Condução - Rodolfo Rodrigues

Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Transferência de Calor
Condução em Placa Plana e Cilindro
Prof. Rodolfo Rodrigues
Universidade Federal do Pampa
BA000200 – Fenômenos de Transporte
Campus Bagé
15 de maio de 2017
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
1 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
A condução é o transporte de energia em um meio devido a
um ∆T e o mecanismo físico é a atividade atômica/molecular
aleatória;
A equação da taxa de condução é a lei de Fourier;
Esta lei é fenomenológica, isto é, é desenvolvida a partir de
fenômenos observados ao invés de princípios fundamentais;
Da observação chegou-se a:
qx ∝ A
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
∆T
∆x
(1)
Fenômenos de Transporte
2 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
Figura 1: Experimento de condução térmica em regime permanente.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
3 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
A lei de Fourier, para uma direção x, é dada por:
qx00 =
dT
qx
= −k
A
dx
(2)
O fluxo térmico, qx00 , é uma grandeza vetorial que é normal à
área da seção transversal A ;
Sua direção será sempre normal a uma superfície
isotérmica;
Uma forma geral da equação da taxa da condução (lei de
Fourier) é:
∂T
∂T
∂T
q = −k ∇ T = −k i
+j
+k
∂x
∂y
∂z
00
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
!
(3)
Fenômenos de Transporte
4 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
Figura 2: Faixas de condutividades térmicas de vários estados da matéria a
temperaturas e pressões normais.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
5 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
(a)
(b)
Figura 3: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) sólidos e
(b) líquidos não metálicos saturados.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
6 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
(a)
(b)
Figura 4: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) líquidos
não-metálicos saturados e (b) gases a pressões normais.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
7 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
Propriedades Termofísicas
São de 2 categorias:
Propriedades de transporte: viscosidade cinemática, µ,
(transporte de momento) e condutividade térmica, k , (transporte
de calor); e
Propriedades termodinâmicas: massa específica, ρ, e calor
específico, cp .
Outras propriedades relevantes:
Capacidade térmica volumétrica, ρcp (J/(m3 .K)), mede a
capacidade de um material armazenar energia térmica;
Difusividade térmica, α (m2 /s):
α=
k
ρcp
(4)
que mede a capacidade de um material de conduzir energia
térmica em relação à sua capacidade de armazená-la.
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
8 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Ao se aplicar a lei de conservação de energia em um
volume de controle diferencial chega-se a equação da
difusão térmica ou equação do calor;
A equação do calor permite determinar a distribuição de
temperaturas em um meio a das condições impostas em
suas fronteiras;
Sua forma geral, em coordenadas cartesianas, é:
!
!
!
∂T
∂
∂T
∂
∂T
∂T
∂
k
+
k
+
k
+ q̇ = ρcp
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
∂t
(5)
onde q̇ é a taxa de geração de energia por volume (W/m3 ).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
9 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Figura 5: Volume de controle diferencial, dx dy dz, para a análise da condução em
coordenadas cartesianas (x, y, z).
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
10 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Sua forma geral, em coordenadas cilíndricas, é:
1 ∂
∂T
1 ∂
∂T
∂
∂T
∂T
(6)
kr
+ 2
k
+
k
+ q̇ = ρcp
r ∂r
∂r
∂z ∂z
∂t
r ∂φ ∂φ
!
!
!
Figura 6: Volume de controle diferencial, dr · rd φ · dz, para a análise da condução em
coordenadas cilíndricas (r, φ, z).
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
11 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Simplificações: Coordenadas Cartesianas
Condutividade térmica, k , constante:
∂2 T
∂2 T
∂2 T
q̇
1 ∂T
+
+
+ =
k
α ∂t
∂x 2
∂y 2
∂z 2
(7)
Regime permanente:
!
!
!
∂
∂T
∂
∂T
∂
∂T
k
+
k
+
k
+ q̇ = 0
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
(8)
Regime permanente, unidimensional e sem geração de
energia:
!
d
dT
k
=0
dx
dx
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
(9)
Fenômenos de Transporte
12 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Condições de Contorno e Inicial
Determinar a distribuição de temperaturas em um meio
depende de resolver a equação do calor a partir de
condições existentes nas fronteiras e em um algum instante
inicial;
A equação do calor é de 2a ordem em relação ao espaço e
de 1a ordem em relação ao tempo;
Assim, necessita de 2 condições de contorno (C.C.) e 1
condição inicial (C.I.);
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
13 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Tabela 1: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0).
