Mov 2017 - Professor Gomes

2017
Movimento em uma Dimensão
JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
www.professorgomes.com.br
NOTA DE AULA
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO
1 INTRODUÇÃO
Qual distância um avião deve percorrer em uma pista antes de atingir a velocidade de decolagem? Quando você
lança uma bola diretamente de baixo para cima, que altura ela atinge? Quando um copo escorrega de sua mão, de
quanto tempo você dispõe para segurá-lo antes que ele atinja o solo? São estes os tipos de perguntas que você
aprenderá a responder neste capítulo. O objetivo deste e do próximo capítulo é o estudo da cinética, a parte da
mecânica que trata do movimento. Mais tarde, estudaremos a dinâmica, a relação entre o movimento e suas causas.
Neste capítulo estudaremos o tipo mais simples de movimento: uma partícula se deslocando ao longo de uma
linha reta. Para descrever esse movimento, introduziremos as grandezas físicas de velocidade e aceleração. Essas
grandezas possuem definições simples na física; contudo, essas definições são mais precisas e um pouco diferentes das
usadas na linguagem cotidiana. Uma observação importante nas definições de velocidade e de aceleração dadas por um
físico é que essas grandezas são vetores. Como vimos no capítulo de Vetores, elas possuem módulo, direção e sentido.
Neste capítulo estamos apenas interessados em descrever o movimento em uma linha reta, de modo que não
necessitamos por enquanto do tratamento matemático completo dos Vetores. Porém, no próximo capítulo,
abordaremos o movimento em duas e em três dimensões, casos em que o uso de vetores é essencial.
Desenvolveremos equações simples para descrever o movimento no caso especialmente importante em que a
aceleração permanece constante.
Um exemplo é a queda livre de um corpo. Também consideraremos casos nos quais a aceleração varia durante
o movimento; para essa situação necessitamos do uso da integração para descrever o movimento.
2 DESLOCAMENTO, TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA
Suponha que em uma corrida de carros uma competidora dirija seu carro em um trecho retilíneo (figura 1). No
estudo do movimento precisamos de um sistema de coordenadas. Escolhemos o eixo Ox para nosso sistema de
coordenadas ao longo do trecho retilíneo, com a origem O situada no início da linha reta. Descreveremos a posição do
carro em função da posição de seu ponto representativo, como, por exemplo, sua extremidade dianteira. Ao fazer isso,
o carro todo é representado por esse ponto, razão pela qual o consideramos uma partícula.
A posição da extremidade dianteira do carro, ou seja, a posição da partícula, é dada pela coordenada x, que
varia com o tempo à medida que o carro se move. Um modo útil para a descrição do movimento do carro consiste em
dizer como x varia em um intervalo de tempo. Suponha que 1,0 s depois do início do movimento a extremidade
dianteira do carro esteja no ponto P1, a 19 m da origem, e que 4,0 s depois do início do movimento esse ponto se
desloque para P2, a 277 m da origem. O deslocamento da partícula é um vetor que aponta de P1 para P2. A figura 1
mostra que esse vetor se posiciona ao longo do eixo Ox.
FIGURA 1 Posição de um carro de corrida em dois instantes de sua trajetória.
O componente x do deslocamento é simplesmente a variação no valor de x, (277 m - 19 m) = 258 m, em um
intervalo de tempo (4,0 s - 1,0 s) = 3,0 s. Definimos a velocidade média do carro nesse intervalo de tempo como uma
grandeza vetorial cujo componente x é a variação de x dividida por esse intervalo de tempo: (258 m)/(3,0 s) = 86 m/s.
Em geral, a velocidade média depende do intervalo específico de tempo escolhido. Para um intervalo de tempo
de 3,0 s antes do início da corrida, a velocidade média seria zero, porque o carro estaria em repouso na linha de partida
e seu deslocamento seria nulo.
1
Vamos generalizar o conceito de velocidade média. Em um instante t1, o carro se encontra no ponto P1, cuja
coordenada é x1, e no instante t2, ele se encontra no ponto P2, cuja coordenada é x2. O deslocamento do carro no
intervalo de tempo entre t1 e t2 é o vetor que liga o ponto P1 ao ponto P2. O componente x do deslocamento do carro,
designado como Δx, é simplesmente a variação da coordenada x:
Δx = x2 - x1
[1]
O carro se move somente pelo eixo Ox, logo os componentes y e z do deslocamento são iguais a zero.
