Progressão Aritmética

L.E.
Sequências
Progressão Aritmética
Definição
É uma sucessão de elementos (fila de números) em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao antecedente (anterior) somado a uma constante, chamada de razão da progressão.
De forma simplificada, podemos afirmar que uma P.A. nada mais é do que uma fila de
números na qual os “pulinhos” que separam elementos consecutivos têm sempre o mesmo
“tamanho”. A este “pulinho” daremos o nome de razão.
Exemplos:
.
1) 2, 5, 8, ... de 2 para 5 e de 5 para 8, o pulinho vale 3, ou seja, r = 3.
O primeiro termo passa a ser representado pelo símbolo a1 = 2
2) 7, 5, 3, ... r = -2 e a 1= 7.
Principal Exemplo
Numa P.A. o oitavo termo vale 36, enquanto que o vigésimo quarto, 68. Calcule o valor do décimo
terceiro termo desta sequência.
Solução:
Para irmos do oitavo termo até o nono, devemos dar um pulinho.
Do oitavo até o décimo, dois pulinhos.
Já do oitavo até o décimo primeiro, três pulinhos.
.
Assim, do oitavo termo para o vigésimo quarto, precisaremos
dar dezesseis pulinhos.
E também que do oitavo até o décimo terceiro, são necessários cinco pulinhos.
Ou seja, a = a + 16.r
24
8
68 = 36 + 16.r
Assim, a13= a8 + 5.r. Então, a13= 36 + 5.2. Enfim, a13= 46.
32 = 16.r
Logo, r = 2.
Soma dos termos
Numa P.A., para calcularmos a soma de um grupo de termos consecutivos, devemos usar a
seguinte fórmula:
Sn =
A se destacar nesta fórmula que a1 representa o elemento inicial da soma que desejamos assim
como an indica o termo final a ser somado enquanto que n, a quantidade de termos a serem
adicionados.
Exemplo: Na P.A.: 4, 7, 10, ..., encontre a soma dos termos desde o nono até o trigésimo.
Solução:
Precisamos descobrir 3 “coisas”: a9 ,
a30 e n.
Devemos reparar que a1 = 4 e r = 3.
Como, a9 = a1 + 8.r
Sabemos também que,
a30
a9 = 28
= a9 + 21.r.
Isto é, a30 = 91
Por fim, perceba que n = 22
Então, pela fórmula, teremos:
S=
(28 + 91) . 22
2
= 119 x 11 = 1309
Observação
Quantos números há de 10 até 13 ?
Contando nos dedos: 10, 11, 12 e 13
Há 4 números
Assim, 13 – 10 = 3, nos daria uma resposta errada !
Número de elementos = último – primeiro + 1
Por exemplo de 9 até 30, há 30 – 9 + 1 = 22 termos.