Discuta, em funç ˜ao dos parâmetros reais a, b, c, o seguinte

Discuta, em função dos parâmetros reais a, b, c, o seguinte sistema de equações:

 ax + by + z = 1
x + aby + z = b

x + by + az = 1
Resposta:
a = 1, b = 1, sistema indeterminado (de grau 2);
a = 1, b 6= 1, sistema impossı́vel;
a = −2, b = −2, sistema indeterminado (grau 1);
a = −2, b 6= −2, sistema impossı́vel;
b = 0, sistema impossı́vel;
a 6= 1, −2, b 6= 0, sistema determinado.
Resolução



1 b a 1
a b 1 1
 1 ab 1 b  →  1 ab 1 b  →
1 b a 1
a b 1 1


1
1
b
a
→  0 ab − b 1 − a b − 1  →
0 b − ab 1 − a2 1 − a


1
b
a
1
1−a
b−1 
→  0 ab − b
2
0
0
−a − a + 2 b − a

Cálculos:
−a2 − a + 2 = 0 ⇒ a = 1 ∨ a = −2
ab − b = 0 ⇒ b = 0 ∨ a = 1
b−1=0⇒b=1
1
Discussão:
Sistema Possı́vel e Determinado
−a2 − a + 2 6= 0 ∧ ab − b 6= 0 ⇒ a 6= 1 ∧ a 6= −2 ∧ b 6= 0
Sistema Possı́vel e Indeterminado
−a2 − a + 2 = 0 ∧ −a + b = 0 ∧ ab − b 6= 0 ⇒
(a = 1 ∨ a = −2) ∧ a = b ∧ b 6= 0 ∧ a 6= 1
Então, com a = −2 e b = −2, o sistema é indeterminado de grau 1.
ou
ab − b = 0 ∧ 1 − a = 0 ∧ b − 1 = 0 ∧ −a2 − a + 2 = 0 ∧ b − a = 0 ⇒
(b = 0 ∨ a = 1) ∧ a = 1 ∧ b = 1 ∧ (a = 1 ∨ a = 2) ∧ b = a
Então, com a = 1 e b = 1, o sistema é indeterminado de grau 2.
2
Sistema Impossı́vel
−a2 − a + 2 = 0 ∧ −a + b 6= 0 ⇒
(a = 1 ∨ a = −2) ∧ a 6= b
ou
b=0
Então, se a = −2 e b 6== −2, a = 1 e b 6== 1 ou se b = 0, o sistema é
impossı́vel.
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