titulo do trabalho

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE
F ÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL
PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM
F ÍSICA
C ONDIÇÕES DE E NERGIA DE H AWKING E E LLIS E
A E QUAÇÃO DE R AYCHAUDHURI
C RISLANE DE S OUZA S ANTOS
NATAL - RN
A BRIL 2011
C RISLANE DE S OUZA S ANTOS
C ONDIÇÕES DE E NERGIA DE H AWKING E E LLIS E
A E QUAÇÃO DE R AYCHAUDHURI
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de PósGraduação em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como
requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Física.
Orientador: Prof. Dr. Janilo Santos
NATAL - RN
A BRIL 2011
Aos meus queridos pais, Creusa e Auto, que me inspiram a
cada dia que acordo.
i
AGRADECIMENTOS
• A Deus, O Criador de todas as coisas e fonte de amor, paz e sabedoria, elementos
indispensáveis na elaboração da minha dissertação.
• Aos meus pais, Auto e Creusa, pelo amor incondicional.
• Aos meus irmãos Anne Caroline Souza, Danilo Souza e Gislande Souza pela cumplicidade e amizade.
• Ao Lívio, pela compreensão e paciência.
• Ao meu orientador, Dr. Janilo Santos, pela sua dedicação, paciência, e sobre tudo
disponibilidade em transmitir conhecimentos.
• Aos amigos em especial, Juliana Cerqueira e Noelia Souza pelo apoio constante.
• A todos os meus colegas do DFTE/UFRN em especial Eliângela Paulino, Flodoaldo
de Lima, Msc. Hidalyn Mattos, Msc. Marcelo Brito e Nyladih Mattos pelo ambiente
de amizade e companheirismo criado durante a parte curricular, e que permitiram
tornar este curso um espaço de crescimento.
• Ao Drs. Antônio Macedo e Gabriel Alves Mendes pela ajuda na resolução de problemas técnicos, pelo apoio e pela amizade quando sempre se fez necessário.
• A todos os professores da PPGF-UFRN em particular Dr.
Ananias Mariz, Dr.
Dory Hélio Anselmo, Dr. Francisco Alexandre, Dr. Luciano Silva e Dr. José Renan de Medeiros que direta ou indiretamente contribuíram para a minha formação
acadêmica .
• Aos funcionários do PPGF-UFRN em especial Celina Pinheiro e Maria Deílda "por
estarem sempre por perto".
• Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPQ) pelo
apoio financeiro.
ii
“A coisa mais bela que o homem pode experimentar é o mistério. É essa emoção fundamental que está na raiz de toda
ciência e toda arte.”
Albert Einstein
iii
Resumo
Na teoria da Relatividade Geral de Einstein as equações de campo relacionam a geometria do espaço-tempo com o conteúdo de matéria e de energia, fontes do campo gravitacional. Esse conteúdo é descrito por um tensor de segunda ordem, conhecido como tensor
energia-momento. Por outro lado, os tensores energia-momento que possuem significado
físico não são especificados por essa teoria. Na década de 70, Hawking e Ellis estabeleceram algumas condições, consideradas plausíveis do ponto de vista físico, com o intuito
de limitar as arbitrariedades desses tensores. Essas condições ficaram conhecidas como
condições de energia de Hawking-Ellis, desempenham papéis importantes no cenário da
gravitação. Elas são largamente usadas como poderosas ferramentas de análise, desde a
demonstração de importantes teoremas relativos ao comportamento de campos gravitacionais e geometrias associadas, comportamento quântico da gravitação, até as análises de
modelos cosmológicos. Nesta dissertação apresentamos uma dedução rigorosa das várias
condições de energia em voga atualmente na literatura científica, tais como: Condição
de Energia Nula (NEC), Condição de Energia Fraca (WEC), Condição de Energia Forte
(SEC), Condição de Energia Dominante (DEC) e Condição de Energia Dominante Nula
(NDEC). Tendo em mente as aplicações mais corriqueiras em Gravitação e Cosmologia,
as deduções foram feitas inicialmente para um tensor energia-momento de um fluido perfeito generalizado e depois estendidas aos campos escalares com acoplamento mínimo
e não-mínimo ao campo gravitacional. Apresentamos também um estudo sobre as possíveis violações de algumas dessas condições de energia, visando o estudo da natureza
singular de algumas soluções exatas da Relatividade Geral de Einstein, em 1955, o físico
indiano Raychaudhuri derivou uma equação que hoje é considerada fundamental para
o estudo da atração gravitacional da matéria, a qual ficou conhecida como equação de
Raychaudhuri. Essa célebre equação é considerada o alicerce da compreensão da atração
gravitacional em Astrofísica e Cosmologia e dos teoremas de Singularidades, como por
exemplo, o teorema de Hawking e Penrose sobre a singularidade do colapso gravitacional. Nesta dissertação derivamos a equação de Raychaudhuri, o teorema de Frobenius e
o teorema da Focalização para congruências tipo-tempo e tipo-nulas de uma variedade
pseudo-riemanniana. Discutimos o significado geométrico e físico dessa equação, sua
conexão com as condições de energia, e algumas de suas inúmeras aplicações.
Palavras-chaves: Relatividade Geral, Condições de Energia, Equação de Raychaudhuri.
iv
Abstract
In the Einstein’s theory of General Relativity the field equations relate the geometry of
space-time with the content of matter and energy, sources of the gravitational field. This
content is described by a second order tensor, known as energy-momentum tensor. On
the other hand, the energy-momentum tensors that have physical meaning are not specified by this theory. In the 700 s, Hawking and Ellis set a couple of conditions, considered
feasible from a physical point of view, in order to limit the arbitrariness of these tensors.
These conditions, which became known as Hawking-Ellis energy conditions, play important roles in the gravitation scenario. They are widely used as powerful tools for analysis;
from the demonstration of important theorems concerning to the behavior of gravitational
fields and geometries associated, the gravity quantum behavior, to the analysis of cosmological models. In this dissertation we present a rigorous deduction of the several energy
conditions currently in vogue in the scientific literature, such as: the Null Energy Condition (NEC), Weak Energy Condition (WEC), the Strong Energy Condition (SEC), the
Dominant Energy Condition (DEC) and Null Dominant Energy Condition (NDEC). Bearing in mind the most trivial applications in Cosmology and Gravitation, the deductions
were initially made for an energy-momentum tensor of a generalized perfect fluid and
then extended to scalar fields with minimal and non-minimal coupling to the gravitational field. We also present a study about the possible violations of some of these energy
conditions. Aiming the study of the single nature of some exact solutions of Einstein’s
General Relativity, in 1955 the Indian physicist Raychaudhuri derived an equation that is
today considered fundamental to the study of the gravitational attraction of matter, which
became known as the Raychaudhuri equation. This famous equation is fundamental for
to understanding of gravitational attraction in Astrophysics and Cosmology and for the
comprehension of the singularity theorems, such as, the Hawking and Penrose theorem
about the singularity of the gravitational collapse. In this dissertation we derive the Raychaudhuri equation, the Frobenius theorem and the Focusing theorem for congruences
time-like and null congruences of a pseudo-riemannian manifold. We discuss the geometric and physical meaning of this equation, its connections with the energy conditions,
and some of its several aplications.
Keywords: General Relativity, Energy Conditions, Raychaudhuri Equation.
v
LISTA DE FIGURAS
2.1
As regiões sombreadas no plano ρ − p são aquelas que obedecem as condições de
energia designadas. São ilustradas a Condição de Energia Fraca (WEC), a Condição
de Energia Nula (NEC), a Condição de Energia Dominante (DEC), a Condição de
Energia Dominante Nula (NDEC), a Condição de Energia Forte (SEC) e a condição
w ≥ −1 (Figura reportada da referência [20]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
23
Limitações das condições de energia nos potenciais de campos fantasmas. No intervalo (I) os campos fantasmas não violam a SEC, mas violam WEC. No intervalo
(II), ambas (SEC e WEC) são violadas enquanto que na região (III) campos fantasmas não violam WEC, mas violam SEC. (Figura retirada da referência [28]). . . . .
3.1
32
O movimento interno de um meio deformável bi-dimensional. (Figura reproduzida da referência [17]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2
Vetor de desvio entre duas geodésicas vizinhas. (Figura retirada da referência [17]).
42
3.3
Familia de hipersuperfícies ortogonais à congruência de geodésicas nulas. (Figura
extraída da referência [17]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
56
No eixo vertical temos os valores da função dada por (3.124) para diferentes valores
dos parâmetros ( ΩΛ0 e Ωm0 ): ΩΛ0 = 1/3 e Ωm0 = 2/3 (verde); ΩΛ0 = 0.6 e Ωm0 =
0.4 (azul); ΩΛ0 = 0.7 e Ωm0 = 0.3 (preto); ΩΛ0 = 0.8 e Ωm0 = 0.2 (vermelho). . . . .
vi
70
LISTA DE SIGLAS
CDM Cold Dark Matter
DEC Dominant Energy Condition
FLRW Friedmann-Lamaître- Robertson- Walker
NDEC Null Dominant Energy Condition
NEC Null Energy Condition
SEC
Strong Energy Condition
WEC Weak Energy Condition
vii
SUMÁRIO
Lista de siglas
vii
Introdução
1
1
Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
6
1.1
Algumas Relações Essenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
O Tensor Energia-Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
O modelo cosmológico de Friedmann-Lamaître-Robertson-Walker (FLRW)
10
1.4
Expansão do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2
Condições de Energia
15
2.1
As Condições de Energia na Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.1
Condição de Energia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.2
Condição de Energia Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.3
Condição de Energia Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.4
Condição de Energia Dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.5
Condição de Energia Dominante Nula . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Condições de Energias Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2
viii
2.3
2.4
3
Aplicações das Condições de Energias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.1
Condições de Energias e a Expansão Acelerada do Universo . . . . .
25
2.3.2
Condições de Energias para o Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3.3
Campo Escalar com Acoplamento Gravitacional Não Mínimo . . . .
28
Violações das condições de energia: Alguns exemplos . . . . . . . . . . . . .
30
A Equação de Raychaudhuri
33
3.1
Cinemática de Um Meio Deformável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1.1
Expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.1.2
Distorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.1.3
Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.1.4
Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Congruência de Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2.1
Congruência de Geodésicas Tipo-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2.1.1
Métrica Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.2.1.2
Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.2.1.3
Teorema de Frobenius para Congruências Tipo-Tempo . . .
45
3.2.1.4
A Equação de Raychaudhuri para Congruências Tipo-Tempo 47
3.2.1.5
Teorema da Focalização para Congruências Tipo-Tempo . .
50
Congruência de Geodésicas Tipo-Nula . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2.2.1
Métrica Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2.2.2
Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2.2.3
Teorema de Frobenius para Congruências de Geodésicas
3.2
3.2.2
Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.4
Equação de Raychaudhuri para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.5
55
57
Teorema da Focalização para Congruências de Geodésicas
Tipo-Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
58
3.3
4
3.2.3
O Termo de Aceleração e Parametrizações Não Afim . . . . . . . . .
58
3.2.4
Cálculo da Evolução para Expansão: Exemplos . . . . . . . . . . . .
60
Aplicações da Equação de Raychaudhuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.3.1
Teoremas de Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.3.2
Astrofísica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.3.3
Modelos Cosmológicos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker .
67
Conclusões e Perspectivas
71
4.1
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2
Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Referências bibliográficas
74
Apêndice
80
A Geodésicas
80
x
INTRODUÇÃO
"A vida sem ciência é uma espécie de
morte. "
Sócrates
Através dos séculos, o homem sempre esteve em busca de teorias que descrevessem
o Universo. Em sua eterna tentativa de compreender a Natureza e os fenômenos ao seu
redor, ele tem formulado teorias e modelos que respondem às suas indagações. Encontrar leis que regem o Cosmo sempre foi um anseio humano. Um dos principais objetivos
dos pesquisadores da antiguidade era entender a interação entre corpos distantes e sugerir leis que descrevessem a física do problema. Foram muitas as especulações filosóficas
e qualitativas neste sentido. Entretanto, foi somente no século XVII que o físico inglês
Isaac Newton propôs um tratamento mais formal sobre o processo de interação à distância de corpos materiais. Chamado de lei da Gravitação Universal. Ela estabelece que dois
corpos se atraem com uma força que é proporcional ao produto das massas dos corpos interagentes e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles, cujo módulo
é dado por
F =G
m1 m2
,
r2
(1)
onde m1 e m2 são as massas dos corpos interagentes, r é distância e G é a constante da
gravitação universal (G = 6, 67x10−11 N m2 kg −2 ). Essa lei prevê as órbitas da Terra, da Lua
1
e dos planetas com precisão. Na teoria da gravitação newtoniana, a interação gravitacional à distância se dá de forma instantânea, em outras palavras, os efeitos gravitacionais
ocorrerem a uma velocidade infinita.
Albert Einstein, em 1905, munido de interpretações inovadoras de alguns conceitos fundamentais tais como espaço, tempo, matéria e energia, propôs a teoria da Relatividade Especial. Essa teoria tem como pressuposto fundamental que a velocidade da luz é
a mesma para todos os observadores (como demonstrado pelo experimento de MichelsonMorley) e se mostrou bem sucedida ao descrever o que acontece quando alguma matéria
se desloca em velocidade próxima à da luz [1]. Entretanto, passa ao largo com relação
à teoria da gravidade de Newton, no que diz respeito ao pressuposto que as interações
ocorrem de forma instantânea nessa teoria. Einstein, entre 1908 e 1915, fez uma série de
tentativas visando obter uma teoria de gravidade que fosse compatível com a Relatividade Especial. Por fim, em 1916, ele propôs uma nova teoria de gravidade, chamada de
teoria da Relatividade Geral. Nessa teoria, a gravidade não é uma força e sim uma consequência do fato que o espaço-tempo não é plano, como considerado anteriormente, ou
seja, ele é curvo ou "arqueado" pela distribuição de massa e energia presente.
A teoria da Relatividade Geral é uma teoria geométrica do campo gravitacional.
Apesar de brilhante e inovadora, ela é considerada uma teoria extremamente complexa,
mesmo quando restringimos nossa atenção ao regime puramente clássico. As equações
de campo de Einstein
Gµν = χTµν ,
relacionam a geometria de um dado espaço-tempo à sua distribuição de matéria. No lado
esquerdo temos o tensor de Einstein (Gµν = Rµν − 12 gµν R) o qual é definido em termos do
tensor métrico gµν (descreve a geometria do espaço-tempo) e suas derivadas. O primeiro
termo da direita na equação é a constante de acoplamento χ entre o campo e a geometria, o
segundo é o tensor energia-momento Tµν que contém em sua estrutura matemática todas
as informações referentes à energia e aos momentos do campo. Um fato interessante é que
o tensor de Einstein obedece a uma equação de conservação: ∇µ Gµν = 0, um resultado
de natureza puramente geométrico oriundo das chamadas identidades de Bianchi. Como
os tensores representativos das distribuições de matéria-energia Tµν também obedecem a
mesma lei de conservação, isto nos leva a pensar nas equações de Einstein sem especificar a teoria da matéria da qual Tµν é derivado. Tal fato nos deixa com um grande leque
2
de arbitrariedades referentes a esse tensor. Considere, por exemplo, a seguinte questão:
quais métricas obedecem as equações de Einstein? Na ausência de vínculos em Tµν , a
reposta é qualquer métrica. Basta simplesmente escolhermos uma métrica, tomarmos
suas derivadas, calcularmos o tensor de Riemann, a partir dele encontrarmos o tensor de
Ricci e em seguida o escalar de Ricci (escalar de curvatura) e por fim, teremos tudo que
precisamos para montar o tensor de Einstein. Esse tensor define naturalmente um Tµν . Assim, temos inúmeras possibilidades inquietantes de fontes para os campos gravitacionais.
Entretanto, o que de fato é relevante do ponto de vista físico, são as soluções para as equações de Einstein na presença de fontes realísticas de energia e momento. Coube então aos
físicos Stephen Hawking e George Ellis, na década de 70, fazerem uma análise de quais
protagonistas poderiam fazer parte deste cenário, interpretando os papéis das fontes de
energia e momento. Para tal feito, eles estabeleceram algumas exigências de natureza puramente física (embasadas nas formas conhecidas de matéria) sobre as componentes do
tensor energia-momento. Este trabalho foi feito inicialmente para um Tµν de um fluido
perfeito (caracterizado por uma densidade ρ e pressão P ). Essas exigências físicas passaram a ser chamadas de condições de energia da Relatividade Geral. Elas devem ser
suficientemente gerais para satisfazer todos os campos (pelo menos em um nível clássico)
e devem ser invariantes sob mudança de sistemas de coordenadas. Atualmente as condições de energia mais discutidas na literatura são: Condição de Energia Nula, Condição de
Energia Fraca, Condição de Energia Forte e Condição de Energia Dominante.
As recentes descobertas no campo da Cosmologia Observacional levaram a uma
evidência cada vez mais crescente que o Universo atual está submetido a uma expansão acelerada. Com isso, são inúmeros os trabalhos que surgem com esse enfoque e com
eles, diversas maneiras de interpretar e explicar a aceleração cosmológica. Esses cientistas
propõem modelos e/ou campos de matéria como solução para o problema da aceleração
cósmica. O modelo mais aceito atualmente é o chamado "modelo da concordância", que
supõe a existência de uma componente energética chamada energia escura, a qual seria
responsável pela aceleração em escala cosmológica. Outra forma de explicar a expansão
do Universo, sem a necessidade de supor a existência de energia escura, é uma modificação na teoria da gravidade de Einstein. Tais teorias denominadas "teorias de gravidade
modificada" alteram a Relatividade Geral, em maior ou menor grau.
As condições de energia de Hawking-Ellis contribuem, na investigação dessas
teorias de gravidade modificadas, para delimitar seus parâmetros. Do ponto de vista
teórico, as condições de energia têm sido usadas principalmente como hipótese inicial
3
para provar diversos teoremas da teoria da Relatividade Geral, tais como teoremas da singularidades (garantindo, sob certas circunstâncias, o colapso gravitacional e/ou a existência da singularidade do Big Bang), teorema da censura topológica (proibindo a existência
de "buracos-de-minhoca"), teorema da censura superluminosa (limitando a intensidade
do fechamento dos cones de luz na presença de fortes campos gravitacionais), teorema
da energia positiva (garantindo que a massa de um sistema gravitacional complexo seja
sempre positiva).
Em 1955, o físico indiano Almakumar Raychaudhuri (1923-2005) [2], com o intuito
de estudar a natureza singular de algumas soluções exatas da Relatividade Geral, obteve
uma equação que descrevia a evolução da expansão de uma congruência de geodésicas.
Essa equação é hoje considerada fundamental para o estudo da atração gravitacional da
matéria quando se leva em conta algumas das condições de energia juntamente com uma
teoria de gravidade. Por meio dela, Raychaudhuri mostrou a natureza repulsiva de uma
constante cosmológica positiva nas equações de Einstein. A equação de Raychaudhuri
possui também aplicações em diversos contextos físicos, visto que essa equação codifica
informações geométricas sobre os fluxos. Entre as aplicações dentro da RG, podemos citar
como sua principal utilidade a compreensão dos problemas de singularidade é a mais
saliente delas. Em Astrofísica e Cosmologia, essa equação é considerada o alicerce para o
estudo do colapso gravitacional. Os modelos cosmológicos que obedecem à condição de
energia forte fazem uso desta equação como base nos cálculos para a estimativa da idade
do Universo.
Esta dissertação está estruturada da forma descrita a seguir. No capítulo 1, faremos uma breve revisão da teoria da Relatividade Geral mostrando suas principais idéias.
