t - Instituto de Física / UFRJ

I.
SISTEMA DE PARTÍCULAS IDÊNTICAS E SEGUNDA QUÂNTIZAÇÃO
A.
Permutação de Partículas
Vamos considerar um sistema formado de 2 elétrons. Na Mecânica Quântica, surge uma
nova situação quando tratar mais de uma partículas idênticas, diferentemente no caso de
Mecânica Clássica. Na Mecânica Clássica, o fato de que os dois elétrons serem idênticos
não gera problema especial, pois duas partículas são sempre mantém suas identidades separadamente, e podemos distinguir-las seguindo suas trajetórias, em princípio. No entanto, na
Mechânica Quântica, quando as funções de ondas de duas partículas superpõem, a questão
de indistinguibilidade de duas partículas traz um novo aspecto para o estado quântico do
sistema composto de duas partículas como vemos em seguida.
Sejam fj' ig uma base para o espaço de Hilbert de uma das elétrons. O sistema composto
é descrito pelo conjunto de estados de produto externo destes vetores de estado da base de
cada uma e, portanto, o conjunto,
fj' i
j' ig
forma a base do espaço de Hilbert do sistema composto, onde
representa o produto direto
(produto externo), sendo que os primeiro e segundo elementos correspondem, respectivamente, aos espaços de Hilbert da primeira e da segunda elétron.
Se as duas partículas forem distintas, os dois estados como
j' i
j' i; j' i
j' i
(1)
obviamente devem representar estados distintos do sistema composto. Por outro lado,
quando as duas partículas são idênticas, não teremos condição de associar uma dela para o
espaço de Hilbert de primeira, e outra no segundo e mantendo essa associação. No sentido
quântico, temos um único estado, para que podemos dizer que existe um elétron no estado
e outro no estado :
Ou seja, embora no sentido matemático, os dois vetores acima representariam dois vetores
distintos no espaço de produto externo, não todas combinações lineares desses dois vetores
necessariamente correspondem a situação física para um sistema de duas partículas idênticas.
Mas, sim, existe apenas uma certa combinação linear que deve corresponder ao estado, em
que existe um elétron no estado
e outro no estado , sem distinguir-las. Deve haver uma
redução do espaço do produto direto para descrever os estados de sistema de dois elétrons.
1
Para ver que tipo de combinação linear pode ocorrer, podemos considerar um operador
P que troca o papel de duas partículas 1 e 2 no espaço de produto externo. Por exemplo,
P fj' i
j' ig = j' i
j' i:
P 2 fj' i
j' ig = j' i
j' i;
Obviamente temos
para qualquer estados j' i
j' i; portanto,
P 2 = 1:
e os autovalores são
1; com autovetores,
j
1
i = p fj' i
2
j' i
j' i
j' ig :
Como falamos, o fato de que as duas partículas serem idênticas implica em que o estado
físico corresponde ao sistema de duas partículas devem ser um dos autoestados do operador
P: Isto porque, se duas partículas são idênticas, a operação P sobre um estado físico do
sistema não deve altera o estado. Assim, um estado físico deve corresponder, ou para uma
combinação linear símetrica, ou para uma combinação linear antisímetrica dos dois estados,
Eq.(1).
Para obter a função de onda, podemos introduzir uma base de con…guração,
fj~r1 i
j~r2 ig
(2)
e temos
(~r1 ; ~r2 ) = (j~r1 i
j~r2 i; j
i)
1
= p fh~r1 j' ih~r2 j' i
2
1
= p f' (~r1 ) ' (~r2 )
2
h~r1 j' ih~r2 j' ig
' (~r1 ) ' (~r2 )g :
Note que a base Eq.(2) é só quando as partículas não possuem graus de liberdade internos
como spin, ou isospin. Quando existem graus de liberdades internos, devemos utilizar as
coordenadas
~ = (~r; )
2
(3)
onde
representa o conjunto de números quânticos que especi…ca os graus de liberdades
internos. Por exemplo, no caso de elétron,
dos dois valores +1=2 ou
representaria o estado de spin e assume um
1=2: Assim, neste caso devemos utilzar a base,
n
j~1 i
B.
o
~
j 2i
(4)
Grupo de Permutação e Sua Representação
Aproveitando a discussão sobre a natureza de partículas idênticas, vamos revisar a noção
de grupo de permutação e o signi…cado e aplicação das suas representações irredutiveis na
mecânica quântica.
C.
Consideremos um conjunto de operações g = f ; ; :::g que manter o sistema invariante
e esse conjunto forma um grupo. Por grupo, entendemos primeiramente que está de…nida
uma operação entre quaisquer dois elementos
e
do g; cujo resultado também é elemento
do g: Essa operação é chamado produto do grupo e denotamos por : Assim, o conjunto é
fechado pelo produto, e expressamos esse fato
9
2 g; 8 ;
=
Para formar um grupo, o produto
2 g:
(5)
e o conjunto g têm que satisfazer as seguintes pro-
priedades.
1. Existência do elemento de identidade e 2 g; tal que
e
2. Existência do elemento inverso
=
1
e= ;
8 2 g;
(6)
para 9 2 g; tal que
1
=
1
= e:
(7)
)
(8)
3. Associatividade do produto, ou seja,
(
)=(
3
:
1 2 3
3 1 2
a
b
1
c
2
b
3
c
1
a
2
3
Para um sistema de N partículas, o conjunto de todas as operações de trocar os estados de
partículas forma obviamente um grupo, convencionando a operação de não troca nada como
o elemento de identidade. Esse grupo é chamado o grupo de permutação de N elementos e
denotamos por SN : Um elemento do grupo SN é comunmente denotado por
0
1
1 2
N
A
Pi1 i2 :::;iN = @
i1 i2
iN
(9)
indicando que a ordenação (1; 2; ::; N ) transforma em outra (i1 ; i2 ; ::; iN ) : Por exemplo, consideramos N caixas numerados de 1 a N …xos na mesa e colocamos N bolas com cores
diferentes. Podemos de…nir a operação correspondente a Pi1 i2 :::;iN como sendo um procedimento para colocar a bola na caixa 1 na caixa i1 ; a bola na caixa 2 na caixa i2 ; assim por
diante. Veja o examplo na …gura abaixo no caso de P312 : Note que nesta convenção, as
caixas não alteram mas permutamos os conteúdos das caixas.
Para a aplicação na mecânica quântica, podemos associar essas operações como trocar
os estados de cada partículas no sistema de N partículas. Convencionamos que as caixas
acima correspondem à partículas, e os conteúdos os estados que partículas ocupam. Assim,
para uma função de onda do sistema de 3 partículas distinguíveis, sendo as partículas 1; 2 e
3 estão nos estados ;
e ; respectivamente,
~1 ; ~2 ; ~3 = '
~1 '
~2 '
~3 ;
(10)
a aplicação da operação P312 a função de onda do sistema se torna
0
~1 ; ~2 ; ~3 = P312
~1 ; ~2 ; ~3
~1 '
='
4
~2 '
~3 :
(11)
Se as partículas são distinguíveis mas idênticas físicamente (por exemplo, como na bolas
na …gura acima, onde as bolas tem mesmas propriedades físicas mas distinguíveis pela, por
exemplo, seus cores ou letras impressas), as duas funções de ondas dadas pelas Eqs.(10) e (11)
correspondem aos dois estados distintos. Entretanto, se as duas partículas são …sicamente
idênticas, a energia do estado da Eq.(10) deve ser idêntica a do estado da Eq.(11). Assim,
neste caso, existem 2 estados distintos para um dado valor de energia, ou seja, o nível de
energia é degenerado. Entretanto, se as duas partículas são realmente indistinguíveis, não
devem existir tais estados distintos quando trocamos os estados entre as partículas.
Vamos formular matematicamente a relação entre a degenerescência do espectro de energia e o grupo de simetria do sistema. Para isto, introduzimos o conceito de representação
do grupo. Quando um mapeamento de um grupo para um outro grupo preserva a regra de
produto do grupo original, o mapeamento é chamado uma representação. Um exemplo mais
simples de representação é a representação trivial. Para um grupo qualquer, a representação
trivial é o mapeamento de qualquer elemento do grupo para o número 1: O conjunto formado
de um único elemento 1 forma um grupo pela regra normal de produto. Assim, se
8 2 g;
! 1;
e
= ;
obviamente preserva a regra de multiplicação, pois 1
1 = 1:
Quando os elementos de grupo representam algum procedimento físico, podemos considerar sempre o conjunto de estados que são afetados pelo esse procedimento do grupo.
Por exemplo, vamos considerar o grupo S2 : Esse grupo tem dois elementos apenas, um é a
identidade eb, e outro a permutação de dois números, P12 e a regra de produto do grupo é
eb eb = eb;
eb P12 = P12 ;
P12 eb = P12 ;
P12 P12 = eb:
5
(12)
Podemos considerar as duas con…gurações possíveis de ordenamento de 2 números, (1; 2) e
(2; 1) e associamos dois vetores ortonormais no espaço vetorial bidimensional, como
0 1
1
(1; 2) ! @ A ;
0
0 1
0
(2; 1) ! @ A :
1
No caso de S2 ; Já que
eb (1; 2) = (1; 2) ;
eb (2; 1) = (2; 1) ;
P12 (1; 2) = (2; 1) ;
P12 (2; 1) = (1; 2) ;
podemos associar 2 matrizes que representam as operações acima como
0
1
1 0
A
eb ! U (b
e) = @
0 1
0
1
0 1
A
P12 ! U (P12 ) = @
1 0
de tal forma que
0 1 0 1
1
1
U (b
e) @ A = @ A ;
0
0
0 1 0 1
0
0
U (b
e) @ A = @ A ;
1
1
0 1 0 1
1
0
U (P12 ) @ A = @ A ;
0
1
0 1 0 1
0
1
U (P12 ) @ A = @ A :
1
0
6
(13)
(14)
Note que o mapeamento Eqs.(13) e (14) preserva as regras de produto do grupo S2 ; ou seja,
a Eq.(12) …ca preservada em termos de produtos matriciais,
U (b
e) U (b
e) = U (b
e) ;
U (b
e) U (P12 ) = U (P12 ) ;
U (P12 ) U (b
e) = U (P12 ) ;
U (P12 ) U (P12 ) = U (b
e) :
Assim, o mapeamento, Eqs.(13) e (14) é uma representação do grupo S2 em termos de
matrizes 2
2:
Vamos considerar o grupo S3 ; ou seja, o conjunto de todas as permutações de 3 diferentes
objetos que estão nas caixas 1, 2 e 3. Para simplicidade, representamos os 3 objetos em
termos de 3 números, 1,2 e 3. Denotanos uma determinada con…guração dos objetos nas
caixas, por exemplo, 3 na caixa 1, 2 na caixa 2, e 1 na caixa 3, por
h
i
3 2 1 :
(15)
Obviamente para S3 ; as operações de permutar os objetos nas caixas, podem resultar em 6
con…gurações possíveis,
h
i
(16)
1 2 3 ;
h
i
2 1 3 ;
h
i
1 3 2 ;
h
i
3 2 1 ;
h
i
2 3 1 ;
h
i
3 1 2 ;
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Note que essas confugurações acima não são os elementos do grupo, mas os possíveis resultados que um elemento do grupo que causa a partir de uma con…guração dada. Por
h
i
exemplo, se a con…guração inicial for 1 2 3 ; as con…gurações acima podem ser obtidas
pelas operações do grupo S3 por
h
i
h
i
P213 1 2 3 = 2 1 3 ;
7
(22)
h
P132 1
h
P321 1
h
P312 1
h
P231 1
i h
2 3 = 1
i h
2 3 = 3
i h
2 3 = 2
i h
2 3 = 3
i
3 2 :
i
2 1 ;
i
3 1 ;
i
1 2 :
(23)
(24)
(25)
(26)
Lembre que a notação Pi1 i2 i3 indica que mudar o conteúdo da caixa 1 na caixa i1 ; da caixa
2 na caixa i2 ; e da caixa 3 na caixa i3 :
É obvio que as duas operações sucessivas do grupo S3 resultam num das 6 con…gurações
acima. Assim, podemos construir a tabela de "multiplicação" do grupo como
P1 P2 P3 P4 P5 P6
P1 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6
P2 P 2 P 1 P 6 P 5 P 4 P 3
P3 P 3 P 5 P 1 P 6 P 2 P 4
(27)
P4 P 4 P 6 P 5 P 1 P 3 P 2
P5 P 5 P 3 P 4 P 2 P 6 P 1
P6 P 6 P 4 P 2 P 3 P 1 P 5
onde para facilitar visutal, associamos
P123 ! P 1;
(28)
P213 ! P 2;
(29)
P132 ! P 3;
(30)
P321 ! P 4;
(31)
P312 ! P 5;
(32)
P231 ! P 6;
(33)
Na tabela (27), estão indicado os resultados dos produtos dos dois elemento do grupo i j =
k; sendo i na primeira coluna, e j na primeira linha. Por exemplo, da tabela (aqui, ainda
8
para simpli…car, omitimos a letra P em P 1; P 2; ::etc):
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 1 6 5 4 3
3 3 5 1 6 2 4
(34)
4 4 6 5 1 3 2
5 5 3 4 2 6 1
6 6 4 2 3 1 5
temos
P4 = P6
(35)
P132 P321 = P231
(36)
P3
indicando
Podemos representar os elementos do grupo S3 em termos de matrizes. Para isto, consideramos o espaço vetorial de 6 dimensões, associando para cada con…guração um vetor base
ortonormal,
0 1
0 1
0 1
0
0
1
B C
B C
B C
B0C
B1C
B0C
B C
B C
B C
B C
B C
B C
B1C
B0C h
B0C
i
h
i
h
i
B C
B C
B C
~
~
~
1 3 2 ! 3 = B C;
2 1 3 ! 2 = B C;
1 2 3 ! 1 = B C;
B0C
B0C
B0C
B C
B C
B C
B C
B C
B C
B0C
B0C
B0C
@ A
@ A
@ A
0
0
0
0 1
0 1
0 1
0
0
0
B C
B C
B C
B0C
B0C
B0C
B C
B C
B C
B C
B C
B C
B0C h
B0C h
B0C
h
i
i
i
B
C
B
C
B C
3 2 1 ! ~4 = B C ;
2 3 1 ! ~5 = B C ;
3 1 2 ! ~6 = B C :
B1C
B0C
B0C
B C
B C
B C
B C
B C
B C
B0C
B1C
B0C
@ A
@ A
@ A
0
0
1
(37)
Podemos considerar o mapeamento acima como o mapeamento um a um do elemento do
grupo de N elementos a vetores ortonormais num espaço vetorial de dimensão N:
9
A regra de produto do grupo é nada mais que uma transformação de um elemento do
grupo para um outro elemento. Assim, no espaço vetorial acima construido, podemos associar os elementos do grupo para operadores no espaço, ou seja matrizes. Essa associação
constitui uma representação do grupo. No caso do grupo S3 ; a representação …ca as matrizes
de 6
6; e obviamente devemos ter
0
P123
1 0 0 0 0 0
B
B0
B
B
B0
B
!B
B0
B
B
B0
@
1
C
1 0 0 0 0C
C
C
0 1 0 0 0C
C
C:
0 0 1 0 0C
C
C
0 0 0 1 0C
A
(38)
0 0 0 0 0 1
Para construir o resto da representação, podemos seguir o seguinte procedimento. Primeiro,
trocar a ordem de linhas na tabela de multipricação, de tal forma que o elemento na tabela
1 …ca sempre na posição diagonal. No caso da tabela (27), trocamos a 5a linha e 6a linha,
tendo,
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 1 6 5 4 3
2 2 1 6 5 4 3
3 3 5 1 6 2 4
! 3 3 5 1 6 2 4:
4 4 6 5 1 3 2
4 4 6 5 1 3 2
5 5 3 4 2 6 1
6 6 4 2 3 1 5
6 6 4 2 3 1 5
5 5 3 4 2 6 1
Agora, extrai o quadro da parte (6
(39)
6) da tabela,
1 2 3 4 5 6
2 1 6 5 4 3
3 5 1 6 2 4
4 6 5 1 3 2
6 4 2 3 1 5
5 3 4 2 6 1
10
:
(40)
e construimos um comjonto de matrizes, fMi ; i = 1; ::; 6g colocando 1 no elemento da matriz
correspondente no local
0
1 0 0 0 0
B
B0 1 0 0 0
B
B
B0 0 1 0 0
B
M1 = B
B0 0 0 1 0
B
B
B0 0 0 0 1
@
0 0 0 0 0
0
0 0 0 1 0
B
B0 0 0 0 1
B
B
B0 0 0 0 0
B
M4 = B
B1 0 0 0 0
B
B
B0 1 0 0 0
@
0 0 1 0 0
onde aparece i no quadro acima.
1
0
1
0
1
0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
C
B
C
B
C
B1 0 0 0 0 0C
B0 0 0 0 0 1C
0C
C
B
C
B
C
C
B
C
B
C
B0 0 0 0 1 0C
B1 0 0 0 0 0C
0C
C
B
C
B
C
C ; M2 = B
C ; M3 = B
C;
C
B
C
B
C
0C
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
B
C
B
C
C
B
C
B
C
B0 0 0 1 0 0C
B0 0 1 0 0 0C
0C
A
@
A
@
A
1
0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0
1
0
1
0
1
0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
C
B
C
B
C
B0 0 0 1 0 0C
B0 0 1 0 0 0C
0C
C
B
C
B
C
B
C
C
B
C
C
B
C
B
C
1C
B0 1 0 0 0 0C
B0 0 0 1 0 0C
C ; M5 = B
C ; M6 = B
C:
B0 0 1 0 0 0C
B0 1 0 0 0 0C
0C
C
B
C
B
C
C
B
C
B
C
C
B
C
B
C
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0A
@
A
@
A
0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
(41)
Com isto, vejamos a tabela de multiplicação está representada em termos de matrizes.
Por exemplo, temos de fato,
10
0
0
0 0 1 0 0 0
CB
B
B 0 0 0 0 0 1 CB 0
CB
B
CB
B
B 1 0 0 0 0 0 CB 0
CB
B
M3 M4 = B
CB
B 0 0 0 0 1 0 CB 1
CB
B
B
CB
B 0 0 0 1 0 0 CB 0
A@
@
0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
1
0
0 0 0 0 0 1
C B
B
0 0 0 1 0C
C B0
C B
B
0 0 0 0 1C
C B0
C=B
B
0 0 0 0 0C
C B0
C B
B
1 0 0 0 0C
A @1
0 1 0 0 0
1
C
0 1 0 0 0C
C
C
0 0 1 0 0C
C
C = M6 ; etc:
1 0 0 0 0C
C
C
0 0 0 0 0C
A
(42)
0 0 0 0 1 0
Assim, estabelecemos uma representação do grupo S3 pelas matrizes, fMi ; i = 1; ::; 6g :
Uma representação como essa, onde exitem correspondência um a um entre os vetores
base da representação e os elementos do grupo é chamado "representação …el". Para um
grupo discreto e …nito, podemos construir sempre a representação …el a partir da tabela de
multiplicação do grupo. Assim, as matrizes para a representação …el de um grupo com N
elementos é (N
N) :
Por outro lado, podemos construir outras representações com dimensão menor. Por exemplo, vamos considerar o espaço vetorial formado pela base Eq.(37). Embora a representação
11
…el utliza o espaço todo, se olharmos com cuidado, existem algum subespaços que …ca invariante sob à aplicações das matrizes da Eq.(41). Por exemplo, consideramos o vetor,
0 1
1
B C
B1C
B C
B C
C
1 B
B1C
~eS = p B C :
C
6B
B1C
B C
B1C
@ A
1
Ent̀ão, obviamente
M1~eS = ~eS ;
e para outras matrizes ver…camos facilmente que
Mi~eS = ~eS ; i = 1; 2; ::; 6:
Isto porque, as matrizes Mi0 s possui sempre apenas um elemento 1 em cada linha.
O resultado acima mostra que o subespaço (unidimensional) formado do vetor ~eS é não
alterado pelas aplicações dos elementos do grupo. O tal espaço é chamado subespaço invariante da representação do grupo.
Podemos ver que exite um outro subespaço invariante na representação …el para o grupo
S3 : Dedinindo
0
1
1
B
C
B 1C
B
C
B
C
C
1
1 B
B
C
~eA = p B
C:
B
6B 1C
C
B
C
B 1 C
@
A
1
12
veri…camos facilente que
M1~eA = ~eA ;
M2~eA =
~eA ;
M3~eA =
~eA ;
M4~eA =
~eA ;
M5~eA = ~eA ;
M6~eA = ~eA ;
o que mostra que o subespaço formado pelo vetor ~eA (unidimensional) é novamente invariante
sob operações de matrizes fMi ; i = 1; ::; 6g : Isto porque, os elementos de ~eA com sinais
negativos correspondem aos elementos do grupo S3 com sinais de permutação netativa.
Note que os dois vetores, ~eS e ~eA são ortogonais.
(~eA ~eS ) = 0:
Assim, o espaço vetorial original de dimensão 6 …ca decomposto com
f6g = f1gS
f1gA
f4g :
(43)
Podemos construir a base do subespaço de dimensão 4 com 4 vetores ortogonais a ~eA e ~eS :
Para isto, temos que achar 4 vetores ortogonais entre si e tambem ortogonal a ~eS e ~eA :Vamos
denotar tais vetores como
0
ai
1
B C
Bb C
B iC
B C
Bc C
B iC
~ei = B C ;
B di C
B C
B C
B ei C
@ A
i = 1; 2; 3; 4:
fi
A condi;áo de ortogonalidade com ~eS …ca
ai + bi + ci + di + ei + fi = 0;
e com ~eA …ca
ai
bi
ci
di + ei + fi = 0:
13
Com isto, temos dois grupos separados, correspondente aos espaços de sinal de permutação
positiva e negativa.
ai + ei + fi = 0;
bi + ci + di = 0:
Uma possible conjunto de 4 soluções linearmente independentes para esse sistema é, por
exemplo,
a1 = 1; e1 =
1; f1 = 0;
b1 = 0; c1 = 0; d1 = 0;
a2 = 1; e2 = 1; f2 =
2;
b2 = 0; c2 = 0; d2 = 0;
a3 = 0; e3 = 0; f3 = 0;
b3 = 1; c3 =
1; d3 = 0;
a4 = 0; e4 = 0; f4 = 0;
b4 = 1; c4 = 1; d4 =
2;
de tal forma que os normalized vetores, ~ei …cam
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
C
C
C
C
B
B
B
B
B 0 C
B 0 C
B 1 C
B 1 C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
1 B 0 C
1 B 1C
1 B 1 C
1 B 0 C
C
~e1 = p B
C ; ~e2 = p B
C ; ~e3 = p B
C ; ~e4 = p B
C:
C
B 0 C
B 0 C
B 2C
2B
6
2
6
0
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B 1C
B 1 C
B 0 C
B 0 C
@
A
@
A
@
A
@
A
0
2
0
0
Esses vetores formam uma base ortonormal no subespaço f4g ortogonal a f~eS g e f~eA g : É
fácil de veri…car que a aplicação de qualquer elemento do grupo do S3 nunca ter componentes
dos f~eS g e f~eA g : Ou seja,
~eS Mi~ej = 0;
~eA Mi~ej = 0:
14
Por exemplo,
0
0 0 1 0 0 0
B
B0
B
B
1 B
B1
M3~e4 = p B
6B
B0
B
B0
@
10
CB
B
0 0 0 0 1C
CB
CB
B
0 0 0 0 0C
CB
CB
B
0 0 0 1 0C
CB
CB
B
0 0 1 0 0C
A@
0 1 0 0 0 0
0
1
0
1
1
B
C
C
B 0 C
1 C
B
C
C
B
C
C
B 0 C
1 C
1
B
C
C
C
C= p B
B
C
6B 0 C
2C
C
B
C
C
B 2C
0 C
@
A
A
1
0
que claramente ortogonal a f~eS g e f~eA g : A razão disto é que numa representação …el, a
aplicaçao de qualquer elemento do grupo resulta em permutação dos elementos do vetor.
Também, os componentes no subespaço de um determinado sinal de permutação passa para
o subespaço de outra se o sinal do elemento do grupo for negativo, e permanece no mesmo
subespaçco se o sinal for positivo.
