéria a temperaturas e pressões normais. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 5 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Lei de Fourier (a) (b) Figura 3: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) sólidos e (b) líquidos não metálicos saturados. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 6 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Lei de Fourier (a) (b) Figura 4: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) líquidos não-metálicos saturados e (b) gases a pressões normais. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 7 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Lei de Fourier Propriedades Termofísicas São de 2 categorias: Propriedades de transporte: viscosidade cinemática, µ, (transporte de momento) e condutividade térmica, k , (transporte de calor); e Propriedades termodinâmicas: massa específica, ρ, e calor específico, cp . Outras propriedades relevantes: Capacidade térmica volumétrica, ρcp (J/(m3 .K)), mede a capacidade de um material armazenar energia térmica; Difusividade térmica, α (m2 /s): α= k ρcp (4) que mede a capacidade de um material de conduzir energia térmica em relação à sua capacidade de armazená-la. Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 8 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Equação do Calor Ao se aplicar a lei de conservação de energia em um volume de controle diferencial chega-se a equação da difusão térmica ou equação do calor; A equação do calor permite determinar a distribuição de temperaturas em um meio a das condições impostas em suas fronteiras; Sua forma geral, em coordenadas cartesianas, é: ! ! ! ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ∂ k + k + k + q̇ = ρcp ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t (5) onde q̇ é a taxa de geração de energia por volume (W/m3 ). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 9 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Equação do Calor Figura 5: Volume de controle diferencial, dx dy dz, para a análise da condução em coordenadas cartesianas (x, y, z). Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 10 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Equação do Calor Sua forma geral, em coordenadas cilíndricas, é: 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (6) kr + 2 k + k + q̇ = ρcp r ∂r ∂r ∂z ∂z ∂t r ∂φ ∂φ ! ! ! Figura 6: Volume de controle diferencial, dr · rd φ · dz, para a análise da condução em coordenadas cilíndricas (r, φ, z). Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 11 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Equação do Calor Simplificações: Coordenadas Cartesianas Condutividade térmica, k , constante: ∂2 T ∂2 T ∂2 T q̇ 1 ∂T + + + = k α ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 (7) Regime permanente: ! ! ! ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T k + k + k + q̇ = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (8) Regime permanente, unidimensional e sem geração de energia: ! d dT k =0 dx dx Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução (9) Fenômenos de Transporte 12 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Equação do Calor Condições de Contorno e Inicial Determinar a distribuição de temperaturas em um meio depende de resolver a equação do calor a partir de condições existentes nas fronteiras e em um algum instante inicial; A equação do calor é de 2a ordem em relação ao espaço e de 1a ordem em relação ao tempo; Assim, necessita de 2 condições de contorno (C.C.) e 1 condição inicial (C.I.); Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 13 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Equação do Calor Tabela 1: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0). Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 14 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Equação do Calor Tabela 2: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0) (continuação). Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 15 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Resistências Térmicas Para o caso particular da transferência de calor unidimensional sem geração interna de energia e propriedades constantes é aplicável o conceito de resistência térmica, Rt : • Resistência térmica para a condução: Rt ,cond • Resistência térmica para a convecção: Rt ,conv • Resistência térmica para a radiação: Rt ,rad Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 16 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Resistências Térmicas Assim, a equação da taxa de calor pode ser escrita como: q= ∆T (10) Rtot onde Rtot é a resistência térmica total. A resistência térmica total é calculada para: • Resistências térmicas em série: Rtot = ΣRt (11) • Resistências térmicas em paralelo: Rtot = Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução 1 ΣRt (12) Fenômenos de Transporte 17 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Planas Distribuição de Temperaturas Para condução unidimensional em regime permanente em uma parede plana sem geração de calor: ! dT d k =0 dx dx (13) Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é: T (x ) = C1 x + C2 (14) Para C.C.: T (0) = Ts ,1 e T (L ) = Ts ,2 , tem-se finalmente: T (x ) = Ts ,2 − Ts ,1 x + Ts ,1 L (15) Disto tem-se que T varia linearmente com x. Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 18 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Planas Para paredes planas, as resistências térmicas, Rt , são definidas como: • Resistência térmica para a condução: Rt ,cond = L kA (16) • Resistência térmica para a convecção: Rt ,conv = 1 hA (17) • Resistência térmica para a radiação: Rt ,rad = Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução 1 hr A (18) Fenômenos de Transporte 19 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Planas Figura 7: Transferência de calor através de uma parede plana. (a) Distribuição de temperaturas. (b) Circuito térmico equivalente. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 20 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Planas Figura 8: Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 21 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Planas Figura 9: Parede composta em série-paralelo. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 22 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Planas Figura 10: Circuitos térmicos equivalentes para a parede composta em série-paralelo da figura anterior. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 23 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Cilíndricas Distribuição de Temperaturas Para condução unidimensional em regime permanente em uma parede cilíndrica sem geração de calor: ! 1 d dT kr =0 r dr dr (19) Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é: T (r ) = C1 ln r + C2 (20) Para C.C.: T (r1 ) = Ts ,1 e T (r2 ) = Ts ,2 , tem-se finalmente: ! Ts ,1 − Ts ,2 r T (r ) = ln + Ts ,2 r2 ln (r1 /r2 ) (21) Disto tem-se que T varia logaritmicamente com r. Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 24 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Cilíndricas Para paredes cilíndricas, as resistências térmicas, Rt , são definidas como: • Resistência térmica para a condução: Rt ,cond = ln(r2 /r1 ) 2πLk (22) • Resistência térmica para a convecção: Rt ,conv = 1 2πrLh (23) • Resistência térmica para a radiação: Rt ,rad = Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução 1 2πrLhr (24) Fenômenos de Transporte 25 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Cilíndricas Figura 11: Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies e circuito térmico equivalente. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 26 / 28 Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas Condução: Paredes Cilíndricas Figura 12: Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta e circuito térmico equivalente. Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 27 / 28 Condução: Resumo dos Resultados Tabela 3: Soluções unidimensionais, em regime permanente, da equação do calor sem geração. Equação do calor Distribuição de temperaturas Fluxo térmico (q00 ) Parede Plana Parede Cilíndrica d2T =0 dx 2 1 d dT r =0 r dr dr Ts ,1 − ∆T k Taxa de calor (q) ∆T L kA Resistência térmica (Rt ,cond ) x L ∆T L L kA ! Ts ,2 + ∆T ln(r /r2 ) ln(r1 /r2 ) k ∆T r ln(r2 /r1 ) 2πLk ∆T ln(r2 /r1 ) ln(r2 /r1 ) 2πLk Fonte: Incropera et al. (2008). Rodolfo Rodrigues Transferência de Calor: Condução Fenômenos de Transporte 28 / 28
