Parte 1 - Grupo A

Parte 1
Modelagem, computadores
e análise de erros
1.1 MOTIVAÇÃO
O que são métodos numéricos e por que devemos estudá-los?
Métodos numéricos são técnicas pelas quais os problemas matemáticos são formulados de modo que possam ser resolvidos com operações lógicas e aritméticas.
Como os computadores digitais se sobressaem na execução de tais operações, os
métodos numéricos são, às vezes, referidos de forma mais ampla como matemática
computacional.
Na era pré-computacional, a implementação das operações citadas, além de
ser entediante, demandava muito tempo (isso logo ficará claro para o leitor), o que
limitava seriamente a utilização prática dos métodos numéricos. No entanto, com o
advento dos computadores e a um custo financeiro acessível, o papel dos métodos
numéricos na solução de problemas de engenharia e de ciência de forma geral
aumentou significativamente. Como eles figuram de forma tão proeminente em
grande parte do nosso trabalho, que os métodos numéricos devem ser parte da educação básica de todo engenheiro e cientista. Assim como todos nós devemos ter
bases sólidas em outras áreas da matemática e da ciência, também devemos ter uma
compreensão básica dos métodos numéricos. Em particular, devemos ter uma noção sólida de suas capacidades e limitações.
Além das contribuições para a educação geral, existem diversas razões adicionais pelas quais os métodos numéricos devem ser estudados:
1.
2.
Cap.1_Chapra.indd 1
Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução
de problemas. Eles são capazes de lidar com um grande número de equações,
não linearidades e geometrias complicadas recorrentes na prática de engenharia e que, em geral, são impossíveis de resolver de maneira analítica. Dessa
forma, eles aumentam muito a capacidade de resolver problemas.
Durante a carreira, o profissional de engenharia frequentemente terá oportunidade de usar softwares disponíveis no mercado, ou pacotes “prontos” de software, que envolvem métodos numéricos. O uso inteligente desses programas
depende do conhecimento da teoria básica fundamental dos métodos; sem esse
conhecimento, o profissional utiliza um software comercial como uma “caixa
preta”, com pouca visão crítica de seu funcionamento interno ou da validade
dos resultados produzidos.
03/12/2012 18:03:58
2
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
3.
4.
5.
Muitos problemas não podem ser solucionados utilizando-se pacotes “prontos”
de softwares. Se o engenheiro estiver familiarizado com métodos numéricos e
souber programar no computador, poderá projetar seu próprio programa para
resolver problemas sem precisar comprar ou contratar softwares caros.
Os métodos numéricos são um meio eficiente para o aprendizado de programação, já que uma forma eficiente de aprendê-la é justamente escrever um programa de computador. Como os métodos numéricos são, na maior parte, projetados para implementação em computadores, eles se mostram ideais para esse
propósito; além disso, são especialmente adequados para ilustrar o poder e as
limitações dos computadores. Quando se implementam com sucesso métodos
numéricos em um computador aplicando-os na solução de problemas insolucionáveis de outra forma, tem-se acesso a uma demonstração impressionante de
como os computadores podem auxiliar o desenvolvimento profissional. Ao
mesmo tempo, aprende-se a identificar e a controlar os erros das aproximações,
que são parte essencial de cálculos numéricos em grande escala.
Os métodos numéricos auxiliam o profissional a reforçar seu entendimento da
matemática. Como uma função dos métodos numéricos é reduzir a matemática
mais avançada a operações aritméticas básicas, eles alcançam detalhes práticos
de alguns tópicos que, de outra forma, seriam incompreensíveis. Como resultado dessa perspectiva alternativa, podemos apontar o aprimoramento da compreensão e da percepção.
Com essas razões como motivação, podemos agora começar a entender como
métodos numéricos e computadores digitais trabalham em conjunto para gerar soluções confiáveis para os problemas matemáticos. O restante deste livro é dedicado a
essa tarefa.
1.2 ORGANIZAÇÃO DA PARTE 1
Este livro está dividido em seis partes. As últimas cinco partes focam nas principais
áreas de métodos numéricos. Embora seja tentador pular diretamente para esse material, a Parte 1 é composta por quatro capítulos que abordam um material de apoio
essencial para as demais partes do livro.
O Capítulo 1 fornece um exemplo concreto de como um método numérico pode
ser empregado para resolver um problema real. Para fazer isso, é desenvolvido um
modelo matemático de um saltador de bungee jumping em queda livre. O modelo,
que é baseado na segunda lei de Newton, resulta em uma equação diferencial ordinária. Depois de obter uma solução na forma fechada a partir da aplicação do cálculo tradicional, é mostrado como uma solução comparável pode ser gerada com um
método numérico simples. O capítulo é finalizado com uma visão geral das principais
áreas de métodos numéricos que são abordadas nas Partes 2 a 6 deste livro.
Os Capítulos 2 e 3 fornecem uma introdução ao ambiente do software MATLAB®.
O Capítulo 2 aborda o modo padrão de operar o MATLAB entrando com um comando de cada vez no chamado modo de comando ou modo calculadora. Esse modo
interativo pode orientá-lo no ambiente de forma simples e ilustra como ele é usado
para operações comuns, como fazer cálculos e criar gráficos.
Cap.1_Chapra.indd 2
03/12/2012 18:03:59
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
3
O Capítulo 3 mostra como o modo de programação do MATLAB fornece um
meio de agrupar comandos individuais em algoritmos. Assim, nossa intenção é ilustrar como o MATLAB oferece um ambiente de programação conveniente para desenvolver seus próprios programas computacionais.
O Capítulo 4 trata do importante tópico de análise de erros, que deve ser compreendido para o uso efetivo dos métodos numéricos. A primeira parte do capítulo
concentra-se nos erros de arredondamento que resultam da impossibilidade de representar algumas quantidades de forma exata nos computadores digitais. A última
parte aborda os erros de truncamento que surgem ao utilizar uma aproximação em
lugar de um procedimento matemático exato.
Cap.1_Chapra.indd 3
03/12/2012 18:03:59
1
4
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
Modelagem matemática, métodos
numéricos e solução de problemas
► OBJETIVOS DO CAPÍTULO
O objetivo principal deste capítulo é fornecer uma ideia concreta do que são métodos numéricos e
como eles estão relacionados à solução de problemas científicos e de engenharia. Após esta leitura
completa, você será capaz de:
Aprender como modelos matemáticos podem ser formulados com base em princípios científicos
para simular o comportamento de um sistema físico simples.
Entender como os métodos numéricos fornecem meios de gerar soluções de maneira que possa
ser implementada em um computador digital.
Compreender os diferentes tipos de leis de conservação presentes nos modelos empregados nas
várias disciplinas de engenharia e avaliar a diferença entre as soluções desses modelos para
condições dinâmicas e de estado estacionário.
Conhecer os aspectos básicos dos diferentes tipos de métodos numéricos que serão abordados
neste livro.