Podemos calcular os elementos de matrizes,
h~ei jM j~ej i
que constituirá a representação matricial de dimensão 4: Entretanto, em vez desta base,
f~ei ; i = 1; 2; 3; 4g ; vamos utilizar uma outra base,
~1 = p1 (~e1 + ~e3 ) ; ~2 = p1 (~e1 ~e3 ) ;
2
2
1
1
~3 = p (~e2 + ~e4 ) ; ~4 = p (~e2 + ~e4 ) ;
2
2
15
e construimos matrizes M
(4)
= 1; :::; 6; formadas de elementos de matriz h~i jM j~j i:
;
Temos
(4)
M1
(4)
M4
(4)
M6
0
1 0 0 0
1
0
1
1 0 0 0
0
1=2
0
1
p
3=2
C
C
0
C
C;
C
0
A
1=2
1
0
B
C
B
C
B
p
B0 1 0 0C
B0 1 0 0 C
B
0
1=2
3=2
B
C
B
C
B
(4)
(4)
=B
C ; M2 = B
C ; M3 = B
p
B0 0 1 0C
B0 0 1 0 C
B
3=2 1=2
0
@
A
@
A
@
p
3=2 0
0
0 0 0 1
0 0 0 1
1
0
0
p
p
1=2
0
0
1=2
0
0
3=2
3=2
C
B
C
B
p
p
B
B 0
3=2 0 C
3=2 0 C
1=2
0
1=2
C
B
C
B
(4)
=B
C ; M5 = B
C;
p
p
C
B
C
B 0
3=2
1=2
0
0
3=2
1=2
0
A
@
A
@
p
p
3=2
0
0
1=2
3=2
0
0
1=2
0
1
p
1=2 0
0
3=2
B
C
p
B 0
C
1=2
3=2
0
B
C
=B
C:
p
B 0
C
3=2
1=2
0
@
A
p
3=2 0
0
1=2
Observando cuidadosamente na forma matricial acima, percebemos que existe dois subespaços invariantes no subespaço f4g : Ou seja, se consideramos o subespaço formado apenas
o
n
~1 ; ~4 ; os elementos do grupo …cam mapeados à matrizes (2 2) como
(2)
0
(2)
0
P 1 ! M1 = @
P 4 ! M4
1 0
0 1
0
1
A ; P 2 ! M2(2) = @
1
1 0
0
1
0
1
A ; P 3 ! M3(2) = @
0
p
1=2 3=2
A ; P 5 ! M5(2) = @
=@p
3=2 1=2
1=2
p
3=2
p
3=2
1=2
1
A;
1=2
p
3=2
p
1=2
(2)
P 6 ! M6
Podemos veri…car que a regra de multiplicação está preservada. Por exemplo,
0
10
1
p
p
1=2
3=2
1=2
3=2
A@ p
A
P5 P3 ! @ p
3=2 1=2
3=2 1=2
0
p 1
1 1
3
A ! P4
= @ p2 2
1
1
3
2
2
3=2
1
A
0
1=2
=@p
3=2
(44)
(veja a tabela (27)). O mapeamento forma a representação do grupo S3 de dimensão 2;e
vamos denotar como f2g :
16
1
p
3=2
A:
1=2
O subespaço formado de
mento,
0
P1 ! @
0
P4 ! @
1 0
0 1
1
0
~2 ; ~3
o
também é invariante. Neste espaço, temos o mapea-
1
0
p
1
3=2
1=2
A
A; P3 ! @ p
3=2 1=2
0 1
1
0
1
0
p
p
1=2
1=2
3=2
3=2
A; P5 ! @ p
A; P6 ! @ p
1=2
3=2 1=2
3=2
A; P2 ! @
1=2
p
3=2
n
1 0
p
3=2
1=2
1
A:
(45)
o que também constitui uma representação de dimensão 2 que denotamos como f20 g : Finalmente, a representação inicial (representação …el) do grupo de dimensão 6 …ca decomposto
em 4 distintas representações menores, correspondendo a decomposição do o espaço vetorial
original de dimensão 6 em espaços vetoriais invariantes sob o grupo, como
f6g = f1gS
f1gA
f2g
f20 g :
(46)
Essa decomposição pode ser feito através de uma transformação unitária que faz a mudança
da base da partir da base original para as novas bases em subespaços invariantes,
o
o
n
n
U
~
~
~
~
~1 ; ~2 ; ~3 ; ~4 ; ~5 ; ~6
! ~eS ; ~eA ; 1 ; 4 ; 2 ; 3
(47)
Com isso, as matrizes da representação original se torna na forma diagonal em blocos,
0
1
1 0
0
0
0
0
B
C
B0
C
0
0
0
0
B
C
B
C
(2)
B 0 0 M (2)
C
M
0
0
B
C
i (1;1)
i (1;2)
1
U Mi U = B
(48)
C ; i = 1; ::; 6
(2)
B 0 0 M (2)
C
0
0
B
C
i (2;1) Mi (2;2)
B
C
0(2)
0(2)
B0 0
C
0
0
M
M
i (1;1)
i (1;2) A
@
0(2)
0(2)
0 0
0
0
Mi (2;1) Mi (2;2)
onde representa
(2)
( ; )
1; de acordo com o sinal da permutação Mi ; e Mi
é o ( ; )-elemento
da matriz da representação em f2g :
Nos subespaços f2g e f20 g ; não existe nenhum subespaço menor. Neste caso, não podemos
achar as representações de menor dimensão, e f2g e f20g são ditas as representações irredutíveis.
O procedimento acima esclarece a idéia de como chegar a decomposição completa de
representação do grupo S3 ; mas no caso de Sn o método se torna impraticável. Por exemplo,
17
o proximo grupo, S4 ; temos que trabalhar com o espaço vetorial de dimensão 4! = 24: As
matrizes …cam 24
24: Entretanto, existe uma forma mais poderosa para identi…car os
subespaços invariantes.
D.
Decomposição de produto direto de representação de um grupo
Vamos considerar um sistema composto de 2 partículas com spin 1/2. O estado de spin
do sistema pode ser obtido com a adição de momento angular,
~1
= ~0 + ~1
2
~1
2
As funções de onda correspondentes são obtidas utilzando os coe…cientes de Clebsch-Gordan,
j1; mi =
1=2
X
11
22
(
= 1=2
1
1
j1m)j ; i(1) j ; m
2
2
m
i(2)
para o estado j = 1, e
j0; 0i =
1=2
X
(
= 1=2
1
1
j00)j ; i(1) j ; m
2
2
11
22
i(2)
para o estado j = 0. Explicitamente, temos
1 1
1 1
j1; 1i = j ; i(1) j ; i(2)
2 2
2 2
1
1
1 1 (1) 1 1 (2)
i +j ;
j1; 0i = p
j ; i j ;
2 2
2
2 2 2
1 1 (1) 1 1 (2)
j1; 1i = j ;
i j ;
i
2 2
2 2
1 (1) 1 1 (2)
i j ; i
2
2 2
e
1
1 1
1 1 (2)
1 1 (1) 1 1 (2)
j ; i(1) j ;
i
j ;
i j ; i
j0; 0i = p
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Notamos que os estados de j = 1 são todos simetricos em relação à troca de partícula,
j
(1)
(2)
ai j bi
() j b i(1) j
(2)
ai
no entanto o estado de j = 0 é antisimetrico, trocando o sinal. Este fato de que todos os
estados que possuem a mesma propriedade de simetria …cam agrupados num mesmo estado
de j não é acidental. Vamos considerar um sistema composto de n partículas. Neste caso,
o espaço de Hilbert para o sistema como todo é o produto direto de espaços de Hilbert,
H = H1
H2
18
Hn
e estados do sistema são escritos como
j >=
X
C i1 i2
in j i1
>(1) j
i2
>(2)
j
in
>(n)
Consideramos ainda um grupo de simetria g para cada partícula. Denotando o gerador deste
grupo para i-esimo partícula por
(i)
, o gerador do grupo para o estado do sistema todo é
=
X
(i)
i
ou seja vale a adição dos geradores. Mas neste caso, qualquer permutação das partículas
não altera o gerador do grupo. Em outras palavras, denotando o operador de permutação
entre partículas por P , temos
P
P
1
=
Como sabemos, o conjunto de todas as permutações formam um grupo, Sn . Obviamente
um subespaço invariante do grupo g é um subespaço invariante do grupo Sn , e vice-versa.
Isto é a razão das simetria dos estados no exemplo acima. Em geral, se decompomos o
espaço de acordo com o grupo Sn , podemos ter os subespaços invariantes para o grupo g,
simultaneamente. Caso em que estes são únicos subespaços invariantes do grupo g, teremos
automaticamente as representações irredutíveis do grupo g quando o espaço é decomposto
em subespaços invariantes irredutíveis do grupo Sn .
E.
Diagrama de Young
Os subespaços invariantes do grupo Sn são classi…cados atraves de Diagrama de Young.
Por exemplo, no caso de n = 2, existem 2 subespaços invariantes, simetrico e antisimetrico.
Representamos diagramaticamente estes subespaços por
ab
e
a
b
respectivamete. No primeiro diagrama, as caixas horizontais representam que os índices dentro das caixas são simetricos, no entanto, no segundo diagrama, as caixas verticais indicam
que os índices são antisimetricos. Para n = 3, analogamente o diagrama
19
abc
representa os índices são simetricos em relação a todas as permutações. O vetor correspondente nesta simetria seria,
j
S
1 X (1) (2) (3)
ji1 iji2 iji3 i
>= p
6 P erm
onde a soma é feita sobre todas as permutações dos estados, fi1 ; i2 ; i3 g. Por outro lado, o
diagrama,
i1
i2
i3
representa os índices são antisimetrico em relação as permutações. O vetor correspondente
nesta simetria seria
j
A
1 X
(1)
(2)
(3)
>= p
( 1)P ji1 iji2 iji3 i
6 P erm
onde ( 1)P é o sinal da permutação ( permuntação par=
1, permuntação ímpar=
1). No
caso n = 2, os dois subespaços invariantes do S2 , simetrico e antisimetrico, esgotam o espaço
total. Mas, para n > 2, existem subespaços invariantes, não completamente simetricos nem
antisimetricos. Por exemplo, podemos veri…car pelo cálculo direto, os dois vetores,
j
1i
=jai(1) jbi(2) jci(3) + jbi(1) jai(2) jci(3)
jci(1) jbi(2) jai(3)
j
2i
jci(1) jai(2) jbi(3)
=jai(1) jbi(2) jci(3) + jbi(1) jai(2) jci(3)
jai(1) jci(2) jbi(3)
jbi(1) jci(2) jai(3)
formam uma base (não ortogonal) para a representação do grupo S3 de dimens̀ao 2 e são
linearmente independentes aos vetores, j
Si
ej
A i.
Isto é, qualquer permutação aplicado
nestes estados pode ser escrita como combinação linear destes. A inspeção destes veotres
mostra que eles tem simetria em relação a troca de a
a
! c ou b
! b e antisimetrica para a troca de
! c. Podemos expressar simbolicamente a simetria destes dois estados por
ab
c
20
:
Outro conjunto de vetores que linearmente independente aos j
S i; j A i; j 1 i
ej
2i
é com-
posto de dois vetores tipo,
j
3
>=jai(1) jci(2) jbi(3) + jci(1) jai(2) jbi(3)
jbi(1) jci(2) jai(3)
j
4
jbi(1) jai(2) jci(3)
>=jai(1) jci(2) jbi(3) + jci(1) jai(2) jbi(3)
jai(1) jbi(2) jci(3)
jci(1) jbi(2) jai(3)
que também forma uma base não ortogonal para a representação do grupo S3 . Podemos
expressar simbolicamente este conjunto por
ac
b
Em geral, os espaços invariantes do grupo Sn é representados através de diagrama de
Young,
a1 a2
an1
b1 b2
..
.
bn2
z1
Fig. Diagrama de Young
onde o número de caixas de i esima linha é denotado por ni satisfazendo
n1
n2
nl
No diagrama acima, as letras numa linha horizontal representam os índices simetricas e as
letras numa coluna vertical representam os índices antisimetricas. Para dada partição do
número n, f~
ng
fn1
n2
nl g corresponde um diagrama de Young e por sua vez
corresponde a um subespaço invariante do grupo Sn . A dimensão deste subespaço invariante
pode ser obrida pela maneira de preencher as caixas do diagrama pelos números f1; :::; ng,
satisfazendo as seguintes regras:
1. Números numa linha horizontal deve ser crescente de esquerda para direita.
21
2. Números numa coluna vertical deve ser crescente acima para baixo.
Por exemplo, para S4 , temos diagramas,
,
,
,
,
Para o primeiro diagrama, existe só uma maneira de preencher as caixas pelos números
satisfazendo as regras acimas, i.e.,
1234 ,
portanto para o segundo diagrama, temos 3 maneiras,
123
,
4
124
3
,
134
.
2
Assim, a dimensão do subespaço invariante correspondente ao primeiro diagrama é um, no
entanto, do segundo, a dimensão é 3. É fácil de veri…car que o diagrama
corresponde ao subespaço de dimensão 2,
Em geral, existe m subespaços que correspondem ao mesmo diagrama de Young de dimensão m.
F.
G.
Bósons e Férmions
É estabelecido empiricamente que, as partículas existem na realidade, são classi…cadas
em termos de autovalores do operador P: Para uma dada espécie de partícula, o autovalor
de P é sempre manter mésmo. Por exemplo, para elétron, P =
1; e para fótons, P = +1:
Partículas que possuem autovalor de P positivo é chamado de Bósons e partículas que
possuem autovalor negativo é chamado de Férmions.
22
Um outro fato importante é que os bósons têm spin inteiro (0; 1; 2::) e fermions têm spin
semi-inteiro (1=2; 3=2; ::) : Esta relação entre spin e estatística não pode ser entendido dentro
do contexto da Mecânica Quântica não relativística, mas num formalismo de teoria quântica
de campos relativístico, podemos mostrar a necessidade de tal relação. Abaixo, mostramos
spin de alguns partículas elementares.
Férimons de Spin 1/2 leptons (elétrons, neutrinos, muons, etc. que não interage fortemente), quarks e suas antipartículas.
Bósons de spin 1 Fótons, Bósons Fracos (W, Z) e gluons
Bósons de spin 2 Graviton (ainda não é detetado)
A relação entre spin e estatística vale também para um sistema composto. Por exemplo,
o proton é composto de 3 quarks e gluons. Assim, o spin do proton é semi-inteiro (1/2 no
estado fundamental) e, portanto, é um férmion. O méson
e antiquark e gluons. Assim,
é um estado composto de quark
tem spin inteiro (no estado fundamental 0) e, portanto, um
bóson. O núcleo de 4 He é composto de 2 prótons e 2 neutrons, tendo spin inteiro (no estado
fundamental 0) e é bóson, no entanto, 3 He é um férmion.
Para um sistema composto, na verdade o spin do sistema é o momento angular do sistema
e, portanto, a soma de momento angular orbital e a soma de spins de cada constituintes.
H.
Sistema de N partículas
Podemos extender o argumento para os estados de um sistema composto de mais de
2 partículas idênticas. Podemos mostrar que somente 2 possibilidades para um sistema
composto de N parttículas. Para o estado onde tem uma partícula no estado
2
outra no
e por diante, o vetor de estado …ca
j
Sf
Af
1;
1;
2; : : : ;
ou
j
onde o somatório
f
1;
1;
2; : : : ;
Ng
2; : : : ;
P
P
1 X
p
j' 1 i
gi
=
N
N! P
j' 2 i
1 X
p
gi
=
( 1)P j' 1 i
N
N! P
j' 2 i
j'
N
i;
j'
(49)
N
i;
(50)
representa a soma sobre todas as pertumutações de indices f g =
e ( 1)P é a paridade da permutação P: Para um sistema de N bósons
23
idênticos, o estado do sistema é descrito pelo j
Si
(S para simétrico) e para um sistema de
N fermions idênticos, o estado do sistema é descrito pelo j
Ai
(A para anti-simétrico). Os
estados de uma partícula fj' 1 ig são chamados como estados de partículas simples.
I.
Princípio de Exclusão de Pauli e Determinante de Slater
Uma conseguência direta da a…rmação acima é que, para um sistema de fermions, se
alguns de índices de estados coincidem, o vetor de estado j
A
f
1;
N gi
2; : : : ;
se torna
nulo. Ou seja, não há estado do sistema composto que contém mais de uma partícula no
mesmo estado. Esse resultado é nada mais que o Princípio de Exclusão de Pauli. Para o
sistema de bósons, não há esta limitação.
Para a função de onda, introduzindo a base de con…guração,
fj~r1 i
temos
S
f g
e
A
f g
j~r2 i
j~rN ig
1 X
'
(~r1 ; ~r2 ; :::~rN ) = p
N! P
1
(~r1 ) '
1 X
( 1)P '
(~r1 ; ~r2 ; :::~rN ) = p
N! P
1
2
(~r2 )
(~r1 ) '
2
'
N
(~r2 )
(51)
(~rN ) ;
'
N
(52)
(~rN ) :
Note que a função de onda, Eq.(52) pode ser escrita na forma de um determinante (determinante de Slater),
'
S
f g
1
(~r1 ) '
' 1 (~r2 )
1
(~r1 ; ~r2 ; :::~rN ) = p det
..
N!
.
'
1
2
(~r1 )
'
N
(~r1 )
'
N
(~r2 )
..
.
(~rN )
'
N
(53)
:
(~rN )
Note que um estado geral é uma combinação linear desses estados,
S;A
(~r1 ; ~r2 ; :::~rN ) =
X
f g
Cf
g
S
f g
(~r1 ; ~r2 ; :::~rN )
onde a somatória tem que ser feita sobre as con…gurações, f g = f
24
1;
2; : : : ;
Ng :
II.
REPRESENTAÇÃO DE OCUPAÇÃO E ESPAÇO DE FOCK
Um estado de sistema de partículas idênticas, seja bósons ou seja fermions, é especi…cado
completamente quando sabemos quais estados f
1;
2; : : : ;
Ng
estão ocupados. Assim,
podemos considerar uma representação de estado em termos de número de partículas que
ocupam os estados. Por exemplo, um estado de 3 bosons, tipo
j
S
f
1;
1 gi
2;
(54)
pode ser escrito também como
j
0
já que a ordem de
j
S
f
1;
1;
2 gi
=j
S
f
S
fn
1
= 2; n
2
(55)
= 1gi
s na Eq.(54) é irrelevante, ou seja, j
2;
1;
1 gi;
S
f
1;
2;
1 gi
=
etc.
Por outro lado, especi…car toda hora quais são os estados ocupados é inconveniente. Para
isto, podemos extender a representação para todos os estados
0
s como
jn1 ; n2 ; n3 ; ::; ni ; :::i
(56)
onde os índices f1; 2; ::g indicam estados ordenadas de acordo com certa régra (em geral a
ordem da energia) e n0i s podem ser zeros. Por exemplo, um estado de sistema de 3 bosons,
que tem 2 partículas no terceira estado e um no quinto estado é expresso por
j0; 0; 2; 0; 1; 0; 0; ::; 0; :::i:
Um sistema de N bósons então pode ser representado na forma Eq.(56) com
X
ni = N:
(57)
i
Chamamos essa representação como a representação de numero de ocupação de partículas
simples. Para um sistema de fermions, também podemos expressar como
jn1 ; n2 ; n3 ; ::; ni ; :::i
(58)
só que neste caso, ni assume somente o valor 0 ou 1; devido ao Princípio de Exclusão de
Pauli.
25
Quando envolve processos que criação de partículas ou absorção de partículas, o número
de partícula N não necessariamente mantido. Desta forma, podemos generalizar N para
qualquer número, ou seja despensar Eq.(57). O espaço formado de conjunto de vetores,
Eq.(56) para bósons, e Eq.(58) para férmions, para qualquer N é dito o espaço de Fock.
Naturalmente o espaço de Hilbert de partículas com número total de partícula …xo é um
subespaço de espaço de Fock.
III.
EXEMPLO: GASES IDEAIS QUÂNTICOS
Segundo a Mecânica Estatística, a propriedade termodinâmica de um sistema em equilíbrio com temperatura T e potencial químico
con…nado num volume V é calculada a
partir de uma quantidade,
Z = Z(V; T; ) =
X
e
N )=kT
(E
(59)
;
onde k é a contante de Boltzmann. Esta funcão é conhecida como função de partição para
ensemble gran canonico, onde o somatório tem que ser feito sobre todos os estados do sistema,
; e E e N são a energia e o número de partícula do sistema para o estado . O chave é
que a probabilidade de encontrar o sistema exatamente no mícroestado
p =
Um estado quântico
1
e
Z
N )=kT
(E
:
é dada por
(60)
é especi…cado em termos de número de ocupação de partículas
simples. Isto é,
= fn1 ; n2 ; n3 ; ::; ni ; :::g
e
N =
X
ni ;
(61)
"i ni ;
(62)
i
E =
X
i
onde "i é a energia de partícula simples no i-esmo estado.
Somar sobre todos os
implica somar em todas as possibilidades de ocupações,
26
fn1 ; n2 ; n3 ; ::; ni ; :::g ; e portanto,
X
=
XX
n1
=
n2
!
Y X
X
ni
(63)
n1
i
Quando sabemos explicitamente a função de partição em termos de
and T , podemos
calcular as quantidades termodinamicas como:
E=
@ ln Z
@
(64)
;
1 @ ln Z
;
@
1
S = (E
N ) + k ln Z:
T
(65)
N=
(66)
onde E é a energia, N o número de partículas, S a entropia do sistema. Note que a derivada
parcial na Eq.(64) deve ser feita …xando a quantidade
=
.
Comparando Eq.(66) com a relação termodinâmica,
S=
1
E
T
T
N+
1
P V;
T
(67)
podemos identi…car
1
ln Z = P V;
(68)
que chamamos o potencial termodinâmico para o ensemble gran canonico.
A.
Gás de Fermi Ideal
Vamos calcular a função de partição explicitamente para um sistema de férmions não
interagentes (partículas livres), ou seja gás ideal de fermions. Para fermions, vale o Princípio
de exclusão de Pauli, Fermi gas, e os números de ocupação, ni para cada estado i assumem
27
apenas 0 ou 1. Assim, podemos calcular,
Z (V; ; ) =
=
X
XXX
n1
=
n2
Y
X
n3
Y X
i
=
N )
(E
e
e
exp
ni
ni ("i
(
X
ni ("i
i
)
)
)
ni =0;1
i
= exp
1+e
X
("i
)
ln 1 + e
("i
)
(69)
:
i
No caso de um gás ideal, o estado de partícula simples pode ser identi…cado como uma onda
plana com número de onda ~k, podemos substituir o somatório sobre i por uma integral em
~k no limite termodinâmico,
X
i
gV
!
(2 ~)3
Z
d3 k ;
onde g é o fator estatistico, que conta os graus de liberdade de spin da partícula. For a spin
1=2 particle, this factor is 2.
Para simplicidade, a partir de agora, utilizamos o sistema de unidade em que ~ = c = 1.
Temos
gV
ln Z (V; T; ) =
(2 )3
Z
d3 k ln 1 + e
("k
)
;
(70)
onde "k é a energia da partícula com momento ~k.
A energia total do sistema …ca
@
ln Z (V; T; )
@
Z
gV
"k e ("k )
3
=
d
k
1 + e ("k )
(2 )3
Z
"k
gV
d3 k (" )
=
3
e k
+1
(2 )
E=
(71)
e o número total de partículas …ca
1 @
ln Z (V; T; )
@
Z
1
gV
=
d3 k (" )
:
3
e k
+1
(2 )
N=
28
(72)
As expressões acima, Eqs.(71) e (72) indicam que o número de occupação do nível de energia
"k do um gás ideal de fermion é dada por
1
f ("k ) =
("k
e
)
+1
(73)
:
Essa distribuição é conhecido como a função de distribuição de Fermi. A pressão pode ser
calculada como
Z
g 1
P =
d3 k ln 1 + e
3
(2 )
Finalmente, a entropia do sistema é dada por
TS = E
B.
("k
)
(74)
:
N + P V:
Gás Ideal de Bosons
Para bosons, a soma sobre estados difere do caso de fermion. Não há restrição sobre os
números de ocupação ni de estados de partícula simples, temos que somar sobre todos os
números inteiros não negativos. Temos
Z (V; ; ) =
=
X
Y
i
=
N )
(E
XXX
n1
=
e
Y
n2 n3
1
X
e
X
exp
ni
ni ("i
(
X
)
ni ("i
)
i
)
ni =0
1
1 e ("i )
(
X
= exp
ln 1
i
e
("i
)
i
)
(75)
;
onde assumimos
"i
(76)
> 0:
Essa condição é necessária para que a soma converge. Introduzindo novamente a integral
sobre estados de ondas planas, temos
ln Z (V; T; ) =
gV
(2 )3
Z
29
d3 k ln 1
e
("k
)
:
(77)
Na forma análoga no caso de fermions, temos expressões para a energia, o número de particulas, e a pressão como
Z
gV
d3 k
E=
e
(2 )3
Z
gV
N=
d3 k
3
e
(2 )
e
g 1
(2 )3
P =
A entropia é dada novamente
Z
"k
("k
d3 k ln 1
TS = E
(78)
:
(79)
1
)
1
e
("k
1
("k
;
)
)
:
N + P V:
(80)
(81)
No caso de bósons, o número de ocupação do nível de energia "k do estado de partícula
simples …ca
f ("k ) =
Note que temos que ter "k >
1
e
("k
)
1
:
(82)
para todo k, então,
"0 >
(83)
onde "0 é a menor energia de partícula simples.
C.
Gás Ideal Relativístico
As expressões acima valem mesmo para um gás relativístico.
