MB 8 – Equação do 2º Grau

MATEMÁTICA BÁSICA 8
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Sabemos, de aulas anteriores, que podemos resolver problemas usando equações. A resolução de problemas pelo médtodo algébrico consiste em algumas etapas que vamso recordar.
- Representar o valor desconhecido do problema, a incógnita, por uma letra que, em geral, é a
letra x.
- Escrever a sentença matemática que "traduz" o problema. É o que chamamos de equacionar o
probelma.
- Resolver a equação do problema.
- Verificar a solução encontrada escolhendo a solução correta, de acordo com o que foi solicitado
no problema.
Vamos estudar agora as equações do 2º Grau, usadas na resolução de problemas de diferentes assuntos
que representam necessidade desse tipo de equação.
Vejamos o seguinte problema: na figura a seguir, temos um retângulo de comprimento 6 cm e cuja largura é desconhecida, ou seja, não sabemos sua medida. Ao lado desse retângulo temos um quadrado
cujo lado é igual à largura do retângulo. Vamos determinar o lado do quadrado, sabendo que a área
total da figura é de 16 cm²
x
6 cm
x
Chamamos o lado do quadrado, que é a incógnita do problema, de x.
Calculando as áresas do retângulo e do quadrado, temos:
Área do retângulo:
6 . x = 6x
Área do quadrado:
x . x = x²
Área total da figura é:
6x + x² = 16
Equação do problema
Vamos, agora, "arrumar" a equação do problema, colocando todos os termos no primeiro membro e
ordenando-os de acordo com as potências de x, da maior para a menor, ou seja, de modo descrescente.
x²
+
6x
-
16
Termo
Termo
Termo
em x²
em x
sem x
=
0
Essa equação é da forma ax² + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau.
Os coeficientes a, b e c são números reais. Veja os exemplos:
- Na equação 2x² - 4x + 5 = 0, os coeficientes são:
a=2, b= -4 e c=5
- Na equação x² + 5x = 0, os coeficientes são:
a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x)
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- Na equação 2x² - 9 = 0, os coeficientes são:
a = 2, b = 0 e c = -9 (não existe o termo do 1º Grau em x)
- Na equação 4x² = 0, os coeficientes são:
a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dosi termos)
A equação que encontramso no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficiêntes
nulos. Quando uma equação do 2º Grau possui um ou dois coefientes nulos ela é chamada de inconpleta.
Na equação do 2º Grau, escrevemos que a é diferente de zero O que aconteceria se a fosse igual a zero?
Vamos substituir a por zero da equação ax² + bx + c = 0.
A equação ficará assim:
0 . X + bx + c = 0
bx + c = 0
Equação do 1º grau.
Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação
deixa de ser do 2º grau.
Resolução de uma equação
Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor
da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímso x por esse valor.
No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.
EXEMPLO 1
a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação
A equação é: x² + 6x - 16 = 0
Substituindo x por 2, temos:
2² + 6 . 2 - 16 = 0
4 + 12 - 16 = 0
16 - 16 = 0
Sentença verdadeira
Logo, x = 2 é uma solução da equação x² + 6x - 16 = 0.
b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.
Substituindo x por 1, temos:
1² + 6.1 - 16 = 0
1 + 6 - 16 = 0
7 - 16 = 0
sentença falsa
Logo, x = 1 não é solução da equação x² + 6x - 16 = 0
Resolução das equações incompletas
Equações do 2º grau em que b = 0 (equações do tipo ax² + c = 0)
Nesse caso, a equação só tem um termo em x, então a resolvermos como se ela fosse uma equação
do 1º grau.
ax² + c = 0
ax² = -c
Isolando o termo em x no 1º membro
x² = - c
Calculando o termo em x
a
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extraindo a raiz quadrada
As soluções da equação são
e
seja um número positivo.
-c
a
Se o radicando for negativo a equação não terá solução, pois a raísz de índice par de um número negativo
não é um número real.
Esse tipo de equação pode ter duas soluções reais, caso o radicando
No caso do radicando ser nulo, a equação terá uma única solução, também nula.
EXEMPLO 2
Resolver a equação 3x² - 27 = 0
3x² = 27
x² = 27
3
x² =
9
x=
x=
As soluções da equação são +3 e - 3
Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax² + bx = 0)
Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos fatorar ax² + bx , colocando
x em evidência:
x (ax + b) = 0
Obtivemso um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo:
x=0
Se x (ax + b) = 0, então
ou
ax + b = 0
ax = - b
As soluções da equação são x1 = 0
x= -b
a
e
x2 =
-b
a
Neste tipo de equação, encontraremos sempre duas soluções diferentes, sendo uma delas iguais a zero.
Exemplo 3
Resolver a equações 3x² - 15x = 0
x (3x - 15) = 0
x=0
ou
3x - 15 = 0
3x = 15
x = 15
3
As soluções são x1 = 0 e x2 = 5
x=
5
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A formula de Bhasckara
Existe um método que nos permite resolver qualquer equação do 2º grau. Aplicando essse método,
obtemos uma fórmula resolutiva conhecida como fórmula de Bhaskara.
Bhaskara foi um matemático hindu nascido por volta do ano 1100. Embora a fórmula que vamos
conhecer leve seu nome, ele não a descobriu. Trezentos anos antes, o método de resolução já era
aplicado elo matemático árabe Al-Khowrizmi, tido como iniciador da álgebra. Entretanto, Bhaskara levou
a fama...
