Matemática Discreta 11/12

Matemática Discreta
11/12
Folha 9
Divisibilidade
EI, LEI, Mat
61. Determine todos os divisores de 30, 35, 45 e 64.
62. Verifique se 32688048 é divisı́vel por 2, 4, 8, 16 e/ou 32.
63. Verifique se 15535375 é divisı́vel por 5, 25, 125 e/ou 625.
64. Verifique se os seguintes números são divisı́veis por 3 e/ou 9:
(a) 4127835.
(b) 7727517.
(c) 124564.
(d) 9988773.
65. Verifique se os seguintes números são divisı́veis por 11:
(a) 723160823.
(b) 558030.
(c) 101010101.
(d) 93821.
66. Seja a = rn · · · r1 r0 . Mostre que 4|a se e só se 4|(2r1 + r0 ).
67. Determine x e y tal que:
(a) 7xx5xx é divisı́vel por 2, 3 e 9.
(b) 2x3x2 é divisı́vel por 4 e 11.
(c) 3x6y é divisı́vel por 22 mas não por 4.
(d) 2x45y é divisı́vel por 72.
(e) 10x8 é divisı́vel por 7.
(f) 2xy é divisı́vel por 5 e 7.
68. Para o sistema de base 8, estabeleça critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
69. Determine x e y tal que:
(a) x43y8 é múltiplo de 78 e 68 .
(b) 1x1y8 é múltiplo de 58 e 118 .
70. Sendo x e y inteiros, mostre que se 2|(x + y) então 2|(x − y).
71. Determine:
(a) O número de divisores de 2592.
(b) O número da forma 3 × 10k com 18 divisores.
72. Pela decomposição em factores primos:
(a) Verifique se 5320 é divisı́vel por 140 e/ou por 280 e se 2604 é divisı́vel por 396 e/ou por 36.
(b) Calcule mdc(5320, 2604) e mmc(5320, 2604).
(c) Determine o menor número x para que 5320 × x seja divisı́vel por 2604.
73. Determine todos os números inteiros x e y com x ≤ y e tais que:
(a) x × y = 1080 e mmc(x, y) = 180.
(b) x + y = 60 e mdc(x, y) = 12.
(c) x e 14 são primos entre si e mmc(x, y) = 504.
74. Determine o maior número pelo qual se deve dividir 175, 294 e 644 para que os restos sejam 7, 14
e 28, respectivamente.
75. Escreva mdc(x, y) como combinação linear de x e de y para:
(a) x = 252 e y = 198.
(b) x = 218 e y = 88.
(c) x = 345 e y = 215.