"k =
p
k 2 + m2 ;
(84)
onde m é a massa da particula. Expressões para a densidade de número de partículas n, a
densidade de energia, e a pressão P …cam escritas na forma de integral,
Z 1
1
g
n= 2
dk k 2 p 2 2
;
2
0
e ( pk +m ) 1
Z 1
k 2 + m2
g
"= 2
dk k 2 p 2 2
;
( k +m ) 1
2
0
e
Z
h
i
p
g 1 1
2
( k2 +m2 ) ;
dk
k
ln
1
e
P =
2 2
0
onde os sinais
(85)
(86)
(87)
correspondem, respectivamente para o caso de férmions e bósons. Em
certas situações, estas integrais podem ser avaliadas analiticamente.
30
IV.
A.
SEGUNDA QUANTIZAÇÃO
Caso de Bósons
Foi dito que a noção de espaço de Fock é fundamental para tratar processos que envolvem
produção e absorção de partículas, tais como o efeito fotoelétrico ou emissão de fótons pela
transição eletromagnética de partículas carregadas. Mas mesmo para os problemas com o
número total de partícula N …xo, o espaço de Fock oferece uma forma sistemática de tratar
a dinâmica quântica de um sistema de N corpos. Na representação de estado quântico em
termos de espaço de Fock, os estados são especi…cados em termos de números de ocupação
dos estados. Assim, uma mudânça de estados pode ser feito pela mudânça de números de
ocupação.
1.
Operadores de criação e aniquilação
Por exemplo, no espaço de Fock, podemos introduzir um operador ai que elimina uma
partícula no estado i: Inversamente, podemos introduzir o operador a+ que cria uma
partícula no estado i: Então, o operador
a+
j ai
elimina uma partícula no estado i e em seguida cria uma partícula no estado j: O efeito
deste operador para um estado no espaço de Fock
jn1 ; n2 ; n3 ; ::; ni ; :::i
…ca
a+
j ai jn1 ; n2 ; n3 ; ::; ni ; :; nj ; ::i = Kjn1 ; n2 ; n3 ; ::; ni
1; :; nj + 1; ::i;
onde K é um constante que pode depender de ni e nj : Assim, o operador a+
j ai representa a
transição de uma partícula do estado i para o estado j para um sistema de N corpos.
No tratamento de um oscilador hârmonicos, já vimos os operadores que cria e elimina
quântum de osciladores. Podemos aproveitar a estrutura matemática que aprendemos la.
Vamos então introduzir operadores
fa1 ; a2 ; :::g
31
e seu conjugado hermitiano,
o
n
ay1 ; ay2 ; ::: ;
satisfazendo as seguintes régras de comutação,
i
h
ai ; ayj =
(88)
ij ;
e introduzimos os operadores de número de partícula Ni para cada estado i por
Ni = ai ayi :
(89)
Podemos mostrar que os comutadores
[Ni ; aj ] = ai ij ;
h
i
Ni ; ayj = ayi ij :
e os autovalores de Ni são inteiros não negativos.
Sejam fn1 ; n2 ; :::; ni ; :::g autovalores de Ni0 s: Ou seja, iden…camos o estado de Fock,
jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i
como o autoestado de Ni0 s;
Ni jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i = ni jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i;
8
i:
Supomos que o estado de Fock é normalizado,
hn01 ; n02 ; :::; n0i ; :::jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i =
n01 n1 n02 n2
n0i ni
Com isto, podemos mostrar que
ai jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i =
ayi jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i =
e
jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i =
Y
i
p
p
ni jn1 ; n2 ; :::; ni
1; :::i;
ni + 1jn1 ; n2 ; :::; ni + 1; :::i
1
p
ayi
ni !
32
ni
j0; 0; 0; 0; ::::; 0; :::i
:
B.
1.
Operadores Gerais no Espaço de Fock
Operador de 1 corpo (partícula simples)
Queremos representar operadores correspondente a observáveis em termos de operadores
de criação e aniquilação acima introduzidos. Inicialmente consideramos o operador de
partículas simples.
Um operador partícula simples (por exemplo, a energia cinética) de uma partícula tem a
forma no espaço de Hilbert de partícula simples,
XX
T (1) =
jiihijT (1) jjihjj;
i
onde o superscript
(1)
(90)
j
signi…ca que esse é um operador de partícula simles. Para um estado
de N partículas, o operador do sistema seria a soma deste operador para cada partícula.
Assim, na representação de produto direto,
j
S
f
1;
2; : : : ;
N gi
1 X
j' 1 i
=p
N! P
j' 2 i
j'
N
i;
o vaor esperado deste operador deve ser
h
S
f
1;
2; : : : ;
Ng j
T j
S
f
1;
2; : : : ;
N gi
=
N
X
l=1
=
X
i
h' l jT (1) j' l i
ni hijT (1) jii
(91)
pois a quantidade T para o sistema de N partículas é dada como a soma de conttibuição de
cada uma das partículas.
O operador
jiihjj
na Eq.(90) faz o papel de transforma um estado jji em estado jii; e para qualquer outro estado ortogonal a jji; resulta em vetor nulo.
Desta forma, podemos considerar o operador correspondente no espaço de Fock, como
jiihjj ! ayi aj :
O operador correspondente a Eq.(90) será
XX
T =
hijT (1) jjiayi aj
i
j
33
Queremos veri…car a Eq.(91). Para isto,
X
hn1 ; n2 ; :::; ni ; :::jT jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i =
i;j
hijT (1) jjihn1 ; n2 ; :::; ni ; :::jayi aj jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i
i;j
hijT (1) jji (ai jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i; aj jn1 ; n2 ; :::; ni ; :::i)
i;j
p
hijT (1) jji ni nj hn1 ; n2 ; :::; ni
i;j
p
hijT (1) jji ni nj
X
=
X
=
X
=
X
=
i
1; :::jn1 ; n2 ; :::; nj
1; :::i
ij
ni hijT (1) jii
o que veri…ca a Eq.(91).
2.
Operadores de 2 corpos
O operador de dois corpos atua no estado, alterando estados de duas partículas simultaneamente. Um exemplo como este é o potencial entre dois corpos. O operador de 2 corpos
no espaçco de Hilbert de duas partículas pode ter escrito na forma
!
!
!
!
X
X
X
X
V (2) =
jiihij
jjihjj V (2)
jlihlj
jmihmj
i
j
m
l
para partículas não idênticas. Para as partículas idênticas, em particular no caso de bósons,
temos que utilizar a completeza no espaço de Hilbert simmetrizado. A completeza para um
espaço de dois corpos simétricos …ca
(2)
1S =
1X
(jii
2
(i;j)
jji + jji
jii) (hij
hjj + hjj
hij)
(2)
onde 1S signi…ca o operador de identidade no espaço de Hilbert de duas bósons idênticos e
o somatório é feito sobre os pares de (i; j). Assim, o operador de dois corpos deve ser escrito
34
como
V (2) =
1X
(jii
2
(i;j)
1
2
=
2
jji + jji
XX
jii) (hij
jji + jji
(jii
(i;j) (l;m)
hjj + hjj
hij) V (2)
1X
(jli
2
(l;m)
jmi + jmi
jli) (hlj
jii)
hijjV (2) jlmi + hijjV (2) jmli + hjijV (2) jlmi + hjijV (2) jmli
hmj + hmj hlj)
X
X (2)
1
=
j
(i; j)ihijjV (2) jlmih
2 i;j l;m S
(hlj
(2)
S
(l; m) j;
(92)
onde o elemento de matriz, hijjV (2) jlmi é de…nido como
hijjV (2) jlmi = jii
jji; V (2) jli
jmi ;
e agora, os somatórios são feitos sobre todos os indices e não sobre pares. Para simpli…car,
introduzimos também a notação
j
(2)
S
1
(i; j)i = p fjii
2
jji + jji
jiig
para o estado simétrico de duas partículas, uma no estado de i e outro no j:
A expressão Eq.(92) mostra que o funcionamento de um operador de dois corpos é
transformar um estado simético de duas particulas j
j
(2)
S
(2)
S
(l; m)i em outro estado simétrico,
(i; j)i: Fazendo analogia com o caso de operador de partícula simples, podemos concluir
que a representação de um operador de dois corpo no espaço de Fock deve ser
V =
3.
1 XX
hijjV (2) jlmiayi ayj al am :
2 i;j l;m
Operador de Campo
Como mencionamos, os estados de partículas simples, fjiig formam uma base ortonormal
do espaço Hilbert de uma partícula. Ou seja, os oeradores de criação e aniquilação são
representados em termos desta base. Para descrição de estado de uma partícula, podemos
considerar a representação de coordenadas, fj~rig : Assim, podemos também considerar os
operadores de criação e aniquilação na representação de coordenadas.
35
hmj + hmj
Para isto, vamos de…nir um operador,
(~r) =
X
' i (~r) ai
i
onde
' i (~r) = h~rjii
é a função de onda do estado i: Temos as propriedade de ortonormal e completeza,
Z
' i (~r) ' j (~r) d3~r = ij ;
X
' i (~r) ' i (~r0 ) = 3 (~r ~r0 ) :
i
Usando a relação de ortonormaldade, podemos inverter a relação entre
Z
ai = ' i (~r) (~r) d3~r:
O conjugado hermitiano de
(~r) e ai ;
(~r) é
y
(~r) =
X
' i (~r) ayi :
i
A relação de comutação entre dois operadores com posição diferente,
h
i
XX
y
y
0
(~r) ; (~r ) =
' i (~r) ' j (~r) ai ; ai
i
=
j
XX
i
=
X
' i (~r) ' j (~r0 )
ij
j
' i (~r) ' i (~r0 )
i
=
3
~r0 )
(~r
(93)
O operador de número de partícula do sistema,
X y
N=
ai ai
i
pode ser expesso em termos de (~r) : Temos
Z
XZ
y
3
N=
' i (~r) (~r) d ~r ' i (~r0 )
=
=
=
Zi Z X
y
(~r)
(~r0 ) d3~rd3~r0
i
Z Z
Z
' i (~r) ' i (~r0 )
(~r
y
(~r)
~r0 )
y
(~r)
(~r) d3~r
36
(~r0 ) d3~r0
(~r0 ) d3~rd3~r0
As regras de comutação com N e
y
(~r) e
[N;
(~r)] =
y
N;
(~r) …ca
(~r) =
(~r) ;
y
(~r) :
Com isto, podemos concluir que o operador de campo,
~r; e
C.
y
(~r) aniquila uma partícula no ponto
(~r) cria uma partícula no ponto ~r:
Segunda Quantização
O procedimento de introdução de operadores de criação e aniquilação no espaço de Fock
acima é feito para formular problemas de muitos corpos na forma sistemática. Entretanto, o
método está diretamente relacionado com a quântização de uma teoria quântica de campo.
Consideramos um problema de formular a equação de Schrödinger do ponto de vista
de Princípio Variacional de teoria clássica de campos. Considerando um campo escalar
complexo,
(~r; t) e a ação
I=
Z
dt
Z
d3~r fi~
H g
@t
(94)
onde H é o operador de Hamiltoniano de uma equação de Schrödinger,
~2 2
r + V (~r) :
2m
H=
Considerando
(~r; t) e
(~r; t) como duas varáveis independentes, temos
Z
Z
I = dt d3~r [fi~@t
H g
+ f i~@t
H g ]
onde no segundo termo, foi utilizada a integral por partes e hermiticidade do operador H:
Assim, I = 0 para
8
;
implica em
i~@t = H ;
e
i~@t
=H
:
As ambas equações são nada mais que a equação de Scrödinger usual. Assim, podemos
considerar
L = i~
@t
37
H
(95)
é a densidade de Lagrangiana para um sistema de campo
que satisfaz a equação de
Schrödinger. Seguindo o procedimento usual, então o momento canonicamente conjugado,
à variável
no ponto ~r é dado por
(~r; t) =
@L
@_
= i~
(96)
(~r; t) :
Resumindo, esquecendo sua origem, a equação de Schrödinger pode ser considerado um
sistema de campo clássico com a densidade de Lagrangiana Eq(95) com o momento canonicamente conjugado, obdescendo o procedimento usual da mecânica clássica de campo.
Agora, o que acontece se esse campo clássica seja quantizado? Ou seja, a amplitude do
campo
no ponto ~r não é mais númmero mas é um operador, sendo que os autovalores
deste operador tem papel de valor observado para o ampitude?
Neste caso, podemos seguir o procedimento natural de quantização, ou seja, introduzir
a régra de comutação canônica entre o operadores de
e seu momento canonicamente
conjugado, : Considerando todos os pontos distintos são independentes, temos (o tempo t
tem que ser comun),
[ (~r; t) ; (~r0 ; t)] = i~
3
(~r
~r0 ) :
(97)
Utilizando Eq.(96), vemos que essa condição de quântização canônica …ca nada mais que a
Eq.(93).
Resumindo, o sistema descrito por um campo clássico obdescendo sua equação de movimento, quando quântizar, …ca equivalente a sistema de muitos corpos idênticos, cujo função
de onda de cada uma dela é descrita pelo campo clássico, e a equação de Schrödinger para
partícula simples pode ser vista como a equação de movimento do campo clássico. Esse é
razão que o método de espaço de Fock com operadores de criação e aniquilação é referido
como 2nda quantização do sistema.
D.
Caso de Fermion
n
o
y
O conjunto de operadores ai ; ai que satisfazem a regra de comutação Eq.(88) com a
de…nição de operadores de número de partículas, Eq.(89) são aplicaveis somente para bósons,
pois autovalores de Ni são inteiros não negativos sem restrição. Para fermions, temos que
ter um conjunto de operadores onde o número de partícula possui autovalores 0 e 1; apenas.
38
Para ter tal propriedade, o operador de número de partícula Ni tem que satisfazer
Ni2 = Ni :
Por outro lado, queremos escrever
Ni = byi bi :
Para satisfazer as propriedades, podemos impor a seguinte regra de anti-comutação,
o
n
= ij ;
bi ; byj
(98)
+
fbi ; bj g+ = 0;
o
n
= 0;
byi ; byj
(99)
(100)
+
onde fA; Bg+
AB + BA é chamado anti-comutador. De fato, da Eq.(98), podemos
escrever
Ni2 = byi bi byi bi
h
i
y
y
= bi 1 b i b i bi
= Ni
byi byi bi bi
Mas da Eq.(99) ou da Eq.(100), bi bi = byi byi = 0: Assim, temos
Ni2 = Ni
o que guarante os autovalores de Ni são ou 1 ou 0:
Podemos calcular o comutador de Ni e bj : Temos
[Ni ; bj ] = bi ij ;
h
i
Ni ; byj = byi ij :
Seja
jn1 ; n2 ; : : : ; ni ; :::i
o autoestado de operadores fN1 ; N2 ; :::; Ni ; ::::g : Temos ni = 0 ou ni = 1 para todos i:
Podemos mostrar que
bi jn1 ; n2 ; : : : ; ni ; :::i = 0; se ni = 0;
bi jn1 ; n2 ; : : : ; ni ; :::i = jn1 ; n2 ; : : : ; 0; :::i; se ni = 1;
39
e
byi jn1 ; n2 ; : : : ; ni ; :::i = 0; se ni = 1;
byi jn1 ; n2 ; : : : ; ni ; :::i = jn1 ; n2 ; : : : ; 1; :::i; se ni = 0;
Assim, podemos concluir que, de fato, bi e byi são operadores de aniquilação e criação de
partíucla (ferminon) no estado i:
E.
Aplicações do Método de Segunda Quantização
1.
Aproximação de Hartree-Fock - Noção de campo médio
Vamos considerar o sistema de Z elétrons de um átomo com o núcleo de número atómico
Z: Como a massa do núcleo é bem maior que as massas de elétrons, podemos desprezar, numa
boa aproximação, o movimento do núcleo quando trata a estrutura do átomo. Tomando a
origem de coordenadas na posição do núcleo, o Hamiltoniano do sistema de Z elétrons na
forma de 1a quantização,
H=
Z
X
Z
X
e2 Z
Ti
i=1
i=1
ri
+
e2 X
1
2 i6=j j~ri ~rj j
onde Ti é a energia cinética de i esma partícula, e ~ri sua posição. O primeiro termo é a
energina cinética, o segundo termo a energia Coulobmiana entre elétrons e núclio, e o último
temo, a energia Coulombinano entre elétrons.
O Hamiltoniano no espaço de Fock, ou seja, na forma de segunda quantização, …ca
Z
Z
1
e2
3
d ~r1 d3~r2 y (~r2 ) y (~r1 )
(~r1 ) (~r2 ) ;
H = H0 +
2
j~r1 ~r2 j
onde
H0 =
Z
d3~r
y
~2 2
r
2m
(~r)
e2 Z
r
(~r)
é a parte do Hamiltoniano que envolve apenas o operador de partículas simples. Aqui,
queremos determinar o estado fundamental do sistema de Z elétrons, e obter o valor da
energia, e restringimos a discussão para os estados estacionários. Desta forma, todas as
quantidades não depende do tempo t:
A presença de termo de interação entre elétrons implica que os elétrons não se comportam
independentemente, e existem correlações entre eles. Ou seja, o vetor de estado do sistema
40
não pode ser escrito como apenas um produto direto de estados de cada partículas. Para
incluir as correlações no estado não é trivial.
Por outro lado, o fato experimental demostra que uma imagem de partículas simples funciona bastante bem quando trata de transição de um elétron de uma camada para outra. Isto
não somente ocorre para os fenômenos atômicos, mas também ocorrem na Fisica Nuclear,
onde a Hamiltoniano para nucleons (prótons e neutrons) tem a forma
Z
Z
1
3
H = H0 +
d ~r1 d3~r2 y (~r2 ) y (~r1 ) V (j~r1 ~r2 j) (~r1 )
2
onde agora
H0 =
e V (j~r1
Z
d3~r
y
(~r)
~2 2
r
2m
(~r2 ) ;
(~r)
~r2 j) é o potencial de força nuclear entre dois nucleons. O sucesso de modelo
de camada proposto em 1949 para a descrição de espectro nuclear foi uma surpresa, pois
diferentemente no cso atomico, no caso nuclear, sabemos que não existe a força central. O
comportamento de nucleons num núcleo mostra que eles sentem um campo comun e atuam
como se fosse independente dos outros.
A idéia básica é introduzir a noção de campo médio. Escrevendo o Hamiltoniano do
sistema como
H = H0 + V (2) ;
onde V (2) representa o termo de interações de 2 corpos, podemos introduzir um potencial
de 1 corpo U;
H = H0 + U + (V (2)
U );
de tal forma que minimizar o efeito de interação residual, (V (2)
U ): Por enquanto, não
sabemos como escolher U: Mas, podemos proceguir de seguinte forma.
A parte de um corpo,
H (1) = H0 + U
pode ser escrita como
Z
Z
(1)
3
H = d ~r d3~r0
y
(~r0 )
3
(~r0
~r)
~2 2
r + Vc (~r) + U (1) (~r0 ; ~r)
2m
(~r) ;
onde Vc (~r) é o potencial Coulombiano do núcleo, e U (1) (~r0 ; ~r) é o potencial de um corpo, e
consideramos a possibilidade de que isto não seja necessariamente um potencial local.
41
Agora, suponhamos que temos os autoestados completos do operador de um corpo,
Z
~2 2
r + VC
(~r) + d3~r0 U (1) (~r; ~r0 ) (~r0 ) =
(~r) :
(101)
2m
O conjunto, f
(~r)g forma uma base para o espaço de Hilbert de uma partícula. Portanto,
podemos expressar qualquer função de ~r em termos desta base. Portanto, o campo
pode ser escrito como
X
(~r) =
a
(~r)
(~r) ;
onde os coe…cientes a são agora operadores de aniquilação, satisfazendo,
h
i
a ; ay
=
;
+
[a ; a ]+ = 0;
h
i
ay ; ay
= 0:
+
2.
Método Variacional
Para determinar quais são essas funções f
(~r)g e ao mesmo tempo, o potencial de
campo médio, vamos utilizar o método variacional. Para isto, primeira supomos que o
estado fundamental do sistema é descrito como o estado de energia menor possível nesta
base. O estado de menor energia pode ser obtido, ocupando os primeiros Z estados de
energia
: Na representação de Fock, teremos
j
(0)
GS i
= j1; 1; :::; 1; 0; 0; :::; 0; :::i
Z
=
Z
Y
=1
ay j0i
onde os estados de ocupação são ordenados em ordem crescente das energias
e
j0i = j0; 0; :::; 0; :::; 0; :::i
é o vácuo dos estados f
g : Naturalmente, esse estado depende da escolhe da base f
ou seja um funcional de f
(~r)g :Consequentemente, o valor esperado da energia total,
hEi = h
é um funcional de f
(~r)g ;
(0)
GS jHj
(0)
GS i
(~r)g ;
hEi = E [f
42
(~r)g] :
(102)
Podemos determinar as funções f
(~r)g como sendo o ponto mínimo no espaço de funções
via procedimento variacional,
hEi = 0:
Para executar o programa acima, devemos explicitar a forma funcional Eq.(102). Escrevemos o Hamiltoniano na forma,
H=
X
1 X y y
a a a a u
2 ; ; ;
h ay a +
;
onde
u
1
=
2
h
Z
=
Z
3
d ~r1
d3~r
Z
y
d3~r2
(~r)
~2 2
r
2m
y
y
(~r2 )
e2 Z
r
(~r1 ) V (j~r1
Podemos veri…car fácilmente que no termo, a somatário h
contribui quando
= : Portanto,
h
(0)
GS j
X
;
(0)
GS i
h ay a j
=
=
X
Z
X
;
(~r) ;
~r2 j)
(~r1 )
(0) P
GS j
;
(~r2 ) :
h ay a j
(0)
GS i;
somente
ay a h
(103)
h
=1
Por outro lado, no termo da somatório,
h
(0)
GS j
só tem contribuição quano [ = ;
h
(0)
GS j
X
; ; ;
ay ay a a u
j
X
ay ay a a u
j
; ; ;
= ] ou [ = ;
(0)
GS i
(0)
GS j
=h
(0)
GS j
+h
X
=
h
;
(0)
GS i
= ] : Então,
X
ay ay a a u
j
(0)
GS i
ay ay a a u
j
(0)
GS i
;
X
;
(0) y y
GS ja a a
a j
(0)
GS i
Usando a propriedade de anticomutação podemos calcular o termo h
h
i
(0)
(0)
(0)
h GS jay ay a a j GS i = h GS jay
a ay a j
h
i
(0)
= h GS jay a
ay a j
=h
(0)
GS jN
43
[
N ] j
(u
(0)
GS i
u
(0) y y
GS ja a a
(0)
GS i
(0)
GS i
)
a j
(0)
GS i
onde N é o operador de número de ocupação do estado :Temos então
h
(0)
GS j
X
ay ay a a u
j
; ; ;
(0)
GS i
=
X
h
;
=
(0)
GS jN
Z
X
N ] j
[
(u
u
(0)
GS i
(u
u
)
(104)
)
; =1
A expressão da valor esperado da energia do sistema então …ca
hEi =
Z Z
X
3
d ~r
~2 2
r
2m
(~r)
=1
Z
Z Z
1 X
3
d ~r1 d3~r2
+
2 ; =1
Z
Z Z
1 X
3
d ~r1 d3~r2
2 ; =1
e2 Z
r
(~r)
(~r1 )
(~r2 ) V (j~r1
~r2 j)
(~r1 )
(~r2 )
(~r1 )
(~r2 ) V (j~r1
~r2 j)
(~r1 )
(~r2 )
(105)
Essa é a forma explicita da energia como funcional de conjunto de funções, f
(~r)g.
Podemos então executar o programa de método variacional. Mas antes de calcular as variações em
, lembramos que essas variações são sujeitas a condição de ortonormalidade,
Z
y
(~r) (~r) =
;
que impõe os vínculos para variaçoes. Assim, devemos utilizar o método de constante
multiplicadora de Lagrange,
"
Considerando
P
hEi
;
hEi
X
;
Z
y
(~r)
#
(~r) = 0:
e seu conjugado complexo
como variáveis independentes, temos
R y
(~r) (~r)
~2 2 e2 Z
(~r)
=
r
(~r)
2m
r
Z Z
X
+
d3~r1 (~r1 ) V (j~r ~r1 j) (~r1 )
(~r)
=1
Z Z
X
d3~r1
(~r1 ) V (j~r1
=1
X
44
(~r) :
~rj)
(~r1 )
(~r)
Consequentemente a equação que determina o conjunto de f
é
e2 Z
r
~2 2
r
2m
(~r) +
Z
d3~rU (~r; ~r0 )
g que otimiza a energia total
(~r0 ) =
onde
0
U (~r; ~r ) =
Z Z
X
d3~r1
~r1 j)
(~r1 ) V (j~r
=1
(~r1 )
3
(~r
~r0 )
X
Z
X
(~r) ;
(~r0 ) V (~r
~r0 )
(~r0 )
=1
(106)
Na verdade, podemos sempre introduzir uma transformação unitária entre a base f
tal forma que sem perder generalidade, a matriz f
acima …ca
~2 2
r
2m
e2 Z
r
(~r) +
(~r) :
Z
g de
g …ca diagonal. Então, as equações
d3~r0 U (~r; ~r0 )
(~r0 ) =
(107)
(~r) :
Vemos que essa equação é exatamente a Eq.(101). A única coisa que deve tomar cuidado é
que o potencial de um corpo U acima depende de outros estados. Ou seja, a Eq.(106) deve
ser resolvido autoconsistentemente com o conjunto de Z estados,
f
(~r) ;
= 1; :::; Zg :
O potencial de um corpo, Eq.(106) pode ser diagramaticalmente expresso como
a
a
b
r
V
b
r’
r’
V
r
a
a
O diagrama esquerdo mostra que a função de onda de uma partícula no estado
o efeito de potencial V (~r
(~r) recebe
~r0 ) de 2 corpos no ponto ~r, com todas as demais partículas nos
outros pontos em ~r0 :O diagrama direito mostra que, devido a presença de correlação entre
duas partículas idênticas, surge um efeito não local.
