Mecânica e Ondas

Mecânica e Ondas
Série 4: Dinâmica do sistema de partı́culas
1. Uma espingarda de massa 7 kg dispara uma bala de 100 g que sai do
cano com uma velocidade horizontal de 300 m/s.
a) Se a espingarda se puder mover livremente, qual é a sua velocidade
de recuo?
b) A bala atravessa posteriormente um bloco de metal de 8 kg que
se encontra inicialmente em repouso suspenso de um fio de aço
inextensı́vel de comprimento l = 2 m, emergindo do bloco com
um quarto da velocidade inicial. Determinar a altura máxima
atingida pelo bloco depois de ter sido atravessado pela bala.
c) Calcule a energia dissipada durante o choque.
Sol: a) ve = 4.29 m/s; b) h=0.4 m; c) ∆E=-4186 J
2. Uma criança de massa mc = 30 kg sentada num carrinho de massa
mv = 50 kg lança para trás pedras de massa mp = 2 Kg com velocidade
v = 5 m/s (medida no referencial do centro de massa do sistema).
Admita que o carrinho pode rolar sem atrito e que no instante inicial
se encontra em repouso e contém 20 pedras.
a) Calcule a velocidade do carrinho após a criança ter lançado a
primeira pedra.
b) Calcule a velocidade do carrinho após a criança ter lançado a segunda pedra.
c) Calcule a velocidade do carrinho após a criança ter lançado a nésima pedra.
d) Teria sido mais vantajoso (para aumentar a velocidade do carrinho)
ter lançado as duas pedras ao mesmo tempo (admitindo que as
pedras saem ambas com a mesma velocidade v)?
Sol: a) v1 = 0.0847 m/s; b) v2 = 0.171 m/s; c) vn = mp v
d) Sim.
Pn
1
j=1 mc +mv +(20−j)mp ;
3. Uma esfera 1, de massa m, animada de uma velocidade ~v0 , colide
elásticamente com uma esfera 2, de igual massa, e que se encontra
inicialmente em repouso. Depois da colisão, a esfera 1 segue numa
direcção que faz um ângulo de 30◦ com ~v0 . Determine as velocidades
~v1 e ~v2 de cada uma das esferas após a colisão em função do valor v0 .
√
Sol: v1 =
3
v,
2 0
v2 = 12 v0 , θ2 = 60◦
4. Uma bola de borracha de massa m = 2 kg é deixada cair na vertical de
uma altura h0 = 1.5 m e no primeiro ressalto atinge uma altura h1 = 1.2
m. Para um choque deste tipo, em que um dos corpos envolvidos (neste
caso o solo) é considerado como tendo uma massa infinita (pelo que não
se move), define-se coeficiente de restituição e pela relação v 0 = −ev
em que v(v 0 ) é a velocidade do outro corpo antes (depois) do choque.
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a) Calcule o coeficiente de restituição do primeiro ressalto.
b) Calcule o intervalo de tempo que decorre até á paragem da bola,
admitindo que o coeficiente de restituição do choque da bola com
o solo se mantém constante
c) Nas condições da alı́nea anterior, calcule a energia dissipada no
n-ésimo choque.
Sol: a) e=0.89; b) ∆t= 9.9 s; c) Edis = m g h0 (1 − e2 )(e2 )n−1
5. Uma mulher de 60 Kg está de pé em cima de uma jangada de 120 Kg
e 6 metros de comprimento, que flutua em repouso em água parada. A
jangada está a 0.5 m de um cais (vd. figura).
a) A mulher caminha até a frente da jangada e pára. Qual é agora a
distância entre a jangada e o cais ?
b) Enquanto caminha, a mulher mantém uma velocidade constante de
3 m/s relativamente à jangada. Calcule a energia cinética total
do sistema (mulher + jangada) e compare com a energia cinética
que teria se a mulher caminhasse a uma velocidade de 3 m/s e a
jangada estivesse amarrada ao cais. Para onde vai esta diferença
de energia ?
Sol: a) A jangada está 2.5 m afastada do cais. b)Ec1 = 180 J, Ec2 = 270
J.