VOCÊ TEM UM PROBLEMA
Força para
cima devido à
resistência do ar
Força para
baixo devido
à gravidade
FIGURA 1.1
Considere que você seja contratado por uma empresa especializada
em saltos de bungee jumping. Sua tarefa é prever a velocidade do saltador (Figura 1.1) em função do tempo durante o período de queda
livre do salto. Essa informação será utilizada como parte de uma análise mais extensa para determinar o comprimento e a resistência da
corda elástica para saltadores de diferentes pesos.
Você deve saber, de acordo com seus estudos de física, que a
aceleração de um corpo deve ser igual à razão entre a força agindo
sobre esse corpo e sua massa (segunda lei de Newton). Considerando
isso e seu conhecimento de física e mecânica dos fluidos, podemos
desenvolver o seguinte modelo matemático para a taxa de variação da
velocidade em relação ao tempo
dυ
cd
= g − υ2
dt
m
onde υ é a velocidade vertical para baixo (m/s), t é o tempo (s), g é a
Forças agindo em um
aceleração da gravidade (≅ 9,81 m/s), cd é um coeficiente de arraste
saltador de bungee
jumping em queda livre. “concentrado” (kg/m) e m é a massa do saltador (kg). O coeficiente de
arraste, como aparece na equação anterior, é chamado “concentrado”,
Cap.1_Chapra.indd 4
03/12/2012 18:03:59
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
5
pois seu valor depende de fatores como a área do saltador e a densidade do fluido
(ver Seção 1.4).
Como essa é uma equação diferencial, o cálculo pode ser empregado para obter
uma solução analítica ou exata para υ como uma função de t. No entanto, nas páginas seguintes vamos ilustrar uma solução alternativa que envolverá o desenvolvimento de uma solução numérica computacional ou aproximada.
Além de mostrar como o computador pode ser usado para resolver esse problema
específico, nosso objetivo geral será ilustrar (a) o que são métodos numéricos e (b)
como eles são empregados na solução de problemas científicos e de engenharia. Ao
fazer isso, também mostraremos como os modelos matemáticos desempenham um
papel importante no modo como engenheiros e cientistas utilizam os métodos numéricos em seu trabalho.
1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES
Um modelo matemático pode ser definido, de forma geral, como uma formulação ou
equação que expressa as características essenciais de um sistema ou processo físico
em termos matemáticos. Em um sentido muito geral, ele pode ser representado como
uma relação funcional da forma
Variável
= f
dependente
variáveis
, parâmetros, funções
forçantes
independentes
(1.1)
onde a variável dependente é uma característica que normalmente reflete o comportamento ou estado do sistema; as variáveis independentes normalmente são dimensões,
como tempo e espaço, ao longo das quais o comportamento do sistema é determinado;
os parâmetros refletem propriedades ou composição do sistema; e as funções forçantes são as influências externas agindo sobre o sistema.
A expressão matemática real da Equação (1.1) pode variar de uma simples relação algébrica a um conjunto grande e complicado de equações diferenciais. Por
exemplo, com base em suas observações, Newton formulou sua segunda lei do movimento, que afirma que a taxa de variação no tempo do momento de um corpo é
igual à força resultante agindo sobre ele. A expressão matemática, ou modelo, da
segunda lei de Newton é a equação bastante conhecida
(1.2)
F = ma
onde F é a força resultante agindo sobre o corpo (N, ou Kg m/s ), m é a massa do
objeto (kg) e a é a sua aceleração (m/s2).
A segunda lei de Newton pode ser reescrita na forma da Equação (1.1) simplesmente dividindo-se ambos os lados por m para obter
2
a
F
m
(1.3)
onde a é a variável dependente refletindo o comportamento do sistema, F é a função
forçante e m é um parâmetro representando uma propriedade do sistema. Observe
que, para esse caso simples, não há nenhuma variável independente, porque não
estamos prevendo como a aceleração varia no tempo ou no espaço.
A Equação (1.3) possui diversas características típicas de modelos matemáticos
do mundo físico:
Cap.1_Chapra.indd 5
03/12/2012 18:03:59
6
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
Descreve um processo ou sistema natural em termos matemáticos.
Representa uma idealização e simplificação da realidade. Isto é, o modelo ignora detalhes desnecessários do processo natural e se concentra em suas características essenciais. Portanto, a segunda lei de Newton não inclui os efeitos da
relatividade, que são de importância mínima quando aplicados a objetos e forças que interagem perto da superfície da Terra ou sobre ela, com velocidades e
em escalas visíveis aos humanos.
Produz resultados que podem ser reproduzidos e, consequentemente, usados
para propósitos de previsão. Por exemplo, se a força sobre um objeto e sua massa é conhecida, a Equação (1.3) pode ser usada para calcular a aceleração.
Devido à sua forma algébrica simples, a solução da Equação (1.2) é facilmente obtida. Entretanto, outros modelos matemáticos de fenômenos físicos podem
ser muito mais complexos e não podem ser resolvidos exatamente (ou exigem técnicas matemáticas mais sofisticadas que a álgebra simples para sua solução). Para
ilustrar um modelo mais complexo desse tipo, a segunda lei de Newton pode ser
usada para determinar a velocidade terminal de um corpo em queda livre, perto da
superfície da Terra. Nosso corpo em queda livre será um saltador de bungee jumping (Figura 1.1). Um modelo para esse caso pode ser deduzido expressando a
aceleração como taxa de variação no tempo da velocidade (dυ/dt) e substituindo-a
na Equação (1.3) para obter
dυ
F
dt
m
(1.4)
onde υ é a velocidade (m/s) e t é o tempo (s). Portanto, a massa multiplicada pela taxa
de variação da velocidade é igual à força resultante agindo no corpo. Se a força resultante for positiva, o objeto irá acelerar. Se for negativa, o objeto vai desacelerar. Se a
força resultante for nula, a velocidade do objeto permanecerá em um nível constante.
A seguir, vamos expressar a força resultante em termos de variáveis e parâmetros mensuráveis. Para um corpo em queda livre próximo ao solo, a força resultante
será composta de duas forças opostas: a força gravitacional, para baixo, FD e a força
de resistência do ar, para cima, FU:
F FD FU
(1.5)
Se associarmos um sinal positivo à força para baixo, a segunda lei pode ser
usada para escrever a força devida à gravidade como
FD mg
(1.6)
onde g é a aceleração da gravidade, que é aproximadamente igual a 9,81 m/s2.
A resistência do ar pode ser formulada de diversas maneiras. A partir dos conhecimentos de mecânica dos fluidos, uma primeira boa aproximação seria assumir
que ela é proporcional ao quadrado da velocidade,
FU cd υ2
(1.7)
onde cd é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de arraste
concentrado (kg/m). Portanto, quanto maior a velocidade de queda, maior a força
Cap.1_Chapra.indd 6
03/12/2012 18:03:59
7
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
para cima por conta da resistência do ar. O parâmetro cd representa as propriedades
de objetos em queda livre, como a forma ou a rugosidade (aspereza) da superfície,
que afetam a resistência do ar. No caso presente, cd poderia ser uma função do tipo
de vestuário ou da orientação usada pelo saltador durante a queda livre.