A energia total do sistema é dada pela Eq.(105). Diagramaticamente, a contribuição da
energia potencial pode ser espressa como
45
1
2
V
V
Note que a soma das energias de partículas simples da Eq.(107) é dada por
Z
X
=1
=
Z
d~r
y
(~r)
~2 2
r
2m
e2 Z
r
(~r) +
Z Z
não coincide com Eq.(105) (o fator 1/2 no potencial U ).
46
d3~rd3~r0
y
(~r) U (~r; ~r0 )
(~r0 )
Lista de Exercícios:
1. A partir de hipótese de que a probabilidade a priori de um mícro estado
é igual,
mostre que para um ensemble grand canonico, a probabilidade de ter um microestado
para uma dada temperatura T e o potencial químico , P (T; ) é dada por
(E
P (T; ) / e
N )=T
;
2. Recupere ~; c e k nas Eqs.(85,86,87)
3. Para um gás ideal de elétrons com T = 0; podemos ingegrar analiticamente as
Eqs.(85,86,87). Elimine o potencial químico
e expresse " e P como função de n:
4. Ainda para T = 0 de gás ideal de elétrons, demonstre que
9
8
< K n5=3 ~ (3 2 n)1=3
mc =
1
P !
: K2 n4=3 ~ (3 2 n)1=3
mc ;
e determine K1 e K2 :
5. Obtenha o valor de densidade em (1=cm3 ) para o qual a pressão de elétron se torna
relativística.
6. Um tipo de estrela, chamada anã branca, é considerada num estado de equilíbrio
hidrostatica entre a pressão de gás de elétrons degenerados e a pressão gravitacional.
Considerando uma anão como uma esfêra homogênea de atomos de Ca, demonstre
que existe um limite superir de massa do sistema que obter o equilíbrio hidrostatico.
Considere que a pressão gravitacional como
PGrav =
dEGrav
;
dV
onde
EGrav =
3 GM 2
;
5 R
com M é a massa da estrela, R o raio. Calcule o valor da massa limite MChandra em
termos de massa de massa solar, M = 2
47
1033 g:
3.
F.
Teoria de Campo Classica e Tensor de Energia e Momento
Consideramos um sistema de campo escalar
(~r; t); cuja densidade de Lagrangeana é
dada por (~ = c = 1)
1
L=
2
A ação é
I=
Supormos que
Z
dt
Z
d3~r
@
@t
(
2
1
2
1
(r )2
2
@
@t
2
V( )
)
1
(r )2
2
(108)
V( ) :
satisfaz a condição de contorno,
r j (~r; t)j ; r jr (~r; t)j ! 0; para j~rj ! 1;
Exercícios:
1. A partir de princípio variacional, obtenha a equação de movimento para
(~r; t) :
2. A Lagrangeana do sistema é dada por
(
Z
1 @
L = d3~r
2 @t
2
1
(r )2
2
)
V( ) :
De…nindo o momento canonicamente conjugado,
L
@L
=
_
@_
@
=
;
@t
podemos obter a Hamiltoniana,
H=
=
Z
Z
d3~r H
d3~r
@
@t
L :
Calcule a densidade de Hamiltoniana, H:
3. Consideramos uma mudança de sistema de coordenadas através de transformação
de Lorentz,
0 1
0 1
t
t0
@ A!@ A=
~r
~r0
48
0 1
t
@ A
~r
(109)
onde
é uma matriz, satisfazendo
T
onde
0
G = G;
1 0
0
0
1
B
C
B0 1 0 0 C
B
C
G=B
C:
B0 0
C
1
0
@
A
0 0 0
1
Demonstre que a equação de movimento para
é covariante sobe a ransformação,
em termos de novas variáveis, (t0 ; ~r0 ) tem
ou seja, a equação de movimento para
a mesma forma da equação em (t0 ; ~r0 ) :
4. Para simpli…car a notação, escrevemos
x0 = t;
x1 = x;
x2 = y;
x3 = z
ou
0 1
t
(x ) = @ A :
~r
Escrevemos também
0 1
t
(x ) = G @ A
~r
0
1
t
A:
=@
~r
Nesta notação, temos
L=
Z
d3~r
(
1X
@
2 =0
3
@
onde
@
;
@x
@
@ =
:
@x
@ =
49
(110)
)
V( ) ;
Ainda, segundo Einstein, abreveamos o simbolo de somatório
P3
=0
sempre que
existem dois índices repetidos, um como superscripto e outro como subscripto.
Assim, temos
L=
Z
1
@
2
d3~r
@
V( ) :
A transformação de Lorentz, Eq.(109) também …ca expressa como
x !x 0=
x :
Na equação acima, existe a somatório em
(111)
= 0; ::3: Mostre que a densidade de
Lagrangiana, L é uma escalar sob a transformação de Lorentz mas a Lagrangiana
L não é uma escalar.
5. Escrevemos
(g ) = G:
Assim, a Eq.(110) pode ser expressa como
x =g x ;
ou seja, a matriz (g ) é utlizada para “abaixar” indice. Mostre isto vale para o
operador diferencial, isto é,
@ =g @
6. Dentro das régras acima, mostre que é consistente escrever
!
)T
=(
tal que
=
onde
(
)=I
é a matriz de identidade.
7. Mostre que a ação, Eq.(108) é invariante a transformação,
x !x 0=x +
50
ou seja, a translação de sistema de coordenadas. Neste caso, demostre que
@ T
= 0;
onde
@L
@
T
L
com
=
@
:
@x
8. Veri…que que
T00 = H
51
Lista 03
1. Consideramos 2 tipos de partículas fermionicas (por exemplo, quark u e quark d ). Os
operadores de criação e aniquilação dessas partículas do estado n são denotados por
uyn ; un ; dyn ; dn
satisfazendo as regras de anticomutação
un ; uym = dn ; dym =
nm ;
fun ; um g = fdn ; dm g = 0;
fun ; dm g = 0:
Supormos que o Hamiltoniano do sistema é dado por
H=
X
"n uyn un + dyn dn :
n
(a) Demonstre que o número total de quarks (u; d) ;
Nq =
X
uyn un + dyn dn
n
conserva.
(b) O iso-spin,
I~ =
X
uyn dyn
n
0
un
1
1 @
A
~
2
dn
também uma quantidade conservada, onde ~ = ( x ;
y;
z)
Pauli.
(c) Demonstre que
h
i
Nq ; I~ = 0;
[Ii ; Ij ] = i
~
onde Ii é o componente i do I.
52
ijk Ik ;
(i; j; k
c{clica)
é o vetor matricial de
2. Sejam ayn ; an operadores de criação e aniquilação (bosonico ou fermionico). Consideramos um conjunto de operadores de combinação linear desses operadores,
O(
)
=
X
x(n ) an + yn( ) ayn ;
= 1; 2; :::
n
e denotamos o vácuo por j0i; onde
an j0i = 0;
8
n
Prove os seguintes propriedades.
(a)
h0jO1 O2
ON j0i = 0
se N é ímpar.
(b) Para N = 2M com M um inteiro e sendo ayn ; an operadores bosonicos,
h0jO1 O2
ON j0i =
X
Decomp
h0 jOi1 Oj1 j 0i h0 jOi2 Oj2 j 0i
h0 jOiM OjM j 0i
onde a somatório deve ser feita sobre todas as possíveis decomposições de
(1; 2; :::; N ) em pares, f(i1 ; j1 ) ; (i2 ; j2 ) ; ::; (iM ; jM )g ; com ik < jk ; k = 1; ::; M:
Ou seja, a sequência fi1 ; j1 ; i2 ; j2 ;
; iM ; jM g é a permutação de f1; 2; ::; N g sat-
isfazendo ik < jk ; k = 1; ::; M e i1 < i2 < :: < iM : Por exemplo, para N = 4;
todas as decomposições em pares são
(1; 2) (3; 4)
(1; 3) (2; 4)
(1; 4) (2; 3)
(c) Para N = 2M com M um inteiro e sendo ayn ; an operadores fermionicos,
h0jO1 O2
ON j0i =
X
Decomp
( 1)P h0 jOi1 Oj1 j 0i h0 jOi2 Oj2 j 0i
P
h0 jOiM OjM j 0i ;
onde P é a paridade da permutação, f1; 2; ::; N g ! fi1 ; j1 ; i2 ; j2 ;
3. Para um oscilador hârmonico,
H = ~! ay a +
53
1
2
; iM ; jM g
sabemos que quando o número de ocupação é bem maior que 1; o comportamento do
sistema aproxima ao da mecânica clássica. Isto é equivalente a dizer que os operadores
ay e a comportam como numero c:Ou seja, na regra de comutação
aay
ay a = 1
desprezamos 1 em relação a N: Tendo esse na mente, podemos considerar que se os
números de ocupação de um campo bosonico nos todos os estados simples se tornam
bem grande, podemos imaginar que o campo se comporta como um campo clássico.
Para …xar a idéia, consideramos o caso de apenas 2 níveis com o Hamiltoniano
H=
y
1 a1 a1
Para simplicidade, assumimos que
+
y
1 a2 a2
+
ay2 a1 + ay1 a2 :
> 0:
(a) Descreve as equação de movimento de Heisenberg para a1 e a2 :
(b) O estado do sistema está com autovalores de N1 = ay1 a1 , N2 = ay2 a2 >> 1; então
podemos considerar a1 e a2 como se fossem número c; e escrevemos
a1 =
a2 =
p
p
N1 ei 1 ;
N2 ei 2 :
Obtenha as equações de desenvolvimento temporal dos números,
e
p
p
N1 ; N2 e
1
2:
(c) Calcule o ‡uxo de partículas que passa do estado 1 para o estado 2 e expresse em
termos de N1 ; N2 e
=
1
2:
54
V.
TEORIA DE ESPALHAMENTO
O processo de espalhamento é um método de “ver”os objetos microscópicos e constitue
o método fundamental para investigar a estrutura da matéria. Nesta sessão, estudaremos como formular este problema dentro de contexto da Mecânica Quântica. Após da
introdução de conceitos básicos de processo de espalhamentos ou reações, primeiramente
tratamos o espalhamento elástica por um potencial em detalhe. Em particular, para um
potencial esfericamente simétrica, introduzimos a representação da base de momento angular, e a defazagem de ondas parciais. Estudaremos alguns exemplos concretos tais como o
espalhamento Coulombiano, potencial de força de Yukawa, etc., além de métodos de aproximação, por exemplo, teoria de alcance efetivo, aproximação de Born e aproximação de
Glauber. Estudaremos também como a estrutura do objeto in‡uencia nos observáveis de
processo de espallhamentos.
A.
Seção de Choque
Os dados experimentais em geral são apresentados sob a forma de seção de choque.
Como vimos na Mecânica Clássica, a seção de choque é de…nida como a taxa de transição do
estado incidente para determinado estado …nal por unidade de ‡uxo incidente. Na linguagem
experimental, a taxa de transição é determinada como a contagem (rendimento - yield) por
unidade de tempo, dos eventos ocorridos.
Suponha que um detector registra somente os eventos, quando uma quantidade física,
, …ca dentro de um intervalo de valor, [
números, por exemplo,
;
+
]. Aqui,
pode ser um conjunto de
= p~ (momento linear de partícula detetada). Seja
C o número
de contagens que este detector registrou num intervalo de tempo T . No regime estacinária,
C=T a média da taxa de contagem. A seção de choque (parcial) d é então calculada por
=
T
C
C
=
Nalvo
Ninc Nalvo =A
(112)
onde Nalvo e Ninc são, respectivamente, os números de alvos e partículas incidentes envolvidos no processo, e A é a área transversal do ‡uxo incidente. Note que
tem a dimensão de
área.
Para
su…cientemente pequeno,
…ca proporcional a
55
. Assim, de…nimos a seção
de choque diferencial por
d
d
= lim
!0
(113)
Em particular, quando detetamos partículas espapalhadas na direção especi…cada pela determinada por um ângulo sólido d , temos a distribuição angular das partículas espalhadas,
d
:
d
Exercise 1 Consideremos o espalhamento clássico de ‡uxo de partículas puntiformes com
massa m e energia Einc , incidindo ao longo do eixo Z, sobre uma esfera de raio R com
superfície lisa, …xa na origem.
1. Calcule a seção de choque diferencial,
d
d
sendo
(114)
o ângulo sólido.
2. Calcule a seção de choque total.
Exercise 2 No lugar da esfera, consideremos um disco de raio R, superfície lisa, estando
o centro do disco na origem e em rotação em torno do eixo X com velocidade angular !.
Repita os cálculos do item 1.
VI.
ESTADOS FINAIS DE MULTI-PARTÍCULAS
Nos exercícios acima, as seões de choque não dependem da energia, dando simplesmente a
seção de choque geométrica. Mas, em geral, a seção de choque depende da energia incidente.
Por exemplo, podemos considerar uma esfera de cristal, cujo índice de absorção da luz
depende da sua frequência. Neste caso, obviamente a seção de choque de espalhamento da
luz depende da sua frequência. Lembramos, também, que a de…nição de seção de choque não
é só aplicada para os processos de espalhamento, mas para reações e produção de partículas,
dependendo como especi…camos o estado …nal. A seção de choque fornece a medida que
um determinado processo ocuparia uma área se este processo fosse da natureza geométrica.
56
Neste sentido, a seção de choque representa a área efetivo para o processo em questão toma
lugar. (Em francês, a seção de choque é chamada section e¢ cace ).
Na de…nição da seçao de choque, podemos identi…car a quantidade
C
T Nalvo
por a taxa de transição por um sistema projétil-alvo. Essa quantidade pode ser calculada
num formalismo teórico. Então, escrevendo
C
= d!i!f
T Nalvo
e podemos calcular a seção de choque como
d
i!f
=
1
d!i!f .
(115)
Note que a de…nição acima pode ser utilizado não apenas para um processo de espalhamento de partícula indidente, mas podemos aplicar para os processos que envolvem
reações provocado pela colisão de partículas incidentes. Por exemplo, podemos considerar
um processo de reação de dois objetos A e B; produzindo várias partículas,
A+B !a+b+c+
e a seção de choque de produção de partícula especí…ca, digamos a:
d
=
A+B!a+X
1
d!A+B!a+X
A+B
onde X representa qualquer coisa que não seja a no estado …nal da reação. Em outras
palavras, na seção de choque acima, apenas identi…ca a partícula a; sem considerar os estados
de outras partículas. Este tipo de seção de choque é chamado seção de choque inclusiva.
Em contraste, a seção de choque que deteta todas as partículas no estado …nal,
d
=
A+B!a+ + +
1
d!A+B!a+
+ +
A+B
é chamado a seção de choque exclusiva.
Se observamos apenas uma das partículas nos estados …nais (seção de choque inclusiva)
para um intervalo de momento, [~p; p~ +
p~] ; podemos de…nir o espectro desta partícula,
d3
A+B!a+X
d3 p~
57
(116)
Se integramos em p~; obtemos a seção de choque de produção de partícula a; no processo de
reações, A + B;
A+B!a+X
=
Z
d3 p~
d3
A+B!a+X
:
d3 p~
Exercício: Expresse a fórmula para calcular a energia média da partícula a produzida
quando a Eq.(116) é dada como função de p~:
Exercício: Consideramos o processo de reação entre dois protons de massa m. No sistema
de Laboratório, o próton incidente colide com o alvo …xo com a energia incidnte Ein
(contando a energia de repouso também). Expresse a energia da colisão no sistema de
Centro de Massa, onde o momento total do sistema é nulo.
Exercício: Na regime relativística de colisão entre protons, o fenômeno característico é a
produção de muitas partículas (principalmente mésons). A seção de choque inclusiva
de pions,
d3
p+p! +X
d3 p~
é uma quantidade escalar sob a transformação de Lorentz do sistema de Laboratório
para o sistema de Centro de Massa? Se não, encontre a quantidade escalar que representa o espectro de pions (seção de choque invariante).
Podemos considerar a seção de choque semi-inclusiva. Por exemplo, numa colisão A + B;
detetamos simultaneamente num evento as partículas a e b: Temos
d6
A+B!a+b+X
:
d3 p~a d3 p~b
Quando o mecanismo de produção de partículas a e b é um processo independente de um a
outro, então esperamos que
d6
A+B!a+b+X
d3 p~a d3 p~b
/
d3
A+B!a+X
d3 p~a
d3
A+B!b+X
:
d3 p~b
como função de p~a e p~b : Normalmente isto não ocorre quando o espaço de fase de X não é
grande. A razão,
d6
A+B!a+b+X
d3 p~a d3 p~b
d3
A+B!a+X
d3 p~a
d3
A+B!b+X
d3 p~b
fornece uma importante informação para a mecanismo de reação para produzir partículas a
e b e as vezes referida como função de correlação.
58
VII.
SISTEMA DE REFERÊNCIA
Como no caso da Mecânica Clássica, o sistema de referência para descrição de processo
de colisão é bastante importante. Para o processo de colisão
A + B;
o sistema de referência em que B é inicialmente repouso, e A incide com o momento PA
é chamado o sistema Laboratório, LAB. Um outro sistema de referência frequentemente
utilizado é o sistema de Centro de Massa, CM, onde A e B colidem com mesmo módulo de
momento P , mas direção oposta, ou seja
P = PACM = PBCM
e
P~ACM =
P~BCM :
A de…nição do sistema de referencia CM também pode ser usado no regime relativístico.
Isto porque a seção de choque d é uma quantidade invariante de sistema de referência. Por
outro lado, o intervlao cinemático, d3 p~ é uma quantidade depende do sistema de referência
utilizado.
VIII.
ESPALHAMENTO ELÁSTICO DE UMA PARTÍCULA POR UM POTEN-
CIAL
Para …xar a idéa, inicialmente tratamos o processo de espalhamento elástico de uma
partícula por um potencial de força central, V (r) onde r é a distância radial da partícula
do centro do potencial. A equação de Schrödinger para estado estacionário com a energia
E …ca
~2 2
r + V (r)
(~r) = E (~r) :
2m
Suponhamos que o potencial satisfaz a condição,
(117)
V (r) ! 0; r ! 1;
ou seja, a partícula se torna livre de força asintoticamente. Nesta região, a equação Eq.(117)
…ca
~2 2
r (~r) ' E (~r) ; r ! 1;
2m
59
(118)
e a energia E representa a energia cinética de movimento translacional. Assim, temos
E>0
e podemos escrever
E=
~2 k 2
:
2m
Se utilizamos a separação de varáveis em coordenadas cartesianas, podemos veri…car que
a solução geral da Eq.(118) pode ser escrita como a combinação linear de ondas planas,
(~r) '
Xh
~
A ~k eik ~r + B ~k e
i~k ~
r
~k
i
(119)
onde o vetor ~k é formado pelos 3 números kx ; ky e kz ,
0 1
k
B xC
B
~k = B k C
C
@ yA
ky
sendo que esses tres números foram introduzidos através do processo de separação de variáveis em x; y e z: Pela condição de separação de variáveis, temos o vínculo,
kx2 + ky2 + kz2 = k 2 :
Como sabemos, uma onda plana, junto com o fator temporal,
e
i Et
i~k ~
r
~
e
representa a propagação de uma onda na direção do vetor ~k; e de fato, se calculamos o
corrente correspondente, temos
~j = ~ (
2mi
~~k
=
m
r
r
)
representa a velocidade do ‡uxo de partículas.
Como vimos na Mecânica Quântica I, podemos também utilizar as coordenadas esféricas (r; ; ) para separação de variáveis na Eq.(118) em vez de coordenadas Cartesianas.
Escrevendo
(~r) = R (r) Y`m ( ; ) ;
60
onde Y`m ( ; ) é a função harmonica esferica, a equação radial para Eq.(118) …ca
~2 1 d2
~2 ` (` + 1)
~2 k 2
R:
(rR)
+
R
=
2m r dr2
2mr2
2m
Escrevendo
(r) = rR;
temos
d2
` (` + 1)
+
= k2
2
2
dr
r
Como estamos considerando no domínio asintótica, r ! 1; a equação acima ainda …ca
simpli…cada, pois o segundo termo do lado esquerdo pode ser desprezado neste limite. Temos
d2
= k2
2
dr
que tem as duas soluções linearmente independentes,
/e
ikr
:
Assim, na região asintótica, r ! 1; podemos escrever a solução geral como
1
(~r) ' e
r
ikr
1
g ( ; ) + e+ikr f ( ; ) ;
r
(120)
onde
g( ; ) =
X
g`;m Y`m ( ; ) ;
`;m
f( ; )=
X
f`;m Y`m ( ; ) ;
`;m
são soluções gerais da parte angular. As ondas esfericas,
1
e
r
junto com o fator temporal, e
iEt=~
ikr
1
; e+ikr
r
, representam as ondas convergente e emergente, respec-
tivamente.
A solução geral ainda não representa uma determinada situação física. Para descrever
uma determinada situação física, temos que escolher as condições de contorno compatível
com a situação física. No caso de estado estacionário de espalhamento, um ‡uxo de partículas
com momento bem de…nida, incidindo constantemente ao potencial V (r) ; gerando um ‡uxo
61
de partículas espalhadas. Neste caso, a função de onda estacionária na região asintótica,
r ! 1 deve ser escrita como uma superposição da onda incidente,
~
e+iki ~r
com a onda espalhada, ou seja, uma onda emergente apenas,
1 +ikr
e
f( ; )
r
já que o potencial não deve produzir uma onda convergente. Assim, esperamos que a função
de onda correspondente a um estado estacionário para uma dada onda plana incidente tem
a forma asintotica,
1
~
(~r) ' e+iki ~r + e+ikr f ( ; ) :
r
(121)
Exercício: Na região asintótica r ! 1; calcule o número de partícula que atravessa por
unidade do tempo num elemento de superfície
~ = r2 d~
dS
da onda espalhada
1 +ikr
e
f ( ; );
r
onde d ~ é vetor normal da súperfície com o môdulo igual ângulo sólido sin d d .
IX.
A.
TEORIA DE PERTURBAÇÃO DEPENDENTE DO TEMPO
Desenvolvimento no tempo
Queremos obter a solução da Equação de Schrödinger,
i~
@
j (t)i = (H0 + HI (t)) j (t)i;
@t
(122)
onde agora o Hamiltoniano perturbativo pode depender no tempo t. Escrevemos esta
equação na forma
i~
@
@t
H0 j (t)i = HI (t) j (t)i:
62
(123)
O procedimento perturbativo consiste em aproximação sucessiva do vetor j (t)i. Podemos
consider a expansão em série em relação a ,
j (t)i =
X
n
n=0
j
(n)
(t)i:
Substituindo esta expansão na Eq.(123) e igualando os termos de mesma ordem em , temos
a seguinte série de equações hiaraquicas,
@
@t
@
i~
@t
@
i~
@t
n=0:
i~
n=1:
n=2:
H0 j
(0)
(t)i = 0;
H0 j
(1)
(t)i = HI (t) j
(0)
(t)i:
H0 j
(2)
(t)i = HI (t) j
(1)
(t)i:
..
.
Suponhamos que conseguimos obter a sulução até a ordem n, j
(n)
(t)i a seguinte ordem
pode ser obtida da equação,
i~
@
@t
H0 j
(n+1)
(t)i = HI (t) j
(n)
(124)
(t)i:
Note que esta equação tem a forma de uma equação diferencial linear vetorial inhomogênea
Dt ~y (t) = f~(t);
onde Dt representa um operador diferencial em t. Para obter a solução, basta encontrar a
função de Green do operador Dt
Dt G (t; t0 ) = (t
onde G (t; t0 ) é a função de Green (matriz m
t0 ) 1;
m se o vetor ~y (t) é m
dimensional) com
condição de contorno adequada. Aqui, 1 representa a matriz de identidade (m
a solução geral,
~y (t) = ~y0 +
Z
1
dt0 G (t; t0 ) f~(t0 );
1
onde ~y0 é a solução geral da equação homogênea,
Dt ~y0 (t) = 0:
63
m). Temos
No nosso caso da Eq.(124), temos
i~
@
@t
H0 G0 (t; t0 ) = (t
t0 ) 1;
(125)
onde agora G0 (t; t0 ) é um operador no espaço de Hilbert[1]. A solução …ca
Z 1
(n+1)
dt0 G0 (t; t0 ) HI (t0 ) j (n) (t0 )i:
j
(t)i =
(126)
1
Aqui, não precisamos o termo correspondente da solução homogênea não precisaria, pois já
está incluído na solução de ordem n = 0.
