COMPREENSÃO MATEMÁTICA COM REGISTROS DE - Dm-UFPB

COMPREENSÃO MATEMÁTICA COM REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO
Ednaldo M. Nascimento (Bolsista)
Ailton G. da Silva (Bolsista)
Antônio J. R. Feitosa (Orientador)
CCEN/DM/PIBD
INTRODUÇÃO
Neste trabalho, baseado nas mudanças de registros das representações semióticas nós analisamos através de uma coleta de dados o
desempenho dos alunos de uma turma do ensino médio, que foi atendida em suas dificuldades na compreensão do conceito de função afim, no
Colégio Prof. Luiz Gonzaga de A. Burity, no âmbito do Projeto PIBID.
A teoria dos registros de representação Semiótica, focada no ensino de Matemática, desenvolvida por Duval, enfatiza situações de aprendizagem
baseada em, registros na linguagem Natural, Registros na Linguagem Algébrica, Registros com Figuras Geométricas e Registros Gráficos. Nesta
teoria, estabelecido um determinado registro, existem dois tipos de transformações: Os tratamentos e as conversões. Os tratamentos são
transformações dentro do mesmo registro. As conversões são transformações que consistem em mudar de registro. Conforme (Duval, in,
Machado, pp 15) a compreensão em matemática supõe a coordenação ao menos de dois registros semiótico, isto é, o domínio de um conceito em
matemática está bem entendido quando se consegue fazer transformações em pelo menos dois registros:
OBJETIVO
Analisar através de coletas de dados com aplicações de atividades •Resultados obtidos na segunda questão antes e depois da aplicação da
sequencia
didática.
como os alunos compreendem o conceito de função afim
7
MÉTODO DE ESTUDO
Os dados da pesquisa foram obtidos em dois momentos. Após a
professora ter aplicado aulas sobre o tema função afim aplicamos um
questionário e fizemos o primeiro levantamento de dados e analisamos
a compreensão dos alunos. Em seguida aplicamos uma sequencia
didática para esclarecer dúvidas. Após o desenvolvimento da sequencia
didática reaplicamos novamente o mesmo questionário e fizemos uma
análise comparativa.
QUESTIONÁRIO
1) Um comerciante de sucos de frutas cítricas vende o copo de suco a
R$ 0,80 para quem compra 10 ou mais copos e, para quem compra
menos de 10 copos cobra R$ 0,10 a mais para compensar despesas
com copos descartáveis. Em seu estabelecimento o comerciante fixou a
seguinte tabela N
de 1
2
3
4
5
6
7
8
9
2ª Questão
1ª Etapa
2ª Questão
2ª Etapa
a
0
0
a, b
2
2
a, c
0
0
a, d
0
0
a, b, c
1
1
a, b, d
2
1
a, c d
1
3
a, b, c, d
6
4
Preço
5
5
4
4
2ªQuestão/ 1ª etapa
3
b
0
0
b, c
0
0
b, d
5
1
b, c, d
1
3
c
0
0
c, d
0
0
d
0
1
3
2
1 1
2.50
3.30
4.10
4.90
5.70
6.50
1
1
2
0 0
a
a,b
2
0
0 0
0 0
a,b
a,c
a,d
0
0 0
0
1
a,d
0 0
a,b,c
6
a,b,d
1
de 10
11
12
13
14
15
16
17
a,b,d
a,c,d
a,b.c,d
b
b,c
b,d
a,b,c,d
4
00
b
b,c
b,d
8,0
8.80
9.60
10.40
11.20
12,00
12.80
13.60
14.40
Resultado obtido na segunda questão antes e depois da aplicação da
sequencia didática
Observamos que para os itens que tem a presença do item (d), os resultados do
primeiro etapa do teste foram melhores do que os resultado na segundo etapa,
porém, nos outros itens houve avanço significativo da primeira para a segunda
etapa. Observamos também que o maior empecilho foi o item (d), isto é, a
conversão do registro gráfico para os outros registros, como conseqüência da
dificuldade de tratamento nos dados do gráfico para estabelecer os outros
registros.