O componente x da velocidade média, ou velocidade média, é o componente x do deslocamento, Δx, dividido
pelo intervalo de tempo Δt durante o qual o deslocamento ocorre. Representaremos essa grandeza pelo símbolo vmx
(em que o ‘m’ subscrito significa valor médio e o ‘x’ subscrito indica que esse é o componente x):
x x
x
vmx  2 1 
[2]
t2  t1 t
Para o exemplo anterior, para o carro x1 = 19 m, x2 = 277 m, t1 = 1,0 s e t2 = 4,0 s, a equação (2) fornece
277m  19m 258m
vmx 

 86m / s
4s  1s
3s
A velocidade média do carro de corrida é positiva. Isso significa que durante o intervalo de tempo a coordenada
x cresce e o carro se move no sentido positivo do eixo Ox (da esquerda para a direita na figura 1).
Quando a partícula se move no sentido negativo do eixo Ox durante o intervalo de tempo, sua velocidade média
para esse intervalo de tempo é negativa. Por exemplo, suponha que uma caminhonete se mova da direita para a
esquerda ao longo da pista (figura 2). A caminhonete se encontra no ponto x1 = 277 m em um instante t1 = 16,0 s e em
x2 = 19 m no instante t2 = 25,0 s. Logo, Δx = (19 m - 277 m) = - 258 m e Δt = (25,0 s - 16,0 s) = 9,0 s. O componente x da
velocidade média será vmx = Δx/Δt = (- 258 m) / (9,0 s) = - 29 m/s.
FIGURA 2 Posições de uma caminhonete em dois instantes durante seu movimento. Os pontos P1 e P2 referem-se agora
ao deslocamento da caminhonete, de modo que eles são diferentes dos pontos da figura 1.
Apresentamos algumas regras simples para a velocidade média. Quando x é positivo e crescente ou negativo e
se tornar menos negativo, a partícula se move no sentido do eixo +Ox e vmx é positiva (figura 1). Quando x é positivo e
decrescente ou negativo e se tornar mais negativo, a partícula se move no sentido do eixo –Ox e vmx é negativa (figura
2).
No caso do movimento retilíneo, Δx em geral indica simplesmente o deslocamento e vmx, a velocidade média.
Contudo, lembre-se de que essas grandezas indicam simplesmente os componentes x de grandezas vetoriais que, nesse
caso particular, possuem apenas componentes x. No próximo capítulo, o deslocamento, a velocidade e a aceleração
serão considerados com dois ou três componentes.
A figura 3 mostra um gráfico da posição do carro de corrida em função do tempo, ou seja, é um gráfico xt. A
curva dessa figura não representa a trajetória do carro no espaço; como indicado na figura 1, essa trajetória é uma linha
reta. Em vez da trajetória, o gráfico mostra as variações da posição do carro com o tempo. Os pontos designados por p1
e p2 correspondem aos pontos P1 e P2 da trajetória do carro. A linha reta p1 p2 é a hipotenusa de um triângulo retângulo,
cujo lado vertical é Δx = x2 - x1 e cujo lado horizontal é Δt = t2 - t1. A velocidade média do carro vmx = Δx/Δt é a inclinação
da linha reta p1 p2, ou seja, a razão entre o lado vertical Δx do triângulo retângulo e o lado horizontal Δt.
2
FIGURA 3 Posição de um carro de corrida
em função do tempo.
A velocidade média depende apenas do deslocamento Δx = x2 - x1, que ocorre durante o intervalo de tempo Δt =
t2 - t1, e não nos detalhes ocorridos durante esse intervalo. Suponha que uma motocicleta ultrapasse o carro de corrida
no ponto P1 da figura 1 no mesmo instante t1 e a seguir diminua a velocidade para passar pelo ponto P2 no mesmo
instante t2 do carro. Os dois veículos possuem o mesmo deslocamento no mesmo intervalo de tempo e, portanto,
apresentam a mesma velocidade média.
Quando as distâncias são medidas em metros e os tempos em segundos, a velocidade média é dada em metros
por segundo (m/s). Outras unidades de velocidade são quilômetros por hora (km/h), pés por segundo (pés/s), milhas
por hora (mi/h) e nós (1 nó = 1 milha náutica/h = 6080 pés/h).
