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Geometria
e medidas
Guia do professor
Experimento
Polígonos regulares e ladrilhos
Objetivos da unidade
1. Manipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano;
2. Encontrar qual o requisito para que uma certa combinação
de polígonos cubra o plano.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Polígonos
regulares
e ladrilhos
Guia do professor
Sinopse
Este experimento busca apresentar aos alunos o problema do ladri­lhamento
no plano, fazendo com que tentem montar os seus próprios preenchimentos,
utilizando, particularmente, alguns polígonos regulares.
Conteúdos
Geometria Plana: Simetrias.
Objetivos da unidade
1. Manipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano;
2. Encontrar qual o requisito para que uma certa combinação de polígonos
cubra o plano.
Duração
Uma aula dupla.
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A atividade proposta aos alunos é, antes de tudo, uma atividade de exploração, na qual eles desenvolverão uma série de ladrilhamentos do plano
por polígonos regulares e com algumas condições estabelecidas em cada
etapa. O trabalho deve sensibilizar os alunos com a questão bem mais
complexa que é encontrar condições necessárias (e suficientes) para
a existência de ladrilhamentos do plano, utilizando um ou mais tipos de
polígonos.
Veremos de modo detalhado o motivo por que é impossível construir
ladrilhamento regular com 4 ou mais tipos de polígonos, e, para o caso
de 1, 2 ou 3 polígonos, mostraremos todas as possibilidades de ladrilhos
envolvidos.
Cej_lW‚€e
Este experimento lida com conceitos elementares de Geometria, polígonos
regulares, ângulos e lados, e abre portas para investigações bastante sofisticadas como as que apresentamos neste Guia.
Além disso, é possível explorar o forte apelo visual que o trabalho com
ladrilhos possibilita.
E[nf[h_c[dje
Comentários iniciais
A sistematização desta discussão deve começar determinando os ângulos
internos de um polígono regular.
Feb‡]edeih[]kbWh[i[bWZh_b^ei Determinação dos ângulos internos de um polígono regular
Dado um polígono regular de lados, podemos dividi-lo em triângulos
conforme a figura abaixo. Como a soma dos ângulos internos de cada um
dos triângulos é , ao multiplicar o número de triângulos por ,
teremos a soma dos ângulos internos de todos eles juntos ( ).
fig. 1
Conforme ilustrado na figura acima, se subtrairmos a circunferência
que está indicada no centro do polígono, teremos a soma dos seus ângulos
internos ( ).
Como o polígono é regular (seus ângulos internos têm a mesma medida),
ao dividir a soma dos seus ângulos internos pelo número de ângulos, teremos a medida de cada um deles. Logo, a expressão que nos fornece o
ângulo interno de um polígono regular de n lados é:
.
Portanto, os ângulos internos de cada uma das figuras em anexo são:
Triângulo: 60°;
Quadrado: 90°;
Pentágono: 108°;
Hexágono: 120°;
Octógono: 135°.
=k_WZefhe\[iieh
( % -
;jWfW' As primeiras questões
Conforme observado nos Comentários iniciais, o ângulo interno de um
polígono regular de lados mede .
Observação 1
Ao construir um ladrilhamento, a soma dos ângulos do polígono ao redor
de cada vértice deve ser 360°. Usaremos essa observação crucial para
abordar diversas questões.
Tentaremos agora responder às questões apresentadas no experimento.
Questão 1
Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando apenas um
tipo de ladrilho?
Se considerarmos apenas um tipo de polígono, a Observação 1 implica
que algum múltiplo inteiro do ângulo interno deste polígono deve ser 360°.
Observe que, para , a medida do ângulo interno do polígono
satisfaz as desigualdades .
A primeira dessas desigualdades ( ) implica
,
de modo que não é possível ter três cópias do polígono em questão
partilhando um vértice. Entretanto, a segunda desigualdade ( )
implica que
,
de modo que duas cópias são insuficientes para recobrir o plano.
Restam, então, os casos em que , , ou . Para , temos
; mas 108 não é divisor de 360, de modo que tampouco com
pentágonos regulares é possível ladrilhar o plano.
Feb‡]edeih[]kbWh[i[bWZh_b^ei Nos casos restantes, , ou , temos que os ângulos internos dos
polígonos são divisores de 360:
de modo que não há qualquer tipo de obstrução à construção de ladrilhamentos com estes polígonos. De fato, é possível ladrilhar o plano com
triângulos, quadriláteros ou hexágonos regulares.
fig. 2
=k_WZefhe\[iieh
) % -
Questão 2
Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando exatamente
dois tipos de ladrilho?