Falaremos também, de forma sucinta, sobre o modelo de Universo de Friedmann-LamaîtreRobertson- Walker (FLRW). No capítulo 2, deduziremos de forma rigorosa as condições
de energia (Condição de Energia Nula, Condição de Energia Fraca, Condição de Energia
Forte, Condição de Energia Dominante e Condição de Energia Dominante Nula) para o
tensor energia-momento de um fluido perfeito generalizado. Em seguida, deduziremos as
mesmas condições para um campo escalar com acoplamento mínimo e não-mínimo com
campo gravitacional. Apresentaremos um exemplo de aplicação das condições de energia
em Cosmologia e também um estudo sobre as possíveis violações de algumas dessas condições. No capítulo 3, derivaremos com detalhes a equação de Raychaudhuri, o teorema
de Frobenius e o teorema da Focalização para congruências tipo-tempo e tipo-nulas de
uma variedade pseudo-riemanniana. Discutiremos o significado e algumas das inúmeras
4
aplicações da equação de Raychaudhuri, em especial do teorema da Focalização. No capítulo 4, apresentaremos nossas conclusões e perspectivas de trabalhos futuros.
A assinatura usada no decorrer de toda a dissertação é (−, +, +, +) e usamos c = 1.
Os índices gregos variam de 0 a 3 e os índices latinos de 1 a 3.
5
CAPÍTULO 1
RELATIVIDADE GERAL: UMA BREVE REVISÃO
"Os conceitos e princípios fundamentais
são invenções livres do espírito humano".
Albert Einstein
A teoria da Relatividade Especial, proposta por Einstein em 1905, fundamentase nos seguintes postulados: i) as leis físicas devem ser as mesmas para quaisquer observadores inerciais; ii) a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor para todos
esses observadores. Entretanto, Einstein não acreditava que sua teoria estivesse completa.
Havia pelo menos dois pontos nebulosos nessa teoria. Primeiro, nenhuma interação física
poderia se propagar mais rápido que a velocidade da luz, o que contradizia a teoria da
gravitação de Newton. Na teoria newtoniana a gravidade era uma força que agia instantaneamente sobre os objetos a qualquer distância. O segundo ponto era que as descrições
de movimento eram restritas aos referenciais inerciais.
Em 1916, Einstein completou sua teoria chamada de teoria da Relatividade Geral
(RG), baseada em potenciais e expressa em uma linguagem puramente geométrica, onde
a pressão, assim como a densidade é uma fonte de gravitação. Essa teoria postula o fato
que sistemas acelerados são fisicamente equivalentes àqueles submetidos a campos gravitacionais,ou seja, a massa inercial e massa gravitacional são equivalentes "princípio da
equivalência".
6
Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
7
Na RG, a massa causa curvatura no espaço-tempo. É essa curvatura que observamos como campo gravitacional. A relação entre a curvatura do espaço-tempo e a distribuição de matéria é dada por
Gµν = χTµν ,
(1.1)
onde χ = 8πG é a constante de acoplamento entre a geometria do espaço-tempo e a
matéria, G é a constante gravitacional de Newton (G = 6, 67x10−11 N m2 kg −2 ), Tµν é o
tensor energia-momento, Gµν é o tensor de Einstein, (Gµν = Rµν − 21 gµν R); Rµν é o tensor
de Ricci, R é o escalar de curvatura e gµν o tensor métrico do espaço-tempo. As equações
de Einstein (1.1) relacionam a geometria do espaço-tempo com o conteúdo da matéria e
da energia (fontes do campo gravitacional). Essas fontes são especificadas por Tµν . Essa
é a teoria que generaliza a Relatividade Especial para o caso de referenciais não inerciais
e se reduz à teoria de gravitação de Newton no regime não relativístico. De acordo com
o princípio da equivalência [3], em cada ponto do espaço-tempo imerso em um campo
gravitacional arbitrário é possível estabelecermos um sistema de referências localmente
inercial, onde valem as leis da Relatividade Especial. A RG se alicerça em mais alguns
princípios e conceitos fundamentais, entre eles destacamos: i) o Princípio Geral da Relatividade (as leis das físicas devem ser as mesmas em referenciais inerciais ou não inerciais);
2) Princípio da Covariância Geral (as leis da Física devem ter a mesma forma em todos os
sistemas de coordenadas).
Einstein em 1917, numa tentativa de usar suas equações para explicar o Universo
como todo mantido unido pela gravitação, modificou suas equações com a introdução da
famosa constante cosmológica (Λ) a fim de obter um Universo estático. Naquela época, não
havia qualquer razão para supor que o Universo estivesse se expandindo ou contraindo.
A constante cosmológica age como uma força repulsiva que previne o colapso do Universo
pela atração gravitacional. Assim as suas equações (1.1) tomaram a seguinte forma
Gµν + Λgµν = 8πGTµν ,
(1.2)
o Universo de Einstein era estático, com uma densidade que era fixada pela constante
cosmológica Λ e pelo valor de G. Contudo, na década de 20, a descoberta por Edwin
Hubble de uma relação entre "redshift1 "e distância, acabou com qualquer interesse no
Universo estático de Einstein.
1
Em português significa desvio para o vermelho.
Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
1.1
8
Algumas Relações Essenciais
Nesta seção iremos introduzir certas relações do campo da geometria diferencial
que são essenciais para a construção das equações de Einstein, bem como aos cálculos
posteriores que aparecem no decorrer desta dissertação [4, 5, 6].
O tensor de Riemann é a quantidade geométrica que nos informa sobre a curvatura de um espaço-tempo. Esse tensor é definido como
λ
Rµνκ
= Γλµκ ,ν −Γλµν ,κ −Γλσκ Γσµν + Γλσν Γσµκ .
(1.3)
A vírgula denota a derivada parcial ordinária ∂/∂xν , e as conexões Γλµν são dadas em
termos da métrica e suas derivadas
1
Γλµν = g λσ (gνσ ,µ +gσµ ,ν −gµν ,σ ) .
2
(1.4)
A nulidade de todas as componentes do tensor de Riemann implica que a forma métrica
fundamental descreve uma variedade plana, o que significa que não há a presença de um
campo gravitacional (ver demonstração em [6]).
Outro tensor fundamental é o tensor de Ricci. Este tensor é de segunda ordem, e
é construído a partir da contração do tensor de Riemann [3, 6]
ν
Rµκ = g λν Rλµνκ = Rµνκ
.
(1.5)
Este tensor é simétrico e possui a princípio um total de 10 componentes independentes,
isso devido as propriedades de anti-simetria do tensor de Riemann. O Tensor de Ricci está
diretamente relacionado, via equações de Einstein, ao conteúdo físico do espaço-tempo
representado pelo tensor energia-momento. Com a contração do tensor de Ricci, temos o
escalar de curvatura, também conhecido como escalar de Ricci, definido por
R = g µν Rµν .
(1.6)
Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
9
O escalar de curvatura é uma medida do "raio de curvatura" da variedade. Para uma
esfera bidimensional de raio a = cte., temos R = 2/a2 . Tendo o tensor de Ricci e o escalar
de Ricci, pode-se montar facilmente o tensor de Einstein, um tensor de segunda ordem
definido como
1
Gµν = Rµν − gµν R,
2
(1.7)
o qual obedece a lei da conservação ∇ν Gµν = 0.
1.2
O Tensor Energia-Momento
Nas teorias de campo é possível definir um tensor de segunda ordem que con-
densa em sua estrutura matemática as informações referentes à energia e aos momentos
do campo. Assim definimos
2 δSm
Tµν = − √
,
−g δg µν
onde δ/δg µν é a derivada funcional com respeito à métrica, Sm =
(1.8)
R
√
d4 x −gLM (gµν , φ) é a
ação da matéria, g é o determinante da métrica gµν , LM é a densidade de lagrangiana da
métrica e φ refere-se aos campos de matéria. Cada componente deste tensor possui um
significado físico:
• Componente temporal (T00 ) → densidade de energia do campo.
• Componente espaço-temporais (T0i = Ti0 ) → densidade de fluxo de momento e
energia (quantidade de energia que atravessa a superfície xν = cte. por unidade de
tempo).
• Componentes espaciais (Tij ) → tensor pressão dos constituintes.
A equação (1.8) obedece a lei da conservação (∇ν T µν = 0) alem de representar a conservação do tensor energia-momento.
Um exemplo típico de Tµν é o tensor energia-momento de um fluido perfeito,
Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
10
descrito abaixo, caracterizado por uma densidade de massa-energia ρ e pressão P ,
T µν = (ρ + P )U µ U ν + P g µν ,
(1.9)
onde U µ = dxµ /dτ é a quadri-velocidade do fluido.
Na próxima seção iremos ver um exemplo de como são usadas as equações de
Einstein no contexto cosmológico na tentativa de descrever o surgimento e evolução do
Universo.
1.3
O modelo cosmológico de Friedmann-Lamaître-RobertsonWalker (FLRW)
O modelo de Friedmann-Lamaître-Robertson-Walker (FLRW) supõe que o Uni-
verso seja espacialmente homogêneo e isotrópico numa escala igual ou superior a 100M pc
2
[7]. Abaixo de 100M pc, encontram-se inhomogeneidades locais como galáxias, aglome-
rados, etc. O elemento de linha de FLRW em coordenadas esféricas (r, θ, φ) e o tempo
próprio (t) é dado por
dr2
2
2
2
2
2
+ r dθ + r sin (θ)dφ ,
dS = −dt + a (t)
1 − kr2
2
2
2
(1.10)
onde a(t) é o fator de escala cósmico da parte espacial da geometria, k (parâmetro de
curvatura) pode assumir os seguintes valores:
• k = 0, o setor espacial é plano;
• k = 1, o setor espacial é esférico ou fechado;
• k = −1, o setor espacial é hiperbólico ou aberto.
A métrica (1.10) está escrita no chamado sistema de coordenadas comóveis e admite como fonte de curvatura um fluido perfeito, cujo tensor energia-momento é dado
pela expressão (1.9). Com isso, temos as equações de Einstein para a componente temporal
2
1parsec(pc) = 3, 26 anos luz
Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
2
ȧ
8πGρ
k
=
− 2.
a
3
a
11
(1.11)
Esta é a chamada equação de Friedmann. Essa equação trata da velocidade de expansão
ou contração do Universo. Caso seja usado qualquer uma das componentes espaciais
combinada com a equação (1.11) encontramos
ä
4πG
=−
(ρ + 3P ).
a
3
(1.12)
Esta é a chamada equação da aceleração ou segunda equação de Friedmann. Ela refere-se
à aceleração ou desaceleração da expansão ou contração. O ponto sobre o fator de escala
representa a derivada com relação ao tempo.
Manipulando as equações (1.11) e (1.12), podemos expressar a densidade de energia e a pressão, dadas respectivamente por
3
ρ=
8πG
" #
2
ȧ
k
+ 2 ,
a
a
"
#
2
1
ä
ȧ
k
P =−
2 +
+ 2 .
8πG a
a
a
(1.13)
(1.14)
Como foi dito na seção anterior, Einstein estava interessado em uma solução para
o Universo estático, então ele propôs a constante cosmológica. Com a inclusão de Λ nas
equações de Einstein, as equações (1.11) e (1.12) passaram a ser escritas como
2
ȧ
8πGρ Λ
k
=
+ − 2,
a
3
3
a
(1.15)
Λ
ä
4πG
=−
(ρ + 3P ) + .
a
3
3
(1.16)
Essas equações admitem a solução estática com curvatura espacial positiva e todos os
parâmetros ρ, p e Λ sendo não negativos, a qual é chamado "Universo Estático de Einstein".
Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
1.4
12
Expansão do Universo
As primeiras indicações observacionais sobre a expansão do Universo foram apre-
sentadas por Vesto Slipher em 1912 e demonstrada por Hubble em 1929, quando esse observou um deslocamento nas linhas espectrais das galáxias distantes. Com estas observações, Hubble obteve uma relação entre a distância (r) de um dado objeto e sua velocidade
de recessão
v(r) = H0 r,
(1.17)
onde H0 é o parâmetro de Hubble ( H0 = 73.8 ± 2.4kms−1 M pc−1 [8]). A maioria das galáxias observadas por Hubble tinha um espectro de emissão deslocados para comprimentos
de ondas maiores, o que para uma dada fonte define o parâmetro de redshift
z=
λ0 − λe
,
λe
(1.18)
onde λe é o comprimento de onda emitido pela fonte e λ0 é o comprimento de onda medido pelo observador. O comprimento de onda aumenta com a expansão do Universo, ou
seja, λ(t) ∝ a(t), o redshift z e o fator de escala a(t) estão relacionados por [3]
1+z =
a0
,
a(t)
(1.19)
o índice 0 indica que a grandeza foi tomada no tempo presente. A descoberta de que o
Universo estava em expansão eliminou o modelo do Universo estático.
As observações cosmológicas são baseadas principalmente em radiação eletromagnética recebida de fontes distantes. Uma forma muito conhecida de verificar a distância de um objeto celeste é examinar o deslocamento de suas linhas espectrais, e relacionar
com a distância-luminosidade, dL (z) dada por [9]
dL (z) = a0 (1 + z)r(a).
(1.20)
Da equação (1.10), podemos mostrar que para um raio de luz que se propaga com θ = φ =
Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
13
cte, a distância radial pode ser escrita como
r(a) =
hp
i
H −1
p0
SK
|ΩK |I(a) ,
a0 |ΩK |
(1.21)
onde ΩK = −k/(a0 H0 )2 é uma definição habitual do parâmetro de curvatura ligado diretamente à geometria espacial do universo, I(a) é dado por
Z
a
I(a) = a0 H0
a0
da
,
ȧa
(1.22)
sendo que a função SK (x) tem a seguinte forma
SK (x) =



 (x) se ΩK < 0,
x se ΩK = 0,


 (x) se Ω > 0.
K
(1.23)
O principal objeto de referência usado na medida de distâncias cosmológicas são
as chamadas Supernovas do Tipo Ia. Elas são corpos celestes bastante brilhantes e podem
ser observadas em alto redshift. Esses objetos são chamados de velas padrão devido a sua
luminosidade incomum e de terem curvas de luz bem calibradas. Observações recentes,
utilizando Supernovas do tipo Ia [10, 11, 12, 13, 14], indicam que o Universo vem passando
por uma fase de expansão acelerada, contrariando o que se pensava até então. Isso se
tornou um grande problema para a Cosmologia, pois um Universo acelerado não condiz
com o contexto da RG, se levarmos em consideração apenas a matéria ordinária existente
atualmente. A expansão acelerada viola a condição de energia forte.
O candidato mais simples que forneceria a última fase acelerada do Universo,
dentro do contexto da RG, seria a constante cosmológica. Sendo considerada um termo de
energia, a constante cosmológica pode representar a energia do vácuo associada aos campos de matéria. Entretanto, o valor teórico da densidade de energia do vácuo no modelo
padrão da Física de Partículas diverge em mais de 120 ordens de grandeza com os valores
observacionais. Outra alternativa para tentar explicar a expansão acelerada do Universo
levando-se em conta que a gravidade é bem descrita pela RG, seria considerar campos
escalares com propriedades não usuais, ou seja, sua equação de estado efetiva teria uma
pressão negativa, o que teria consequências diretas nas condições de energia, como veremos a seguir no próximo capítulo. Até o final do século passado consideravam-se fluidos
Capítulo 1. Relatividade Geral: Uma Breve Revisão
14
fisicamente aceitáveis, apenas aqueles que satisfizessem as condições de energia da Relatividade Geral Clássica. Uma outra perspectiva seria acreditar que a RG não funciona
bem em escalas cosmológicas, necessitando portanto de outro formalismo ou modificação,
para que pudesse apresentar tal panorama. Dentro desta linha de pesquisa, as chamadas
teorias f (R) de gravidade [15] têm recebido bastante atenção da comunidade científica.
As condições de energia da RG é uma das diversas maneiras de testar a viabilidade destas
teorias modificadas de gravidade, campos de matéria e/ou modelos. No próximo capítulo
iremos estudar um pouco mais sobre estas condições.
CAPÍTULO 2
CONDIÇÕES DE ENERGIA
"O mais incompreensível do mundo é que
seja compreensível. "
Albert Einstein
Condições de energia são um crescendo de exigências, com forte embasamento
nas formas mais conhecidas de matéria, impostas sobre o tensor energia momento na RG.
Estas condições foram estabelecidas inicialmente por Hawking e Ellis como exigências
de natureza física sobre as componentes do tensor energia-momento, com o intuito de
limitar as arbitrariedades deste tensor. A seguir apresentaremos uma dedução detalhada
das condições de energia em voga atualmente na literatura científica e discutimos também
alguns exemplos de suas aplicações e violações.
2.1
As Condições de Energia na Relatividade Geral
Como é bem entendido na RG, a distribuição de energia-momento e qualquer ten-
são devido a matéria, ou a qualquer outro campo não gravitacional é descrito pelo tensor
energia-momento Tµν . Esse tensor é simétrico e representa as várias contribuições de diferentes campos de matéria. Os tensores energia-momento que possuem significado físico
15
Capítulo 2. Condições de Energia
16
não são especificados pelas equações de campo de Einstein. Qualquer métrica, na ausência de vínculos em Tµν , obedece estas equações de campo, ou seja, pode-se pensar nelas
sem restringir a teoria da matéria da qual Tµν é derivado. Isto nos leva a lidar com um
grande número de ambiguidades referentes a esse tensor. Surge então a necessidade de
limitar as arbitrariedades de Tµν impondo a ele certas restrições. Observações a esse respeito foram pioneiramente feitas por Hawking e Ellis em [16]. Espera-se que no contexto
da Relatividade Geral Clássica, Tµν satisfaça certas condições, tais como a densidade de
energia positiva e o domínio da densidade de energia sobre a pressão. Estas condições são
chamadas de condições de energia e elas devem ser mantidas para qualquer tipo de fonte
de campo (pelo menos ao nível clássico). Em Relatividade Geral Clássica há vários tipos
de condições de energias apropriadas para diferentes circunstâncias. Elas são usadas para
atribuir restrições adicionais aos tensores energia-momento gerais em diferentes situações
físicas e derivar resultados gerais. Em busca da compreensão de algumas propriedades
das equações de Einstein, considera-se tipos específicos de fontes para tais equações; com
este procedimento extrai-se características genéricas que serão usadas para desenvolver
teoremas matemáticos poderosos relativos ao comportamento de campos gravitacionais e
geometrias associadas.
Para escrever as condições de energia em uma forma concreta admite-se a seguinte
decomposição para o tensor energia momento
T αβ = ρ0 êα(0) êβ(0) + P1 êα(1) êβ(1) + P2 êα(2) êβ(2) + P3 êα(3) êβ(3) ,
Pi são chamadas pressões principais e ρ0 densidade de energia; êα(A)
(2.1)
(α, A = 0, 1, 2, 3)
formam uma base ortonormal (ortogonal e normalizada), onde usamos êα(A) êβ(B) para simplificar o produto tensorial êα(A) ⊗ êβ(B) . Essas bases ortogonais satisfazem as seguintes
relações:
gαβ êα(A) êβ(B) = ηAB ,
(2.2)
êβ(A) êβ(B) = ηAB ,
(2.3)
(C)
êβ êβ(B) = δBC ,
(2.4)
Capítulo 2. Condições de Energia
17
(B)
gαβ = ηAB ê(A)
α êβ ,
(2.5)
onde gαβ é o tensor métrico cuja inversa pode ser expressa também em termos das bases
vetoriais
g αβ = η AB êα(A) êβ(B) .
