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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
Contagem
Muitos problemas de probabilidades envolvem o uso de conceitos da análise combinatória. Esta
aula tem por objetivo fazer uma revisão dessa área da matemática e apresentar algumas aplicações
em biologia.
A Regra Fundamental da Contagem
Suponha que dois alunos de graduação em biologia fazem um exame. Há dois resultados possíveis,
passar ou não passar. Com relação aos dois alunos, pode haver quatro resultados possíveis.
1. Os dois passam;
2. O primeiro passa e o segundo não passa;
3. O primeiro não passa e o segundo passa;
4. Os dois não passam.
Podemos representar essas quatro possibilidades por meio de uma tabela 2x2 (usando P para
representar passar no exame e R para representar ser reprovado no exame).
Aluno 2
Aluno 1
P
R
P
PP
PR
R
RP
RR
O número de possibilidades é 2 x 2 = 4, pois para cada uma das duas possibilidades do primeiro
aluno existem duas possibilidades para o segundo aluno.
Uma maneira alternativa de olhar para este problema é a seguinte. Imagine que há dois espaços, um
para o aluno 1 e outro para o aluno 2,
.
O primeiro espaço pode ser preenchido de duas maneiras diferentes (P ou R), de maneira que
escrevemos um 2 no espaço,
.
De maneira similar, o segundo espaço pode ser preenchido de duas maneiras diferentes (P ou R), o
que nos leva a escrever um 2 nele também,
1
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.
O número de maneiras em que os dois espaços podem ser preenchidos é então dado pela
multiplicação dos números em cada espaço,
2 x 2 = 4.
Considere agora que o primeiro aluno fará um exame em que ele pode passar ou ser reprovado, mas
que o segundo aluno fará uma prova cuja nota será um conceito, A, B, C, D ou E. Qual o número de
possibilidades para os dois alunos agora?
Usando a representação em forma de tabela:
Aluno 2
Aluno 1
A
B
C
D
E
P
PA
PB
PC
PD
PE
R
RA
RB
RC
RD
RE
Usando a representação em forma de espaços:
.
O número de possibilidades é agora 2 x 5 = 10.
Exemplo 1. Joga-se um par de dados. Um é vermelho e o outro é branco. Cada dado tem seis faces.
O número de possibilidades é,
.
6 x 6 = 36.
Exemplo 2. Jogam-se uma moeda e um dado. A moeda tem duas faces e o dado tem seis. O número
de possibilidades é 2 x 6 = 12.
Exemplo 3. Dois alunos fazem uma prova cujo conceito pode ser A, B, C, D ou E. O número de
possibilidades é 5 x 5 = 25.
2
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Exemplo 4. Uma cadeia dipeptídica contém dois aminoácidos, o primeiro (1) e o segundo (2).
Cada um pode ser um de um conjunto de 20 aminoácidos. O número de cadeias dipeptídicas
teoricamente possíveis é,
,
20 x 20 = 400.
Exemplo 5. Um pesquisador conseguiu determinar que o primeiro aminoácido de um dipeptídeo
particular é um dentre três aminoácidos. Ele não tem idéia sobre qual pode ser o segundo
aminoácido, só sabe que ele pode ser um dos 20 que ocorrem naturalmente. O número de
possibilidades teóricas para a sua cadeia dipeptídica é 3 x 20 = 60.
Podemos agora formular o princípio que nos ajudou a fazer todos os cálculos acima:
Regra Fundamental da Contagem.
Suponha que uma coisa possa acontecer de n1 maneiras. Suponha que, independentemente da
maneira como essa coisa aconteça, uma segunda coisa possa acontecer de n2 maneiras. Então,
o número de maneiras possíveis em que as duas coisas podem acontecer é n1 x n2.
Note que esta regra não foi provada. Nós a aceitamos com base no fato de que ela corresponde à
maneira natural como contamos as coisas. Esta regra não provada é o ponto de partida da teoria da
contagem e todos demais resultados dessa teoria decorrem dela.
