Teoria dos Conjuntos - Sheila Morais de Almeida

Teoria dos Conjuntos
Matemática Discreta
Teoria dos Conjuntos - Parte I
Profa. Sheila Morais de Almeida
DAINF-UTFPR-PG
abril - 2017
Teoria dos Conjuntos
Notação
Letras maiúsculas: conjuntos.
Letras minúsculas: elementos do conjunto.
Pertinência: o sı́mbolo ∈ denota que um elemento a pertence a um
conjunto C , a ∈ C .
Teoria dos Conjuntos
Notação
Se A = {roxo, verde, marrom, amarelo, vermelho}, então:
verde ∈ A e azul 6∈ A.
Ordem dos elementos
A ordem não importa: {roxo, verde, marrom, amarelo, vermelho} e
{amarelo, verde, vermelho, roxo, marrom} são o mesmo conjunto.
Teoria dos Conjuntos
Notação
Conjuntos podem ser finitos ou não.
Para descrever um conjunto temos que identificar seus elementos.
Se o conjunto é finito: basta listar todos.
Teoria dos Conjuntos
Notação
E se o conjunto é infinito?
1) Podemos apresentar um padrão:
{2, 4, 6, . . .}
{2, 3, . . .}
{2, 3, . . .}
Teoria dos Conjuntos
Notação
E se o conjunto é infinito?
1) Podemos apresentar um padrão:
{2, 4, 6, . . .}
{2, 3, . . .}
{2, 3, . . .}
Teoria dos Conjuntos
Notação
E se o conjunto é infinito?
1) Podemos apresentar um padrão:
{2, 4, 6, . . .}
{2, 3, 5, 7, . . .}
{2, 3, 4, 5, 6, . . .}
Teoria dos Conjuntos
Notação
E se o conjunto é infinito?
2) Podemos definir recursivamente:
1
2∈S
2
Se n ∈ S, então n + 2 ∈ S.
Teoria dos Conjuntos
Notação
E se o conjunto é infinito?
3) Podemos identificar a propriedade relevante para determinar
quais os elementos do conjunto e escrevê-la em palavras:
{x|x é um inteiro positivo par}.
Esta última é a forma mais clara de apresentar um conjunto.
Teoria dos Conjuntos
Notação
De forma geral, para o conjunto dos elementos x que satisfazem a
propriedade P(x), escrevemos:
S = {x|P(x)}
é o mesmo que: (∀x)[(x ∈ S → P(x)) ∧ (P(x) → x ∈ S)}.
Teoria dos Conjuntos
Notação
Exemplos
A = {x|(∃y )(y ∈ {0, 1, 2} ∧ x = y 3 }
B = {x|x ∈ N ∧ (∃y )(y ∈ N ∧ x ≤ y }
C = {x|x ∈ N ∧ (∀y )(y ∈ N → x > y }
Teoria dos Conjuntos
Notação
Alguns conjuntos famosos tem um nome e sı́mbolo padrão para
representá-los:
Z - números inteiros
N - números naturais
Q - números racionais
R - números reais
C - números complexos
∅ ou {} - conjunto vazio (sem elementos)
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Por exemplo, {Z, N, Q, R, C, {}}.
Teoria dos Conjuntos
Notação
Quando todo elemento de um conjunto A é também elemento de
um conjunto B,
• dizemos que A é subconjunto de B;
• denotamos A ⊆ B.
• por definição: (∀x)(x ∈ A → x ∈ B).
Teoria dos Conjuntos
Notação
Exemplo
T é subconjunto de S?
S = {x|x é múltiplo de 4}
T = {x|x é múltiplo de 8}
Prove: Se x é múltiplo de 8, então x é múltiplo de 4.
Teoria dos Conjuntos
Diagramas de Venn
Uma forma gráfica de representar conjuntos e suas relações é usar
um Diagrama de Venn.
Um retângulo representa o Universo (U) que contém todos os
objetos em consideração.
Cı́rculos representam conjuntos de elementos desse universo.
Teoria dos Conjuntos
Diagramas de Venn
Exemplo de Diagrama de Venn para o conjunto das vogais. O
Universo é o alfabeto da lı́ngua portuguesa.
a
e
i
o
u
Alfabeto
Teoria dos Conjuntos
Diagramas de Venn
Exemplo de Diagrama de Venn para A ⊆ B em um universo U.