(2.6)
Aqui ηAB η AC = δBC , η AB é a inversa de ηAB que é o tensor métrico do espaço-tempo de
Minkowski e δBC é a delta de Kronecker. Equações como (2.6) são conhecidas como relações de completeza. As equações (2.1) e (2.2) implicam que as quantidades ρ e Pi são
autovalores do tensor energia-momento e êα(A) são os autovetores normalizados [17].
As condições de energia podem ser declaradas, de maneira que sejam invariante
de coordenadas, em termos de Tµν e campos vetoriais de características fixas (tipo-espaço,
tipo-nulo e tipo-tempo). Algumas dessas condições são escritas em termos de um vetor
vα normalizado, tipo-tempo, dirigido para o futuro, representando a quadri-velocidade
de um observador no espaço-tempo. Este vetor pode ser decomposto como [17]
vα = γ(êα(0) + aêα(1) + bêα(2) + cêα(3) ),
(2.7)
1
onde γ = (1 − a2 − b2 − c2 )− 2 foi obtido através da condição de normalização do vetor
vα (gαβ v α v β = −1). a,b e c são funções arbitrárias das coordenadas, restritas por a2 + b2 +
c2 < 1. As demais condições de energia são escritas em termos de um vetor kα tipo-nulo,
direcionado para o futuro, o qual pode ser expressado como [17]
kα = (êα(0) + a0 êα(1) + b0 êα(2) + c0 êα(3) ),
(2.8)
onde a0 , b0 , c0 são funções arbitrárias das coordenadas, restritas pela relação a02 +b02 +c02 = 1;
assim, a normalização desse vetor tipo-nulo é sempre arbitrária.
2.1.1
Condição de Energia Fraca
A Condição de Energia Fraca ( Weak Energy Condition - WEC) é a afirmação que
Tαβ vα vβ ≥ 0 para qualquer vetor tipo-tempo v α dirigido para o futuro.
Ao substituir as equações (2.1) e (2.7), na sua forma covariante, na expressão de
Capítulo 2. Condições de Energia
18
Tαβ vα vβ , obtemos
Tαβ vα vβ = (ρ + P1 a2 + P2 b2 + P3 c2 )γ 2 .
(2.9)
Como Tαβ vα vβ ≥ 0 então,
ρ + P1 a2 + P2 b2 + P3 c2 ≥ 0.
(2.10)
Seja a = b = c = 0 na equação acima encontraremos que ρ ≥ 0. Com a escolha particular
de c = b = 0 o resultado obtido será (ρ + a2 P1 ) ≥ 0. Como a2 < 1 então, a2 P1 < P1 , ou seja,
podemos escrever que
ρ + P1 ≥ 0.
(2.11)
Fazendo a = c = 0 e como b2 < 1 então P2 b2 < P2 , podemos escrever que
ρ + P2 ≥ 0.
(2.12)
Finalmente, escolhendo a = b = 0 e como c2 < 1, obtemos
ρ + P3 ≥ 0.
(2.13)
As restrições impostas pela WEC podem ser reescritas da seguinte forma
ρ ≥ 0 e ρ + Pi ≥ 0,
(i = 1, 2, 3).
(2.14)
Para fluidos barotrópicos existe uma relação simples entre a pressão e a densidade
de energia (equação de estado) dada por
P = wρ,
(2.15)
onde w pode ser uma constante, mas pode também ser uma função do tempo. Considerando que ρ > 0, dividindo a segunda das equações (2.14) por ρ, podemos expressar
a WEC como a exigência que w ≥ −1.
Em resumo, do ponto de vista físico, a WEC exprime o fato que um observador
comóvel (v α = êα(0) ) com o fluido representado por (2.15), mede uma densidade de energia
Capítulo 2. Condições de Energia
19
ρ a qual é positiva. Quanto às pressões, apesar de poderem ser negativas (tensões), a WEC
exige o limite inferior Pi ≥ −ρ.
2.1.2
Condição de Energia Nula
A Condição de Energia Nula (Null Energy Condition - NEC) faz a mesma exigên-
cia que a WEC, com a excessão que há uma substituição de v α por um vetor k α tipo-nulo,
arbitrário e futuro dirigido, tal que Tαβ kα kβ ≥ 0. Substituindo as equações (2.1) e (2.8) na
sua forma covariante na equação acima, encontraremos que
Tαβ kα kβ = (ρ + P1 a02 + P2 b02 + P3 c02 ),
(2.16)
e a exigência Tαβ kα kβ ≥ 0 fornece
ρ + P1 a02 + P2 b02 + P3 c02 ≥ 0.
(2.17)
Impondo b0 = c0 = 0 na equação acima e usando a relação a02 + b02 + c02 = 1, encontramos
que (ρ + P1 ) ≥ 0. Seguindo o mesmo raciocínio, obteremos relações análogas para P2 e P3 ,
ou seja, de forma genérica,
ρ + Pi ≥ 0,
(i = 1, 2, 3).
(2.18)
A NEC é um caso especial da WEC e corresponde a uma exigência mais fraca do
que a anterior. A violação da NEC implica em instabilidades sob pequenas perturbações
numa ampla classe de modelos, incluindo teorias de gauge e fluidos perfeitos [18].
2.1.3
Condição de Energia Forte
A equação de Einstein pode ser escrita como Rαβ = 8πG Tαβ − T2 gαβ , onde T =
g αβ Tαβ . Conforme vimos na seção anterior, Tαβ v α v β representa a densidade de energia
medida por um observador comóvel com o fluido. Acredita-se que para a matéria, assim
como para os campos clássicos esta densidade de energia seja não-negativa. Contudo,
parece razoável exigirmos que as tensões, representadas pelo traço T , não se tornem tão
Capítulo 2. Condições de Energia
20
negativas ao ponto de superar a contribuição da energia, isto é, exigiremos que
T
α β
Rαβ v v = 8πG Tαβ v v +
≥ 0.
2
α β
(2.19)
Esta exigência é chamada Condição de Energia Forte (Strong Energy Condition - SEC).
Usando a equação (2.9), depois de um pouco de álgebra encontraremos que
1
γ 2 (ρ + P1 a2 + P2 b2 + P3 c2 ) ≥ (ρ − P1 − P2 − P3 ).
2
(2.20)
Escolhendo a = b = c = 0, teremos
ρ + P1 + P2 + P3 ≥ 0.
(2.21)
Por outro lado, escolhendo somente b = c = 0, temos que γ 2 = 1/1 − a2 e assim
ρ + P1 + P2 + P3 ≥ a2 (P2 + P3 − P1 − ρ).
(2.22)
Esta equação pode ser reescrita como
ρ + P1 + (P2 + P3 )
1 − a2
≥ 0,
1 + a2
(2.23)
e tomando o limite de a → 1, obteremos ρ + P1 ≥ 0. Escolhendo a = c = 0 e a = b = 0
encontraremos, de modo análogo, as relações
1 − b2
≥0
1 + b2
(2.24)
1 − c2
≥ 0.
1 + c2
(2.25)
ρ + P2 + (P1 + P3 )
e
ρ + P3 + (P1 + P2 )
Novamente, tomando os limites de b → 1 e c → 1, obteremos ρ + P2 ≥ 0 e ρ + P3 ≥ 0,
respectivamente. Em resumo, temos as seguintes exigências para a SEC
ρ + Pi ≥ 0 e
ρ+
X
i
Pi ≥ 0
(i = 1, 2, 3).
(2.26)
Capítulo 2. Condições de Energia
21
Vemos que a SEC é mais exigente (mais forte) que a NEC e que a violação da NEC implica
automaticamente a violação da SEC.
2.1.4
Condição de Energia Dominante
Para um observador com quadri-velocidade vα , a quantidade −Tβα vβ representa o
fluxo de matéria (quadri-corrente) visto por ele. A condição de energia dominante (Dominant Energy Condition - DEC) além de exigir que Tαβ vα vβ ≥ 0 para qualquer vetor
tipo-tempo dirigido para o futuro v α , exige adicionalmente que −Tβα vβ não seja um vetor
tipo-espaço, ou seja, Tβα Tαλ vβ vλ ≤ 0. O significado físico desta exigência é que a velocidade do fluxo de matéria é sempre menor que a velocidade da luz. Considerando que
Tβα vβ = (−ρêα(0) + aP1 êα(1) + bP2 êα(2) + cP3 êα(3) )γ
(2.27)
chegamos ao seguinte resultado
γ 2 (−ρ2 + a2 P12 + b2 P22 + c2 P32 ) ≤ 0.
(2.28)
Tomando na equação acima a = b = c = 0, temos como resultado ρ2 ≥ 0. Com a exigência
adicional que −Tβα vβ seja dirigido para o futuro, será selecionado o ramo positivo ρ ≥ 0.
Por outro lado, se for escolhido b = c = 0 encontrará ρ2 ≥ a2 P12 , para qualquer a2 < 1,
obtemos ρ ≥ |P1 | tendo tomado a direção futura para −Tβα vβ . Relações semelhantes são
encontradas para P1 e P2 seguindo o mesmo raciocínio. Então, a DEC pode ser escrita
resumidamente como segue
ρ≥0
e ρ ≥ |Pi |
(2.29)
A DEC implica a WEC e consequentemente a NEC, mas não necessariamente a SEC. A
NEC, DEC e SEC são suposições matematicamente independentes . A DEC é equivalente
a exigência de ρ ≥ |P |. Seu significado físico é que a densidade de energia deve ser sempre
não negativa e maior ou igual a magnitude da pressão.
Capítulo 2. Condições de Energia
2.1.5
22
Condição de Energia Dominante Nula
A condição de energia dominante nula (Null Dominant Energy Condition - NDEC)
são as mesmas exigências da DEC, porém, somente para vetores tipo-nulos. Então, será
exigido que Tαβ kα kβ ≥ 0 e que Tβα Tσα kβ kσ ≤ 0, temos então
ρ2 − P12 a02 − P22 b02 − P32 c02 ≥ 0
(2.30)
Fazendo a0 = b0 = c0 = 0 na equação anterior produz ρ2 ≥ 0, mas para o caso particular
de b0 = c0 = 0 encontramos ρ ≥ ±P1 , relações iguais são obtidas para as demais pressões.
Resumindo, a NDEC poder ser expressa como
P = −ρ
(2.31)
Na condição de energia dominante nula a pressão e a densidade de energia permitidas
são as mesmas assim como para a DEC, porém agora densidades de energias negativas
são permitidas, desde que P = −ρ. Em outros trabalhos a NDEC exclui as mesmas fontes
excluídas pela DEC, exceto para uma energia de vácuo negativa. Em grande parte da literatura
a NDEC deixou de ser abordada separadamente da DEC, nas próximas seções faremos o
mesmo.
Em resumo, temos
NEC =⇒ ρ + P ≥ 0,
WEC =⇒ ρ + P ≥ 0 e
SEC =⇒ ρ + P ≥ 0 e
DEC =⇒ −ρ ≤ P ≤ ρ
NDEC =⇒ −ρ ≤ P ≤ ρ
(2.32)
ρ ≥ 0,
(2.33)
ρ + 3P ≥ 0,
(2.34)
e ρ ≥ 0,
(2.35)
e ρ = −P .
(2.36)
Observe que a violação da NEC implica na violação de todas as outras condições de energia, já a violação da WEC, apesar de não implicar necessariamente a violação da NEC ou
da SEC, leva a violação da DEC. Se considerarmos como ponto de partida que todas as
formas de energia devem apresentar ρ > 0, o que parece razoável do ponto de vista da
física clássica, então qualquer modelo cosmológico com w < −1 viola todas as condições
Capítulo 2. Condições de Energia
23
de energia. Na figura 2.1 são ilustradas todas as condições de energia.
As condições de energia não estão diretamente relacionadas à conservação de
energia. São as identidades de Bianchi que garantem ∇µ T µν = 0, independentemente
de qualquer restrição imposta a T µν .
Figura 2.1: As regiões sombreadas no plano ρ − p são aquelas que obedecem as condições de
energia designadas. São ilustradas a Condição de Energia Fraca (WEC), a Condição de Energia
Nula (NEC), a Condição de Energia Dominante (DEC), a Condição de Energia Dominante Nula
(NDEC), a Condição de Energia Forte (SEC) e a condição w ≥ −1 (Figura reportada da referência
[20]).
Capítulo 2. Condições de Energia
2.2
24
Condições de Energias Médias
As condições de energias podem ser violadas, como será visto na seção (2.4) ,
porém, há um limite da extensão pela qual as condições de energias podem ser violadas
globalmente [21, 22]. Surgem então neste contexto as versões médias das condições de
energias, as quais se mostram muito úteis. As condições de energias médias são um
pouco mais fracas, pois elas permitem violações localizadas das condições de energia enquanto que "em média", as condições de energia são mantidas quando integradas junto as
geodésicas tipo-tempo ou nulas. São as seguintes:
• Condição de Energia Nula Média ( Averaged null energy condition-ANEC) exige
que em uma curva nula Γ
Z
Tµν K µ K ν dλ ≥ 0.
(2.37)
Γ
Aqui λ é um parâmetro afim generalizado da curva nula e K µ é o seu vetor tangente
à curva.
• Condição de Energia Fraca Média ( Averaged weak energy condition-AWEC) exige
que em uma curva tipo-tempo Γ
Z
Tµν V µ V ν dτ ≥ 0,
(2.38)
Γ
onde τ é o parâmetro tempo próprio da curva tipo-tempo e V µ é o vetor tangente
correspondente.
• Condição de Energia Forte Média ( Averaged strong energy condition-ASEC) exige
que em uma curva tipo-tempo Γ tenhamos
Z
1
{Tµν V µ V ν + T }dτ ≥ 0.
2
Γ
(2.39)
Capítulo 2. Condições de Energia
2.3
25
Aplicações das Condições de Energias
As condições de energia da RG são usadas na dedução de teoremas gerais e po-
derosos sobre o comportamento de campos gravitacionais e geometrias associadas. Podemos citar, por exemplo, os teoremas de singularidades de Hawking e Penrose (garante,
sob certas circunstâncias, o colapso gravitacional e/ou a existência da singularidade do
Big Bang), teorema da censura topológica (proíbe a existência de "buracos-de-minhoca"),
teorema da censura superluminosa (limita a intensidade do fechamento dos cones de luz
na presença de fortes campos gravitacionais), teorema da energia positiva (garante que a
massa de um sistema gravitacional complexo seja sempre positiva).
As condições de energia também são usadas como uma forma de testar a viabilidade de teorias alternativas de gravidade e campos escalares exóticos propostos como
tentativa de explicar a expansão acelerada do Universo. Recentemente, vários autores
[23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30] têm usado condições clássicas de energia da RG para estudar
alguns aspectos da expansão acelerada do Universo. Em particular Shojai et al. [31] fazeram um estudo inicial dessas condições para teorias de gravidade f (R) na formulação
de Palatini, enquanto que Santos et al. [32] derivaram as condições apropriadas de energia
para teorias de gravidade f (R) no formalismo métrico-variacional. Tanto na ref.[32] como
na [33], foi derivados alguns limites impostos por estas condições sobre classes de teorias
f (R). Nas seções a seguir mostraremos alguns exemplos específicos de uso das condições
de energia em Cosmologia.
2.3.1
Condições de Energias e a Expansão Acelerada do Universo
Em [27, 29, 30] Santos et al. utilizaram as equações (1.13) e (1.14) para obter as
condições de energia (2.32),(2.33),(2.34) e (2.35) em um conjunto de restrições dinâmicas
Capítulo 2. Condições de Energia
26
relacionadas ao fator de escala (a(t)) e suas derivadas para o modelo cosmológico FLRW
NEC =⇒
WEC =⇒
SEC =⇒
DEC =⇒
2
ȧ
k
ä
+ 2 ≥ 0,
− +
a
a
a
2
ȧ
k
+ 2 ≥ 0,
a
a
ä
≤ 0,
a "
#
2
2
ȧ
k
ä
ȧ
k
−2
+ 2 ≤ ≤
+ 2,
a
a
a
a
a
(2.40)
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
onde claramente é observado que a restrição da NEC é parte dos vínculos da WEC. Nesta
forma as condições de energia foram usadas para estudar funções cosmológicas tais como
distância-luminosidade e "lookback-time". Para a distância luminosidade, por exemplo,
temos que sua relação com as medidas de módulo de distância µ(z), para um objeto no
redshift z, é
µ(z) ≡ m(z) − M = 5 log10 dL (z) + 25,
(2.45)
onde m e M são respectivamente, as magnitudes aparentes e absolutas, e dL é dado pela
equação 1.20. Afim de obter restrições sobre os valores de µ(z), Santos et al. [27, 29] utilizaram as exigências das condições de energia (2.40)-(2.43) após uma primeira integração
das mesmas. Comparando com os dados observacionais de supernovas Tipo Ia (gold
sample) [27, 29] mostraram que a NEC, WEC e DEC são violadas em redshifts ≈ 0, 2.
2.3.2
Condições de Energias para o Campo Escalar
O campo escalar é uma função continua do espaço-tempo φ(xµ ) que descreve uma
partícula de spin zero. Esse tipo de campo é a base de vários modelos cosmológicos o que
o torna fundamental, por exemplo, no modelo de quintessência, o qual trata a energia
escura como um campo escalar.
O tensor energia-momento de um campo escalar geral é dado por
(φ)
Tµν
= ∇µ φ∇ν φ − gµν
1 α
∇ φ∇α φ + V (φ) ,
2
(2.46)
Capítulo 2. Condições de Energia
27
onde V (φ) é o potencial. Podemos determinar uma densidade de energia ρ(φ) e uma
pressão p(φ) para o campo escalar fazendo as contrações [34]
(φ) µ ν
U U
ρ(φ) = Tµν
1 (φ) µν
e p(φ) = Tµν
h ,
3
(2.47)
onde U µ é um vetor tipo-tempo normalizado (U µ U ν ) e hµν é um projetor espacial
hµν = g µν + U µ U ν .
(2.48)
1
ρ(φ) = φ̇2 + g αβ ∇α φ∇β φ + V (φ),
2
(2.49)
φ̇2 1 αβ
− g ∇α φ∇β φ − V (φ),
3
6
(2.50)
A partir de (2.46), obtemos
p(φ) =
aqui φ̇ = U µ ∇µ φ, é a derivada ao longo da curva xµ (t). As condições de energia para o
campo escalar são
1
NEC =⇒ φ̇2 + g αβ ∇α φ∇β φ ≥ 0,
4
1
2
WEC =⇒ φ̇ + g αβ ∇α φ∇β φ + V (φ) ≥ 0,
2
SEC =⇒ φ̇2 − V (φ) ≥ 0,
(2.53)
DEC =⇒ φ̇2 + ∇α φ∇α φ + 3V (φ) ≥ 0.
(2.54)
(2.51)
(2.52)
Para não sobrecarregar as equações, tanto acima como nas próximas seções, explicitaremos apenas a exigência adicional presente em cada condição de energia. Em muitas situações o campo escalar é função apenas do tempo, isto é, φ = φ(t). Nesses casos as equações
(2.49) e (2.50) reduzem-se a
ρ
(φ)
1 00
= 1+ g
φ̇2 + V (φ),
2
(2.55)
Capítulo 2. Condições de Energia
p
(φ)
28
1
=
3
1 00
1+ g
φ̇2 − V (φ),
2
(2.56)
Para as geometrias de FLRW, as condições de energia para o tensor energia-momento do
campo escalar são
1 2
φ̇ ≥ 0,
2
1 2
WEC =⇒
φ̇ + V (φ) ≥ 0,
2
SEC =⇒ φ̇2 − V (φ) ≥ 0,
(2.59)
DEC =⇒ V (φ) ≥ 0.