A força resultante é a diferença entre a força para baixo e a força para cima.
Portanto, as Equações (1.4) até (1.7) podem ser combinadas para fornecer
dυ
cd
g υ2
dt
m
(1.8)
A Equação (1.8) é um modelo que relaciona a aceleração do objeto em queda às
forças agindo sobre ele. Ela é uma equação diferencial porque é escrita em termos
da taxa de variação diferencial (dυ/dt) da variável que estamos interessados em prever. Entretanto, em contraste com a solução da segunda lei de Newton na Equação
(1.3), a solução exata da Equação (1.8) para a velocidade do saltador não pode ser
obtida utilizando manipulação algébrica simples. Em vez disso, técnicas mais avançadas de cálculo devem ser aplicadas para se obter uma solução exata ou analítica.
Por exemplo, se o saltador está inicialmente em repouso (υ = 0 em t = 0), o cálculo
pode ser usado para resolver a Equação (1.8), fornecendo
υ( t) gm
tanh
cd
gcd
t
m
(1.9)
onde tanh é a tangente hiperbólica que pode ser calculada diretamente1 ou por meio
da função exponencial elementar de acordo com
tanh x e x ex
e x ex
(1.10)
Observe que a Equação (1.9) possui a forma geral da Equação (1.1), onde υ(t) é
a variável dependente, t é a variável independente, cd e m são parâmetros e g é a
função forçante.
EXEMPLO 1.1 Solução analítica para o problema do saltador de bungee jumping
Um saltador de bungee jumping com uma massa de 68,1 kg pula de um balão de ar quente
parado. Use a Equação (1.9) para determinar a velocidade para os 12 segundos iniciais da
queda livre. Determine também a velocidade terminal que será atingida, considerando uma
corda infinitamente longa. Use um coeficiente de arraste de 0,25 kg/m.
Solução. Inserindo os parâmetros na Equação (1.9), obtemos
υ( t) 1
Cap.1_Chapra.indd 7
9,81(68,1)
tanh
0,25
9,81(0,25)
t
68,1
51,6938 tanh (0,18977t)
O MATLAB permite o cálculo direto da tangente hiperbólica pela utilização da função nativa tanh( x ) .
03/12/2012 18:03:59
8
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
que pode ser usada para calcular
t, s
υ, m/s
0
0
2
18,7292
4
33,1118
6
42,0762
8
46,9575
10
49,4214
12
50,6175
∞
51,6938
De acordo com o modelo, o saltador acelera rapidamente (Figura 1.2). Uma velocidade de
49,4214 m/s (cerca de 178 km/h) é atingida após 10 s. Observe também que, após um tempo
suficientemente longo, é atingida uma velocidade constante, chamada de velocidade terminal, de 51,6983 m/s (cerca de 186 km/h). Essa velocidade é constante porque, após um longo
tempo, a força da gravidade estará em equilíbrio com a resistência do ar. Portanto, a força
resultante é nula e a aceleração deixa de existir.
60
Velocidade terminal
υ, m/s
40
20
0
0
4
8
12
t, s
FIGURA 1.2 A solução analítica para o problema do saltador de bungee jumping como
calculada no Exemplo 1.1. A velocidade aumenta com o tempo e se aproxima
assintoticamente da velocidade terminal.
A Equação (1.9) é chamada de solução analítica ou exata porque satisfaz exatamente a equação diferencial original. Infelizmente, existem muitos modelos matemáticos que não possuem solução exata, tornando necessário desenvolver uma solução
numérica que aproxime a solução exata.
Cap.1_Chapra.indd 8
03/12/2012 18:04:00
9
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
υ(ti+1)
Inclinação verdadeira
dυ/dt
Δυ
Inclinação aproximada
υ(ti+1) − υ(ti)
Δυ
=
ti+1 − ti
Δt
υ(ti )
ti+1
ti
t
Δt
FIGURA 1.3 O uso de uma diferença finita para aproximar a primeira derivada de υ
com relação a t.
Como já foi mencionado, os métodos numéricos são aqueles nos quais os
problemas matemáticos são reformulados de forma que possam ser resolvidos por
operações aritméticas. Isso pode ser ilustrado para a segunda lei de Newton, observando que a taxa de variação no tempo da velocidade pode ser aproximada por
(Figura 1.3):
dυ
⬵
dt
υ
υ( ti1 ) υ( ti )
t
ti1 ti
(1.11)
onde ∆υ e ∆t são respectivamente as diferenças na velocidade e no tempo calculadas
sobre intervalos finitos, υ(ti) é a velocidade em um instante inicial ti e υ(ti+1) é a velocidade em um instante posterior ti+1. Observe que dυ/dt ≅ ∆υ/∆t é aproximado porque
∆t é finito. Lembre-se do cálculo que
dυ
lim
t→ 0
dt
υ
t
A Equação (1.11) representa o processo reverso, e é chamada de aproximação
por diferença dividida finita da derivada no instante ti. Ela pode ser substituída na
Equação (1.8) para fornecer
cd
υ(ti1 ) − υ(ti )
g − υ(ti ) 2
ti1 − ti
m
Esta equação pode ser rearranjada para fornecer
υ(ti1 ) υ(ti ) g −
Cap.1_Chapra.indd 9
cd
υ(ti ) 2 (ti1 − ti )
m
(1.12)
03/12/2012 18:04:00
10
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
Observe que o termo entre colchetes é o lado direito da equação diferencial
propriamente dita [Equação (1.8)]. Isto é, ela fornece um meio de calcular a taxa de
variação ou a inclinação de υ. Assim, a equação pode ser reescrita de forma mais
concisa como
dυi
t
(1.13)
dt
onde a nomenclatura υi designa velocidade no instante ti e ∆t = ti+1 – ti.
Podemos ver agora que a equação diferencial foi transformada em uma equação que pode ser usada para determinar algebricamente a velocidade em ti+1 usando
a inclinação e os valores anteriores de υ e t. Se for dado um valor inicial para a velocidade em algum instante ti, pode-se facilmente calcular a velocidade em um instante posterior ti+1. Esse novo valor de velocidade em ti+1 pode, por sua vez, ser usado
para estender o cálculo da velocidade a ti+2, e assim por diante, ou seja, em qualquer
instante ao longo do caminho.
υi1 υi Valor novo = valor inicial + inclinação × tamanho do passo
Essa abordagem é formalmente chamada de método de Euler. Ela será discutida
em detalhes quando falarmos de equações diferenciais mais à frente neste livro.
EXEMPLO 1.2 Solução numérica para o problema do saltador de bungee jumping
Faça os mesmos cálculos que foram feitos no Exemplo 1.1, mas use a Equação (1.12) para calcular a velocidade com o método de Euler. Use um tamanho de passo de 2 s para os cálculos.
Solução. No início dos cálculos (t0 = 0), a velocidade do saltador é zero. Usando essa informação e os valores dos parâmetros do Exemplo 1.1, a Equação (1.12) pode ser usada para
calcular a velocidade em t1 = 2 s.
