O Eletromagnetismo na notação relativística

Relatividade
O Eletromagnetismo na notação relativística
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1
Campos Tensoriais de Lorentz
Com o intuito de formular as leis do eletromagnetismo de maneira que essas leis tenham a
mesma forma, independentemente do estado de movimento uniforme dos sistemas de referência,
devemos, primeiramente, definir o caráter tensorial dos campos e dos operadores.
Na eletrodinâmica, fazemos uso do conceito de campos. Usualmente, os campos são classificados
pelas propriedades de transformação sob rotações. Assim, na física pré-relativística referimo-nos a
campos escalares e campos vetoriais.
No entanto, a busca pela covariância na formulação das leis do eletromagnetismo exige que se faça
uso de campos que se transformam como escalares de Lorentz ou como quadrivetores de Lorentz ou,
ainda, como quadritensores. Tais grandezas são definidas, genericamente, como tensores de Lorentz.
Dizemos que um campo é um tensor de Lorentz de posto s, se tal grandeza física contém
ν1 ν 2 ⋅⋅⋅ν s
s
4 componentes que dependem do quadrivetor xµ (e representado por T
( x )) e se essas
componentes se transformam, sob uma transformação de Lorentz, de acordo com
T
ν1 ν 2 ⋅⋅⋅ν s
( x) → T ′
ν1 ν 2 ⋅⋅⋅ν s
( x′ )
( 1 )
onde as componentes se tranformam de acordo com a expressão válida para tensores em geral:
Tµ′1µ2 ...µs ( x′ ) = Λ µ1ν1 Λ µ2ν2 ⋅⋅⋅ Λ µs ν s T
ν1 ν 2 ⋅⋅⋅ν s
( Λx ′ )
( 2 )
onde, conforme a expressão acima, o argumento do tensor se tranforma de acordo com a regra
para a transformação das coordenadas:
xµ = Λ µν x′ν
( 3 )
Um campo escalar é um tensor de posto 0, ou seja, ele se mantém invariante sob uma transformação de Lorentz a despeito da mudança do argumento da função,
T ´( x′ ) = T ( Λx′ )
( 4 )
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2
Um campo é dito um quadrivetor [Av (x)], que é um tensor de posto 1, conforme a definição
acima, se suas componentes se transformam de acordo com a expressão:
Aµ′ ( x′ ) = Λ µν Aν ( Λx′ )
( 5 )
onde o argumento do campo se transforma de acordo com (000).
Por exemplo, uma grandeza física tensorial se transforma como um tensor de posto 2 sob transformações de Lorentz se suas componentes se transformarem assim:
Fµν′ ( x′ ) = Λ µα Λ νβ F
αβ
( Λx ′ )
( 6 )
Fazemos uso, na eletrodinâmica, de dois quadrivetores (ou vetores de Lorentz) e de um tensor
de Lorentz.
Neste capítulo, escreveremos as leis do eletromagnetismo a partir do uso de tensores de posto
2 e de posto 1, de uma forma covariante. Nesse caso, novamente, as equações não envolvem
grandezas invariantes de Lorentz (pois as grandezas físicas relevantes no eletromagnetismo são
grandezas tensoriais de posto maior do que zero), mas são escritas de maneira a preservarem sua
forma quando as escrevemos num sistema e no outro.
Em resumo, campos tensoriais se transformam como tensores de Lorentz. No entanto, tratando-se
de campos, devemos levar em conta a transformação do argumento dos campos.
As Grandezas Vetoriais da teoria eletromagnética
Na eletrodinâmica, fazemos uso de 3 grandezas tensoriais: um tensor de posto 2 e dois tensores
de posto 1. É mais oportuno iniciarmos a discussão falando dos quadrivetores relevantes do
eletromagnetismo.
Na procura por grandezas físicas que se transformem como quadrivetores, devemos começar
por grandezas vetoriais (vetores usuais) e, então, acrescentar a essas três componentes uma
quarta componente. Não se trata, como veremos no caso dos campos elétricos e magnéticos, de
uma regra geral. Essa quarta componente deve ser necessariamente uma outras grandeza física,
que seja uma grandeza escalar sob rotações (temos, assim, um conjunto de 4 grandezas físicas
agrupadas num quadrivetor).
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3
 