Extensão da Regra Fundamental da Contagem
Podemos estender a regra fundamental da contagem mostrada acima para determinar o número de
maneiras em que mais de duas coisas podem acontecer.
Por exemplo, suponha que três alunos façam um exame e que os resultados possíveis sejam passar e
ser reprovado. O número de possibilidades para o grupo de três alunos é agora 8, como pode ser
visto na tabela abaixo:
3
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Aluno 1
Aluno 2
Aluno 3
(1)
P
P
P
(2)
P
P
R
(3)
P
R
P
(4)
P
R
R
(5)
R
P
P
(6)
R
P
R
(7)
R
R
P
(8)
R
R
R
Esse resultado pode ser obtido com uma simples extensão da regra fundamental da contagem.
Temos agora três espaços, um para cada aluno, e em cada um podem ocorrer duas coisas,
.
Desta forma, o número de possibilidades é 2 x 2 x 2 = 8.
Note que poderíamos ter agrupado os casos dos alunos 1 e 2 e um só para usar a versão original da
regra fundamental da contagem,
.
O grupo dos dois primeiros alunos pode ter 4 possibilidades, que acopladas com as duas
possibilidades do terceiro aluno nos dão oito possibilidades,
4 x 2 = 8.
De maneira geral, se temos três coisas que podem acontecer de n1, n2, e n3 maneiras,
respectivamente, o número total de possibilidades de ocorrências para as três coisas é
n1 x n2 x n3 = n1n2n3.
Exemplo 1. Os alunos 1 e 2 fazem um exame em que podem passar ou ser reprovados e o aluno 3
faz uma prova em que pode obter conceitos A, B, C, D ou E. O número de resultados possíveis é 2
x 2 x 5 = 20.
4
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Exemplo 2. Em uma cadeia com três nucleotídeos cada um pode ser de um entre quatro tipos (A, C,
G ou T). O número de seqüências de três nucleotídeos é então 4 x 4 x 4 = 64.
O que foi visto acima pode ser generalizado para o caso em que há mais de três coisas que podem
acontecer.
Regra da Contagem
Se uma primeira coisa pode ocorrer de n1 maneiras, uma segunda coisa pode ocorrer de n2
maneiras, uma terceira coisa pode ocorrer de n3 maneiras, ..., e finalmente uma k-ésima coisa
pode ocorrer de nk maneiras, então o número de maneiras em que todas as coisas podem
ocorrer juntas é,
n1 x n2 x n3 x ... x nk,
desde que a primeira coisa possa ocorrer de n1 maneiras independentemente do que ocorra
com as outras coisas, a segunda coisa possa ocorrer de n2 maneiras independentemente do que
ocorra com as outras coisas, ..., e a k-ésima coisa possa ocorrer de nk maneiras
independentemente do que ocorra com as outras coisas.
Exemplo 1. Existem quatro estudantes que fazem uma prova, podendo cada um tirar conceito A, B,
C, D ou E. O número de possibilidades é,
5 x 5 x 5 x 5 = 54 = 625.
Exemplo 2. Existem dez alunos que farão um exame, podendo cada um passar ou ser reprovado. O
número de possibilidades é,
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210 = 1024.
Exemplo 3. Suponha que k coisas aconteçam, cada uma podendo ocorrer de n maneiras
independentemente do que ocorra com as demais. O número de possibilidades é,
.
Exercícios.
1. Jogam-se quatro moedas, cada uma podendo cair cara ou coroa. Quantos resultados diferentes
podem ocorrer?
2. Duas moedas são jogadas e uma “roda da fortuna” é girada (com 36 possíveis resultados de
parada). Quantos resultados diferentes são possíveis?
5
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3. Cinco estudantes fazem uma prova com cinco resultados possíveis (A, B, C, D ou E) e outros
dois estudantes fazem um exame em que podem passar ou ser reprovados. Quantos resultados
são possíveis?
