Associações de resistores - sergio-talim

Colégio Técnico da Escola de Educação Básica e Profissional da UFMG – Física – 1º Ano – 2016
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Associações de resistores
Introdução
Os resistores são os componentes do circuito elétrico cuja função é oferecer uma
resistência de valor praticamente constante mesmo quando submetidos a diferentes
valores de tensão. Resistores, com variados valores de resistência elétrica, podem
ser adquiridos em lojas de material elétrico e eletrônico (FIG. 1).
Nesta atividade, você aprenderá a prever a resistência total oferecida por um circuito
que contém uma associação de resistores conectados a uma fonte de tensão elétrica
por meio de fios de ligação. Para isso, retomaremos várias ideias-chave que foram
introduzidas nas atividades anteriores: (i) a resistência é uma grandeza que mede a
dificuldade oferecida por um elemento de circuito à passagem da corrente elétrica; (ii)
FIG. 1 - Resistores
a unidade de medida da resistência é o Ohm (símbolo Ω); (iii) fios de ligação feitos de
cobre têm resistência desprezível em relação à resistência oferecida por filamentos de lâmpadas
incandescentes e por fios de níquel-cromo usados em diversos tipos de aquecedores elétricos; (iv) a
resistência depende das características do condutor elétrico e, por isso, fios idênticos no comprimento e
espessura, mas feitos de materiais diferentes podem oferecer diferentes valores de resistência elétrica; (v)
fios feitos do mesmo material, mas com comprimentos ou espessuras diferentes também podem oferecer
diferentes valores de resistência elétrica.
Exploração 1 – Resistência equivalente de uma associação de resistores em série
A medida da resistência elétrica, tanto pode ser utilizada para caracterizar um único elemento de circuito
isolado, quanto para identificar o comportamento de um circuito feito a partir da associação de vários
elementos ligados em série ou em paralelo. Para compreender esse aspecto importante do conceito de
resistência, faça o que se pede a seguir.
Utilize o aplicativo em Java Circuit Construction Kit DC (https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/circuitconstruction-kit-dc) para montar um circuito simples, com apenas uma lâmpada, ao lado de um circuito que
contém duas lâmpadas ligadas em série. Lembre-se de inserir amperímetros nos dois circuitos para medir as
correntes elétricas em um dos polos da fonte de tensão.
Feito isso, altere a resistência elétrica da lâmpada inserida no circuito simples, da seguinte forma:
(i) clique com o botão direito do mouse sobre o ícone que representa a lâmpada e escolha a opção Alterar
Resistência; (ii) observe o valor da corrente elétrica que é exibido pelo amperímetro conectado ao circuito
simples e altere a resistência da lâmpada até que a corrente no circuito simples coincida com a corrente no
circuito com duas lâmpadas em série.
A. Quantos ohms de resistência apresenta a lâmpada inserida no circuito simples, quando a corrente nesse
circuito se iguala àquela estabelecida no circuito com as duas lâmpadas associadas em série?
B. Clique com o botão direito em cada uma das duas lâmpadas ligadas em série e acione a função Alterar
Resistência apenas para descobrir qual é a resistência elétrica de cada uma delas. A soma dessas
resistências possui alguma relação com a resistência apresentada pela lâmpada inserida no circuito
simples depois que as correntes elétricas nos dois circuitos tornaram-se iguais?
C. Seria apropriado dizer que a resistência apresentada pelo filamento da lâmpada inserida no circuito
simples, após ser alterada, tornou-se equivalente à resistência apresentada pela associação das duas
lâmpadas em série?
FIG. 2
D. Avalie a explicação dada a seguir. Sendo idênticos os dois filamentos das lâmpadas, podemos
interpretar o fato mencionado no item anterior raciocinando do seguinte modo: dois filamentos (ou
resistores) idênticos, associados em série, apresentam uma
resistência igual àquela apresentada por um único filamento
de mesmo material e espessura, mas com o dobro do
comprimento dos filamentos individuais. Esse raciocínio
está representado, visualmente, na FIG. 2, ao lado.
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Exploração 2 – Resistência equivalente de uma associação de resistores em paralelo
Quando associamos resistores em série, tal como no caso do circuito montado na exploração 1, nós
aumentamos a resistência equivalente do circuito e reduzimos a corrente nos polos da fonte de tensão. Mas,
e quando associamos resistores (ou lâmpadas) em paralelo?
Mesmo que você já saiba responder qualitativamente essa questão nós pretendemos ensiná-lo como prever,
matematicamente, o efeito do acréscimo de resistores em paralelo sobre a resistência equivalente do
circuito, isto é, sobre a intensidade da corrente elétrica nos polos da fonte de tensão. Para dar mais esse
passo no estudo dos circuitos elétricos, reinicie o aplicativo que foi usado na Exploração 1 para montar,
novamente, um circuito simples, com apenas uma lâmpada, que, desta vez, deverá estar ao lado de um
circuito que contém duas lâmpadas associadas em paralelo.