RESULTADOS
Resultado obtido na primeira questão antes e depois da aplicação da
sequencia didática
1ª Questão
1ª Etapa
1ª Questão
2ª Etapa
14
12
12
a
a, c
a, b, c
9
0
7
1
0
10
9
8
7
12
1ª Questão 1 ª Etapa
1ª Questão 2 ª Etapa
3
7
4
9
5
11
6
13
7
15
8
17
0
0
4
b
3
d
c
1
5
c,d
b,c,d
Y
2
c
a,c,d
6
1
b,c,d
a,b,d
1
b
a, b
0
0
a, b,c
3
18
De acordo com a tabela:
a) Quanto paga um grupo de turista por um consumo de 53 copos?
b) Se a barraca dispõe de 8 mesas numeradas de 1 a 8 e, se para cada
uma das mesas de números ímpares o proprietário da barraca vendeu
4 copos de sucos e para cada mesa de números pares o proprietário
vendeu 5 copos, qual foi o valor desta venda?
c) O valor da venda para quem compra mais de 10 copos de suco pode
ser representado por uma expressão do tipo: f(x)=0.8x, x≥10 e para
quem compra menos de 10 copos pode ser representada por
g(x)=0.8x+0.10 para 0≤ x<10.
2) Uma função está representada abaixo por uma tabela, uma
expressão algébrica e um gráfico,
Tabela
F. Algébrica
Gráfico
f(x) = 2x +1
x
0
a,d
copos
Preço
0 0
a,c
1
b,c
Nos
0 0
a,b
0
3
a,c,d
7.30
1
a
0
a, b,c
1
1
2ª Questão 2ª Etapa
a,c
5
1
0
a
00
1
1
1
a,b,c,d
1.70
2
2ª Questão 1ª Etapa
0 0
0
0
00
0.90
2ªquestão/2ªetapa
3
2
os
copos
6
6
b, c
c
0
0
1
0
0
0
2
1
1
0 0
0 0
0 0
0 0
a,b,c
b
b,c
0
0
a
a,b
a,c
c
Estes dados mostram que 47% dos alunos que se submeteram a este teste
realizaram corretamente o tratamento no item (a) no primeiro testa e no segundo
teste apenas um, porem 36% realizaram simultaneamente o tratamento e a
conversão dos itens (a) e (c) no primeiro teste, enquanto que para o segundo
teste este índice subiu para 92%..Observa-se também total ausência de
tratamento no item (b), representando um enorme obstáculo para estes alunos.
CONCLUSÃO
a)
b)
c)
d)
Os dados da tabela podem ser obtidos a partir da função f(x) = 2x +1?
O gráfico pode ser obtido com os dados da tabela?
A função f(x) = 2x +1 pode ser obtida com os dados da tabela?
A função f(x) = 2x + 1 pode ser obtida a partir do gráfico?
A teoria dos registros de representação semiótica, nestas atividades, nos indica
ser um excelente instrumento de ensino porque, além de resgatar o verdadeiro
sentido do conceito de função, contribui para estender as fronteiras da
compreensão, suas linguagens e as propriedades dos objetos da matemática no
tratamento com funções afim. Conseqüentemente, é necessário tomar
providencias em sala de aula para minimizar as dificuldades que os alunos
encontram para lidar com a natureza dos objetos matemáticos, seus conceitos e
suas representações.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
.[1] Machado, Silva Dias Alcântara, Aprendizagem em Matemática, Registros de Representação, Papiros, 2003, Campinas, S. P.
[2] Durval, Raymond, Registros de representação semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática,,IN: Machado, Silva Dias Alcântara (org.),aprendizagem da compreensão em
matemática,: registros de representação semiótica, Campinas, São Paulo, Papirus, p. 11 – 33, 2ª Ed, 2005são Paulo,
[3] Durval, Raymond, Semiósis e pensamento humano; Registros semióticos e aprendizagens intelectual, São Paulo, editora livraria da Física, 2009.