0,25 2
(0) 2 19,62 m/s
68,1
υ 0 9,81 −
Para o intervalo seguinte (de t = 2 a 4 s), os cálculos são repetidos, com o resultado
υ = 19,62 9,81 −
0,25
(19,62) 2 2 36,4137 m/s
68,1
Continuam-se os cálculos, de forma análoga, para se obter os valores adicionais:
Cap.1_Chapra.indd 10
t, s
υ, m/s
0
2
4
6
8
10
12
∞
0
19,6200
36,4137
46,2983
50,1802
51,3123
51,6008
51,6938
03/12/2012 18:04:00
11
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
60
Velocidade terminal
Solução numérica,
aproximada
υ, m/s
40
Solução analítica, exata
20
0
4
0
8
12
t, s
FIGURA 1.4 Comparação das soluções numérica e analítica do problema do saltador de
bungee jumping.
O resultado é apresentado na Figura 1.4 com a solução exata. É possível verificar que o
método numérico retrata as características essenciais da solução exata; entretanto, como foram usados segmentos de reta para aproximar uma função que se curva continuamente,
existe alguma discrepância entre os dois resultados. Uma forma de minimizar tais discrepâncias seria usar um passo de tamanho menor. Por exemplo, a aplicação da Equação (1.12)
em intervalos de 1 s resulta em um erro menor, já que os segmentos de reta acompanham a
solução verdadeira mais de perto. Fazendo-se os cálculos à mão, o esforço associado ao uso
de passos cada vez menores tornaria tais soluções numéricas impraticáveis. Entretanto,
com o auxílio do computador, uma grande variedade de cálculos pode ser feita facilmente.
Portanto, pode-se modelar com exatidão a velocidade do saltador em queda livre sem ter de
resolver a equação diferencial exatamente.
Como no Exemplo 1.2, para resultados numéricos mais exatos, deve-se contar
com o auxílio do computador. Para cada vez que dividirmos o tamanho do passo
pela metade para obter mais acurácia, deverá ser feito o dobro do número de cálculos.
Assim, vemos que há uma relação entre a acurácia e o reforço computacional. Os prós
e contras dessa relação figuram de forma proeminente nos métodos numéricos e
constituem um tema importante neste livro.
1.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO E ENGENHARIA
Além da segunda lei de Newton, existem outros princípios de organização importantes na engenharia. Entre os mais importantes estão as leis de conservação. Embora elas formem a base para uma variedade de modelos matemáticos complicados e
Cap.1_Chapra.indd 11
03/12/2012 18:04:00
12
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
poderosos, as grandes leis de conservação da ciência e da engenharia são conceitualmente fáceis de entender. Todas elas se reduzem a
Variação = aumento – diminuição
(1.14)
Essa é precisamente a forma empregada quando se usa a lei de Newton para
deduzir o balanço de forças para o saltador de bungee jumping [Equação (1.8)].
Embora simples, a Equação (1.14) representa uma das formas mais fundamentais
de uso das leis de conservação em engenharia – isto é, para predizer variações com
relação ao tempo. Dá-se à Equação (1.14) o nome especial de cálculo dependente do
tempo (ou transiente).
Além de predizer variações, uma outra forma pela qual as leis de conservação
são aplicadas é no caso em que não existe a variação. Se a variação for nula, a Equação
(1.14) se torna
Variação = 0 = aumento – diminuição
ou
(1.15)
Aumento = diminuição
Portanto, se não ocorrer nenhuma variação, o aumento e a diminuição devem estar
balanceados. Esse caso, que também possui um nome especial – o cálculo de estado
estacionário ou regime permanente – tem muitas aplicações em engenharia. Por exemplo, para escoamento estacionário de fluidos incompressíveis em tubos, o escoamento
entrando em uma junção deve ser balanceado pelo escoamento saindo, como em
Escoamento entrando = escoamento saindo
Para a junção na Figura 1.5, o balanço pode ser usado para calcular que o escoamento saindo do quarto duto deve ser 60.
Para o saltador de bungee jumping em queda livre, as condições estacionárias
corresponderiam ao caso cuja força resultante fosse nula ou [Equação (1.8) com
dυ/dt = 0]
mg = cd υ 2
(1.16)
Desse modo, no estado estacionário, as forças para baixo e para cima estão balanceadas e a Equação (1.16) pode ser resolvida para se determinar a velocidade terminal
υ
gm
cd
Embora as Equações (1.14) e (1.15) possam parecer muito simples, elas englobam
as duas formas fundamentais pelas quais as leis de conservação são empregadas na
engenharia e na ciência. Assim, elas constituirão uma parte importante de nossos
esforços nos capítulos subsequentes para ilustrar a conexão entre os métodos numéricos e a engenharia e ciência.
A Tabela 1.1 resume alguns modelos e as leis de conservação associadas que
formam a base para muitas aplicações de engenharia. A maioria dos problemas de
engenharia química envolve balanços de massa para reatores. O balanço de massa é
deduzido da conservação de massa. Ele especifica que a variação de massa de um
produto químico no reator depende da diferença da quantia de massa escoando para
dentro e da quantia de massa escoando para fora.
Cap.1_Chapra.indd 12
03/12/2012 18:04:00
13
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
TABELA 1.1
Área
Dispositivos e tipos de balanços que são comumente usados nas quatro áreas
principais da engenharia. Para cada caso, a lei de conservação na qual o
balanço é baseado está especificada.
Princípio
organizacional
Dispositivo
Expressão matemática
Balanço de massa:
Engenharia
química
Reatores
Conservação
da massa
Saída
Entrada
Ao longo de uma unidade de
período de tempo
∆massa = entradas – saídas
Balanço de força:
+FV
−FH
Engenharia
civil
+FH
Conservação
do momento
Estrutura
−FV
Em cada nó
Σ Forças horizontais (FH) = 0
Σ Forças verticais (FV) = 0
Balanço de força:
Força para cima
x=0
Máquina
Engenharia
mecânica
Conservação
do momento
Força para baixo
2
m d 2x
força para baixo – força
dt
para cima
Balanço de corrente:
+i1
Engenharia
elétrica
Conservação
da carga
−i3
+i2
Em cada nó
Σ corrente (i) = 0
Circuito
Balanço de tensão:
i1R1
i2R2
Conservação
da energia
i3R3
Em torno de cada laço
Σ fem’s – Σ queda de tensão nos
resistores = 0
Σ – Σ iR = 0
Cap.1_Chapra.indd 13
03/12/2012 18:04:00
14
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
Tubo 2
Escoamento para dentro = 80
Tubo 1
Escoamento para dentro = 100
Tubo 4
Escoamento para fora = ?
Tubo 3
Escoamento para fora = 120
FIGURA 1.5 Balanço de escoamento para o escoamento estacionário de um fluido
incompressível na junção de dois tubos.
As aplicações tanto em engenharia civil quanto em engenharia mecânica frequentemente se concentram em modelos desenvolvidos a partir da conservação do
momento. Para a engenharia civil, os balanços de força são utilizados para analisar
estruturas como a treliça simples na Tabela 1.1. Os mesmos princípios são usados
nas aplicações em engenharia mecânica para analisar o movimento transiente para
cima e para baixo ou as vibrações de um automóvel.