3 VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Às vezes, a velocidade média é tudo que precisamos para conhecer o movimento de uma partícula. Por
exemplo, uma corrida em movimento retilíneo é realmente uma competição para se saber de quem é a velocidade
média, vmx, com o maior módulo. O prêmio vai para o competidor capaz de percorrer o deslocamento Δx do início ao fim
no menor intervalo de tempo Δt.
Mas a velocidade média de uma partícula durante um intervalo de tempo não pode nos informar nem o
módulo, nem o sentido do movimento em cada instante do intervalo de tempo. Para isso, é necessário definir a
velocidade em um instante ou em um ponto específico ao longo da trajetória. Tal velocidade denomina-se velocidade
instantânea e precisa ser definida cuidadosamente.
Para achar a velocidade instantânea do carro no ponto P1 indicado na figura 1, imaginamos que o ponto P2 se
aproxima continuamente do ponto P1 e calculamos a velocidade média vmx = Δx/Δt nos deslocamentos e nos intervalos
de tempo cada vez menores. Tanto Δx quanto Δt tornam-se muito pequenos, mas a razão entre eles não se torna
necessariamente muito pequena. Em linguagem matemática, o limite de Δx/Δt quando Δt tende a zero denomina-se
derivada de x em relação a t e é escrito como dx/dt. A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o
intervalo de tempo tende a zero; ela é igual à taxa de variação da posição com o tempo. Usaremos o símbolo vx, sem
nenhum ‘m’ subscrito, para designar a velocidade instantânea ao longo do eixo Ox:
v x  lim
t  0
x dx

t dt
[3]
Sempre supomos que o intervalo de tempo Δt é positivo, de modo que vx possui o mesmo sinal de Δx. Quando o
sentido positivo do eixo Ox é orientado da esquerda para a direita, um valor positivo de v indica que x é crescente e que
o movimento ocorre da esquerda para a direita; um valor negativo de v indica que x é decrescente e que o movimento
ocorre da direita para a esquerda. Um corpo pode ter valores de v e de x positivo ou negativo; x indica onde o corpo se
encontra, enquanto v nos informa como ele se move.
A velocidade instantânea, assim como a velocidade média, é uma grandeza vetorial. A equação (3) define seu
componente x. No movimento retilíneo, todos os demais componentes da velocidade instantânea são nulos e, neste
caso, costumamos dizer que v é simplesmente a velocidade instantânea. (No próximo capítulo, abordaremos o caso
geral em que a velocidade instantânea pode ter componentes x, y e z não nulos.) Quando empregamos a palavra
‘velocidade’, normalmente queremos dizer velocidade instantânea, e não velocidade média, a menos que haja alguma
especificação diferente.
Os termos ‘vetor velocidade’, ‘velocidade’ e ‘velocidade escalar’ são usados quase como sinônimos na
linguagem cotidiana, mas na física estes termos possuem definições completamente diferentes. Usamos a expressão
velocidade escalar para designar uma distância percorrida dividida pelo tempo, tanto no caso instantâneo quanto se
considerando a média. Usamos o símbolo v sem nenhum subscrito para designar velocidade instantânea. Enquanto a
velocidade escalar instantânea indica se o movimento é rápido ou lento, o vetor velocidade instantânea indica se o
movimento é rápido ou lento e em qual direção e sentido ele ocorre. Por exemplo, suponha que duas partículas se
movam na mesma direção, mas em sentidos contrários, uma com velocidade instantânea vx = 25 m/s e a outra com vx =
3
- 25 m/s. A velocidade escalar instantânea dessas partículas é a mesma, ou seja, 25 m/s. Como a velocidade escalar
instantânea é o módulo do vetor velocidade instantânea, a velocidade escalar instantânea nunca pode ser negativa.
CÁLCULO DA VELOCIDADE USANDO UM GRÁFICO xt
A velocidade de uma partícula também pode ser achada a partir de um gráfico da posição da partícula em
função do tempo. Suponha que você deseja calcular a velocidade do carro de corrida no ponto P1 indicado na figura 1.
Quando o ponto P2 dessa figura se aproxima do ponto P1, o ponto p2 nos gráficos xt indicados nas figuras 4a e 4b se
aproxima do ponto p1 e a velocidade média é calculada em intervalos de tempo Δt cada vez menores. No limite Δt→0,
indicado na figura 4c, a inclinação da linha reta p1 p2 torna-se igual à inclinação da tangente da curva no ponto p1. Em
um gráfico da posição da partícula em função do tempo no movimento retilíneo, a velocidade instantânea em qualquer
ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto.
