Prob 4.39: Determine a matriz inversa das matrizes formada por

Prob 4.39: Determine a matriz inversa das matrizes formada
por: blocos de zeros, matriz identidade e A (que não precisa ser
invertível).
0 I
I A
(a)
; (b)
;
I 0
0 I
78
4.39: (a)
0
I
I
0
I
; (b)
0
−A
I
Prob 4.40: Seja S =
0
B
I
0
uma matriz de blocos. Calcule
S2.
80
4.40: S 2 =
B
0
0
B
.
Coordenadas
Ext 4.63: Considere v = (4, −1, −1) e
β = {(1, −1, 0), (0, 1, −1), (0, 0, 1)};
(a) escreva v como combinação linear dos vetores de β;
(b) determine [v]ε (base canônica);
(c) determine [v]β ;


2
(d) sabendo que [w]β =  −3 ; determine [w]ε .
2
126


4

−1 ; (c)
4.63: (a) v = 4(1, −1, 0) + 3(0, 1, −1) + 2(0, 0, 1); (b) [v]ε =
−1




4
2
[v]β =  3 ; (d) [w]ε =  −5 ;
2
5
Ext 4.64: Considere as bases do R2 : β1 = {(−1, 1), (1, 1)} e
β2 = {(0, 2), (1, 0)}. Se [v]β1 = (2, 3) determine [v]β2 .
128
4.64:
5/2
1
Ext 4.65: Se β = {w1 , w2 , w3 , w4 } é base do R4 e
u = w4+ 2w
3 + 3w2 + 4w1 ,

[u]β = 


.

130


4
 2 

4.65: 
 2 .
1
Ext 4.67: Considere β2 = {1, 1 − x, x2 − 1}. Determine:
(a) [q]β2 onde q(x) = x2 − x; (b) [p]β2 onde p(x) = x2 + x + 1.
134

4.67: (a) [q]β2



0
3



1 ; (b) [p]β2 =
−1 ;
=
1
1
Mudança de Base
Ext 4.69: Considere três bases distintas β1 , β2 , β3 de um
espaço vetorial de dimensão finita.
(a) determine [I]β1 ←β1 ;
(b) defina A = [I]β1 ←β2 , B = [I]β2 ←β3 , C = [I]β3 ←β1 . Determine
ABC.
138
4.69: Para ambos itens, a matriz identidade.
Ext 4.70: Considere as bases de R3 : α = {v1 , v2 , v3 } e
β = {w1 , w2 , w3 } com w1 = v1 + v3 , w2 = v1 + v2 + v3 e
w3 = v1 − v3 . Determine a matriz mudança de base [I]α←β .
140

4.70: [I]α←β
1
= 0
1
1
1
1

1
0 
−1
Ext 4.71: Considere as bases de R3 : α = {(1, 0, −1), (1, 2, 3),
(1, 1, 1)}, β = {(3, 2, 1), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} ε = {(1, 0, 0), (0, 1, 0),
(0, 0, 1)} (base canônica).
(a) determine as matrizes mudança de base A = [I]ε←α e
B = [I]ε←β ;
(b) escreva equações matriciais que determinem, como função
de A, B, A−1 , B −1 (não calcule A−1 , B −1 ) as matrizes mudança
de base [I]α←ε , [I]β←ε , [I]α←β , [I]β←α .
142


1 1 1
0 2 1 e
−1 3 1


3 4 7
B =  2 5 8 .
1 6 9
(b) [I]α←ε = A−1 , [I]β←ε = B −1 ,
[I]α←β = A−1 B, [I]β←α = B −1 A.
4.71: (a) A = 
Ext 4.73: Considere as bases de R2 : α = {(1, 0), (0, 2)} e
β = {(1, 1), (2, 1)}. Calcule a matriz mudança de base [I]β←α .
146
4.73: [I]β←α =
−1
1
4
−2
Ext 4.74: Considere as bases de R2 : α = {(6, 11), (2, 4)}
ε = {(1, 0), (0, 1)}.
(a) Calcule a matriz mudança de base [I]ε←α .
(b) Explique como determinar [I]α←ε usando (a). (Não faça as
contas.)
2 −1
(c) Verifique que [I]α←ε =
−11/2
3
148
4.74: (a) [I]ε←α =
6
11
2
4
(b) [I]α←ε = [I]−1
ε←α .
(c)
Basta
verificar
que
2 −1
[I]ε←α = I.
−11/2
3
Ext 4.75: Seja β = {(1, 0, 0), (0, 1, −1), (1, −1, 0)}.
(a) Calcule [I]ε←β e [I]β←ε ; (b) v = (0, 1, 0), calcule [v]β ;


1
(c) [w]β =  2  determine [w]ε ; (d)
3
T (x, y, z) = (x − z, −z, y + 2z), determine [T ]β .
Dica: [T ]β = [I]β←ε [T ]ε [I]ε←β
150


1
0
1

0
1 −1  cuja inversa é
4.75: (a) [I]ε←β =
0 −1
0


1
1
1
0 −1 ;
[I]β←ε =  0
0 −1 −1




1
4



0 ; (c) [w]ε =
−1 ;
(b) [v]β =
−1
−2


1 1 0
(d) [T ]β =  0 1 1 
0 0 1
Ext 4.77: Considere as bases do P1 : α = {1 − x, 2x}
β = {1 + x, x}, e do P2 : γ = {1, x, x2 } e
δ = {1 + x, 1 − x, x2 + 1}. Determine [I]α←β e [I]γ←δ .
154
1
4.77: [I]α←β =
1

1
1
[I]γ←δ =  1 −1
0
0
0
1/2

1
0 .
1
Ext 4.78: Considere os conjuntos LIs de funções:
β1 = {cos x, sen x}; β2 = {ex , e2x }; β3 = {1, x, ex , xex };
β4 = {1, x, x2 }; β5 = {sen(x), sen(2x), sen(3x)};
β6 = {ex , xex , x2 ex }.
Seja Wi = hβi i (espaço gerado por cada conjunto de funções).
Sejam D o operador derivada Df = f 0 com D : Wi → Wi e D2 o
operador derivada segunda D2 f = f 00 com D2 : Wi → Wi .
Determine a matriz:
(a) [D]β1 ; (b) [D]β2 ; (c) [D]β3 ; (d) [D2 ]β4 ; (e) [D2 ]β5 ;
(f) [D2 ]β6 .
156
0
−1
4.78: (a) [D]β1 =
1
0

(b) [D]β2 =
1
0

0
2
(c) [D]β3
0
 0

=
0
0

0 0 2

0 0 0 .
(d)
β4 =
0 0 0


−1
0
0
2
0 .
(e) [D ]β5 =  0 −4
0
0 −9


1 2 2
(f) [D2 ]β6 =  0 1 4 .
0 0 1
[D2 ]
1
0
0
0
0
0
1
0

0
0 

1 
1