TITULO DO TRABALHO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL
PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM FÍSICA
E XCITAÇÕES EM C RISTAIS F OTÔNICOS
U NIDIMENSIONAIS
C ARLOS A LEXANDRE A MARAL A RAÚJO
NATAL - RN
M ARÇO -2012
C ARLOS A LEXANDRE A MARAL A RAÚJO
E XCITAÇÕES EM C RISTAIS F OTÔNICOS
U NIDIMENSIONAIS
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de doutor em Física.
Orientador: Prof. Dr. Manoel Silva Vasconcelos
Co-orientador: Prof. Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque
NATAL - RN
M ARÇO -2012
Para Pessoas Especiais:
À minha família. Especialmente ao meu pai, Luiz
Carlos, e minha mãe, Antonia.
i
A GRADECIMENTOS
À Deus.
Aos meus pais, Luiz Carlos Tavares Costa Araújo e Antonia Amaral Araújo, pela
criação, amor e carinho que sempre me deram, fazendo com que eu me transforma-se num
homem digno e honesto.
À Vera Lúcia Barbosa pela amizade e carinho que tem comigo e com os meus
pais.
À minha namorada, Aline Rodrigues Mendes Vieira, que me deu muito apoio,
amor e carinho, além de ter tido muita paciência nos meus momentos de estresse.
Ao meu orientador, professor Dr. Manoel Silva Vasconcelos, pela orientação,
discussões e, principalmente, por tudo que sempre fez por mim desde a graduação até
hoje.
Ao professor Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque, meu orientador no mestrado
e co-orientador neste trabalho, pela contribuição intelectual, que adquiri nas orientações
e disciplinas ministradas, pela coraboração nos trabalhos da tese e pelos conselhos.
À todos os professores do IFMA, campus São Luís - Monte Castelo, que contribuíram durante a minha graduação.
Aos todos os amigos que fiz no Departamento de Física Teórica e Experimental DFTE.
À todos os professores do DFTE, especialmente aqueles que contribuíram para a
minha formação durante a pós-graduação.
À todos os funcionários deste departamento, especialmente à Celina Pinheiro
pelo zelo e eficiência nos serviços prestados.
À CAPES, CNPq e FAPEMA pelo apoio financeiro.
ii
“A imaginação é mais importante que o conhecimento.
Conhecimento auxilia por fora, mas só o amor socorre por
dentro. Conhecimento vem, mas a sabedoria tarda.”
(Albert Einstein)
iii
R ESUMO
Neste trabalho, apresentamos um estudo teórico da propagação das ondas eletromagnéticas em estruturas de multicamadas denominadas de Cristais Fotônicos. Para este
fim, investigamos os band gaps dos polaritons de fonons em multicamadas periódicas e
quasi-periódica (tipo Fibonacci), compostas por dois materiais com índices de refração
positivo e negativo na região de terahertz (THZ). O comportamento dos band gaps polaritônicos como uma função do período da multicamada é investigado sistematicamente.
Utilizamos um modelo teórico baseado no formalismo da matriz de transferência com o
objetivo de simplificar a álgebra envolvida na obtenção da relação de dispersão dos polaritons de fonons (modos de volume e superfície). Também, apresentamos uma análise
quantitativa dos resultados, apontando para a distribuição das larguras das bandas polaritônicas permitidas para altas gerações de Fibonacci, que nos dá uma boa compreensão
sobre sua localização e leis de potência. Calculamos o espectro de emitância da radiação eletromagnética, na frequência de THz, incidente normalmente e obliquamente (modos polarizados s e p) sobre uma estrutura unidimensional de multicamadas composta
por materiais com índices de refração positivo e negativo organizados periodicamente
e quasi-periodicamente. Modelamos o material com índice de refração negativo por um
meio efetivo cuja permissividade é caracterizada por uma função dielétrica dependente da
frequência do polariton de fonon, enquanto para a permeabilidade magnética temos uma
função tipo Drude dependente da frequência. Semelhante ao cristal fotônico unidimensional, este meio efetivo em camadas, chamado cristal polaritônico, nos permite o controle
da propagação electromagnética, gerando regiões denominadas de bang gaps polaritônicos. Os espectros de emitância são determinados por meio de um modelo teórico bem
conhecido baseado na segunda lei de Kirchoff, juntamente com o formalismo da matriz
de transferência. Nossos resultados mostram que aparecem bang gaps ominidirecionais
no regime de THz, num intervalo bem definido, que são independentes da polarização no
caso periódico bem como no caso quasi-periódico.
iv
A BSTRACT
In this work, we present a theoretical study of the propagation of electromagnetic
waves in multilayer structures called Photonic Crystals. For this purpose, we investigate
the phonon-polariton band gaps in periodic and quasi-periodic (Fibonacci-type) multilayers made up of both positive and negative refractive index materials in the terahertz
(THz) region. The behavior of the polaritonic band gaps as a function of the multilayer
period is investigated systematically. We use a theoretical model based on the formalism
of transfer matrix in order to simplify the algebra involved in obtaining the dispersion relation of phonon-polaritons (bulk and surface modes). We also present a quantitative analysis of the results, pointing out the distribution of the allowed polaritonic bandwidths for
high Fibonacci generations, which gives good insight about their localization and power
laws. We calculate the emittance spectrum of the electromagnetic radiation, in THZ frequency, normally and obliquely incident (s and p polarized modes) on a one-dimensional
multilayer structure composed of positive and negative refractive index materials organized periodically and quasi-periodically. We model the negative refractive index material
by a effective medium whose electric permittivity is characterized by a phonon-polariton
frequency dependent dielectric function, while for the magnetic permeability we have
a Drude like frequency-dependent function. Similarity to the one-dimensional photonic
crystal, this layered effective medium, called polaritonic Crystals, allow us the control
of the electromagnetic propagation, generating regions named polaritonic bandgap. The
emittance spectra are determined by means of a well known theoretical model based on
Kirchoff’s second law, together with a transfer matrix formalism. Our results shows that
the omnidirectional band gaps will appear in the THz regime, in a well defined interval,
that are independent of polarization in periodic case as well as in quasiperiodic case.
v
LISTA DE FIGURAS
2.1
Cristal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
(a) Representação esquemática do experimento da difração de raios X. (b) Figura
de difração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
2.3
Ilustração da lei de Bragg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4
Cristais Fotônicos Naturais. (a) Borboleta, (b) besouro e (c) peixe. . . . . . . . . . . . 11
2.5
Cristal fotônico (a) unidimensional, (b) bidimensional e (c) tridimensional. . . . . . 11
2.6
Fibra óptica com uma rede de Bragg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7
Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face
centrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8
Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede diamante. . . . 15
2.9
Estrutura de bandas de um cristal fotônico com rede cúbica de face centrada invertida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face centrada invertida. . . . . . 16
2.11 Estrutura de bandas do cristal fotônico unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.12 Microscópio baseado no efeito de super lente e um exemplo de imagem de alta
resolução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1
Representação da radiação na óptica geométrica (a) e na óptica ondulatória (b). . . . 30
3.2
Onda plana senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
vi
3.3
Onda num meio dielétrico com perdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1
Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e
negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2
Ñ H
Ñ eS
Ñ em materiais com índice de refração positivo e
Representação do tripleto E,
negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3
Espectro de frequência do gap polaritônico para super-rede periódica. . . . . . . . . 53
4.4
Ampliação da Figura 4.1 para a região 17.34 THzB ω B 26.01 THz e 0.0 B kx dA B 0.25. 54
4.5
Espectro de frequência do gap polaritônico considerando um cristal fotônico quasiperiódico da quarta geração da sequência de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6
Espectro do gap polaritônico contra o vetor de onda adimensional de Bloch QL
para a razão das espessuras dB ~dA
3.90, considerando a quinta geração da super-
rede polaritônica quasi-periódica de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7
Estrutura de banda polaritônica plotada como uma função do vetor de onda no
plano reduzido Kx
4.8
kx L~2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Distribuição das larguras de bandas dos polaritons de fônons, para kx dA
0.5,
como uma função do número da geração n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9
representação log-log da largura total das regiões permitidas ∆ versus o número
de Fibonacci Fn , para três valores diferentes do vetor de onda no plano adimensional kx dA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1
Representação esquemática geométrica da estrutura de multicamadas. As camadas
A e B têm espessuras dA e dB , respectivamente, enquanto L é o tamanho de toda
a estrutura crescida sobre o substrato absorvente de espessura dS . O meio C representa o vácuo. (a) Estrutura periódica. (b) Estrutura quasi-periódica de Fibonacci.
5.2
64
Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e
negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3
Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância
como uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ numa
estrutura periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
vii
5.4
Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância
como uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ na estrutura quasi-periódica de Fibonacci (nona geração). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5
Ampliação da Figura 5.4 na região de frequência 0 @ ω @ 90 THz. . . . . . . . . . . . 71
5.6
Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarização p) do espectro de emitância
como uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ numa
estrutura periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.7
Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarização p) do espectro de emitância
como uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ na estrutura quasi-periódica de Fibonacci (nona geração). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.8
Ampliação da Figura 5.7 na região de frequência 0 @ ω @ 90 THz. . . . . . . . . . . . 74
viii
SUMÁRIO
1
Introdução
1
2
Cristais Fotônicos
7
2.1
Cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Cristal Fotônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
Evolução Histórica no Estudo dos Cristais Fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4
Propriedades dos Cristais Fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5
Algumas Aplicações dos Cristais Fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3
2.5.1
Fibras de Cristais Fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2
Circuitos Fotônicos Integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.3
Modificação da Emissão Espontânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.4
Isoladores Ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.5
Elementos Não-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.6
Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.7
Efeito de Luz Lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Fundamentos de Óptica Ondulatória
3.1
27
Meio Óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ix
3.2
Propagação das Ondas: Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3
Equação da Onda no Vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4
Ondas em Meios Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5
4
5
3.4.1
Índice de Refração do Meio Dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2
Meio Dielétrico com Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de Terahertz 42
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2
Teoria Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3
Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos Quasiperiódicos
6
61
5.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2
Teoria Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3
Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Considerações Finais e Perspectivas
75
Referências bibliográficas
79
Apêndice
98
x
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
“A imaginação da natureza é muito, muito maior do que
a imaginação do homem."
Richard P. Feynman
As principais conquistas da ciência na obtenção de novas tecnologias resultaram
de uma compreensão detalhada das propriedades que os recursos naturais disponíveis no
planeta possuem. A evolução do homem durante a Pré-História, desde a idade da pedra
lascada (período Paleolítico), passando pela idade da pedra polida (período Neolítico) e
pela idade do bronze, até chegar a idade do ferro, é em grande parte uma história de crescente reconhecimento das técnicas e utensílios desenvolvidos pelo homem em cada uma
dessas épocas, associados, também, à novas formas de produção. Nossos antepassados
construíam suas ferramentas a partir dos conhecimentos que tinham acerca dos materiais encontrados na natureza, como, por exemplo, a durabilidade que a pedra possuia e a
dureza que o ferro apresentava. Em cada caso, eles aprenderam a extrair os materiais da
Terra para transformá-los em objetos capazes de melhorar as suas condições de vida.
Muito tempo depois, os cientistas começaram a fazer mais do que simplesmente
melhorar o que a Terra nos fornece na forma bruta. Ao mexer com os materiais existentes,
eles produziam substâncias com propriedades ainda mais desejáveis, evoluindo do brilho
das primeiras ligas de bronze para a confiabilidade do aço e do concreto moderno. Hoje,
1
Capítulo 1. Introdução
2
contamos com uma coleção de materiais totalmente artificiais com uma gama enorme
de propriedades mecânicas, graças aos avanços em pesquisas científicas que refletiram
melhoras substanciais em vários ramos da indústria, onde podemos destacar a metalurgia
e a cerâmica [1].
Desde o século XX, o nosso controle sobre os materiais aumentou tanto que já
podemos manipular suas propriedades elétricas. Os avanços na física de semicondutores
nos permitiram adequar as propriedades de condução de certos materiais, dando início a
revolução do transistor na eletrônica. A partir da utilização de novas ligas e cerâmicas,
cientistas têm desenvolvido, por exemplo, materiais supercondutores a altas temperaturas
e outros materiais exóticos que poderão servir como base para futuras tecnologias.
Nas últimas décadas, surgiu um novo desafio para a ciência: controlar as propriedades ópticas dos materiais. Vários dispositivos tecnológicos, vistos apenas em filmes
de ficção, se tornariam realidade se conseguíssemos desenvolver materiais que respondessem às ondas de luz da seguinte maneira: refletindo-a perfeitamente, em alguns intervalos de frequências, ou confinando-a dentro de um determinado volume. Atualmente,
os cabos de fibra óptica, que simplesmente guiam a luz, estão revolucionando a indústria
de telecomunicações. Além disso, com o desenvolvimento de novos materiais ópticos,
teríamos muitos avanços na fabricação de lasers, na computação de alta velocidade e no
campo da espectroscopia, só para citar alguns exemplos de áreas que seriam diretamente
beneficiadas.
A discussão feita até aqui suscita o seguinte questionamento: que tipo de material
pode nos proporcionar o controle completo sobre a propagação da luz? A resposta dessa
pergunta é o objeto de estudo desta tese. Faremos uma abordagem teórica de um dispositivo óptico capaz de controlar a propagação da radiação eletromagnética. Esse disposito
é conhecido na literatura como Cristal Fotônico. Ele tem o comportamento análogo ao
controle que o cristal eletrônico impõem ao movimento dos elétrons. O cristal fotônico
é uma estrutura que apresenta uma periodicidade bem definida no índice de refração,
podendo ser unidimensional, bidimensional e tridimensional. De modo análogo ao que
ocorre num semicondutor é formada uma estrutura de bandas devido à periodicidade do
índice de refração.
Além de investigar o comportamento da radiação eletromagnética em estruturas
fotônicas periódicas, vamos estudar um modelo cuja estrutura do cristal apresenta uma
quasi-periodicidade no índice de refração, dando origem a um “Quasi-Cristal Fotônico ”.
Capítulo 1. Introdução
3
Ele consiste em dois ou mais materiais dielétricos dispostos num padrão quasi-periódico
com simetria não cristalográfica [2]. Recentemente, tem sido demonstrado que estruturas
qiasi-cristalinas são promissoras na construção de materiais que possuem band gaps fotônicos [3–6].
Um quasi-cristal é um material que exibe ordem de longo alcance num experimento de difração, mas não tem periodicidade translacional. Os quasi-cristais foram
descobertos por Dan Shechtman em 1984 [7], que ganhou o Prêmio Nobel em Química
de 2011 por esse trabalho. O pressuposto de que um cristal deve ser periódico nas três
dimensões já tinha sido contestada pela descoberta de estruturas moduladas incomensuráveis. Elas são estruturas cristalinas sujeitas a distorções periódicas com um período que
é incompatível com o da rede subjacente. Ao contrário de quasi-cristais, estas estruturas
podem, no entanto, ser consideradas como distorções de estruturas periódicas, e o seu
grupo de pontos de simetria permitir periodicidade nas três dimensões. Em vez de periodicidade translacional, quasi-cristais exibem outra propriedade de simetria intrigante,
isto é, auto-similaridade por escala. Em quasi-cristais icosaédricos e decagonais, a autosimilaridade está relacionada com as propriedades de escala da razão áurea τ
ˆ
º
5 1~2.
Nosso modelo de quasi-cristal fotônico é obtido a partir da justaposição de dois
meios ópticos, com índices de refração diferentes, seguindo a sequência quasi-periódica
de Fibonacci que é gerada a partir de regras substitucionais. Ela tem sido estudada em
várias áreas, incluindo-se a Matemática, Ciência da Computação, Criptografia e, mais recentemente, na Física. A sequência de Fibonacci é talvez a mais antiga de todos que conhecemos. Ela foi formulada em 1202 pelo italiano Leonardo de Pisa (que era conhecido
como Fibonacci, que em latin significa “filho de Bonacci ”) [8], para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Está sequência dá origem a uma série infinita de
números que obedecem uma certa relação de recorrência, e cuja razão, entre um número
da série e seu antecessor, conduz à mesma razão áurea verificada nos quasi-cristais.
A estrutura de Fibonacci, que utilizamos nas simulações numéricas, pode ser
crescida experimentalmente pela superposição de dois blocos de construção A e B, de
modo que o n-ésimo estágio da super-rede Sn é dado iterativamente pela regra de recorrência Sn
Sn1 Sn2 , sendo n C 2, com S0
é invariante sob as transformações A
bonacci são:
B e S1
AB e B
A. A estrutura de Fibonacci também
A. As gerações da super-rede de Fi-
Capítulo 1. Introdução
S0
4
B ,
S1
A,
AB ,
S2
S3
ABA,
etc.
(1.1)
O número de blocos de construção desta estrutura aumenta de acordo com o número de
Fibonacci, cuja relação de recorrência é:
Fl
com F0
F1
(1.2)
F l 1 F l 2 ,
1. A razão entre o número de blocos de construção A, e o número de
blocos de construção B, tende para o chamado golden mean number (razão áurea), quando
o número de gerações tende para o infinito. Isto pode ser provado facilmente da seguinte
maneira: seja
F l 1
,
F l 2
τl
(1.3)
a razão entre o número de blocos A e B, na l-ésima geração da sequência de blocos.
Fazendo l
como τl1
l 1 na Eq. (1.2), e substituindo na Eq. (1.3), teremos:
τl
1
τl
1
F l 3
,
F l 2
(1.4)
Fl2 ~Fl3 , temos que
Tomando o limite de l
ª
1
τ l 1
(1.5)
,
na Eq. (1.5) (que equivale a fazer τl
τ l 1
τ ), encontraremos
a seguinte equação,
τ
que tem como uma das soluções τ
1
2 ˆ1
1 τ 1
º
(1.6)
5. Assim, encontramos a razão áurea no
Capítulo 1. Introdução
5
nosso modelo de quasi-cristal fotônico. Daqui pra frente, vamos utilizar o termo cristal
fotônico tanto para as estruturas periódicas quanto para as estruturas quasi-periódicas de
Fibonacci.
Esta tese está estruturada em seis capítulos. Este primeiro buscou apresentar,
brevemente, a evolução histórica das ações humanas no que diz respeito à manipulação
dos recursos naturais, desde a pré-história até os dias atuais, com o objetivo de atender
suas necessidades em cada período histórico. Também, fizemos uma breve descrição sobre os cristais fotônicos, os quasi-cristais e a sequência quasi-periódica de Fibonacci. No
segundo capítulo, apresentamos um estudo comparativo entre o cristal eletrônico, que
possui uma teoria bem consolidada, e o cristal fotônico. Em seguida, apresentaremos
a evolução histórica no estudo dos cristais fotônicos, suas propriedades e algumas aplicações tecnológicas.