Registro de Representação Semiótica para a Compreensão
de Funções Quadráticas
Suzy Kelly C. F. de Oliveira (Bolsista); Karla C. P. Linhares(Bolsista); Tássia S. da Costa (Bolsista);Antônio Joaquim Rodrigues Feitosa (coordenador/orientador)
Centro de Ciências Exatas e da Natureza/ Departamento de Matemática/ PIBID
INTRODUÇÃO
Para Duval (2005) as representações semióticas são produções
constituídas pelo emprego de signos (sinais) pertencentes a um
sistema de representação que tem suas dificuldades próprias de
significância e de funcionamento. Na teoria de Duval, os registros são
feitos na linguagem usual, na linguagem numérica, na linguagem
algébrica e na linguagem gráfica. As mudanças de representação
semiótica são chamadas de transformações. Existem dois tipos de
transformações distintas, denominadas de tratamento e de conversão.
O tratamento ocorre quando existe uma transformação de
representação interna a um registro ou a um sistema. Já a conversão
ocorre quando existe uma transformação externa em relação ao
registro de representação de partida e ocorre uma mudança de
registro, isto é, a representação no registro de chegada tem
significado diferente da representação do registro de saída. Foi
observado por Duval, que a maior dificuldade é a passagem do
registro gráfico para o registro algébrico. Segundo ele, a compreensão
em matemática ocorre quando o aluno é capaz de mobilizar mais de
um registro de mesmo objeto matemático. No desenvolvimento da
pesquisa vamos constatar essa observação. Com objetivo de analisar
como está à compreensão dos alunos da escola pública João Roberto
Borges de Sousa, em relação ao estudo de funções quadráticas,
utilizamos a proposta da teoria de representação semiótica de Duval
para identificar a natureza das dificuldades dos alunos. Fizemos um
diagnóstico, pelas respostas dos alunos colhidas de uma atividade
realizada em sala de aula.
DESCRIÇÃO METODOLÓGICA
Dos quatro tipos de registros citados anteriormente, escolhemos
trabalhar o registro de representação algébrica e o registro de
representação gráfica. Esses tipos de registros são estudados com
ênfase no 1º ano. Foi elaborada uma sequência didática, para auxiliar os
alunos no processo de transformação de registro e aplicado um
questionário, para compreender a natureza das dificuldades no
procedimento de transformação entre esses registros.
Sequência Didática
Parte 1: Construir o gráfico da função quadrática.
Procedimentos: passagem da representação algébrica para gráfica.
1º Passo: Calcular as raízes da função quadrática, se existirem;
2º Passo: Calcular o vértice;
3º Passo: Identificar o sentido da concavidade;
4ª Passo: Calcular o valor da função em três pontos simétricos ao eixo
vertical, que passa pelo vértice;
5º Passo: Esboçar o gráfico passando pelos três pontos obtidos no 4ª
passo.
Parte 2: Encontrar a expressão algébrica da função quadrática.
Procedimentos: passagem da representação gráfica para algébrica.
1º Passo: Identificar as coordenadas dos pontos indicados no gráfico;
2º Passo: Substituir as coordenadas dos pontos identificados na
expressão algébrica da função quadrática,
3º Passo: Resolver o sistema obtido para encontrar os valores de , e c.
4ª Passo: Substituir na expressão algébrica da função quadrática;
Questionário
1. Esboce os gráficos que representam as funções
f(x) = x2 + 2
g(x) = - x2 - x + 2
2. Construa o gráfico da função quadrática, , que passa pelos pontos , e
.
3. Construa os gráficos de funções quadráticas, , que passam pelos
pontos, ;
4. Obtenha a função quadrática que representa o gráfico abaixo.
Resultado
Tanto a atividade quanto o questionário foram aplicados em duas turmas
de 1º ano do ensino médio. A atividade foi aplicada aos alunos como
uma revisão do conteúdo função quadrática e o questionário como
instrumento de coleta de informação para analisar a compreensão dos
alunos .