(2.60)
NEC =⇒
2.3.3
(2.57)
(2.58)
Campo Escalar com Acoplamento Gravitacional Não Mínimo
Nas teorias escalares-tensoriais de gravitação é natural que o campo escalar φ se
acople ao escalar de curvatura R do espaço-tempo, conforme descrito pela ação [35]
Z
S=
4
√
d x −g
ξφ2
1
−
16πG
2
1 µν
R − g ∇µ φ∇ν φ − V (φ) + Sm ,
2
(2.61)
onde ξ é a constante (adimensional) de acoplamento, e Sm é a ação para todas as formas
de matéria não associadas ao campo φ. ξ = 0 é o chamado acoplamento mínimo, o caso
especial ξ = 1/6 é denominado acoplamento conforme. A extremização da ação (2.61) em
relação a g µν leva às equações de Einstein generalizadas
Rµν −
R
m
φ
gµν = χef Tµν
+ Tµν
,
2
(2.62)
onde χef ≡ 8πG/(1 − 8πGξφ2 ) é o acoplamento efetivo do campo escalar com a curvatura
m
φ
R, Tµν
é o tensor da matéria não representado por φ e Tµν
é o tensor do campo escalar
tendo em conta o acoplamento não mínimo
φ
Tµν
= ∇µ φ∇ν φ − gµν
1 α
∇ φ∇α φ + V (φ) − ξHµν φ2 ,
2
(2.63)
sendo o operador Hµν = ∇µ ∇ν − gµν e ≡ g µν ∇µ ∇ν . Observe que no caso de acoplamento mínimo (ξ = 0) o tensor acima reduz-se aquele dado pela equação (2.46). A densi-
Capítulo 2. Condições de Energia
29
dade de energia e pressão associadas ao tensor (2.63) são
1
ρφ = φ̇2 + ∇α φ∇α φ + V (φ) − ξ (U µ U ν ∇µ ∇ν + ) φ2 ,
2
1
1
ξ
pφ =
φ̇2 − ∇α φ∇α φ − V (φ) − (U µ U ν ∇µ ∇ν − 2) φ2 .
3
6
3
(2.64)
(2.65)
As condições de energia para o campo escalar com acoplamento gravitacional não
mínimo são então
1
NEC =⇒ φ̇2 + ∇α φ∇α φ − ξ (U µ U ν ∇µ ∇ν + 4) φ2 ≥ 0,
4
1
WEC =⇒ φ̇2 + ∇α φ∇α φ + V (φ) − ξ (U µ U ν ∇µ ∇ν + ) φ2 ≥ 0,
2
3
2
µ ν
SEC =⇒ φ̇ − V (φ) − ξ U U ∇µ ∇ν + φ2 ≥ 0,
2
5
2
α
µ ν
DEC =⇒ φ̇ + ∇ φ∇α φ + 3V (φ) − ξ U U ∇µ ∇ν + φ2 ≥ 0.
2
(2.66)
(2.67)
(2.68)
(2.69)
Das equações anteriores, podemos observae que para o acoplamento mínimo (ξ = 0), estas desigualdade reduzem-se àquelas dadas pelas equações (2.51)-(2.54). Mas para ξ 6= 0,
as possibilidades de violação das condições energia aumentam bastante. Para um observador comóvel no Universo FLRW, onde φ = φ(t), estas condições reduzem-se a
NEC =⇒ φ̇2 + 4ξ
d2 φ2
≥ 0,
dt2
1 2
φ̇ + V (φ) ≥ 0,
2
1 d2 φ2
SEC =⇒ φ̇2 − V (φ) + ξ 2 ≥ 0,
2 dt
2 2
1 dφ
DEC =⇒ V (φ) + ξ 2 ≥ 0.
2 dt
WEC =⇒
(2.70)
(2.71)
(2.72)
(2.73)
Novamente, vemos que para o acoplamento mínimo (ξ = 0) com a geometria do
modelo padrão, as inequações acima reproduzem as obtidas nas equações ( 2.57)-(2.60).
Apesar de parecer a mais natural, a maneira acima como apresentamos as condições de
energia para o campo escalar com acoplamento não mínimo, ela ainda é motivo de debates
e controvérsias na literatura científica [36, 34]. O principal problema reside nas ambigu-
Capítulo 2. Condições de Energia
30
idades na definição do tensor energia-momento do campo escalar com acoplamento não
mínimo ( em [36], por exemplo, são apresentadas três diferentes maneiras de se obter
esse tensor a partir da ação (2.61))1 . Como consequência, tem-se diferentes definições
para a densidade de energia, para a pressão e para a equação de estado, fornecendo diferentes vínculos via consideração de energia, o que gera diferentes interpretações. Por
exemplo, modelos cosmológicos de quintessência com acoplamento não mínimo são frequentemente constrangidos por dados observacionais via uma equação de estado efetiva
[37, 38]. Como ambiguidades nas definições de densidade de energia e pressão levam a
ambiguidades na equação de estado, é preciso cuidado com as interpretações dos resultados referentes a acoplamento não-mínimo entre a gravidade e um campo escalar. Na
referência [39] são usados experimentos na escala do sistema solar para limitar os valores de ξ a kξk ≤ 10−2 . Contudo, os resultados de [36] mostraram que para acoplamento
(φ)
mínimo, as três definições do tensor Tµν coincidem com a apresentada em (2.46)
2.4
Violações das condições de energia: Alguns exemplos
No decorrer desta última década, percebeu-se que havia efeitos quânticos capazes
de violar todas as condições de energia. Porém, esses efeitos são por definição proporcionais a ~, assim os físicos relativísticos, não se preocuparam muito. Entretanto, recentemente tornou-se claro que há sistemas clássicos que parecem também violar todas as
condições de energia. A seguir veremos alguns exemplos.
• Campos Escalares Clássicos.
As condições de energia para um campo escalar φ(xµ ), expostas nas equações (2.51),
(2.52), (2.53) e (2.54), mostram claramente que todas podem ser violadas, dependendo do gradiente espacial do campo. Nos modelos cosmológicos homogêneos o
campo escalar só pode variar com o tempo e nesse caso, conforme se vê nas equações (2.57)-(2.60), a NEC é sempre obedecida, mas as outras condições de energia
podem ser violadas. Também podemos notar que as condições de energia para um
campo escalar com acoplamento não mínimo, equações (2.66) a (2.69), podem ser
todas infringidas. Sendo que para ξ 6= 0, as possibilidade de violações aumentam
consideravelmente. Para um observador comóvel no Universo de FLRW, todas elas
1
(φ)
Contudo, para acoplamento mínimo as três definições de Tµν coincidem.
Capítulo 2. Condições de Energia
31
essas condições ainda podem ser desobedecidas. Neste caso específico, com a exceção da WEC, ξ deixa todas as outras condições mais vulneráveis.
• Campos Fantasma
O campo fantasma foi proposto em 2002 [40] como uma fonte alternativa de energia
capaz de explicar a expansão acelerada do Universo. É caracterizado por possuir
o termo cinético negativo e um parâmetro da equação de estado wφ < −1, o que
leva a uma densidade de energia crescente com a expansão do Universo. O tensor
energia-momento de um campo fantasma tem a seguinte forma
1
Tµφ ν = −φ,µ φ,ν +gµν [ g αβ φ,α φ,β −V (φ)],
2
(2.74)
onde V (φ) é o potencial do campo fantasma. Seja φ = φ(t) uma função somente do
tempo evoluindo em um espaço-tempo isotrópico e homogêneo (FLRW), de modo
que gµν φµ φν = −φ̇2 , onde foi usada a seguinte definição φ,µ ≡ φµ . Quando as condições de energias são impostas sobre o tensor energia-momento deste campo fantasma, elas requerem [28]
1
WEC =⇒ − φ̇2 + V (φ) ≥ 0,
2
1
NEC =⇒ − φ̇2 ≥ 0,
2
SEC =⇒ φ̇2 + V (φ) ≤ 0,
1
DEC =⇒ − φ̇2 + V (φ) ≥ 0.
2
(2.75)
(2.76)
(2.77)
(2.78)
Quando mantemos o caráter tipo tempo lorentziano de φµ ou seja (gµν φµ φν = −φ̇2 )
verificamos que a NEC e a DEC não podem ser mantidas. Como a violação da
NEC leva a violação de todas as outras condições de energias, concluimos que o
campo fastasma viola todas as condições de energia. Contudo, tendo em vista diversas observações cosmológicas que apontam para uma equação de estando onde
W < −1, Santos e Alcaniz [28] fizeram um estudo descartando as exigências da
NEC e a DEC (veja Barceló e Visser [24] para uma interessante discussão sobre o
quão fundamental devem ser admitidas algumas das condições de energia) para o
tensor energia-momento do campo fantasma. Das equações (2.75)-(2.78), vemos que
a WEC é preservada apenas para potenciais positivos uma vez que V (φ) ≥ φ̇2 /2,
porém a SEC não pode ser satisfeita a menos que V (φ) seja negativo e V (φ) ≤ −φ̇2 .
Capítulo 2. Condições de Energia
32
Contudo, existe um intervalo no valor do potencial −φ̇2 < V (φ) < φ̇2 /2 em que tanto
a SEC como a WEC são violadas. A figura (2.2) mostra tais violações.
Embora os dados observacionais da Cosmologia mostrem que a SEC está sendo violada no presente estágio do Universo, nota-se que uma função potencial V (φ) pode
ser construída tal que esta condição de energia não seja violada no passado (intervalo I da figura (2.2)), embora a WEC seja ainda violada nesta época. Ou seja, a
fonte de gravitação representada por (2.74) pode explicar a expansão desacelerada,
seguida da fase atual acelerada, mas as custas de propriedades bastantes exóticas de
matéria.
São conhecidas muitas outras violações das condições de energia como por exemplo, o efeito Casimir, o qual viola as condições de energia fraca e dominate, as partículas
massivas de Dirac num campo de Kerr violam a WEC, a evaporação Hawking que viola
a NEC, etc.
Figura 2.2: Limitações das condições de energia nos potenciais de campos fantasmas. No intervalo (I) os campos fantasmas não violam a SEC, mas violam WEC. No intervalo (II), ambas (SEC e
WEC) são violadas enquanto que na região (III) campos fantasmas não violam WEC, mas violam
SEC. (Figura retirada da referência [28]).
CAPÍTULO 3
A EQUAÇÃO DE RAYCHAUDHURI
"Nenhuma grande descoberta foi feita jamais sem um palpite ousado. "
Isaac Newton
Em meados do século XX, a Cosmologia era uma ciência que começava a se desenvolver,
visto que já existia as soluções de FLRW. A teoria da RG, neste mesmo período, estava
com aproximadamente quarenta anos estava jovem! Entretanto, a compreensão de suas
soluções, como por exemplo a mais simples delas, a solução de Schwarzshild, não era
completa [41]. Havia um ponto obscuro na teoria da gravitação de Einstein que inquietava
alguns relativistas daquela época. A teoria admitia soluções caracterizadas por singularidades tais como divergência de curvatura do espaço-tempo, divergência de natureza física
como nas densidades, e divergência de parâmetros cinemáticos como expansão. Tomando
como exemplo o modelo de FLRW, a prevista singularidade do Big Bang está relacionada
às hipóteses de homogeneidade e isotropia deste modelo, ou é algo intrínseco a teoria da
RG [42, 43]?
Foi neste período, no começo de 1950, que Almakumar Raychaudhuri deu início a análise de algumas destas questões de RG. Um dos primeiros frutos de seu trabalho naquela época foi o célebre artigo "Cosmologia Relativística I" [2], publicado em
1955. Neste artigo, Raychaudhuri derivou pela primeira vez e de maneira notável a
equação fundamental da atração gravitacional para a matéria sem pressão, hoje conhecida
33
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
34
como equação de Raychaudhuri. Neste trabalho, ele assume o Universo representado por
uma geometria dependente do tempo, mas não o considera homogêneo e isotrópico. A
derivação desta equação como apresentada neste artigo, é um pouco diferente da mostrada
na literatura atual, pois ele usou coordenadas especiais neste trabalho.
Em 1955, enquanto lidavam com Cosmologia newtoniana, Heckmann e Sckucking em [44] chegaram a um conjunto de equações, onde uma delas é a equação de Raychaudhuri (para o caso newtoniano). No ano de 1957, Raychaudhuri [45] re-derivou
suas equações de uma maneira um pouco diferente onde os resultados carregavam uma
similaridade com a aproximação moderna para tal derivação. Neste artigo, também foi
mostrado que o trabalho de Heckmann e Sckucking para o caso newtoniano poderia ser
generalizado para o cenário totalmente relativístico. Ainda neste ano, uma carta [46]
por Raychaudhuri foi publicada onde aponta que Komar no ano de 1956 ao investigar
a questão da permanência ou não de singularidades nos modelos cosmológicos sob condições mais gerais, obteve as mesmas conclusões [47] (relativas as condições de existências
destas singularidades) que Raychaudhuri em [2]. Nos artigos [2, 45] a equação de Raychaudhuri é quase inteiramente restrita à Cosmologia. Foi Ehlers [48] que estendeu esta
equação à matéria arbitrária. Este é um trabalho importante que inclui a aceleração das
linhas de universo da matéria e tensores arbitrários. Nele também aparecem, aparentemente pela primeira vez, as derivações das equações de evolução do tensor de distorção1
e rotação. Apesar de ter sido mencionado neste artigo, foi somente depois dos trabalhos de
Penrose [49] e Hawking [50, 51] que Raychaudhuri recebeu o merecido reconhecimento.
E foi neste período que o termo "equação de Raychaudhuri" veio a ser usado na literatura
Física.
Após meio século de discussões e análises dessa equação em diversos cenários,
nos dias atuais são bem conhecidas sua importância e aplicabilidade, sendo considerada o alicerce para a compreensão da atração gravitacional em Astrofísica e Cosmologia. Modelos cosmológicos os quais obedecem as condições de energias, fazem uso desta
equação como base das estimativas da idade do Universo. Sua generalização para o caso
de geodésicas nulas, conhecida como equação de Raychaudhuri nula, desempenha um papel central na óptica geométrica em um espaço tempo curvo, como explorado por Sachs,
Ehlers, Penrose e outros [16]. As versões tipo-nula e tipo-tempo desta equação, quando
combinadas, possuem um papel central em muitos teoremas de singularidades - a aplicação mais simples é para o caso do Universo de Friedmann. E é claro, não poderíamos
1
Em inglês, Shear
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
35
deixar de mencionar que esta equação é a base do poderoso e conhecido teorema de Penrose e Hawking, que mostra a existência de singularidades [4, 16].
Neste capítulo, iremos considerar primeiramente a evolução de uma congruência
tipo-tempo, seguido de um estudo semelhante para uma congruência tipo-luz. Iremos deduzir as versões nula e tipo-tempo da equação de Raychaudhuri, do teorema de Frobenius
e do teorema da Focalização. Para uma melhor compreensão da equação de Raychaudhuri, faremos inicialmente um estudo da cinemática de um meio deformável.
3.1
Cinemática de Um Meio Deformável
Nesta seção, abordaremos o movimento de um meio deformável com o intuito de
auxiliar a compreensão dos conteúdos que serão estudados posteriormente. Sob um ponto
de vista puramente cinemático, em um contexto newtoniano, estudaremos o movimento
interno de um meio deformável bi-dimensional. Considere um deslocamento suficientemente pequeno ξ a a partir de um ponto de referência O como ilustrado na figura (3.1).
Sobre este deslocamento podemos escrever
dξ a
= Bba (t)ξ b + O(ξ 2 ),
dt
(3.1)
onde Bba é um tensor do tipo (1, 1). A dependência temporal desse tensor é determinada
pela dinâmica média. Para intervalos de tempos pequenos a equação acima pode ser
Figura 3.1: O movimento interno de um meio deformável bi-dimensional. (Figura reproduzida
da referência [17]).
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
36
resolvida usando o teorema do valor médio
b
Z
f (x)dx = (b − a)f (Xm ),
(3.2)
a
aqui Xm é o ponto médio. Então a equação (3.1) é reescrita como
a
Z
a
t1
[Bba (t)ξ b + O(ξ 2 )]dt,
ξ (t1 ) − ξ (t0 ) =
(3.3)
t0
a qual tem como solução a seguinte expressão
ξ a (t1 ) = ξ a (t0 ) + [Bba (tm )ξ b (tm )]∆t,
(3.4)
onde tm = t0 + ∆t/2 e desprezamos os termos de O(∆t2 ). Expandindo em série de Taylor
a equação (3.4) e desprezando novamente os termos de O(∆t2 ), temos
ξ a (t1 ) = ξ a (t0 ) + ∆ξ a (t0 ),
(3.5)
∆ξ a (t0 ) = Bba (t0 )ξ b (t0 ).
(3.6)
onde
Para uma melhor compreensão da ação de Bab em um meio deformável, consideremos
nesse meio bi-dimensional um círculo descrito por ξ a (t0 ) = r0 (cos φ, sin φ) com raio inicial
denotado por r0 . Quando um meio deformável se encontra sob a ação de uma força, pode
ocorrer efeitos de diferente natureza: a expansão, a rotação ou a distorção desse meio. A
seguir será descrito cada um desses efeitos de forma sucinta .
3.1.1
Expansão
Suponhamos que o tensor Bba seja proporcional a matriz identidade, de modo que o traço
deste tensor é dado por Baa ≡ θ. Logo, esta matriz pode ser escrita como
Bba =
1
θ
2
0
0
1
θ
2
!
.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
37
Substituindo os valores da matriz acima na equação (3.6), obtemos os seguintes resultados
1
∆ξ 1 (t0 ) = θr0 ∆t cos φ,
2
1
2
∆ξ (t0 ) = θr0 ∆t sin φ,
2
(3.7)
que podem ser reunidos no vetor da seguinte forma
1
∆ξ a (t0 ) = θr0 ∆t(cos φ, sin φ).
2
(3.8)
Fazendo uso destes resultados na equação (3.5), encontramos os valores de ξ a para t1 como
descrito abaixo
1
ξ 1 (t1 ) = r0 (cos φ + θ∆t cos φ),
2
1
ξ 2 (t1 ) = r0 (sin φ + θ∆t sin φ).
2
(3.9)
A partir das equações (3.9), determinamos o novo raio após o deslocamento (ver fig 3.1)
por meio da seguinte expressão
1
r1 = [(ξ 1 (t1 ))2 + (ξ 2 (t1 ))2 ] 2 ,
(3.10)
a qual nos fornece
1
(3.11)
r1 = r0 (1 + θ∆t) 2 .
Expandindo em série de Taylor e desprezando termos de ordem superior( O(∆t2 ) ) chegamos ao resultado
1
r1 = r0 + r0 θ∆t.
2
(3.12)
A mudança entre as duas áreas (definida como ∆A = A1 − A0 , onde A0 é a área no tempo
t0 e A1 a área no tempo t1 ) é dada pela expressão
∆A = A0 θ∆t,
onde θ =
1 ∆A
.
A0 ∆t
(3.13)
Chamaremos θ de parâmetro de expansão, pois a expressão que o descreve representa
uma mudança fracionária da área por unidade de tempo. Se tal mudança for negativa
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
38
ocorrerá uma contração da área (meio bi-dimensional), por outro lado se for positiva ocorrerá uma expansão da área da figura. Na verdade θ pode depender do tempo e da escolha
do ponto de referência O.