Também, apresentaremos, no terceiro capítulo, os fundamentos da Óptica Ondulatória que norteia a propagação da luz no vácuo e em meios materiais. Aqui, definiremos
o que é um meio óptico, apresentaremos as equações de Maxwell, que descrevem o comportamento dos campos eletromagnéticos na propagação da luz.
No quarto capítulo, investigaremos os band gaps dos polaritons de fonons em
multicamadas periódicas e quasi-periódicas (tipo Fibonacci) compostas por materiais com
índice de refração positivo (SiO2 ) e índice de refração negativo (metamaterial) na região
de terahertz (THz). O comportamento dos band gaps polaritônicos como uma função do
período da multicamada será investigado sistematicamente. Utilizaremos um modelo
teórico baseado no formalismo da matriz-transferência com o objetivo de simplificar a álgebra envolvida na determinação da relação de dispersão dos polaritons de fonons (modos de volume e superfície). Também, apresentaremos uma análise quantitativa dos resultados, apontando para a distribuição das larguras de bandas polaritônicas de energia
permitida para altas gerações de Fibonacci, que nos dará uma boa noção sobre sua localização e leis de potência.
No quinto capítulo, iremos calcular o espectro de emitância da radiação eletromagnética, na frequência de THz, que incidirá normalmente e obliquamente (com polarizações s e p) sobre uma estrutura unidimensional de multicamadas, composta por materiais com índice de refração positivo (SiO2 ) e índice de refração negativo (metamaterial
polaritônico LiTaO3 ), organizada periodicamente e quasi-periodicamente tipo Fibonacci.
Vamos modelar o material com índice de refração negativo por um meio efetivo cuja
Capítulo 1. Introdução
6
permissividade elétrica ˆω  é caracterizada por uma função dielétrica dependente das
frequências dos polaritons de fonons, enquanto para a permeabilidade magnética µˆω 
temos uma função dependente da frequência tipo Drude. Da mesma forma que um cristal
fotônico unidimensional, este meio efetivo em camadas, chamado cristal polaritônico, nos
permitem o controle da propagação eletromagnética, gerando regiões denominadas de
band gaps polaritônicos. Os espectros de emitância serão determinados por meio de um
modelo teórico bem conhecido baseado na segunda lei de Kirchoff, combinado com o formalismo da matriz-transferência. Por fim, no sexto capítulo, faremos as considerações
finais e apresentaremos algumas sugestões de possíveis extensões deste trabalho.
CAPÍTULO 2
CRISTAIS FOTÔNICOS
“Os primeiros cristais fotônicos não foram projetados
nem fabricados num laboratório, eles evoluíram durante
milhões de anos na natureza."
Stefan F. Preble
Nas últimas décadas, a Física procura encontrar uma resposta para a seguinte
questão: que tipo de material pode proporcionar o controle completo sobre a propagação
da luz? Para solucionar esse problema vários pesquisadores têm feito analogias com os
estudos, bem sucedidos, sobre os materiais eletrônicos. Esses estudos descrevem o comportamento dos elétrons dentro dos sólidos cristalinos. Porém, antes de entender essa
dinâmica deve-se compreender o que é um cristal.
2.1
Cristal
Cristal é um material cujos componentes que o compõem (átomos, íons ou moléculas) são arranjados em um padrão que repete-se periodicamente (Figura 2.1), estendendose em uma, duas ou três dimensões. O padrão da repetição dos constituintes do cristal
7
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
8
no espaço é denominado de rede cristalina. A primeira indicação da periodicidade dos
cristais foi descoberta pelos mineralogistas no final do século XIX. Eles identificaram que
os índices que definem as orientações das faces de um cristal são números inteiros [9].
Esta conclusão foi confirmada, posteriormente, pela descoberta da difração de raios X
pelos cristais.
Figura 2.1: Cristal.
No início do século XX, os estudos e pesquisas da Física do Estado Sólido (posteriormente denominada de Física da Matéria Condensada) foram impulsionados pela
formulação de uma teoria, que explicava a difração de raios X por uma arranjo periódico
(Figura 2.2), pelo físico alemão Max von Laue (1879 – 1960). As primeiras experiências
dessa teoria foram realizadas por dois alunos de Laue, Walter Friedrich (1883-1968) e Paul
Knipping (1883-1935).
Logo depois, o britânico Willian Henry Bragg (1862-1942) e seu filho William
Lawrence Bragg (1890-1971), nascido na Austrália, demonstraram uma relação matemática
que estabelece a condição para que ocorra interferência construtiva entre as ondas espalhadas pelos pontos da rede cristalina. Essa relação passou a ser conhecida como lei de
Bragg, fundamental para o estudo de estruturas cristalinas com o uso da difração de raios
X.
Os raios X são apropriados para o estudo da difração em cristais, porque possuem um comprimento de onda da mesma ordem que a distância entre os átomos de um
cristal. Também, pode-se estudar difração na rede cristalina de um material com feixes
de nêutrons e elétrons, porém os seus resultados são mais complicados de interpretar em
comparação com a difração de raios X, além de serem mais difíceis de executar.
Considerando uma família de planos paralelos separados por uma distância d
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
9
(a)
(b)
Figura 2.2: (a) Representação esquemática do experimento da difração de raios X. (b) Figura de
difração.
(Figura 2.3), a diferença de percurso entre os raios refletidos por planos vizinhos é 2d sin θ,
onde θ é o ângulo de incidência. Os raios refletidos pelos diferentes planos interferem
construtivamente quando a diferença de percurso é igual a um número inteiro n de comprimentos de onda λ, ou seja, quando
2d sin θ
nλ.
(2.1)
A lei de Bragg é satisfeita apenas para comprimentos de onda λ B 2d. Embora a reflexão
de cada plano seja especular, apenas para alguns valores de θ as reflexões de todos os
planos paralelos se somam em fase para formar um feixe difratado intenso. Essa lei é
consequência da periodicidade da rede cristalina.
O cristal apresenta um potencial periódico que impõem restrições a propagação
do elétron através dele. Assim, os constituintes do cristal e a geometria da rede determinam as propriedades de condução do cristal.
A teoria da Mecânica Quântica em um potencial periódico explica o que já foi
um grande mistério para a Física: na condução em um cristal, por que os elétrons se
propagam como um gás difuso de partículas livres? Como os elétrons evitam serem espalhados pelos constituintes da rede cristalina? A resposta é que os elétrons se propagam
como ondas, e as ondas que satisfazem determinados critérios podem viajar através do
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
10
Figura 2.3: Ilustração da lei de Bragg.
potencial periódico da rede sem sofrer dispersão (embora eles sejam espalhados por defeitos e impurezas).
No entanto, a rede também pode proibir a propagação de certas ondas. Pode
haver gaps na estrutura de bandas de energia do cristal, o que significa que os elétrons
estão proibidos de se propagar com certas energias em determinadas direções. Se o potencial da rede é suficientemente forte, o gap pode estender-se cobrindo todas as direções
possíveis de propagação, resultando em um gap completo na banda. Semicondutores são
exemplos de materiais que apresentam um gap completo entre a banda de valência e a
banda de condução. O análogo óptico é o cristal fotônico, no qual os átomos ou moléculas
são substituídos por meios macroscópicos com diferentes constantes dielétricas .
2.2
Cristal Fotônico
Cristal fotônico é uma estrutura formada por materiais organizados periodicamente com diferentes constantes dielétricas, conduzindo a diferentes índices de refração
η
º
µ, onde µ é a permissividade magnética do meio. Os primeiros cristais fotônicos não
foram projetados, nem fabricados em um laboratório, mas evoluíram durante milhões de
anos na natureza [10]. Eles criam, por exemplo, as belas cores em borboletas. Para entender melhor as propriedades ópticas dessas borboletas, Pete Vukusic e Ian Hooper usaram
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
11
a microscopia eletrônica [11]. Suas imagens revelam que as asas dessa borboleta contêm uma intricada estrutura nanométrica de cristais fotônicos naturais. Uma variedade
surpreendente de estruturas fotônicas naturais estão sendo descobertas não apenas nas
borboletas, mas também em outros insetos, pássaros e peixes (Figura 2.4).
(a)
(b)
(c)
Figura 2.4: Cristais Fotônicos Naturais. (a) Borboleta, (b) besouro e (c) peixe.
Cristais Fotônicos representam uma nova classe de meios ópticos, representados
por estruturas naturais e artificiais com modulação periódica do índice de refração. Esses
meios ópticos têm algumas propriedades peculiares que proporcionam inúmeras aplicações tecnológicas. Dependendo da geometria da estrutura, os cristais fotônicos podem
ser divididos em três grandes categorias: unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais (Figura 2.5).
Figura 2.5: Cristal fotônico (a) unidimensional, (b) bidimensional e (c) tridimensional.
Nos cristais fotônicos unidimensionais há modulação periódica da permissividade elétrica apenas em uma direção, enquanto nas outras duas direções da estrutura
ela é uniforme. Como exemplo deste tipo de cristal fotônico temos a rede (ou grade) de
Bragg (Figura 2.6), que é muito utilizada para modular o índice de refração ao longo do
comprimento de uma fibra óptica [12]. Quando a luz, que está dentro da fibra, entra em
contato com a rede de Bragg, parte da radiação é refletida e parte é transmitida. A parte
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
12
refletida corresponde as ondas que têm comprimento de onda correspondente ao comprimento de onda da rede de Bragg. Além disso, essas estruturas podem ser utilizadas
para diminuir drasticamente a reflectância de superfícies, visando melhorar a qualidade
de lentes [13], prismas [14] e outros dispositivos ópticos.
Figura 2.6: Fibra óptica com uma rede de Bragg.
Cristais fotônicos bidimensionais podem ter, comparativamente com os unidimensionais, grande variedade de configurações, porque possuem periodicidade da permissividade ao longo de duas direções, enquanto a terceira direção do meio é uniforme.
Um bom exemplo de cristal fotônico bidimensional é o silício poroso, com poros periodicamente organizados, que é representado por um substrato de silício perfurado. Outro
exemplo é um sistema de hastes dielétricas organizados periodicamente no ar. Também,
podemos encontrar exemplos de cristais fotônicos bidimensionais na natureza. O padrão
na asa da borboleta e seu jogo de arco-íris são causados pela reflexão da luz da microestrutura bidimensional sobre a asa.
Estruturas fotônicas tridimensionais têm modulação da permissividade ao longo
de todas as três direções. Nesses cristais, o número de configurações possíveis é maior que
nas estruturas anteriores. Muitos trabalhos científicos dedicam-se ao projeto de novas
configurações geométricas, com o objetivo de ampliar as possíveis aplicações. O cristal
fotônico tridimensional mais conhecido, formado naturalmente, é a pedra preciosa opala.
Esta pedra possui propriedades ópticas únicas. Quando giramos a pedra na presença da
luz, ela exibe uma variedade de cores. Devido a esse comportamento, os povos antigos
acreditavam que a opala possuía alguns poderes mágicos. No entanto, sabe-se que todas
essas peculiaridades são causadas pela microestrutura da opala. Ela é constituída por
uma série de micro-esferas colocadas nos vértices de uma rede cúbica de face centrada. A
reflectância nessa estrutura depende fortemente do ângulo de incidência da radiação.
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
2.3
13
Evolução Histórica no Estudo dos Cristais Fotônicos
Apesar dos cristais fotônicos terem chamado atenção apenas nas últimas décadas
do século XX, o primeiro estudo relacionado a possibilidade de controlar a propagação da
luz, utilizando uma estrutura periódica, foi publicado em 1887 [15]. Nesse trabalho, Lord
Rayleigh (1842 – 1919) investigou a propagação de ondas eletromagnéticas num mineral
cristalino que possui planos periódicos. Esses planos organizam-se numa estrutura unidimensional, que proíbem a propagação das ondas, causando um estreito gap na estrutura
de bandas (band gaps). Esse gap depende do ângulo devido à diferentes periodicidades
experimentadas pela luz em uma incidência não-normal. Isso resulta numa variedade de
cores refletida pelo material, uma para cada ângulo de incidência. Um efeito similar é
responsável pelas cores iridescentes que aparecem na natureza.
Quase cem anos depois, em 1972, Bykov [16] publicou um artigo descrevendo
a possibilidade de utilizar estruturas periódicas para o controle da emissão espontânea.
No entanto, os primeiros trabalhos que contribuíram efetivamente para o progresso das
pesquisas em cristais fotônicos foram os de Yablonovitch [17] e John [18] em 1987. Esses
trabalhos dedicaram-se as possibilidades de modificação da emissão espontânea e controle da propagação da radiação usando estruturas periódicas bidimensionais e tridimensionais. Esta generalização que inspirou o nome Cristal Fotônico. Eles foram os pioneiros
na utilização de ferramentas do Eletromagnetismo Clássico e da Física do Estado Sólido
no estudo dessas estruturas. Após a publicação desses artigos, o número de trabalhos
dedicados a física e tecnologia dos cristais fotônicos aumentou consideravelmente.
Em 1990, Ho, Chan e Soukoulis [19] obtiveram a estrutura de bandas de um
cristal fotônico com rede cúbica de face centrada (estrutura opala), que consistia de esferas dielétricas com alto índice de refração colocadas no ar. Exemplo da estrutura de
bandas desse cristal fotônico, calculada pelo método de expansão de ondas planas (Plane
Wave Expansion-PWE), é mostrada na Figura 2.7.
Como pode ser visto a partir da Figura 2.7, a primeira banda encontra-se dentro
da faixa de frequência relativa de 0 0.8 (em unidades de 2πc/a, onde a é o parâmetro
de rede do cristal e c é a velocidade da luz). A segunda coincide com a primeira banda
nas seções do vetor de onda Γ L e Γ X, nos intervalos de frequência 0 0.7 e 0 0.79,
respectivamente. Além disso, dentro de todas as faixas de frequência investigadas há pelo
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
14
menos um auto-estado contribuindo para a inexistência de gaps fotônicos completos. Por
exemplo, no ponto Γ a auto-frequência é igual a zero. Na faixa do vetor de onda Γ L a
auto-frequência cresce suavemente de 0 0.8.
A existência de auto-estados em cada ponto dessa faixa de frequência confirma a
ausência de gap fotônico completo. Além disso, parece que os cristais fotônicos com esse
tipo de rede não apresentam gap completo para quaisquer valores dos índices de refração.
Entretanto, considerando a estrutura de bandas, pode-se concluir que estes cristais fotônicos têm gaps parciais em algumas direções de propagação (por exemplo, no ponto L no
intervalo de 0.7 0.77 não há auto-frequências). Isso significa que a luz com frequência
nessa faixa e propagando-se nessa direção será refletida. Essa propriedade é responsável
pelo efeito óptico típico de todas as opalas naturais e artificiais.
Figura 2.7: Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face
centrada.
No mesmo trabalho, foi apresentado o resultado do cálculo da estrutura de banda
para o cristal fotônico com rede diamante, feito de esferas dielétrica dispostas no ar. Como
resultado, foi encontrada um gap fotônico completo na estrutura de bandas entre a segunda e terceira banda (veja Figura 2.8).
Em 1992, H.S. Sozuer and J.W. Haus [20] calcularam a estrutura de bandas do
cristal fotônico com rede cúbica de face centrada invertida (também conhecida como opala
invertida) que é apresentada na Figura 2.9. O termo opala invertida significa que ao invés
de esferas dielétricas colocadas no ar, a rede cúbica de face centrada invertida consiste de
um número de cavidades esféricas separadas por defletores com maior índice de refração
(veja Figura 2.10). Verificou-se que essas estruturas têm gap fotônico completo para valores
relativamente altos do índice de refração do material. A estrutura de bandas da opala
invertida (Figura 2.9) tem gap fotônico completo entre a oitava e nona bandas.
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
15
Figura 2.8: Estrutura de bandas de um cristal fotônico tridimensional com rede diamante.
Figura 2.9: Estrutura de bandas de um cristal fotônico com rede cúbica de face centrada invertida.
O surgimento de gaps fotônicos completos em cristais fotônicos com rede cúbica
de face centrada invertida atraiu um interesse especial, porque essas estruturas possibilitariam a produção de cristais fotônicos em larga escala.
Em 1998, a opala invertida artificial foi obtida experimentalmente [21]. O diâmetro
das esferas tinha aproximadamente 1µm, e a distância que as separa muito irrisória fazendo
com que elas quase se toquem. Do ponto de vista tecnológico, é muito mais fácil crescer a
estrutura com esses parâmetros do que com grandes distâncias. Assim, suas posições podem ser facilmente bloqueadas. O índice de refração do material entre as esferas (TiO2 ) é
2.8, que é muito pequeno para formar gap fotônico completo. No entanto, quando a Sílica
é usada, há possibilidade de gap fotônico completo para alguns parâmetros geométricos.
Em 2000, foi obtido o primeiro cristal fotônico tridimensional que apresentava gap
fotônico completo próximo do infra-vermelho [22]. Esse cristal fotônico era constituído
por esferas de silício arranjadas numa rede diamante.
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
16
Figura 2.10: Cristal fotônico tridimensional com rede cúbica de face centrada invertida.
Desde 1987 e até 2005 mais de dez mil obras impressas (livros, artigos, etc) dedicadas aos cristais fotônicos e dispositivos baseados em cristais fotônicos foram publicadas.
No entanto, boa parte desses trabalhos dedicaram-se ao estudo de fibras microestruturadas que possuem propriedades únicas, com a possibilidade de modificar parâmetros e
características dentro de uma larga faixa de frequência, e cristais fotônicos unidimensionais produzidos na forma de lasers com refletores de Bragg distribuídos ou na forma de
fibras com rede (ou grade) de Bragg.
Apesar da tecnologia atual não dispor de muitas técnicas para a produção de
cristais fotônico bidimensionais e tridimensionais, existem muitas possibilidades de aplicações tecnológicas dessas estruturas. Dentre elas destacam-se a modificação da emissão
espontânea, os isoladores ópticos, elementos não-lineares e fibras microestruturadas.
2.4
Propriedades dos Cristais Fotônicos
As propriedades ópticas dos cristais fotônicos são determinadas pela existência
da modulação periódica da permissividade ou do índice de refração do meio. Por isso, os
efeitos observados têm forte analogia com os do estado sólido, isto é, a estrutura fotônica
arranjada periodicamente assemelha-se a dos átomos numa rede cristalina. Tal semelhança possibilita fazer uso das propriedades e métodos de cálculos que aplicam-se na
física do estado sólido.
Dentre as semelhanças entre a física dos cristais fotônicos e a física do estado
sólido destacam-se:
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
17
• Modulação periódica do índice de refração em um cristal fotônico forma uma rede
semelhante a rede atômica do estado sólido.
• Comportamento dos fótons nos cristais fotônicos é semelhante ao comportamento
do par elétron-buraco numa rede atômica.