B.
Não Unicidade e Condição de Contorno da Função de Green
Vamos obter a função de Green resolvendo a equacão (125)
i~
@
@t
H0 G0 (t; t0 ) = (t
t0 ) 1:
(127)
Sabemos que
t0 ) = 0
(t
para t 6= t0 ; temos
@
H0 G0 (t; t0 ) = 0; t 6= t0 :
@t
Isto sugere que a função de Green é dada pela uma solução geral desta equação tipo
i~
h0 (t; t0 ) =
X
e
iEi t=~
i
para t 6= t0 ; onde j
Ei i
j
Ei i
hbi j;
(128)
são autoestados de Ho ;
H0 j
Ei i
@
@t
H0 h0 (t; t0 ) = 0:
= Ei j
Ei i
e hbi j são vetores arbitrárias.
Exercise 3 Mostre que
i~
Por outro lado, para ter o comportamento singular tipo a função de
em t = t0 na sua
derivada temporal, a função de Green G0 (t; t0 ) deve ter uma discontinuidade em t. Assim,
advinhamos que a forma de função de Green incluindo o ponto t = t0 deve ser
G0 (t; t0 ) =
X
i
e
iEi t=~
j
Ei i
[ (t
64
t0 ) hbi j + (t0
t) hci j] :
De fato,
i~
@
@t
H0 G0 (t; t0 ) =
@
@t
X
i~
= i~
X
H0
e
iEi t=~
i
e
iEi t=~
i
j
Ei i
j
[hbi j
Ei i
t0 ) hbi j + (t0
[ (t
hci j] (t
t) hci j]
t0 ) :
Escolhendo
[hbi j
hci j] =
1 +iEi t0 =~
e
h
i~
Ei j;
(129)
podemos ver que
i~
@
@t
H0 G0 (t; t0 ) = (t
t0 )
X
iEi (t t0 )=~
e
i
= (t
j
Ei ih Ei j
t0 ) 1:
A condição Eq.(129) não determina univocamente hbi j e hci j. Isto quer dizer que existem
várias soluções distintas para a função de Green da Eq.(127). Isto é natural, pois uma vez
obtida uma função de Green G0 (t), podemos obter uma outra solução para a Eq. .(127)
adicionando qualquer solução homogênea da Eq.(128),
G0 (t) ! G0 (t) + h0 (t; t0 ):
Dentro destas possibilidades para G0 (t; t0 ) ; uma escolhe conveniente é,
hbi j =
1 +iEi t0 =~
e
h
i~
Ei j;
hci j = 0:
A função de Green correspondente …ca
(+)
G0 (t; t0 ) ! G0 (t; t0 ) =
1
(t
i~
t0 )
X
i
e
iEi (t t0 )=~
j
Ei i
h
Ei j
;
(130)
que é chamada de função de Green causal, ou propagador. Isto porque, por exemplo, o vetor
de estado até a primeira ordem correspondente a esta escolhe da função de Green …ca
Z t
(+)
(+)
j
(t)i ' j (t)i +
dt0 G0 (t; t0 ) HI (t0 ) j (t0 )i;
(131)
1
onde j (t)i é o vetor de estado dependente no tempo não perturbado pelo HI (t0 ). Podemos
interpretar esta equação de seguinte modo. O efeito da perturbação HI (t0 ) no instante t0
cria um novo vetor,
HI (t0 ) j (t0 )i;
65
|Φ0 ( t) >
t
G0 (t,t’)
λHI
+ ∫ dt’
|Φ0 ( t’) >
que se propaga até o tempo t,
(+)
HI (t0 ) j (t0 )i ! G0 (t; t0 ) HI (t0 ) j (t0 )i:
O vetor de estado resultante é a soma (integral) sobre todos os instantes t0 para o qual a
perturbação ocorre. Podemos expressar a situação diagramaticamente como O escolhe da
função de Green causal é justamente incorporar o fato de que o efeito da perturbação no
instante t0 não altera o estado anterior a isto.
Note que podemos ainda simpli…car a Eq.(130) da seguinte forma. Escrevendo
=t
t0 ;
temos
(+)
X
1
(t)
e
i~
i
X
1
=
(t)
e
i~
i
G0 ( ) =
Ei =~
j
Ei i
h
Ei j:
H0 =~
Ei i
h
Ei j
j
1
(t) e H0 =~
i~
1
=
(t) U0 ( ) ;
i~
=
(132)
onde utilizamos a propriedade
H0 j
Ei i
= Ei j
66
Ei i;
e a completeza,
X
i
j
Ei i
h
Ei j
U0 ( ) = e
= 1:
iH0
O operador unitário
U0 ( ) = e
iH0 =~
é nada mais que o operador de deslocamento temporal que já vimos. Assim, exceto o fator
(i~) 1 , a função de Green causal é de fato o operador que transforma um estado no tempo
de t0 ! t com t > t0 .
Podemos incluir os termos de orderm superiores da perturbação, tendo
Z t
(+)
(+)
j
(t)i = j (t)i +
dt1 G0 (t; t1 ) HI (t1 ) j (t1 )i
1
Z t
Z t1
(+)
(+)
dt1
dt2 G0 (t; t1 ) HI (t1 ) G0 (t1 ; t2 ) HI (t2 ) j (t2 )i
+ 2
1
1
Z t
Z t1
Z t2
3
+
dt1
dt2
dt3 [
1
(+)
G0
1
(+)
(t; t1 ) HI (t1 ) G0
1
(+)
(t1 ; t2 ) HI (t2 ) G0 (t2 ; t3 ) HI (t3 ) j (t3 )i]
(133)
+
Exercise 4 Obtenha a equação acima. Escreva a forma do n
esimo termo.
A representação diagramatica da expressão Eq.(133) …ca Como se ver, o efeito da perturbação sobre a dinâmica do sistema é a superposição de diagramas que tem uma interação
(atuação da perturbação), duas vezes, tres veses, etc., nos instantes sucessivos, conectados
(+)
pelos propagadores G0 (t; t0 ). Na …gura acima, entende-se que devem ser feitas as integrais
sobre todos os tempos intermediários para quais ocorem as interações.
C.
Representação Espectral
Para desenvolvimento posterior, é conveniente introduzir a representação espectral (transformada de Fourier) de G por
(+)
G0
(E) =
Z
1
d eiE
1
67
=~
(+)
G0 ( ) ;
(134)
|Φ0 ( t) >
t
G0 (t,t1)
G0 (t,t1)
λHI(t1 )
+
|Φ0 ( t1) >
onde
t
λHI(t1 )
+
G0 (t1,t2)
+ ...
λHI(t2 )
|Φ0 ( t2) >
t0 ; e agora G0 (E) é um novo operador que depende de um parâmetro contínuo
E. Para não complicar muito a expressão, utilizamos a mesma letra G para os dois casos e
distinguimos somente pelo argumento G ( ) ou G (E), mas deve lembrar que são operadores
distintos e não apenas mudança dos argumentos.
Substituindo a Eq.(134) na Eq.(127), temos
Z
1 X 1
(+)
G0 (E) =
d ei(E
i~ i 0
Aqui, a integral
Z
1
d ei(E
Ei ) =~
j
Ei i
h
Ei j
:
(135)
Ei ) =~
0
pode ser feita independentemente dos outros fatores, mas como está, não tem um bom comportamento para o limite superior. Para gurantir um bom comportamento, vamos deslocar
o valor do argumento E na direção imaginária in…nitesimalmente,
E !E+i :
Com isto, a integral …ca convergente,
Z 1
d ei(E+i
Ei ) =~
0
68
= i~
1
E+i
Ei
:
Assim, temos
(+)
G0 (E + i ) =
X
i
=
X
i
=
1
E+i
Ei
j
Ei i
h
Ei j
j
Ei i
h
Ei j
1
E+i
H0
1
E+i
H0
(136)
:
Aqui, utilizamos a relação de completeza
X
i
j
Ei i
h
Ei j
= 1:
O propagador ( função de Green causal) dependente no tempo é dado pela transformação
inversa da Eq.(134)
(+)
G0
0
(t; t ) =
1
Z
2 ~
Z
1
=
2 ~
1
1
1
dE e
iE(t t0 )=~
dE e
iE(t t0 )=~
(+)
G0 (E)
1
E+i
1
H0
:
(137)
É ilustrativo recuperar a expressão Eq.(130),
(+)
G0 (t; t0 ) =
1
(t
i~
t0 )
X
e
iEi (t t0 )=~
i
j
Ei i
h
Ei j
;
a partir da Eq.(137). Utilizando a completeza, temos
Z 1
X
1
1
0
(+)
0
dE e iE(t t )=~
G0 (t; t ) =
j Ei i h Ei j
2 ~ 1
E+i
H0 i
X 1 Z 1
1
0
=
dE e iE(t t )=~
j Ei i h Ei j
2 ~ 1
E+i
Ei
i
X
=
Fi (t t0 ) j Ei i h Ei j:
i
onde
Fi ( )
1
2 ~
Z
1
dE e
iE =~
1
1
E+i
Ei
:
(138)
Vamos calcular a integral utilizando o método de residuo. Para aplicar o teorema de Cauchy
na integral da Eq.(138), devemos transformar a integral em E de ( 1; 1) para uma integral
sobre um caminho fechado, completando um semi-circulo no raio in…nitemente grande.
Z 1
I
dE !
dE:
C
1
69
Im E
Im E
τ>0
Re E
τ<0
Para não alterar o valor da integral, devemos escolher o semi-circulo de acordo com o sinal
da variável
de tal forma que a contribuição da parte semi-circulo é nulo. Assim, devemos
escolher o caminho tal que
< 0 ! Im E > 0;
> 0 ! Im E < 0:
Note que o único polo do integrando está em
E = Ei
i ;
isto é, está no semi-plano Im E < 0 (indicado pelo ponto preto na …gura acima). Pelo
teorema de Cauchy, temos immediatamete
8
<
0;
F( )=
: i=~ e
Para
<0
iEi
;
> 0:
< 0, a integral é nula pois o caminho não inclui o polo. O extra ( ) sinal no caso
> 0 vem da direção da integral ao longo ao caminho fechado. Resumindo, temos
Fi ( ) =
1
( )e
i~
70
iEi =~
:
Finalmente, temos
(+)
G0 ( ) =
D.
X
1
( )
e
i~
i
Ei =~
j
Ei i
h
Ei j:
Taxa de transição e Regra de Ouro
Antes de desenvolver a teoria de propagadores, vamos aplicar os resultados até aqui
obtidos. O vetor de estado com correção de primeira ordem da perturbação é dada por
Z t
(+)
(+)
j
(t)i ' j (t)i +
dt1 G0 (t; t1 ) HI (t1 ) j (t1 )i:
1
Podemos considerar o processo de emissão de um elétron atómica pela absorpção de um
fóton dentro desta aproximação. Suponhamos que um elétron esteja num autoestado do
átomo
j (t)i ! e
iEi t
jEi i:
O Hamiltoniano de perturbação é proporcional ao campo eletromagnético a ser absorvido.
Um campo eletromagnético de frequência ! tem a dependência
e
i!t
;
assim, podemos escrever o Hamiltoniano
HI (t) = eEe
i!t
(t)
onde e é a constante de acoplamento eletromagnética e E é a amplitude do campo[2], e o
fator (t) representa que a irradiação iniciou no tempo t = 0.
No instante t, a amplitude de se encontrar o estado, digamos j é dado por
Ai!j (t) = eiEf t hEf j
(+)
(t)i:
Já que
(+)
G0 (t; t1 ) =
temos
j
(+)
(t)i ' e
iEi t
1
jEi i +
i~
1
(t
i~
Z
t1 ) e
iH0 (t t1 )=~
;
t
dt1 e
0
71
iH0 (t t1 )=~
eEe
i!t1
e
iEi t1
jEi i;
e se i 6= j,
Z t
1 iEf t
dt1 e iH0 (t t1 )=~ eEe i!t1 e iEi t1 jEi i
Ai!j (t) = e hEf j
i~
0
Z
1 t
=
dt1 ei(Ef ~! Ei )t1 =~ hEf jeEjEi i
i~ 0
h
i
1
i(Ef ~! Ei )t=~
=
e
1 hEf jeEjEi i:
Ef ~! Ei
A probabildade de se encontrar o estado f é dada por
Pi!f (t) =
1
~!
Ef
Ei
h
ei(Ef
~! Ei )t=~
2
i
1 hEf jeEjEi i :
(139)
Note que este resultado é praticamente idêntica ao da Eq.(??), com a correspondência,
"i0 ! Ei + ~!;
"i ! Ef ;
hijHI ji0 i ! hEf jeEjEi i:
O deslocamento da energia inicial, "i0 ! Ei + ~! neste caso pode ser entendido que a
energia inicial do sistema deve contar não só a energia do elétron, mas também tem que
incluir a energia do fóton que é absorvido. Um outro ponto é que a fórmula Eq.(139) pode ser
utilizado independentemente da natureza do espectro de H0 , degenerada ou não degenerada.
No regime onde a teoria de perturbação dependente no tempo se aplica, a quantidade de
interesse não é a probabilidade de se encontrar o estado …nal j num determinado instante t,
mas sim, a taxa de transição por unidade do tempo: Isto porque, como no caso de transição
de estado de elétron pela irradiação de fóton sobre um amostra que contém muitos elétrons,
esperamos que o número de elétrons observados no estado …nal j deve ser proporcional ao
tempo de irradiação. Se este for verdade, podemos de…nir a taxa de transição
1
Pi!f (t)
t!1 t
!i!f = lim
=
(Ef
~!
Ei ) jhEf jeEjEi ij2 ;
onde
(Ef
~!
1
Ei ) = lim
t!1 t
lim
t!1
Ef
t
(Ef
1
~!
~!
72
Ei
Ei ) :
h
ei(Ef
~! Ei )t=~
i
1
2
com
t (E) =
E
2
sin t
Et
2~
2
t:
Esta função tem a seguinte propriedade,
lim
t
t!1
lim
t!1
(E) = 0; E 6= 0;
(140)
(0) ! 1;
(141)
t
além da constânça da normalização (x = Et=2~),
Z
1
1
Z
2
t (E) dE =
~
2
=
:
~
1
1
1
sin x
x
2
dx
(142)
As três propriedades Eqs.(140,141,142) garantem que
lim
t
t!1
(E) =
2
~
(E) :
Finalmente temos
!i!f =
2
~
(Ef
Ei
~!) jhEf jeEjEi ij2 :
(143)
A expressão Eq.(143) é conhecido como a “regra de auro” para calcular a taxa de transição. A função de delta de Dirac mostra a conservação da energia na ocasião da transição,
inclusive a energia do fóton absorvido. Na seção mais adiante, deduzimos esta fórmula do
ponto de vista mais formal.
E.
Densidade dos estados …nais
A fórmula Eq.(143) mostra que a transição do estado de elétron só occore para o estado
…nal que tem a energia
Ef = Ei + ~!;
(144)
quando absorve um fóton de frequência !. Isto mostra que o fóton de frequência ! tem a
energia ~!, recuperando a relação de Planck.
Por outro lado, pode se estranhar que o valor de taxa ! se torna in…nito para a energia
…nal exatamente igual ao valor dado pela Eq.(144). Vamos considerar a situação em que o
elétron no estado fundamental de um átomo seja emitido fora do átomo pela absorção do
73
fóton. Queremos medir a taxa desta transição do processo acima. Neste caso, o que fazemos
na prática é colocar um (ou vários) detetor(es) que transmite o sinal quando captura um
elétron. Cada detetor tem certa largura de sensibilidade (janela) para o estado do elétron
a ser detetado. Em outras palavras, um detetor deteta não apenas um determinado estado
de elétron, mas não distingue os estados que pertençe a um certo conjunto.
Para descrever a situação mais especi…camente, vamos denotar por
f
o conjunto de todos
os parâmetros que especi…cam o estado …nal do sistema. Por exemplo, para um partícula,
podemos escolher a representação do estado …nal em termos de componentes Carteseanos
do momento …nal da partícula,
= (Px ; Py ; Pz )f ;
f
ou em termos da energia Ef e o vetor ângulo sólido da direção …nal,
= Ef ; ~ f ;
f
ou também o modulo do momento …nal pf e o ângulo,
= pf ; ~ f ;
f
Um determinado detetor captura partícula quando o estado …nal dela entra num intervalo de
destes parâmetros …nais, digamos d
f.
Assim, o que obtemos pelo experimento utilizando
um detetor é a soma das taxas de transição
d!i!
f
=
X
f 2d
!i!f
f
X 2
=
~
f 2d
(Ef
~!) jhEf jeEjEi ij2 :
Ei
f
Nas certas situações, o quadrado do elemento de matriz …nal
jhEf jeEjEi ij2
não varia tanto dentro do intervalo in…nitesimal d
f 2d
f
para os estados,
f;
e podemos considerar constante dentro deste intervalo. Neste caso, tirar o elemento de
matriz a fora da soma e podemos escrever
d!i!
f
=
2
~
(
f) d f
74
jhEf jeEjEi ij2 ;
onde de…nimos a quantidade
(
f) d
X
f
f 2d
e (
f)
(Ef
ET )
f
é chamado de densidade dos estados …nais. ET = Ei + ~! representa a energia total
do sistema.
Vamos considerar um exemplo. Suponha que o estado …nal de uma partícula é no estado
contínuo e especi…cado por
f
= Ef ; ~ f :
Neste caso,
d
f
= dEf d ~ f
e
X
Ef ; ~ f dEf d ~ f
f 2d
=
=
=
=
(Ef
ET )
f
Z
1
~
(Ef ET )
dEf d f d3 p~ (Ep Ef ) 2 ~ p ~ f
(2 ~)3
Z
1
~
(Ef ET )
dEf d f p2 dpd2 ~ p (Ep Ef ) 2 ~ p ~ f
(2 ~)3
Z
1
dp
~
p2
dEd2 ~ p (Ep Ef ) 2 ~ p ~ f
(Ef ET )
3 dEf d f
dE
(2 ~)
1
~ 2 dp (Ef ET ) :
3 dEf d f p
dE
(2 ~)
Utilizando
1 2
p;
2m
1
dEp = pdp;
m
Ep =
temos
p2
p
dp
= m 2mE;
dE
e, portanto,
Ef ; ~ f dEf d ~ f
p
1
~
3 dEf d f m 2mE (Ef
(2 ~)
75
ET ) :
F.
Exemplos de Propagadores
(+)
Vamos calcular explicitamente o propagador G0 (E) para alguns casos conhecidos.
Primeira, vamos estudar o caso de uma partícula livre.
H0 =
1 ~2
P :
2m
Queremos calcular a representação de coordenadas do propagador,
1
(+)
h~r1 jG0 (E + i ) j~r2 i = h~r1 j
E+i
H0
j~r2 i:
Substituindo a completeza em estado de momento linear,
Z
d3 p~ j~pih~pj = 1;
temos
(+)
h~r1 jG0
Z
1
d3 p~ h~r1 j~pih~pj
j~r2 i
E+i
H0
Z
1
1
d3 p~e i~p (~r1 ~r2 )=~
=
3
E+i
p~2 =2m
(2 ~)
Z 1
Z 1
1
2
2
p dp
dxe iprx=~ ;
=
3
2
E+i
p =2m 1
(2 ~) 0
(E + i ) j~r2 i =
onde
r = j~r1
~r2 j ;
x = cos
é o coseno do ânglulo entre os dois vetores, p~ e ~r1 ~r2 . Temos
Z 1
2
1
~
(+)
h~r1 jG0 (E + i ) j~r2 i =
p2 dp
eipr=~
3
2
E+i
p =2m ipr
(2 ~) 0
Z 1
2 ~ 2m
1
=
pdp
eipr=~ :
3
2mE + i
p2
(2 ~) ir 1
e
ipr=~
Esta integral pode ser feita pelo método de residue. O caminho da integral deve ser fechado
com o semi-círclo superior para garantir a convergência no caminho. Os polos sâo
p=
p
2mE + i
e na integral, só contribui o polo,
p
p0 = + 2mE + i :
76
;
Temos
2 ~
(2
1
4
(+)
h~r1 jG0 (E + i ) j~r2 i =
=
2m 2 i p0 ip0 r
e
~)3 ir 2p0
2m
1
eip0 j~r1
2
~
j~r1 ~r2 j
~
r2 j
:
(145)
Exercise 5 A Eq.(136) pode se escrita como
(E + i
(+)
H0 ) G0 (E) = 1:
Expresse esta equação na forma de equação diferencial para a representação de fução de
Green,
(+)
(+)
G0 (~r; ~r0 E)
h~rjG0 (E) j~r0 i:
No caso de um partícula livre, a Eq.(145) é de fato uma solução desta equação diferencial.
X.
DEDUÇÃO FORMAL DO REGRA DE AURO
A.
Matriz S
Vamos introduzir uma quantidade básica para a discussão de processo dinâmica, chamada
de Matriz S. Considere um sistema cujo Hamiltoniano é H0 , aplicamos a perturbação HI
durante o intervalo de tempo, de ti a tf . Isto é, o Hamiltoniano pode ser escrito como
8
>
>
t < ti ;
H0 ;
>
<
(146)
H = H0 + HI ; ti < t < tf ; :
>
>
>
:
H0
t > tf :
Aqui supormos que HI não depende do tempo, por simplicidade e colocamos
caso, o desenvolvimento temporal do sistema no intervalo ti < t < tf é dado por
j (t)i = e
iH(t ti )=~
j
i
(ti )i; ti < t < tf :;
com
H = H0 + HI ;
e
j
i
(ti )i
77
= 1. Neste
é o vetor de estado no tempo t = ti . Sabemos que este estado satisfaz a equação de
Schrödinger,
@
j i (t)i = H0 j i (t)i;
(147)
@t
para t < ti . Aqui, o índice i do vetor j i i especi…ca o estado. Podemos considerar um
i~
conjunto,
fj
i
(t)ig ;
satisfazendo a completeza a cada instante,
X
j i (t)ih i (t) j = 1; t < ti :
(148)
i
Para t > tf , o sistema também satisfaz a mesma equação,
i~
@
j (t)i = H0 j (t)i; t > tf ;
@t
e portanto, podemos introduzir uma base completa,
fj
tal que
X
f
j
f
(t)ih
f
f
(t)ig ;
(t) j = 1; t > tf :
Podemos expandir o estado j (t)i nesta base no instante t = tf ,
X
j (tf )i =
j f (t)ih f (t) j (t)i
f
=
X
f
=
X
f
f
(tf )ih
j
f
(tf )i Uf i (tf ; ti ) :
f
(tf ) je
iH (tf ti )=~
j
j
i
(ti )i
Aqui,
Uf i (tf ; ti ) = h
f
(tf ) je
iH (tf ti )=~
j
i
(ti )i
(149)
é a amplitude total de transiçao do estado i para f como consequência da aplicação da
perturbção HI durante o intervalo de tempo T = (tf
ti ).
Como vimos na seção anterior, para calcular a taxa de transição de um estado estacionário, é necessário tomar os limites T ! 1, ou equivalentemente
ti !
1;
tf ! +1:
78
A taxa de transição é de…nida como
1
!i!f = lim
ti ! 1
tf !+1
(tf
ti )
jUf i (tf ; ti )j2 :
De…nimos a matriz S como a matriz asintótica do operador U ,
1
0
@ lim A Uf i (tf ; ti ) :
Sf i
(150)
ti ! 1
tf !+1
O limite deve ser tomado sempre no …nal no nível de observável.
Note que a matriz U aqui é essencialmente o propagador G(+) ,
Uf i (tf ; ti ) = i~G(+) (tf
já que tf
ti ) ;
ti > 0, só que aqui o Hamiltoniano contém a parte perturbativa,
H0 ! H = H0 + HI :
Na analogia no caso de H0 , vamos introduzir a transformada de Fourier da Função de Green,
G(+) ( ), com
t0 ,
t
(+)
G
Z
(E + i )
+1
d G(0) ( ) e+i(E+i
) =~
=
1
1
E + i
H
(151)
;
e inversamente,
(+)
G
( )
1
2 ~
Z
+1
dEG(E) e
iE
1
=
1
2 ~
Z
+1
dE
1
E + i
A)
1
;
A
1
H
e
iE =~
:
(152)
Utilizando a identidade
1
1
1
= +
(B
A
B B
(153)
podemos escrever,
1
E+i
H
=
1
E+i
H0
+
1
E+i
H0
HI
1
E+i
Podemos então estabelecer a relação entre o progador perturbado
G(+) (E) =
1
E + i
H
1
E + i
H0
;
e o propagador não pertubado
(+)
G0 (E) =
79
H
:
(154)
como
(+)
(+)
G(+) (E) = G0 (E) + G0 (E) HI G(+) (E):
(155)
A Eq.(155) pode ser resolvida formalmente para G(+) (E) supondo que o segunte procedimento de recorrência converge,
(+)
(+)
G(+) (E) = G0 (E) + G0 (E) HI G(+) (E)
n
o
(+)
(+)
(+)
= G(+) (E) + G0 (E) HI G0 (E) + G0 (E) HI G(+) (E)
(+)
(+)
= G(+) (E) + G0 (E) HI G0 (E)
n
o
(+)
(+)
(+)
(+)
+ G0 (E) HI G0 (E) HI G0 (E) + G0 (E) HI G(+) (E)
=
Se este procedimento converge, então, podemos escrever
(+)
G
(E) =
1
X
(G0 (E)HI )n G0 (E)
(156)
n=0
ou também
(+)
G
1
X
(E) = G0 (E)
(HI G0 (E))n
(157)
n=0
ou ainda
G(+) (E) =
1
G0 (E):
G0 (E)HI
1
(158)
Uma outra forma importante é
G(+) (E)
(+)
(+)
(+)
G0 (E) + G0 (E) T (E) G0 (E);
(159)
onde introduzimos um novo operador T (E) por
T (E) =
1
X
(HI G0 (E))n HI :
(160)
n=0
e este é chamado a matriz de espalhamento.