A idéia principal do método para resolver uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com a (= diferente) 0,
é esta:
Se ax² + bx + c for um trinômio quadrado perfeito, a resolução é simples. Vimos isso no item anterior.
Se ax² + bx + c não for um trinômio quadrado perfeito, iremos transformá-lo num trinômio quadrado
perfeito. Como? Somando um número conveniente aos dois membros da equação.
EXEMPLO 1
Vamos resolver a equação x² - 8x - 20 = 0.
Inicialmente, observe que x² - 8x - 20 não é um trinômio quadrado perfeito.
Isolamos então x² - 8x no primeiro membro, e a seguir, procuramos o número que deve ser colocado no
lugar de #, de modo que x² - 8x + # seja um trinômio quadrado perfeito. Como esse número é 16, somaremos 16 aos dois membros da equação.
Veja então a sequência toda:
x² - 8x - 20 = 0
leva a
x² - 8x = 20
que leva a
que leva a x² - 8x + 16 = 36. Portanto, (x - 4)² = 36.
x-4=6
x = 10
x² - 8x + 16 = 20 + 16
Portanto, as raízes da equação são x = 10 e x = -2, ou seja, S = {10, -2}
Vamos conferir:
x - 4 = +- 6
ou
x = 10
100 - 80 - 20 = 0
20 - 20 = 0
x = -2
4 + 16 - 20 = 0
20 - 20 = 0
x² - 8x - 20 = 0
x - 4 = -6
x = -2
Exemplo 2
Vamos resolver a equação x² + 5x + 6 = 0.
Inicialmente vemos que x² + 5x + 6 não é um trinomio quadrado perfeito. Isolamos x² + 5x no primeiro
membro. Como 5 é um número Ímpar, para que x² + 5x + # seja um trinômio quadrado perfeito, no
lugar de # deve ser colocado um número fracionário.
Para evitar isso, multiplicamos os dois membros por 4, que, além de ser par, é um quadrado perfeito:
x² + 5x + 6 = 0
x² + 5x = -6
4x² + 20x = -24
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Agora procuramos o número que deve ser colocado no lugar de #, para que 4x² + 20x + # seja um trinômio
quadrado perfeito. Como esse número é 25, somamos 25 aos dois membros da equação:
4x²+ 20x = - 24 implica 4x² + 20x + 25 = -24 + 25
4x² + 20x + 25 = 1
trinômio quadrado
perfeito
2x + 5 = 1
x = -2
(2x + 5)² = 1 implica 2x + 5 = +- 1
ou
Portanto, as raízes dessa equação são
x= - 2 e x = -3. Confira!
2x + 5 = -1
x = -3
Dedução da Formula de Bhaskara
Vamos usar o método na resolução de uma equação do 2º grau genérica, isto é, uma equação que
representa qualquer uma das possíveis equações do 2º grau:
ax² + bx + c = 0, com a (= diferente) 0
Começamos isolando ax² + bx no primeiro membro. A seguir, multiplicamos os dois membros da equação
por 4a:
ax² + bx + c = 0
ax² + bx = -c
4a²x² + 4abx = - 4ac
Agora, procuramso o termo que deve ser colocado no lugar de #, para que 4a²x² + 4abx + # seja um
trinômio quadrado perfeito.
Como esse termo é b², somamos b² aos dois membros da equação:
4a²x² + 4abx = -4ac
4a²x² + 4abx + b² = - 4ac + b²
4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
trinômio quadrado
perfeito
(2ax + b)² = b² - 4ac
Vamos indicar b² - 4ac por
Assim, temos (2ax + b)² =
- Quando
- Quando
, que é a letra grega delta.
Observe que:
< 0, a equação não tem raízes reais;
>= 0, temos:
(2ax + b)² =
2ax + b =
Agora, resolvemos essas duas equações do 1º grau, isolando x:
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2ax + b =
Fórmula de Bhaskara
Na equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, indicamos
b² - 4ac por
.
ou
2ax + b = -
Quando ∆ < 0, a equação não tem soluções reais.
2ax + b =
Quando ∆ ≥ 0, as soluções são obtidas pela
formula:
EXEMPLO 3
Já resolvemos a equação x² - 8x - 20 = 0, transformando o 1º membro num quadrado perfeito. Agora,
vamos resolvê-la pela fórmula de Bhaskara.
a= 1 , b= - 8 e c= - 20
= b² - 4ac = (-8)² - 4 . 1. (-20) = 64 + 80
= 144
Como
> 0, a equação tem as seguintes soluções:
=
8 + 12
2
=
=
8 - 12
2
=
10
-2
Portanto, as raízes dessa equação são x = 10 e x = -2.
Exemplo 4
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação - 9x² + 12x - 4 = 0.
Como a = -9 é número negativo, convém multiplicar ambos os membros por -1 para evitar erros de sinais.
Ficamos com 9x² - 12x + 4 = 0.
a = 9, b = -12 e c = 4
= b² - 4ac = (-12)² - 4 . 9. 4 = 144 - 144
=0
A equação tem as seguintes soluções
12 + 0
12
=
=
18
18
2
3
12 - 0
12
=
=
18
18
2
3
Portanto, o conjunto das soluções dessa equação tem apenas um elemento:
2
3
Exemplo 5
Vamos resolver a equação 3x² + 4x + 2 = 0, usando a fórmula de Bhaskara.
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a= 3, b = 4 e c = 2
= b² - 4ac = 4² - 4 . 3. 2 = 16 - 24
=-8
Como
< 0, a equação não tem soluções reais.
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