• A periodicidade da rede de ambos provoca o aparecimento de um gap na estrutura
de bandas (band gaps), ou seja, intervalo de energia inacessível à partícula dentro da
estrutura.
• Do ponto de vista teórico, a determinação das auto-funções num cristal fotônico é
muito semelhante ao cálculo da função de onda de uma partícula no estado sólido.
Essa similaridade é usada para obter a estrutura de bandas fotônica.
No entanto, além da forte similaridade, existem algumas diferenças essenciais.
Uma das principais diferença é a distribuição da energia das partículas. Elétrons obedecem a distribuição de Fermi-Dirac e fótons obedecem a distribuição de Bose-Einstein.
Além disso, elétrons são afetados pelo campo intra-cristalino, que necessariamente deve
ser levado em conta nos cálculos. A forma deste campo intra-cristalino é desconhecida.
Por isso, utilizam-se métodos aproximativos como o método k-p. Fótons não são afetados
pelo campo intra-cristalino. Por esse motivo, o cálculo da distribuição do campo óptico
ou estrutura de bandas fotônica é essencialmente simplificado.
A propriedade mais importante, que determina a aplicação prática dos cristais
fotônicos, é a presença do gap fotônico (photonic band gaps). Esse gap fotônico refere-se a
energia ou intervalo de frequência proibida para a propagação da luz dentro da estrutura.
Quando a radiação incide, com frequência pertencente ao intervalo de valores proibidos
pela estrutura, é completamente refletida. No entanto, se for introduzido um defeito na
estrutura fotônica periódica, temos como resultado um efeito parecido ao apresentado
pelos semicondutores que tem um defeito na sua estrutura cristalina. Isto significa que
novos auto-estados aparecem dentro da região proibida com energias correspondentes as
auto-frequências do defeito. Assim, a radiação irá se propagar dentro da frequência do
defeito, possibilitando sua propagação dentro da estrutura numa região anteriormente
proibida. Quando introduz-se múltiplos defeitos na estrutura a propagação da radiação é
conduzida como um guia de ondas.
Assim, existe uma forte analogia entre a Física dos Cristais Fotônicos e a Física do
Estado Sólido, tanto do ponto de vista teórico quanto do ponto de vista matemático.
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
18
A estrutura de bandas do cristal fotônico é a característica que fornece mais informações acerca de suas propriedades. Ela é representada por um número de auto-estados
ou auto-frequências de uma estrutura periódica infinita.
Auto-frequência também é chamada de frequência de ressonância da estrutura.
Uma vez que o cristal fotônico é uma estrutura periódica infinita, uma série de reflexões de
Fresnel aparecem nas interfaces. Interferência construtiva e destrutiva das ondas provoca
uma transmissão ou reflexão da radiação.
Cada conjunto de auto-estado corresponde a um valor específico do vetor de onda
da radiação. Independente da dimensionalidade do cristal fotônico, a estrutura de bandas
é representada por um gráfico bidimensional. O exemplo de uma estrutura de bandas
para o cristal fotônico unidimensional é dado na Figura 2.11.
Figura 2.11: Estrutura de bandas do cristal fotônico unidimensional.
O significado físico da estrutura de bandas é conectar as propriedades da radiação
com as propriedades do meio óptico onde ocorre a propagação da mesma. Na Figura 2.11
o eixo horizontal corresponde ao vetor de onda da radiação e o eixo vertical representa
as frequências de ressonância do meio. Vamos considerar o caso quando a radiação com
frequência ω1 incide no cristal fotônico. Depois que a radiação penetra na estrutura, ela
possui um valor para o vetor de onda permitido pela estrutura. O valor de cada vetor de
onda pode ser facilmente encontrado a partir da estrutura de bandas. Verifica-se a partir
da Figura 2.11 que o vetor de onda com valor k1 corresponde à frequência da radiação ω1 .
Possuindo esse vetor de onda, a radiação propaga-se dentro da estrutura.
Agora, vamos considerar outro caso. Se a radiação tem frequência ω2 , o vetor de
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
19
onda correspondente não pertence ao intervalo cujos valores são reais. Ela possui um
vetor de onda imaginário k2 . A parte imaginária do vetor de onda corresponde a uma
atenuação da radiação ou o seu aumento. No caso da figura Figura 2.11, k2 corresponde a
uma atenuação. A radiação com frequência pertencente a este intervalo será refletida pela
estrutura. No entanto, uma vez que a atenuação tem uma valor finito, antes de sofrer a
reflexão a radiação penetra um pouco na estrutura.
Esses dois casos contêm princípios básicos da análise da estrutura de bandas
fotônica, ou seja, o meio periódico em questão apresenta intervalos de frequência permitidos e proibidos. A radiação propaga-se dentro da estrutura apenas para valores de
frequência pertencente ao intervalo permitido. Caso contrário, será refletida. As faixas de
frequência proibidas são usualmente denominadas de gaps fotônicos. Se a radiação possui
frequência permitida, ela assume valor do vetor de onda que pode ser encontrado a partir
da estrutura de bandas.
2.5
Algumas Aplicações dos Cristais Fotônicos
Os cristais fotônicos são ferramentas poderosas para a manipulação de ondas
eletromagnéticas. Dentre suas aplicações tecnológicas destacam-se: as fibras de cristais
fotônicos, os circuitos fotônicos integrados, a modificação da emissão espontânea, os isoladores ópticos, os elementos não-lineares, a dispersão e efeito de luz lenta (slow light
effect).
2.5.1
Fibras de Cristais Fotônicos
Uma das aplicações mais pesquisadas é a fibra de cristal fotônico, que é uma nova
classe de guias de ondas ópticos. Sabe-se que as fibras ópticas desempenham um papel
importante na comunicação moderna. Uma fibra óptica tradicional consiste em um núcleo
central e um revestimento que o envolve. A luz é guiada no núcleo ao longo da fibra óptica
por reflexão interna total, pois o índice de refração do núcleo é maior do que o índice de
refração do revestimento. A fibra de cristal fotônico tem um núcleo e um revestimento
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
20
como na fibra óptica convencional, e é constituída de uma estrutura dielétrica periódica
bidimensional perpendicular ao seu eixo. Essas fibras podem ser divididas em dois tipos.
Uma delas é a fibra microestruturada com índice guiado relatada pela primeira vez por
Knight, et al [23]. Fibras de cristal fotônico com índice guiado são similares as fibras
ópticas convencionais porque o índice de refração efetivo do núcleo é maior do que o
índice de refração efetivo do revestimento. Elas podem ter uma constante dielétrica entre
o núcleo e o revestimento muito maior que nas fibras ópticas convencionais levando a uma
grande força de confinamento óptico. Também, são úteis para reforçar efeitos não-lineares
criando fenômenos de dispersão incomuns [1]. Além disso, é importante que essas fibras
permaneçam com modo único para comprimentos de fibra suficientemente grandes. Essa
capacidade é conhecida como modo infinitamente único [24].
O outro tipo são as fibras com gap fotônico relatadas por Knight [25] e Cregan [26].
Elas são diferentes das fibras ópticas tradicionais. O núcleo é preenchido pelo ar e o índice
de refração efetivo do revestimento é maior do que o do ar. Assim, a orientação da luz é
explicada pelos fenômenos associados ao gap fotônico em detrimento da reflexão interna
total. Isso minimiza os efeitos de perda, as não-linearidades indesejadas e quaisquer outras propriedades indesejáveis do material [1].
Fibras de cristais fotônicos podem ser superiores às fibras clássicas porque elas
podem ter menos atenuação, transmitir a luz com potência óptica muito maior, terem
menores perdas e podem ser usadas em um número crescente de aplicações em diversas
áreas [27].
2.5.2
Circuitos Fotônicos Integrados
Um dos grandes desafios da Física do século XXI é viabilizar a construção de Circuitos Fotônicos Integrados. Sabe-se que circuitos integrados são feitos de transistores e
de linhas de transmissão de elétrons. Nesses circuitos a informação é transferida pelos
elétrons entre os transistores com linhas de transmissão. No circuito integrado fotônico,
informações serão transferidas pelos fótons em vez de elétrons. No entanto, existem algumas dificuldades para os circuitos fotônicos integrados. O primeiro problema na sua
construção é conseguir guiar ondas eletromagnéticas sem perdas. Alta transmissão de
ondas eletromagnéticas através de curvas apertadas foi demonstrada teoricamente por
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
21
Mekis [28] e experimentalmente por Lin [29]. Uma vez que as linhas de transmissão têm
ramos (ou divisores) nos circuitos integrados, os guias de ondas também terão ramos
nos circuitos fotônicos integrados. Um ramo para esse tipo de circuito foi simulado por
Fan [30] e outro foi realizado experimentalmente por Lin [31].
O segundo problema no caminho de uma realização prática é desenvolver transistores ópticos (ou fotônicos). Um transistor completamente óptico foi demonstrado teoricamente por Yanik [32] com cristais fotônicos não-lineares. Um interruptor óptico biestável,
equivalente à ação de um transistor óptico, foi demonstrado experimentalmente por Notomi [33]. No entanto, a combinação de tudo isso com baixo consumo de energia e alta
velocidade ainda é difícil para os circuitos fotônicos integrados.
2.5.3
Modificação da Emissão Espontânea
A modificação da emissão espontânea foi a primeira aplicação dos cristais fotônicos [17–22]. Por isso, ela está diretamente relacionada a origem desse cristal e desempenha
papel importante no desenvolvimento de fontes de luz. Por exemplo, cristais fotônicos
podem ser usados para aumentar a eficiência e diminuir o atual limite dos lasers semicondutores. Eles, também, podem desempenhar uma função de refletor distribuído [34–38].
A segunda maneira de utilizar o cristal fotônico, como elemento para a modificação de radiação espontânea, é na concepção de novas fontes de radiação, principalmente. Em tais fontes, tanto cristais fotônicos puros quanto com defeitos, que formam
ressonadores de alta qualidade e provocam forte localização da radiação dentro do defeito, podem ser usados para modificar a radiação espontânea e melhorar as características dos lasers [39–45]. Dependendo do tipo de cristal fotônico a ser utilizado (com ou
sem defeito), a fonte pode ser monocromática ou policromática, ou seja, laser ou diodos
emissores de luz [46–55].
2.5.4
Isoladores Ópticos
A utilização dos cristais fotônicos como um isolador óptico, em via de regra, é
reduzida. Ela restringe-se a possibilidade de localizar a radiação no interior do defeito
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
22
da estrutura periódica. Com isso, o comprimento de onda da radiação deve situar-se
dentro do gap fotônico da estrutura. Os principais dispositivos que podem ser desenvolvidos com tal propriedade são as microcavidades [56–59], os guias de ondas [60–66],
os divisores [67–71], os engates [72–78] e os combinadores [79–81]. A principal função dos
microressonadores é baseada na possibilidade do cristal fotônico localizar a radiação no
interior da área com defeito da estrutura periódica. De fato, o defeito pode ser representado pela mudança, variação de parâmetros ou ausência de alguns elementos ou grupo
de elementos.
Guias de ondas de cristais fotônicos são representados pelos chamados defeitos
lineares da estrutura periódica. Tais defeitos, possuem propriedades de guiamento dentro
de um vasto intervalo de comprimento de onda. Uma das propriedades únicas desses
guias de ondas é a possibilidade de formar curvas muito acentuadas sob ângulos de até
90X [82–86] e ainda maiores [87–89]. Diferente do guia de onda planar, cujo princípio se
baseia na reflexão interna total, o guia de onda de cristal fotônico localiza a luz devido à
presença de gaps fotônicos completos. Assim, guia de onda com base no defeito linear da
estrutura tem uma maior eficiência e é mais compacto que o guia de onda planar.
Divisores representam uma classe de dispositivos ópticos que permitem a divisão
da potência óptica na proporção determinada ou dividindo-a em feixes polarizados [90–
93]. O divisor baseado em cristal fotônico pode ser representado por um número de guias
de ondas ópticos conectados em um único ponto. Neste caso, a potência passando do
guia de onda de entrada é divida no ponto de conexão. Outro tipo de divisor baseia-se no
acoplamento de guias de ondas paralelas com a distância entre guias reduzida [94–96]. A
radiação de um guia de ondas move-se suavemente do guia de ondas de entrada para o
de saída. Variando parâmetros do guia de ondas, pode-se facilmente variar uma porção
da potência a ser transmitida pelo guia de ondas de saída.
2.5.5
Elementos Não-Lineares
A introdução de materiais não-lineares dentro da estrutura periódica pode causar
o aparecimento de efeitos interessantes e até mesmo inesperados [97–102]. Materiais nãolineares mudam seu índice de refração quando são percorridos por radiação de alta intensidade. Essa variação no índice de refração pode causar modificações essenciais nas carac-
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
23
terísticas dos dispositivos baseados em estruturas não-lineares. Essas possibilidades dão
origem a uma nova classe de dispositivos ópticos, tais como elementos de armazenamento
de informações óptico [103–107], elementos lógicos [108–111] e limitadores de potência
óptica [112–114]. Solitons ópticos discretos [115–117] dentro do cristal fotônico não-linear
podem ser utilizados para armazenar informação. Esses solitons, controlados pela radiação, permitem implementar a informação escrita e a leitura. Um princípio do elemento
lógico óptico está baseado no fato que a potência de um único sinal óptico não é suficiente para mudar, essencialmente, as propriedades da estrutura. Porém, quando dois
sinais incidem na estrutura não-linear, a variação no índice de refração aparece tal que as
propriedades ópticas do cristal fotônico como um todo são alteradas, bem como a transmitância e a reflectância, particularmente.
Limitadores de potência óptico podem ser usados para evitar danos em sensores
ópticos devido à radiação de alta intensidade. Também, são utilizados na normalização
da intensidade de fontes na entrada de circuitos ópticos. O seu princípio consiste no
crescimento da reflectância da estrutura de cristal fotônico não-linear com a intensidade
da radiação. Com isso, a intensidade de saída permanece constante.
2.5.6
Dispersão
A inusitada propriedade de dispersão dos cristais fotônicos [118,119] permite que
eles sejam utilizados como super-primas [120–124], super-lentes [125–129], multiplexadores e desmultiplexadores [130–134].
A luz policromática quando incide na superfície de um prisma, formando um ângulo com a normal à superfície, é dispersada por ele, isto é, raios de luz de comprimentos
de onda diferentes propagam-se em diferentes ângulos dentro do prisma. A divisão da
luz por um prismas convencional baseia-se na dispersão do material. Tendo em vista que
as mudanças do índice de refração com comprimento de onda são muito fracas em materiais transparentes, a possibilidade de dispersão em revestimento de multicamadas é
limitada. Os cristais fotônicos podem ser usados para obter uma dispersão espacial muito
maior. Em determinadas condições, eles exibem uma dispersão maior que o material de
um prisma convencional.
Nas proximidades da borda da banda fotônica, os cristais fotônicos exibem uma
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
24
dispersão cromática causada pela variação gradual do índice de refração aparente, devido a curvatura da banda fotônica. Isso pode ser interpretado como efeito prisma, isto
é, como uma mudança no diâmetro das linhas de iso-frequência dentro da estrutura de
bandas. Se os contornos da iso-frequência mudar sua forma com a frequência, a dispersão pode aumentar sua magnitude consideravelmente. Essa propriedade dispersiva
ultra-forte, chamada de efeito super prisma, permite a construção de filtros ópticos compactos que são altamente atraentes para aplicações em multiplexadores, utilizados como
divisores de comprimentos de onda.
A construção de uma lente perfeita, que produzisse uma imagem, igualmente,
perfeita foi o sonho dos fabricantes de lentes durante muitos séculos. Em 1873, Ernst Abbe
(1840–1905), físico e matemático alemão, descobriu um limite de difração fundamental na
óptica. Sempre que um objeto é fotografado por um sistema óptico, tal como a lente de
uma câmera, traços finos (menores que a metade do comprimento de onda da luz) são
perdidos na imagem. A perda de informação acontece porque a luz que é proveniente dos
traços finos do objeto carrega componentes com alta frequência espacial, ou seja, ondas
evanescentes que decaem exponencialmente, resultando em uma imagem imperfeita. O
‘tesouro perdido ’, como os detalhes do subcomprimento de onda poderia ser chamado,
é a razão fundamental para o limite de difração de Abbe, que determina o menor recurso
que se pode ver através das lentes [135]. Em termos práticos, isso limita a resolução de
todos os sistemas de imagem, dificultando, por exemplo, pesquisas na Biologia moderna
e na Eletrônica.
A luz emitida ou espalhada por um objeto não inclui apenas ondas de propagação, mas também as ondas evanescentes, que carregam os subcomprimentos de onda
dos detalhes do objeto. As ondas evanescentes decaem em qualquer meio com índice de
refração positivo, de modo que elas não podem ser coletadas no plano da imagem por
uma lente convencional, resultando numa imagem de difração limitada. Uma solução
é utilizar lentes fabricadas com metamateriais que têm índice de refração negativo. As
primeiras ideias sobre a possibilidade de um meio com índice de refração negativo surgiram a partir do trabalho teórico de Veselago [136] em 1967. Porém, os metamateriais só
foram efetivamente construídos no inicio deste século [137, 183].
Quando a lente, constituída pelo metamaterial, é colocada próximo de um objeto,
as ondas evanescentes são fortemente reforçadas dentro dela [139]. Após atravessarem
a lente, essas ondas decaem novamente até que suas amplitudes atinjam seu nível original, no plano da imagem. Por outro lado, as ondas de propagação passam através da
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
25
lente com refração e frente de fase reversa ambas negativa, levando a mudança de fase
zero no plano da imagem. Ao recuperar completamente tanto as ondas de propagação
quanto as evanescentes em fase e amplitude, uma perfeita imagem é criada. Um esquema
representando a suposta imagem de uma super lente é mostrada na Figura 2.12.
Figura 2.12: Microscópio baseado no efeito de super lente e um exemplo de imagem de alta
resolução.
Nas comunicações de fibra óptica, multiplexação por divisão de comprimento de
onda é uma tecnologia que permite a transmissão de múltiplos sinais ópticos em uma
mesma fibra óptica, simultaneamente. Os dispositivos tecnológicos utilizam comprimentos de onda diferentes da luz do laser para transmitir sinais diferentes, através de uma
única fibra óptica. Isto leva a uma multiplicação da capacidade de comunicação. Nesta
tecnologia multiplexadores são utilizados para unir os sinais juntos e os desmultiplexadores são utilizados para dividir os sinais separados.
Usando um cristal fotônico exibindo o efeito super-prisma, desmultiplexadores
foram, teoricamente, demonstrados por Chung [140] em 2002 e realizado experimentalmente em 2006 por Momeni [141]. Multiplexadores e desmultiplexadores baseados
em guia de ondas de cristal fotônico foram, também, demonstrados teoricamente por
Chien [142].