Podemos veri…car que
G(E) HI = G0 (E) T (E);
(161)
T (E) = HI + HI G0 (E) T (E):
(162)
e
80
Agora, substituindo Eq.(159), na de…nição da matriz S, temos
Z +1
i
(+)
Sf i = t lim
hf (tf ) j
dE e iE [G0 (E) + G0 (E) T (E) G0 (E) ]ji (ti )i
!+1
f
2
1
t ! 1
(163)
i
onde
= tf
tf . Vamos considerar o processo estacionário, ou seja, escolhemos que os
estados iniciais e …nais como os autoestados do Hamiltonoano H0 .
iEi ti =~
j i (ti )i = e
iEf tf =~
j f (tf )i = e
j Ei i;
(164)
j Ef i:
(165)
Neste caso, a Eq.(163) …ca
Z
i
Sf i = t lim
!+1
f
2
t ! 1
i
=
lim
t !+1
f
ti ! 1
=
lim
tf !+1
ti ! 1
i
2
+1
dE ei(E
Ei )ti =~
i(E Ef )tf =~
e
1
Z
+1
hEf j [G0 (E) + G0 (E) T (E) G0 (E) ] jEi i
dE ei(E
Ei )ti =~
i(E Ef )tf =~
e
1
1
hEf j [
E+i
Z +1
i
dE ei(E
2
1
hEf j [
1
E+i
H0
+
Ei )ti =~
Ei
1
E+i
H0
E+i
H0
1
E+i
Ei
] jEi i
i(E Ef )tf =~
e
+
1
T (E)
1
E+i
Ef
T (E)
] jEi i
(166)
Agora, na regime asimtótica, podemos utilisar as fórmulas,
e i(x a)t
t!+1 x
a+i
+i(x a)t
e
lim
t! 1 x
a+i
lim
=
2 i (x
a) ;
(167)
=
2 i (x
a) :
(168)
Após a pouca algebra, temos …nalmente,
Sf i = hEf jEi i
2 i (Ef
Ei ) hEf j T (Ei ) j Ei i:
(169)
A matriz S tem uma propriedade importante. Como ela é essencialmente o operador de
deslocamento no tempo U (ti ! tf ) que é unitário, a matriz S é unitária. Temos
X
Si0 f Sf i =
f
81
i0 i ;
o que representa básicamente a conservação da probabilidade durante o processo de espalhamento. Esta propriedade pode ser utilizada para obter o teorema ótico (Ver o exercício
posterior).
Exercise 6 Mostre as Eqs.(156,(157 e (158.
Exercise 7 Mostre as Eqs.(159) e (160).
Exercise 8 Prove as relações (168) e (167).
Exercise 9 Mostre a Eq.(169).
A Eq.(163) é a relação fundamental entre a matriz S e a matriz de espalhamento T ,
que por sua vez explicita a relação entre a matriz S e a função de Green do sistema. A
probabildade de transição Pi!f (i 6= f ) …ca em termos de matriz T ,
Pi!f = j 2 i (Ei
Ef )hEf jT (E)jEi ij 2 = (2 )2 (0) (Ei
Ef ) j hEf jT (E)jEi ij 2 :
(170)
Aqui, rigorosamente falando, a quantidade (0) não é de…nida matematicamente. A razão
da aparência deste objeto estranho é que estamos calculando a “probabilidade" de transição
entre dois estados estacionários. Num estado estacionário, a integral da probabilidade de
transição no intervalo de tempo in…nito (t ! +1 ; t0 !
1) naturalmente diverge. Para
os estados estacionários, somente a taxa de transição teria sentido, e não a probabilidade
total. Uma maneira correta de evitar este problema é utilizar os pacotes de ondas no lugar
de auto-estados exatos de energia. Entretanto, este método envolve cálculos trabalhoso e
perde a visão. Podemos evitar esta complicação com o seguinte argumento heurístico.
0
1
Z tf
@
A
2 ~ (E = 0) = lim
lim
dte i(Ef Ei )t=~
(171)
t !+1
0
onde tf
Ef !Ei
1
A
= @ t lim
!+1
f
ti ! 1
f
ti ! 1
Z
tf
ti
ti
0
1
A (tf
dt e0 = @ t lim
!+1
f
ti ! 1
ti ) :
(172)
ti pode ser interpretado como o intervalo de tempo total para o qual o regime
estacionário seja estabelecido. Consequentemente, a taxa de transição do estado i para o
estado f , !i!f é dada por
!i!f
lim Pi!f = (tf
tf !+1
ti ! 1
ti ) =
82
2
(Ei
~
Ef )j hEf jT (E)jEi ij 2 :
(173)
Exercise 10 Sejam
H0 j
Ei
= E j
Ei
;
(174)
H j
Ei
= E j
Ei
:
(175)
e
Mostre que
j
Ei
= j
Ei
+
1
E+i
H0
HI j
Ei
:
(176)
(Equação de Lippmann–Schwinger).
Exercise 11 Prove que
HI j
B.
Ei
= T (E) j
Ei
:
(177)
Espalhamento Não Relativístico por Um Potencial
Vamos aplicar o formalismo para calcular a seção de choque no caso de espalhamento de
uma partícula não relativ¬stica com massa m, energia Ei , por um potencial, V (~r). Neste
caso,
H0 =
P~ 2
2m
(178)
(179)
HI = V (~r) ;
Representamos o estado incidente por um onda plana
j Ei i = j ~ki i
(180)
P~ j ~ki i = ~ki j ~ki i;
(181)
H0 j ~ki i = Ei j ~ki i
(182)
que naturalmente satisfaz
com
~ki 2
= Ei
2m
Introduzimos a base de coordenada, f j~rig, com a normalizaçao,
Z
d3~r j ~rih~r j = 1 ;
h~r j ~r 0 i =
83
3
(~r
~r 0 ):
(183)
(184)
(185)
Fixamos a normalização dos estados de onda plana por
~
h~r j ~k i = e+ik ~r=~ :
(186)
Isto é, estamos normalizando o estado de onda plana por densidade. Neste caso, temos,
Z
0
h~k j ~k i =
d3~rh~k j ~ri h~r j ~k 0 i
(187)
= (2 ~)3
3
(~k
~k 0 ):
(188)
A condição de completeza …ca,
1
(2 ~)3
Z
d3~k j ~ki h~k j = 1 :
(189)
Note que a equação acima indica que a soma sobre os estados de momentos deve ser efetuada
em termos de integral sobre ~k com o fator 1=(2 ~)3 ,
X
i
1
!
(2 ~)3
Z
d3~k
(Sem o fator de volume V ) :
(190)
Com esta normalização do estado de momento, o ‡uxo incidente …ca
=
ki
;
m
(191)
já que a densidade é normalizada por um. Podemos calcular a seção de choque diferencial,
somando sobre todos os estados …nais, dividida pelo ‡uxo.
Z
X
d
1
2
!i!f = =
=
d3~k 2 ( ~ f ~ k )
(Ei
3
d
(2
~)
~
ff g
Ef ) j h~kf jT (Ei )j ~ki i j
2
( f= )
=
(
1
2m
) ( 2 ) h~kf jT (Ei )j ~ki i
4
~
2
(192)
:
Esta é a fórmula que estabelece o relacionamento entre a seção de choque e o elemento da
matriz de espalhamento T (E).
C.
Uso da Equação de Lippmann-Schwinger
A expressão (192) pode ser obtida pela Equação de Lippmann–Schwinger, Eq.(176
j
Ei
= j
Ei
+
1
E+i
84
H0
HI j
Ei
(193)
Aqui, identi…camos
j
ej
Ei
j ~ki i
Ei
(194)
representa o estado estacionário do sistema com a interação. A representação desta
equação em coordenadas …ca
h~r j
Ei
= h~r j ~ki i + h~r j G0 (E) HI j
Ei
(195)
= h~r j ~ki i + h~r j G0 (E) T (E) j ~ki i;
(196)
onde utilizamos a propriedade da matriz T ,
HI j
Ei
= T (E) j
E i:
Em termos da função de onda (a representação em coordenadas), temos
Z
i~ki ~
r
r) = e
+
d3~r 0 h~r j G0 (E) j ~r 0 i h~r 0 j T (E) j ~ki i
E (~
(197)
Já vimos que a representação de coordenadas da função de Green para partícula livre G0 (E)
é dada pela Eq.(145),
h~r j G0 (E) j ~r 0 i =
1
1 2m
( 2)
e+ikj~r
4 ~ j~r ~r 0 j
~
r 0 j=~
;
(198)
e podemos executar a integral em relação a ~r 0 na Eq.(197), se sabemos a dependência do
elemento de matriz
h~r 0 j T (E) j ~ki i;
mas isto só é possível quando especi…car o potencial V (~r). Mas no caso de um potencial de
alcance …nito, a contribuição do fator h~r 0 j T (E) j ~ki i ao integrando se torna nula fora deste
alcance.
h~r 0 j T (E) j ~ki i =
6 0; j~r 0 j < R;
onde R é o alcance do potencial. Deste modo, a integral em ~r
alcance do potencial,
Z
Z
3 0
0
0
d ~r h~r j G0 (E) j ~r i h~r j T (E) j ~ki i !
j~
r 0 j<R
85
(199)
0
…ca limitada dentro do
d3~r 0 h~r j G0 (E) j ~r 0 i h~r 0 j T (E) j ~ki i
Assim, para j ~r j su…cientemente grande, podemos sempre considerar que j ~rj
j ~r0 j. Neste
limite, podemos utilizar a fórmula,
j~r
q
~r j = j~r
p
= r2
~r 0 j2
0
2rr0 cos + r02
r0
cos
r
'r 1
=r
r0 cos ;
e a funcão de Green G0 (E) acima tem a forma assintótica,
h~r j G0 (E) j ~r 0 i
!
1 2m 1 +ikr=~
(
) e
e
4 ~2 r
ik^
r~
r 0 =~
(200)
onde r^ é o vetor unitário na direção do ~r.
De…nindo o vetor ~kf por
~kf
(201)
k^
r
a forma assintótica da Eq.(193) …ca,
Z
1 2m 1 +ikr=~
0
~
r) !0 e
( 2) e
d3~r 0 e ikf ~r =~ h~r 0 j T (E) j ~ki i
E (~
r r
4 ~ r
Z
1 2m 1 +ikr=~
i~ki ~
r
=e
(
) e
d3~r 0 h~kf j ~r 0 i h~r 0 j T (E) j ~ki i
4 ~2 r
1 2m 1 +ikr=~ ~
~
= eiki ~r~
(
) e
hkf j T (E) j ~ki i
4 ~2 r
i~ki ~
r=~
(202)
Esta tem a forma,
r)
E (~
~
' eiki ~r~ +
1 +ikr=~
e
f( ; )
r
(203)
Com esta expressão, …ca claro que a função de onda do sistema no estado estacionário é
composta de uma onda plana incidente (primeiro termo) e de uma onda esferica emergente
(segundo termo) com a amplitude de espalhamento que depende de ângulos e energia do
momento …nal ~kf . A amplitude de espalhamento f ( ; ) é de…nida por
f( ;
) =
1 2m ~
(
) hkf j T (E) j ~ki i:
4 ~2
(204)
Note que a seção de choque diferencial é também dada como a razão entre o ‡uxo emergente
e o ‡uxo incidente
~j (~r)
b
d
out r
(b
r) =
:
d
~j (~r)
in
86
(205)
Os ‡uxos podem ser obtido da forma usual da expressão de corrente da probabilidade,
~j = ~ f
2im
r
r
g:
Temos …nalmente
d
d
2
= j f( ;
1 2m ~
(
) hkf j T (E) j ~ki i :
4 ~2
2
)j =
(206)
o que é idêntico a Eq.(192).
Exercise 12 Da Eq.(205) obtenha a Eq.(206).
Exercise 13 Em certas situações, podemos aproximar a matriz T (E) por V (aproximação
de Born de 1a ordem ). Discuta a validade desta aproximação.
Exercise 14 Refaça todas as contas desta sessão quando a função de onda incidente é
normalizada por
1
h~r j ~ki =
1=3
~
e+ik ~r
V
e veri…que quais expressões …cam independentes da normalização.
(207)
Exercise 15 Calcule, na aproximação de Born de 1a ordem, a seção de choque diferencial
e total para o potencial de Yukawa,
V (~r) =
onde g e
g2
e
4 r
r
(208)
são constantes.
Exercise 16 Utlizando a propriedade unitária da matriz S, prove o Teorema Ótico,
T ot
=
4
Im f (0; 0)
ki
(209)
onde Im (X) representa a parte imaginária da quantidade X.
D.
Simetria do Sistema e Dinâmica na Matriz S; Potencial Central e Ondas Par-
ciais
Como vimos, a
de Dirac em relação a energia sempre existe para os processos esta-
cionários, representando a conservação da energia. Assim, é interessante de…nir a matriz S
na camada de energia, por
Sf i = (Ef
87
Ei ) S f i (E)
(210)
para os processos estacionários.
Para explicitar a camada de energia, podemos introduzir a base como produto direto de
autoestado da energia E e os outros números quânticos, ;
fjE; ig = fjEi
j ig :
Nesta base, da Eq.(169), esta matriz S na camada de energia é relacionada com a matriz de
espalhamento T (E) por
S f i (E) = hf jii
2 ihf jT (E)jii;
(211)
ou como operador no espaço de fj ig,
S(E) = 1
2 ihf jT (E)jii
(212)
O papel da simetria do sistema também tem um papel importante na sua dinâmica e,
portanto, se re‡ete nas propriedades do propagador. Vamos considerar um exemplo onde
o sistema tem simetria esférica, mesmo com a perturbação. Isto acontece, por exemplo, no
processo de espalhamento por um potencial esfericamente simetrico. Neste caso, temos
H = H0 + HI ;
com
h
i
~
H0 ; J = 0;
h
i
HI ; J~ = 0;
e naturalmente
h
i
H; J~ = 0:
Como a Matriz S é essencialmente o operador de deslocamento no tempo,
S
U =e
iH (tf ti )=~
;
~ Em outras palavras, se utilizamos a base dos autoestados de
ela também comutaria com J.
momento angular, fj ig = fjj; mig, a matriz S deve …car diagonal.
Sf i = lim hEf ; jf mf ; tf jU (ti ; tf )j Ei ; ji ; mi ; ti i
tf !1
ti ! 1
/ (Ef
Ei )
jf ji m f m i :
88
Além disto, pela Lema de Schur, a matriz S …ca proporcional a identidade num subespaço
de j …xo. Assim, temos
hjf ; mf jS(E)jji ; mi i = S (j) (E)
(213)
jf ji m f m i :
Para o processo de espalhamento de uma partícula sem spin através de um potencial esférico,
os vetores fj`; m; Eig constituim uma base completa, onde escrevemos
j ! `;
pois o momento angular vem do movimento orbital e portanto deve ser um inteiro. Neste
caso, S (j) (E) é apenas um número e pela propriedade unitária da matriz S, temos
S (j) (E) = 1:
(214)
Assim, podemos escrever
S (`) (E) = e2i
onde
`
` (E)
(215)
;
(E) é um número real. O fator 2 foi incluido pela conveniência, o que vai ser
esclarecido mais adiante. Utilizando a relação entre S (E) e T (E), Eq.(212) temos
hjf ; mf jT (E)jji ; mi i =
jf ji mf mi
1
1
2 i
ei2
` (E)
;
(216)
ou equivalentemente
T (E) =
X
`;m
j`; mi
1
1
2 i
ei2
` (E)
h`; mj:
(217)
A conlcusão acima mostra que o processo de espalahamento de uma partícula sem spin
por um potencial esfericamente simétrico é descrito completamente quando sabemos a função
`
(E) : Esta função é chamada de deslocamento de fase por razão a ser esclarecida logo em
seguida. Desta forma, a descrição do processo de espalhamento …ca mais otimizada quando
utiliza-se a base de autoestado de momento angular. Temos
h~kf jT (E) j~ki i =
X
1
h~kf j`; mi
1
2 i
`;m
X 1
1
=
2 i
`
onde utilzamos a relação
j~ki =
ei2
i2 ` (E)
e
r
(2 ~)3
` (E)
(2 ~)3 X
Y`m ~ ~kf Y`m ~ ~ki :
mk m
dE
jEi
k 2 dk
89
h`; mj~ki i
j~ k i
(218)
e portanto, na camada de energia E, temos
s
h~kj`; mi !
(2 ~)3
Y`m ~ ~k :
mk
Por outro lado, o estado incidente de um onda plana não é um autoesado de momento
angular. Podemos então expandir o estado de onda plana na base de autoestado de momento
angular e o autoestado da energia,
j~ki i =
X
`;m
E
jE; `; mi:
C`m
(219)
A representação em coordenadas desta função …ca
h~rj~ki i =
=
X
`;m
X
E
C`m
h~rjE; `; mi
E
C`m
R`E (r) Y`m ~ ~r ;
`;m
onde ~ ~r representa o vetor unitário na direção de ~r. Já vimos que esta corresponde a fórmula
da expansão de uma onda plana em termos de harmonicos esfêricos,
e
i~ki ~
r=~
=
1
X
(2` + 1) i` j` (ki r=~) P` (cos )
`=0
=4
1
X
i` j` (ki r=~)
X
Y`m ~ ~r Y`m ~ ~ki :
(220)
m
`=0
Vamos considerar o comportamento asintótico desta função quando j~rj ! 1. Isto é,
observamos a função de onda estacionária bem longe do centro espalhador. Utilizando a
forma asimtótica da função de Bessel esférica,
~
`+1
cos kr=~
kr
2
~ h i(kr=~ `+1
) + e i(kr=~
2
=
e
2kr
j` (kr=~) '
`+1
2
i
) ;
temos
~
eiki ~r ' 4
X
`
i`
~ h i(kr=~
e
2kr
`+1
2
) + e i(kr=~
`+1
2
)
iX
m
90
Y`m ~ ~r Y`m ~ ~ki :
(221)
Substituindo as Eqs.(218) e (221) na Eq.(202), e lembrando que temos
iX
X ~ h
`+1
`+1
ei(kr=~ 2 ) + e i(kr=~ 2 )
Y`m ~ ~kf Y`m ~ ~ki
i`
E ' 4
2kr
m
`
(2 ~)3 X
1 2m 1 +ikr=~ X 1
( 2) e
1 ei2 ` (E)
Y`m ~ ~kf Y`m ~ ~ki
4 ~ r
2
i
mk
m
`
iX
X ei 2 ` h
`+1
`+1
Y`m ~ ~kf Y`m ~ ~ki
e i(kr=~ 2 ) + ei2 ` (E) e+i(kr=~ 2 )
=4 ~
2kr
m
`
i
X ei 2 ` h
`+1
`+1
=4 ~
(222)
e i(kr=~ 2 ) + ei2 ` (E) e+i(kr=~ 2 ) (2` + 1) P` (cos ) :
2kr
`
Podemos interpretar este resultado da seguinte forma. A soma em ` representa a decomposição do estado estacionário
E
em termos de autoestado de momento angular orbital `.
O componente da função de onda para momento angular ` é chamado de onda parcial-`.
O primeiro termo na chave [] representa a onda esférica convergente. O segundo termo é a
onda esférica divergente. Assim, a função de onda tem a estrutura,
X (in)
(out)
;
E =
E;` + S` E;`
`
isto é, a onda estacionária é a soma da onda convergente e a onda divergente correspondente,
alterada pela aplicação da matriz S. Se não existe o potencial,
`
(E) = 0;
e, portanto,
S` = 1;
e a Eq.(222) recupera a forma asintótica da onda plana. Para uma dada onda parcial-`, o
efeito do potencial desloca a fase da onda divergente em relação ao caso da partícula livre
(sem potencial).
e+i(kr=~
`+1
2
) ! e+i(kr=~
`+1
2
+2
`
):
A onda parcial-` tem a forma,
i
~ei 2 ` ei ` h i(kr=~ 2` + ` )
+i(kr=~ 2` + ` )
`
e
4
i
e
(2` + 1) P` (cos )
E
2kr
~ei 2 ` ei `
`
sin kr=~
+ ` (2` + 1) P` (cos ) :
= 4
kr
2
Comparando a expressão acima no caso de sem potencial (
`
= 0 ), a única diferença é o
deslocamento de fase da função de onda radial na região asintótica (r ! 1), como se ver
na …gura abaixo.
91
δ>0
r
Para
> 0, a função de onda radial …ca deslocado a origem pela fase , como se fosse o
potencial “puxa”a função de onda para dentro. Para
< 0, a situação é contrária,
δ<0
r
o efeito do potencial “empurra”a função de onda para a fora. Em geral, quando o potencial
é atrativo, temos
> 0 e quando o potencial é repulsivo,
< 0.
A decomposição de função de onda em ondas parciais é equivalente a seguinte expansão
da amplitide de espalhamento em termos de polinômios de Legendre,
1
~ X
f( ; )=
(2` + 1) e2i
2ik `=0
=
l
1 P` (cos )
~X
(2` + 1) ei ` sin ` P` (cos ) :
k `=0
1
92
(223)
(224)
A seção de choque diferencial,
d
d
= jf ( )j2
não …ca numa soma simles de ondas parciais, mas a seção de choque total …ca
Z
d
= d
d
4 ~2 X
= 2
(2` + 1) sin2 ` ;
k
`
(225)
isto é a soma das seção de choque de ondas parciais,
=
X
`;
`
onde
`
1.
4 ~2
= 2 (2` + 1) sin2 ` :
k
Parâmetro de Impacto
A expressão Eq.(225) fornece uma interpretação interessante. Classicamente a seção
de choque diferencial é dada pela área de feixe incidente correspondente ao intervalo do
paramêtro impacto [b; b + db]
d = 2 bdb:
Por outro lado, o momento angular é dado por
~L = bki ;
portanto,
d
Classico
=2
2
~
k
=
~
k
!
~
k
LdL
2
~2
dL
2
(2` + 1) ;
onde na última linha, usamos que
L2 = ` (` + 1) ;
d` ! 1:
93
A seção de choque total …ca
Classico
~
k
=
2
X
(2` + 1) ;
`
o que lembra a Eq.(225). Desta forma, a fora do fator
4 sin2 ` ;
que vem essencialmente o efeito quântico, a soma das ondas parciais corresponde a integral
em parâmetro de impacto. De fato, a função Bessel esferica j` (kr=~) que representa a função
de onda incidente tem máximo justamente quando
p
~ ` (` + 1)
:
r'b=
k
E.
Propriedade Analítica de Matriz S, polos e resonâncias
Frequentemente os dados experimentais de seção de choque manifestam picos agudos
como função da energia incidente, que chamamos de ressoâncias (as ressonâncias se referem
aos picos da seção de choque como função da energia incidente, e não aos picos em fução de
parametros de estados …nais, tipo difração). As ressonâncias são intimamente ligadas aos
estados quase ligados do sistema, e fornecem importantes informações sobre o Hamiltoniano
do sistema. Para ver isto, lembramos que a amplitude de espalhamento é proporcional ao
elemento de matriz T ,
T (E) = HI + HI
1
E+i
H
(226)
HI
onde o primeiro termo é chamado o termo de Born e em geral não possui o comportamento
ressoante, ou seja, a dependência em energia aguda. A contribuição para ressonâncias vem
do segundo termo. Por esta razão, e para simpli…car o argumento, omitimos a contribuição
de Born na discussão do comportamento ressoante da seção de choque aqui.
Pelo teorema ótico, a seção de choque total é proporcional à parte imgaginária da amplitude de espalhamento na direção dianteira,
fE
f ( = 0;
= 0)
=m [ h~ki j HI
onde o termo de Born foi omitido. Seja f j
Ej
94
1
E+i
H
HI j ~ki i ];
(227)
i g o conjunto completo dos auto-estados de
H. Utilizando a completeza destes estados, podemos escrever
h~ki j HI
1
E+i
H
HI j ~ki i =
=
X
h~ki j HI j
Ej
fEj g
X
j
j
E+i
Ej
i
1
E+i
Z
+
Ej
dE
E 0 >0
h
0
Ej
j HI j ~ki i
(E 0 )
E+i
E
0
(228)
onde
j
(E 0 )
j h~ki j HI j Ej i j 2 ;
X
j h~ki j HI j Ej i j
(229)
2
(230)
j;Ej =E 0
e na última linha da Eq.(228), separamos a contribuição dos estados discretos da energia
dos estados contínuos. Podemos ver assim que se a energia incidente E coincidisse com
um dos autovalores discretos, Ej , f divergiria. Mas, isto não acontece nos procecessos de
espalhamento, pois os autovalores discretos da energia são dos estados ligados e em geral
menores que 0, enquanto o valor da energia incidente para um processo de espalhamento
é positivo. De qualquer forma, se consideramos a amplitude de espalhamento como uma
função matemática da variável E, estendendo seu domínio em E até valores complexos,
a amplitute terá os polos nos valores dos auto-estados de energia do sistema. A integral
do segundo termo da Eq.(228) mostra que há um corte no eixo real positivo. A estrutura
analítica da amplitude de espalhamento como uma função de variável complexa E é ilustrada
na Figura abaixo.