Finalmente, as aplicações em engenharia elétrica usam tanto balanços de corrente quanto de energia para modelar os circuitos elétricos. O balanço de corrente
que resulta da conservação da carga é parecido, em essência, com o balanço de escoamento mostrado na Figura 1.5. Da mesma forma que o escoamento deve ser balanceado em uma junção de tubos, também a corrente elétrica deve ser balanceada
em uma junção de fios elétricos. O balanço de energia especifica que as variações
de tensão (mais precisamente as quedas de tensão) ao redor de qualquer laço de um
circuito devem totalizar zero.
É importante salientar que existem diversos outros ramos da engenharia além
da química, civil, mecânica e elétrica. A maior parte deles está relacionada às Quatro Grandes Engenharias. Por exemplo, os conhecimentos da engenharia química
são extensivamente utilizados em áreas como engenharia ambiental, de petróleo e
biomédica. De modo similar, a engenharia aeroespacial tem muito em comum com
a engenharia mecânica. Abordaremos essas áreas por meio de exemplos ao longo
deste livro.
1.3 MÉTODOS NUMÉRICOS ABORDADOS NESTE LIVRO
O método de Euler foi escolhido para este capítulo introdutório porque é típico de
várias outras classes de métodos numéricos. Em essência, a maior parte dos métodos
consiste na reformulação de operações matemáticas mais complexas, transformando-as em operações algébricas e lógicas simples compatíveis com computadores
digitais. A Figura 1.6 resume as principais áreas abordadas neste livro.
Cap.1_Chapra.indd 14
03/12/2012 18:04:00
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
(a) Parte 2: Raízes e otimização
15
f(x)
Raízes: Resolva para x de modo que f(x) 0
Raízes
Otimização: Resolva para x de modo que f ′(x) 0
x
Ótimos
(b) Parte 3: Equações algébricas lineares
x2
Dados a e b, resolva para x
Solução
a11x1 a12 x2 b1
a21x1 a22 x2 b2
x1
(c) Parte 4: Ajuste de curvas
f(x)
f(x)
Interpolação
Regressão
x
(d) Parte 5: Integração e diferenciação
x
dy/dx
y
Integração: Encontre a área sob a curva
Diferenciação: Encontre a inclinação da curva
I
x
(e) Parte 6: Equações diferenciais
Dado
dy
y
f (t, y),
dt
t
resolva para y como uma função de t
yi 1 yi f (ti, yi) t
y
Inclinação f(ti, yi)
t
t
FIGURA 1.6 Resumo dos métodos numéricos abordados neste livro.
A Parte 2 trata de dois tópicos relacionados: determinação de raízes e otimização. Como mostra a Figura 1.6a, a localização de raízes está relacionada à busca dos
zeros de uma função. A otimização, por sua vez, envolve a determinação de um
valor (ou valores) de uma variável independente que corresponde ao “melhor” valor
ou valor ótimo de uma função. Portanto, como indicado na Figura 1.6a, a otimização
envolve a identificação de máximos e mínimos. Embora sejam empregadas abordagens um pouco diferentes, tanto a localização de raízes como a otimização surgem,
normalmente, em contextos de projetos de engenharia.
A Parte 3 é dedicada à solução de sistemas de equações algébricas lineares simultâneas (Figura 1.6b). Esses problemas são similares, em essência, aos das raízes
de equações, uma vez que dizem respeito aos valores que satisfazem tais equações.
Entretanto, em vez de satisfazer uma única equação, é procurado um conjunto de
Cap.1_Chapra.indd 15
03/12/2012 18:04:00
16
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
valores que satisfaça simultaneamente um conjunto de equações algébricas lineares.
Essas equações aparecem em uma grande variedade de problemas e em todas as disciplinas da engenharia. Em particular, elas se originam na modelagem matemática de
grandes sistemas de elementos interconectados, como estruturas, circuitos elétricos e
redes de fluidos. Entretanto, também são encontradas em outras áreas dos métodos
numéricos, como ajuste de curvas e equações diferenciais.
Como um engenheiro ou cientista, você frequentemente terá a oportunidade (e
a necessidade) de ajustar curvas a um conjunto de dados. As técnicas desenvolvidas
para esse propósito podem ser divididas em duas categorias gerais: regressão e interpolação. Como descrito na Parte 4 (Figura 1.6c), a regressão é empregada quando existe um grau significativo de erro associado aos dados. Os resultados experimentais são geralmente desse tipo. Para tais situações, a estratégia é desenvolver
uma única curva que represente a tendência geral dos dados, sem necessariamente
coincidir com nenhum ponto individual.
A interpolação, por sua vez, é usada quando o objetivo é determinar valores
intermediários entre dados relativamente livres de erros – normalmente, é o caso
para informações tabuladas. Para tais situações, a estratégia é ajustar a curva diretamente pelos pontos dados e usar essa curva para prever os valores intermediários.
Como mostra a Figura 1.6d, a Parte 5 é dedicada à integração e à diferenciação.
Uma interpretação física da integração numérica é a determinação da área sob a
curva, e possui muitas aplicações na engenharia e na ciência, variando da determinação de centroides de objetos de forma estranha a cálculos de quantidades totais
baseados em conjuntos de medidas discretas. Além disso, as fórmulas de integração
numérica desempenham um papel importante na solução de equações diferenciais.
A Parte 5 também aborda métodos para diferenciação numérica. Como você deve
ter aprendido nos estudos de cálculo, a diferenciação envolve a determinação da
inclinação de uma função ou sua taxa de variação.
Finalmente, a Parte 6 se concentra na solução de equações diferenciais ordinárias (Figura 1.6e). Essas equações possuem grande importância em todas as áreas da
engenharia e da ciência, e isso ocorre porque muitas leis físicas são descritas em
termos da taxa de variação de uma quantidade em vez do valor da quantidade propriamente dita. Os exemplos variam de modelos de previsão populacional (taxa de
variação da população) à aceleração de um corpo em queda livre (taxa de variação
da velocidade). Dois tipos de problemas são tratados: problemas de valor inicial e
valor de contorno.
►1.4 ESTUDO DE CASO
FORÇA DE ARRASTE REAL
Contextualização. Em nosso modelo do saltador de bungee jumping em queda livre, foi
assumido que a força de arraste (força de resistência do ar) depende do quadrado da velocidade (Equação 1.7). Uma representação mais detalhada, originalmente formulada por
Lord Rayleigh, pode ser escrita como
1
Fd ρυ2 ACd υ
2
(1.17)
➠
Cap.1_Chapra.indd 16
03/12/2012 18:04:00
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
17
onde Fd é a força de arraste (N), ρ é a densidade do fluido (kg/m3), A é a área frontal do
objeto em um plano perpendicular à direção de movimento (m2), Cd é um coeficiente de
arraste adimensional e υ é um vetor unitário indicando o sentido da velocidade.