2.5.7
Efeito de Luz Lenta
A luz lenta (slow light) é outra aplicação importante que vem sendo amplamente desenvolvida [143–145]. Esse fenômeno tem chamado a atenção de vários pesquisadores nos
últimos anos, pois oferece outro nível de controle sobre as interações entre a luz e matéria.
Capítulo 2. Cristais Fotônicos
26
Ela emprega a capacidade que os cristais fotônicos possuem de ter uma velocidade de
grupo ultra-baixa para comprimentos de onda específicos. Os dispositivos baseados no
efeito de luz lenta podem ser utilizados como roteadores fotônicos em redes ópticas transparentes, microlaser com baixo volume modal, linhas ópticas de atraso, etc.
Paradoxalmente, a luz lenta promete aumentar a velocidade das telecomunicações
através de novas estruturas fotônicas, tais como ressonadores acoplados [146] e cristais
fotônicos [147, 148]. Além do atraso do sinal, uma das principais consequências do retardamento da luz é o aumento da interação entre a luz e a matéria.
CAPÍTULO 3
FUNDAMENTOS DE ÓPTICA ONDULATÓRIA
“Do gênio de Young e Fresnell, a teoria ondulatória da
luz foi estabelecida de modo tão forte que a partir de então a hipótese corpuscular não era mais capaz de recrutar
qualquer novo adepto entre os jovens."
Edmund Whittaker
Até a primeira metade do século XVIII, muitos cientista imaginavam que a luz
fosse constituída por um feixe de minúsculas partículas (chamada de corpúsculos) emitidas pelas fontes de luz. Essa ideia vem dos atomistas. Eles acreditavam na natureza
corpuscular das imagens que chegavam aos olhos, imaginando que estas se formavam a
partir de um feixe de partículas do ar, existente entre o objeto e o observador, que atingia
a retina.
Por volta de 1665, surgiram as primeiras evidências das propriedades ondulatórias
da luz. Entretanto, apenas no início do século XIX a evidência de que a luz é uma onda
cresceu de modo muito convincente. Em 1873, James Clerk Maxwell (1831-1879) fez a
previsão da existência de ondas eletromagnéticas e calculou a velocidade de propagação
dessas ondas. Esse desenvolvimento, juntamente com o trabalho experimental de Heinrich Hertz (1857-1894) iniciado em 1887, mostrou de maneira irrefutável que a luz é efetivamente uma onda eletromagnética.
27
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
28
Contudo, a natureza ondulatória da luz não é suficiente para explicar tudo. Diversos efeitos associados com a emissão e com a absorção da luz revelam a sua natureza
corpuscular, no sentido que a energia transportada pela onda luminosa é concentrada em
pacotes discretos conhecidos como fótons. Os aspectos ondulatórios e corpusculares da
luz aparentemente contraditórios foram conciliados desde 1930 com o desenvolvimento
da eletrodinâmica quântica, uma teoria que explica simultaneamente esses dois aspectos.
Porém, a propagação da luz pode ser descrita melhor usando-se um modelo ondulatório.
3.1
Meio Óptico
A interação entre o campo eletromagnético e o meio é a principal questão para a
compreensão dos fundamentos da propagação de ondas em guias de ondas e da operação
de muitos outros dispositivos ópticos passivos e ativos.
Na discussão dos fundamentos da óptica ondulatória deve-se entender: o que
é um meio óptico, quais as suas propriedades, de que maneira esse meio influencia no
campo eletromagnético, e, por fim, como descrever o campo eletromagnético e suas interações com o meio óptico. Para resolver o problema da interação do campo com o meio,
caracteriza-se o campo dentro e fora do meio, levando em conta as alterações impostas
pela interface entre o meio externo e o meio óptico.
As distâncias entre átomos, que compõem o meio, são um dos pontos chaves na
caracterização do meio quando interage com a luz. Em dispositivos ópticos e estruturas
ópticas a espessura das camadas, no caso das estruturas organizadas em camadas, ou o
tamanho dos elementos, no caso dos cristais fotônicos, podem ser comparáveis com o
comprimento de onda da radiação. Nesses casos, a interação da luz com o meio pode
ter efeitos diferentes, como a transparência, reflexões total ou parcial, refração. Em meios
ópticos usados na tecnologia das ondas de luz, a distância entre os átomos é da ordem de
1 nm que é pequeno comparado ao comprimento de onda da luz usada nas comunicações
ópticas (esses comprimentos variam de 0.8 a 1.6 µm). Assim, o meio óptico pode ser
considerado homogêneo. Além disso, em muitos casos, o meio pode assumir um caráter
isotrópico e invariante no tempo. Em geral, as propriedades de um meio óptico podem
ser descritas pela permissividade , permeabilidade µ e condutividade σ.
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
29
Em casos especiais, um meio óptico tem resposta não-linear para uma influência
externa. Efeitos não-lineares tipo geração de segundo harmônico, efeito Kerr, solitons e
formação de vórtices, etc., desempenham um papel mais importante na optoeletrônica
avançada e nos cristais fotônicos.
Quando , µ e σ são definidos para um material, a solução das equações de Maxwell
é o começo para analise da propagação da luz, também conhecida como óptica ondulatória. A óptica ondulatória fornece, particularmente, a solução do problema da propagação das ondas eletromagnéticas em guias de ondas ópticos, isto é, determinação das
amplitudes das componentes elétrica e magnética dos campos ópticos, bem como suas
fases e distribuição de amplitudes no espaço. Se a espessura do núcleo do guia de onda
óptico é da mesma ordem do comprimento de onda, então a propagação pode ser descrita
com poucos modos que são funções dos parâmetros do guia de onda óptico e do comprimento de onda da luz. Se, por outro lado, o raio do núcleo é grande comparado ao
comprimento de onda, então muitos modos de propagação aparecem. Nesse caso, será
mais eficaz resolver o problema por meio da óptica geométrica.
Quando as dimensões do objeto são grandes comparadas com o comprimento de
onda da luz, um método aproximativo pode ser usado para estudo da propagação da luz.
A óptica geométrica ou raios ópticos utilizam os métodos da geometria a fim de formular
as leis da óptica. Na óptica geométrica a concepção dos raios de luz é introduzida com o
escopo de descrever os fenômenos ópticos. Os caminhos percorridos pelos raios de luz em
meios heterogêneos e compostos são derivados a partir da chamada equação eikonal [149].
A Figura 3.1 mostra, esquematicamente, a representação das ondas de luz na concepção da óptica geométrica e da óptica ondulatória. A luz irradiada de uma fonte puntiforme S pode ser representada como um raio (feixe de luz mostrado na Figura 3.1a)
direcionado angularmente a partir da fonte que forma um ângulo θ com o eixo óptico
disposto na direção z. Este ângulo θ corresponde-se com o vetor de propagação da onda,
rotulado por β, que tem o mesmo ângulo com o eixo óptico (veja Figura 3.1b). O vetor de
propagação caracteriza a direção de propagação da onda e a sua fase. Ele é perpendicular à superfície da onda em propagação, que possui fase constante. Estas superfícies são
representadas graficamente por arcos concêntricos centrados no ponto S.
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
30
Figura 3.1: Representação da radiação na óptica geométrica (a) e na óptica ondulatória (b).
3.2
Propagação das Ondas: Equações de Maxwell
A luz consiste de um campo elétrico e um campo magnético que oscilam em
taxas muito elevadas, da ordem de 1014 THz. Essa propagação dos campos é descrita
por funções periódicas. A Transferência de energia das ondas eletromagnéticas através
do espaço vazio é realizada por campos elétricos e magnéticos que trocam energias obedecendo às leis de Ampère e Faraday. A variação do campo magnético é perpendicular a
do campo elétrico. Uma única frequência de ondas eletromagnéticas exibe variação harmônica de campos elétricos e magnéticos no espaço. Em qualquer local fixo, a amplitude
do campo varia com a frequência óptica. A magnitude do campo se repete depois de um
período de oscilação. A onda se repete no espaço, depois de percorrer uma distância λ,
chamada de comprimento de onda, que é na verdade o período espacial da onda.
Baseando-se principalmente nas ideias de Faraday sobre um éter cheio de linhas
de força, que transmitiria as ações eletromagnéticas, Maxwell, realizou uma das sínteses
mais fundamentais na história da Física, publicada em 1865, ao mostrar que todos os
fenômenos elétricos, magnéticos e ópticos podem ser descritos, unificadamente, a partir
de um conjunto de quatro equações diferenciais, conhecidas como as equações de Maxwell,
que podem ser escritas utilizando-se a notação vetorial. Albert Einstein descreveu esse
trabalho de Maxwell como ”a mais profunda e mais frutífera contribuição que a física
recebeu desde o tempo de Newton“.
Antes de discutir a propagação da luz em estruturas ópticas complexas, como os
cristais fotônicos, faz-se necessária a sua compreensão no espaço livre. Para um meio
que possui cargas livres e correntes, as equações de Maxwell, no Sistema Internacional de
Unidades (SI), são dadas por:
Ñ
© EÑ
Ñ
∂B
,
∂t
(3.1)
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
Ñ
H
Ñ
© JÑ 31
Ñ
∂D
,
∂t
(3.2)
©
Ñ
Ñ
D
ρ,
(3.3)
Ñ
Ñ
B
0,
(3.4)
©
Ñ é o operador nabla, que em coordenadas cartesianas é dado
onde t representa o tempo e ©
por
Ñ
©
∂
∂
x̂ ∂x
ŷ
∂y
∂
ẑ ∂z
,
Ñ denotam os campos elétrico e magonde x̂, ŷ e ẑ são vetores unitários. Os vetores EÑ e H
Ñ eB
Ñ são o deslocamento elétrico e a indução magnética.
nético, respectivamente. D
Essas equações ilustram a lei de Faraday, a lei de Ampère-Maxwell, a lei de Gauss
para os campos elétricos e a lei de Gauss para os campos magnéticos, respectivamente. A
lei de Faraday informa que a variação de um campo magnético produz um campo elétrico
que se traduz pela força eletromotriz (fem) induzida em transformadores e indutores. A
lei de Ampère, incluindo o termo da corrente de deslocamento, descoberta por Maxwell,
mostra que um campo elétrico variável é uma fonte de campo magnético. A lei de Gauss
para o campo elétrico é uma alternativa à lei de Coulomb para expressar a relação entre
carga elétrica e campo elétrico. A lei de Gauss para o campo magnético, mostra a ausência
de monopolos magnéticos.
As fontes do campo eletromagnético são a densidade de carga ρ e a densidade de
Ñ Elas são conectadas pela equação de continuidade
corrente J.
Ñ
©
JÑ
∂ρ
∂t ,
que é encontrada aplicando o divergente em (3.2), substituindo (3.3) no resultado do divergente, além de utilizar a relação
Ñ
©
© Ñ
H
0.
No caso de meios não condutores como a sílica ou outro material utilizado para
guiar ondas em dispositivos passivos, tais como fibras ópticas ou guias de ondas planares,
JÑ
0eρ
0. As densidades de fluxo estão relacionadas aos vetores dos campos pelas
relações:
Ñ
D
0 EÑ PÑ ,
(3.5)
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
Ñ
B
Ñ M
Ñ,
µ0 H
32
(3.6)
onde 0 ( 8.854187817 1012 C2 /N m2 ) é a permissividade elétrica no vácuo e µ0 (
4π 107 Wb/A m) é a permeabilidade magnética no vácuo, PÑ é a polarização elétrica do
Ñ eM
Ñ é a polarização magnética do meio. Para fibras
meio, induzida pelo campo elétrico E,
Ñ
ópticas M
0 por causa da natureza não magnética do vidro de sílica. O produto das
constantes 0 e µ0 é igual a
0 µ0
1~c2 ,
(3.7)
onde c ( 2.99792458 108 m/s) é a velocidade da luz no vácuo. A resposta de cargas
elétricas individuais a um campo elétrico pode ser descrita pelas leis de Newton. O comportamento de muitos sólidos em resposta a um campo elétrico pode ser bem descrito
com o mesmo tipo de aproximações que geralmente são feitas para o estresse e para a
deformação. Considerando o estresse como uma perturbação aplicada em uma amostra
e a deformação como uma resposta da amostra à perturbação. Portanto, pode-se dizer
que nesse modelo a resposta é proporcional à perturbação. A resposta de muitos sólidos comuns a um campo elétrico aplicado é tal que o campo elétrico dentro da amostra é
menor que o campo elétrico aplicado. Isso é similar ao sólido ter produzido sua própria
distribuição de carga, isto é, tornar-se polarizado, produzindo um campo elétrico oposto
ao campo elétrico aplicado. Os materiais que possuem essa propriedade são chamados de
dielétricos.
Nesse caso, considera-se a polarização como uma resposta do material. Acontece
que em muitas situações úteis a polarização é proporcional ao campo elétrico aplicado.
Porém, precisa-se definir a polarização de modo que se permita medir o seu valor.
A avaliação da polarização PÑ requer uma abordagem da mecânica quântica. Embora essa abordagem seja essencial quando a frequência óptica está próxima de uma
ressonância com o meio, uma relação fenomenológica entre EÑ e PÑ pode ser utilizada distante da ressonância com o meio. Esse é o caso para as fibras ópticas na região de comprimento de onda compreendida entre 0.5 µm e 2 µm. Tal intervalo abrange a região de
baixa perda das fibras ópticas, sendo muito interessante para os sistemas de comunicação
por fibra óptica. Nos meios lineares homogêneos e dielétricos isotrópicos, a polarização
Ñ além de ser proporcional a ele. Em um material
está alinhada com o campo elétrico E,
anisotrópico, a polarização e o campo não estão necessariamente na mesma direção. Em
geral, a relação entre EÑ e PÑ pode ser não-linear. Embora os efeitos não-lineares dos guias
de ondas ópticos mereçam consideração de acordo com [150], eles podem ser ignorados
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
33
em algumas descrições dos modos de fibras ópticas.
As ondas eletromagnéticas transportam energia à medida que viajam através do
espaço vazio. Há uma densidade de energia associada com os campos elétricos e magnéticos. A quantidade de energia transportada por unidade de área é descrita pelo vetor
1 Ñ Ñ
E B,
µ0
SÑ
(3.8)
que é chamado de vetor de Poynting. Essa expressão é um produto vetorial, e desde que
Ñ ao plano
o campo magnético é perpendicular ao campo elétrico, SÑ será perpendicular a E,
Ñ e coincidirá com a direção de propagação da onda.
de B
3.3
Equação da Onda no Vácuo
No vácuo, não existe meio. Como um resultado, não existe polarização induzida
ou corrente. Em outras palavras, PÑ e JÑ são iguais a zero. Portanto, as equações de Maxwell
se reduzem a
Ñ
EÑ
Ñ
Ñ
H
© © Ñ
∂B
,
∂t
(3.9)
Ñ
∂D
,
∂t
(3.10)
©
Ñ
Ñ
D
0,
(3.11)
Ñ
Ñ
B
0.
(3.12)
©
Ñ Para
As quatro equações (3.1)-(3.4) descrevem a interdependência entre EÑ e H.
Ñ e derivar uma equação
resolver o conjunto de equações (3.9)-(3.12) pode-se eliminar H
para EÑ apenas. Tomando o rotacional de (3.9) e empregando a equação (3.6), temos
Ñ
Ñ
© © EÑ
Ñ
© ˆ
Ñ
∂B

∂t
0 µ0
∂2 Ñ
E,
∂t2
(3.13)
onde
Ñ
© Ñ
∂B
ˆ ∂t 
∂ Ñ
Ñ
∂t ˆ© µ0 H 
∂ Ñ
э
µ0 ∂t
ˆ© H
2
∂ Ñ
0 µ0 ∂t
2 E.
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
34
O cálculo vetorial fornece a identidade
Ñ
Ñ
© © EÑ
Ñ ˆ©
Ñ
©
EÑ  ©2 EÑ
2 Ñ
E.
(3.14)
©
Aqui,
2
©
∂2
∂x2
∂2
∂y 2
∂2
∂z 2
é o operador Laplaciano e (3.5) foi usada para conduzir ao resultado
Ñ
©
EÑ
э
Ñ ˆ0 D
©
Ñ
Ñ D
0 ©
0.
Portanto, a equação da onda para o campo elétrico no vácuo é
©
2 Ñ
E
1 ∂2 Ñ
E
c2 ∂t2
(3.15)
0.
Resultado semelhante a (3.15) pode ser encontrado para a componente magnética
eliminando EÑ nas equações (3.9) e (3.10). A forma geral da solução para a equação (3.15)
é dada por:
E ˆx, y, z, t
onde rÑ
ˆx, y, z 
a E ˆkÑ rÑ ωt a E ˆkÑ rÑ ωt,
é o vetor coordenada, kÑ
ˆkx , ky , kz 
(3.16)
é o vetor de onda, ω
2π ~λ é
a frequência angular e λ é o comprimento de onda. As funções E e E descrevem o
comportamento ondulatório no espaço (argumento kÑ rÑ) e no tempo (argumento ωt), já os
termos E e E são coeficientes de amplitude dependentes das condições de contorno.
O vetor de onda é um vetor que especifica o número de onda e a direção de propagação da onda. A magnitude do vetor de onda indica o número de onda. A orientação
do vetor de onda mostra a direção de propagação da onda. O número de onda denota o
número de oscilações dos vetores elétricos e magnéticos por unidade do espaço e é medida em m1 . As componentes do vetor de onda correspondem ao número de ondas nas
direções x, y e z da seguinte maneira
ω2
c2
kx2 ky2 kz2 .
(3.17)
O significado físico da solução dada por (3.16) pode ser entendido da seguinte
forma. Primeiro, vamos considerar o caso especial quando kx
argumento (kÑ rÑ ωt) reduz-se a
ky
0. Nesse caso o
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
kz z ωt
35
kz ˆz kωz t.
Isso significa que a onda E é uma onda propagando-se na direção positiva de kÑ com
velocidade
ω
kz .
Da mesma forma, E representa uma onda propagando-se na direção ne-
Ñ Em geral, quando todos os componentes do vetor de onda são diferentes de
gativa de k.
zero, a onda propaga-se na direção de kÑ com a velocidade da luz. O caso especial é importante para a compreensão da propagação das ondas e para aplicações práticas da solução
da equação de onda (3.15) quando o campo tem apenas um componente. Essa solução é
chamada de ondas planas. Esse caso é descrito como
EÑ ˆx, y, z, t
Eeiˆωtkz z x̂.
(3.18)
Aqui, o campo elétrico tem apenas um componente na direção x e propaga-se
na direção z. A Figura 3.2 mostra uma onda plana senoidal em duas dimensões. A seta
representa o vetor de onda, que define a direção de propagação da onda através da sua
orientação perpendicular às frentes de onda. A evolução temporal das ondas é definida
pelo termo (ωt). Para uma onda plana senoidal, a fórmula (3.18) é transformada para
E ˆx, y, z, t
E ˆkÑ rÑ ωt
sinˆkx x ky y kz z ωt.