Consideremos o caso de dois vetores no eletromagnetismo: o potencial vetor A ( r , t ) e a densi 
dade de corrente J ( r , t ). No contexto da teoria da relatividade, devemos buscar os quadrivetores
correspondentes, ou seja:
 

A ( r , t ) → Aµ ( x ) ≡ X ( x ) , A ( x )
 
 


J ( r , t ) → Jµ ( r , t ) ≡ Y ( r , t ) , J ( r , t )
(
)
(
)
( 7 )
Devemos, assim, determinar a quarta componente do quadrivetor corrente e quadripotência.
Tendo em vista que, por definição, a densidade de corrente é dada pelo produto da velocidade
pela densidade de carga, podemos escrever, para uma velocidade constante:
 
 
J ( r , t ) = v ρ(r , t )
( 8 )
o que nos leva a concluir que a quarta componente do vetor densidade de corrente é a densidade

de carga vezes a velocidade da luz, cρ(r , t ). Donde concluímos que o quadrivetor densidade de
corrente é aquele, cujas componentes são:
 


J µ ( r , t ) ≡ cρ(r , t ), J ( r , t )
(
)
( 9 )
Tendo em vista que o campo elétrico deriva dos potenciais escalar e vetor, é natural a escolha do
quadripotencial como aquele, cujas componentes são dadas por:
 


Aµ ( r , t ) ≡ cV ( r , t ) , A ( r , t )
(
)
( 10 )
Transformações das correntes e densidades
Algumas das equações de Lorentz são escritas em termos de correntes. Assim, se no referencial
que se move com velocidade v, o vetor quadricorrente Jµ, que depende das coordenadas xµ′ , tem
componentes dadas por

J µ′ ( x′) = ρ′( x′)c, J ′( x′)
(
)
( 11 )
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4
as componentes do vetor densidade de corrente e a densidade de carga no outro sistema são
dadas pelas expressões:
v

 v 
ρ ( x ) = γ    ρ′ ( Λx ) + 2 J x′ ( Λx ) 
c

 c 
v
J x ( x ) = γ   ( J x′ ( Λx ) + vρ′ ( Λx ) )
c
J y ( x ) = J ′y ( Λx )
( 12 )
J y ( x ) = J ′y ( Λx )
Por exemplo, consideremos cargas em repouso distribuídas com uma densidade ρ(x). Nesse


sistema, J = 0. Num referencial em movimento em relação a esse, dotado de uma velocidade v , as
densidades de carga e de correntes são:
ρ( x) =

J ( x) =
ρ ( Λx )
v2
1− 2
c
1
1−
v2
c2
=γρ ( Λx )


ρ ( Λx ) v = γJ ( Λx )
( 13 )
Assim, tais grandezas são relacionadas por meio de uma transformação de Lorentz.
Note-se que, no caso de uma densidade de carga uniforme (ρ0), a expressão para a densidade
de corrente nos dois sistemas pode ser escrita como produto da densidade de cargas pela quadrivelocidade. Ou seja,
J µ = ρ0
dxµ
dτ
( 14 )
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5
Transformações dos potenciais

No contexto da Teoria da Relatividade, o potencial vetor A e o potencial escalar ϕ são componentes
de um quadrivetor. Assim, se no sistema S' tal grandeza física assume os valores

Aµ′ ( x′ ) = V ′ ( x′ ) , A′ ( x′ ) c
(
)
( 15 )

então, no sistema S, que se movimenta com velocidade v em relação ao primeiro, os potenciais são
dados pela expressão:
v
V ( x ) = γ   (V ′ ( Λx ) + vAx ( Λx ) )
c
v

 v 
Ax ( x ) = γ    Ax′ ( Λx ) + 2 V ′ ( Λx ) 
c

 c 
Ay ( x ) = A′y ( Λx )
( 16 )
Az ( x ) = Az′ ( Λx )
Por exemplo, consideremos cargas em repouso distribuídas com uma densidade ρ(x). Nesse


sistema, J = 0. Num referencial em movimento em relação a esse, dotado de uma velocidade v , as
densidades de carga e de correntes são:
V ( x ) = γV ( Λx )



v
v
A ( x ) = 2 γV ( Λx ) = 2 V ( x )
c
c
( 17 )
Campos de uma Carga Puntiforme
Para ilustrarmos essa inter-relação consideraremos o caso de uma partícula de carga elétrica q.
No sistema de referência no qual a partícula está em repouso, a sua presença implica um campo
elétrico produzido. O campo magnético, no entanto, é nulo.
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6
Em termos dos potenciais escalar e vetor, escrevemos nesse caso, num referencial cuja origem
coincide com a posição da partícula,
 q 1

