1. (2,5 pontos) Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI

1. (2,5 pontos) Resolva por transformada de Laplace o seguinte
PVI:
00
y + 4y = δ(t − π) − δ(t − 2π),
0
onde y(0) = 1 e y (0) = 0. Calcule y(π/2), y(3π/2) e y(3π).
Solução:
00
(0,3) L{y + 4y} = (s2 + 4)Y (s) − s,
(0,2) L{δ(t − π) − δ(t − 2π)} = e−πs − e−2πs ,
e−πs
e−2πs
s
−
+ 2
,
2
2
s +4 s +4 s +4
¾
½
s
= cos 2t,
(0, 3) L 2
s +4
(0, 3) Y (s) =
(
e−πs
(0, 3) L 2
s +4
(
e−2πs
(0, 3) L 2
s +4
)
)
1
1
= uπ (t)sen2(t − π) = uπ (t)sen2t,
2
2
1
1
= u2π (t)sen2(t − 2π) = u2π (t)sen2t,
2
2
1
(0, 2) y(t) = cos 2t + (uπ (t) − u2π (t))sen2t,
2
(0, 2) y(π/2) = cos 2(π/2) = cos π = −1,
(0, 2) y(3π/2) = −1,
(0, 2) y(3π) = 1.
1
2. (1,5 pontos) Calcule a inversa da transformada de Laplace de
F (s):
2s − 1
F (s) = e−4s 2
.
s +4
Solução:
½
−1
(0, 5) L
2s − 1
e−4s 2
s +4
½
¾
¾
= u4 (t)f (t − 4),
1
= 2 cos 2t − sen2t,
2
½
¾
µ
¶
2s − 1
1
(0, 5) L−1 e−4s 2
= u4 (t) 2 cos 2(t − 4) − sen2(t − 4) .
s +4
2
(0, 5) f (t) = L
−1
2s − 1
s2 + 4
2
3. (3.0 pontos)
(a) Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s
usando o método de autovalores e autovetores:
Ã
0
x (t) =
!
2 −1
3 −2
x(t).
Solução:
¯
¯ 2−r
(0, 2) P (r) = ¯¯
¯
3
−1
−2 − r
¯
¯
¯
¯ = r 2 − 1 = 0, r1 = 1, r2 = −1,
¯
Ã
!
1
1
(0, 3) r1 = 1 : v1 =
Ã
(0, 3) r2 = −1 : v2 =
Ã
(0, 2) xh (t) = C1
1
1
!
!
1
3
Ã
t
e + C2
1
3
!
e−t
(b) Encontre a solução do sistema linear não-homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método
de variação de parâmetros:
Ã
0
x (t) =
2 −1
3 −2
!
Ã
x(t) +
et
−et
!
.
Solução:
Ã
(0, 4) Ψ(t) =
et e−t
et 3e−t
Ã
0
−1
(0, 4) u (t) = Ψ (t)g(t) =
!
Ã
−1
, Ψ (t)
3e−t /2 −e−t /2
−et /2
et /2
Ã
(0, 4) u(t) =
3
2t
−e2t /2
3e−t /2 −e−t /2
−et /2
et /2
!Ã
!
,
et
−et
!
Ã
=
!
2
−e2t
!
,
Ã
(0, 4) xp (t) = Ψ(t)u(t) =
et e−t
et 3e−t
Ã
(0, 4) x(t) = xh (t)+xp (t) = C1
1
1
!Ã
2t
−e2t /2
!
Ã
t
e +C2
4
1
3
!
Ã
=
!
2
2
Ã
−t
e +
!
1
te −
2
Ã
t
2
2
!
1
te −
2
t
Ã
1
3
1
3
!
et
!
et
4. (3.0 pontos) Explique detalhadamente.
(a) (1.0) Estude a convergência da série:
∞
X
n!
.
n=1 (2n)!
Solução:
n!
(n + 1)!
, un+1 =
,
(2n!)
(2n + 2)!
un+1
lim
= 0 ⇒ conv.
n→∞ u
n
un =
(b) (1.0) Calcule a soma da série:
∞
X
3n−1 + 7(2n )
6n
n=0
.
Solução:
∞
X
3n−1 + 7(2n )
n=0
=
∞
X
6n
µ ¶n
1
1
3 n=0 2
+7
∞ µ
X
1 3n
=
n=0
∞
X
µ ¶n
n=0
1
3
=
2n
+
7
3 6n
6n
1 1
3 1−
1
2
+7
¶
1
1−
1
3
=
67
.
6
(c) (1.0) Usando o teste da integral determine se a série:
∞
X
1
.
2008
n=2 k(ln k)
converge ou diverge.
Solução:
∞
X
1
1
, f (x) =
> 0, ↓
2008
x(ln x)2008
n=2 k(ln k)
5
Z ∞
2
f (x)dx =
= lim
A→∞
Z A
ln 2
=
Z ∞
2
Z A
dx
dx
= lim
2008
A→∞
x(ln x)
2 x(ln x)2008
dz
z 2008
= lim
A→∞
1
z −2008+1 |A
ln 2
−2008 + 1
1
< ∞ ⇒ conv.
2007 · (ln 2)2007
6