4. Um botânico faz um exame em cinco árvores de uma floresta para identificar sinais de um certo
tipo de infestação. Cada árvore pode ser classificada como tendo “alto grau de infestação” (A),
“baixo grau de infestação” (B) ou como “não tendo infestação” (N). De quantas maneiras
diferentes o botânico pode classificar as cinco árvores?
5. Um octanucleotídeo é uma cadeia com oito nucleotídeos. Cada nucleotídeo contém ou uma
adenina (A), ou uma citosina(C), ou uma guanina (G), ou uma uracila (U). Por exemplo, dois
octanucleotídeos diferentes são: ACGUUUGC e CGUUUGCA. Quantos octanucleotídeos
diferentes são possíveis teoricamente?
Exemplo 4: Comportamento de lobos1.
Suponha que um grupo de lobos (três machos e duas fêmeas) é mantido em condições semi-naturais
em uma reserva natural. Uma zoóloga que estuda o comportamento social dos lobos faz
observações durante o período de acasalamento e registra os padrões de cortejo do grupo. Durante
intervalos diários de tempo, ela registra se cada macho corteja ou não cada fêmea e vice-versa. Um
exemplo de um possível registro para um intervalo de tempo é o seguinte:
Cada seta na figura acima indica que há um cortejo. Então, a fêmea 1 corteja tanto o macho 1 como
o macho 2; a fêmea 2 corteja o macho 2; e o macho 1 corteja a fêmea 1. O macho 3 não corteja e
não é cortejado por nenhuma fêmea. Por convenção, a existência de uma seta indica apenas que
houve um cortejo e não quantas vezes ele ocorreu durante um intervalo de tempo.
1
Veja a referência: Rabb, G.B., Woolpy, J.H. and Ginsburg, B.E. “Social relationships in a group of captive wolves”,
American Zoologist, Vol. 7 (No. 7), 305-311 (1967).
6
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Durante um intervalo de tempo, é possível que cada macho corteje todas as fêmeas e que cada
fêmea corteje todos os machos. Também é possível que não haja qualquer cortejo. Essas duas
possibilidades estão representadas pelas figuras abaixo.
Uma questão que a zoóloga quer saber é quantos padrões de cortejo diferentes podem ocorrer. Para
resolver isso, ela vai usar a regra da contagem. Para cada par de macho e fêmea existem quatro
possibilidades de cortejo, indicadas pela figura abaixo.
Quantos pares de macho e fêmea são possíveis? Como existem três machos e duas fêmeas, a regra
da contagem nos dá que o número de pares possíveis é 3 x 2 = 6. Para cada par existem os quatro
comportamentos de cortejo possíveis ilustrados acima. Então, a regra da contagem nos dá que o
número de possibilidades de padrões de cortejo é:
4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46 = 4096.
Este é um número bastante grande.
Podemos agora resolver o problema geral de calcular o número de padrões de cortejo possíveis
quando há n fêmeas e m machos. Neste caso, pela regra da contagem existem nm pares possíveis. E
cada par pode ter quatro possibilidades de interação. Logo, a regra da contagem nos dá que o
número total de possibilidades de padrões de cortejo é:
7
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.
Por exemplo, com dois machos e quatro fêmeas o número de possibilidades é 48 = 65.536.
Considere agora que, em um grupo de m machos e n fêmeas, por algum motivo um dos machos não
pode cortejar (por exemplo, ele pode estar doente). Quantos padrões de cortejo são possíveis neste
caso?
Primeiramente, vamos considerar o que acontece nos pares do macho que não corteja com as
fêmeas. Como ele não corteja, existem agora apenas duas possibilidades para tais pares, ilustradas
abaixo:
O número de pares envolvendo o macho que não corteja é n (o número de fêmeas). Portanto, o
número de possíveis padrões de cortejo envolvendo o macho que não corteja é 2n. Descontando o
macho que não corteja, o número de machos restante é (m – 1). Esses machos podem cortejar as
fêmeas como no caso do problema anterior. Portanto, o número total de possibilidades de cortejos
para esses (m – 1) machos e as n fêmeas é 4n(m – 1). Desta forma, o número total de possíveis padrões
de cortejo para o grupo completo é:
2n.4n(m – 1).