Figura 3.2: Onda plana senoidal.
Quando assume-se que uma frente de onda é uma linha ao longo da crista da
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
36
onda, então essas frentes de ondas são linhas ou superfícies de fase constante, definidas,
simplesmente, pela equação kÑ rÑ constante. Para a propagação da luz em uma dimensão,
ao longo da direção x, o número de ondas escalar é dado por
kx
ω
c
2π
.
λ
(3.19)
Substituindo a equação do campo elétrico (3.18) em (3.9) e integrando sobre o
tempo, obtém-se
Ñ
H
kz
Eeiˆωtkz z ŷ
µ0 ω
¾
0 iˆωtkz 
Ee
ŷ.
µ0
(3.20)
Assim, pode-se observar que os campos elétricos e magnéticos são perpendiculares entre si e, também, perpendiculares à direção de propagação da onda, que coincide
Ñ
com a direção de k.
3.4
Ondas em Meios Dielétricos
Em meios dielétricos, uma polarização PÑ não-nula é induzida por um campo
Ñ Para compreender o significado físico de P
Ñ considera-se um meio constituído
elétrico E.
de cargas positivas e negativas (por exemplo, prótons e elétrons). Quando um campo
elétrico está presente, ele separa as cargas positivas das cargas negativas. Essa separação de cargas resulta em um campo elétrico adicional. Esse campo elétrico adicional
é chamado de polarização induzida. Vários meios respondem diferentemente a um dado
campo elétrico externo. Quando o meio é linear e isotrópico, PÑ é linearmente proporcional
a EÑ podendo ser expressado da seguinte forma
PÑ
Ñ
0 χE,
(3.21)
onde χ é a chamada susceptibilidade elétrica. Essa quantidade é o coeficiente de proporcionalidade entre a polarização e o campo externo.
A susceptibilidade linear é, em geral, um tensor de segunda ordem, mas reduz-se
a um escalar para um meio isotrópico tal como o vidro de sílica. Ela é uma função da
frequência ω do campo aplicado. Quando o campo é uma função arbitrária do tempo t, a
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
37
polarização é uma convolução da transformada de Fourier de χˆω  com E ˆt. Isso reflete
o fato de que os dipolos dentro do material não podem responder instantaneamente ao
campo aplicado, levando às relações de Kramers–Kronig ou relações de dispersão.
Baseado nessa definição, o deslocamento elétrico é dado por
Ñ
D
0 EÑ PÑ
Ñ
0 E,
(3.22)
onde
(3.23)
1χ
é chamada de constante dielétrica ou permissividade relativa do material dielétrico. A
constante dielétrica do material afeta o modo como os sinais eletromagnéticos (luz, ondas
milimétricas, etc.) movem-se através do material. Um alto valor da constante dielétrica
faz a distância no interior do material parecer maior. Isso significa que luz propaga-se
mais lentamente. Ela, também, comprime a onda que comporta-se como um sinal com
comprimento de onda menor.
3.4.1
Índice de Refração do Meio Dielétrico
Para um campo eletromagnético num meio dielétrico sem corrente, pode-se reescrever a equação (3.10) utlizando a equação (3.22)
Ñ
H
Ñ
© 0
∂ EÑ
.
∂t
(3.24)
Usando o mesmo procedimento descrito anteriormente para equação (3,15), a
equação da onda para o campo elétrico é
2 Ñ
E
©
∂ 2 EÑ
c2 ∂t2
0.
(3.25)
Do ponto de vista clássico, movimento ondulatórios em meios lineares, homegêneos e não dissipativos são descritos pela chamada equação de onda de d’Alembert
ˆ©2
1 ∂2
r , t ,
v 2 ∂t2 ΨˆÑ
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
38
estabelecida pelo matemático francês Jean-le-rond d’Alembert (1717-1783) em 1750. Nessa
expressão, v é uma constante, característica do meio, denominada velocidade de propagação da onda, ؈Ñ
r, t é a função de onda em um instante t, que descreve as variações de
uma propriedade do meio, em um ponto genérico rÑ.
Comparando as equações (3.15) e (3.25) com a equação de onda de d’Alembert,
verifica-se que a única diferença dessas equações é que a velocidade de propagação da
onda muda de c para c~η, onde η
º
é o índice de refração do meio. Consequentemente,
o índice de refração do meio é a medida que informa quanto a velocidade da luz (ou de
outra onda) é reduzida enquanto atravessa o meio dielétrico com permeabilidade elétrica
.
3.4.2
Meio Dielétrico com Perdas
O termo da corrente pode ser incluído na equação de onda, para representar
a perda de energia durante a propagação das ondas. Nesse caso, a corrente induzida
está relacionada com o campo elétrico pela expressão JÑ
Ñ onde σ é a condutividade
σ E,
elétrica. Se o campo elétrico tem uma dependência temporal eiωt , a densidade de corrente
induzida apresentará a mesma dependência. Portanto, esse efeito da corrente é incluído
na susceptibilidade elétrica, a partir de (3.2), da seguinte forma
JÑ Ñ
∂D
∂t
∂ JÑ
ˆ
∂t iω
∂ Ñ
ˆE ,
∂t
э
D
(3.26)
com a constante dielétrica .
Em geral, ˆr, ω  é complexo. Sua parte real e sua parte imaginária correspondem
ao índice de refração η e ao coeficiente de absorção α, respectivamente. Por definição,
tem-se [150]
ˆn iαc~2ω 
2
(3.27)
.
A partir das equações (3.26) e (3.27), η e α são relacionados com χ
1~2
η
ˆ1 Re˜χ
,
(3.28)
α
ˆω ~ncIm˜χ,
(3.29)
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
39
onde Re e Im denotam a parte real e a parte imaginária, respectivamente. η e α são dependentes da frequência. A parte imaginária do índice de refração representa tanto perda
(para valores negativos) quanto ganho (se os valores forem positivos). A dependência da
frequência de η é chamada de dispersão cromática. Quando o meio apresenta perda, a
radiação decai exponencialmente como mostra a Figura 3.3.
Figura 3.3: Onda num meio dielétrico com perdas.
Ñ dado pela equação (3.5) em (3.2), a equação
Substituindo o deslocamento elétrico D
da onda para o campo elétrico torna-se
©
2 Ñ
E
1 ∂2 Ñ
E
c2 ∂t2
µ0
∂2 Ñ
P.
∂t2
(3.30)
Usando a fórmula da transformada de Fourier de EÑ ˆÑ
r, t, equação (3.31),
Ẽ ˆÑ
r, ω 
S
EÑ ˆÑ
r, t expˆiωtdt
(3.31)
e uma relação similar para PÑ ˆÑ
r, t, juntamente com (3,7), pode-se escrever a equação da
onda (3.15) no domínio da frequência
Ñ
Ñ
© © Ẽ
ˆÑ
r, ω 
ω2
Ẽ,
c2
(3.32)
com a permissividade dependente da frequência
ˆÑ
r, ω 
1 χ̃ˆÑ
r, ω 
(3.33)
onde χ̃ˆÑ
r, ω  é a transformada de Fourier temporal de χˆÑ
r, t. Em termos da frequência, a
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
40
equação da onda pode ser obtida como
2
©
Ẽ n2 ˆω k02 Ẽ
0,
(3.34)
onde o número de ondas no espaço livre k0 é definido pela relação
k0
ω ~c
2π ~λ0
(3.35)
onde λ0 é o comprimento de onda no vácuo do campo óptico oscilando com frequência ω.
3.5
Velocidade de Grupo
O conceito de velocidade de grupo é importante para o entendimento da propagação das ondas de luz, além de quantificar a dispersão em meios ópticos. Em geral,
existem dois tipos de velocidades: velocidade de grupo e velocidade de fase. Para identificar os significados dessas velocidades, considera-se uma onda viajando da seguinte
forma
E ˆt, z 
E0 cosˆω0 t βz .
(3.36)
Sua transformada de Fourier com respeito ao tempo é
E ˆω, z 
E0 π δ ˆω ω0 eiβz δ ˆω ω0 eiβz .
(3.37)
Isso significa que a onda plana tem uma frequência constante. Essa onda de frequência constante é chamada de onda monocromática e também de onda contínua. Nesse
caso, a velocidade de fase é definida como
vf
ω0
.
β
(3.38)
Assim, a velocidade de fase é a velocidade de um plano de fase constante que se
move na direção de propagação.
Para a onda plana considerada, sua amplitude ou potência é constante durante
todo espaço, tempo e posição independente. Em outras palavras, não se pode dizer onde
Capítulo 3. Fundamentos de Óptica Ondulatória
41
a onda está. Na verdade, ela está em toda parte. Por outro lado, para duas ondas planas
com uma pequena diferença na frequência e no número de onda, tem-se
E ˆt, z 
E0 cosˆω1 t β1 z  E0 cosˆω2 t β2 z .
(3.39)
Após transformações trigonométricas a equação (3.39) torna-se
E ˆt, z 
2E0 cosˆ∆ωt~2 ∆βz  cosˆω̄t β̄t,
onde se assume que ∆ω
ω2
ˆω1 ω2~2
respectivamente. Assim, o envelope da onda combinada tem
e β̄
ˆβ1 β2~2,
ω1 e ∆β
(3.40)
uma velocidade
vg
β2
β1 são pequenos comparados com ω̄
∆ω
.
∆β
(3.41)
Essa é a chamada velocidade de grupo. Como mostra a derivação, ela significa
a velocidade de propagação da energia. O conceito de velocidade de grupo pode ser
generalizado a partir de duas ondas monocromáticas a um pacote de ondas. Essa forma
dá a possibilidade de representar a velocidade de grupo como
vg
∂ω
.
∂β
(3.42)
Por fim, pode-se concluir que cada componente com frequência diferente viaja
com a mesma velocidade vg . Em outras palavras, o pacote de ondas ou a sua amplitude
viaja na velocidade de grupo vg .
CAPÍTULO 4
POLARITONS DE FÔNONS EM CRISTAIS FOTÔNICOS
NA FAIXA DE FREQUÊNCIA DE TERAHERTZ
“Em um mundo ideal as linhas de campo magnético e
elétrico podem ser colocadas em qualquer lugar que as leis
da Física permitam e um metamaterial adequado fornece
à acomodação para configuração desejada dos campos."
John Pendry
Metamateriais e cristais fotônicos são, atualmente, dois tópicos de muita investigação na óptica, uma vez que eles exibem propriedades eletromagnéticas incomuns que
podem proporcionar um inesperado controle das ondas ópticas (guia de ondas de cristal
fotônico), além de motivar novas aplicações (como a chamada ocultação óptica). Ambos
têm algo em comum: eles consistem de uma rede periódica constituída por ”átomos”. No
caso dos cristais fotônicos, esses átomos são feitos de um material dielétrico que possuem
formas bastante simples (cilindros, esferas, etc.) para que as propriedades do meio resultem da periodicidade da estrutura como um todo. Diferentemente, os metamateriais são
compostos por átomos metálicos bastante sofisticados para que sua propriedade apareça
da resposta de cada átomo à radiação eletromagnética. Outra diferença importante entre
as duas estruturas é o tamanho do átomo (e, pela relação direta, o período da estrutura):
considerando que deve ser muito menor do que o comprimento de onda para assegurar
42
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
43
uma resposta eficaz no caso dos metamateriais. Já nos cristais fotônicos, grande parte das
propriedades mais interessantes ocorrem quando o comprimento de onda é, aproximadamente, duas vezes o valor do período.
4.1
Introdução
Materiais com permissividade e permeabilidade µ simultaneamente negativas,
gerando um índice de refração η também negativo (ou seja, η
º
µ @ 0), recentemente,
têm sido extensivamente estudados em várias configurações físicas distintas, inspirados
pelo trabalho de Veselago [136], que foi publicado em 1967. Veselago chamou esses materiais peculiares de ”materiais que obedecem a regra da mão esquerda“, porque eles suportam ondas que se propagam no sentido contrário (veja Figura 4.1), de modo que o
Ñ o campo magnético H
Ñ e o vetor de Poynting S
Ñ formam um tripleto que
campo elétrico E,
segue a regra da mão esquerda, como mostra a Figura 4.2 (para uma revisão do assunto,
veja [151]).
Figura 4.1: Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e negativo.
Esses materiais despertam um grande interesse para uma variedade de aplicações
em potencial [139]. Como materiais com índice de refração negativo não existem na natureza, estruturas artificiais têm sido propostas e fabricadas com o propósito de exibirem
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
44
Ñ H
Ñ e S
Ñ em materiais com índice de refração positivo e
Figura 4.2: Representação do tripleto E,
negativo.
um índice de refração efetivo negativo para intervalos de frequência limitados [183]. No
entanto, o uso de condutores em altas frequências, especialmente na óptica, pode ser problemático devido às perdas. Como alternativa, muitos pesquisadores estão investigando
o potencial de aplicação tecnológica de materiais que apresentam índice de refração negativo em estruturas periódicas como os cristais fotônicos [152]. Esses materiais são normalmente compostos de isolantes e, portanto, podem apresentar baixas perdas.
As duas principais abordagens para a realização de materiais com índice de refração negativo são os metamateriais e os cristais fotônicos. Os metamateriais normalmente utilizam estruturas metálicas para fornecer uma permissividade negativa e estruturas ressonantes (circuitos indutor-capacitor) com uma escala muito menor do que o
comprimento de onda para obter uma permeabilidade negativa, levando à desejada refração negativa. Por outro lado, cristais fotônicos exibem refração negativa como uma
consequência do efeito banda dobrável [153, 154]. Na região de microondas, materiais
com índice de refração negativo têm sido obtidos através das duas abordagens, enquanto
na região óptica a refração negativa tem sido, recentemente, realizada em cristais fotônicos [155].
Cristais fotônicos são estruturas periódicas artificiais com um índice de refração
que varia periodicamente em uma das três dimensões. Esse conceito foi proposto em
1987 [17, 18], possibilitando o surgimento de um novo campo de pesquisa. As aplicações
possíveis para estas estruturas perpassam por várias disciplinas diferentes: da física e
química à ciência dos materiais e biologia. Demonstrou-se, teórica e experimentalmente,
que os cristais fotônicos poderiam ter gaps fotônicos, ou seja, intervalos de energia sem
estados permitidos para os fótons, da mesma forma que um arranjo periódico de átomos
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
45
pode criar um gap de energia para a condução de elétrons em um semicondutor. Nessas
bandas proibidas, modos eletromagnéticos, emissão espontânea, e as flutuações de ponto
zero estão ausentes [156, 157]. A modulação periódica do índice de refração é análoga à
experiência dos elétrons num potencial periódico de um cristal. Ao escolher a estrutura, a
espessura e os dois meios (SiO2 e um metamaterial, por exemplo), um gap fotônico pode
ser posicionado em um comprimento de onda desejado. Assim, transmitância e reflectância da luz podem ser controladas, como nos semicondutores, onde são geralmente controladas através da aplicação de estímulos externos, como a tensão de polarização. Com
a introdução de um defeito de linha, pode-se criar um guia de ondas de cristal fotônico,
que guia a luz através de cantos afiados, conectar dispositivos ópticos de cristal fotônico
do tamanho de λ~η com λ sendo o comprimento de onda da luz e η sendo o índice de refração, e formar circuitos ópticos altamente integrados [28]. Porque o seu mecanismo de
guiamento é fundamentalmente diferente dos convencionais guias dielétricos, tais como
as fibras ópticas que dependem da reflexão interna total, guias de onda de cristal fotônico
têm atraído muito interesse [29, 30]. Dessa forma cristais fotônicos representam um novo
tipo de material óptico, que pode atuar como uma excelente ferramenta para manipular a propagação de ondas eletromagnéticas, levando a muitos fenômenos interessantes e
importantes aplicações [1].
Por outro lado, quando a radiação eletromagnética propaga-se através de um
dielétrico polarizável (ou por um cristal magnético) excita alguns graus de liberdade do
cristal, que dá origem a um modo híbrido (ou misto) denominado de Polaritons. Polaritons são quasi-partículas consistindo de um fóton acoplado a uma excitação elementar
(fônon, plasmon, exciton, etc.), que polarizam o cristal. A teoria dos polaritons em materiais convencionais é bem conhecida (para mais detalhes veja, por exemplo, [158–160]).
Em estruturas quasi-periódicas eles exibem propriedades coletivas não compartilhadas
pelos seus constituintes. Portanto, as correlações de longo alcance induzida pela construção desses sistemas, de alguma forma, refletirá nos seus espectros, definindo uma
nova descrição de desordem. De fato, tratamentos teóricos baseados na técnica da matriztransferência mostram que esses espectros são fractais (para uma revisão atualizada do
assunto, veja [161]).
O intervalo em terahertz (THZ) compreendido entre a eletrônica de alta frequência (acima de 100 THz, aproximadamente) e a óptica de baixa frequência (abaixo de 10
THz, aproximadamente) ganhou, recentemente, grande interesse em conexão com uma
ampla gama de aplicações, incluindo o processamento de sinais de alta largura de banda,
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
46
imageamento THz e espectroscopia THz [162, 163]. As aplicações na faixa de THz variam
a partir de estudos de excitações coerentes em heteroestruturas de semicondutores (ou
de outros materiais) utilizadas para diagnóstico médico e sistemas tridimensionais de
imagens usados no monitoramento de processos industriais. A capacidade de visualizar
diretamente os campos de polariton através de imagens do espaço real, de gerar arbitrariamente formas de ondas THz através da utilização de formas de ondas ópticas feitas
temporalmente e/ou espacialmente, e de fabricar elementos funcionais integrados para
orientação e controle do polariton através de máquinas a laser produz uma plataforma
polaritônica THz (a contrapartida da fotônica no regime de THz) que permite o processamento de sinais avançados e aplicações na espectroscopia. Aqui, polaritônico THz descreve a área na qual os portadores de sinal não são as correntes elétricas alternadas nem
as ondas eletromagnéticas puras. Esses portadores de sinais são representados pelos polaritons de fônons [164].
Recentemente, foi feito o estudo teórico do espectro do polariton de plasmon em
super-redes fotônicas periódicas e quasi-periódicas [165], em que um das camadas é um
material com índice de refração negativo (metamaterial) com uma permissividade elétrica
e uma permeabilidade magnética simultaneamente negativas na região de frequência de
alguns gigahertz (GHz), de 4 a 10 GHz. O comportamento multifractal desse espectro foi,
também, investigado através da lei de escala de seu espectro de largura de banda, bem
como a curva f ˆα que caracteriza um perfil multifractal.