Mais uma vez, insira amperímetros nos dois circuitos, de modo a medir as correntes elétricas em um dos
polos das fontes de tensão. Feito isso, altere a resistência elétrica da lâmpada do circuito simples até que o
valor da corrente elétrica nesse circuito se iguale à corrente no circuito com a associação de duas lâmpadas
em paralelo.
A. Quantos ohms de resistência apresenta a lâmpada inserida no circuito simples, quando a corrente
nesse circuito se iguala àquela estabelecida no circuito com as duas lâmpadas associadas em
paralelo?
B. Clique com o botão direito em cada uma das duas lâmpadas ligadas em paralelo e acione a função
Alterar Resistência apenas para descobrir qual é a resistência elétrica de cada uma delas. Como se
comparam a resistência de cada lâmpada individual e a resistência da lâmpada colocada no circuito
simples?
C. Seria apropriado dizer que a resistência apresentada pelo filamento da lâmpada inserida no circuito
simples, após ser alterada, tornou-se equivalente à resistência apresentada pela associação em
paralelo de duas lâmpadas?
FIG. 3
D. Avalie a explicação dada a seguir. Sendo idênticos os dois filamentos das lâmpadas, podemos
interpretar o fato mencionado no item anterior raciocinando do seguinte modo: dois filamentos (ou
resistores) idênticos, associados em paralelo, apresentam uma resistência duas vezes menor do que
aquela apresentada por um único filamento de
mesmo material e comprimento, mas com o dobro
da área de seção reta de um único filamento
individual. Esse raciocínio está representado,
visualmente, na FIG. 3, ao lado.
Textos e exercícios sobre associação de resistores
Associação em série
Na associação em série, ao desligarmos uma das lâmpadas, as outras
se apagam. Isso acontece porque, para se estabelecer uma corrente
elétrica, é preciso um circuito fechado, incluindo uma fonte de energia
elétrica. Ao desligarmos uma lâmpada, o caminho é interrompido, e o
circuito se abre.
Você deve ter notado que as lâmpadas quando ligadas em série
acendem com menor brilho do que quando ligadas em paralelo. Isso
FIG. 4 – Circuito contendo uma bateria
significa que a corrente do circuito em série é menor,
e três resistores associados em série.
comparativamente à ligação em paralelo. A diferença de brilho ocorre
Nesse caso, U = U1 + U2 + U3
porque a tensão em cada lâmpada é uma parte da tensão total,
fornecida pelas pilhas. Se as três lâmpadas forem iguais, cada uma
estará sujeita a 1/3 da tensão da fonte. Se forem diferentes, a tensão será maior naquela que possuir maior
resistência. Em ambos os casos, porém, a soma das tensões em cada lâmpada será igual à tensão total das
pilhas: U = U1+ U2+ U3, tal como indicado na FIG. 4 ao lado.
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Na associação em série, nós temos a mesma corrente em todos os resistores. O que podemos dizer é que,
quanto maior o número de resistores iguais na associação em série, menor a corrente em todos eles. No
circuito da figura 4, é possível substituir os resistores R1, R2 e R3 por um único resistor R, desde que com a
inserção de R tenhamos, no circuito, a mesma corrente elétrica. Esse
resistor equivalente está representado na figura 5. O valor de sua
resistência é calculado por: R = U/i, onde U representa a tensão
aplicada à associação e i, a corrente estabelecida no circuito.
Podemos descrever a tensão elétrica aplicada em cada resistor da
associação da seguinte forma: U = R·• i  U1 = R1 • i1 , U2 = R2 •·i2 e
U3 = R3 •·i3
Nesta última expressão U é a tensão das pilhas, U1 é a tensão
aplicada em R1, U2 é a tensão aplicada em R2, e U3 a tensão aplicada
em R3. Como U = U1 + U2 + U3 e tendo em vista também a relação i =
i1 = i2 = i3 , nós podemos afirmar que: R• i= R1•i+ R2 •i+ R3 •i
Dividindo toda a expressão por i, verificamos que a resistência
equivalente (Req) é igual à soma das resistências R1, R2 e R3 ou Req =
R1 + R2 + R3.
FIG. 5 -¨Requivalente oferecerá para a fonte
de tensão a mesma resistência oferecida
pela associação de resistores R1, R2 e R3.
Exemplo de exercício resolvido
Uma associação em série de resistores está representada na
FIG. 6. Vamos calcular, para este circuito: a) a resistência equivalente; b)
a corrente em cada resistor; c) a tensão sobre cada resistor.
Resposta da letra a): R = R1 + R2  R = 2,0 Ω + 3,0 Ω ou R= 5,0 Ω
Esse resultado quer dizer que um resistor de 5,0 Ω estabelece no circuito
a mesma corrente que a associação em série das resistências de 2,0 Ω. e
3,0 Ω.
Resposta da letra b): Como a corrente é a mesma para Req, R1 e R2, nós
podemos utilizar a relação U = R • i para descobrir o valor dessa corrente:
U = R • i  6,0 = 5,0 • i. Então i = i1 = i2 = 6,0/5,0 = 1,2 A
FIG. 6 - Circuito contendo dois
resistores associados em série e uma
fonte.