Foram 41 alunos pesquisados, dentre estes 26 responderam
corretamente algum dos itens, 7 se omitiram a elaborar qualquer tipo de
resposta e 8 responderam incorretamente todas as questões. Na tentativa
de responder, eles apresentaram dificuldades ao realizar os procedimentos
necessários para as operações de transformação por tratamento e a
conversão de registro. Na tabela abaixo está o registro do número de
alunos que elaboraram respostas corretas em cada questão..
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Questão 1
Questão 1. a
Questão 1.b
Questões 1 , 2
Questões 1.a , 2
Questões 1.b , 2
5
9
2
2
1
1
Tabela
8.
9.
10.
11.
Questões 1.a , 4
Questões 1, 2 , 3
Questões 1, 2, 3, 4
Questões 1.b, 2, 3
Total
1
1
1
1
26
Os dados da tabela indicam que 12,19% dos alunos que responderam
completamente a primeira questão conseguiram converter do aspecto
algébrico para o aspecto gráfico, mas não conseguiram fazer a
transformação inversa, enquanto 21,95% responderam somente o item a, e
não conseguiram fazer o tratamento exigido no item b da 1ª questão. Estes
dados ainda revelam que existem alunos que cometeram a mesma
natureza de erro relativo ao item a da primeira questão. A pesar destes
erros há sintomas de aprendizagem. Este resultado nos levou a concluir
que, em média, 70,74% dos alunos não dominam as técnicas para operar o
tratamento e conseqüentemente fazer a conversão. Conclusão semelhante
chegamos na elaboração das respostas das questões 2ª, 3ª e 4ª, com um
agravante maior. Como estas questões exigem mais habilidade no
tratamento para obtenção dos coeficientes, apenas de 2,6% a 4.8% dos
alunos elaboraram respostas e que de 97.2% a 95.2% ou se omitiram
apresentar respostas ou apresentaram respostas incompletas ou erradas, o
que nos leva a concluir a baixa capacidade de abstração e, que esta
maioria de alunos não sabe tratar corretamente os procedimentos de
obtenção de solução de equações do primeiro grau ou de sistemas com
duas variáveis desconhecidas. Vale ressaltar que a questão quatro foi
posta especificamente para testar a capacidade abstração e generalização
de procedimentos.
CONCLUSÃO
A coordenação entre dois diferentes registros de representação foi
realizada por um número pequeno de alunos, isso revela que a maior parte
dos alunos pesquisados não compreende o objeto matemático função
quadrática. Portanto, nota-se que a compreensão dos alunos limita-se ao
tratamento de representação executados em um só registro, isto é,
privilegia um registro particular, a representação algébrica em relação à
gráfica.
A coordenação entre dois diferentes registros de representação foi
realizada por um número pequeno de alunos, isso revela que a maior parte
dos alunos pesquisados não compreende o objeto matemático função
quadrática.
Portanto, nota-se que a compreensão dos alunos limita-se ao tratamento de
representação executados em um só registro, isto é, privilegia um registro
particular, a representação algébrica em relação à representação gráfica,
ou mono-registro conforme Duval. (Duval, 2009)
REFERÊNCIAS
[1] Duval, Raymond, Registros de representação semióticas e
funcionamentos cognitivos da compreensão em matemática, IN
Machado, Silva Dias Alcântara, Aprendizagem da compreensão em
matemática: registros de representação semiótica, Campinas, São Paulo,
Papirus, p. 11-33, 2ª Ed, 2005.
[2] Duval, Raymond, Semiósis e pensamento humano; registros
semióticos e aprendizagens intelectuais, São Paulo, editora Livraria
da Física, 2009, p. 29-98.
[3] Brasil: Ministério da Educação, Secretaria da educação Média e
tecnologia, Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino médio. Brasília,
2006