Neste capítulo, será apresentado um estudo do gap polaritônico, que surge a partir da propagação de uma excitação de polaritons de fônons no intervalo de frequência
de THz, em estruturas periódicas e quasi-periódicas compostas de camadas alternadas de
materiais com índice de refração positivo (SiO2 ) e materiais com índice de refração negativo (metamaterial). A escola da faixa de frequência em THz se justifica porque os moduladores THz de última geração baseados em estruturas semicondutoras têm a propriedade
desejável de serem banda larga, que é extremamente relevante na interligação na faixa de
THz, mas, infelizmente, eles geralmente exigem temperaturas criogênicas [166]. Portanto,
a melhoria das características de desempenho é bem-vinda para aplicações práticas, e de
fato uma das possíveis aplicações do modelo apresentado neste capítulo é um eficiente
dispositivo ativo que pode ser projetado para operar na frequência de THz.
No desenvolvimento do problema foi utilizado um modelo teórico baseado no
tratamento da matriz-transferência, como o escopo de simplificar, substancialmente, a álgebra envolvida. A estrutura quasi-periódica, anteriormente citada, segue a sequência
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
47
substitucional de Fibonacci e pode ser gerada pela seguinte regra de inflação: A
AB
eB
A, onde A (metamaterial) e B (SiO2 ) são os blocos de construção que modelam a
super-rede. Será apresentada, também, uma análise quantitativa dos resultados, apontando para a distribuição da largura de bandas fotônicas permitidas para altas gerações,
que dá uma boa percepção de sua localização e leis de potência.
4.2
Teoria Geral
Antes de tratar o problema geral, da estrutura quasi-periódica, faz-se necessário
o entendimento do caso periódico que é mais simples, onde os blocos de construção A
(metamaterial) e B (SiO2 ) são arranjados de forma alternada ABAB . . . . A estrutura está
disposta numa geometria, tal que as coordenadas do eixo z estão perpendiculares às camadas. A espessura da camada do metamaterial (SiO2 ) é representada por dA (dB ), e por
isso a espessura da célula unitária é dada por L
dA dB . Ela preenche o semi-espaço z C 0
com sua superfície paralela ao plano xy. Na região z @ 0 tem-se vácuo. A propagação dos
polaritons de superfície restringe-se ao longo do eixo x. Negligenciando qualquer termo
de amortecimento (quando perdas do metamaterial são consideradas, o fator de amortecimento pode ser definido como uma fração da frequência de fônon), o metamaterial possui
índice de refração negativo na região de THz, cuja correspondente permissividade elétrica
A [167] e permeabilidade magnética µA [168] são, respectivamente, dadas por:
A
ª
ωL2 ω
,
ωT2 ω
(4.1)
µA
1
F ω2
,
ω 2 ω02
(4.2)
onde ωL (ωT ) é a frequência longitudinal (transversal) dos fônons ópticos, ω0 é a frequência
de ressonância e F é um fator geométrico. Os parâmetros físicos utilizados aqui são ω0
7.85 THz, F
0.56 [168], ωL
28.82 THz e ωT
8.67 THz [169]. Os campos elétrico e
magnético na camada j são dados por (polarização p)
EÑj ˆx, y, z 
Ñ ˆx, y, z 
H
j
ˆExj , 0, Ezj  expˆikx x iωt,
(4.3)
ˆ0, Hyj , 0 expˆikx x iωt.
(4.4)
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
As componentes dos campos elétrico e magnético dentro da camada j
48
A ou B
da enésima célula unitária têm a forma
Exj ˆz 
Ezj ˆz 
Hyj ˆz 
onde
kzj
¢̈
¨
¦
¨
¤̈
n
n
α1j
expˆkzj z  α2j
expˆkzj z ,
ˆikx ~kzj 
n
n
α1j
expˆkzj z  α2j
expˆkzj z ,
n
n
iω0 A ˆω ~kzj α1j
expˆkzj z  α2j
expˆkzj z ,
kx2 j µj ω 2 ~c2 1~2 if kx A ˆj µj 1~2 ˆω ~c,
i j µj ω 2 ~c2 kx2 1~2 if kx @ ˆj µj 1~2 ˆω ~c.
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
Aqui, kx é o vetor de onda comum no plano, ω é a frequência angular e c é a velocidade
da luz no vácuo.
Considerando a permissividade elétrica efetiva e a permeabilidade magnética efetiva para o metamaterial dadas pelas equações (4.1) e (4.2), que não levam em conta o
efeito da dispersão espacial, precisa-se determinar as amplitudes desconhecidas dos campos a partir das condições de contorno eletromagnéticas nas interfaces, ou seja, a continuidade da componente normal do campo elétrico e a continuidade da componente
transversal do campo magnético. Para isso, define-se, para cada meio, o vetor coluna
n
Sαj e
<
@
@
@
@
>
=
A
A,
n A
A
α2j
?
n
α1j
(4.9)
onde o termo comum expˆkzA nL foi abandonado, e utilizando as condições de contorno
de Maxwell nas interfaces z
nL dA e z
ˆn 1L,
encontra-se, na forma de matriz, as
seguintes equações para as amplitudes dos campos eletromagnéticos
n
MA SαA
e
n
MB SαB
e
onde (j
n
NB SαB
e,
(4.10)
n1
NA SαA
e,
(4.11)
A ou B)
Mj
Nj
’
fj
”
fj ~ˆZj cos θj 
’
1
”
1~ˆZj cos θj 
f¯j
f¯j ~ˆZj cos θj 
1
1~ˆZj cos θj 
“
•
“
•
.
,
(4.12)
(4.13)
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
Aqui, Zj
»
µj ~j é a impedância do meio j e cosˆθj 
ˆηω 1 ˆη 2 ω 2 kx2 c2 1~2 , com ηj
49
sendo
o índice de refração do meio j. Também,
fj
expˆkzj dj ,
and f¯j
1~fj .
(4.14)
Das equações (4.10) e (4.11) é fácil ver que
n1
SαA e
onde a matriz T é dada por T
n
T SαA
e,
(4.15)
NA1 MB NB1 MA . A matriz T é chamada de matriz-
transferência porque relaciona os coeficientes dos campos eletromagnéticos de uma célula
com os coeficientes da célula anterior. Levando em consideração a simetria translacional
do problema apresentado neste capítulo, pode-se usar o teorema de Bloch para obter a relação de dispersão dos polaritons (modos de volume) numa estrutura periódica, ou seja,
cosˆQL
ˆ1~2T r ˆT .
(4.16)
Aqui, T rˆT  significa o traço da matriz T e Q é o vetor de onda de Bloch.
Para estabelecer a relação de dispersão dos polaritons de superfície, considerase uma estrutura truncada em z
0 com a região z @ 0 preenchida pelo vácuo (meio C),
cuja constante dielétrica independente da frequência é representada por C . Essa estrutura
semi-infinita não possui simetria translacional total na direção z através de múltiplos da
espessura L da célula unitária, e, portanto, não se pode mais assumir o Bloch Ansatz como
no caso da relação de dispersão dos modos volume. No entanto, a equação (4.16) ainda
se mantém desde o vetor de onda de Bloch Q seja substituído pela quantidade complexa
iβ resultando em coshˆβL
ˆ1~2T r ˆT .
contorno extra na nova interface em z
Agora, deve-se considerar uma condição de
0. Isso implica numa restrição adicional que
permite, eventualmente, determinar o fator de atenuação β. Aplicando as condições de
contorno em z
0 a relação de dispersão implícita para os modos de superfície é dada
por:
T11 λT12
onde λ
ˆξA
ξC ~ˆξA ξC . Aqui, ξA
real puro dado por kzC
expˆβL
T21 λ1 T22 ,
A ~kzA , ξC
(4.17)
C ~kzC , com kzC sendo um número
kx2 C ω 2 ~c2 1~2 . Além disso, a constante β deve ser escolhida
para cumprir a exigência Re(⠍ A 0 com a finalidade de originar modos de superfície
evanescente.
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
50
Esse método algébrico pode ser estendido para estruturas quasi-periódicas, considerando a matriz-transferência T adequada. Uma vez que essa matriz-tranferência é
determinada, deve-se utilizar as equações (4.16) e (4.17) para encontrar os espectros dos
modos de volume e superfície, respectivamente.
A estrutura de Fibonacci é um exemplo de estrutura quasi-periódica. Ela pode ser
crescida, experimentalmente, pela justaposição de dois blocos de construção A e B, onde,
teoricamente, a enésima geração da sua célula unitária Sn é dada pela regra Sn
para n C 2, com S0
transformação A
B e S1
AB e B
Sn1 Sn2 ,
A. A super-rede infinita é, também, invariante sob a
A. O número de blocos de construção da célula unitária
cresce com o número de Fibonacci, Fl
Fl1 Fl2 (com F0
F1
1), e a razão entre o
número de blocos de construção A e B da sequência é igual a razão áurea (ou número
de ouro) τ
ˆ1~2ˆ1 º
5. A matriz-transferência para n-ésima geração da sequência de
Fibonacci (n C 1) é:
TSn1
NA1 MB e TS1
com TS0
TSn1 TSn ,
(4.18)
NB1 MA . Portanto, com o conhecimento da matriz-transferência
da super-rede quasi-periódica, dada pela equação (4.18), combinada com as equações
(4.16) e (4.17) é muito simples obter os espectros de volume e superfície dos polaritons
de fonons.
Por outro lado, a relação de recursão da matriz-transferência (4.18) pode ser considerada como um sistema dinâmico discreto (mapeamento). Como TSn é uma matriz 2 2
real com determinante unidade, três números reais são necessários para especificar TSn .
Consequentemente, a equação (4.18) é um mapeamento de seis dimensões. Uma constante de movimento existe para esse mapa e a dimensionalidade é realmente reduzida
para cinco. Um mapeamento de cinco dimensões é um problema muito complicado para
se estudar. No entanto, existe um teorema fundamental [170] que permite, apenas, o estudo de um sistema bidimensional para determinar o espectro. Além disso, o reduzido
sistema dinâmico determina a dinâmica completa do sistema. O teorema pode ser resumido da seguinte forma. Considere um conjunto de matrizes TSn que satisfaz a condição
TSn1
TSn1 TSn . Então,
T rˆTSn1 
T rˆTSn T rˆTSn1  T rˆTSn2 .
(4.19)
Portanto, definindo
xn
ˆ1~2T r ˆTSn ,
(4.20)
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
51
então a equação (4.19) implica em
xn 1
(4.21)
2xn xn1 xn2 .
As condições iniciais para este reduzido sistema sub-dinâmico podem ser tomadas como
x 1
ˆfA f¯B
f¯A fB ˆr1 r11 ~4,
(4.22)
x0
fB ˆ1 r1  f¯B ˆ1 r1 ~4,
(4.23)
fA ˆ1 r11  f¯A ˆ1 r11 ~4,
(4.24)
x1
onde r1
ZA cosθA ~ZB cosθB . Definindo um vetor tridimensional rÑn
ˆxn , yn , zn 
ˆxn , xn1 , xn2 ,
as equações (4.20) (4.21) são, alternativamente, escritas como
rÑn1
FÑ ˆrn ,
(4.25)
com uma condição inicial
rÑ1
ˆx 1 , y 1 , z 1  .
(4.26)
Aqui, FÑ é um mapa não-linear em três dimensões explicitamente dada por
xn1
yn , yn1
zn , zn1
2yn zn xn .
(4.27)
O mapeamento definido pela equação (4.21) tem uma constante de movimento [170, 171]
I
x2n yn2 zn2 2xn yn zn 1.
(4.28)
Através de uma substituição direta, fazendo uso da equação (4.21) juntamente com as
condições iniciais, dadas pela equações (4.22)-(4.24), pode-se mostrar que I é independente de n e é dado por
I
2
ˆf B
˜ˆfA f¯B
2
2
f¯A2 fB2  ˆr1 r11 2 2ˆr1 r11 
f¯B2 fA2 f¯A2  r1 ˆ2 r1  r11 ˆ2 r11 2ˆr1 r11 2 ~32 1.
(4.29)
Com o conhecimento do traço do mapa dado pela equação (4.21), as condições iniciais
[equações (4.22)-(4.24)] e a restrição Sxn S @ 1, consegue-se determinar, alternativamente, o
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
52
espectro de polaritons de um dado número n da geração da estrutura de Fobonacci.
4.3
Resultados Numéricos
Nesta seção, serão apresentados alguns resultados numéricos que caracterizam
o espectro do gap polaritônico devido a excitação dos polaritons de fônons (modos de
volume e superfície), que podem se propagar, com frequências na faixa de THz, dentro
da estrutura descrita na seção anterior. O meio A representa o metamaterial que possui
função dielétrica A ˆω  e permeabilidade magnética µA ˆω  dependentes da frequência.
Elas são dadas pelas equações (4.1) e (4.2), respectivamente. Já o meio B representa o SiO2
com valores constantes para permissividade elétrica e permeabilidade magnética, ou seja,
B
12.3 e µB
1, que são parâmetros apropriados para esse material.
O espectro do gap polaritônico é retratado em diferentes escalas na Figura 4.3, para
o caso da super-rede periódica infinita, e Figura 4.4, considerando a super-rede periódica
semi-infinita, respectivamente. Nessas figuras, os modos de superfície são representados
por linhas retas, enquanto as bandas de volume são caracterizadas por áreas sombreadas,
que são limitadas pelas equações QL
0 e QL
π, onde Q é o vetor de onda de Bloch
e L é o comprimento da célula unitária. A linha tracejada representa a linha da luz ω
ckx no vácuo, enquanto a linha pontilhada e tracejada é a linha da luz ω
1~2
ckx ~B no
material com índice de refração positivo (SiO2 ). Como já foi mencionado, o amortecimento
é negligenciado e o meio externo C é considerado vácuo (C
1), conduzindo a seguinte
estrutura: vácuo/metamaterial/SiO2 /metamaterial/SiO2 .
Na Figura 4.3, a frequência do gap polaritônico, na unidade THz, é plotada contra
o vetor de onda adimensional no plano kx dA para dA ~dB
2 com dA
8 µm. O espec-
tro de polariton tem quatro bandas de volume (rotuladas por B1-B4) separadas por gaps
de frequência proibida onde quatro modos de superfície (rotulados por S1-S4) podem se
propagar.
Para o intervalo de baixa frequência do espectro, há apenas uma banda de volume
(B1) a partir de ω
em kx dA
0 e kx dA
0 e tendendo rapidamente ao seu valor limite ω
7.80 THz
1.3. Ela é delimitada na sua parte superior pelo modo de superfície S1 (linha
reta horizontal em ω
7.89 THz) e torna-se mais estreita quando kx dA aumenta.
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
53
Figura 4.3: Espectro de frequência do gap polaritônico para super-rede periódica.
O ramo de frequência intermediaria, localizado no intervalo de 8.50 THzB ω B
28.96 THz, é caracterizado por outros dois modos de volume B2 e B3, respectivamente.
O primeiro deles (B2) divide-se em duas novas bandas de volume em ω
9.54 THz e
kx dA
0.35. A banda inferior é a mais estreita do espectro e está localizada em torno
de ω
8.67 THz, permanecendo inalterada com o aumento de kx dA . Ela está localizada
entre dois modos de superfície: o modo inferior (S1) é o mesmo que delimita a parte
superior do primeiro modo de volume (B1). O outro modo de superfície (S2) começa
na linha da luz ω
ckx e tende assintoticamente a ω
9.54 THz para altos valores de
kx dA , delimitando a parte superior da banda de volume mais estreita em ω
de kx dA
1.5 a 5.0. A banda de volume superior de B2 está localizada no intervalo de
frequência 9.54 THzB ω B 10.0 THz em kx dA
estreita quando tende ao seu valor limite ω
0, tem uma inclinação positiva e torna-se
21.50 THz em kx dA
volume (B3) está localizado no intervalo de frequência desde ω
e kx dA
9.54 THz
5.0. O outro modo de
24.54 THz a 28.96 THz
0. Ele tem uma inclinação negativa caracterizando uma velocidade de grupo,
também, negativa e tende ao valor limite ω
22.72 para altos valores de kx dA . Ele é
delimitado por dois modos de superfície: o inferior (S3) começa na linha da luz ω
ckx
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
54
Figura 4.4: Ampliação da Figura 4.1 para a região 17.34 THzB ω B 26.01 THz e 0.0 B kx dA B 0.25.
e, inicialmente, tem uma inclinação positiva (modo de superfície avançado) em ω
THz e kx dA
11.79
0.04. Em seguida ele torna-se um modo de superfície atrasado (com uma
inclinação negativa) tendendo assintoticamente à frequência ω
22.11 THz para altos
valores de kx dA .
O modo de superfície superior (S4) está na região de alta frequência, cuja inclinação é ligeiramente negativa em todos os intervalos de frequência (modo atrasado),
partindo da linha da luz ω
ckx e tendendo a ω
28.09 THz para altos valores de kx dA .
O último ramo de volume (B4) tem o mesmo perfil parabólico encontrado nos modos de
volume de polaritons de fônons em altas frequência para materiais com índice de refração
positivo [161].
Com o propósito de investigar com mais detalhes os modos de superfície, é mostrada na Figura 4.4 uma ampliação no espectro do gap polaritônico retratado na Figura 4.3
para a região 17.34 THzB ω B 26.01 THz e 0 B kx dA B 0.25. A partir dessa ampliação, podese ver que o modo de superfície S3 se divide em dois novos modos no ponto ω
THz e kx dA
20.03
0.086. Depois disso, enquanto um deles é ligeiramente desviado da linha
da luz no vácuo (linha tracejada) e se funde com a banda de volume B3, o outro tende
assintoticamente ao valor limite ω
24.53 THz (parte inferior da banda de volume B3)
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
55
quando kx dA aumenta. Observe que esse comportamento não tem uma contrapartida de
um material com índice de refração positivo. Além disso, a divisão do modo de superfície
S3 não é um artefato numérico, tendo alguma semelhança com o encontrado para o caso
dos polaritons de plasmons, anteriormente estudados por Vasconcelos et al [165].
Na Figura 4.5, é apresentada o espectro do gap polaritônico para a quarta geração
da estrutura quasi-periódica de Fibinacci. Como no caso periódico, existem quatro ramos
de frequência de volume (rotulados por B1-B4); mas diferentemente do caso periódico, o
espectro de polariton é agora mais fragmentado. Além disso, todas as bandas de volume
tendem a tornar-se estreitas quando kx dA aumenta, exceção feita a última banda (B4), que,
novamente como no caso periódico, apresenta a mesma forma parabólica semelhante aos
modos de volume dos polaritons de fônons no regime de altas frequências para materiais
com índice de refração positivo. Observe que o número de bandas de passagem (regiões
de frequências permitidas para a propagação dos polaritons de fônons dentro da estrutura), considerando todas as regiões de frequência (baixa, média e alta), está relacionado
ao número de Fibonacci FN .