Resposta da letra c): Agora, utilizaremos a relação U = R • i para cada resistor, encontrando a tensão a que
cada um está submetido:
U1 = R1 • i  U1 = 2,0 Ω • 1,2 A = 2,4 V
U2 = R2 •i  U2 = 3,0 Ω X 1,2 A = 3,6 V
Note que esse resultado é coerente com a afirmação de que U = U1 + U2 + U3
Associação em paralelo
Nas ligações em paralelo, tal como é o caso do circuito da FIG. 7, todos os
resistores estão submetidos ao mesmo valor de tensão, sejam suas
resistências iguais ou diferentes. Além disso, como a corrente se divide nas
bifurcações a soma dos valores da corrente estabelecida em cada resistor
(i1, i2, i3) corresponde à corrente que sai e entra na pilha (i), isto é: i = i1 + i2
FIG. 7
+ i3
Dado que R = U/i, podemos definir cada corrente elétrica como:
i = U/R  i1 = U/R1 , i2 = U/R2 e i3 = U/R3
Como i = i1 + i2 + i3 temos: U/R = U/R1 + U/R2 + U/R3
Dividindo toda a expressão por U, constatamos que o inverso de uma resistência R é igual à soma dos
inversos das resistências R1, R2 e R3, isto é, 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
Essa equação indica que os três resistores de resistências R1, R2 e R3 podem ser substituídos por um único
resistor R, que, introduzido no mesmo circuito, isto é, conectado à mesma fonte, permite estabelecer a
mesma corrente total i. Por esse motivo, recebe o nome de resistência equivalente.
Um exemplo numérico nos permitirá entender o conceito de resistência equivalente em associações de
resistores em paralelo.
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Considere dois resistores com resistências iguais a 2,0 Ω e 3,0 Ω que estão
conectados em paralelo, como mostrado na FIG. 8 ao lado. a Podemos
determinar a resistência equivalente dessa associação de resistores
utilizando o seguinte desenvolvimento matemático:
1
1
1
1
1
5,0
1
=
+
=
+
. 𝐸𝐸𝐸ã𝑜.
=
 R 𝑒𝑒 = 1,2 Ω
𝑅1 𝑅2
2,0 3,0
𝑅𝑒𝑒
6,0
𝑅𝑒𝑒
O resultado para o cálculo de Req indica que, se os dois resistores forem
substituídos por outro, de resistência elétrica igual a 1,2 Ω, a corrente total i
no circuito continuará a mesma. Esse resultado também está apresentado na
figura ao lado.
FIG. 8
Para calcular as correntes i1 e i2 estabelecidas nos resistores R1 e R2 precisamos nos lembrar de que, em
uma associação em paralelo a tensão é a mesma para todos os resistores. Utilizando novamente a relação i
= U/R, teremos:
FIG. 9
6,0 𝑉
6,0 𝑉
𝑖1 =
= 3,0 𝐴 e 𝑖2 =
= 2,0 𝐴
2,0 Ω
3,0 Ω
Esses resultados são coerentes com o valor da corrente que podemos calcular a
partir
do
circuito
equivalente
mostrado
na
FIG.
9,
onde:
𝑖=
6,0 𝑉
R𝑒𝑒
=
6,0 𝑉
1,2 Ω
= 5,0 𝐴
FIG. 10
Note que todos esses resultados confirmam a expressão i = i1 + i2
Exercícios
1- No circuito elétrico mostrado na FIG. 10 ao lado, o amperímetro indica
6,0 A. Analisando o circuito, determine:
a) O valor da resistência equivalente do circuito.
b) O valor da corrente elétrica em cada resistor.
c) O valor da corrente estabelecida na resistência equivalente.
d) A tensão estabelecida entre os terminais dos resistores.
e) A tensão da fonte de energia elétrica ligada ao circuito.
2- No circuito elétrico em série ilustrado na figura 11 ao lado, o voltímetro ideal
indica 24 V. Determine:
a) o valor da resistência equivalente do circuito;
b) o valor da corrente elétrica em cada resistor;
c) o valor da corrente estabelecida na resistência equivalente;
d) a tensão entre os terminais dos resistores;
e) a tensão da fonte que alimenta o circuito.
3- Nos três circuitos representados ao lado temos lâmpadas idênticas,
cada uma com resistência elétrica igual a 10 Ω. As fontes de tensão
são idênticas e aplicam tensões iguais a 10,0 V.
a) Determine a resistência equivalente nos três circuitos.
b) Determine a corrente elétrica nos polos das fontes de tensão nos três circuitos.
c) Determine a corrente que passa por cada uma das cinco lâmpadas.
4- A figura ilustra a forma como três lâmpadas estão ligadas a uma
tomada. A corrente elétrica no ponto P do fio é iP e no ponto Q é iQ .
Em um determinado instante, a lâmpada L2 se queima. Pode-se afirmar
que
a) a corrente iP se altera e iQ não se altera.
se altera e iQ se altera.
c) as duas correntes se alteram.
b) a corrente iP não
d) as duas correntes não se alteram.
FIG. 11