Respostas dos Problemas de Número Ímpar

APÊNDICE
2
Respostas dos Problemas
de Número Ímpar
Problemas Propostos 11.1
3. 2p/n, 2p/n, k, k, k/n, k/n
΂
΃
p
4
1
1
15. ᎏ ϩ ᎏ ΂cos x ϩ ᎏ cos 3x ϩ ᎏ cos 5x ϩ • • •΃
2
p
9
25
2
p
1
1
1
1
17. ᎏ Ϫ ᎏ ΂cos x ϩ ᎏ cos 3x ϩ ᎏ cos 5x ϩ • • •΃ ϩ sen x Ϫ ᎏ sen 2x ϩ ᎏ sen 3x Ϫ ϩ • • •
p
4
9
25
2
3
1
1
1
1
4
19. Ϫ ᎏ ΂cos x ϩ ᎏ cos 3x ϩ ᎏ cos 5x ϩ • • •΃ ϩ 2΂sen x ϩ ᎏ sen 3x ϩ ᎏ sen 5x ϩ • • •΃
9
25
3
5
p
1
1
1
21. ᎏ p Ϫ 4΂cos x Ϫ ᎏ cos 2x ϩ ᎏ cos 3x Ϫ ϩ • • •΃
3
4
9
2
1
1
1
13. ᎏ ϩ ᎏ cos x Ϫ ᎏ cos 3x ϩ ᎏ cos 5x Ϫ ϩ • • •
p
2
3
5
2
1
4
1
1
4
23. ᎏ p2 Ϫ ᎏ cos x Ϫ ᎏ cos 2x ϩ ᎏ cos 3x ϩ ᎏ cos 4x Ϫ • • •
6
2
27p
8
p
΂ ΃
1
1
29. ƒЈ ϭ 2x, ƒ Љ ϭ 2, j1 ϭ 0, j 1Ј ϭ Ϫ4p, j 1Љ ϭ 0, an ϭ ᎏ Ϫ ᎏ (Ϫ4p) cos np etc.
np
n
Problemas Propostos 11.2
΂
΃
3px
5px
px
1
1
4
1. ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen ᎏ ϩ • • •
2
2
2
3
5
p
1
1
1
4
3. ᎏ Ϫ ᎏ2 cos px Ϫ ᎏ cos 2px ϩ ᎏ cos 3px Ϫ ϩ • • •
3
4
9
p
4
2
1
1
1
5. Retificador, ᎏ Ϫ ᎏ ᎏ cos 2px ϩ ᎏ cos 4px ϩ ᎏ cos 6px ϩ • • •
p
p 1и3
3и5
5и7
4
1
1
1
7. Retificador, ᎏ Ϫ ᎏ2 cos px ϩ ᎏ cos 3px ϩ ᎏ cos 5px ϩ • • •
p
2
9
25
4
2
1
1
1
9. ᎏ ϩ ᎏ2 cos px Ϫ ᎏ cos 2px ϩ ᎏ cos 3px Ϫ ᎏ cos 4px ϩ Ϫ • • •
p
3
4
9
16
5px
1
3px
px
4
1
1
3
1
11. ᎏ Ϫ ᎏ2 cos ᎏ ϩ ᎏ cos px ϩ ᎏ cos ᎏ ϩ ᎏ cos ᎏ ϩ ᎏ cos 3px ϩ • • •
2
25
2
2
p
4
2
9
18
1
3
1
13. ᎏ ϩ ᎏ cos 2x ϩ ᎏ cos 4x
8
2
8
΂
΃
΂
΂
΃
΃
΂
΂
15. Faça uma translação de 12 .
΃
17. Faça x ϭ 0.
Problemas Propostos 11.3
1.
3.
5.
7.
9.