O tipo de problema que se quer responder pode ficar tão complexo quanto se queira. Por exemplo,
suponha um outro caso com m machos e n fêmeas. O macho 1 é fiel à fêmea 1, ou seja, ele não
corteja com outras fêmeas, mas pode cortejar ou não com a fêmea 1. Já a fêmea 1 pode cortejar com
qualquer macho, incluindo o macho 1. No entanto, a fêmea 1 tem ciúmes do macho 1 e não deixa
que outras fêmeas o cortejem. Quantos padrões diferentes de cortejo existem neste caso?
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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
Consideremos primeiro o par envolvendo o macho 1 e a fêmea 1. Para este par, existem as quatro
possibilidades normais. Consideremos agora os pares envolvendo o macho 1 e as outras (n – 1)
fêmeas. Como o macho 1 não corteja essas fêmeas e a fêmea 1 não deixa que elas cortejem o macho
1, para cada um desses (n – 1) pares só existe uma possibilidade: ninguém se corteja. Finalmente,
consideremos os pares envolvendo os outros (m – 1) machos com todas as n fêmeas (incluindo a
fêmea 1). Para esses n(m – 1) pares existem as 4n(m – 1) possibilidades usuais. Logo, o número total
de possibilidades para este caso é dado por:
41.1(n – 1).4n(m – 1) = 4.4n(m – 1) = 4nm – m + 1.
A Regra da Contagem Aplicada a Permutações, Arranjos e Combinações
De quantas maneiras diferentes as letras A, B e C podem ser arranjadas em uma seqüência?
Por experimentação, chegamos às seis possibilidades abaixo:
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA.
Podemos, porém, abordar o problema segundo a regra da contagem. Existem três espaços:
.
No primeiro espaço, podemos colocar qualquer uma das três letras, A, B ou C. Ou seja, temos três
possibilidades de preenchê-lo:
.
Qualquer que seja a letra colocada no primeiro espaço, restam apenas duas para serem colocadas no
segundo. Temos, então, duas possibilidades para o segundo espaço:
.
Já tendo preenchido os dois primeiros espaços, resta apenas uma opção para o terceiro:
.
Usando agora a regra da contagem, temos que o número total de maneiras diferentes de preencher
os três espaços é:
9
Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
3 x 2 x 1 = 6.
Generalizando, suponha que tenhamos n coisas diferentes para arranjar em uma seqüência. O
número de diferentes arranjos possíveis é:
n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 2 x 1.
Uma maneira conveniente de escrever este número é usando a seguinte definição:
Definição do Fatorial de um Número:
Se n for um inteiro positivo, o símbolo n! (lê-se “n fatorial”) é usado para denotar o produto dos n
primeiros inteiros positivos:
n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n – 1) x n.
Como um caso especial, se n = 0 define-se:
0! = 1.
Portanto, se n = 6:
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720.
É comum escrever o produto de inteiros em um fatorial na ordem decrescente:
n! = n x (n – 1) x ... x 3 x 2 x 1 = 1 x 2 x 3 x ... x (n – 1) x n.
Propriedades do fatorial:
• (n + m)! ≠ n! + m!; por exemplo, (5 + 3)! = 8! = 40320 ≠ 5! + 3 ! = 120 + 6 = 126.
• n! = n x (n – 1)!; por exemplo, 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7 x 6!
•
(n + 1)! (n + 1).n!
9! 9.8.7.6!
=
= n + 1 ; por exemplo, =
= 9.8.7 = 504.
n!
n!
6!
6!
Com base na definição de fatorial, podemos reescrever o número de arranjos de n objetos diferentes
em uma seqüência como o fatorial de n:
n x (n – 1) x ... x 3 x 2 x 1 = n!.
Este número também é chamado de número de permutações de n objetos distintos, ou
simplesmente permutação de n, representado por Pn (portanto, Pn = n!).
