Discursiva

Parte 2 - P1 de Física I - 2016-2
Nota Q1
Questão 1 - [1,0 ponto]
O vetor aceleração de uma partícula é dado por ~a = −a1 ı̂ − a2 ̂ , onde a1 e a2 são constantes positivas. Sabendo-se que a
velocidade da partícula em t = 0 é igual a v0 ı̂, com v0 > 0, determine
a) o vetor velocidade em função do tempo;
b) o instante de tempo em que os vetores velocidade e aceleração da partícula são ortogonais entre si.
ESPAÇO PARA RESPOSTA COM DESENVOLVIMENTO [0.5] a) Como as duas componentes do vetor aceleração são constantes, podemos usar diretamente
~v (t) = ~v0 + ~a t
~v (t) = (v0 − a1 t)ı̂ − (a2 t)̂
[0.5] b) Dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar entre eles é nulo:
~v (t) · ~a = 0
−a1 (v0 − a1 t) + a22 t = 0
a1 v0
t= 2
a1 + a22
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Parte 2 - P1 de Física I - 2016-2
Nota Q2
Questão 2 [1,5 pontos]
Considere um sistema formado por uma pessoa e um trenó, com massa total M , inicialmente em repouso. A pessoa presa ao
trenó puxa uma corda ideal com uma força horizontal, constante e de módulo F . A corda passa por uma roldana de massa
desprezível e está ligada ao trenó, conforme a figura. Considere que o trenó está sobre uma superfície horizontal cujo atrito é
desprezível.
a) Desenhe o diagrama de forças que atuam sobre o sistema pessoa + trenó, enquanto a pessoa está puxando a corda;
b) Calcule o tempo necessário que o sistema leva para percorrer uma distância d a partir do repouso.
d"
ESPAÇO PARA RESPOSTA COM DESENVOLVIMENTO
[0.6] a)
→
N
→
F
F
→
→
P
d"
[0.9] b) Da segunda Lei de Newton,
P~
F = m~a, temos
2F = M a =⇒ a = 2F/M
como a aceleração é constante, podemos usar x = x0 + v0 t + at2 /2, com x − x0 = d e v0 = 0
d = at2 /2 =⇒ d =
r
t=
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Md
F
2F t2
2M
Parte 2 - P1 de Física I - 2016-2
Nota Q3
Questão 3 - [3,3 pontos]
Um pequeno bloco de massa m, após ser empurrado a partir do repouso por uma mola de constante elástica k, comprimida de
uma distância x, desliza sobre uma superfície horizontal. Após se soltar da mola, ele passa por um trecho de comprimento d, única
região em que o atrito não é desprezível e cujo coeficiente de atrito cinético é µc . No final desta superfície horizontal, o bloco começa
a subir uma rampa vertical semicircular de raio R. Uma vez na rampa o bloco atinge uma posição, cuja direção faz um ângulo θ,
desconhecido, com a vertical, onde para momentaneamente e volta descendo a rampa; como mostra a figura. Calcule
a) a velocidade do bloco imediatamente antes de começar a subir a rampa semicircular;
b) o ângulo θ alcançado;
c) o módulo da força normal, ao atingir o ângulo θ. Apresente a resposta em função dos dados do problema e do ângulo θ;
d) o módulo da velocidade máxima do bloco durante o seu movimento e onde ela ocorre; justifique a sua resposta.
θ R
k
m
d
ESPAÇO PARA RESPOSTA COM DESENVOLVIMENTO
[1,2] a)
–Uma solução: Como entre o instante em que a mola está comprimida e o instante antes de subir a rampa há atrito na superfície, a
energia mecânica não se conserva, e sua variação é igual ao Trabalho da força de atrito:
∆EM = Wf at =⇒ ∆K + ∆Uel = Wfat
Wfat = −fat d
fat
1
∆Uel = − kx2
2
= µc N N = mg =⇒ Wfat = −µc mgd
1
1
mv 2 − kx2 = −µc mgd
2
2
r
kx2
v=
− 2µc gd
m
–Outra solução: O Trabalho da resultante é igual à variação da energia cinética. Entre o instante em que a mola está comprimida e o
instante antes de subir a rampa, a força da mola e a força de atrito realizam trabalho:
Wfat = −fat d
fat
Wres = ∆K
1
Wel = kx2
2
= µc N N = mg =⇒ Wfat = −µc mgd
1 2
1
kx − µc mgd = mv 2
2
2
r
kx2
− 2µc gd
v=
m
–Outra solução: Como entre o instante em que a mola está comprimida e o instante antes do bloco passar pela região com atrito a
energia mecânica se conserva, podemos calcular a velocidade v0 do bloco neste último instante:
E1 = E2
1 2
1
kx = mv02 =⇒ v02 = kx2 /m
2
2
Na região em que há atrito, a força resultante é a força de atrito, portanto, pela segunda Lei de Newton temos
fat = ma
fat = µc N
N = mg =⇒ µc mg = ma =⇒ a = µc g
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Como a aceleração é constante e contrária ao deslocamento, podemos usar
r
kx2
2
2
v = v0 − 2a∆x =⇒ v =
− 2µc gd
m
[0,8] b) Como não há atrito após a região de comprimento d e a rampa, podemos usar a conservação da energia mecânica
1
v2
mv 2 = mgh =⇒ h =
2
2g
h=
kx2
− µc d
2mg
Escrevendo h em função de θ temos
h = R − Rcosθ =⇒ cosθ = 1 − h/R
kx2
µc d
cosθ = 1 −
−
2Rmg
R
[1,0] c) Como o movimento é circular, a resultante das forças na direção radial vale mv 2 /R. A resultante das forças na direção radial,
quando o bloco atinge o ângulo θ vale
X
Fc = N − mgcosθ = mv 2 /R
como nesse ponto a velocidade é zero:
N = mgcosθ
[0,3] d) A região em que a velocidade é máxima, é entre o ponto em que o bloco se solta da mola e antes de atingir a região com
atrito, pois toda a energia potencial elástica armazenada no sistema mola+bloco foi transformada em energia cinética do bloco.
A velocidade é calculada usando a conservação da energia mecânica
1
1 2
kx = mv02 =⇒ v02 = kx2 /m
2
2
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