U
A
B
Teoria dos Conjuntos
Notação
Quando A ⊆ B e A 6= B, então:
• existem elementos em B que não pertencem a A;
• denotamos A ⊂ B;
• dizemos que A está propriamente contido em B;
• ou que A é um subconjunto próprio de B.
Teoria dos Conjuntos
Notação
Exemplo
A = {1, 7, 9, 15}
B = {7, 9}
C = {7, 9, 15, 20}
15 ∈ C
{7, 9} ⊆ B
{7} ⊂ A
∅⊆C
Teoria dos Conjuntos
Notação
Exemplo
A = {1, 7, 9, 15}
B = {7, 9}
C = {7, 9, 15, 20}
B⊆C
B⊆A
B⊂A
A 6⊂ C
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: a ∈ S? não!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: a ∈ S? não!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {a} ⊆ S? não!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {a} ⊆ S? não!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {a} ∈ S? sim!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {a} ∈ S? sim!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {a, b} ⊆ S? não!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {a, b} ⊆ S? não!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {a, b} ∈ S? sim!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {a, b} ∈ S? sim!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {{a}, {b}} ⊆ S? sim!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Pode-se ter um conjunto de conjuntos.
Outro exemplo: S = {{}, {a}, {b}, {a, b}}.
Pergunta: {{a}, {b}} ⊆ S? sim!
Teoria dos Conjuntos
Notação
Igualdade de conjuntos
Definição
Dois conjuntos são iguais se eles contém os mesmos elementos:
A = Bsignifica(∀x)[(x ∈ A ↔ x ∈ B)]
Neste caso, A ⊆ B e B ⊆ A.
A = {x|x ∈ N ∧ x 2 < 15}
B = {x|x ∈ N ∧ 2x < 7}
Prove: Se x ∈ N e x 2 < 15, então 2x < 7.
Prove: Se x ∈ N e 2x < 7, então x 2 < 15.
Teoria dos Conjuntos
Notação
Cardinalidade do Conjunto
A cardinalidade é o tamanho do conjunto, ou seja, a quantidade de
elementos que o mesmo contém.
Exemplo:
A = {a, d, f , j, k, s} tem cardinalidade 6.
Denotamos: |A| = 6.
Teoria dos Conjuntos
Notação
Exemplo:
A = {x : x ∈ Z+ ∧ x é ı́mpar ∧ x < 10}.
Então |A| = 5.
Teoria dos Conjuntos
Potência de Conjuntos
A potência de um conjunto (ou conjunto das partes) é o
conjunto dos seus subconjuntos.
A = {2, 3, 4}
P(A) = {∅, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}}
Se S tem n elementos, quantos elementos tem P(S)?. Prove para
n ≥ 0.
Teoria dos Conjuntos
Potência de Conjuntos
Exemplo: Qual o conjunto das partes do conjunto vazio?
O conjunto vazio não tem elementos: {}.
Então tem somente um subconjunto, ele mesmo: P(∅) = {∅}.
Teoria dos Conjuntos
Potência de Conjuntos
Exemplo: Qual o conjunto das partes do conjunto vazio?
O conjunto vazio não tem elementos: {}.
Então tem somente um subconjunto, ele mesmo: P(∅) = {∅}.
Teoria dos Conjuntos
Potência de Conjuntos
Exemplo: Qual o conjunto das partes do conjunto {∅}?
Há dois elementos ∅ e o próprio conjunto {∅}.
Então tem dois subconjuntos: P({∅}) = {∅, {∅}}.
Teoria dos Conjuntos
Potência de Conjuntos
Exemplo: Qual o conjunto das partes do conjunto {∅}?
Há dois elementos ∅ e o próprio conjunto {∅}.
Então tem dois subconjuntos: P({∅}) = {∅, {∅}}.
Teoria dos Conjuntos
Referências
Kenneth ROSEN. Discrete Mathematics and Its Applications.
McGraw-Hill Education, 6th edition (July 26, 2006).
Judith L. GERSTING. Mathematical Structures for Computer
Science. 5th Ed.