Aµ′ ( x′, y′, z ′ ) = 
, 0, 0, 0 
 4πε 0 r ′

( 18 )
onde
r′ =
( x′ ) + ( y ′ ) + ( z ′ )
2
2
2
( 19 )
Para um sistema de coordenadas que se desloca com uma velocidade v relativa ao sistema no
qual a carga elétrica está em repouso e na direção do eixo x, o sistema S.
Em termos das coordenadas no sistema S, obtemos a seguinte expressão para os potenciais:
q
1
γ
2
4πε 0
x′ + y ′2 + z ′2


v
A ( x, y , z , t ) = 2 V ( x, y , z , t )
c
V ( x, y , z , t ) =
( 20 )
Devemos, agora, levar em conta as transformações das coordenadas, ou seja, escrevemos:
x′ = γ ( x − vt )
( 21 )
y′ = y
z′ = z
Donde inferimos que
q
1
γ
2
4πε 0
γ 2 ( x − vt ) + y 2 + z 2


q v
1
A ( x, y , z , t ) =
γ
2
2
4πε 0 c
γ 2 ( x − vt ) + y 2 + z 2
V ( x, y , z , t ) =
( 22 )
Os campos elétricos e magnéticos são determinados a partir das expressões:



∂A
E = −∇V −
∂t
  
B=∇ × A
( 23 )
Figura 1
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7
As derivadas relevantes no novo sistema são:
q 2
∂V
−
=
γ
∂x 4πε 0
−
−
q
∂V
=
γ
∂y 4πε 0
q
∂V
γ
=
∂z 4πε0
γ ( x − vt )
3
 γ 2 ( x − vt )2 + y 2 + z 2  2


y
c 2 ∂Ax
= 2
v ∂t
3
( 24 )
 γ 2 ( x − vt )2 + y 2 + z 2  2


y
3
 γ 2 ( x − vt )2 + y 2 + z 2  2


enquanto as derivadas relevantes do potencial, lembrando que o deslocamento se dá ao longo do
eixo x, são
∂Ax
q
=
γ
∂y 4πε 0
∂Ax
q
γ
=
∂z 4πε0
yv
3
 γ 2 ( x − vt )2 + y 2 + z 2  2


zv
( 25 )
3
 γ 2 ( x − vt )2 + y 2 + z 2  2


Donde inferimos que as componentes do campo elétrico são
Ex =
q
γ
4πε0
Ey =
q
γ
4πε0
Ez =
q
γ
4πε0
( x − vt )
3
 γ 2 ( x − vt )2 + y 2 + z 2  2


y
3
 γ 2 ( x − vt )2 + y 2 + z 2  2


y
3
 γ 2 ( x − vt )2 + y 2 + z 2  2


( 26 )
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8
Consideremos agora o caso do campo magnético. No sistema de repouso da partícula, o campo
magnético se anula. No entanto, no sistema em que a partícula de carga q é vista com velocidade v,
o campo magnético produzido pelo portal corrente, lembrando que Ay = Az = 0 , é dado por:
∂Ax v
= Ey
∂y c 2
∂A
v
By = − x = − 2 Ex
∂z
c
Bx = 0
Bz = −
( 27 )
Ou seja, o campo magnético é dado pela expressão:
 v 
B = 2 ×E
c
( 28 )
No sistema de repouso da partícula de carga q, as expressões acima nos levam ao resultado já
conhecido, ou seja:



qr '
B=0
E=
 3
( 29 )
4πε0 r '
É importante notar que a formulação relativística introduz duas importantes consequências, as
quais levam à alteração em relação à formulação usual. Trata-se, na verdade, de correções relativísticas. A primeira delas tem a ver com o módulo do vetor campo elétrico. Consideremos o comportamento de campo elétrico para os pontos do espaço com a mesma coordenada dada por:
x = vt
( 30 )
Nessas circunstâncias, as componentes do campo elétrico são:
Ex ( x = vt , y, z ) = 0
E y ( x = vt , y, z ) =
Ez ( x = vt , y, z ) =
q
γ
4πε 0
q
γ
4πε 0
y
3
 y 2 + z 2  2
y
3
 y 2 + z 2  2
( 31 )
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9
Observe-se de (000) e (000) que a Teoria da Relatividade prevê que as componentes do campo
elétrico, ao longo das direções transversais ao movimento, são maiores do que o previsto pela lei
1
de Coulomb. O quanto é maior depende do fator
(v⟨1). Tal correção relativística se torna
2
v
−
v
1

1

1
v
.
pequena para
c
Ao longo da direção do movimento, isto é, tomando y = 0 e z = 0, temos apenas uma componente
do campo elétrico, a qual é escrita como:
(
)
Ex ( x, 0, 0, t ) =
q
v
1
(1 − )
4πε 0
c ( x − vt )2
E y ( x, 0, 0, t ) = 0
( 32 )
Ez ( x, 0, 0, t ) = 0
Assim, além das correções relativísticas associadas à intensidade do campo elétrico, vemos de
(000) e (000) que o campo elétrico de uma carga elétrica em movimento não é um campo com
simetria radial. As linhas de força se adensam na direção ortogonal ao movimento:
Figura 2: O campo elétrico de uma
carga que se move com a velocidade
constante v = 0.9c, parte (b),
comparado ao campo de uma carga
em repouso, parte (a).
As Grandezas Tensoriais do Eletromagnetismo
Três campos tensoriais desempenham um papel muito importante na formulação covariante
do eletromagnetismo. Dois desses tensores são de posto 2 e um deles é de posto 3. No entanto,
dois deles são definidos a partir do tensor fundamental. Nesse último caso, estamos falando de um
tensor obtido a partir de grandezas que se transformam como vetores de Lorentz.
Dados dois campos Cμ e Dv quadrivetores, podemos definir as componentes de um tensor a
partir dos produtos das componentes desses quadrivetores. Por exemplo, podemos definir um
novo campo tensorial Tμv, de modo que suas componentes são produtos das componentes dos
quadrivetores já referidos:
Tμv(x) = Cμ (x)Dv(x)
Um tensor mais geral, de segunda ordem, contém 16 componentes.
( 33 )
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10
A partir das propriedades de transformação de C e D temos, sob uma transformação de Lorentz,
′ ( ∆x )
Tµ′v → Tµv ( x ) = Λ µα Λ βµTαβ
( 34 )
(
)
Considerando-se os produtos de componentes, podemos formar tensores simétricos TµSv = TvSµ ,
contendo 10 componentes:
TµSv ( x ) = Cµ ( x ) Dv ( x ) + Dµ ( x ) Cv ( x )
(
( 35 )
)
ou tensores antissimétricos TµAv = −TvµA , contendo 6 componentes independentes:
TµAv ( x ) = Cµ ( x ) Dv ( x ) − Dµ ( x ) Cv ( x )
( 36 )
O tensor de posto 2 relevante no eletromagnetismo é 2 definido a partir das derivadas dos potenciais:
Fµν ≡ ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
( 37 )
As componentes de Fμv, ditas na diagonal, são nulas:
Fμμ = 0
( 38 )
Claramente, este tensor é antissimétrico. Ou seja
Fμv = − Fvμ
( 39 )
Lembramos, para o bom entendimento do que vem a seguir, que os operadores ∂μ e ∂μ se transformam como quadrivetores de Lorentz, cujas componentes (covariantes e contravariantes) são
dadas pelas expressões:
1 ∂  
∂µ ≡ 
,∇
 c ∂t 
1 ∂  
∂µ ≡ 
, −∇  = gµv ∂ v
∂
c
t