Exemplo: Quatro grãos de pólen de plantas diferentes serão colocados em uma lâmina de
microscópio para observação. De quantas maneiras distintas eles poderão ser arranjados em linha?
O número de maneiras distintas é dado por 4! = 4.3.2.1 = 24.
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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
A permutação de n objetos se aplica ao problema em que temos n objetos distintos para serem
arranjados em n posições diferentes em uma seqüência. No entanto, às vezes temos problemas
diferentes para resolver, como o dado a seguir.
Suponha que tenhamos quatro letras, A, B, C e D, mas apenas dois espaços para arranjá-las. De
quantas maneiras distintas podemos arranjar as quatro letras nos dois espaços?
Novamente, por experimentação chegamos a 12 arranjos diferentes:
AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, e DC.
Este número pode ser obtido pela regra da contagem. Temos dois espaços:
.
O primeiro espaço pode ser ocupado por cada uma das quatro letras e, uma vez escolhida uma letra,
o espaço restante pode ser ocupado por cada uma das três letras restantes:
.
O número de possibilidades distintas é 4 x 3 = 12.
Podemos generalizar este problema para o caso em que temos n objetos distintos e apenas r deles
devem ser arranjados em r posições:
.
A primeira posição pode ser preenchida por cada um dos n objetos e, portanto, temos n
possibilidades de preenchê-la. A segunda posição pode receber qualquer um dos (n – 1) objetos
restantes, de maneira que temos (n – 1) diferentes maneiras de preenchê-la. Para a terceira posição,
temos (n – 2) objetos sobrando, o que nos dá (n – 2) maneiras diferentes de preenchê-la:
.
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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
De quantas maneiras diferentes podemos preencher a r-ésima posição? Sabemos que (r – 1) objetos
já foram usados para preencher as (r – 1) primeiras posições. Portanto, o número de objetos restante
é n – (r – 1) = n – r + 1. Este é o número de possibilidades de se preencher a r-ésima posição:
.
Usando a regra da contagem, temos que o número de arranjos de n objetos em r posições é:
n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – r + 1).
Este resultado pode ser posto em notação fatorial. Note que,
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x (n – (r – 1)) x
(n – r) x (n – (r + 1)) x ... x 2 x 1,
onde escreveu-se o resultado em duas linhas apenas para facilitar o entendimento. O termo da
primeira linha é o resultado que queremos e o termo da segunda linha é (n – r)!. Portanto,
n!
= n(n − 1)(n − 2) …(n − (r − 1)) = n(n − 1)(n − 2) …(n − r + 1).
(n − r )!
Podemos então escrever o resultado geral:
Dados n objetos distintos, o número de maneiras de se escolher r desses objetos e arranjá-los
em linha é:
n!
.
(n − r )!
Um símbolo que se costuma usar para expressar este número é An,r, que se lê: arranjo de n objetos
tomados r a r. Então:
An,r =
n!
.
(n − r )!
Exemplo: Em uma população há 7 fêmeas e 3 machos. Cada macho deve se acasalar com uma, e
apenas uma fêmea. Cada fêmea pode se acasalar com apenas um macho por vez. Quantos padrões
de acasalamento diferentes existem para a população?
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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
Podemos resolver este problema tratando as sete fêmeas como se fossem sete letras, A, B, C, D, E,
F e G, e os três machos como se fossem três posições
. Quando uma letra está em
uma posição, ela não pode estar nas outras e cada posição só pode receber uma letra por vez.
Portanto, o número de padrões de acasalamento distintos é:
A7,3 =
7!
7!
= = 7.6.5 = 210.
(7 − 3)! 4!
Consideremos agora o seguinte problema: Suponhamos que temos três letras, A, A e B, sendo que
duas delas (os As) são idênticas. De quantas maneiras diferentes podemos arranjar essas três letras
em uma seqüência?
Por experimentação, vemos que há três maneiras distintas:
BAA, ABA e AAB.
Como podemos encontrar uma fórmula para isso usando fatoriais?