6. Um foguete com uma massa inicial M0 (em que está incluida a massa do
combustı́vel) é lançado verticalmente da superfı́cie da Terra. O foguete
queima combustı́vel a uma taxa constante σ (kg/s) e os gases produzidos na combustão são ejectados com velocidade u (relativamente ao
foguete).
a) Mostre que a velocidade do foguete no instante t é dada por
v(t) = −gt + u log
M0
M (t)
em que M (t) = M0 − σt é a massa do foguete nesse instante. Para
deduzir esta fórmula, bem como as das restantes alı́neas, despreze
a variação de g com a altitude e a rotação da Terra.
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b) Por integração de v(t) obtenha a expressão que dá a altura do
foguete no instante t:
z(t) = ut −
M0
1
uM (t)
log
− gt2
σ
M (t) 2
c) Se o combustı́vel se gastar no instante t1 ficando o foguete a partir
daı́ com uma massa M1 , verifique que a altura máxima atingida
pelo foguete é
u2
M0
=
log
2g
M1
Zmax
2
− ut1
M0
M0
log
−1
M0 − M1
M1
7. Considere o sistema representado na figura. A massa da esquerda (m/2)
vem bater, com velocidade v=5 m/s no halter parado, formado pelas
massas m/2 e m, rigı́damente ligadas á distância a = 0.5 m. O choque
faz com que as bolas de massa m/2 se juntem e com que o halter se
comece a mover.
v
m/2
m/2
m
a) Calcule a velocidade do centro de massa do conjunto.
b) Calcule, no ref. do cm, a velocidade angular do halter depois do
choque.
c) Calcule a energia dissipada no choque.
Sol: a) ~vcm = 1.25 ~ex m/s; b) ω=5 rad/s; c) Edis =-3.13 m (J)
8. Uma massa de 0.5 Kg está presa por um fio de 90 cm de comprimento,
girando, com movimento circular no plano vertical, de velocidade angular ω, em torno de um ponto O. Sabe-se que o fio parte quando se
suspende uma massa (em repouso) igual ou superior a 20 Kg.
a) Qual a velocidade angular minı́ma que deve ser aplicada ao fio para
ele partir?
b) Qual a velocidade angular minı́ma que assegura o movimento circular?
c) Calcule o momento da força da gravidade relativamente á origem O
e calcule o momento adicional que tem de ser aplicado ao sistema
para manter a velocidade angular constante.
~ = mgr sin θ~ez
Sol: a) ωmin = 20.6 rad/s; b) ωmin = 3.3 rad/s; c) N
9. A órbita (de grande excentricidade) de um asteroide estende-se desde
a órbita da Terra até á de Júpiter, tocando apenas em ambas. Considerando as órbitas dos dois planetas como circunferências de raios 1
UA=1.49×109 km e 5.2 UA, respectivamente, e sabendo que a massa
do Sol é MS = 1.99 × 1030 Kg,
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a) Determine o perı́odo da órbita do asteroide
b) Calcule as velocidades máxima e minı́ma do asteroide no seu movimento de translação.
10. Determine o momento de inércia de um disco homogéneo de massa M e
raio R, relativamente a um eixo perpendicular ao disco, passando pelo
seu centro.
Sol: I= 1/2 M R2
11. Uma roda de massa M e raio a gira em torno de um eixo que passa
pelo seu centro, com velocidade angular ω0 . Um travão é aplicado à sua
periferia e exerce sobre a roda uma compressão F, aproximadamente
independente da velocidade da roda.
a) Determine a variação no tempo da velocidade angular da roda a
partir do momento em que se aplicou o travão. Quanto tempo é
necessário para que a roda pare?
b) Calcule a energia dissipada por atrito desde o princı́pio da travagem
até à paragem da roda.
Sol: a) ω(t) = ω0 −
2F
t;
Ma
b) Edis = − 14 M a2 ω02
12. Um disco de massa M=1 Kg e de raio R= 50 cm está em repouso.
Uma bala de massa m=50 g e velocidade 300 m/s vai incrustar-se na
periferia do disco.
a) Qual a velocidade angular do disco após o choque?
b) Se, devido a efeitos de atrito, ao fim de alguns segundos, a velocidade angular do disco se reduzir a metade, qual o trabalho
realizado pelas forças de atrito?
Sol: a) ω0 = 60 rad/s; b) WF a = 168.75 J
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