( 40 )
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
11
Assim, a partir da definição do quadripotencial, obtemos um tensor com apenas seis componentes
independentes, a saber:
∂Ax ∂V
+
= − Ex
∂t
∂x
∂A ∂V
= −Ey
F02 = − F20 = y +
∂t
∂y
∂A ∂V
F03 = − F30 = z +
= − Ez
∂t
∂z
∂cAy ∂cAx
 ∂A ∂A 
F12 = − F12 = −
+
= c  − y + x  = −cBz
∂x
∂y
∂y 
 ∂x
∂cAz ∂cAx
 ∂A ∂A 
+
= c  − z + x  = cBy
F13 = − F31 = −
∂x
∂z
∂z 
 ∂x
F01 = − F10 =
F23 = − F32 = −
 ∂A ∂A
∂cAz ∂cAx
+
= c− z + y
∂x
∂z
∂z
 ∂y
( 41 )

 = −cBx

Concluímos que as componentes dos campos elétrico e magnético são componentes desse tensor,
e isso porque, pela definição (000), vemos que as componentes do tensor Fμv são dadas, em termos
 
das componentes dos campos E e B, de acordo com as componentes do tensor antissimétrico:
− Ex
0
 0

Ex
Fµν = 
 Ey

 Ez
cBz
−cBy
−Ey
−cBz
0
cBx
Ez 

cBy 
−cBx 

0 
( 42 )
Sob uma transformação de Lorentz, as componentes de um tensor se transformam como:
 γ ( β ) −βγ ( β )

−βγ ( β ) γ ( β )
Tµν ( x ) = 
 0
0

0
 0
0
0
1
0
0   γ ( β ) −βγ ( β )
 
0   −βγ ( β ) γ ( β )
0  0
0
 
1 µα  0
0
0
0
1
0
0

0
Tαβ ( x )
0

1 νβ
( 43 )
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
12
Assim, as componentes dos campos elétricos e magnéticos se transformam como:
Ex ( x) = Ex′ (Λx)
Bx = Bx′ (Λx)
E y ( x) = γ ( E ′y (Λx) − vBz′ (Λx) )
B′y ( x) = γ ( B′y (Λx) − vEz′ (Λx) )
Ez ( x) = γ ( Ez′ (Λx) − vB′y (Λx) )
Bz ( x) = γ ( B′(Λx) z − vE ′(Λx) ) y
( 44 )
A partir do tensor fundamental do eletromagnetismo, podemos gerar novos tensores, relevantes
para o eletromagnetismo.
O primeiro deles é o tensor de posto 3, cujos elementos são gerados mediante a derivação das
componentes do tensor campo eletromagnético. Assim, a grandeza
Tµ
σv
( x ) ≡ ∂ µ F σv ( x )
( 45 )
define um novo campo tensorial, agora um tensor de posto 3.
Outra grandeza tensorial, igualmente derivada do tensor fundamental, é o tensor de energia e
momento, o qual é representado pelo símbolo Tμv e definido assim:
1
Tµν ≡ Fµ α Fαν − gµν Fαβ F αβ
2
( 46 )
Ele é relevante na formulação da conservação de energia eletromagnética.
Formulação Covariante das Leis
do Eletromagnetismo
Podemos formular as leis do eletromagnetismo de forma covariante de duas maneiras. A primeira
faz uso dos campos elétricos e magnéticos. Duas dessas leis estabelecem relações entre taxas de
variação de campos e as fontes que os produzem. Consideraremos primeiramente a formulação
que envolve os campos eletromagnéticos. Nesse caso, podemos estabelecer uma distinção entre
equações de Maxwell e duas leis de conservação: a da carga elétrica e a da energia. Consideraremos
primeiramente as equações de Maxwell.
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
13
As duas equações de Maxwell que envolvem fontes podem ser escritas em termos da derivada
do tensor Fμv. Assim, as equações de Maxwell estabelecem que a presença de cargas e correntes,
as quais são representadas pelo quadrivetor Jμ, levam à geração de um campo tensorial Fμv, cujas
taxas de variação se relaciona, de uma forma muito simples, com a quadricorrente:
1
Jν ( x)
cε0
( 47 )
J0 ( x) ρ ( x)
=
cε0
ε0
( 48 )
∂ µ Fµν ( x ) =
A quarta componente da equação acima é:
∂ µ Fµ 0 ( x ) =
Assim, utilizando (000), obtemos:
ρ( x)
∇i E ( x ) =
ε0
( 49 )
As componentes espaciais se escrevem como:
∂ µ Fµi ( x ) =
1
Ji ( x )
cε0
i = 1, 2, 3
( 50 )
E, portanto, de (000), decorre que estas equações são:


 

1 ∂E ( x ) J ( x )
∇ × B ( x) − 2
= 2 = µ0 J ( x )
c
c ε0
∂t
( 51 )
As outras duas equações são escritas em termos de um tensor de posto 3 formado pelas
derivadas do tensor Fμv. As duas outras equações correspondem a equações para a soma de
grandezas tensoriais
∂ µ F σv ( x ) + ∂ σ F vµ ( x ) + ∂ ν F µσ ( x ) = 0
( 52 )
Consideremos, por exemplo, um dos termos da equação acima. Ou seja, tomamos μ = 0, σ = 1 e
v = 2. Nesse caso, temos:
∂F 12 ( x ) ∂ 20
∂
− F ( x ) − F 01 ( x ) = 0
c∂t
∂y
∂x
( 53 )
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
14
De acordo com (000), obtemos da equação acima que
−
∂Bz ∂E y ∂Ex
−
+
=0
∂t
∂x
∂y
( 54 )
Que é a componente z da lei que descreve o fenômeno da indução :
(
 
∇× E
)
z

 ∂B 
= −

 ∂t  z
( 55 )
Assim, as componentes μ = 0, σ e v da equação (000) correspondem às 3 componentes da lei da
indução expressa sob a forma da equação (000). As componentes espaciais μ = i, σ = j e v = k da
equação (000) descreve a ausência de monopolos magnéticos.
O fato é que a equação para os campos elétrico e magnético são equações de primeira ordem
nas variáveis do espaço-tempo.
Finalmente, consideremos as leis de conservação.
A conservação da carga elétrica é formulada pela equação da continuidade. Tendo em vista a
natureza quadrivetor da densidade de corrente, tal equação se escreve, na notação relativística, como:
∂μJμ(x, y, z, t) = 0
( 56 )
Ou seja, num sistema ou no outro, escrevemos:
∂ρ + ∇i J = 0
∂t
∂ρ ' + ∇i J = 0
∂t '
( 57 )
deixando explícito que a carga elétrica se conserva, independentemente do referencial.
Finalmente, chamamos a atenção para o fato de que a conservação da energia e momento
transportados pelos campos eletromagnéticos se escreve como:
∂μTμv(x) = 0
( 58 )
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
15
Covariância em Termos dos Potenciais
Nota-se, da equação (000), que os potenciais escalar e vetor não são univocamente determinados,
e isso porque diferentes potenciais darão lugar aos mesmos campos elétricos e magnéticos. De
fato, de (000) decorre que, se Aμ for um dado quadripotencial, então, a transformação:
Aµ ( x, y, z , t ) → Aµ ( x, y, z , t ) + ∂ µ Φ ( x, y, z , t )
( 59 )
onde Λ é uma função arbitrária do espaço-tempo e leva aos mesmos campos. Ou seja, sob a transformação acima, obtemos:
Fµν → Fµν ≡ ∂ µ ( Aν − ∂ ν Φ ) − ∂ ν ( Aµ − ∂ ν Φ ) = Fµν
( 60 )
Donde se infere que os potenciais não são univocamente determinados. Eles são definidos a
menos de um quadrivetor da forma ∂μΦ.
A uma transformação sob a forma (000) denominamos transformação de Gauge. A invariância dos
campos elétrico e magnético sob uma transformação de Gauge é conhecida como invariância de Gauge.
Tendo em vista a liberdade que temos de escolher os potenciais escalar e vetorial, podemos
sempre escolher esses campos de tal forma que a condição de Lorentz seja satisfeita:
∂μAμ = 0
( 61 )
Note-se que, no caso do gauge de Lorentz ainda temos uma certa liberdade de escolher o campo,
uma vez que, para uma transformação de gauge, ficamos ainda com a liberdade de escolher uma
função Λ de modo que essa função satisfaça a equação:
Φ ( x, y , z , t ) = 0
( 62 )
Isto é, os potenciais escalar e vetor são determinados, com a escolha (000), à exceção de uma
função que satisfaça a equação (000).
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
16
Podemos agora formular a eletrodinâmica, de forma que fique explícita a covariância das equações, a partir do uso dos potenciais em vez dos campos elétrico e magnético. Nesse caso, reduzimos as leis do eletromagnetismo a um conjunto de quatro equações de segunda ordem.
De fato, substituindo o tensor Fμv dado pela expressão (000), na equação (000), obtemos quatro
equações de segunda ordem a derivadas parciais:
∂ µ ∂ µ ( Av ) − ∂ v ( ∂ µ Aµ ) =
Jv
cε0
( 63 )
Como veremos a seguir, podemos sempre fazer uma escolha dos campos Aμ de modo que
satisfaça a condição de Lorentz:
∂μAμ(x, y, z, t) = 0
( 64 )
Com a escolha acima, a equação (000) assume a forma:
 1 ∂2
J v ( x)
µ
v
2 v
∂
∂
(
)
=
−
∇
(
)
A
x
A
x
=
(µ )
 2 2