Figura 4.5: Espectro de frequência do gap polaritônico considerando um cristal fotônico quasiperiódico da quarta geração da sequência de Fibonacci.
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
56
Observa-se agora a existência de seis modos de superfície (rotulados por S1-S6)
cujo comportamento é semelhante aos encontrados no caso periódico. O modo de superfície de baixa frequência (S1) emerge da linha da luz ω
nula e depois segue na horizontal em ω
ckx com uma inclinação quase
7.88 THz para qualquer valor de kx dA . O se-
gundo modo (S2) emerge da banda de volume rotulada como B2 em ω
kx dA
0.54, tendendo a ω
10.13 THz e
8.77 THz, com uma inclinação negativa (modo atrasado).
O terceiro modo de superfície (S3) surge a partir da divisão da banda de volume B2 na
região de frequência intermediária com uma inclinação positiva (modo avançado). Ele
desaparece na estreita banda de volume B2 na frequência ω
21.24 THz. O modo de su-
perfície rotulado por S4 está localizado entre as bandas de volume B2 e B3. Esse modo
começa na linha da luz ω
ω
15.25 THz e kx dA
ckx com uma inclinação positiva (modo avançado) no ponto
0.07. Em seguida, ele torna-se um modo atrasado (com inclinação
negativa) e tende assintoticamente à frequência ω
22.04 THz para altos valores de kx dA .
O quinto modo de superfície segue a linha de contorno da banda de volume rotulada por
B3. Esse modo tende a ω
22.67 THz quando kx dA aumenta. Finalmente, na região de alta
frequência, o modo de superfície (rotulado por S6) emerge da linha da luz ω
uma inclinação quase nula, seguindo na horizontal em ω
ckx com
28.84 THz para qualquer valor
de kx dA .
Quando os constituintes da super-rede são formados por um material com índice
de refração positivo, as bandas de passagem nas estruturas periódica e quasi-periódica
podem ser obtidos quando o valor absoluto do lado direito da equação (4.16) é inferior a
um, que significa um componente z real do vetor de onda (kz ). Por outro lado, quando ele
é superior a um, a banda é interrompida, ou seja, ela para. No entanto, isso não é verdade
quando a super-rede contém materiais com índices de refração positivo e negativo (como
no caso apresentado neste capítulo). Alguns valores complexos de kz ainda podem fazer
o lado esquerdo da equação (4.16) ficar menor do que um, e essas soluções complexas
podem ter significado físico. Isso pode ser visto considerando a curva de dispersão apresentada na Figura 4.6, correspondendo a um vetor de onda no plano adimensional fixo
kx L~2π
0.5 e uma razão dB ~dA
3.90. Apresenta-se aqui a frequência ω contra o vetor de
onda adimensional de Bloch QL para a quinta geração de Fibonacci.
Também, foi investigado o caso onde a média do índice de refração da super-rede
tende a zero, a chamada região de gap zero-η̄, ou seja, η̄
ˆA µA 1~2
ˆη A d A
8.8 sendo o índice de refração para o metamaterial (j
2.19 sendo o índice de refração para o SiO2 (j
ηB dB ~L
0 com ηA
A) e ηB
ˆB µB 1~2
B), respectivamente (esses parâmetros
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
57
Figura 4.6: Espectro do gap polaritônico contra o vetor de onda adimensional de Bloch QL para
a razão das espessuras dB ~dA
quasi-periódica de Fibonacci.
correspondem a A
3.90, considerando a quinta geração da super-rede polaritônica
287.4, µA
0.25, B
4.8 e µB
1). A razão para isso é distinguir os
usuais gaps de Bloch, retratados na Figura 4.3 e na Figura 4.4, dos gaps zero-η̄. Além disso,
existe uma possibilidade de ampliação do gap em relação à super-rede usual constituída
apenas pelo material com índice de refração positivo [172], bem como a possibilidade de
modos discretos e tunelamento de fóton [173] quando η̄
0. Aqui, pode-se notar que as
bordas das bandas de volume não caracterizadas pelas condições QL
A estrutura de bandas η̄
0 e QL
π.
0 pode ser melhor vista no perfil de banda projetado na
Figura 4.7, onde as as bandas de passagem estão unidas para constituir uma banda muito
fragmentada. Quando parte-se de kx L
0, as bandas de passagem tornam-se separadas
pela estreita interrupção na banda, ou seja, os modos discretos transformam-se em bandas
estreitas em que o vetor de onda adimensional de Bloch QL descreve uma pequena região
em torno de kx L
0, enquanto a curva de dispersão mais baixa estende-se por um domínio
mais ou menos espalhado da zona de Brillouin reduzida (veja a Figura 4.6). Por outro
lado, a Figura 4.7 mostra que para pequenos valores de kx L~2π a transmissão através da
super-rede é zero, exceto em determinadas bandas de transmissão e para alguns valores
de QL @ π. As frequências discretas (como em ω 47.87 THz e kx L
0 na Figura 4.7) são
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
determinadas pela condição de ressonância de Fabry–Perot kzA
mπ (m
58
1, 2, 3,...),
onde as ondas refletidas em interfaces consecutivas chegam fora de fase com a faceta de
entrada da super-rede [174]. As bandas de volume contínuas são caracterizadas pela zona
de Brillouin reduzida 0 B QL B Ξ com Ξ sendo os valores onde a inclinação vai para menos
infinito na Figura 4.7. Nota-se que para a énesima geração de Fibonacci, pode-se calcular
as espessuras adimensionais dA ~L e dB ~L que satisfazem a equação
η̄n
onde dA
8µm, ηA
8.8, ηB
ˆFn1 ηA dA
2.19 e L
Fn2 ηB dB ~L
0,
(4.30)
Fn1 dA Fn2 dB , com Fn sendo a énesima geração
do número de Fibonacci.
Figura 4.7: Estrutura de banda polaritônica plotada como uma função do vetor de onda no plano
reduzido Kx kx L~2π
Para completar a investigação da propagação dos polaritons de fônons, na estrutura polaritônica proposta neste capítulo, faz-se necessária uma análise dos efeitos de
confinamento decorrentes da competição entre a ordem aperiódica de longo alcance, que
é induzida pela estrutura quasi-periódica, e a desordem de curto alcance. Para esse fim,
uma análise quantitativa da localização e magnitude da largura das bandas de passagem
do espectro do gap polaritônico é necessária. Para fazer isso, deve-se calcular as regiões de
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
59
frequências permitidas (bandas de passagem), onde Sˆ1~2T rˆT S B 1, como uma função
do número da geração da estrutura quasi-periódica para um valor fixo de kx dA
0.5,
como retrata a Figura 4.8. Ela mostra a distribuição da largura das bandas de frequências
proibidas e permitidas, como uma função do número da geração n, até a décima segunda
geração da sequência de Fibonacci, considerando kx dA
0.5. Isso significa uma célula
unitária com 144 blocos de construção A e 89 blocos de construção B totalizando 233.
Nota-se que, como já era esperado, para grandes valores de n, as regiões de bandas permitidas tornam-se cada vez mais estreitas, indicando uma maior localização dos modos
de volume. Na verdade, a largura total ∆ das regiões de energias permitidas, que é a
medida de Lebesgue do espectro de energia [175], diminui com o número da geração de
Fibinacci n com a lei de potência ∆ Fnδ . Aqui, o expoente δ (a constante de difusão do
espectro) é uma função do vetor de onda no plano kx dA . Esse expoente pode indicar o
grau de localização da excitação [176]. A Figura 4.9 mostra uma gráfico log-log dessa lei
de potência para três valores diferentes de kx dA , a saber, 0.25, 0.35 e 0.45.
Figura 4.8: Distribuição das larguras de bandas dos polaritons de fônons, para kx dA
uma função do número da geração n.
0.5, como
Capítulo 4. Polaritons de Fônons em Cristais Fotônicos na Faixa de Frequência de
Terahertz
60
Figura 4.9: representação log-log da largura total das regiões permitidas ∆ versus o número de
Fibonacci Fn , para três valores diferentes do vetor de onda no plano adimensional kx dA .
CAPÍTULO 5
BAND GAPS OMNIDIRECIONAIS NA FAIXA DE
TERAHERTZ EM CRISTAIS POLARITÔNICOS
QUASI-PERIÓDICOS
“Tentei imediatamente incorporar de alguma forma o
quantum elementar de ação ’h’ no contexto da teoria clássica. Mas em face de todas essas tentativas, esta constante
mostrou-se obstinada."
Max Planck
5.1
Introdução
Cristais fotônicos são estruturas caracterizadas pela variação periódica do índice
de refração e a consequente variação espacial periódica da constante dielétrica [1]. Esses
cristais podem criar regiões espectrais denominadas de bandgaps fotônicos, onde a onda
eletromagnética, cuja frequência pertence a esses intervalos, não pode se propagar através
do cristal. Desenvolvimentos em cristais fotônicos têm aberto oportunidades para o controle da absorção e do espectro de radiação de materiais artificiais através de vários efeitos
61
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
62
físicos, tais como os plasmons de superfície [177], aumento da cavidade ressonante [178],
reflexão de Bragg [179] e modificação da densidade de estados fotônica [180]. Dentre
estes materiais artificiais destacam-se os metamateriais. Eles são fabricados para terem
propriedades que não podem ser encontradas na natureza. As propriedades dos metamateriais derivam da sua estrutura, usando pequenas inomogeneidades para criar comportamentos macroscópicos efetivos [181]. Existem muitos tipos de metamateriais [182]
(a palavra meta, que vem do Grego, significa depois ou além). Desses, os mais conhecidos são os metamateriais eletromagnéticos que possuem índice de refração negativo, que
foram inspirados pelo trabalho pioneiro de Veselago [136] e efetivamente realizados no recente trabalho experimental de Smith et al [183]. Esse material tem propriedades exóticas,
como refração negativa na lei de Snell, radiação Cherenkov invertida, etc.
Estudos teóricos e experimentais sobre a propagação da luz através através de
cristais fotônicos contendo materiais com índice de refração negativo, têm evidenciado a
existência de novas propriedades físicas, como por exemplo, o gap quando a fase efetiva
é nula, que é omnidirecional (em todas as direções) e insensível à desordem [184–186].
Nesses trabalhos, em geral, o material com índice de refração negativo é modelado por
uma função dependente da frequência plasmônica (tipo Drude), numericamente igual a
permissividade elétrica e a permeabilidade magnética µ, onde os band gaps aparecem na
faixa de frequência de gigahertz (GHz) [ver Ref. [187]]. Este tipo de modelo não permitem
estender este resultado para a faixa de terahertz (THz) por uma simples mudança de escala. É necessário considerar outro tipo de metamaterial eletromagnético. Portanto, neste
capítulo, consideramos, em nosso modelo teórico, uma resposta dos polaritons de fonons
para a permissividade elétrica , com o intuito de descrever a resposta elétrica no material
com índice de refração negativo, mantendo a função tipo Drude para a resposta da permeabilidade magnética µ. Por essa razão, nós o chamamos de meio polaritônico com índice
de refração negativo. Aqui, vamos fazer o estudo da emitância de um cristal fotônico com
uma de suas camadas preenchida por material com índice de refração negativo, em busca
de propriedades exóticas como band gaps omnidirecionais na faixa de frequência de THz.
Por outro lado, desde a descoberta dos quasi-cristais por Shechtman et al. [7], que
teve seu trabalho reconhecido recentemente com o prêmio Nobel 2011, as propriedades
físicas de uma nova classe de cristais artificiais, chamadas de estruturas quasi-periódicas,
têm atraído muita atenção, principalmente nas últimas duas décadas. Estes quasi-cristais
são formados pela superposição de dois (ou mais) períodos incomensuráveis, que podem ser definidos como sistemas intermediários entre um cristal periódico e o sólido
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
63
amorfo aleatório [188]. Evidências experimentais para a compreensão desta nova classe
dos cristais foram dadas pelas referências [189] e [161]. Além disso, o conceito de band
gaps foi estendido para estruturas quasi-periódicas [165]. Estes estudos têm mostrado
que as propriedades dinâmicas de sistemas quasi-periódicas em diferentes substratos
têm características comuns, tais como um espectro fractal tipo Cantor das excitações elementares e seu espectro de transmitância. Portanto, a emitância dessas microestruturas
quasi-periódicas é particularmente atraente para aplicações e para estudar o aspecto fractal (auto-similaridade, por exemplo), devido à possibilidade deste ser realizado experimentalmente. Por isso, o vasto campo de aplicações na frequência de THz, entre a alta
frequência eletrônica (até cerca de 100 GHz) e a baixa frequência óptica (até cerca de 10
THz), tem estimulado intensa investigação devido às aplicações potencias, incluindo imagens, segurança, espectroscopia e comunicação [190–193].
As pesquisas em cristais fotônicos na região de THz começaram antes dos anos
noventa. No entanto, o primeiro cristal fotônico na faixa de THz foi realizado por Wu
et al. [194]. Desde então, cristais fotônicos têm sido amplamente estudados nesse regime
tanto experimentalmente [194–198] quanto teoricamente [199–201]. Em particular, band
gaps fotônicos em THz e filtros de interferência em cristais fotônicos unidimensionais têm
atraído intensas pesquisas, tais como o tunelamento em band gaps fotônicos e os modos
de defeito em band gaps fotônicos em THz. Por outro lado, band gaps omnidirecionais
têm potenciais aplicações na melhoria de espelhos THz omnidirecionais [202], filtros ópticos omnidirecionais [203], switches ópticos [204] etc. Recentemente, X. Dai et al. [205]
estudaram band gaps fotônicos na faixa de THz termicamente sintonizáveis e omnidirecionais, em cristais fotônicos unidimensionais compostos por camadas alternadas do material semicondutor InSb e do material dielétrico SiO2 . Eles mostraram que esse band gap
fotônico depende, fortemente, da constante de rede e da razão das espessuras de seus
constituintes (InSb e SiO2 ).
Neste capítulo descrevemos band gaps polaritônico omnidirecional num cristal
fotônico quasi-periódico unidimensional contendo materiais com índice de refração negativo, que são materiais efetivos sintonizáveis, cuja dependência das funções dielétrica
e magnética são modificadas para gerar band gaps fotônicos na faixa de frequência de
THz. A fim de estudar a emitância, consideramos um feixe de luz que incide normalmente e obliquamente sobre a estrutura fotônica de multicamadas unidimensional, composta de um material com índice de refração positivo (SiO2 ) e um material com índice
de refração negativo, formando um sistema multiestruturado arranjado periodicamente
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
64
e quasi-periodicamente (tipo Fibinacci), como mostra a Figura 5.1. Podemos modelar
cada camada do material com índice de refração negativo (ou metamaterial polaritônico)
por um meio efetivo, formado por uma matriz periódica de ressonadores metálicos em
formato de anel (veja [183]), caracterizado por uma função tipo Drude na resposta da
permeabilidade magnética µ [206], preenchido por um meio polaritônico (LiTaO2 ), cuja
permissividade elétrica é uma função que depende da frequência dos polaritons de
fonons [207].
Figura 5.1: Representação esquemática geométrica da estrutura de multicamadas. As camadas
A e B têm espessuras dA e dB , respectivamente, enquanto L é o tamanho de toda a estrutura
crescida sobre o substrato absorvente de espessura dS . O meio C representa o vácuo. (a) Estrutura
periódica. (b) Estrutura quasi-periódica de Fibonacci.
A estrutura quasi-periódica de Fibonacci pode ser gerada pela sua regra de inflação, como se segue: A
AB e B
A. Aqui, A (espessura dA ) e B (espessura dB ) são
blocos de construção modelando as camadas SiO2 e metamaterial polaritônico, respectivamente. Alternativamente, a estrutura de Fibonacci pode ser crescida justapondo os dois
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
65
blocos de construção A e B de tal forma que o enésimo estágio da super-rede Sn é dado
interativamente pela regra Sn
Sn1 Sn2 , para C 2, com S0
B e S1
A [208]. Para cal-
cular o espectro de emitância nestas estruturas em multicamadas, usaremos o formalismo
da matriz-transferência para descrever a propagação das ondas eletromagnética através
das camadas, e a segunda lei de Kirchoff para encontrar a emitância na última camada do
sistema.
5.2
Teoria Geral
Considere a estrutura de multicamadas quasi-periódica, conforme ilustração na
Figura 5.1. A camada A, com espessura dA , é preenchida pelo SiO2 e é caracterizada por
índice de refração positivo ηA
º
A µA e uma impedância ZA
»
µA ~A , ambos constantes.
Já a camada B, com espessura dA , é preenchida pelo metamaterial polaritônico e é caracterizado por um índice de refração negativo ηB
º
B µB e uma impedância ZB
»
µB ~B .
A estrutura de multicamada é crescida sobre um substrato absorvente S, com um índice
de refração constante ηS . Toda a estrutura está incorporada em um meio transparente C
(considerado vácuo) com um índice de refração constante ηC .
Para calcular as propriedades espectrais da multicamada quasi-periódica óptica,
organizada de acordo com a sequência de Fibonacci, utilizamos o método da matriztransferência [208]. Este método consiste em relacionar as amplitudes dos campos eletromagnéticos em uma camada com as da anterior, por aplicações sucessivas das condições
de contorno eletromagnética de Maxwell em cada interface ao longo do sistema de multicamadas. Portanto, a matriz-transferência relaciona as amplitudes do campo eletromagnético incidente (A01C e A02C ) de um lado do sistema de multicamadas (em z @ 0), com a
amplitude transmitida A0N C do campo eletromagnético do outro lado, em z A L, onde L é o
tamanho do sistema de multicamadas (veja Figura 5.1), por meio do produto das matrizes
de interface Mαβ (α, β sendo qualquer meio A, B, C e S) e as matrizes de propagação Mγ
(γ
A, B e S), da seguinte forma [209, 210]:
’
A01C
“
”
A02C
•
MCA MA MAB MB MBS MS MSC
’
AN
1C
“
”
0
•
,
(5.1)
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
66
onde
1 ’ 1 Zα ~Zβ 1 Zα ~Zβ
2 ” 1 Zα ~Zβ 1 Zα ~Zβ
Mαβ
Mγ
com kγ
“
•
’
expˆikγ d㠍
0
“
”
0
expˆikγ d㠍
•
,
(5.2)
,
(5.3)
ηγ ω ~c.
As matrizes das equações 5.1, 5.2 e 5.3 foram obtidas para o caso de uma incidên-
cia normal. Para uma incidência obliqua, precisamos substituir Zα
larização s ou modo transversal elétrico (TE), e Zα
Zα ~ cos θα para po-
Zα cos θα para polarização p ou modo
transversal magnético nas matrizes de interface Mαβ , bem como ηγ
ηγ cos θγ para am-
bas polarizações TE e TM nas matrizes de propagação Mγ . Aqui θα (θγ ) é o ângulo de
incidência do feixe de luz na camada α (γ), com relação ao eixo z.