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
14 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Tabela 2: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0)
(continuação).
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
15 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Resistências Térmicas
Para o caso particular da transferência de calor
unidimensional sem geração interna de energia e
propriedades constantes é aplicável o conceito de
resistência térmica, Rt :
• Resistência térmica para a condução: Rt ,cond
• Resistência térmica para a convecção: Rt ,conv
• Resistência térmica para a radiação: Rt ,rad
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
16 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Resistências Térmicas
Assim, a equação da taxa de calor pode ser escrita como:
q=
∆T
(10)
Rtot
onde Rtot é a resistência térmica total.
A resistência térmica total é calculada para:
• Resistências térmicas em série:
Rtot = ΣRt
(11)
• Resistências térmicas em paralelo:
Rtot =
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
1
ΣRt
(12)
Fenômenos de Transporte
17 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Distribuição de Temperaturas
Para condução unidimensional em regime permanente em uma
parede plana sem geração de calor:
!
dT
d
k
=0
dx
dx
(13)
Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é:
T (x ) = C1 x + C2
(14)
Para C.C.: T (0) = Ts ,1 e T (L ) = Ts ,2 , tem-se finalmente:
T (x ) =
Ts ,2 − Ts ,1
x + Ts ,1
L
(15)
Disto tem-se que T varia linearmente com x.
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
18 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Para paredes planas, as resistências térmicas, Rt , são
definidas como:
• Resistência térmica para a condução:
Rt ,cond =
L
kA
(16)
• Resistência térmica para a convecção:
Rt ,conv =
1
hA
(17)
• Resistência térmica para a radiação:
Rt ,rad =
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
1
hr A
(18)
Fenômenos de Transporte
19 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Figura 7: Transferência de calor através de uma parede plana. (a) Distribuição de
temperaturas. (b) Circuito térmico equivalente.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
20 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Figura 8: Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
21 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Figura 9: Parede composta em série-paralelo.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
22 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Figura 10: Circuitos térmicos equivalentes para a parede composta em série-paralelo da
figura anterior.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
23 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Cilíndricas
Distribuição de Temperaturas
Para condução unidimensional em regime permanente em uma
parede cilíndrica sem geração de calor:
!
1 d
dT
kr
=0
r dr
dr
(19)
Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é:
T (r ) = C1 ln r + C2
(20)
Para C.C.: T (r1 ) = Ts ,1 e T (r2 ) = Ts ,2 , tem-se finalmente:
!
Ts ,1 − Ts ,2
r
T (r ) =
ln
+ Ts ,2
r2
ln (r1 /r2 )
(21)
Disto tem-se que T varia logaritmicamente com r.
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
24 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Cilíndricas
Para paredes cilíndricas, as resistências térmicas, Rt , são
definidas como:
• Resistência térmica para a condução:
Rt ,cond =
ln(r2 /r1 )
2πLk
(22)
• Resistência térmica para a convecção:
Rt ,conv =
1
2πrLh
(23)
• Resistência térmica para a radiação:
Rt ,rad =
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
1
2πrLhr
(24)
Fenômenos de Transporte
25 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Cilíndricas
Figura 11: Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies e circuito térmico
equivalente.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
26 / 28
Lei de Fourier
Equação do Calor
Resistências Térmicas
Paredes Planas
Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Cilíndricas
Figura 12: Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta e circuito
térmico equivalente.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
27 / 28
Condução: Resumo dos Resultados
Tabela 3: Soluções unidimensionais, em regime permanente, da equação do calor sem
geração.
Equação do calor
Distribuição de temperaturas
Fluxo térmico (q00 )
Parede Plana
Parede Cilíndrica
d2T
=0
dx 2
1 d
dT
r
=0
r dr
dr
Ts ,1 − ∆T
k
Taxa de calor (q)
∆T
L
kA
Resistência térmica (Rt ,cond )
x
L
∆T
L
L
kA
!
Ts ,2 + ∆T
ln(r /r2 )
ln(r1 /r2 )
k ∆T
r ln(r2 /r1 )
2πLk ∆T
ln(r2 /r1 )
ln(r2 /r1 )
2πLk
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues
Transferência de Calor: Condução
Fenômenos de Transporte
28 / 28