cε0
 c ∂t

( 65 )
O produto escalar ∂μ∂μ define o operador d’alembertiano:
∂µ∂µ ≡
1 ∂2
− ∇2
2
2
c ∂t
( 66 )
o qual é invariante sob transformações de Lorentz.
Ou seja, para a componente zero, obtemos:
 1 ∂2
ρ( x)
2
 2 2 − ∇  V ( x) =
ε0
 c ∂t

( 67 )
ao passo que, para as componentes espaciais da equação (000), obtemos:



 1 ∂2
J ( x)
2
 2 2 − ∇  A( x) = 2 = µ 0 J ( x)
c ε0
 c ∂t

( 68 )
Lembrando que, por definição:
∂µ∂µ ≡
( 69 )
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
17
onde o operador
é o operador d’alembertiano. Obtemos, assim, que as equações de Maxwell se
reduzem a 4 equações de segunda ordem:
J ν ( x)
A ( x) =
cε0
ν
( 70 )
Posteriormente, analisaremos a natureza das soluções das equações acima.
Campos Elétricos e Magnéticos como Faces da
Mesma Moeda
A Teoria da Relatividade introduz o conceito de relatividade dos campos elétricos e magnéticos.
Ou seja, uma vez que eles estão interligados pelas transformações de Lorentz, eles são tidos como
as duas faces da mesma moeda.
Figura 3: No referencial do ímã existe apenas o campo magnético. No outro, em que se vê o ímã
em movimento, constatamos a existência de dois campos: um magnético e um elétrico.
Consideremos dois referenciais. Um referencial, denominado S', no qual existe um campo


elétrico uniforme E ′ = E0 k , resultante de uma distribuição de cargas elétricas.
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
18
No referencial S, no entanto, observaremos dois campos: o campo elétrico transformado,
Ex ( x) = 0
E y ( x) = 0
( 71 )
Ez ( x) = γE0
e um campo magnético dado pela expressão:
 v 
B = 2 ×E
c
( 72 )
Consideremos agora o caso em que, no referencial S', existe tão somente um campo magnético


uniforme, B0 = B0 k .
De acordo com a teoria da relatividade, no referencial S, teremos um campo magnético, cujas
componentes são:
Bx ( x) = 0
By ( x) = 0
( 73 )
Bz ( x) = γB0
bem como um campo elétrico dado pela expressão:

 
E ( x) = v × B( x)
( 74 )
Se no referencial do laboratório temos um campo magnético uniforme, quando no referencial
dos elétrons, observa-se a existência de dois campos. Essa é a base para se entender o princípio de
funcionamento de um motor elétrico.
Consequentemente, uma partícula experimentará uma força dada por:


 
F = qE = qv × B
que é a expressão da força de Lorentz.
( 75 )
Figura 4
Relatividade » O Eletromagnetismo na notação relativística
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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