Circuitos oscilantes e corrente alternada (CA)

Circuitos oscilantes e corrente alternada (CA)
Os circuitos que veremos a seguir serão compostos dos seguintes elementos:
Resistores: Nos resistores R a tensão VR aplicada sobre ele e a corrente I que
o atravessa estão relacionadas pela Lei de Ohm VR=R.I. Quando em
um circuito, pela convenção de sinais para a aplicação da Lei de
Kirchhoff, ao ser atravessado na mesma direção que a corrente, a
variação no potencial é negativa, e positiva se atravessado no sentido
oposto da corrente. Quando atravessado por esta corrente o resistor
dissipa energia com potência dada pela relação P=R.I.
Capacitores: Nos capacitores, a constante de proporcionalidade entre a carga
acumulada Q e a tensão VC sobre ele é a capacitância C, ou seja,
Q=C.VC. Quando em um circuito, pela convenção de sinais para a
aplicação da Lei de Kirchhoff, ao ser atravessado na mesma direção
que a corrente, a variação no potencial é negativa, e positiva se
atravessado no sentido oposto da corrente. A corrente I que o
“atravessa” é dada pela taxa de variação temporal da carga, I=dQ/dt.
Indutores: Indutores quando atravessados por uma corrente elétrica I reagem
à sua passagem gerando uma tensão VL proporcional à variação
temporal da corrente, e a constante de proporcionalidade é a
indutância L, VL= -L.dI/dt. Quando em um circuito, pela convenção de
sinais para a aplicação da Lei de Kirchhoff, ao ser atravessado na
mesma direção que a corrente, a variação no potencial é negativa, e
positiva se atravessado no sentido oposto da corrente e a queda de potencial é
VL= L.dI/dt.
Fonte de tensão alternada: Fornece uma tensão que varia no tempo de
maneira regular (periódica). Em nossos circuitos esta variação será
harmônica, da forma ε= ε0.cos(ωt+δ). ε0 é a amplitude da tensão
oscilante, ω é a frequência angular, relacionada com a frequência f
pela relação ω=2πf e δ é o ângulo de fase, determinado pelas
condições iniciais. Quando em um circuito, pela convenção de sinais
para a aplicação da Lei de Kirchhoff, ao ser atravessada na direção do
polo positivo para o negativo, a variação no potencial é negativa, e positiva se
atravessada no sentido do polo negativo para o positivo, independente da direção
da corrente.
Circuito LC
O circuito LC consiste de um capacitor C e um indutor L
ligados em paralelo. Como não possui uma fonte externa de
alimentação, se quisermos estudar a evolução temporal das
tensões e correntes no circuito alguma energia deve ser
introduzida previamente como, por exemplo, conectando ao
circuito um capacitor previamente carregado com carga Q0.
1
Nestas condições a carga no capacitor fluirá para o indutor num circuito de malha
única. Assim, a tensão sobre o capacitor (VC) e a tensão sobre o indutor (VL)
serão as mesmas, assim como a corrente que os atravessa. Aplicando a Lei das
Malhas ao circuito temos:
=
=−
+
1
=0
1
+
=0
A solução desta equação diferencial é a corrente que circula no circuito.
Podemos resolver esta equação de maneira simples procurando uma expressão
geral para a corrente que satisfaça a equação, substituí-la na equação e
determinar as constantes. Se observarmos com cuidado vemos que a função que
representa a corrente tem que apresentar a propriedade de ter a sua derivada
segunda proporcional ao negativo dela mesma para satisfazer a equação.
Funções senoidais têm essa propriedade. Uma solução possível seria:
( )=
(
)
Aqui cabe um questionamento: Porque o ângulo de fase é nulo? Porque seno
e não cosseno? Qualquer valor para ao ângulo de fase irá satisfazer a equação
(teste adiante), inclusive 90° que é a diferença de fase entre uma função seno e
cosseno. Como iniciamos nosso circuito com a carga no capacitor, a corrente será
inicialmente nula e crescente num primeiro momento fazendo com que a função
seno com ângulo de fase nulo seja a escolha mais conveniente.
Continuando temos
=−
cos(
=−
)
sen(
)
que substituído na equação diferencial nos dá:
−
)+
sen(
1
sen(
)=0
e para termos a equação satisfeita para quaisquer valores de t
=
=
√
1
e
=
√
2
e ainda, como na descarga, I=-dQ/dt
#
( ) − Q = −" ( )
( )=
= −"
cos(
#
(
)
=
)−Q +Q =
=
( )
( )=
) − 1 = √LC cos(
cos(
cos(
)=
cos(
)
(
&
+ )
2
)=
cos(
) − √LC
√
=
=
( )=−
= − (−
1
)) =
cos(
√
cos(
)
Podemos agora visualizar algumas características importantes do circuito LC:
O circuito é um oscilador harmônico elétrico, com frequência natural de oscilação
ω0=(LC)½. A corrente no circuito está defasada (adiantada) de 90°em relação à
tensão.
Energia no circuito LC.
Podemos facilmente calcular a energia potencial acumulada no capacitor e no
indutor ao longo do tempo. A energia no capacitor se acumula no campo elétrico
e será:
*+ =
1
2
=
1
2
=
1
2
,- (
)
e no indutor
*. =
1
2
=
1
2
(
)=
1
2
(
)
A energia total no circuito será
*=/
1
2
,- (
1
)0 + 1
2
(
)2 =
1
2
Que é a energia inicial do circuito. Desta forma vemos que nenhum dos
elementos do circuito dissipam energia e assim a oscilação se mantém
indefinidamente.