3.1.2
Distorção
Será analisado agora o caso para o qual Bba é simétrico e de traço livre, ou seja, a
soma de sua diagonal principal será igual a zero. A matriz para este caso especial de Bba
pode escrita como
Bba =
σ+
σx
σx −σ+
!
.
Seguindo os mesmos passos da seção (3.1.1) para o cálculos de ∆ξ a , ξ a (t1 ) e r1 , podemos
obter os respectivos valores
∆ξ a (t0 ) = r0 ∆t(σ+ cos φ + σx sin φ, −σ+ sin φ + σx cos φ),
(3.14)
ξ 1 (t1 ) = r0 [cos φ + ∆t(σ+ cos φ + σx sin φ)],
ξ 2 (t1 ) = r0 [sin φ + ∆t(σx cos φ − σ+ sin φ)],
(3.15)
r1 = r0 [1 + ∆t(σ+ cos 2φ + σx sin 2φ)].
(3.16)
Lembramos que termos de O(∆t2 ) foram desprezados durante os cálculos. Na expressão
(3.16) se for feito σx = 0, teremos uma elipse com eixo maior orientado ao longo de φ = 0.
Por outro lado, se for feita outra escolha σ+ = 0 teremos então uma elipse com eixo maior
orientada por φ = π/4. Em resumo, temos uma elipse orientada em um ângulo arbitrário.
A área da figura não muda com a ação da parte simétrica de traço livre do tensor Bab , o
que se tem na realidade é uma deformação da área ocasionada por σ+ = 0 ou σx = 0 os
quais chamaremos de parâmetros de distorção. Essa transformação pode variar de acordo
com o meio.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
3.1.3
39
Rotação
É ocasionada por Bba anti-simétrico, cuja representação matricial pode ser dada
por
Bba =
0
w
−w 0
!
.
Mais uma vez usando a equação (3.5) e (3.6) juntamente com os dados da matriz acima,
encontramos os seguintes resultados
∆ξ a (t0 ) = wr0 ∆t(sin φ, − cos φ),
(3.17)
ξ 1 (t1 ) = r0 [cos φ + w∆t sin φ)],
ξ 2 (t1 ) = r0 [sin φ − w∆t cos φ].
(3.18)
Definindo φ0 = φ − w∆t podemos com um pouco de álgebra e uso de séries de Taylor de
senos e cossenos, reescrever o lado direito de cada equação em (3.18), respectivamente
cos φ0 ∼
= cos φ + w∆t sin φ,
sin φ0 ∼
= sin φ − w∆t cos φ.
(3.19)
Assim sintetizamos uma expressão para ξ a como segue
ξ a (t1 ) = r0 [cos φ0 , sin φ0 ],
(3.20)
e consequentemente temos da equação (3.10) que
1
r1 = [(r0 cos φ)2 + (r0 sin φ)2 ] 2 ,
r1 = r0
(3.21)
Ao supor Bba anti-simétrico, podemos observar que o único efeito devido a atuação deste
tensor sobre o sistema é uma rotação de w∆t, o novo ângulo após esta transformação será
φ0 = φ − w∆t. Logo, definimos w como o parâmetro de rotação.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
3.1.4
40
Caso Geral
Vimos que Bba pode agir de várias maneiras com conseqüências diferentes ( ro-
tação, deformação ou expansão). O efeito mais geral de Bba sobre o sistema é a combinação linear destas três ações supracitadas, o qual escreveremos em termos de matrizes
como segue
Bba =
!
1
θ
2
0
0
1
θ
2
+
σ+
σx
σx −σ+
!
+
0
w
−w 0
!
,
ou alternativamente como uma combinação linear das componentes do tensor (simétrico
sem traço, anti-simétrico e o traço )
θ
Bab = δab + σab + wab .
2
(3.22)
Novamente, chamamos de expansão escalar o traço de Bab e denotamos θ = Baa . A parte
simétrica sem traço (tensor distorção) é expressa como σab = B(ab) − 21 δab e a rotação (a
parte anti-simétrica) escrevemos como wab = B[ab] . Todo esse estudo pode ser feito em um
meio deformável tri-dimensional. O raciocínio é análogo, e as expressões obtidas como
resultados são semelhantes com as obtidas em um meio bi-dimensional. A expansão,
para o caso tri-dimensional, representa a mudança fracionária de volume por unidade de
tempo θ =
∆V 1
.
∆t V0
As expressões neste meio para as componentes do tensor, traço, parte
simétrica de traço livre e parte anti-simétrica são dadas abaixo
θ
δab + σab + wab ,
3
θ = Baa ,
1
σab = B(ab) − θδab ,
3
wab = B[ab] .
Bab =
3.2
(3.23)
Congruência de Geodésicas
Considere uma variedade M e seja O uma região aberta contida em M . Uma con-
gruência em O é um termo usado para designar uma família de curvas tais que em cada
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
41
ponto de O passa uma, e apenas uma, curva desta família. As congruências que estudaremos são compostas de geodésicas, curvas que representam um caminho de comprimento
extremo entre dois pontos, parametrizadas arbitrariamente.
Estamos interessados em estudar, no âmbito de RG, tanto o movimento de corpos
de testes livres quanto o de raios de luz. Um corpo de teste é um corpo cuja massa é tão
pequena que a curvatura que ele produz no espaço-tempo não tem significado por si só, ao
contrário, seu movimento é devido à curvatura produzida por outros corpos com massas
significativas [52]. Na RG os corpos de testes são consideradas livres quando não estão
sob qualquer influência com excessão da curvatura do espaço-tempo (livres das forças
elétricas, por exemplo). Nessa teoria a gravitação não é uma força, mas uma propriedade
da geometria do espaço-tempo. Partículas que se movem livremente em resposta apenas
à geometria do espaço-tempo seguem geodésicas.
Analisaremos separadamente congruências de geodésicas tipo-tempo e tipo- nula.
Não serão abordadas geodésicas tipo-espaço, pois além do estudo destas ser idêntico ao
das geodésicas tipo-tempo, elas são menos interessante do ponto de vista físico. Mais pre~ entre duas geodésicisamente, queremos analisar o comportamento do vetor de desvio ξ,
cas vizinhas tipo-tempo na congruência, como uma função do tempo próprio τ , ao longo
destas curvas usadas como referência. Em seguida abordaremos de maneira similar as
geodésicas nulas, também com o objetivo de analisar a evolução das congruências no
tempo. É importante que esteja claro que um desvio geodésico na RG, significa apenas
uma manifestação da curvatura.
3.2.1
Congruência de Geodésicas Tipo-Tempo
Considere uma congruência de geodésicas tipo-tempo parametrizadas por τ . Nesta
congruência são escolhidas duas geodésicas vizinhas γ0 e γ1 e entre elas é introduzida uma
família de geodésicas. Para cada geodésica um índice S ∈ [0, 1] é atribuído, de forma que
S = 0 em γ0 e S = 1 em γ1 (ver figura (3.2)). Estas curvas serão descritas por relações
de xα (S, τ ), onde S especifica a geodésica e τ é um parâmetro afim ao longo da geodésica
especificada. Com esta configuração, temos interesse em dois vetores:
~ tangente à curva, a quadri-velocidade, tal que U
~ = U α êα , U α Uα = −1 e
• Um vetor U
U α = ∂xα /∂τ .
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
42
• Um vetor ξ~ o qual aponta nas direções transversais ao fluxo da congruência, o vetor
de desvio geodésico, denotado por ξ~ = ξ α êα onde ξ α = ∂xα /∂S.
Figura 3.2: Vetor de desvio entre duas geodésicas vizinhas. (Figura retirada da referência [17]).
A equação da geodésica tipo-tempo parametrizada por τ (parâmetro afim) é dada
~ = 0. Também podemos escrevê-la como U α ;β U β = 0 (para um estudo mais
por ∇U~ U
detalhado da equação da geodésica veja apêndice (A)).
~ é dada por
A derivada absoluta de ξ~ na direção de U
α
∂ξ β
∂x
β
ρ
+ Γρ α ξ
êβ ,
α
∂x
∂τ
2 β
α
ρ
∂ x
β ∂x ∂x
=
+ Γρ α
êβ .
∂τ ∂S
∂S ∂τ
∇U~ ξ~ = ξ β ;α U α êβ =
(3.24)
Levando em consideração que Γβρ α é simétrico nos índices inferiores e que ρ e α são índices
mudos na equação (3.24), podemos trocar ρ por α e vice-versa, obtendo assim a equação
β
α
ξ ;α U êβ =
∂xα ∂xρ
∂ 2 xβ
+ Γβρ α
∂τ ∂S
∂S ∂τ
(3.25)
êβ .
~ , a derivada absoluta de U
~ na direção de ξ~
Seguindo os mesmo passos calculamos ∇ξ~U
~ = U β ;α ξ α êβ =
∇ξ~U
∂ 2 xβ
∂xα ∂xρ
+ Γβρ α
∂τ ∂S
∂S ∂τ
êβ .
(3.26)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
43
~ , ou seja,
Isto mostra que ∇U~ ξ~ = ∇ξ~U
U β ;α ξ α = ξ β ;α U α .
(3.27)
Como Dξ α /dτ = ξ α ;β U β temos que D/dτ = U β ∇β ; portanto
D α
(ξ Uα ) = (ξ α Uα );β U β = ξ α ;β Uα U β + ξ α Uα ;β U β .
dτ
(3.28)
Substituindo (3.27) na equação acima e usando o fato que U α ;β U β = 0 (equação da
geodésica) juntamente com o fato que U λ ;β Uλ = 0, uma vez que Uα ;β = (gαλ U λ );β =
U λ ;β gαλ e que (U λ Uλ );β = 2U λ ;β Uλ , sendo (U λ Uλ = constante), concluímos que
D α
(ξ Uα ) = 0.
dτ
(3.29)
Este resultado é muito importante, pois diz que (ξ α Uα ) = constante. Isso permite que a
parametrização das geodésicas sejam ajustadas em γ0 , de modo que ξ α seja ortogonal em
toda parte a U α , ou seja, ξ α Uα = 0. Este resultado implica que o vetor do desvio geodético
aponta na direção transversal ao fluxo da congruência. Resumindo, temos as seguintes
relações
U α Uα = 0,
3.2.1.1
U α ;β U β = 0,
U α ;β Uα = 0,
U α ;β ξ β = ξ α ;β U β
e U α ξα = 0.
(3.30)
Métrica Transversal
O vetor de desvio aponta na direção transversal ao fluxo das congruências (como
dito na subseção anterior). Logo, a métrica que descreve o espaço-tempo pode ser decomposta em duas partes, a horizontal (−Uα Uβ ) e a parte transversal (hαβ ), como
gαβ = hαβ − Uα Uβ .
(3.31)
A métrica transversal é tri-dimensional e puramente espacial, uma vez que ela é ortogonal à U α : hαβ U β = 0 = hαβ U α . Em um referencial de Lorentz comóvel, em algum
.
.
.
ponto p dentro da congruência temos gαβ = diag(−1, 1, 1, 1), hαβ = diag(0, 1, 1, 1) e Uα =
diag(−1, 0, 0, 0). Algumas relações são relevantes como hαµ hµβ = hαβ e o traço desta métrica
é dado por hαα = 3.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
3.2.1.2
44
Cinemática
Consideremos o Universo como sendo um fluido perfeito composto de partículas que se movem ao longo de um conjunto de curvas tipo-tempo. Estudaremos sua cinemática do ponto de vista da RG. Comecemos nosso estudo com a definição de um campo
tensorial dado por
Bαβ = Uα ;β .
(3.32)
Observe que assim como hαβ , este tensor é puramente transversal
1
Bαβ U α = Uα ;β U α = (U α Uα );β = 0.
2
(3.33)
A ação de Bαβ sobre o vetor do desvio geodético ξ~ é dada por
Bβα ξ β = U α ;β ξ β ,
(3.34)
e usando a equação (3.27) temos que
Bβα ξ β = ξ α ;β U β .
(3.35)
Conforme visto antes, o lado direito da equação (3.35) representa o transporte paralelo
~ ao longo da congruência. Esta
do vetor de desvio ξ~ na direção do vetor tangente U
equação nos diz que Bβα determina a evolução deste vetor de desvio. Ela mede o quão
falho é o transporte de ξ~ ao longo da congruência [20, 17]. A equação (3.35) é análoga a
equação (3.1), com excessão dos termos de O(ξ 2 ). Estes termos foram desprezados durante a análise da evolução do vetor de desvio de um meio deformável.
Como qualquer outro tensor Bαβ pode ser decomposto como sendo a soma de
suas partes simétrica e anti-simétrica. Sabemos que a parte anti-simétrica do tensor possui
traço igual a zero, logo o traço do tensor está contido no traço da parte simétrica. Assim
podemos dividir a parte simétrica em duas partes, simétrica de traço livre (sem traço) e
o traço. Similar a seção (3.1.1), chamaremos o traço do tensor de θ, a parte simétrica sem
traço de σαβ e a parte anti-simétrica de wαβ . Escreveremos esse tensor como
1
Bαβ = θhαβ + σαβ + wαβ ,
3
(3.36)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
45
onde θ é a expansão (ou contração) escalar, σαβ representa o tensor distorção, e wαβ o
tensor rotação. Essas quantidades estão relacionadas à geometria da área transversal ortogonal às linhas de fluxo. Elas são dadas, respectivamente, por
θ = Bαα = U α ;α ,
1
σαβ = B(αβ ) − θhαβ ,
3
wαβ = B[αβ ] .
(3.37)
No estudo anterior (seção (3.1.1)), encontramos equações similares que descrevem
~ com relação ao tempo próprio. O efeito do tensor Bαβ
a evolução do vetor de desvio (ξ)
sobre o meio estudado (nosso caso particular um fluido), no âmbito da RG, pode ser considerado análogo ao efeito deste tensor no meio deformável no contexto newtoniano. Essa
analogia com a deformação elástica ou fluxo de fluido é tomada como um auxílio visual
para a compreensão das mudanças na geometria da área transversal. De modo análogo,
conforme veremos adiante, a evolução do tensor Bαβ dado por (3.36) nos dá a evolução
da geometria da área transversal às linhas de fluxo. Em particular se θ > 0 a congruência
estará divergindo, as geodésicas tendem a se separar; por outro lado se θ < 0 a congruência estará convergindo, as geodésicas tendem a se unir. O estudo da evolução de Bαβ é de
grande utilidade para o conhecimento do teorema a seguir.
3.2.1.3
Teorema de Frobenius para Congruências Tipo-Tempo
Teorema 3.2.1 Uma congruência de curvas tipo-tempo dá origem a uma hipersuperfície ortogonal
se e somente se U[α ;β Uγ ] = 0, onde U α é o vetor tangente às curvas.
Quando isso ocorre, a congruência é em todos os lugares ortogonal à uma família de
hipersuperfície tipo-espaço folheando O. Para demonstrarmos esse teorema, começamos
observando que uma congruência será ortogonal a uma hipersuperfície se U α for proporcional a normal nα desta hipersuperfície em todos os pontos. Supondo que estas são
descritas por equações do tipo φ(xα ) = c, onde c é uma constante específica de cada hipersuperfície então nα ∝ φ,α . Portanto, para algum fator de proporcionalidade µ, o qual pode
ser determinado da condição de normalização (U α Uα = −1), escrevemos
Uα = −µφ,α ,
(3.38)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
46
cuja a derivada covariante é dada por
Uα ;β = −µφ;α β − µ,β φ,α .
(3.39)
Construindo o tensor totalmente anti-simétrico,
U[α ;β Uγ ] ≡
1
(Uα ;β Uγ + Uγ ;α Uβ + Uβ ;γ Uα − Uβ ;α Uγ − Uα ;γ Uβ − Uγ ;β Uα ) ,
3!
(3.40)
e usando (3.39) podemos reescrevê-lo como
U[α ;β Uγ ] =
1
[(−µφ;α β − µ,β φ,α +µφ;β α + µ,α φ,β )Uγ +
3!
+(−µφ;β γ − µ,γ φ,β +µφ;γ β + µ,β φ,γ )Uα +
+(−µφ;γ α − µ,α φ,γ +µφ;α γ + µ,γ φ,α )Uβ ].
(3.41)
Seja φ;α β = φ;β α e substituindo (3.38) na equação (3.41), chegamos ao seguinte resultado
(3.42)
U[α ;β Uγ ] = 0.
Então concluímos que uma hipersuperfície ortogonal
⇒ U[α ;β Uγ ] = 0. O inverso, o qual
diz que U[α ;β Uγ ] = 0 implica a existência de um campo escalar φ tal que Uα ∝ φ,α também é verdade, mas sua demonstração é mais trabalhosa. Com a equação (3.42) podemos
decidir apenas com as bases dos campos vetoriais, sem a necessidade de encontrar explicitamente φ, se U α determina ou não uma hipersuperfície ortogonal. É relevante destacar
que na dedução da equação (3.42), não foi usada a equação da geodésica (U α ;β Uβ = 0) e
nem o fato de que U α é normalizado, o que a torna mais geral.
Retornando ao nosso estudo de congruências geodésicas e usando a definição de
anti-simetria de um tensor, ou seja,
1
B[αβ ] = (Uα ;β −Uβ ;α ),
2
(3.43)
podemos escrever a equação (3.40) como
3!U[α ;β Uγ ] = 2[(B[αβ ] )Uγ + (B[γ α] )Uβ + (B[β γ ] )Uα ],
= 2[wαβ Uγ + wγ α Uβ + wβ γ Uα ].
(3.44)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
47
Se multiplicarmos (3.44) por U γ e impormos a exigência do teorema de Frobenius (U[α ;β Uγ ] =
0), temos
wαβ = 0.
(3.45)
A equação 3.45 foi obtida utilizando a propriedade, Uγ U γ = −1 e as condições de ortogonalidade wγ α U γ = wβ γ U γ = 0. assim podemos inferir que a existência de uma hipersuperfície ortogonal
⇒ wγ α = 0. Pode-se demonstrar também que se wαβ = 0 então as
geodésicas tipo-tempo determinam hipersuperfícies ortogonais a U α em todos os pontos.
Este resultado é importante para o cálculo de wαβ a partir da métrica da variedade, como
por exemplo, para a geometria de Friedmann subjacente ao modelo padrão da Cosmologia, wαβ = 0, que mostraremos mais adiante. Isto implica que as geodésicas tipo-tempo
serão ortogonais, em todos os pontos ao nosso mundo tridimensional. Por outro lado, a
existência ou não de vértices (wαβ 6= 0) é um fato passível de observação.
3.2.1.4
A Equação de Raychaudhuri para Congruências Tipo-Tempo
A equação de evolução do campo tensorial Bαβ é dada por
D
(Bαβ ) = Bαβ ;µ U µ = Uα ;β µ U µ .
dτ
(3.46)
Mas Uα ;β µ = [∇µ , ∇β ]Uα + Uα ;µ β e como [∇µ , ∇β ]Uα = Rαλ β µ Uλ podemos escrever a
equação (3.46) como
D
(Bαβ ) = (Uα ;µ β + Rαλ β µ Uλ )U µ ,
dτ
= (Uα ;µ β + Rν αβ µ U ν )U µ .
(3.47)
mas Uα ;µ β U µ = (Uα ;µ U µ );β −Uα ;µ U µ ;β e Uα ;µ U µ = 0. Substituindo essas expressões em
(3.47) teremos a equação da evolução do tensor Bαβ
D
(Bαβ ) = −Uα ;µ U µ ;β +Rν αβ µ U ν U µ ,
dτ
= −Bαµ Bβµ − Rαν β µ U ν U µ .