A Eq.(228) lembra o teorema integral de Cauchy,
I
1
f (z 0 )
f (z) =
dz 0 0
;
2 i D
z
z
(231)
onde f é uma função analítica em z, exceto por singularidades isoladas, no domínio D. De
fato, se a amplitude f (E) é uma função analítica em E exceto nos polos e cortes indicados
na …gura, podemos escrever
1
f (E) =
2 i
I
D
dE 0
f (E 0 )
;
E0 E
(232)
onde o domínio D é ilustrado na Fig.2. Supondo que f (E) decresça rapidamente para
j E j ! 1 de tal maneira que a contribuição para a integral sobre o círculo grande se
95
torna nula, temos
Z 1
1
f (E 0 + i )
f (E 0 i )
f (E) = polos +
dE 0 [ 0
]
2 i 0
E +i
E
E0 i
E
Z
X Rj
=mf (E 0 )
1
+
dE 0 0
=
E Ej
E +i
E
E 0 >0
j
(233)
onde Rj são resíduos das singularidades discretas. Em particular, se utilizamos a condição
de unitaridade para a matriz T,
1
[T y (E)
2 i
X
T (E) ] = T y (E)f
j;Ej =E
j
ji
h
j
j g T (E)
(234)
vemos a equivalência das Eqs.(74) e (70). A Eq.(74) é chamada relação de dispersão. É
importante lembrar que na Eq.(70), nenhuma propriedade da Equação de Schrödinger foi
utilizada. Os únicos elementos básicos para estabelecer a relação de dispersão são a analiticidade e unitaridade da amplitude de espalhamento. Os polos (e seus resíduos) e a parte
imaginária são imediatamente relacionados aos observáveis. Desta forma, a relação de dispersão é utilizada para discutir as propriedades gerais da amplitude de espalhamento sem
depender do modelo especí…co. Em termos de função analítica de E, os auto-estados do sistema ( i.e, os estados ligados ) se manifestam como os polos da amplitude de espalhamento
no eixo real. Além destes polos, a amplitude pode ter outros polos. Quando um polo está
bem próximo do eixo real,
R
; Epolo = ERes
E Epolo
sendo ERes > 0 e R é o resíduo. Então, para E
i
(235)
2
ERes , a amplitude f (E) pode ser
aproximada por
R
f (E)
E ERes + i =2
Assim, a seção de choque total perto desta energia se comporta como
tot
=
4
=m f (E)
ki
4 R
ki (E
=2
ERes )2 +
2 =4
(236)
(237)
que é a fórmula de Breit–Wigner da ressonância de um nível.
F.
Decaimento de um Estado Quase ligado
O polo da amplitude que contribui para a ressonância é o polo do propagador do sistema,
G(E). Para compreender o signi…cado físico deste polo, vamos estudar o desenvolvimento
96
do estado preparado inicialmente no estado j 0 > cuja energia está perto do estado de
ressonância. No tempo t, este estado é dado por
Z
i
+
j (t)i = U (t; 0)j 0i =
2
+1
dE G(E) e
1
iEt
j 0i:
A probabilidade do sistema permanecer no estado inicial j 0 > é dada por
Z +1
i
2
P (t) = j h0j (t)i j = j
dE < 0jG(E)j0 > e iEt j 2 :
2
1
(238)
(239)
Se o estado está perto de ressonância, podemos aproximar a quantidade h0jG(E)j0i por
R
h0jG(E)j0i
E
ERes + i =2
:
(240)
Substituindo esta aproximação na Eq.(80), temos
P (t)
Re
t
:
(241)
Isto é, a probabilidade decresce exponencialmente no tempo, indicando que este estado decai
em tempo com a vida média
t1=2 = ln 2 =
:
(242)
Assim, estabelecemos a relação entre a vida média de um estado quase ligado e a largura da
ressonância. Qualitativamente falando, a reação ressonante é interpretada como a formação
do estado quase ligado, e este estado sobrevive num certo intervalo de tempo e decai nos
estados …nais. A vida média deste estado intermediário está de acordo com o Princípio da
Incerteza,
t
E ' ~:
(243)
A característica do decaimento de um estado ressonante é que, exceto os números quânticos
conservados, a perda das informações contidas no estado inicial. Por exemplo, se duas
partículas sem spin espalham através de um estado ressonante, a distribuição angular …caria
isotrópica.
Podemos calcular a energia da ressonância e sua largura, aplicando a teoria de perturbação. Até a segunda ordem em HI , temos
G(E) = G0 (E) + G0 (E) HI G0 (E) + G0 (E) HI G0 (E) HI G0 (E)
97
(244)
Com isto, temos
h0 j G(E) j 0i = h0 j G0 (E) j 0i + h0 j G0 (E) HI G0 (E) j 0i
+ h0 j G0 (E) HI G0 (E) HI G0 (E)j 0i
2
3
2
X
j h0 j HI j li j 5
1
4 E E0 + h0 j HI j 0i +
(245)
=
2
(E E0 )
E+i
El
flg
No último termo, podemos usar a fórmula,
1
E+i
= Pr
El
1
E
El
+
i (E
(246)
El ):
onde Pr representa a parte principal. A Eq.(245) …ca
h0 j G(E) j 0i =
X
1
[E
E
+
h0
j
H
j
0i
+
i
j h0 j HI j li j 2 (E El ) (247)
0
I
2
(E E0 )
flg
Na Eq.(247) a contribuição da parte principal foi desprezada, pois esta é a correção da
segunda ordem na parte real do deslocamento em energia. Dentro da mesma apro-ximação,
temos
1
= (E
< 0 j G(E) j 0 >
E0 )
"
1 +
< 0 j HI j 0 > + i
P
flg
E
2
j < 0 j HI j l > j
(E
E0
(248)
'E
E0
< 0 j HI j 0 >
i
X
flg
j < 0 j HI j l > j
2
(E
El ):
(249)
Assim, podemos identi…car os parâmetros da Eq.(240) por
ERes = E0 + < 0 j HI j 0 > ;
X
= 2
j < 0 j HI j l > j
(250)
2
(E
El ) ;
(251)
flg
e o resíduo R é um. Note que a largura é igual à soma das taxas de transições sobre todos
os estados (cf. a regra de ouro).
Exemplos
98
El )
#
1
XI.
ESPALHAMENTO POR POTENCIAL “ESFERA RIGIDA”
Consideramos o problema de espalhamento de uma partícula com massa m pelo potencial
de ”esfera rigida”,
8
< 1; r a
V =
:
: 0 r > a:
Vamos obter a seção de choque diferencial. No caso da Macânca Clássica, temos
1
= a2 :
4
d
d
Para resolver este problema, o tratamento de ondas-parciais é conveniente. Uma das vantagens da abordagem de ondas parciais é que dependendo da energia incidente, apenas número
…nito de ondas parciais são relevantes. No limite de baixa energia, apenas onda S contribui
para a seção de choque. Como vimos, para obter a seção de choque, devemos calcular a
defasagem,
`
para o momento angular `. A seção de choque diferencial é dada por
d
d
com
f( )=
e a seção de choque total
1X
(2` + 1) ei ` sin ` P` (cos ) ;
k `=0
1
=
onde
= jf ( )j2 ;
4 X
(2` + 1) sin2 ` ;
k2 `
k=
r
(252)
(253)
2mE
~2
e E é a energia incidente.
A defasagem
`
pode ser obtida pela a solução de equação de Schrödinger radial,
~2 1 d2
~2 ` (` + 1)
r
+
+ V (r) R (r) = ER (r) :
2m r dr2
2m r2
(254)
Esta equação tem a forma,
~2 d2 (r)
+ Vef f (r) (r) = E (r) ;
2m dr2
(255)
onde
Vef f (r) = V (r) +
(r) = rR (r) :
99
~2 ` (` + 1)
;
2m r2
(256)
(257)
Para r ! 1; isto é, para r tal que
~2 ` (` + 1)
2m r2
E;
a Eq.(255) …ca asintoticamente
~2 d2 (r)
' E (r) ;
2m dr2
e sua solução pode ser escrita na forma,
' A sin kr
Aqui, a defasagem
`
`+
`
:
é um parâmetro e não pode ser determindada pelo somente na região
asintótica. Para saber
Para r
2
`,
precisa saber a solução da Eq.(255) com a condição de contorno.
a; a Eq.(254) …ca
~2 1 d2
~2 ` (` + 1)
r
+
R (r) = ER (r)
2m r dr2
2m r2
ou
` (` + 1)
2
R00 + R0 + k 2
R = 0;
r
r2
que é a equação de Bessel esferica. Portanto, a solução pode ser escrita como uma combinação linear de duas soluções linearmente independentes,
R (r) = Aj` (kr) + Bn` (kr) :
A fora da normalização, os coe…cientes A e B devem ser determinados para satisfazer a
condição de contorno,
R (r = a) = 0;
pois para r < a, V ! 1. Temos
Aj` (ka) + Bn` (ka) = 0;
e consequentemente temos
R (r) = C fn` (ka) j` (kr)
j` (ka) n` (kr)g :
A forma asintótotica desta função …ca
`
1
n` (ka) sin kr
+ j` (ka) cos kr
kr
2
q
`
= C j` (ka)2 + n` (ka)2 sin kr
+ ` ;
2
R (r) ' C
100
`
2
onde
tan
Para ka
`
=
j` (ka)
:
n` (ka)
1; temos
`
'
(ka)2`+1 ;
e vemos que apenas ` = 0 que contribui na amplitide de espalahmento. Neste caso, temos
d
d
' const;
e
' 4 a2 ;
(258)
isto é, a seção de choque total …ca 4 vezes maior que o valor geométrico da esfera rígida.
Por outro lado, para ka
1; podemos utilizar a forma asintótica de função de Bessel
para j` (ka) e n` (ka) e
tan
`
'
sin ka
cos ka
`
2
`
2
;
portanto,
`
' ka
`
:
2
O somatório na Eq.(253) deve estender até ` ' `max = ka; o que corresponde ao valor
máximo do momento angular para o qual o espalhamento clássico pode ocorrer. Como
`max
1, podemos substituir o somatório pela integral,
4 X
(2` + 1) sin2 `
2
k `
Z `max
4
! 2
d` (2` + 1) sin2 ka
k 0
=
2
`
' 2 a2 :
(259)
Como se ver, a seção de choque total neste limite …ca 2 vezes da seção de choque geométrica.
XII.
TEOREMA ÓTICO (VIA ONDAS PARCIAIS)
Pela unitaridade da matriz S, vimos que vale o teorema ótico,
T ot
=
4
Im f (0; 0):
ki
101
Vamos veri…car explicitamente esta propriedade usando as Eqs.(252) e (253). Temos
1X
(2` + 1) ei ` sin ` P` (0)
f (0; 0) =
k `=0
1
=
Portanto,
1X
(2` + 1) ei ` sin ` :
k `=0
1X
Im f (0; 0) =
(2` + 1) sin2 ` :
k `=0
1
Comparando com
=
T ot
temos immediatamente
T ot
XIII.
1
4 X
(2` + 1) sin2 ` ;
k2 `
=
4
Im f (0; 0):
ki
APROXIMAÇÃO DE BORN
Na fórmula,
f( ; )=
1
4
2M
~2
h~kf jT (E) j~ki i;
com
T (E) = V + V
1
E+i
H0
T (E) ;
esperamos que a contribuição do segundo termo deve ser pequeno para E
V com V …nito.
Desta forma, a aproximação
T (E) ' V (~r) ;
deve valer para a enegia su…cientemente alta. Esta aproximação é chamada de aproximação
de Born (da primeira ordem). Temos
f( ; )=
=
=
1
4
1
4
1
4
2M
~2
2M
~2
2M
~2
onde
~q = ~kf
102
h~kf jV (~r) j~ki i
Z
~
d3~rV (~r) e i(kf
Ve (~q) ;
~ki ;
~ki ) ~
r2=~
é chamado de momento transferido e Ve é a transformada de Fourier do potencial V (r).
A amplitude de espalhamento é proporcional a transformada de Fourier do potencial V (~r)
em termos de momento transferido. Como sabemos, a transformada de uma função corresponde a decomposição em várias frequências de oscilação da variável. Desta forma, a
amplitude de espalhamento f ( ; ) seleciona o componente do potencial V (~r) da frequência
correspondente ao momento transferido ~q. No caso de espalhamento elástico, temos
j~qj2 = 2k 2 (1
cos ) ;
e para um dado ângulo de espalhamento, o momento transferido …ca maior para maior
energia. Isto é, a amplitude de espalhamento “ver” o componente do potencial oscilante
cada vez menor complimento de onda, quando aumenta a energia incidente. Isto é, com
maior energia, vemos a menor estrutura do potencial.
103
Lista de Questões
1. Considere os signi…cados físicos dos limites de baixa e alta energias da seção de choque
de espalhamento por uma esfera rígida,
8
<4
Geometrica ; E ! 0;
=
T ot
: 2 Geometrica E ! 1:
2. Calcule a defasagem
Resposta:
`
para o potencial
8
< V < 0; r a
0
V =
:
:
0
r > a:
tan
`
kj`0 (ka)
;
kn0` (ka)
j` (ka)
n` (ka)
(k) =
com
=
j`0 (qa)
;
j` (qa)
e
q2 =
2m (E + V0 )
:
~2
3. A aproximação de Born vale quando a função de onda dentro do alcance do potencial
não difere muito da onda incidente. Ou seja,
1
kj 0 ik
E+i
H0
V j 0i :
(260)
Para um poço de potencial
V (r) =
V0 ; r < a;
= 0;
r>a
aplique a condição Eq.(260) e demostre que a aproximação de Born pode ser utilizado
mesmo para baixas energias, desde que o potencial não possui estados ligados.
4. Considere um potencial de Yukawa,
V (r) =
104
V0
r
e
r
(261)
(a) Calcule a seção de choque diferencial e a seção de choque total utilizando a
aproximação de Born.
(b) Determine a condição de aplicabilidade acima em termos de energia incidente.
(c) Obtenha o valor de seção de choque total na unidade de mb (1mb = 10
27
cm2 )
para a colisão de proton e neutron, com o momento incidente do proton no sistema
de centro de massa = 50 MeV/c, V0 = 10M eV e
=1.3 fm (= 10
13
cm). As
massas de proton e neutron são 940 MeV.
5. Considere um potencial Coulombiano entre duas cargas, eZ1 e eZ2 ;
V (r) =
Z1 Z2 e2
:
r
(262)
Calcule a seção de choque diferencial na aproximação de Born e compare com a seção de
choque de Rutherford, obtida clássicamente. A seção de choque total tem signi…cado?
Porque na vida real, não tem esse problema?
6. Da expressão,
E
=
X
(in)
E;`
+ S` (E)
(out)
E;`
;
`
e fazendo a contiuniação analítica da energia no domínio E < 0; argumente que o polo
da matriz S` (E) para cada onda parcial corresponde o estado ligado deste momento
angular.
7. Escrevemos a decomposição de ondas parciais de amplitude de espalhamento por um
potencial como
f( )=
X
(2` + 1) f` (E) P` (cos ) :
`
(a) Mostre que
f` (E) =
1
k cot ` (E)
(b) Podemos de…nir a seção de choque parcial
T ot
=
X
`
ik
:
como
`;
`
onde
`
(E) =
4 (2` + 1) 2
sin
k2
105
`
(E) :
(263)
Para um dado `; variando a energia, a seção de choque parcial
festar picos agudos como função de E;quando sin
o valor da energia que cot
`
`
! 1; e cot
`
`
(E) pode mani-
! 0: Escrevendo
(E)E=ER = 0; podemos expandir na proximidade
desta energia, podemos escrever
`
(E) '
2
(E
ER )2 ;
ER ) + O (E
onde
d
cot
dE
`
(E)
2
=
;
E=ER
obtenha a fórmula de Breit-Wigner para a resonância,
`
2
4 (2` + 1)
'
k2
(E
2
ER )2 +
2:
2
(c) Como discutimos, a presença de resonância é considerado a existência de um
estado "quase ligados". Que tipo de estado quase ligado que resulta na resonância
acima?
8. O espalhamento por um potencial Coulombiano pode ser resolvido exatamente, sem
utilizar a aproximação de Born. Consideramos a equação de Schrödinger para a coordenada relativa ~r,
~2 2 ZZ 0 e2
r +
2
r
'E (~r) = E'E (~r) :
Escrevendo
E=
~2 k 2
1 2
=
v ;
2
2
=
ZZ 0 e2
;
~v
temos
r2 + k 2
2 k
r
'E (~r) = 0:
(a) Se colocamos
'E (~r) = eikz f (r
z) ;
a função f ( ) é dada pela função hipergeométrica con‡uente
f ( ) = cF ( i ; 1; ik ) ;
onde c é uma constante e a função hipergeométrica con‡uente F (a; b; z) é de…nida
como a solução da equação,
z
d2 F
+ (b
dz 2
106
z)
dF
dz
aF = 0:
Aqui, F é normalizada como F (a; b; 0) = 1:
(b) Utilizando a forma asintótica de F , demonstre que
2
'E (~r)
exp [i (kz + ln (r
1
+ fC ( ) exp [i (kr
r
ik (r
z)
+
jr zj!1
(264)
2 ln 2kr)]
onde
fC ( ) =
z))] 1
exp
i ln sin2
2ik sin2 2
(1 + i )
( i )
2
(c) O fator,
exp [i (kz + ln (r
z))]
nunca converge a uma onda plana mesmo para jr
zj ! 1: Entretanto, demon-
stre que a corrente,
~j = 1 Re 'E (~r) ~ r'E (~r)
i
converge a
~jinc = ~v = ~k
para z !
1:
(d) Calcule a corrente para a parte da onda espalhada e demonstre que
~jesp = ~r v jf ( )j2 :
r3
(e) Calcule a seção de choque diferencial e compare o resultado com a seção de choque
clássica de Rutherford.
A.
Equação de Klein-Gordan
A equação de Schrödinger para uma partícula livre de massa repousa m0 ,
i~
@
p
~2
(t; ~
r) =
(t; ~
r)
@t
2m0
107
(265)
ovbiamente não é covariante, pois as derivadas temporal e espacial entram na equação de
forma não simétrica. Uma maneira imediata de obter a equação covariante é utilizar a
substituição,
E ! i~
p
~!
@
;
@t
~ ~
r;
i
na relação de energia-momento,
(E=c)2
p
~ 2 = (m0 c)2
Assim, obtemos a Equação de Klein-Gordan,
(i~
@ 2
) (t; ~
r)
c@t
(
~ ~ 2
r) (t; ~
r) = (m0 c)2 (t; ~
r)
i
ou
(@ @ +
onde
2
) (t; ~
r) = (
2
+
) (t; ~
r) = 0
(266)
= m0 c=~:
Exercise 17 Exercício: Determine a dimensão do
: (A quantidade, 1=
é chamada o
complimento de Planck da partícula).
A equação (266) é covariante se a função (t; ~
r) é escalar, pois o operador entre parentese
é escalar como visto no Exercício anterior).
B.
Interação Eletromagnética
~ = E(~
~ r; t)
Consideramos o movimento de uma partícula carregada num campo elétrico E
~ = B(~
~ r; t). Primeira, vamos ver a mecanica clássica não relativística. A força
e magnético B
de Lorentz que atua para a partícula com carga e é dada por
~ + 1 ~v
F~ = e E
c
Agora, escolhendo o potencial escalar
=
B :
(267)
~ r; t), podemos
(~r; t) e o potencial vetorial A(~
sempre escrever
~
1 @A
c @t
~ = r A;
~
B
~ =
E
108
r ;
(268)
(269)
Assim, em termos destes potenciais, a força de Lorentz é expressa por
"
#
~
@
A
1
1
~ :
r + ~v r
F~ = e
A
c @t
c
Mas
~v
então
F~ = e
"
~ = r(~v A)
~
A
r
~
1 @A
c @t
~
(~v r) A;
#
1~
(~v r) A :
c
1~
r + r(~v A)
c
(270)
(271)
~ depende no tempo e na posição,
Agora, o campo vetorial A
~ = A(~
~ r; t):
A
onde ~r e t são variáveis independentes. Mas a variação temporal deste campo dA vista pela
partícula carregada num intervalo do tempo, [t; t + dt] será dada por
~
dA
~ r + ~v dt; t + dt) A(~
~ r; t)
A(~
(
)
~
~
~ @A
~
@A
@A
@A
= vx
+ vy
+ vz
+
dt
@x
@y
@z
@t
"
#
~
@
A
~+
= (~v r) A
dt;
@t
pois a partícula se move a distância, ~v dt. Assim, temos
~
~
dA
~ + @A :
= (~v r) A
dt
@t
Substituindo esta expressão na Eq.(271), temos
"
#
~
1
d
A
1
~ :
F~ = e
r + r(~v A)
c dt
c
A equação de movimento da partícula carregada …ca então,
"
#
~
d2~r
1 dA
1~
m 2 =e
r + r(~v A) ;
dt
c dt
c
ou
d
dt
d~r e ~
m + A
dt c
=
109
n
r e
o
e
~
(~v A) :
c
(272)
(273)
(274)
(275)
Pela inspecção, esta equação pode ser escrita na forma de uma equação de Euler-Lagrange,
d @L
= rL;
r
dt @ d~
dt
(276)
se escolhemos
2
1
d~r
e d~r
~
L= m
+
A
2
dt
c dt
1
e
~
= m~v 2 +
~v A
e ;
2
c
e
(277)
(278)
onde ~v é a velocidade da partícula. Quando comparar com a forma,
L=T
(279)
U;
então,
U =e
e
~ :
~v A
c
(280)
Isto é, o potencial correspondente a interação com o campo eletromagnético depende não só
da posição mas também depende da velocidade da partícula. Note que, devido a dependencia
em ~v do potencial U , o momento canonico para ~r já não é mais m~v . Temos
p~ =
@L
e~
= m~v + A
6 m~v !
=
@~v
c
(281)
O Hamiltoniano …ca
H = ~v p~ L
m
= ~v 2 + e
2
1
e~
=
p~
A
2m
c
2
+V +e
Assim, a relação de energia e momento para uma partícula não relativística é dada por
E
e =
1
p~
2m
e~
A
c
2
:
A generalização relativística da equação acima pode ser obtida, considerando que
0
1
E=c
A
p =@
p~
e
0
A =@
110
~
A
1
A
(282)
são quadri-vetores, podemos de…nir quadri-vetor
0
1
(E e ) =c
e
A;
A =@
p
c
~
p~ e=c A
e interpretar a Eq.(282) como sendo o limite não relativístico da condição de môdulo constante deste vetor,
e
A
c
p
2
= (mc)2 :
(283)
Da relação acima, e substituição,
0
p ! i~@ = @
i~@0
i~r
1
A;
temos a equação de Klein-Gordan para uma partícula carregada, interagindo com um campo
elétromagnético,
"
e )2 =c2
(i~@t
2
~
r
i
~
e=c A
(mc)2
#
(~r; t) = 0:
ou
@ +i
C.
e
A
~c
2
+
2
=0
(284)
Limite Não Relativístico
Para recuperar a equação de Schrödinger, suponhamos que a solução tenha a forma:
(t; ~
r) = e
i x0
(t; ~
r);
com x0 = ct: Substituindo na Eq.(266), o termo de
t do pre-fator e
i
x0
2
(285)
cancela com a segunda derivada em
e temos
2i
@
@
(t; ~
r) + ( 0 )2 (t; ~
r)
0
@x
@x
Se a magnitude da variação espacial da função
temporal num sistema de unidade onde c
~ 2 (t; ~
r
r) = 0
(286)
(t; ~
r) é comparável com a da variação
1 (o que é caso num movimento não relativístico)
~ (t; ~
r
r)
j@t (t; ~
r)j ;
então podemos desprezar o segundo termo em relação à outras, pois
1
j@t (t; ~
r)j
c
~ (t; ~
r
r)
111
(287)
Assim, temos
i~
@
(t; ~
r) =
@t
~2 ~ 2
r (t; ~
r)
2m0
(288)
que é a equação de Schrödinger de uma partícula livre.
Se tiver o efeito de campo eletromagnético, em vez da Eq.(266), utilizando a Eq.(284),
mantendo somente os termos de ordem mais baixa em relação a (1=c) ; temos a Equação de
Schrödinger de uma partícula carregada no campo eletromagnético.
i~
D.