Pensemos da seguinte maneira: Suponhamos, por um momento, que os dois As não são iguais, por
exemplo, vamos chamá-los de A1 e A2. Então, poderíamos arranjar as três letras de 3! = 6 maneiras
diferentes: BA1A2, BA2A1, A1BA2, A2BA1, A1A2B e A2A1B.
Podemos organizar estas seis permutações em famílias, sendo que cada família contém aquelas
permutações que ficariam idênticas se os dois As diferentes voltassem a ser iguais:
{BA1A2, BA2A1}
{A1BA2, A2BA1}
{A1A2B, A2A1B}
Família 1: BAA
Família 2: ABA
Família 3: AAB
Note que o número de elementos em cada família é igual ao número de permutações dos As
diferentes: como temos dois As diferentes, esse número é 2! = 2.1 = 2.
Quando os As voltam a ser iguais, os elementos de uma mesma família ficam todos iguais.
Portanto, o número de famílias é a resposta para o nosso problema: o número de arranjos distintos
quando os As são idênticos. Vamos chamar o número de famílias de R (de resposta). Multiplicando
R pelo número de elementos em cada família, temos o número total de permutações quando os As
são diferentes:
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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
R.2!= 3!⇒ R =
3! 6
= = 3.
2! 2
Observe que 3 é o número de letras e que 2 é o número delas que são iguais. Portanto,
generalizando, temos que o número de permutações distintas de n objetos quando r deles são
idênticos é:
n!
.
r!
Este resultado pode ser generalizado para o caso em que temos mais de uma classe de elementos
indistinguíveis. Por exemplo, considere o caso em que temos quatro letras: A, A, B e B. Os dois As
são indistinguíveis entre si e os dois Bs são indistinguíveis entre si. De quantas maneiras diferentes
podemos arranjá-los em linha?
Por experimentação, vemos que as maneiras distintas são seis:
AABB, BBAA, ABAB, BABA, ABBA, BAAB.
Este número pode ser determinado a partir do uso repetido da fórmula anterior:
Podemos escrever isto como:
4! 24
=
= 6.
2!2! 4
Suponha agora que tenhamos as seguintes 8 letras: AAABBCDD (4 As, 2 Bs, 1 C e 2 Ds). De
quantas maneiras diferentes podemos arranjá-las? Veja o desenho abaixo:
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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
Isto pode ser expresso em termos de uma fórmula como:
8!
40320
=
= 1680.
3!2!2!
24
O resultado geral é o seguinte:
O número de permutações distintas de n objetos quando a deles são iguais entre si, outros b
são iguais entre si, outros c são iguais entre si etc, é:
n!
.
a!b!c!…
Exemplo: Uma molécula de ácido nucléico pode ser imaginada como uma permutação de bases (ou
letras) de quatro tipos: C, A, G, e U.
a. Quantas moléculas possíveis de ácido nucléico com 8 bases podem ser formadas com 2 Cs,
4 Us, 1 A e 1G?
b. Sabe-se que uma molécula de ácido nucléico com 10 bases tem 5 Us, 2 As, 2 Gs e 1 C.
Quantas moléculas hipotéticas podem existir com essa configuração?
Respostas:
a.
8! 40320
=
= 840.
2!4!
48
b.
10! 10.9.8.7.6
=
= 7560.
5!2!2!
4
Seja agora o seguinte problema: suponha que tenhamos três letras, A, B e C, e queiramos tomar
duas delas. Porém, não estamos interessados em arranjá-las em linha de maneiras diferentes como
nos casos anteriores, mas queremos apenas saber quantos pares distintos podemos tomar sem nos
preocuparmos com a ordem dos elementos no par. Por exemplo, o par AB é considerado igual ao
par BA neste caso.
15
Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
Por experimentação, temos que o número de pares distintos, sem levar em consideração a ordem
dos elementos, é 3:
AB, AC e BC.
Para encontrar uma fórmula que nos permita calcular a resposta para o problema, podemos
inicialmente considerar o caso em que temos que arranjar as três letras duas a duas. Já vimos
anteriormente que o número de possibilidades para esse caso é
n!