(3.48)
Podemos também calcular a evolução de cada componente do tensor Bαβ (simétrica sem
traço, anti-simétrica e traço) fazendo as decomposições apropriadas. A mais usada é a
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
48
equação de evolução para a expansão, a qual será detalhada adiante, as demais serão
apenas apresentadas.
Tomando o traço da equação (3.48), obtemos
D α
(Bα ) = −Bαµ B µα − Rνβ β µ U ν U µ ,
dτ
Dθ
= −Bαµ B µα − Rν µ U ν U µ .
dτ
(3.49)
Usando a equação (3.36) para calcular Bαµ B µα , chegamos a
Bαµ B µα =
θ2
+ σαµ σ αµ − wαµ wαµ .
3
(3.50)
Substituindo (3.50) em (3.49), encontramos a equação de evolução para a expansão de
congruências de geodésicas tipo-tempo, mais conhecida como a equação de Raychaudhuri
dada por
Dθ
θ2
= − − σαµ σ αµ + wαµ wαµ − Rαµ U α U µ .
dτ
3
(3.51)
Essa é a equação chave para a prova de teoremas de singularidades. A equação de evolução
para a parte simétrica sem traço σµν é dada por
Dσµν
2
1
1
= − θσµν − σµα σνα − wµρ wνρ + hµν (σαβ σ αβ − wαβ wαβ ) + Cαν µβ U α U β + R̃µν(,3.52)
dτ
3
3
2
onde R̃µν é a parte sem traço de Rµν projetada espacialmente e Cαν µβ é o tensor de Weyl.
Esses tensores são definidos respectivamente como
1
R̃µν = hαµ hβµ Rαβ − hµν hαβ Rαβ ,
3
(3.53)
e
Cαν µβ = Rαν µβ −
2
2
gα[µ Rβ ]ν − gν [µ Rβ ]α +
gα[µ gβ ]ν R.
(n − 2)
(n − 1)(n − 2)
(3.54)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
49
Finalmente a equação de evolução para a parte anti-simétrica wµν é dada por
Dwµν
2
= − θwµν + σµα wν α − σνα wµα .
dτ
3
(3.55)
Devemos ressaltar que estas equações de evolução (e suas generalizações) são
essencialmente afirmações geométricas, sendo independentes de qualquer referência às
equações de campo de Einstein. Vamos estudar agora a equação (3.51) no contexto da
gravidade de Einstein. Onde a congruência de geodésicas tipo-tempo representa o movimento de partículas livres (linhas de universo). Usando a equação de Einstein para a RG,
escreveremos o último termo de (3.51) como
1
Rαµ U U = 8πG Tαµ − gαµ T
2
α
µ
U αU µ.
(3.56)
Ao analisar o lado direito desta equação, vemos que Tαµ U α U µ representa fisicamente a
densidade de matéria como medida por um observador com quadri-velocidade U µ . Como
estudado no capítulo anterior, a condição de energia fraca é posta como Tαµ U α U µ ≥ 0, em
outras palavras a WEC exige que para toda matéria fisicamente razoável, a densidade de
energia não seja negativa. Outra condição de energia que também pode ser aplicada aqui
é a condição de energia forte, que exige Tαµ − 12 gαµ T U α U µ ≥ 0, ou seja, ela impõe que
a tensão da matéria não seja exageradamente negativa. Portanto, se a SEC se mantêm,
podemos afirmar que
Rαµ U µ U α ≥ 0.
(3.57)
Observemos o segundo e terceiro termo de (3.51), como o tensor de rotação e deformação
são ortogonais à quadri-velocidade, dizemos que eles são tensores puramente espaciais, o
que significa
σαµ σ αµ ≥ 0 e wαµ wαµ ≥ 0,
(3.58)
onde o sinal de igualdade se mantêm somente se o tensor for identicamente nulo.
Quando utilizamos a equação de Einstein com a constante cosmológica a equação
de Raychaudhuri é reescrita como
1
Dθ
θ2
αµ
αµ
α µ
= − − σαµ σ + wαµ w − χ Tαµ U U + T + Λ.
dτ
3
2
(3.59)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
50
Ao analisar esta equação vemos que a rotação e a constante cosmológica faz com que
se expanda, ao passo que a distorção contribui para o colapso gravitacional. O papel
do termo Tαµ U α U µ + 21 T depende da SEC. Se essa condição de energia for válida, a
contribuição é para o colapso gravitacional, porém se a SEC for violada, a contribuição é
para a expansão.
3.2.1.5
Teorema da Focalização para Congruências Tipo-Tempo
Muitos resultados importantes para a teoria da RG, relacionados com a equação
de Raychaudhuri, são oriundos de um teorema simples, conhecido como teorema da Focalização, que enunciado a seguir.
Teorema 3.2.2 Considere uma congruência de geodésicas tipo-tempo determinando uma hipersuperfície ortogonal. Se para essa congruência Rαµ U α U µ ≥ 0 ( o que ocorre se a gravidade for descrita pelas equações de Einstein e se a matéria obedecer a SEC), então podemos escrever a equação
de Raychaudhuri como
Dθ θ2
+
≤ 0.
dτ
3
(3.60)
1
1
τ
≥
+ ,
θ(τ )
θ0 3
(3.61)
Integrando esta equação obtemos
onde θ0 ≡ θ(τ = 0). Isto mostra que se a congruência é inicialmente convergente (θ0 < 0),
então θ(τ ) −→ −∞ dentro de um tempo próprio τ ≤ 3/|θ0 |. No cenário físico, este resultado tem um papel crucial, pois mostra que as geodésicas convergirão para um ponto,
o qual é chamado de cáustica, onde a equação de Raychaudhuri perde sua validade. A
cáustica é uma singularidade da congruência, porém, ela não indica qualquer singularidade na estrutura do espaço-tempo [4]. Entretanto, nas provas dos teoremas de singularidade aproveita-se essa propriedade da equação de Raychaudhuri para mostrar que o
espaço-tempo deve ser geodesicamente incompleto [4, 20]. Uma singularidade na estrutura do espaço-tempo implica uma focalização de geodésicas, o contrário nem sempre é
válido. Um exemplo seria uma geodésica do tipo-tempo que "termina" em um intervalo
de tempo próprio finito (geodésicas incompletas).
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
3.2.2
51
Congruência de Geodésicas Tipo-Nula
Os raios de luz também são importantes no estudo da geometria do espaço-tempo.
O seu movimento se dá ao longo de geodésicas nulas, para as quais dS 2 = 0. Para o estudo
das congruências de geodésicas nulas, será considerada a mesma configuração geométrica
da seção anterior, com a exceção que o campo vetorial tangente será indicado por vetores
nulos K α e as geodésicas serão parametrizadas pela variável λ (parâmetro afim desta configuração). Assim, o deslocamento ao longo de uma curva da congruência será descrito
por dxα = K α dλ. Novamente o vetor de desvio será indicado por ξ~ e assim como anteri~ Temos as seguintes relações:
ormente, será ortogonal ao campo tangente K.
1. Kα K α = 0;
2. K α ;β K β = 0;
esta é a equação da geodésica para a congruência nula.
3. K α ;β ξ β = ξ α ;β K β ;
~ será igual ao transporte paralelo de K
~
o transporte paralelo de ξ~ na direção de K
~ Essa demonstração, por ser análoga a demonstração feita para conna direção de ξ.
gruência de geodésicas tipo-tempo, não será novamente provada.
~
4. K α ξα = 0, ou seja, ξ~ é ortogonal à K;
mais uma vez, a demonstração desta propriedade segue de forma similar a que fize~ ) e não reproduziremos aqui.
mos para vetores tipo-tempo (U
As propriedades transversais da congruência, assim como na subseção (3.2.1), são as que
~ Em outras palavras,
mais nos interessam. Elas são determinadas pelo vetor de desvio ξ.
o que realmente será estudado é o que acontece no cone de luz (parte transversal). A
~ a
condição K α ξα = 0 falha ao remover uma eventual componente de ξ~ na direção de K,
qual será isolada usando a métrica transversal hαβ .
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
3.2.2.1
52
Métrica Transversal
Na congruência de geodésicas nulas, a métrica transversal escrita da forma tradicional não funciona (hαβ K β = Kα 6= 0 ). Para resolver esse problema, vamos inicialmente para um sistema de Lorentz local (sistema inercial) e em um ponto P deste sistema, introduzimos as novas coordenadas u = t − x e v = t + x. O elemento de linha
ds2 = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 , em relação a estas novas coordenadas será escrito como
.
ds2 = −dudv + dy 2 + dz 2 . Supomos que K α é tangente às curvas u = constante, assim o
.
elemento de linha transversal será dS̃ 2 = dy 2 +dz 2 . A métrica transversal é bi-dimensional
.
hαβ = (0, 0, 1, 1), isto está relacionado com o fato que deslocamento ao longo do cone de
luz, ds2 = 0. Em síntese, queremos uma métrica escrita em termos de dois vetores nulos
(K α e N α ), tal que Nα K α 6= 0. Com esse objetivo, introduziremos outro campo vetorial
nulo Nα que atenda as exigências necessárias. Como sabemos que a normalização de um
vetor tipo-nulo é arbitrária, podemos impor que Nα K α = −1. No referencial de Lorentz
.
.
se definirmos Kα = ∂α u podemos escolher, por exemplo, Nα = 21 ∂α v . Definimos
hαβ = gαβ + Kα Nβ + Kβ Nα ,
(3.62)
de forma que essa métrica satisfaça as seguintes propriedades
hαβ K β = hαβ N β = 0,
hαα = 2 e
hαµ hµβ = hαβ .
(3.63)
É claro que as condições N β Nβ = 0 e Kβ N β = −1 não determinam N β de forma única.
A métrica transversal não será única para este caso. Entretanto, veremos que as quantidades fisicamente relevantes, como por exemplo a expansão da congruência, serão independentes das nossas escolhas para o vetor nulo auxiliar [9, 17].
3.2.2.2
Cinemática
O estudo cinemático das congruências nulas será feito de forma análoga ao estudo
de congruências de geodésicas tipo-tempo. Alguns cuidados adicionais devem ser tomados em relação as quantidades puramente transversais. Como fizemos anteriormente,
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
53
introduziremos um campo tensorial
Bαβ = Kα ;β ,
(3.64)
o qual nos fornece a medida do quanto é falho o transporte paralelo de ξ~ ao longo da
congruência. Como antes, a ação de Bαβ sobre o desvio geodético é dada por
Bβα K β = K α ;β ξ β .
(3.65)
A equação (3.65) possui uma componente transversal que devemos remover. Tal procedimento, será iniciado com o isolamento da parte puramente transversal do vetor de desvio,
a qual denotaremos por ξ˜α . Aplicando hαβ a ξ α , temos
ξ˜α ≡ hαµ ξ µ ,
= (δµα + K α Nµ + N α Kµ )ξ µ ,
= ξ α + (Nµ ξ µ )K α .
(3.66)
˜ representa a velocidade relativa de
A derivada covariante de ξ˜µ na direção de K µ (∇K~ ξ)
duas geodésicas vizinhas
ξ˜µ ;β K β = (hµν ξ ν );β K β ,
= hµν Bβν ξ β + hµν ;β ξ ν K β .
(3.67)
Mas hµν ;β ξ ν K β = K µ Nν ;β ξ ν K β e finalmente podemos reescrever (3.67) como
ξ˜µ ;β K β = hµν Bβν ξ β + Nν ;β ξ ν K β K µ .
(3.68)
Esta é a velocidade relativa de duas geodésicas vizinhas. Como vemos, ela tem uma componente ao logo de K µ , a qual isolaremos novamente usando a métrica transversal
(ξ˜α ;β K β )˜ ≡ hαµ ξ˜µ ;β K β ,
= hαµ hµν Bβν ξ β + Nν ;β ξ ν K β K µ ,
= hαν Bβν ξ β ,
= hαµ Bνµ ξ ν .
(3.69)
Para simplificarmos esta equação, fazeremos algumas substituições. Primeiramente tro-
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
54
caremos ξ ν por ξ˜ν , isto é possível porque Bβν K β = 0. Depois inseriremos a relação ξ˜ν ≡
hν ξ˜β , uma vez que ξ˜ν é puramente transversal. Por último definimos a parte puramente
β
transversal de Bµν como B̃αβ = hµα hνβ Bµν , temos então
µ
β
˜
ξ ;β K ˜= B̃βα ξ˜β .
(3.70)
A parte puramente transversal de Bµν pode ser expressa mais explicitamente usando hαβ ,
de modo que
B̃αβ = hµα hνβ Bµν ,
= (gαµ + Kα N µ + Nα K µ )(gβν + Kβ N ν + Nβ K ν )Bµν ,
= Bαβ + Kα N µ Bµβ + Kβ N µ Bαµ + Kα Kβ N µ N ν Bµν .
(3.71)
O comportamento puramente transversal da congruência nula é governado pela equação
(3.70), onde B̃ α ξ˜β é interpretado fisicamente como a velocidade transversal relativa entre
β
duas geodésicas vizinhas. Decompondo o tensor B̃αβ em suas componentes irredutíveis
temos
1
B̃αβ = θhαβ + σαβ + wαβ ,
2
(3.72)
onde θ é a expansão (ou contração) escalar, σαβ é o tensor distorção, e wαβ é o tensor
rotação, dados respectivamente por
θ = B̃αα ,
1
σαβ = B̃(αβ ) − θhαβ ,
2
wαβ = B̃[αβ ] .
(3.73)
A expansão pode ser explicitada, usando a equação (3.71), assim
θ = g αβ B̃αβ ,
= g αβ Bαβ ,
= K α ;α .
(3.74)
Vemos assim que a escolha do vetor nulo não exerce nenhuma influência sobre
θ e como era de se esperar, a expansão é única. Assim como no caso das congruências
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
55
das geodésicas tipo-tempo, o estudo da evolução das congruências tipo-luz é facilitado
usando-se o teorema de Frobenius para o cone de luz, conforme a seguir.
3.2.2.3
Teorema de Frobenius para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas
Teorema 3.2.3 A congruência de curvas tipo-nula define uma hipersuperfície ortogonal se e somente se K[α ;β Kγ ] = 0, onde K α é a tangente às curvas.
A prova deste teorema é idêntica a que fizemos na seção (3.2.1.3) (para congruência de
geodésicas tipo-tempo). Então nos limitaremos apenas em citar os passos principais da
demonstração. Observemos inicialmente que K γ deve ser proporcional à normal φ,α de
uma família de hipersuperfícies descritas por φ(xα ) = constante (Kα = −µφ,α ), para algum escalar µ. Estas hipersuperfícies devem ser claramente nulas (g αβ φ,α φ,β ∝ g αβ Kα Kβ =
0). O vetor K β é também tangente às hipersuperfícies, isto porque K α φ,α = 0. K α é
ao mesmo tempo paralelo e ortogonal à φ,α (veja o teorema (3.2.4)). As geodésicas são
chamadas de geradores de hipersuperfícies, e elas estão situadas dentro das hipersuperfícies como ilustrado na figura (3.3). Seguindo passos semelhantes ao caso das congruências tipo-tempo, mostra-se que o vetor nulo Kα obedece à relação K[α ;β Kγ] = 0. Por outro
lado, esse fato implica que B[αβ ] Kγ + B[γ α] Kβ + B[β γ ] Kα = 0. Quando multiplicamos esta
expressão por N γ ( lembrando que N γ Kγ = −1), obtemos
B[αβ ] = B[γ α] N γ Kβ + B[β γ ] Kα N γ ,
1
=
(Bγ α Kβ − Bαγ Kβ + Bβ γ Kα − Bγ β Kα ) N γ ,
2
= Bγ [α Kβ ] N γ + K[α Bβ ]γ N γ .
(3.75)
Usando a expressão (3.71) podemos escrever a parte anti-simétrica de B̃αβ como
2B̃[αβ ] = Bαβ + Kα Bµβ N µ + Kβ Bαµ N µ + Kα Kβ Bµν N µ N ν −
−Bβ α − Kβ Bµα N µ − Kα Bβ µ N µ − Kβ Kα Bµν N µ N ν ,
(3.76)
B̃[αβ ] = B[αβ ] − Bµ[α Kβ ] N µ − K[α Bβ ]µ N µ .
(3.77)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
56
Substituindo (3.75) nesta expressão e lembrando que µ é um índice mudo, temos
B̃[αβ ] = 0.
(3.78)
Vemos assim que hipersuperfícies ortogonais =⇒ wαβ = 0.
Figura 3.3: Familia de hipersuperfícies ortogonais à congruência de geodésicas nulas. (Figura
extraída da referência [17]).
Finalmente para validar algumas afirmações supracitadas, demonstramos aqui
um teorema sobre o produto escalar de dois vetores nulo.
Teorema 3.2.4 Em um espaço vetorial real V quadri-dimensional provido da métrica lorentziana
gαβ = diag(−1, 1, 1, 1), dois vetores nulos são ortogonais se e somente se eles são colineares.
Demonstração: sejam A e B dois vetores nulos em V, ou seja,
A.A = B.B = 0.
(3.79)
Se A e B são colineares, A = yB(y 6= 0), então tomando o produto interno de ambos
os membros desta equação por A e usando a equação (3.79), obtemos A.B = 0, o que
mostra que eles também são ortogonais. Reciprocamente, suponhamos que os vetores
nulo A e B são ortogonais, isto é, A.B = 0. É sempre possível escolher uma base na qual
gαβ = diag(−1, 1, 1, 1) com A = (a, a, 0, 0) e B = (b, c, d, 0), onde a 6= 0 e b2 = c2 + d2 .
Portanto, A.B = 0 implica que b = c e consequentemente d = 0. Logo os vetores são
colineares.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
3.2.2.4
57
Equação de Raychaudhuri para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas
A derivação da equação de evolução para Bαβ em uma congruência de geodésicas
nulas, segue o mesmo caminho usado para o cálculo da evolução desse tensor no caso de
geodésicas tipo-tempo
d
(Bαβ ) = Bαβ ;µ K µ = Kα ;β µ K µ ,
dλ
= Kα ;µ β K µ + Rν αβ µ K ν K µ ,
= Kα ;µ β K µ − Rαν β µ K ν K µ ,
= −Kα ;µ K µ ;β −Rαν β µ K ν K µ ,
= −Bαµ Bβµ − Rαν β µ K ν K µ .
(3.80)
Esta é a equação de evolução para Bαβ . Quando tomamos o traço dessa equação temos
d
(B α ) = −Bαµ B µα − Rν µ K ν K µ ,
| {z }
dλ α
ν−→α
dθ
= −Bαµ B µα − Rαµ K α K µ .
dλ
Como Bαµ B µα = B̃αµ B̃ µα =
θ2
2
(3.81)
+ σαµ σ µα − wαµ wµα , a equação (3.81), se torna
dθ
θ2
= − − σαµ σ µα + wαµ wµα − Rαµ K α K µ .
dλ
2
(3.82)
Esta é a equação de Raychaudhuri para uma congruência de geodésicas nulas. Notemos
que essa equação é invariante sob uma mudança de vetor auxiliar nulo N α . lembramos
também que o tensor distorção e rotação são puramente transversais, assim σαµ σ µα ≥ 0 e
wαµ wµα ≥ 0, com a igualdade ocorrendo somente se o tensor for nulo.
A equação de evolução do vetor de distorção para esta congruência é
dσ̃αµ
= −θσ̃αµ − hνα hβµ Cαλµσ K λ K σ ,
dλ
(3.83)
dw̃αµ
= −θw̃αµ .
dλ
(3.84)
e para a rotação,
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
3.2.2.5
58
Teorema da Focalização para Congruências de Geodésicas Tipo-Nulas
Estudaremos agora a versão nula do teorema da Focalização.