~2 ~
e ~
r i A
2m0
~c
@
(t; ~
r) =
@t
2
+e
(t; ~
r)
Solução de Onda Plana
Eq.(266) tem a solução de onda plana,
( )
p
~ (x)
=e
i
~
px
=e
i
~
(p0 ct
p
~~
r)
(289)
onde p
~ constitui 3 parametros livres que especifca a onda plana e
p0 =
p
p
~ 2 + (m0 c)2
(290)
A solução geral é a combinação linear destas ondas planas.
Z
i
i
(x) = d3 p
~ [ap e ~ p x + bp e+ ~
px
(291)
]
Para explicitar a covariância da solução, podemos re-escrever a solução acima por
Z
p
i
i
(x) = dp0 d3 p
~ (p0
p
~ 2 + (m0 c)2 ) [ap e ~ p x + bp e+ ~ p x ]
=
onde
Z
d4 p (p2
(m0 c)2 ) (p0 ) [a(p)e
i
~
px
i
+ b(p)e+ ~
px
]
(292)
é a função de Heaviside e de…nimos a(p) = 2p0 ap e b(p) = 2p0 bp . Desta forma,
se a(p) e b(p) são funções escalares de p, podemos ver claramente que (x) é uma função
escalar.
E.
Corrente Conservada
Como vimos, o fato de que
é um escalar garante que a equação de Klein-Gordan
é covariante. Por outro lado, já que
é escalar, ele não pode ser interpretado como a
112
amplitude de probabilidade. Ou seja,
j j2 !
não pode ser feita, pois a densidade de probabilidade
não é escalar. A densidade de
probabilidade é necessariamente o 0-esmo componente de um quadrivetor. Isto pode ser
visto pela equação de continuidade,
@
+r j=0
@t
(293)
onde j é a corrente de probabilidade. Para a equação de continuidade seja uma expressão
covariante,
e j devem formar um quadrivetor,
j = fc ; jg
(294)
Da equação de Klein-Gordan, podemos veri…car que a quantidade
j =
i~
( @
2m0
@
i~
(
2m0
)
!
@ );
(295)
satisfaz o requisito de ser quadrivetor para densidade de probabilidade, onde o operador com
a seta dupla é de…nido por
!
A @ B = A (@B)
(@A) B:
A constante em frente da parentese foi introduzido para reproduzir a expressão de densidade e corrente da probabilidade no caso de não relativístico.
=e
im0
c2 t=~
De fato substituindo
(t; r) e tomando até primeira ordem em 1=c, temos
=
; j=
!
r )
~
(
2m0 i
(296)
reproduzindo corretamente a densidade de probabilidade e corrente no caso de Equação de
Schrödinger.
Entretanto, para regime relativística, a de…nição de densidade de probabilidade
=
i~
( @t
2m0 c
@t
)
(297)
encontra-se a di…culdade, pois esta não garante a positividade da densidade de probabilidade.
Assim, temos um dilema: Para aceitar a Equação de Klein-Gordan como a generalização de
Equação de Schrödinger para situação relativística,
quadrado não oferece a densidade de probabilidade.
113
tem que ser escalar, mas seu môdulo
F.
Campo de Meson
Naturalmente, se
da Eq.(297) não precisa ser interpretada como a densidade de prob-
abilidade, a equação de Klein-Gordan pode ser utilizada para descrever a dinâmica de um
campo relativística. (Neste caso,
pode ser interpretada como a densida de de carga.)
Em analogia de campo eletrostatico, podemos consider o campo
estática com uma fonte
localizada em origem. A equação para este caso …ca
r2
2
= g (r)
(298)
cuja solução é dada por
g e
4
r
(r) =
r
(299)
que é conhecida pelo potencial de Yukawa para força de curto alcance.
G.
Equação de Dirac
Para resolver a dilema, Dirac considerou a seguinte possibilidade. Lembrando que uma
partícula que tem o grau de liberdade intrinsêca, a função de onda pode ser expressa em
termos de vetor de coluna que tem mais que um componente. Vamos supor que a função de
onda de uma partícula relativística é descrita por um vetor de coluna de n componentes.
0
1
B 1C
B
C
B 2C
B
(x) = B . C
C
B .. C
@
A
(300)
n
A di…culdade de de…nir a densidade de probabilidade não negativa no caso de Equação de
Klein-Gordan vem de fato que a equação contem a derivada de segunda ordem em tempo. Assim, supormos que a desejada equação relativística seja uma equação diferencial de primera
ordem no tempo. Neste caso, devido a simetria em tempo e espaço, a equação deve ser
também linear em derivada espacial. Assim, a forma mais geral deve ser
i( 0 @0 +
1
@1 +
2
@2 +
114
3
@3 ) =
(301)
onde
como
= f 0;
1
;
2
3
;
g são matrizes n
n, e a constante no lado direito foi escolhido
= m0 c=~ sem perder generalidade. Para compactar a notação, escrevemos também
(i
@
(302)
) =0
Agora, impormos que esta equação tenha a solução de onda plana equivalente a equação de
Klein-Gordan. Para isto, é su…ciente que a Eq.(302) reduza a Equação de Kelin-Gordan.
Multiplicando o operador ( i
) aos dois lados da Eq.(302), temos
@
@)2 +
[(
Lembrando as matrizes
(
Assim, se as matrizes
2
(303)
] =0
não necessariamente comutam entre si, temos
@)2 =
X
u
1X
(
2
@ @ =
u
+
)@ @
(304)
satisfaz
u
+
(305)
= 2g
Eq.(303) se torna a equação de Kelin-Gordan
@ @ +
2
(306)
= 0:
Da Eq.(305), temos
( 0 )2 =
portanto os autovalores de
0
é
( 1 )2 =
( 2 )2 =
( 3 )2 = 1
(307)
1. Por outro lado, temos por exemplo,
0 1
1 0
+
=0
ou
0
Mas como ( 1 )2 =
1, então, ( 1 )
1
1 0
=
1
=
0
( 1)
1
(308)
. Assim,
=
1 0 1
(309)
Tomando o traço de dois lados, temos
Tr ( 0 ) = Tr (
1 0 1
) = Tr (
115
1 1 0
)=
Tr ( 0 )
(310)
mostrando que o traço da matriz
demais matrizes
0
é nulo. Podemos mostrar analogamente os traços das
são nulos. Juntando o fato de que os autovalores de
0
são
1 e seu traço
é nulo, concluimos que a dimensão desta matriz n tem que ser par. Naturalmente n > 0, as
possibilidades são n = 2; 4; 6; ::. Entretanto, n = 2 é impossivel construir as matrizes que
satisfazem Eq.(305). Assim, o menor valor de n para qual existem 4 matrizes que satisfazem
Eq.(305) é 4.
Vamos estudar o caso n = 4.
Exercícios :
1. Prove que n = 2 é impossível.
2. Mostre que
i
3. Mostre que
(i = 1; 2; 3) é matiz antihermitiana.
y
=
0
0
:
4. Mostre que (n = 4) ;
T r( i ) = 0; i = 1; 2; 3:
T r(
T r(
T r(
) = 4g
) = 0 (em geral, o traço de produtos de
) = 4(g g
g g
ímpar é nulo).
+g g )
Para obter uma representação explicita, podemos escolher uma base tal que
agonal tendo a forma
0
Da relação
i
i
=
0 i 0
0
i
i
e considerando que
i
i
é a matriz hermitiana 2
1
0
B
C
B0 1 0 0 C
B
C
=B
C
B0 0 1 0 C
@
A
0 0 0
1
’s tem a forma
onde
1 0 0
0
seja di-
(311)
é anti-hermitiano, podemos escolher que as
i
0
=@
0
i
0
1
A
2. As relaçoes de anticomutadores entre
(312)
i
em termos de
…cam
i j
+
j
116
i
=2
ij
(313)
Assim, podemos identidifar as
representação de matrizes
0
0
1 0 0
0
1
B
C
B0 1 0 0 C
B
C
=B
C;
B0 0 1 0 C
@
A
0 0 0
1
XIV.
i
’s como as matrizes de Pauli. Desta forma, uma possível
é
1
0
0 0 0 1
1
B
C
B0 0 1 0C
B
C
=B
C;
B0 1 0 0C
@
A
1 0 0 0
2
0
0 0 0
i
B
B0 0 i 0
B
=B
B0 i 0 0
@
i 0 0 0
1
C
C
C
C;
C
A
3
0
0 0 1 0
1
B
C
B0 0 0 1C
B
C
=B
C
B1 0 0 0 C
@
A
0 1 0 0
LORENTZ TRANSFORMATION OF DIRAC EQUATION
Nos vimos que, se
é um escalar a equação de Klein-Gordan é covariante, e conse-
quentemente não pode interpretar como equação para amplitude de probabilidade. Mas isto
não quer dizer que a Eq.(306) não permite outra possibilidade. Sendo
um vetor coluna,
podemos ter possibilidade de que, quando muda um sistema de referencia para outra,
pode se transformar como
!
sendo S uma matriz (n
0
=S ;
n) ;que depende de transformação de Lorentz correspondente,
S = S ( ):
Obviamente, para uma transformação de sistema,
x
Queremos que a Eq.(302) mantenha sua forma quando visto de um outro sistema de
referencia relacionado por uma transformação de Lorentz. Sob a transformação de Lorentz,
os coordenadas se transformam como
x0 =
x ;
x =
x0
e consequentemente as derivadas transformam como
@0 =
@x
@
@x0
=
117
@ ;
(314)
Supormos que a função de onda
também se transforma como
0
(x) !
(x0 ) = S (x) ;
(315)
onde S é uma matriz que é função de :
S = S ( ):
A Eq.(302) no sistema transformado é
@0
i
0
(x0 ) =
0
(x0 )
Substituindo Eqs.(314) e (315), temos
i
S
@
(x) = S (x)
ou
i S
1
S
@
(x) =
(x)
Para guarantir a covariancia, temos que ter
S
1
S
=
ou
S
1
S=
(316)
:
Essa equação determina quem é a matriz S para uma dada transformação de Lorentz :
Vamos estudar um pouco a propriedade geral desta matriz.
No primeiro lugar, vamos deduzir a equação de continuidade a partir da Eq.(302). Para
isto, reescrevemos a Eq.(302) como
i 0 @0 + i~ r =
Multiplicando
0
e transferindo o termo que contem r;temos
i~
onde recuperamos ~ e c; com
@
=
@t
c~
~
r + mc2
i
= mc=~ e de…nimos
0
1
0
~
A:
~ = 0~ = @
~ 0
118
0
(317)
A Eq.(317) tem a forma de uma equação de Schrödinger,
i~
@
=H ;
@t
onde
~
r + mc2
i
H = c~
0
= c~ p~ + mc2 0 :
é o Hamiltoniano da Equação de Dirac.
Utilizando o método analogo, podemos deduzir a equação de continuidade,
@
+ r ~j = 0;
@t
onde
= j j2 ;
~j = c
XV.
y
~
SIMETRIA DE CALIBRE
A discussão extensa sobre a simetria unitária para os sabores de partículas elementares
acima foi desenvolvida na decada ’60. Essa simetria é global no sentido de a transformação
de simetria atua em todos os pontos no espaço-tempo universalmente. Embora a simetria
de sabores revelou uma estrutura de partículas elementares, na verdade não esclareceu a
origem da sua interação.
Para tratar simétrias nas descrições de interações entre partículas elementares, não
podemos deixar de falar a simetria de calibre. Aqui, apresentamos um conceito básico
de simetria de calibre.
Consideramos um sistema de osciladores harmônicos, f~qi (t) ; i = 1; :::; i; :::; g ; localizados
nos pontos unidimensional fxi ; i = 1; 2; :::g igualmente espaçados com distância
. Seja
Lagrangiana L do sistema dada por
L=
2
X
i
d~qi
dt
2
2
119
X ~qi
i
~qi
2
1
;
(318)
onde o vetor ~q é um elemento de espaço vetorial V abstrato, e não tem relação com o nosso
espaço tridimensional. Para evitar confusão de indices, denotamos
~qi (t) ! ~q (t; xi ) ;
tal forma que consideramos ~q (x) como um campo. No limite contínuo,
(
)
Z
2
2
1 @~q
1 @~q
L ! dx
:
2 @t
2 @x
! 0;temos
(319)
Para observar a quantidade ~q no ponto xi ; devemos introduzir uma base, f~em ; m = 1; ::; rg
onde r é a dimensão de V; de tal forma que os produtos escalares
q m = (~em ; ~q) ; m = 1; ::; r
(320)
de…nem os valores observados (aqui estamos falando ainda no sentido da mecânica clássica)
do campo ~q. Assim, introduzimos notação
eObs
q
0
B
B
=B
@
1
1
(~e ; ~q)
C
.. C
. C
A
(~er ; ~q)
para o campo observavel. É importante notar que a base no espaço vetorial V de um ponto
xi pode ser dependente do ponto xi ; também pode depender do tempo. Ou seja, não temos
garantia de que uma base escolhido num ponto num instante tem que ser igual ao resto dos
pontos e tempo. Assim, devemos considerar em cada ponto xi ,
f~em (t; xi ) ; m = 1; ::; rg :
Invertendo a relação acima, temos
~q =
X
~em (~em ; ~q) :
(321)
m
Introduzindo um outro conjuto de base comun a todos os pontos e tempo (base universal),
n
o
~m ; m = 1; ::; r ; podemos escrever
~m ; ~q =
XX
m
l
120
~l ; ~em (~em ; ~q) :
Podemos de…nir um vetor coluna,
eP hys
q
0
B
B
=B
@
~1 ; ~q
..
.
~r ; ~q
1
C
C
C;
A
e ele é equivalente ao campo ~q original. Entretanto, note que esse vetor não é observável,
n
o
m
~
eP hys e q
eObs
pois não podemos ter acesso a base universal
; m = 1; ::; r : A relação entre q
…ca
onde M é um matriz,
eP hys = M q
eObs
q
M = (Mlm )
com
Mlm = ~l ; ~em :
Como a base f~em (t; x) ; m = 1; ::; rg depende em t e x;
M = M (t; x) :
Podemos escrever a Lagrangiana em termos de observáveis físicas,
)
(
Z
2
2
1 @e
qP hys
qP hys
1 @e
L = dx
2
@t
2
@x
(
)
Z
eObs ) 2 1 @ (M q
eObs ) 2
1 @ (M q
= dx
2
@t
2
@x
(
Z
2
1
@
@M
1
@
@M
eObs
eObs
= dx
+ MT
q
+ MT
q
2
@t
@t
2
@x
@x
2
)
;
onde utilizamos o fato de que a matriz M é uma matriz ortogonal. Agora, introduzimos um
n
o
b ; = 0; 1 (observável)
campo matricial G
ou seja, na notação relativística,
b0 = i M T @M ;
G
g
@t
@M
i
b1 = M T
G
;
g
@x
b = i M T @ M;
G
g
121
(322)
b O simbolo,bfoi introduzido
onde g é um constante que ajusta a dimensão do observável G:
b é matriz no espaço de representação do grupo da simetria. De fato,
para emfatizar que G
um operador
b dx
g
U (x; x + dx) = e i G
eObs no ponto x para o ponto x + dx;
transporta um vetor q
e== (x ! x + dx) = U (x; x + dx) q
eObs (x) :
q
(323)
b então escritos como combinação linear de geradores da algebra de Lie do
Os campos G
grupo,
com
is
b =
G
X
Ai (x)
i;
i
os geradores do grupo de simetria, satisfazendo a algebra de Lie correspondente,
[
i;
j
] =
X
Ci;j
k
k:
(324)
k
Introduzimos a derivada covariante por,
ou em geral,
gb
@
+ G
0;
@t i
@
gb
D1 =
+ G
1;
@x i
Enão, temos
gb
D =@ + G
i
D0 =
b
eObs ; G
L q
=
=
Z
Z
dx
1
eObs )2
(D0 q
2
(325)
1
eObs )2
(D1 q
2
eObs D q
eObs g
dx fD q
(326)
eObs e G ; a física é descrita por q
eP hys .
Embora a Lagrangiana acima tem duas variáveis, q
eObs e G de tal que
Ou seja, se introduzimos uma transformação em q
eObs ! q
e0Obs = U q
eObs ;
q
@ MUT
@x
T
b U T + i U @U
= UG
g @x
b !G
b0 = i M U T
G
g
122
(327)
T
(328)
eP hys invariante,
a Lagrangiana …ca invariante. Isto porque, a transformação acima mantem q
eP hys ! q
e0P hys = M U T U q
eObs
q
eP hys
=q
O conjunto de transformações, Eqs.(327) e (328) é conhecido como transformação de
calíbre, e primeiramente reconhecida no contexto de eletromagnetismo.
A equação de
Schrödinger para uma partícula carregada num campo eletromagnético, expresso por po~ é dada por
tencial eletromagnético, ; A
"
1
@
(t; ~r) =
i~
@t
2m
~
r
i
e~
A
c
2
+e
#
(329)
(t; ~r) :
Notamos que, se introduzimos uma transformação de fase da função de onda,
i
(t; ~r)0 = e ~
(t; ~r) !
(t;~
r)
(t; ~r) ;
com a fase arbitrário,
(t; ~r) ; a equação acima …ca
"
@
1
@
~
(t; ~r)0 +
(t; ~r)0 =
r r
i~
@t
@t
2m i
e~
A
c
2
+e
#
(t; ~r)0 :
Introduzindo
e
0
=e
@
;
@t
e ~0 e ~
A = A+r ;
c
c
a equação …ca
"
@
1
i~
(t; ~r)0 =
@t
2m
~
r
i
e ~0
A
c
2
+e
0
#
(t; ~r)0 :
(330)
Isto é, a equação de Schrödinger de uma partícula carregada …ca invariante sob a transformação de calíbre,
(t; ~r) !
e
0
=e
i
(t; ~r)0 = e ~
@
;
@t
e ~0 e ~
A = A+r ;
c
c
123
(t;~
r)
(t; ~r) ;
(331)
(332)
(333)
A situação é muito parecida com o que discutimos anteriormente. Para ver isto, podemos
associar um vetor de 2 componentes para a função de onda
imaginaria como
0
! ~=@
1
Re
A:
Im
Nesta representação, a transformação de fase em
0
;separando as partes real e
…ca
i
= e~
= cos
= cos
~
~
+ cos
+ i sin
Re
~
Im
(Re
~
sin
~
+ sin
+ i Im )
Im
~
Re
e, portanto,
0
cos ~ Re
0
cos ~
~0 = @
=@
sin ~ Im
cos ~ Im
sin ~
= U ~:
+ sin ~ Re
10
Re
sin ~
A@
cos ~
Im
1
A
Este é uma transformação O(2) ' U (1). Consequentemente
0
1
1@
T
0
@U
~ @t A
U
=@
;
1@
@t
0
~ @t
0
1
1@
T
0
@U
~ @x A
U
=@
;
1@
@x
0
~ @x
e de…nindo
0
1
0
b0 = e @
A;
G
i
0
0
1
0
Ax =c
b1 = e @
A;
G
i Ax =c
0
124
1
A
com g ! e; podemos de fato veri…car que as transformações, Eqs.(331,332,333) são equivalente a Eqs.(327,328). Neste caso, o grupo de simetria tem um único parametro real,
1
0
cos ~
sin ~
A
@
sin ~ cos ~
e o gerador do grupo é
=
0
1
1@0 1A
:
i 1 0
Assim, vimos que a interação de campo eletromagnético com partícula carregada é descrita numa forma de teoria de calibre, com simetria de transformação O(2) ' U (1). Esse
grupo é um grupo Abeliano. Note que os campos de calíbre são essencialmente os geradores
de grupo da simetria em questão.
XVI.
DINÂMICA DE CAMPO DE CALÍBRE
Os campos de calíbre também podem ter sua dinâmica própria, como no caso de campo
elétromagnética. Neste caso, a expressão, Eq.(322) não …ca válida, pois para um dado
campo de calíbre A (~r; t) ;pode não existir M para satisfazer Eq.(322) na forma universal.
Para um dado A (~r; t) ; não podemos obter M de forma univoca, pois a solução depende
de condição de contornos. Mesmo assim, a estrutura descrita acima continua valendo. A
situação é parecido com a gravitação. A mudança de sistema de coordenadas, aceleradas,
pode gerar a força, equivalente a força gravitacional. Assim, podemos considerar localmente
a força gravitacional é equivalente a mudança de sistema de coordenadas. Por outro lado,
não podemos eliminar todo o campo gravitacional por simples transformação de sistema de
coordenadas, quando existe um fonte para o campo gravitacional. No nosso caso, se o campo
de calíbre for sempre escrito como na Eq.(322), podemos escolher uma transformação,
U =M
então A0
0:
125
1
;
A.
Campo Eletromagnético
No caso de campo eletromagnético, é conhecido que a densidade de Lagrangiana de um
campo livre …ca escrita como
LEM =
0
2
1
=
onde
F
=F
e
~2
E
4
0
2
0
(334)
F F
0
0
B
B
~ B
~ =B
E;
B
B
@
1 ~2
B
Ex =c Ey =c Ez =c
Ex =c
0
Ey =c Bz
Ez =c
By
Bz
0
Bz
1
C
By C
C
C
Bz C
A
0
~ B
~ :
E;
F
=F
F
=@ A
Note que podemos escrever
@ A ;
(335)
com
A =
c
~ ;
; A
e
~
@A
@t
~ =
E
~ =r
B
r ;
~
A
Note que o tensor de campo eletromagnético F
é invariante sob a transformação de
calíbre,
~ 0; B
~0
E
F0 = F
~ B
~ ;
E;
=F
pois os próprios campos eletromagnéticos
~ B
~
E;
calíbre.
126
são invariante sob a transformação de
B.
Caso de Simetria de Grupo Não Abeliano
A primeira formulação de teoria de calíbre foi feito por Yang e Mills na decada 50,
motivada de introduzir o principio de localidade numa teoria de campo com simetria unitária.
Para um grupo de simetria não Abeliano, a dinâmica do campo de calíbre deve ser descrita
também pela uma densidade de Lagrangiana,
LCalibre =
1 nb b o
Tr F F
4
(336)
onde agora os elementos do tensor Fb não são constituidos por números normais, mas
b : O traço é necessário para ter um escalar para LCalibre : Aqui, o
matrizes associadas a G
tensor Fb tem que ser invariante sob a transformação de calíbre.
Para a forma de Fb ; a Eq.(335) sugere que
Fb
?
b
!@ G
b :
@ G
(337)
Entretanto, no caso de um grupo não abeliano, podemos ver facilmente que a expressão
acima não …ca invariante sob a transformação de calíbre. Isto porque, como vimos na
b (x) dx é um espécie de gerador de transformação de calíbre, para
Eq.(323), o campo G
transportar um vetor no espaço V de um ponto x ao ponto de visinhança x + dx: Como no
ponto x + dx transforma diferentemente no ponto x, precisamos um espécie de conexão a…n
para a derivada na Eq.(337).
A resposta correta para Fb
Fb
é dada por
=
i
[D ; D ]
g
b
=@ G
h
i
b ;G
b :
b + ig G
@ G
A expressão acima está ligado a curvatura associado a conexão entre os espaços V de…nidos
em cada ponto de espaço tempo. Finalmente, um teoria de campo de calíbre pode ser escrita
em termos de densidade de Lagrangiana,
L = LCal{bre + LM ateria
onde LCal{bre é dada pela Eq.(336) e LM ateria é obtida da densidade de Lagrangiana de um
campo livre, substituindo as derivadas espaciais @ por derivadas covariante Eq.(325). Por
127
exemplo, a densidade de Lagrangiana de uma equação de Dirac de partícula livre de massa
mé
LDirac =
onde
(i
@ + m) :
é um spinor de Dirac. Se existem n campos
0
1
B 1 C
B . C
= B .. C
@
A
N
sendo cada
i
spinor de Dirac, a densidade de Lagrangiana da matéria que acopla com o
campo de calibre …ca
LM ateria =
(i
D + m) :
Para uma teoria de calíbre de grupo de simetria SU (n); então, teremos n campos para
representar a matéria (ou seja, n tipo de partículas) e os campos de calibre (os campos
vetoriais) com mesmo número de geradores do grupo, ou seja, n2
1: Hoje, acreditamos que
as teorias para descrever as interações fundamentais entre partículas elementares devem ser
teoria de calíbre. No caso de interação eletro-fraca, o grupo de simetria é U (1)
SU (2)
(teoria de Salam-Glashow-Weiberg) e no caso da interação forte, o grupo é SU (3) para graus
de liberdade de cores de quarks (cromodinâmica quântica). No caso de eletrofraca, temos no
total de 1 + (22
1) = 4 campos de calíbres. Esses 4 campos de calíbres são fótons
interação eletromagnética, e Z e W
temos 32
para
para interações fracas. No caso de Cromodinâmica,
1 = 8 campos de calíbre, os gluons.
128
[1] O subscripto o foi introduzido para explicitar que este é a função de Green associado ao Hamiltoniano H0 .
[2] A amplitude do campo eletromagnético atua como operador nos estados de elétrons, pois na
representação de coordenadas, o campo é uma função de posição.
129