3!
=
= 6.
(n − r )! (3 − 2)!
Estes seis casos estão mostrados abaixo:
AB, BA, AC, CA, BC e CA.
No nosso problema atual, não estamos interessados na ordem das letras dentro de um par. Estamos
interessados na identidade dos elementos e não na sua posição. Segundo este critério, os seguintes
pares são indistinguíveis: AB e BA; AC e CA; BC e CA. Cada um desses três grupos pode ser
pensado como uma família de elementos indistinguíveis, para usar uma terminologia que já foi
usada anteriormente. E cada família é composta por dois elementos. A resposta para o nosso
problema é o número de famílias, que pode ser obtido dividindo-se o número total de arranjos
acima pelo número de permutações dentro de cada família, 2!:
6
= 3.
2!
Substituindo o 6 acima pela fórmula usada para o seu cálculo, chegamos à fórmula genérica para o
nosso problema:
n!
.
r!(n − r )!
O nome que se costuma dar ao número de possibilidades distintas de se retirar r elementos de um
total de n elementos sem se preocupar com a ordem em que eles são retirados ou arranjados, mas
apenas com a sua identidade, é combinação de n elementos tomados r a r. Usa-se a notação Cn,r
para representar essa combinação.
Podemos então escrever o resultado geral:
Dados n objetos distintos, o número de maneiras de se combinar r desses objetos, isto é de
arranjá-los em grupos de r elementos sem se preocupar com a ordem dos elementos no
arranjo, é:
16
Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 14
C n,r =
n!
.
r!(n − r )!
Este número também é conhecido como número binomial, sendo também indicado como ⎛⎜ n ⎞⎟.
⎜ ⎟
⎝ r ⎠
Portanto:
⎛ n ⎞
n!
C n,r = ⎜⎜ ⎟⎟ =
.
r
(
)
r
!
n
−
r
!
⎝ ⎠
Exemplo 1: Um biólogo marinho tem em seu aquário 5 tartarugas marinhas. As cinco são
diferentes, seja por seu tamanho, peso ou sexo. O biólogo quer pegar duas delas para fazer um
experimento. De quantas maneiras diferentes ele pode pegar o par?
Resposta: Como o biólogo consegue diferenciar as cinco tartarugas, podemos chamá-las de t1, t2, t3,
t4 e t5. Vamos representar o par de tartarugas que ele pegar por (ti, tf), onde o primeiro termo
corresponde à tartaruga que ele pegar primeiro e o segundo termo corresponde à tartaruga que ele
pegar depois. Note, porém, que o biólogo não está interessado na ordem em que ele pega as
tartarugas, mas sim no par em si. Isto quer dizer que, por exemplo, o par (t2, t4) é igual ao par (t4, t2).
Desta forma, este problema pode ser resolvido usando-se a fórmula para o número de combinações
de 5 elementos tomados 2 a 2:
C 5, 2 =
5!
5! 5.4
=
=
= 10.
2!(5 − 2)! 2!3! 2
Exemplo 2: Uma pesquisadora tem quatro cobais para fazer um experimento, três machos e uma
fêmea. Após o experimento, as cobais serão sacrificadas para análise histológica. Supondo que elas
serão sacrificadas em seqüência (a primeira, a segunda, a terceira e a quarta a ser sacrificada), de
quantas maneiras diferentes os três machos podem ser combinados na seqüência?
Resposta: Podemos imaginar que a pesquisadora tenha dado nomes às cobaias para identificá-las.
No entanto, a pergunta só quer saber de quantas maneiras os três machos podem ser combinados
numa seqüência de quatro; ela não se interessa pela identidade das cobais, apenas pelo seu sexo. Por
tentativa, vemos que a resposta é 4:
MMMF, MMFM, MFMM, FMMM.
Esta resposta poderia ser calculada usando a fórmula da combinação de quatro elementos três a três:
C 4,3 =
4!
= 4.
3!(4 − 3)!
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