Os coeficientes de transmitância e reflectância são dados, simplesmente, por:
R
RR
R2
RR M21 RRR
RR
RR
RR
R
RR M11 RRR
R
R
e T
RR
R2
RR 1 RRR
RR
RR ,
RR
R
RR M11 RRR
R
R
(5.4)
onde Mi,j (i, j = 1,2) são os elementos da matriz-transferência óptica,
M
MCA MA MAB MB
MBS MS MSC .
Essa matriz-transferência é formada por um produto de matrizes Mαβ e Mγ . Como podemos observar, a ordem dessas matrizes no produto depende do tipo de série quasi-periódica
e do número da geração N da sequência quasi-periódica (que é o mesmo índice utilizado nas amplitudes do campo eletromagnético). As matrizes do sistema de Fibonacci
considerado aqui podem ser diretamente determinadas (para mais detalhes veja referências [209, 210]). Se nenhum material absorvente é introduzido no sistema de multicamadas, então R T
1 pela conservação da energia. Quando introduzimos um material
com índice de refração complexo (material com absorção), R e T podem ser utilizados para
definir uma absortância (ou absortividade) real pela expressão: Aˆω 
1 R ˆ ω  T ˆ ω ,
que é novamente uma afirmação da conservação da energia. No entanto, a partir da segunda lei de Kirchoff, sabemos que a razão da emitância térmica E ˆω  pela absortância
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
67
Aˆω  é uma constante, independente da natureza do material, sendo a unidade quando a
fonte é um corpo negro perfeito [211,212]. Portanto, neste caso consideramos que a última
camada é um corpo negro e, consequentemente, E ˆω 
E ˆω 
Aˆω 
Aˆω , sendo desse modo
1 R ˆ ω  T ˆω .
(5.5)
Desta forma, considerando-se as equações (5.1), (5.4) e (5.5), podemos calcular a emitância
para qualquer sistema de multicamadas com um substrato absorvente.
5.3
Resultados Numéricos
Considerando a estrutura em multicamadas quasi-periódica em equilíbrio térmico com o seu entorno em uma dada temperatura, apresentamos agora as simulações
numéricas para a emissividade espectral. A representação geométrica esquemática é mostrada na Figura 5.1, considerando o meio A como SiO2 , cujo índice de refração é ηA
1.45,
enquanto o meio B é um metamaterial polaritônico efetivo, considerado por ter um índice
de refração complexo, cuja parte real é negativa, ηB @
madas fotônicas encontra-se no vácuo (ηC
100λ0 ~ηSœ (λ0
B µB . Esta pilha de múltiplas ca-
1), e é crescida sobre um substrato absorvente
S, cujo índice de refração complexo é dado por ηS
dS
º
3.0 0.01i. Sua espessura é dada por
12.238µm), ηSœ sendo a parte real de ηS .
Uma mudança significativa em nosso resultado pode ser encontrada se utilizarmos
uma permissividade negativa tipo polaritons de fonons, definindo um meio polaritônico
mais realístico e produzindo um padrão de emissão muito complexo. Um modelo simples
para a permissividade dielétrica do material polaritônico com perdas é:
B ˆω 
0 Œ1 2
2
ωLO
ω
TO
‘,
ωT2 O ω 2 iΓω
(5.6)
ωLO (ωT O ) sendo a frequência do fonon óptico longitudinal (transversal).
A permeabilidade magnética µˆω  pode ser definida como uma função tipo Drude
[206]:
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
68
µ B ˆω 
1
F ω2
.
ω 2 ω02 iΓω
(5.7)
Consideramos para o LiTaO3 , um típico material polaritônico extensivamente utilizado
experimentalmente, os seguintes parâmetros físicos [207]: ωT O ~2π
46.9 THz, ª
13.4 e Γ
26.7 THz, ωLO ~2π
0.6 THz. A fração F é determinada apenas pela geometria da
rede do meio polaritônico efetivo (camada B), em vez de ser pela carga, massa efetiva
e densidade de elétrons, como ocorre nos materiais naturais. Utilizamos aqui F
motivados pelo trabalho experimental de Smith et al [183], e ω0
0.56,
2πc~λ0 .
Para identificar a região de frequência onde a camada B tem índice de refração
negativo, apresentamos na Figura 5.2 a variação do índice de refração como uma função
da frequência ω em THz. Como pode ser observado a partir da figura, a região de frequência em que o meio B comporta-se como um metamaterial, ou seja, com índice de refração
negativo, é 161.64 @ ω @ 269.40 THz.
Figura 5.2: Propagação esquemática da onda em materiais com índice de refração positivo e negativo.
As figuras 5.3, 5.4 e 5.5 mostram o espectro de emitância (E ˆω, θ) calculado para
as sequências periódica e quasi-periódica como uma função da frequência ω e do ângulo
de incidência θ
θC (C é o vácuo de onde vem o feixe de luz). Estamos levando em
consideração a mesma polarização, ou seja, modo TE ou polarização s, em duas situações
distintas: o caso periódico (Figura 5.3), e a nona geração da sequência quasi-periódica de
Fibonacci (Figura 5.4), respectivamente. Podemos perceber facilmente que a dependência
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
69
angular, para o caso periódico, apresenta um band gap bem definido, com um espectro
mais uniforme que no caso quasi-periódico. Observamos que (ver Figura 5.3 existem dois
band gaps omnidirecionais (região de gap onde a emitância é zero, independentemente do
ângulo de incidência). O primeiro é caracterizado pelo intervalo de frequência 231.68 @
ω @ 284.79 THz, para θ
para θ
0X , e pela estreita região caracterizada por 1.495 @ ω @ 2.2 THz,
90X , demonstrando que a largura do band gap depende fracamente do ângulo. O
segundo band gap omnidirecional está em uma região de frequência muito estreita 153.94 @
ω @ 161.64 THz. Por outro lado, na região de frequência 0 @ ω @ 153.94 THz, temos uma
suave dependência com o ângulo, indo do topo central do espectro em ω
θ
0X e E ˆω, θ = 0.6, para a parte inferior do espectro, em ω
15.39 THz,
153.94 THz.
Figura 5.3: Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância como
uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ numa estrutura periódica.
Na Figura 5.4, plotamos o espectro de emitância calculado para a nona geração
na multicamada quasi-periódica de Fibonacci, para modos TE (polarização s). Nessa
figura observamos que existem duas grandes regiões exibindo band gaps omnidirecionais:
o primeiro deles está na região de frequência 70.81 @ ω @ 153.94 THz, o segundo está na
região de frequência 230.91 @ ω @ 284.79 THz. Podemos notar que na última região o band
gap é mais estreito, para θ
0X , quando comparado com o gap na região de frequência
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
70
230.91 @ ω @ 338.67 THz, para θ
90X . Também, observamos um espectro fragmentado na
região de alta frequência, totalmente distintas das linhas de contorno que definem a superfície vista na Figura 5.3 na mesma região. Outro interessante aspecto da emitância para
o caso quasi-periódico pode ser observado na região 0 @ ω @ 70.81 THz onde, diferentemente do caso periódico, é possível ver a existência de gaps minúsculos. Uma ampliação
detalhada dessa região pode ser vista na Figura 5.5. Aqui, existem muitos band gaps omnidirecionais estreitos de baixa frequência centrados em ω
38.49 THz; 42.33 THz; 49.26
THz; 64.65 THz e 69.27 THz. Além disso, existe outro band gap omnidirecional mais largo
na região 50.03 @ ω @ 61.58 THz.
Figura 5.4: Modo TE (ondas eletromagnéticas com polarização s) do espectro de emitância como
uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ na estrutura quasi-periódica de
Fibonacci (nona geração).
Para o modo TM ou polarização p, a emitância Eˆω, θ (versus ω e θ) é plotada nas
figuras 5.6, 5.7 e 5.8. Nelas, temos a ocorrência de duas situações distintas: o caso periódico (Figura 5.6) e a nona geração da sequência quasi-periódica de Fibonacci Figura 5.7,
respectivamente. Na Figura 5.6, a dependência angular apresenta um band gap omnidirecional bem definido, com um espectro mais uniforme que o caso quasi-periódico retratado
na Figura 5.7, mas muito similar ao modo com polarização s (veja Figura 5.3). Nessa
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
71
Figura 5.5: Ampliação da Figura 5.4 na região de frequência 0 @ ω @ 90 THz.
figura, também é observado um gap estreito na região de frequência 230.91 @ ω @ 284.79
THz, para θ
0X , em comparação com a região de alta frequência 230.91 @ ω @ 323.247
THz, para θ
90X . Por outro lado, na região 0 @ ω @ 153.94 THz, temos dois picos com
emitância máxima correspondente a Eˆ0.25, 60X  = 0.98 e Eˆ0.25, 60X  = 0.98, respectivamente, diminuindo suavemente até o seu valor mínimo, correspondente a E 0, para
ω
153.94 THz. O espectro de emitância quasi-periódico tem, também, dois band gaps om-
nidirecionais com característica similar, com respeito à dependência angular. Na região
de frequência 0 @ ω @ 89.29 THz, é possível observar a existência de gaps minúsculos.
O detalhe ampliado das regiões estreitas em baixas frequências, centradas entre
ω
80.82 THz e 86.98 THz, e o band gap localizado na região 63.12 @ ω @ 73.89 THz são
retratados na Figura 5.8. Comparativamente, as figuras 5.4 e 5.7 apresentam diferenças
com respeito as polarizações, sobretudo na região de baixa frequência. Notamos que para
o modo com polarização p, o espectro de emissão é mais intenso que o modo com polarização s. Além disso, os espectros são completamente distintos na região 46.18 @ ω @ 92.36
THz. Enquanto o modo polarizado s é caracterizado por uma ausência da emissão térmica
na região 50.03 @ ω @ 61.58 THz, o modo polarizado p, ao contrário, emite intensamente
nessa região. Na faixa de frequência 61.58 @ ω @ 73.89 THz, o modo com polarização s
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
72
Figura 5.6: Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarização p) do espectro de emitância como
uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ numa estrutura periódica.
mostra uma alternância de picos e depressões no espectro de emissão térmica, enquanto
para o modo polarizado p existe um band gap na mesma região de frequência. A alternância de picos e depressões torna-se evidente em 73.89 @ ω @ 89.29 THz.
De uma maneira geral, o caso periódico mostra uma diferença qualitativa entre
as polarizações s e p, o que significa que os espectros são muito sensíveis à geometria da
estrutura. Além disso, a estrutura quasi-periódica apresenta um espectro mais fragmentado em comparação ao caso periódico, devido ao seu maior grau de desordem. Em todos
os casos estudados nas figuras com modos TE e nas figuras com modos TM, em relação
à dependência dos espectros de emissão com o ângulo de incidência θ, podemos inferir
que todos os espectros são simétricos em torno de θ
0X , que era esperado visto que a
emitância térmica Eˆω, θ é uma função par de θ. Além disso, a emitância térmica Eˆω, θ
é nula para θ
90X , o que significa que não temos propagação de ondas eletromagnéticas
através da estrutura de multicamadas.
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
73
Figura 5.7: Modo TM (ondas eletromagnéticas com polarização p) do espectro de emitância como
uma função da frequência ω (em THz) e do ângulo de incidência θ na estrutura quasi-periódica de
Fibonacci (nona geração).
Capítulo 5. Band Gaps Omnidirecionais na Faixa de Terahertz em Cristais Polaritônicos
Quasi-periódicos
74
Figura 5.8: Ampliação da Figura 5.7 na região de frequência 0 @ ω @ 90 THz.
CAPÍTULO 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS
O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo teórico da propagação das ondas eletromagnéticas em estruturas, periódicas e quasi-periódicas tipo Fibonacci, compostas pela justaposição de duas camadas com permissividade elétrica diferentes. Essas
estruturas são conhecidas como cristais fotônicos. Para tanto, fizemos uma revisão bibliográfica sobre os cristais fotônicos no capítulo 2. Nesse capítulo, definimos o que seria um
cristal eletrônico, à luz da Física do Estado Sólido, e um cristal fotônico, apontando as
suas principais distinções. Também, apresentamos as propriedades dos cristais fotônicos,
sua evolução histórica (desde os primeiros trabalhos teórico até sua efetiva construção)
e suas principais aplicações tecnológicas , tais como fibras de cristais fotônicos, circuitos
fotônicos integrados, modificação da emissão espontânea, isoladores ópticos, elementos
não-lineares, dispersão e efeito de luz lenta.
No capítulo 3 fizemos uma breve revisão de alguns assuntos da Óptica Ondulatória, mostrando boa parte dos subisídios físicos e matemáticos utilizados nos capítulos
4 e 5. Também, apresentamos o que seria um meio óptico, que no nosso caso é o próprio
cristal fotônico, descrevemos a propagação das ondas eletromagnéticas nesse meios, utilizando o formalismo das equações de Maxwell. A partir dessas equações, defimos a
equação da onda no vácuo e nos meios dielétricos, onde calculamos o índice de refração
do meio e a velocidade de grupo das ondas.
Apresentamos, no capítulo 4, uma teoria geral para a propagação dos polaritons
de fonons em super-redes periódicas e quasi-periódicas de Fibonacci. Uma das camadas,
75
Capítulo 6. Considerações Finais e Perspectivas
76
que constitui a super-rede, possui índice de refração η negativo (metamaterial), onde a
permissividade elétrica e a permeabilidade magnética µ são simultaneamente negativas
na mesma região de frequência em THz. Os espectros foram mostrados nas figuras 4.3
(super-rede periódica) e 4.5 (quarta geração da estrutura quasi-periódica de Fibonacci).
Nos dois casos, observamos que os efeitos no espectro, causados pela introdução do material com índice de refração negativo, são mais acentuados na região de frequência compreendida entre 9.10 B ω B 28.96 THz, onde os modos de volume e superfície existentes
apresentam um comportamento backward (atrasado), que é uma propriedade típica dos
metamateriais. Por outro lado, para os intervalos de alta e baixa frequências temos apenas
modos forward (avançados), que são típicos dos materiais com índice de refração positivo.
Estudamos, também, algumas propriedades físicas das sequências substitucionais,
principalmente aquelas relacionadas com sua localização, que podem ser identificadas a
partir da distribuição das larguras das bandas de energia permitida mostrada na figura
4.8, cujo comportamento auto-similar foi melhor descrito através das leis de potência mostrada na figura 4.9, sem contrapartida para o caso de periódico.
No capítulo 5, investigamos o comportamento da emitância das ondas de luz num
cristal fotônico unidimensional, onde um dos seus constituintes é um material com índice
de refração negativo ou metamaterial polaritônico, organizado numa estrutura de multicamadas periódica ou quasi-periódica. A dependência angular do band gap fotônico
foi investigada detalhadamente. Para modelar o material com índice de refração negativo, propusemos um meio efetivo formado por uma matriz periódica de anéis metálicos
ressonadores, caracterizado por uma função tipo Drude na resposta da permeabilidade
magnética µ, equação 5.7, preenchida por um meio polaritônico LiTaO3 , cuja permissividade elétrica é uma função dependente da frequência dos polaritons de fonons (equação
5.6).
Mostramos que os band gaps omnidirecionais, que estão num intervalo bem definido
no regime de THz, independem da polarização (s ou p) no caso periódico, bem como no
caso quasi-periódico. Ele está compreendido no intervalo de frequência 250 B ω B 300
THz (veja figuras 5.3, 5.4, 5.6 e 5.7). Por outro lado, analisando a estrutura dos band gaps,
podemos concluir que a estrutura de multicamada quasi-periódica revela-se melhor para
o desenvolvimento de um bom filtro óptico na faixa de THz, quando comparada com a
estrutura periódico. De modo geral, temos que o caso periódico mostra apenas uma diferença qualitativa entre as polarizações s e p, em regiões fora do gap omnidirecional, o que
significa que os espectros são muito sensíveis à geometria da estrutura. Além disso, a
Capítulo 6. Considerações Finais e Perspectivas
77
estrutura quasi-periódica de Fibonacci apresenta um espectro mais fragmentado em comparação com o caso periódico. Isso é devido ao maior grau de desordem (ou fractalidade)
na nona geração da sequência de Fibonacci.
Através do controle do ângulo de incidência na estrutura, no caso periódico, verificamos que podemos ajustar a faixa de frequência e a largura dos band gaps ominidirecionais. Além desse, temos um parâmetro adicional para o controle dos band gaps na
estrutura quasi-periódica de Fibonacci: a geração da sequência, que não foi explorada no
capítulo 5. Em ambos os casos, temos um band gap fotônico ominidirecional que irá oferecer muitas perspectivas para construção de interruptores ópticos THz ominidirecionais,
filtros ópticos e outros dispositivos ópticos na faixa de THz.
No decorrer deste trabalho, apresentamos um estudo teórico dos polaritons de
fonons (modos de volume e superfície) e da emissão térmica em estruturas fotônicas
unidimensionais. Como extensão deste estudos podemos investigar o espectro de transmitância através da estrutura fotônica, na faixa de THz, considerando um dos seus elementos de construção um material com índice de refração negativo. Também, podemos estudar o band gap fotônico incluindo a condição da fase efetiva nula, ou seja, Φef f
kx dA kx dB
0 onde kx dA (kx dB ) é o vetor de onda no plano do meio A (B).
As possíveis extensões desse trabalho são:
1. investigar os band gaps da propagação dos polaritons de excitons, que são modos mistos
caracterizados pelo acoplamento da radiação eletromagnética com a par elétron-buraco, numa
estrutura fotônica;
2. investigar os espectros de emissão térmica e transmissão através do cristal fotônico num
modelo cuja permissividade elétrica seja uma função dependente da frequência dos polaritons
de excitons;
3. estender toda essa teoria para estruturas fotônicas bidimensionais e tridimensionais.
4. Estudar estruturas híbridas de cristais fotônicos periódicos/quasi-periódicos usando um modelo cuja permissividade elétrica seja uma função dependente da frequência dos polaritons de
fonons, estudados aqui, bem como um modelo que utilize os polaritons de excitons já proposto;
5. Estudar os modos de defetos inseridos tanto em cristais fotônicos periódicos quanto nos
quasiperiódicos em modelos que utilizem os polaritons de fonons e os polaritons de excitons.
Capítulo 6. Considerações Finais e Perspectivas
78
Por fim, esperamos que o nosso trabalho teórico, acerca da propagação da radiação eletromagnética em estruturas fotônicas, inspirem muitos trabalhos experimentais
que verifiquem os resultados apresentados aqui, ajudando-os a construir novos dispositivos baseados em cristais fotônicos periódicos e quasi-periódicos.
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