Essa relação, que assume condições turbulentas (isto é, um número de Reynolds elevado), permite expressar o coeficiente de arraste concentrado da Equação (1.7) em termos
mais fundamentais como
1
(1.18)
ρ ACd
2
Assim, o coeficiente de arraste concentrado depende da área do objeto, da densidade
do fluido e de um coeficiente de arraste adimensional. Este último leva em conta todos os
outros fatores que contribuem para a resistência do ar, como a “rugosidade” (ou aspereza)
do objeto. Por exemplo, um saltador vestindo um traje largo terá um Cd maior que outro
vestindo um macacão liso próprio para saltos.
Observe que para os casos em que a velocidade é muito baixa, o regime de fluxo em
torno do objeto será laminar e a relação entre a força de arraste e a velocidade torna-se linear. Essa relação linear é chamada de lei de Stokes para o coeficiente de arraste.
No desenvolvimento de nosso modelo para o saltador de bungee jumping foi assumido
que o sentido para baixo era positivo. Assim, a Equação (1.7) é uma representação acurada
da Equação (1.17), pois υ = +1 e a força de arraste é negativa. Portanto, o arraste diminui a
velocidade.
Mas o que acontece se o saltador possuísse uma velocidade para cima (isto é, negativa)? Nesse caso, υ = –1 e a Equação (1.17) forneceria uma força de arraste positiva. Novamente, teríamos uma representação fisicamente correta, uma vez que a força de arraste
positiva age para baixo contra a velocidade negativa para cima.
Infelizmente, neste estudo de caso, a Equação (1.7) fornece uma força de arraste negativa, porque ela não inclui o vetor unitário direcional. Em outras palavras, ao elevar a
velocidade ao quadrado, seu sinal – e, portanto, seu sentido – é perdido. Como consequência, o modelo fornece um resultado fisicamente inconsistente, que corresponde à resistência do ar agindo de modo a acelerar o objeto para cima (ou seja, a força de arraste age a
favor e não contra o movimento do saltador).
Modificaremos então nosso modelo de modo que ele funcione adequadamente para
velocidades orientadas tanto para baixo como para cima. Após isso, vamos testar o modelo
modificado para o mesmo caso do Exemplo 1.2, porém com um valor inicial de υ(0) = –40 m/s.
Além disso, ilustraremos como estender a análise numérica para determinar a posição do
saltador.
Cd =
Solução. A modificação simples a seguir permite incorporar o sinal na força de arraste:
1
Fd = − ρυ |υ| ACd
2
(1.19)
ou, em termos do coeficiente de arraste concentrado:
Fd = −cd υ|υ|
Assim, a equação diferencial a ser resolvida é
dυ
cd
= g − υ|υ|
dt
m
(1.20)
(1.21)
➠
Cap.1_Chapra.indd 17
03/12/2012 18:04:00
18
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
(a) Velocidade, m/s
60
40
Arraste correto
υ, m/s
20
0
4
8
12
t, s
Arraste incorreto
–20
–40
(b) Altura, m
200
Arraste incorreto
x, m
100
0
4
8
t, s
12
–100
Arraste correto
–200
FIGURA 1.7 Gráficos de (a) velocidade e (b) altura para o saltador de bungee jumping em queda
livre com uma velocidade inicial para cima (negativa) obtidos com o método de Euler.
São exibidos os resultados para a formulação de arraste correta (Equação 1.20) e
incorreta (Equação 1.7).
Com o objetivo de determinar a posição do saltador, consideramos que a distância
percorrida, x(m), é relacionada à velocidade por
dx
= −υ
dt
(1.22)
Em contraste com a velocidade, essa formulação assume que a distância para cima é
positiva. Da mesma forma que a Equação (1.12), essa equação pode ser integrada numericamente com o método de Euler:
xi+ 1 = xi − υ(ti
t
(1.23)
➠
Cap.1_Chapra.indd 18
03/12/2012 18:04:00
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
19
Assumindo que a posição inicial do saltador é definida como x(0) = 0, e usando os
valores dos parâmetros dos Exemplos 1.1 e 1.2, a velocidade e a distância em t = 2 s podem
ser calculadas como
υ(2) = − 40 + 9,81 −
0,25
(− 40)(40) 2 = − 8,6326 m/s
68,1
x(2) = 0 − (− 40)2 = 80 m
Observe que, se tivéssemos utilizado a formulação incorreta para o arraste, os resultados seriam –32,1274 m/s e 80 m.
O cálculo pode ser repetido para o próximo intervalo (t = 2 a 4 s):
υ(4) = − 8,6326 + 9,81 −
0,25
(−8,6326)(8,6326) 2 = 11,5346 m/s
68,1
x(4) = 80 − (− 8,6326)2 = 97,2651 m
A formulação incorreta para o arraste fornece –20,0858 m/s e 144,2549 m.
Dando continuidade aos cálculos, são obtidos os resultados mostrados na Figura 1.7
com aqueles obtidos com o modelo de arraste incorreto. Observe que a formulação correta
indica uma desaceleração mais rápida porque a força de arraste sempre age diminuindo a
velocidade.
Neste caso, com o tempo, ambas as soluções da velocidade convergirão para a mesma
velocidade terminal, pois por acaso estão orientadas para baixo; isto é, a Equação (1.7) está
correta. No entanto, o impacto sobre a predição da altura do objeto é bastante significativo
para o caso de arraste incorreto, resultando em uma trajetória muito mais alta.
Este estudo de caso mostra como é importante empregar um modelo fisicamente correto. Em alguns casos, a solução fornecerá resultados que são claramente inconsistentes.
Por outro lado, o exemplo apresentado é mais “traiçoeiro”, uma vez que não há evidência
visual de que a solução com arraste incorreto está errada. Isto é, a solução incorreta parece
razoável.
►►PROBLEMAS
1.1 Use o cálculo para verificar que a Equação
(1.9) é uma solução da Equação (1.8) para a condição inicial υ(0) = 0.
1.2 Use o cálculo para resolver a Equação (1.21)
para o caso em que a velocidade inicial é (a) positiva e (b) negativa. (c) Com base em seus resultados
para (a) e (b), efetue os mesmos cálculos como no
Exemplo 1.1, mas com uma velocidade inicial de
–40 m/s. Calcule os valores de velocidade de t = 0
até 12 s em intervalos de 2 s. Observe que para esse
caso, a velocidade nula ocorre em t = 3,470239 s.
1.3 As seguintes informações estão disponíveis
para uma conta bancária:
Cap.1_Chapra.indd 19
Data
1/5
1/6
1/7
1/8
Depósitos
Saques
Balanço
220,13
327,26
1.512,33
216,80
378,61
450,25
106,80
127,31
350,61
1/9
Observe que o dinheiro rende juros, calculados da
seguinte forma:
Juros = i Bi
03/12/2012 18:04:01
20
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
onde i = a taxa de juros expressa como uma fração
por mês, e Bi = o balanço inicial no começo do mês.
(a) Use a conservação do dinheiro para calcular
o balanço em 1/6, 1/7, 1/8 e 1/9 se a taxa de
juros for 1% por mês (i = 0,01/mês). Mostre
cada etapa dos cálculos.