Vamos considerar ladrilhos formados por polígonos regulares com e lados. Conforme observamos anteriormente, esses ladrilhos têm ângulos
internos iguais a
e respectivamente. Se considerarmos em um vértice cópias do primeiro e
cópias do segundo, a soma dos ângulos internos destes triângulos deve
satisfazer a equação
,
que é equivalente à equação
.
Podemos assumir que , donde decorre que
.
Concluimos com isso que
.
Observe que, se , então
,
de modo que devemos ter .
Como o número de polígonos que se encontram em cada vértice
é ao menos 3, temos um absurdo, de modo que concluímos que não podemos ter .
Feb‡]edeih[]kbWh[i[bWZh_b^ei Vamos agora considerar em separado os casos em que , , ou .
Se , temos um hexágono regular com ângulo interno igual a 120°.
Se tivermos duas cópias deste polígono, a soma dos seus ângulos será
240° e os 120° restantes são insuficientes para acomodar um polígono
com lados. Logo, não podemos ter (lembramos que estamos
assumindo ). Raciocínio similar mostra que tampouco podemos ter
ou .
Assumimos agora que . Neste caso, temos um triângulo com
ângulo interno de 60°. Sendo assim, devemos ter e sobram 4 casos
para analisar. Lembrando que a soma dos ângulos dos polígonos que partilham um vértice deve ser 360° e considerando que um polígono com mais
de 6 lados tem ângulo interno maior que 120°, podemos concluir que
e e e não pode ocorrer
Podemos resumir o resultado no quadro abaixo:
Conclusão
Um ladrilhamento celular regular com 2 polígonos regulares distintos é
necessariamente de um dos seguintes tipos:
1. 4 triângulos e 1 hexágono;
2. 3 triângulos e 2 quadrados;
3. 2 triângulos e 2 hexágonos.
Questão 3
Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando exatamente
três tipos de ladrilho?
Sejam , e o número de lados dos polígonos envolvidos, de que
assumimos que , e sejam , e as medidas dos ângulos
internos de um polígono com , e lados respectivamente. Se tivermos
=k_WZefhe\[iieh
* % -
, e cópias destes polígonos partilhando um vértice, a soma dos
ângulos internos destes polígonos neste vértice será .
Se assumirmos , teremos que
Logo, não podemos ter apenas um polígono de cada tipo, mas tampouco
podemos ter mais de um. Neste caso teríamos
Segue então que devemos ter , ou seja, ao menos um dos polígonos
utilizados deve ser um triângulo equilátero. Assim, a soma dos vértices dos
outros polígonos deve ser 300°. Analisando caso a caso e considerando que
devemos ter é fácil concluir que a única solução possível é ,
e , com , e .
Conclusão
Todo ladrilhamento celular regular com 3 tipos de polígonos tem, em cada
vértice 1 triângulo, 2 quadrados e 1 hexágono.
Feb‡]edeih[]kbWh[i[bWZh_b^ei ;jWfW( As últimas questões
Questão 4
Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando quatro ou mais
tipos de ladrilho?
Neste caso devemos ter 4 polígonos regulares com número distinto de lados,
digamos . Denotando por , , e as medidas dos
ângulos internos de um polígono com , , e lados respectivamente,
temos que a soma dos ângulos desses polígonos é dada por
Com isso, podemos concluir o seguinte:
Conclusão
Não existe ladrilhamento celular regular com 4 ou mais tipos de polígonos.
<[Y^Wc[dje
Além do fechamento proposto no próprio experimento, se desejar, aprofunde as conclusões obtidas pelos alunos expondo as demonstrações
realizadas anteriormente.
=k_WZefhe\[iieh
+ % -
LWh_W‚[i
A questão do ladrilhamento do plano possui muitos desdobramentos matemáticos interessantes e alguns deles podem ser explorados de maneira
lúdica ou formal.
Uma possibilidade que surge naturalmente a partir da proposta deste
experimento é explorar ladrilhamentos com polígonos não regulares. Um
exemplo bastante rico e interessante são os ladrilhos de Penrose (vide
referência 3), que possuem características bastante peculiares que podem
ser exploradas em diversos níveis de profundidade.
Feb‡]edeih[]kbWh[i[bWZh_b^ei 8_Xb_e]hWÅW
Barbosa, Rui Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo:
Editora Atual, 1993.
Imenes, Luiz Márcio; Lellis, Marcelo. Geometria dos Mosaicos. São Paulo:
Editora Scipione, 2002.
http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/matemateca/exposicao/ladrilhos/ladrilhos
(acessado em 15 de agosto de 2009).
=k_WZefhe\[iieh
, % -
Ficha técnica
Autor
Marcelo Firer
Projeto gráfico
Preface Design
Revisores
Matemática
Antônio Carlos do Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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