Teorema 3.2.5 Considere uma congruência de geodésicas nulas que geram uma hipersuperfície
ortogonal. Se Rαβ K α K β ≥ 0 ( o que ocorre se a condição de energia nula for válida e a gravidade
for descrita pelas equações de Einstein), então podemos escrever a equação de Raychaudhuri para
uma congruência nula como
dθ θ2
+
≤ 0.
dλ
2
(3.85)
Integrando esta equação obtemos que θ−1 (λ) ≥ λ/2 + θ0−1 , onde θ0 ≡ θ(0). Isto mostra
que se a congruência é inicialmente convergente (θ0 < 0), θ(λ) −→ −∞ dentro de um
parâmetro de λ ≤ 2/|θ0 |. Como para o caso de uma congruência de geodésicas tipotempo, isto geralmente sinaliza a ocorrência de uma caústica para os raios de luz.
3.2.3
O Termo de Aceleração e Parametrizações Não Afim
A derivação da equação de Raychaudhuri, como dito de início, fez-se exclusiva-
mente para as curvas geodésicas. Para o caso não geodésico de congruências tipo-tempo
ou tipo-nula será diferente. A equação para a evolução da expansão muda, pois passa a
possuir o termo (Uα ;µ U µ );β . Este termo pode também ser escrito como ∇β (U µ ∇µ Uα ), nós
o chamaremos de termo de aceleração, uma vez que a quadri-aceleração é definida como
aα = U α ;µ U µ [9, 20, 41]. A equação de Raychaudhuri para a expansão agora é dada como
Dθ
θ2
= − − σαµ σ αµ + wαµ wαµ + ∇µ (U µ ∇µ Uα ) − Rαµ U α U µ .
dτ
3
(3.86)
Para a parametrização não afim de congruência de geodésicas nulas, temos que
K α ∇α K β = f K β (com f = f (λ)) e a expansão passa a ser dada por Θ = ∇α K α − f .
Demonstração: usando a equação (3.71) e as relações K α ∇α K β = f K β e Nβ K β = −1,
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
59
temos
K̃α ;β = Kα ;β +Kβ N µ Kα ;µ +Kα N µ Kµ ;β +Kα Kβ N µ N ν Kµ ;ν +
+Nα K µ Kµ ;β +Nα N ν Kβ K µ Kµ ;ν .
(3.87)
Por outro lado temos que Kα ;β = (gαλ K λ );β , pois gαλ ;β = 0, e (K λ Kλ );β = 2K λ ;β Kλ . Logo
Kα ;β K α = 0, então a equação acima se reduz a
K̃α ;β = Kα ;β +Kβ N µ Kα ;µ +Kα N µ Kµ ;β +Kα Kβ N µ N ν Kµ ;ν .
(3.88)
Tomando o traço desta equação, chegamos a
K̃ α ;α = K α ;α −f,
(3.89)
e definindo Θ = K̃ α ;α , encontraremos a relação procurada
Θ = K α ;α −f.
(3.90)
Retomando a equação de Raychaudhuri (3.82) para a expansão, temos a seguinte forma
1
dΘ
− f θ + Θ2 + σ̃ 2 + w̃2 = −Rαβ K α K β .
dλ
2
(3.91)
Observemos nesta equação a presença do termo linear (em θ). As conclusões sobre a focalização das geodésicas não mudam, exceto pela diferença nos valores da expansão. Este
tipo de situação de geodésicas nulas com parametrização não afim aparece em diferentes
problemas da RG, tais como:
• Estudo das geodésicas para uma distribuição de matéria com momento angular J
e simetria axial (geometria de Kerr). Mostra que nos processos onde o buraco negro troca massa M e momento angular J com sua vizinhança, a seguinte relação é
obedecida [9],
δM − ΩH δJ =
f
δA,
8π
(3.92)
onde ΩH é a velocidade angular referente ao horizonte, A é a área do horizonte f é
uma constante sobre toda uma superfície do horizonte.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
60
• É muito comum, principalmente, em teorias escalares tensoriais de gravitação, fazerse uso das chamadas "transformações conforme". Duas métricas são ditas conformes
quando existe uma função das coordenadas Ω(x) tal que [16],
g̃µν = Ω2 (x)gµν .
(3.93)
Os símbolos de Christoffell para essas duas métricas estão relacionadas por
Γ̃αµ ν = Γαµ ν + δµα ∂ν + δνα ∂µ − gµν ∂ α ln Ω,
(3.94)
e em geral, se a curva xα (λ) é uma geodésica na métrica gµν , ela não será uma
geodésica na métrica g̃µν . Contudo, se a geodésica for tipo-nula, temos a seguinte
relação entre as equações
µ
ν
d 2 xα
d2 xα α dxµ dxν
d ln Ω
α dx dx
+
Γ̃
=
Γµ ν
+2
µν
2
2
dλ
dλ dλ
dλ
dλ dλ
dλ
dxα
dλ
= 0,
(3.95)
mostrando que xα é ainda uma geodésica, mas λ não é mais um parâmetro afim na
nova métrica.
• Nas teorias f(R) de gravidade na formulação de Palatini [15], o processo de extremização da lagrangeana induz uma nova métrica hµν na variedade, a qual está relacionada com a métrica gµν original pela relação
hµν = f0 gµν ,
(3.96)
onde f0 = df /dR. Comparando (3.96) e (3.93), vemos que duas métricas estão rela√
cionadas por um tipo de transformação conforme (Ω = f’), de modo que as relações
(3.94) e (3.95) continuam válidas para essas teorias de gravidade.
3.2.4
Cálculo da Evolução para Expansão: Exemplos
Para uma breve ilustração, calculamos a evolução da expansão, a distorção e a ro-
tação para as duas métricas do espaço-tempo mais conhecidas, a de Friedmann-LemaîtreRobertson-Walker e a de Schawarzschild.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
61
Métrica de FLRW
Examinaremos a evolução das linhas de universo comóveis do espaço-tempo de
FLRW, cuja métrica, em coordenadas esféricas, é dada por (1.10). O vetor tangente à congruência é tipo-tempo e é dado por U α = ∂xα /∂t. O cálculo de Bαβ nos fornece então
Bαβ = −Γ0α β U0 ,
1
∂0 gαβ ,
=
2 aȧ
2
2
2
= diag 0,
, aȧr , aȧr sin θ ,
1 − kr2
(3.97)
onde o ponto indica a derivada em relação ao tempo. Por outro lado, da equação (3.31),
podemos obter a métrica transversal hαβ
a2
2 2 2 2
2
, a r , a r sin θ .
= diag 0,
1 − kr2
hαβ
(3.98)
Se multiplicarmos a equação acima por (ȧ/a), temos exatamente o lado direito de (3.97),
ou seja,
Bαβ =
ȧ
hαβ .
a
(3.99)
Porém, sabemos que o tensor Bαβ tem a seguinte expressão
1
Bαβ = θhαβ + σαβ + wαβ .
3
(3.100)
Comparando com a expressão (3.99) para Bαβ , concluímos que
θ=
3ȧ
;
a
σαβ = wαβ = 0,
(3.101)
para a geometria de FLRW. A equação de Raychaudhuri então se reduz a
dθ 1 2
+ θ = −Rαβ U α U β .
dτ
3
(3.102)
Observe que esta equação é de natureza puramente geométrica. Para esta geometria vi-
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
62
mos que θ = 3ȧ/a, e um cálculo simples mostra que
dθ 1 2
ä
+ θ =3 .
dτ
3
a
(3.103)
Ou seja, o lado esquerdo de (3.102) responde pela aceleração do fator de escala da geometria de FLRW. Um cálculo simples mostra que neste caso
d
Rαβ U U = −3
dt
α
β
2
ȧ
ȧ
ä
−3
= −3 .
a
a
a
(3.104)
Ou seja, considerada apenas geometricamente, a expressão (3.102) é na verdade uma identidade, e não deveria ser chamada de equação. Por outro lado, se considerarmos uma teoria métrica de gravidade, tal como a RG de Einstein, com um fluido perfeito como fonte
da gravitação, então o lado direito de (3.102) pode ser escrito como
Rαβ U α U β = 4πG(ρ + 3P ).
(3.105)
Neste sentido, é válido chamar a expressão (3.102) de equação de Raychaudhuri. Substituindo (3.103) e (3.105) em (3.102) temos
ä
4πG
=−
(ρ + 3P ).
a
3
(3.106)
que é conhecida como a segunda equação de Friedmann. Vemos então que se
a SEC e a gravidade de Einstein forem válidas, a expansão do modelo cosmológico de
FLRW deve se dar desaceleradamente.
Métrica de Schawarzschild
Karl Schwarzschild em 1916, poucos meses depois que Einstein publicou suas
equações de campo para o vazio, obteve uma das soluções exatas das equações de Einstein. Essa solução, hoje conhecida como solução de Schawarzchild, representa o exterior
de uma distribuição de matéria-energia com simetria esférica em repouso. Os sistemas
com simetria esférica são razoavelmente simples. Entretanto, esses sistemas são fisicamente relevantes, uma vez que muitos objetos em Astrofísica são aproximadamente esféricos. Essa solução também alicerça alguns testes clássicos da RG, como por exemplo, o
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
63
deslocamento de linhas espectrais pela presença do campo gravitacional, o desvio de um
feixe de luz que passa perto de uma estrela. A geometria de Schawarzchild é dada por
dS 2 = −f dt2 + f −1 dr2 + r2 dΩ2 ,
(3.107)
onde dΩ2 = dθ2 + sin2 θdθ e f = 1 − 2M/r com M = Gm, m é a massa da fonte, G é a
constante gravitacional, e r é o raio da distribuição de matéria-energia. Quando r → ∞
o espaço-tempo de Schawarzchild se aproxima do espaço-tempo de Minkowski. Estudaremos agora uma congruência de geodésicas radiais tipo-tempo, no espaço-tempo de
Schawarzschild. Para geodésicas radiais U θ = U φ = 0. Como ξ α Uα = constante ao longo
da curva tipo-tempo γ, temos a liberdade de escolher o valor desta constante. Escolheremos então ξα U α = −1 −→ Ut ξ t + Ur ξ r = −1. Uma vez que ξ r = 0, escolhendo
ξ t = ∂t/∂S = 1, temos que Ut = −1, logo U t = g tt Ut = 1/f . Da condição de normalp
ização (gαβ U α U β = −1), encontramos que U r = ± 2M/r. O sinal superior aplica-se às
geodésicas saindo e o inferior às geodésicas entrando. A quadri-velocidade é portanto
escrita como
r
~ = U α ∂α = f −1 ∂t ±
U
2M
∂r .
r
(3.108)
A expansão é calculada como
√
1
3
θ = U α ;α = √
−gU α ,α = ±
−g
2
r
2M
r3
(3.109)
Verificamos que a congruência é convergente (θ < 0) se as geodésicas estão entrando e
divergente (θ > 0) se as geodésicas estão saindo. Observemos também que podemos
escrever
r
α
Uα dx = −dt ± f
−1
2M
dr,
r
(3.110)
o que mostra que Uα pode ser escrito como o gradiente de uma função, Uα = −φ,α , onde
"r
φ = t ∓ 4M
r
1
+
2M
2
r
p 2M
r
2M
p
−1
+1
!#
.
(3.111)
Pelo teorema de Frobenius temos então que wαβ = 0. As componentes não nulas do tensor
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
64
distorção são
2M
σtt = ∓ 2
r
σtr = ∓
1
2M
r2
− 2M
r
r
q
2M
;
r
σrr = ∓
r
;
σθθ = ±
1−
2M
r3
2M 2
r
Mr
1
=
σφφ
2
sin2 θ
(3.112)
A evolução da expansão é calculada como
dθ
dθ dr
9M
=
=− 3,
dτ
dr dτ
2r
(3.113)
Isso demonstra que dθ/dτ é negativo para ambos os casos como previsto pelo teorema da
focalização.
3.3
Aplicações da Equação de Raychaudhuri
As equações de Raychaudhuri possuem aplicações em diversos contextos físicos.
Desde sua obtenção, elas têm sido usadas de forma intensiva para melhorar nosso entendimento sobre situações tanto dentro como fora da RG. Sua vasta aplicabilidade é devido ao fato que essas equações codificam afirmações geométricas sobre fluxos. Como é
do conhecimento de todos, fluxos estão presentes em inúmeros contextos da Física. Nesta
seção, iremos analisar algumas aplicações das equações de evolução para a expansão na
RG, Astrofísica e Cosmologia.
3.3.1
Teoremas de Singularidades
Dentro da RG, a aplicação das equações de Raychaudhuri para a compreensão dos
problemas de singularidade é a mais saliente de todas. Os Teoremas de Singularidades
foram as primeiras e mais conhecidas aplicações da Equação de Raychaudhuri. Nesta
subseção falaremos um pouco sobre singularidades e em seguida sobre o mais básico dos
teoremas de Singularidades.
Na física gravitacional, uma singularidade é grosseiramente definida como regiões
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
65
do espaço-tempo onde várias grandezas físicas (tais como a curvatura ou densidade de
energia) tornam-se infinitas, ou seja, não são mais definíveis e portanto as leis físicas são
"quebradas". Singularidades podem ser encontradas em vários espaço-tempos importantes, tais como a métrica de Schwarzschild para um buraco negro e o "Big- Bang" na
métrica FLRW, desenvolvidas para descrever nosso Universo. Uma abordagem natural na
RG é considerar o espaço-tempo como consistindo de uma variedade M e uma métrica gµν
definida em toda a variedade. Dessa forma, a singularidade do Big Bang não é considerada como parte da variedade FLRW, ou seja, não pode ser considerada como um "lugar"
no espaço-tempo.
Caracterizar singularidades através da divergência da curvatura não é uma opção
satisfatória, visto que há várias possibilidades de comportamentos patológicos, envolvendo a curvatura ou os escalares formados a partir dela. A proposta mais apropriada,
segundo Wald [4], é utilizar os buracos formados com a remoção das singularidades como
critério para presença delas. Essas lacunas seriam detectadas pela existência de geodésicas que teriam comprimento afim finito, ou seja, geodésicas que são inextensíveis (não
podem ser continuadas). Tais geodésicas são ditas incompletas. Assim, pode-se definir
um espaço-tempo inextensível como sendo singular se possuir ao menos uma geodésica
incompleta. Ainda de acordo com Wald [4] é intuitivo fisicamente que espaço-tempo que
são incompletos com relação às geodésicas tipo-nula ou tipo-tempo, sejam considerados
singulares. Pois, nesse caso, seria possível que uma partícula caindo livremente, como um
fóton, acabasse sua existência dentro de um intervalo de tempo finito, ou começasse sua
existência num tempo finito no passado. Mesmo sem definir singularidades satisfatoriamente, seria justificável caracterizar tais espaço-tempos como singulares.
As primeiras soluções exatas da teoria da RG mostraram que se a matéria contida
no Universo obedece às equações de movimento da relatividade de Einstein, juntamente
com a hipótese de homogeneidade e isotropia, então o Universo deve ter sido originado
num tempo finito em uma época de densidade e curvatura infinitas. Tal anomalia porém,
durante bastante tempo, não foi objeto de estudos detalhados. Acreditava-se que ela surgia devido ao alto grau de simetria exigido nas condições consideradas para a resolução
de tais equações, não sendo assim característica intrínseca da teoria. Raychaudhuri ainda
em seu artigo de 1955 [2], apontou certa conexão entre sua equação e a existência de singularidades. Entretanto, foi por volta dos anos 60 e 70, que Hawking, Penrose e Geroch [16, 49, 50, 51, 53] mostraram que singularidades, como por exemplo a da origem do
Universo, são características inevitáveis de uma grande classe das teorias de gravitação.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
66
Eles obtiveram um conjunto de teoremas conhecidos como teoremas de singularidades,
os quais atestam que as singularidades não podem ser removidas das teorias gravitacionais geométricas. As demonstrações de tais teoremas foram feitas por meio de análises de
alto rigor das propriedades globais de um espaço-tempo geral, sob condições particulares
plausíveis fisicamente, como por exemplo a positividade da energia. À luz desses teoremas, não nos resta outra opção senão aceitar as singularidades e procurar interpretá-las
no contexto das aplicações teóricas da RG. No caso particular do Universo homogêneo e
isotrópico de FLRW, basta o seguinte teorema básico de singularidade [54] para inferir a
existência de um ponto singular em um instante de tempo passado finito
Teorema 3.3.1 Em um Universo homogêneo e isotrópico onde ρ + 3P ≥ 0 e wαβ = 0, para
qualquer instante no qual H0 = θ0 /3 > 0, então houve um tempo passado t0 < H0−1 tal que a → 0
quando t → t0 , onde ocorreu uma singularidade do espaço-tempo, tal que ρ → ∞ e P → ∞.
Vemos aqui a Condição de Energia Forte (SEC) como uma hipótese fundamental para a
obtenção de uma singularidade no Universo. Os teoremas de Singularidade de Hawking e
Penrose utilizam esse resultado ( e sua versão nula) como parte essencial de suas demonstrações. Para maiores discussões sobre esses teoremas bem como suas demonstrações,
ver refs. [16, 4].
3.3.2
Astrofísica
São muitas as aplicações da equação de Raychaudhuri no contexto da Astrofísica,
tais como o estudo de lentes gravitacionais e o estudo singular de desenvolvimento de
"cracks" em objetos esféricos. Ambas as aplicações fazem uso da versão nula destas equações. Entretanto, escolhemos como exemplo o uso das equações de Raychaudhuri no
estudo de modelos de estrelas estáticas [55]. Para este estudo, vamos considerar a estrela
como sendo um corpo composto de gás com simetria esférica. Utilizaremos a equação
(3.86) para estudarmos a evolução deste sistema. Como a estrela é estática, θ = w = σ = 0.
Logo, para a teoria da relatividade de Einstein, a equação (3.86) reduz-se a
U̇ µ ;µ =
G
(ρ + 3P ),
2
(3.114)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
67
aqui U̇ µ ;µ = ∇µ (U α ∇α U µ ) e G é a constante gravitacional. Usando a equação de conservação do tensor energia-momento, encontramos a aceleração em função do gradiente da
pressão
(ρ + P )U̇ µ + ∇µ P = 0.
(3.115)
Substituindo (3.115) na equação (3.114), encontramos
1
((∇µ P )/(ρ + P )) ;µ = − G(ρ + 3P ).
2
(3.116)
Esta é a equação do equilíbrio entre a atração gravitacional e a pressão hidrostática para
uma estrela estática. No caso newtoniano, nas equações correspondentes, temos ρ+P → ρ
e ρ + 3P → ρ, lembrando que ρ em Newton é a densidade de matéria. É essa diferença
que faz com que o colapso gravitacional na RG seja muito mais grave que na teoria de
Newton.
3.3.3
Modelos Cosmológicos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
Conforme vimos antes, para a métrica de FLRW, dada pela equação (1.10), temos
que σαβ = wαβ = 0 e a equação (3.51) reduz-se a
dθ
1
= − θ2 − Rαβ U α U β ,
dτ
3
(3.117)
o último termo do lado direito desta equação pode ser reescrito como
2 R11
R11
Rαβ U U = R00 + 2
U0 − 2 ,
a
a
α
β
(3.118)
onde consideramos a geometria plana (k = 0). Os dois termos do lado direito de (3.118)
podem ser reescritos, em termos da função de Hubble (H), como
R11
R00 + 2 = −2Ḣ
a
e
R11
= Ḣ + 3H 2 ,
a2
(3.119)
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
68
onde o ponto denota a derivada com relação ao tempo. Portanto temos
Rαβ U α U β = −Ḣ 1 + 2(U 0 )2 − 3H 2 .