(b) Escreva uma equação diferencial para o balanço de dinheiro na forma
dB
= f [D(t), W (t), i]
dt
onde t = tempo (meses), D(t) = depósito como
uma função do tempo (R$/mês), W(t) = saques
como uma função do tempo (R$/mês). Para
esse caso, assuma que os juros são compostos
continuamente; isto é, juros = iB.
(c) Use o método de Euler com um passo de tempo de 0,5 mês para simular o balanço. Assuma
que os depósitos e saques são efetuados uniformemente ao longo do mês.
(d) Faça um gráfico de balanço versus tempo
para (a) e (c).
1.4 Repita o Exemplo 1.2. Calcule a velocidade para
t = 12 s com um tamanho de passo de (a) 1 e (b) 0,5 s.
Com base nos resultados, você pode fazer alguma
afirmação com relação aos erros nos cálculos?
1.5 Em vez da relação não linear da Equação (1.7),
você poderia escolher modelar a força para cima
no saltador de bungee jumping como uma relação
linear:
FU = cʹυ
onde cʹ é um coeficiente de arraste de primeira
ordem (kg/s).
(a) Usando o cálculo, obtenha a solução na forma fechada, no caso em que o saltador está
inicialmente em repouso (υ = 0 em t = 0).
(b) Repita o cálculo numérico do Exemplo 1.2 com
a mesma condição inicial e os mesmos valores de parâmetros. Use um valor de 11,5 kg/s
para cʹ.
1.6 Para o saltador de bungee jumping em queda
livre com arraste linear (Problema 1.5), considere
inicialmente um indivíduo de 70 kg com um coeficiente de arraste de 12 kg/s. Se um segundo saltador tem um coeficiente de arraste de 15 kg/s e
uma massa de 80 kg, quanto tempo levará para ele
atingir a mesma velocidade que o primeiro atingiu em 9 s?
Cap.1_Chapra.indd 20
1.7 Para o modelo de arraste de segunda ordem
[Equação (1.8)], calcule a velocidade de um paraquedista em queda livre utilizando o método de Euler
para o caso em que m = 80 kg e cd = 0,25 kg/m. Realize os cálculos de t = 0 até 20 s com um tamanho de
passo de 1 s. Use uma condição inicial em que o
paraquedista tenha uma velocidade para cima de
20 m/s em t = 0. Em t = 10 s, considere que o paraquedas é instantaneamente aberto, de forma que o
coeficiente de arraste pule para 1,5 kg/m.
1.8 A quantidade de contaminante radioativo uniformemente distribuído em um reator fechado é
medida pela sua concentração c (becquerel/litro ou
Bq/L). O contaminante diminui a uma taxa de decaimento proporcional à sua concentração; isto é,
Taxa de decaimento = –kc
onde k é uma constante, com unidade de dia–1. Portanto, de acordo com a Equação (1.14), um balanço de massa para o reator pode ser escrito como
dc
=
−kc
dt
diminuição
variação
=
por decaimento
na massa
(a)
Use o método de Euler para resolver essa
equação de t = 0 até 1 d com k = 0,175 d–1. Use
um tamanho de passo ∆t = 0,1 d. A concentração em t = 0 é 100 Bq/L.
(b) Trace a solução em um gráfico semilog (isto
é, ln c versus t) e determine a inclinação. Interprete seus resultados.
1.9 Um tanque de armazenamento (Figura P1.9)
contém um líquido à profundidade y, onde y = 0
quando o tanque está cheio até a metade. O líquido é retirado do tanque a uma vazão constante Q
para atender à demanda. O conteúdo é reposto a
uma taxa senoidal de 3Q sen 2(t). A Equação (1.14)
pode ser reescrita para esse sistema como
d( Ay)
= 3Q sen 2 (t) −
Q
dt
fluxo
variação
fluxo
=
para dentro − para fora
no volume
ou, já que a área da superfície, A, é constante
dy
Q
Q
= 3 sen 2 (t) −
dt
A
A
Use o método de Euler para encontrar a profundidade y de t = 0 a 10 d com um tamanho de passo de
03/12/2012 18:04:01
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
21
y
r
Q
y
topo
topo
entrada
y
y
0
saída
s
Q
1
saída
0
FIGURA P1.11
FIGURA P1.9
0,5 d. Os valores dos parâmetros são A = 1.250 m2
e Q = 450 m3/d. Suponha que a condição inicial seja
y = 0.
1.10 Para o mesmo tanque de armazenamento
descrito no Problema 1.9, considere que o fluxo de
líquido para fora não seja constante, mas dependa
da profundidade. Nesse caso, a equação diferencial para a profundidade pode ser escrita como
dy
α(1 + y) 1,5
Q
= 3 sen2 (t) −
dt
A
A
Use o método de Euler para encontrar a profundidade y de t = 0 a 10 d com um tamanho de
passo de 0,5 d. Os valores dos parâmetros são
A = 1.250 m 2, Q = 450 m 3/d e α = 150. Considere
que a condição inicial seja y = 0.
1.11 Aplique a conservação de volume (ver Problema 1.9) para simular o nível de líquido em um
tanque de armazenamento cônico (Figura P1.11).
O líquido flui para dentro do tanque a uma taxa
senoidal de Qentrada = 3 sen 2(t) e flui para fora de
acordo com
Q saída = 3( y − ysaída ) 1,5
Q saída = 0
y > ysaída
y ≤ ysaída
onde o fluxo tem unidade de m3/d e y é a elevação
da superfície da água acima do fundo do tanque
(m). Use o método de Euler para resolver para a
profundidade y para t = 0 a 10 d com um tamanho
de passo de 0,5 d. Os valores dos parâmetros são
rtopo = 2,5 m, ytopo = 4 m e ysaída = 1 m. Considere
que o nível esteja inicialmente abaixo do tubo de
saída com y(0) = 0,8 m.
Cap.1_Chapra.indd 21
1.12 Um grupo de 35 alunos assiste aula em uma
sala que mede 11 m × 8 m × 3 m. Cada estudante
ocupa cerca de 0,075 m 3 e libera cerca de 80 W
de calor (1 W = 1 J/s). Calcule o aumento da temperatura do ar durante os primeiros 20 minutos de
aula, se a sala estiver completamente selada e isolada. Considere que a capacidade térmica Cυ do ar
seja 0,718 kJ(kg K), e que o ar seja um gás ideal a
20 ºC e 101,325 kPa. Observe que o calor absorvido pelo ar, Q, está relacionado à massa de ar m, à
capacidade térmica e à variação de temperatura
pela seguinte relação:
T2
Q= m
T1
Cυ dT = mCυ (T2 − T1 )
A massa de ar pode ser obtida da lei dos gases
ideais:
PV =
m
RT
Mwt
onde P é a pressão do gás, V é o volume do gás, T
é a temperatura do gás, Mwt é o peso molecular
do gás (para o ar, 28,97 kg/kmol) e R é a constante dos gases ideais [8,314 kPa m3(kmol K)].