Par, ímpar, nenhum dos dois, par, nenhum dos dois, ímpar
Ímpar
Nenhum dos dois
Ímpar
Ímpar
΃
Respostas dos Problemas de Número Ímpar
΂
237
΃
1
1
p
4
11. ᎏ ϩ ᎏ cos x ϩ ᎏ cos 3x ϩ ᎏ cos 5x ϩ • • •
9
25
2
p
1
1
4
13. ᎏ sen x Ϫ ᎏ sen 3x ϩ ᎏ sen 5x Ϫ ϩ • • •
9
25
p
1
3px
5px
px
1
4
15. 1 Ϫ ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen ᎏ ϩ • • •
5
2
2
2
3
p
΂
΃
΂
΃
΂
΃
1
1
5px
px
8
3px
19. (a) 1 ϩ ᎏ ΂cos ᎏ ϩ ᎏ cos ᎏ ϩ ᎏ cos ᎏ ϩ • • •΃
9
25
2
2
p
2
1
1
px
1
3px
4
(b) ᎏ ΂sen ᎏ ϩ ᎏ sen px ϩ ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen 2px ϩ • • •΃
2
4
2
3
2
p
3
1
1
1
3px
5px
7px
px
2
21. (a) ᎏ Ϫ ᎏ ΂cos ᎏ Ϫ ᎏ cos ᎏ ϩ ᎏ cos ᎏ Ϫ ᎏ cos ᎏ ϩ Ϫ • • •΃
2
3
5
7
2
2
2
2
p
1
1
1
1
6
3px
5px
px
(b) ᎏ ΂sen ᎏ Ϫ ᎏ sen px ϩ ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen ᎏ Ϫ ᎏ sen 3px ϩ • • •΃
3
3
5
9
p
2
2
2
1
1
L
4L
3px
5px
px
23. (a) ᎏ Ϫ ᎏ ΂cos ᎏ ϩ ᎏ cos ᎏ ϩ ᎏ cos ᎏ ϩ • • •΃
2
9
25
p
L
L
L
1
1
3px
2px
px
2L
(b) ᎏ ΂sen ᎏ Ϫ ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen ᎏ Ϫ ϩ • • •΃
2
3
L
L
L
p
1
1
p
4
25. (a) ᎏ ϩ ᎏ ΂cos x ϩ ᎏ cos 3x ϩ ᎏ cos 5x ϩ • • •΃
9
25
2
p
1
1
(b) 2΂sen x ϩ ᎏ sen 2x ϩ ᎏ sen 3x ϩ • • •΃
2
3
5px
px
1
1
3px
4
17. (a) 1, (b) ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen ᎏ ϩ ᎏ sen ᎏ ϩ • • •
2
2
3
5
2
p
2
2
Problemas Propostos 11.4
2i
7. Ϫ ᎏ
p
3. Use (5).
ϱ
9. i
͚
nϭϪϱ
n 0
͚
nϭϪϱ
n 0
nϭϪϱ
p
11. ᎏ ϩ 2
3
(Ϫ1)
ᎏ einx
n
ϱ
13. p ϩ i
2
n
ϱ
͚
1
ᎏ e(2nϩ1)ix
2n ϩ 1
ϱ
͚
nϭϪϱ
nϭϪϱ
nn 00
(Ϫ1)n inx
ᎏ
e
n2
1
ᎏ einx
n
Problemas Propostos 11.5
3. (0,05n)2 em Dn muda para (0,02n)2, que fornece C5 = 0,5100, deixando os outros coeficientes quase inalterados.
5. y ϭ c1 cos vt ϩ c2 sen vt ϩ A(v) cos t, A(v) ϭ 1/(v2 Ϫ 1) Ͻ 0 se v2 Ͻ 1 (deslocamento de fase!) e Ͼ 0
se v2 Ͼ 1
N
an
ᎏ
cos nt
7. y ϭ c1 cos vt ϩ c2 sen vt ϩ
2
v
Ϫ n2
nϭ1
͚
΂
΃
p
1/9
1
4
cos t ϩ ᎏ
cos 3t ϩ • • •
9. y ϭ c1 cos vt ϩ c2 sen vt ϩ ᎏ2 ϩ ᎏ ᎏ
2
2
2v
v Ϫ9
p v Ϫ1
1
1
1
11. y ϭ c1 cos vt ϩ c2 sen vt ϩ ᎏ2 Ϫ ᎏᎏ
cos 2t Ϫ ᎏᎏ
cos 4t Ϫ • • •
2
2v
1 и 3(v Ϫ 4)
3 и 5(v2 Ϫ 16)
