INTEGRAL DEFINIDO

INTEGRAL DEFINIDO
Definição: Seja f (x) uma função real de variável real, definida num intervalo
[a, b]. Chama-se partição P desse intervalo a qualquer decomposição de [a, b]
em n subintervalos da forma ∆ xi tais que a = x 0 < x1 < x 2 < Λ Λ < x n = b .
Definição: Seja f (x) uma função real de variável real, definida num intervalo
[a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se Soma de Reimann de f (x)
em relação à partição P, a toda a expressão da forma
n
∑ f ( wi )∆xi
i =1
onde wi é um qualquer valor no intervalo ∆ xi .
Definição: Seja f ( x) uma função real de variável real, definida num intervalo
[a, b] e P uma partição desse intervalo. Chama-se Integral Definido de f ( x )
b
desde a até b e escreve-se
∫ f ( x) dx , ao limite tal que
a
 n


f
(
x
)
dx
lim
f
(
w
)
x
=
∆
∑
i
i 
∫

P → 0  i =1

a
b
NOTA: Se tal limite existe então dizemos que f (x ) é integrável no intervalo
[a, b].
Definição: Seja a>b então
b
a
a
b
∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx .
a
Corolário:
∫ f ( x) dx = 0 .
a
Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f (x) uma função real de variável
real, contínua e definida num intervalo [a, b]. Se F (x) é a sua primitiva então
b
∫ f ( x) dx = F (b) − F (a) = [F ( x)] a
b
a
Exemplo: Calcule os seguintes integrais definidos:
10
1
a) ∫
dx
5
x
−
1
2
ln 3
b)
∫
0
x
5e dx
5
c)
x −1
∫ x dx
1
PROPRIEDADES DO INTEGRAL DEFINIDO
1. Toda a função contínua em [a, b] é integrável em [a, b].
2. Se f (x) é integrável em [a, b] e k um número real então a função k f (x) é
ainda integrável no mesmo intervalo e tem-se
b
b
a
a
∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx
3. Se f (x) e g (x) são duas funções integráveis em [a, b] então a função
f ( x) + g ( x) é ainda integrável no mesmo intervalo e tem-se
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx
4. Se a<c<b e f (x) é integrável nos intervalos [a, c] e [c, b]então a função
f (x) é integrável em [a, b] e tem-se
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx
5. Se f (x) é integrável num intervalo [a, b] e f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], então
b
∫ f ( x) dx ≥ 0
a
6. Se f (x) e g (x) são duas funções integráveis em [a, b] e f ( x) ≥ g ( x)
∀x ∈ [a, b], então
b
b
a
a
∫ f ( x) dx ≥ ∫ g ( x) dx
NOTA: Se f (x) e g (x) forem funções contínuas no intervalo [a, b] e se
f ( x) ≥ g ( x) ∀x ∈ [a, b], então a área da região plana fechada, limitada pelas
curvas y = f (x) , y = g (x) e pelas rectas verticais x = a e x = b , é dada por
A=
b
∫ [ f ( x) − g ( x)]dx .
a
NOTA: Se f ( y ) e g ( y ) forem funções contínuas no intervalo [c, d ] e se
f ( y ) ≥ g ( y ) ∀x ∈ [c, d ], então a área da região plana fechada, limitada pelas
curvas x = f ( y ) , x = g ( y ) e pelas rectas horizontais y = c e y = d , é dada por
A=
d
∫ [ f ( y ) − g ( y)]dy .
c
Exemplos:
a) Calcule a área da região fechada limitada pelas funções y = − x + 1 , y = 0 e
x = 0.
b) Calcule a área de um círculo de raio 1.
c) Calcule a área da região fechada limitada pela função y = sen(x) e pelo eixo
das abcissas quando x ∈[0 , 2π] .
d) Calcule a área da região fechada compreendida entre os gráficos das
funções y = x 3 e x = y 2 .