1.13 A Figura P1.13 mostra as diversas formas
pelas quais um homem comum ganha e perde
água durante um dia. Um litro é ingerido com a
comida e o corpo metabolicamente produz 0,3 L.
Respirando o ar, a troca é 0,05 L enquanto inala, e
0,4 L enquanto exala, em um período de um dia.
O corpo também vai perder 0,3, 1,4, 0,2 e 0,35 L
através de suor, urina, fezes e pela pele, respectivamente. Para manter uma condição estacionária,
quanta água deve ser bebida por dia?
03/12/2012 18:04:01
22
Parte 1 Modelagem, computadores e análise de erros
Pele
Fezes
Urina
Comida
Ar
Corpo
Suor
Bebida
Metabolismo
FIGURA P1.13
1.14 No exemplo do saltador de bungee jumping
em queda livre, assumimos que a aceleração da
gravidade era uma constante de valor 9,81 m/s2.
Embora esta seja uma boa aproximação ao examinar objetos caindo perto da superfície da Terra, a
força gravitacional decresce quando nos movemos
para cima do nível do mar. Uma representação
mais geral, baseada na lei da gravitação universal
de Newton, pode ser escrita como
g(x) = g(0)
R2
( R + x) 2
onde g(x) é a aceleração da gravidade na altura x
(em m) medida para cima a partir da superfície da
Terra (m/s2), g(0) é a aceleração da gravidade na
superfície da Terra (≅ 9,81 m/s2) e R é o raio da
Terra (≅ 6,37 × 106 m).
(a) Em uma forma similar à dedução da Equação (1.8), utilize o balanço de forças para deduzir uma equação diferencial para a velocidade como uma função do tempo que use
essa representação mais completa da gravitação. Entretanto, para tal dedução, considere
que a velocidade para cima seja positiva.
(b) Para o caso de o arraste ser desprezível, use a
regra da cadeia para expressar a equação diferencial como uma função da altura em vez do
tempo. Lembre-se de que a regra da cadeia é
dυ
dυ dx
=
dt
dx dt
(c)
(d)
Use o cálculo para obter uma solução na forma fechada em que υ = υ 0 em x = 0.
Use o método de Euler para obter uma solução numérica de x = 0 até 100.000 m utili-
Cap.1_Chapra.indd 22
zando um passo de 10.000 m, com velocidade inicial de 1.500 m/s para cima. Compare
seu resultado com a solução analítica.
1.15 Considere uma gotícula esférica de líquido
que evapora a uma taxa que é proporcional à área
de sua superfície.
dV
= −k A
dt
onde V é o volume (mm3), t é o tempo (min), k é a
taxa de evaporação (mm/min) e A é a área da superfície (mm 2). Use o método de Euler para calcular o volume da gotícula de t = 0 a 10 min usando
um tamanho de passo de 0,25 min. Considere
que k = 0,08 mm/min e que a gotícula tenha inicialmente um raio de 2,5 mm. Avalie a validade
de seus resultados determinando o raio do seu volume final calculado e verificando que ele é consistente com a taxa de evaporação.
1.16 Um fluido é bombeado para dentro da rede
mostrada na Figura P1.16. Se Q2 = 0,7, Q3 = 0,5,
Q7 = 0,1 e Q8 = 0,3 m3/s, determine os outros fluxos.
Q1
Q3
Q2
Q10
Q5
Q4
Q9
Q6
Q7
Q8
FIGURA P1.16
1.17 A lei de resfriamento de Newton diz que a
temperatura de um corpo varia a uma taxa proporcional à diferença entre a sua temperatura e a
temperatura do meio que o cerca (a temperatura
ambiente),
dT
= −k(T − Ta )
dt
onde T é a temperatura do corpo (ºC), t é o tempo
(min), k é a constante de proporcionalidade (por
minuto) e Ta é a temperatura ambiente (ºC). Considere uma xícara de café que originalmente tenha
a temperatura de 70 ºC. Use o método de Euler
para calcular a temperatura de t = 0 a 20 min utilizando um tamanho de passo de 2 min se Ta = 20 ºC
e k = 0,019/min.
03/12/2012 18:04:01
Capítulo 1 Modelagem matemática, métodos numéricos e solução de problemas
1.18 Você está trabalhando como investigador
de uma cena de crime e deve prever a temperatura de
uma vítima de homicídio ao longo de um período
de 5 h. Você sabe que a temperatura da sala onde
a vítima foi encontrada estava em 10 ºC quando o
corpo foi descoberto.
(a) Use a lei de resfriamento de Newton (Problema 1.17) e o método de Euler para calcular a temperatura do corpo da vítima para o
período de 5 h usando valores de k = 0,12/h
e ∆t = 0,5 h. Assuma que a temperatura do
corpo da vítima no instante da morte era 37 ºC
e que a temperatura da sala estava em um valor
constante de 10 ºC ao longo do período de 5 h.
(b) Investigações adicionais revelam que, na realidade, a temperatura da sala decaiu linearmente de 20 para 10 ºC ao longo do período
de 5 h. Repita os mesmos cálculos do item (a),
porém incorporando essa nova informação.
(c) Compare os resultados de (a) e (b) traçando-os
em um mesmo gráfico.
1.19 A velocidade é igual à taxa de variação da
posição x (m):
dx
= υ(t)
dt
(P1.19)
Use o método de Euler para integrar numericamente as Equações (P1.19) e (1.8) para determinar
a velocidade e a posição do objeto durante a queda
como uma função do tempo para os primeiros 10
segundos de queda livre, utilizando os mesmos
Cap.1_Chapra.indd 23
23
parâmetros e condições do Exemplo 1.2. Faça um
gráfico de seus resultados.
1.20 Além da força de gravidade para baixo
(peso) e do arraste, um objeto caindo através de
um fluido também está sujeito à força de empuxo
que é proporcional ao volume deslocado. Por
exemplo, para uma esfera com diâmetro d (m), o
volume da esfera é V = π d 3/6 e sua área projetada
é A = π d 2/4. A força de empuxo pode ser calculada como Fb = – ρVg. O empuxo foi desconsiderado
na dedução da Equação (1.8) porque ele é relativamente pequeno para um objeto como um saltador
de bungee jumping se movendo através do ar. No
entanto, para fluidos mais densos como a água,
ele torna-se mais significativo.
(a) Deduza uma equação diferencial da mesma
forma como a Equação (1.8), mas inclua a força de empuxo e represente a força de arraste
como descrito na Seção 1.4.
(b) Reescreva a equação diferencial obtida em
(a) para o caso especial de uma esfera.
(c) Use a equação determinada em (b) para calcular a velocidade terminal (isto é, a velocidade para o estado estacionário). Use os seguintes valores de parâmetros para a esfera
em queda através da água: diâmetro da esfera
= 1 cm, densidade da esfera = 2.700 kg/m3,
densidade da água = 1.000 kg/m3, e Cd = 0,47.
(d) Use o método de Euler com um tamanho de
passo de ∆t = 0,03125 s para resolver numericamente a equação para velocidade de t = 0
a 0,25 s, considerando a velocidade inicial
igual a zero.
03/12/2012 18:04:01