13. A situação é a mesma da Fig. 53 na Seção 2.8.
8
3c
15. y ϭ Ϫ ᎏᎏ2 cos 3t Ϫ ᎏᎏ2 sen 3t
64 ϩ 9c
64 ϩ 9c
238
Apêndice Dois
N
17. y ϭ
΂
͚
nϭ1
(1 Ϫ n2)bn
ncbn
Ϫ ᎏ cos nt ϩ ᎏᎏ sen nt , Dn ϭ (1 Ϫ n2)2 ϩ n2c 2
Dn
Dn
΃
ϱ
19. I(t) ϭ
͚
(An cos nt ϩ Bn sen nt),
nϭ1
240(10 Ϫ n2)
An ϭ (Ϫ1)nϩ1 ᎏᎏ
,
n2Dn
2400
Bn ϭ (Ϫ1)nϩ1 ᎏ , Dn ϭ (10 Ϫ n2)2 ϩ 100n2
nDn
Problemas Propostos 11.6
΂
΃
1
(Ϫ1)Nϩ1
1. F ϭ 2 sen x Ϫ ᎏ sen 2x ϩ • • • ϩ ᎏ sen Nx , E* ϭ 8,1; 5,0; 3,6; 2,8; 2,3
2
N
΂
΂
΃
4
1
1
p
3. F ϭ ᎏ Ϫ ᎏ cos x ϩ ᎏ cos 3x ϩ ᎏ cos 5x ϩ • • • , E* ϭ 0,0748; 0,0748; 0,0119; 0,0119; 0,0037
p
9
25
2
1
1
1
4
2
5. F ϭ ᎏ Ϫ ᎏ ᎏ cos 2x ϩ ᎏ cos 4x ϩ ᎏ cos 6x ϩ • • • , E* ϭ 0,5951; 0,0292; 0,0292; 0,0066; 0,0066
3и5
5и7
p
p 1и3
΃
΂
΃
1
1
4
7. F ϭ ᎏ sen x ϩ ᎏ sen 3x ϩ ᎏ sen 5x ϩ • • • , E* ϭ 1,1902; 1,1902; 0,6243; 0,6243; 0,4206
3
5
p
(0,1272 quando N ϭ 20)
΂
΃
1
1
8
9. ᎏ sen x ϩ ᎏ sen 3x ϩ ᎏ sen 5x ϩ • • • , E* ϭ 0,0295; 0,0295; 0,0015; 0,0015; 0,00023
27
125
p
Problemas Propostos 11.7
͵
ϱ
w
1
1. ƒ(x) ϭ pe�x (x Ͼ 0) fornece A ϭ
e�v cos wv dv ϭ ᎏ2 , B ϭ ᎏ2 (veja o Exemplo 3), etc.
1ϩw
1ϩw
0
3. ƒ(x) ϭ 1_2pe�x fornece A ϭ 1/(1 ϩ w 2).
5. Use ƒ ϭ (p/2) cos v e (11) no Apêndice 3.1 para obter A ϭ (cos (pw/2)) /(1 Ϫ w 2).
2
7. ᎏ
p
2
11. ᎏ
p
2
17. ᎏ
p
͵
͵
͵
ϱ
0
ϱ
0
ϱ
0
sen aw cos xw
ᎏᎏ dw
w
2
9. ᎏ
p
2
15. ᎏ
p
2
19. ᎏ
p
cos pw ϩ 1
cos xw dw
ᎏᎏ
1 Ϫ w2
pw Ϫ sen pw
ᎏᎏ
sen xw dw
w2
͵
͵
͵
ϱ
0
ϱ
0
ϱ
0
cos w ϩ w sen w Ϫ 1
cos xw dw
ᎏᎏᎏ
w2
sen pw
ᎏ2 sen xw dw
1Ϫw
wa Ϫ sen wa
sen xw dw
ᎏᎏ
w2
Problemas Propostos 11.8
1.
Ί๶ ΂
2 sen 2w Ϫ 2 sen w
ᎏ ᎏᎏ
w
p
΃
5. ͙ෆ
p/2 e�x (x Ͼ 0)
p/2 cos w se 0 Ͻ w Ͻ p/2 e 0 se w Ͼ p/2
7. ͙ෆ
9. Sim, não
(2/p) w /(w ϩ p )
11. ͙ෆ
2
2
2
2
2
2
13. �s(xe�x /2) ϭ �s(Ϫ(e�x /2)Ј) ϭ w�c(e�x /2) ϭ we�w /2
17. �c(ƒЈ) ϭ �c(Ϫaƒ) ϭ Ϫa�c(ƒ) ϭ Ϫ
Ί๶
a2
2
ᎏ ᎏ
ϭ w�s(ƒ) Ϫ
p a2 ϩ w2
Ί๶ᎏp и 1, � (ƒ) ϭ Ί๶ᎏp ᎏ
a ϩw
2
19. Em (5) para ƒ(ax) faça ax ϭ v.
Problemas Propostos 11.9
3. ik(e�ibw Ϫ 1) /(͙ෆ
2p w)
�iw
2pw 2)
7. [(1 ϩ iw)e Ϫ 1] /(͙ෆ
�w2/2
1
11. 2 e
2p) ϭ ͙ෆ
(2/p) (sen bw)/w
13. (eibw Ϫ e�ibw) /(iw͙ෆ
w
2
s
5. ͙ෆ
(2/p) k (sen w)/w
9. ͙ෆ
(2/p) i(cos w Ϫ 1)/w
2
2