(3.120)
A equação (3.117) pode ser reescrita como
dθ θ2
+
= Ḣ 1 + 2(U 0 )2 + 3H 2 .
dτ
3
(3.121)
Mas, Ḣ = − (1 + z) HdH/dz e finalmente temos a expressão para evolução da expansão
em termos da função de Hubble e do redshift (z),
dθ θ2
dH +
= − (1 + z) H
2(U 0 )2 + 1 + 3H 2 ,
dτ
3
dz
(3.122)
ou para um observador comóvel, lembrando que dθ/dτ + θ2 /3 = 3ä/a
1
d
1 ä
= − (1 + z)
2
H0 a
2
dz
H
H0
2
+
H
H0
2
.
(3.123)
Conforme vimos na dedução da equação de Raychaudhuri, dθ/dτ mede a aproximação,
ou o afastamento, das linhas de universo que representam uma congruência, possivelmente de geodésicas. Junto com uma teoria de gravidade, dθ/dτ + θ2 /3 < 0 significa
gravidade atrativa, enquanto que dθ/dτ + θ2 /3 > 0 significa gravidade com efeito repulsivo. Vale ressaltar, conforme discutido na subseção (3.2.4), que a medida da aceleração
(ou desaceleração) no modelo FLRW de Universo, é dada pela soma dθ/dτ +θ2 /3. A seguir
faremos um estudo da equação de Raychaudhuri na forma (3.123) considerando o modelo
padrão cosmológico.
O Modelo ΛCDM
O modelo padrão da Cosmologia, conhecido como modelo ΛCDM incorpora uma
constante cosmológica Λ às equações de Einstein. Além disto supõe a existência da chamada
matéria escura fria, a qual, juntamente com a matéria bariônica normal, explica toda a
dinâmica a nível de galáxias e aglomerados de galáxias. Para o estudo deste modelo, devemos utilizar a equação de Raychaudhuri mais geral dada por (3.59). Neste caso, em vez
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
69
de (3.123), obtemos para o modelo FLRW a equação
1 ä
1
= ΩΛ0 − Ωm0 (1 + z)3 ,
2
H0 a
2
(3.124)
onde ΩΛ0 = Λ/3H02 e Ωm0 = 8πGρ0 /3H02 (parâmetro de densidade da matéria). O índice
zero refere-se aos valores para o Universo hoje. O lado esquerdo de 3.124 coincide para z =
0, com o valor negativo do parâmetro de desaceleração hoje, definido por q0 = − H12 äa 0
0
[3].
Na figura (3.4) apresentamos um estudo da equação (3.124) para alguns valores
de ΩΛ0 e Ωm0 . As regiões onde a função é menor ou igual a zero representam o resultado
esperado pela RG, a expansão do Universo. A única possibilidade do Universo ser sempre desacelerado é quando ΩΛ0 = 0. Observe que para os valores ΩΛ0 = 1/3 e Ωm0 = 2/3
(curva verde) o Universo estaria desacelerando até os dias atuais, sendo que a aceleração
somente seria possível em um futuro próximo. O parâmetro de desaceleração atual para
esse caso seria nulo. Para valores próximos daqueles determinados pelas observações
atuais, isto é, 70% de ΩΛ0 e 30% de Ωm0 , temos regime de transição z ≤ 0, 67 com correspondente valor de q0 = −0, 55. Quanto maior a relação de ΩΛ0 /ΩΛ0 , mais cedo começa a
expansão acelerada do Universo. Por exemplo, para 60% de ΩΛ0 e 40% de Ωm0 , o regime
de gravidade repulsiva começa em z ≤ 0, 44 com q0 = −0, 4. Ressaltamos que mesmo para
pequenas proporções de ΩΛ0 (observe a curva verde), no futuro haveria regime de gravidade repulsiva. Isto torna claro que o modelo é incompatível com a gravidade atrativa
que conhecemos.
Capítulo 3. A Equação de Raychaudhuri
70
Figura 3.4: No eixo vertical temos os valores da função dada por (3.124) para diferentes valores
dos parâmetros ( ΩΛ0 e Ωm0 ): ΩΛ0 = 1/3 e Ωm0 = 2/3 (verde); ΩΛ0 = 0.6 e Ωm0 = 0.4 (azul);
ΩΛ0 = 0.7 e Ωm0 = 0.3 (preto); ΩΛ0 = 0.8 e Ωm0 = 0.2 (vermelho).
CAPÍTULO 4
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
“ Toda a nossa ciência, comparada com a
realidade, é primitiva e infantil e, no entanto, é a coisa mais preciosa que temos. "
Albert Einstein
4.1
Conclusões
Nesta dissertação, após uma breve apresentação da teoria da RG e do modelo
padrão de FLRW da Cosmologia, fazemos uma dedução rigorosa das condições de energia de Hawking-Ellis para o tensor energia-momento de um fluido perfeito gerneralizado.
Em seguida, deduzimos as mesmas condições para um campo escalar com acoplamento
mínimo e não mínimo ao campo gravitacional. Discutimos as condições de energia em
face das ambiguidades na definição do tensor energia-momento com acoplamento não
mínimo. Mostramos que as condições de energia na RG estabelecem vínculos sobre o
conteúdo de matéria e energia do Universo, mostramos também como usar esses vínculos
para investigar alguns aspectos relativos ao problema da expansão acelerada do Universo,
bem como para estabelecer limites nos parâmetros das teorias f (R) de gravidade. Observamos também que violações das condições de energia levam a fontes de matéria-energia
71
Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas
72
de caráter exótico, tais como densidade de energia negativa e velocidade super-luminosa
(mostramos, por exemplo, que fluidos com equação de estado onde w < −1 violam todas
as condições de energia).
No capítulo 3, derivamos com detalhes a equação de Raychaudhuri, o teorema
de Frobenius e o teorema da Focalização para congruências tipo-tempo e tipo-nula de
uma variedade pseudo-riemanniana. Como exemplo, calculamos a evolução da expansão para o modelo cosmológico de FLRW e para a métrica de Schawarzchild, mostramos
que para essas duas soluções das equações de Einstein a evolução da expansão é sempre
negativa como esperado. Mostramos que dθ/dτ mede a aproximação, ou o afastamento,
das linhas de universo que representam uma congruência. Concluímos que a equação
de Raychaudhuri, no contexto de uma teoria de gravidade, dθ/dτ + θ2 /3 < 0 significa
gravidade atrativa, enquanto dθ/dτ + θ2 /3 > 0 significa gravidade com efeito repulsivo.
Mostramos também que, de uma maneira geral, os termos de rotação e a constante cosmológica quando presentes na equação de Raychaudhuri contribuem para a expansão,
ao passo que a distorção contribui para o colapso gravitacional. A contribuição do termo
Rαµ U α U µ depende da condição de energia forte, se essa condição de energia for válida, a
contribuição é para o colapso gravitacional, se ela for violada, a contribuição é para a expansão acelerada. Em particular verificamos que o modelo cosmológico Λ CDM, mesmo
para pequenos percentuais da contribuição ΩΛ , leva sempre a efeitos repulsivos de gravidade.
4.2
Perspectivas
Dentro das teorias alternativas de gravidade tais como a teoria escalar-tensorial
de Brans-Dicke [63] e nas teorias f (R), um problema muito debatido na literatura atual é
sobre o "frame" correto para se discutir as previsões dessas teorias: o "frame" de Jordan
ou o "frame" de Einstein? (ver, e.g.,[64]). Como se sabe, esses dois "frames" são relacionados por uma transformação conforme da métrica gµν . Contudo, a lagrangeana de
Einstein-Hilbert, que fornece as equações de movimento da gravitação, não é invariante
por transformação conforme. Isto leva, em algumas situações, a previsões físicas diferentes, dependentes do "frame"em que as equações são discutidas. Apesar das condições
de energia serem formuladas em um contexto independente, quando elas são usadas em
conjunto com uma teoria de gravitação o "frame" em questão passa a ser importante.
Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas
73
Como continuação do nosso trabalho, vamos investigar a validade das diversas condições de energia para os dois "frames", ou seja, como uma transformação conforme do
campo gravitacional afeta as condições de energia de Hawking-Ellis. Pretendemos também desenvolver as condições de energia apropriadas para as teorias f (R) de gravidade
na formulação de Palatini e tentar estabelecer vínculos e/ou limites para os parâmetros
dessas teorias.
Poucos anos atrás, Simon et al.[65] fizeram determinações da função de Hubble
H(z) para 9 valores diferentes do redshift z, número este ampliado mais recentemente
para 11 determinações por Stern et al. [66]. Temos então 11 medidas de H(z) no intervalo
0.1 ≤ z ≤ 1.75. Essas medidas têm sido amplamente usadas, em diferentes análises, tais
como vínculos sobre teorias f (R) [67], cosmografia [68]. Neste contexto, pretendemos
usar a equação de Raychaudhuri, escrita na forma
1 ä
1
d
= − (1 + z)
2
H0 a
2
dz
H
H0
2
+
H
H0
2
,
para testá-la com as determinações de H(z), tendo como vínculo a imposição da atratividade da gravidade, ou seja, devemos ter dθ/dτ + θ2 /3 negativo.
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APÊNDICE A
GEODÉSICAS
Uma geodésica é uma curva que extremiza a distância entre dois pontos. Para a
derivação de sua equação consideremos uma curva γ descrita pelas relações xα (λ), onde λ
é um parâmetro arbitrário, como por exemplo, o tempo próprio (τ ), ou a distância própria
S. Seja P e Q dois pontos nesta curva localizados em xα e xα + dxα respectivamente. O
comprimento do arco entre P e Q, é dado pela integral de dS,
Q
Z
Q
Z
p
dS =
SP Q =
±gµν dxµ dxν .
(A.1)
P
P
Mas
dxµ
,
dλ
dxµ =
(A.2)
de modo que temos,
Z
Q
SP Q =
Z
Q
p
dS =
P
±gµν ẋµ ẋν dλ.
(A.3)
P
O sinal positivo(negativo) é escolhido se a curva é tipo-espaço (tipo-tempo). Assumiremos
que γ é contínua em todo lugar. Dizemos também que SP Q é invariante sob reparametrização da curva λ −→ λ0 (λ).
Demonstração: se λ = λ0 (λ) temos que
80
dxµ
dλ
=
dxµ dλ0
.
dλ0 dλ
Substituindo essa expressão
Apêndice A. Geodésicas
81
em (A.3), obtemos
Q
r
dxµ dλ0 dxν dλ0
dλ,
±gµν 0
dλ dλ dλ0 dλ
P
r
Z Q
dxµ dxν 0
=
±gµν 0
dλ ,
dλ dλ0
P
Z Q
p
=
±gµν ẋµ0 ẋν 0 dλ0 .
Z
SP Q =
(A.4)
P
Suponhamos que esta curva seja deformada, de modo que xµ (λ) −→ xµ (λ) + δxµ (λ). Entretanto, os pontos P e Q são fixos, assim δ(P ) = δ(Q) = 0.
Como dito anteriormente, a geodésica é um caminho de comprimento extremo,
em geral o mínimo. Utilizaremos o cálculo variacional para minimizar o comprimento de
ano dado por (A.3)
Z
Q
δ
Z
Q
dS = δ
P
p
P
|
±gµν ẋµ ẋν dλ = 0.
{z
}
(A.5)
I
1
Fazendo L = (±gµν x˙µ x˙ν ) 2 temos que
Q
∂L
∂L µ
2
δI =
δgµν + µ δ ẋ dλ = 0,
∂gµν
∂ ẋ
P
Z Q
Z Q
∂L gµν α
∂L dδxµ
δx
dλ
dλ = 0.
+
δI =
α
µ dλ
P ∂ ẋ
P ∂gµν ∂x
{z
}
|
{z
} |
Z
(A.6)
B
A
Integrando B por partes temos
Z
Q
P
∂L dδxµ
dλ = −
∂ ẋµ dλ
Z
Q
P
d
δx
dλ
µ
∂L
∂ ẋµ
dλ.
(A.7)
Substituindo (A.7) em (A.6) temos
Z
Q
δI =
P
∂L
d
−
α
∂x
dλ
∂L
∂ ẋµ
δxα dλ = 0.
(A.8)
Como os δxα são arbitrários a integral acima será nula somente se o integrando for igual
Apêndice A. Geodésicas
82
a zero. Assim temos uma expressão conhecida como a equação de Euler-Lagrange.
∂L
d
−
α
∂x
dλ
∂L
∂ ẋα
= 0.
(A.9)
1
Considerando L = (gµν ẋµ ẋν ) 2 , temos
∂L
1
(gµν ,α ẋµ ẋν ) ,
=
∂xα
2L
d ∂L
1 dL
1 dgµν ν
β
ν
ẋ + gµν ẍ −
gµν ẋ .
=
dλ ∂ ẋα
L
dλ
L dλ
(A.10)
(A.11)
Substituindo as equações (A.10) e (A.11) em (A.9) temos
1
L
1 dL
dgµν ν
ẋ + gµν ẍν −
gµν ẋν
dλ
L dλ
−
1
(gµν ,α ẋµ ẋν ) = 0.
2L
(A.12)
Definindo
f≡
1 dL
=,
L dλ
(A.13)
temos
1
dgµν ν
ẋ + gµν ẍν − f gµν ẋν − gµν ,α ẋµ ẋν = 0,
dλ
2
1
gµν ,σ ẋσ ẋν + gµν ẍν − gµν ,α ẋµ ẋν = f gµν ẋν .
2
(A.14)
Multiplicando a expressão acima por g µρ encontramos
1
g µρ g , ẋσ ẋν +ẍρ − g µρ gµν ,α ẋµ ẋν = f ẋρ ,
| µν{zσ
}
2
µ−→α
e
σ−→µ
1
αρ
g
gαν ,µ − gµν ,α ẋµ ẋν + ẍρ = f ẋρ .
2
(A.15)
Qualquer tensor pode ser escrito como a soma de suas partes anti-simétrica e simétrica.
Então iremos reescrever gαν ,µ ẋµ ẋν , e em seguida trocar µ por ν, obtendo
gαν ,µ ẋµ ẋν = gα(ν ,µ ) ẋµ ẋν .
(A.16)
Apêndice A. Geodésicas
83
Substituindo na equação (A.15) temos que
g
|
αρ
1
(gαν ,µ +gαµ ,ν −gµν ,α ) ẋµ ẋν + ẍρ = f ẋρ ,
2
{z
}
Γρµν
ẍρ + Γρµ ν ẋµ ẋν = f ẋρ .
(A.17)
Esta é a equação da geodésica escrita de uma forma um pouco mais geral, que não restringe o parâmetro que é usado para descrevê-la. A variável λ é um parâmetro arbitrário.
Na literatura é corriqueiro encontrarmos essa mesma equação escrita como U α ;β U β =
f U α , sendo U α = dxα /dλ tangente à geodésica. Em geral, o tempo próprio τ é escolhido como parâmetro quando a geodésica é do tipo-tempo e a distância própria quando a
geodésica é tipo-espaço. Essa escolha deve ser feita depois da extremização. Para ambos
os tipos, L = 1, f = 0 e a equação da geodésica (A.17) passa ser escrita como
ẍρ + Γρµ ν ẋµ ẋν = 0,
(A.18)
e esta é a equação da geodésica parametrizada por um parâmetro afim. Assim como anteriormente, ela pode ser escrita como U µ ;ν U ν = 0. Ela nos diz que o vetor U ν é transportado
paralelamente ao longo da curva (para nosso caso uma geodésica). Essas equações são invariantes por reparametrização do tipo λ −→ λ = aλ0 +b, com a e b, sendo constantes. Para
demonstrar essa afirmação vamos substituir na equação (A.18) as expressões dλ0 /dλ = a,
dxµ /dλ = adxµ /dλ0 e d2 xµ /dλ2 = a2 d2 xµ /dλ02 temos
a
2
µ
ν
d 2 xµ
ρ dx dx
+ Γµ ν
= 0,
dλ02
dλ dλ
µ
ν
d 2 xµ
ρ dx dx
+
Γ
= 0.
ν
µ
dλ02
dλ dλ
(A.19)
Os parâmetros que se relacionam a S e τ por transformações lineares e que preservam a forma da equação (A.18), são chamados parâmetros afim.
A forma geral para a equação da geodésica entretanto é U α ;β U β = f U α . Por
continuidade deve ser válida também para geodésicas nulas, onde ao longo das mesmas
temos que dS = dτ = 0. Para ser válida a afirmação anterior λ não pode ser um parâmetro
afim. Contudo, a partir da equação (A.17) podemos introduzir um novo parâmetro λ∗ ,
tal que a equação (A.17) tomará a forma da equação (A.18). Em outras palavras, serão
encontrados parâmetros afim para geodésicas nulas, tal que a relação entre os parâmetros
Apêndice A. Geodésicas
84
λ e λ∗ seja
dλ∗
= exp
dλ
λ
Z
0
0
(A.20)
f (λ )dλ .
Demonstração: primeiro, reescreveremos a equação (A.17), usando as expressões
U α = dxα /dλ e
d
dλ
=
dλ∗ d
:
dλ dλ∗
µ
ν
dλ∗ dU α
α dx dx
+
Γ
ν
µ
dλ dλ∗
dλ∗ dλ∗
dλ∗
dλ
2
dxα
=f ∗
dλ
dλ∗
dλ
(A.21)
,
mas
dU α
d
= ∗
∗
dλ
dλ
dλ∗ dxα
dλ dλ∗
d2 xα dλ∗
d
=
+ ∗
∗2
dλ dλ
dλ
dλ∗
dλ
dλ∗
dλ
dxα
,
dλ∗
(A.22)
substituindo a equação (A.22), na equação (A.21) temos
d2 xα
dλ∗2
dλ∗
dλ
dxα d
+ ∗ ∗
dλ dλ
dλ∗
dλ
+
dxν
dλ dλ∗
dxµ
Γαµ ν ∗
=f
dxα
,
dλ∗
(A.23)
dividindo a equação acima por y ≡ dλ∗ /dλ (supondo que dλ∗ /dλ 6= 0), encontramos
µ
ν
d 2 xα
1 dxα
dy dxα
α dx dx
+
Γ
=
f
−
,
ν
µ
∗2
∗
∗
dλ∗ dλ∗
{z dλ dλ } y dλ
|dλ
(A.24)
DU α
dλ∗
DU α
dxα
=
dλ∗
dλ∗
se f /y =
1 dy
y dλ∗
f
1 dy
−
y y dλ∗
(A.25)
,
temos o resultado procurado, DU α /dλ∗ = 0, assim
dy
1
= f dλ∗ ,
y
y
(A.26)
e a equação acima quando integrada nos fornece
Z
y = exp
.
λ
Z
dλ∗
f (λ)dλ =⇒
= exp
dλ
λ
0
0
f (λ )dλ .
(A.27)
Apêndice A. Geodésicas
85
Observação
A quantidade escalar ε = U α Uα é constante ao longo de geodésicas parametrizadas
por parâmetro afim ( tipo-tempo, tipo-espaço, ou tipo-nulo). Demonstração:
dε
= (U α Uα );β U β ,
dλ
= U α ;β U β + Uα ;β U β ,
= 0,
(A.28)
logo ε = constante. Quando escolhemos o tempo próprio e a distância própria como
parâmetros, então temos ε = ∓1 respectivamente e para uma geodésica nula temos ε = 0.