3
Circuito RLC
Se agora introduzimos um resistor no nosso circuito
oscilante termos o chamado circuito RLC e soma das quedas
de potencial ao longo do circuito dá:
=
=
+
3
+ 4 , = −
+
4
+
1
=0
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem e se quisermos usar
o método de propor uma solução geral para resolvermos a equação devemos ter
um pouco mais de cuidado. Como no circuito LC a energia oscilará entre os dois
componentes (se temos novamente uma carga inicial no capacitor). Com a
introdução do resistor temos agora um elemento dissipador de energia. Desta
forma, a amplitude da corrente deve decrescer ao longo do tempo. Proporemos
então uma solução da forma
( )=(
67#
)
(
)
com t=0 no início da descarga do capacitor.
Vejamos se esta corrente será solução da equação diferencial do circuito.
Temos então que
=(
= −(
67# )
sen(
67# )
)−( 8
) −( 8
cos(
67# )
cos(
67#
) −( 8
)
(
67# )
)
,- (
) +( 8
67#
)
(
)
Substituindo estas expressões na equação diferencial temos
−(
−
67# )
sen(
sen( ) − ( 8 67# ) cos( ) − ( 8
4
+ 9( 67# ) cos( ) − ( 8 67# )
) − 8 cos( ) − 8 ,- (
1
( )=0
+
;8 −
−
48
+
1
<
(
) +8
67# )
(
(
,- (
): +
)+
) + ;−8 − 8 +
4
4
1
) +( 8
(
cos(
< cos(
67# )
) −
67# )
(
48
(
)=0
(
)
)
)=0
Para que esta equação seja válida para qualquer tempo t, os coeficientes
devem ser nulos:
4
=−
48
48
4
28
1
4
2
α
1
8
4
4
>
8
?1
>
8
Com solução possível (ω
(
real) e não singular quando 1/LC>R2/4L2 ou
R<2(L/C)½. Esta é a condição de amortecimento fraco (pouca resistência).
Nestas condições temos então circulando no circuito uma corrente oscilante com
amplitude decaindo exponencialmente. Com a solução proposta
67#
>
a tensão no capacitor será então:
( )=
=
1
"
1
1
67#
>
8
>
67#
(
67#
67#
(
8
(
8
>
8
>
>
>
(
8
>
>
>
>
>
cos
cos
>
cos
cos
)
>
>
)
)
>
cos
>
)
e a razão α/ωd é a medida do amortecimento. Menores valores de α/ωd
significam mais oscilações enquanto a tensão decresce.
A figura ao lado mostra o
comportamento da corrente num
circuito
RLC
fracamente
amortecido.
Obviamente, o circuito pode ser construído com valores de R, L e C tais que
1/LC≤R2/4L2. Para estas combinações de valores uma solução oscilante com
decaimento exponencial proposta não deve ser solução, e de fato não é.
5
Se R>2(L/C)½, temos a condição de amortecimento forte. Nesta condição a
corrente no circuito decai monotônicamente, sem oscilação e, portanto, uma
diferente solução deve ser tentada (vide tabela abaixo).
A figura ao lado mostra o
comportamento da corrente num
circuito
ito RLC fortemente amortecido.
Se R=2(L/C)½, temos a condição de amortecimento crítico. Também nesta
condição a corrente no circuito decai monotônicamente, sem oscilação, mas de
forma mais intensa do que no caso do amortecimento forte. O amortecimento
crítico é a condição em que a energia é dissipada de maneira mais eficiente.
Novamente, uma nova solução deve ser tentada.
A figura ao lado mostra o
comportamento da corrente num
circuito
RLC
criticamente
amortecido.
As soluções que satisfazem a equação
equação diferencial nestas diferentes condições
são as seguintes:
4@
4=
4B
√
>
√
>
√
=A
( )=(
−8
( )=(
=A
A8 −
( )=D
-
67# )
EF #
67# )
67#
(
G
>
C(
)
>
)
Amorteciment
o fraco
Amorteciment
o forte
Amorteciment
o crítico
Um ponto deve ser destacado neste momento. Se existem outras soluções
possíveis para a equação diferencial resolvida, e neste caso de fato existem, a
solução geral para o problema é a soma destas soluções. Métodos mais
avançados para
ra solução de equações diferenciais permitem encontrar a solução
mais geral, mas fogem do escopo deste texto e não serão aqui utilizados.
Quando aplicados nos dão as soluções:
Para o amortecimento fraco:
( )=H
67#
cos
>
H
>
6
que pela aplicação de relações trigonométricas pode ser reescrita como
( ) = HI
67#
(
>
+ J)
Para o amortecimento crítico:
( )=K
67#
+K
67#
6(7MA6NO P )#
+L
6(76A6NO P )#
E para o amortecimento forte:
( )=L
Exercícios:
1) Mostre que as três soluções apresentadas logo acima são soluções da
equação diferencial que descreve o circuito RCL série.
2) Encontre a expressão para a corrente em cada um dos elementos de
um circuito RCL paralelo.
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