FIGURA 4 Usamos um gráfico xt para ir de (a) e (b), velocidade média, para (c), velocidade instantânea vx. Em (c)
achamos a inclinação da tangente para a curva xt, dividindo qualquer intervalo vertical (em unidades de distância) ao
longo da tangente pelo intervalo horizontal correspondente (em unidades de tempo).
Quando a tangente é inclinada para cima e para a direita, como no gráfico xt da figura 4c, sua inclinação e
velocidade são positivas e o movimento ocorre no sentido positivo do eixo Ox. Quando a tangente é inclinada para
baixo e para a direita, sua inclinação e velocidade são negativas e o movimento ocorre no sentido negativo do eixo Ox.
Quando a tangente é horizontal, a inclinação é igual a zero e a velocidade é nula. A figura 5 ilustra essas três
possibilidades. Note que a figura 5 ilustra o movimento de uma partícula de dois modos. A figura 5a mostra um gráfico
xt e a figura 5b mostra um exemplo de diagrama do movimento. Um diagrama do movimento indica a posição da
partícula em diversos instantes do seu movimento (como se fosse um filme ou vídeo do movimento da partícula), bem
como apresenta flechas para indicar as velocidades da partícula em cada instante. Tanto o gráfico xt quanto o diagrama
do movimento são valiosas ferramentas para a compreensão do movimento. Você verificará que é conveniente usar
ambos os recursos na solução de problemas que envolvem movimentos.
FIGURA 5 (a) Gráfico xt do movimento de uma certa partícula. A inclinação da tangente da curva em qualquer ponto
fornece a velocidade nesse ponto. (b) Diagrama do movimento mostrando a posição e a velocidade da partícula em
cada um dos cinco instantes indicados no gráfico xt.
4 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA E ACELERAÇÃO MÉDIA
Assim como a velocidade indica uma taxa de variação da posição com o tempo, a aceleração descreve uma taxa
de variação da velocidade com o tempo. Como a velocidade, a aceleração também é uma grandeza vetorial. No
movimento retilíneo, seu único componente diferente de zero está sobre o eixo ao longo do qual o movimento ocorre.
Como veremos, a aceleração em um movimento retilíneo pode referir-se tanto ao aumento quanto à redução da
velocidade.
4
ACELERAÇÃO MÉDIA
Vamos considerar novamente o movimento de uma partícula ao longo do eixo Ox. Suponha que em dado
instante t1 a partícula esteja em um ponto P1 e possua um componente x da velocidade (instantânea) v1x, e que em
outro instante t2 a partícula esteja em um ponto P2 e possua um componente x da velocidade v2x. Logo, a variação do
componente x da velocidade é Δvx = v2x - v1x em um intervalo de tempo Δt = t2 - t1.
Definimos a aceleração média amx da partícula que se move de P1 a P2 como uma grandeza vetorial cujo
componente x é dado pela razão entre Δvx, a variação do componente x da velocidade e o intervalo de tempo Δt
v v
v
amx  2x 1x  x
[4]
t2  t1
t
Para o movimento retilíneo ao longo do eixo Ox chamamos amx simplesmente de aceleração média. (No próximo
capítulo, encontraremos outros componentes do vetor aceleração média.) Quando a velocidade é expressa em metros
por segundo e o tempo em segundos, a aceleração média é expressa em metros por segundo por segundo, ou (m/s)/s.
Normalmente escrevemos isso como m/s2 e lemos ‘metro por segundo ao quadrado’.
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
Podemos agora definir a aceleração instantânea seguindo o mesmo procedimento adotado quando definimos
velocidade instantânea. Considere a situação: um piloto de um carro de corrida acaba de entrar na reta final do Grand
Prix como ilustra a figura 6.
FIGURA 6 Um carro de corrida do Grande
Prêmio na reta final.
Para definir a aceleração instantânea no ponto P1, imaginamos que o ponto P2 da figura 6 se aproxima
continuamente do ponto P1, de modo que a aceleração média seja calculada em intervalos de tempo cada vez menores.
A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero. Na linguagem do
cálculo diferencial, a aceleração instantânea é igual à taxa de variação da velocidade com o tempo. Logo:
ax  lim
t  0
v x dv x

t
dt
[5]
Note que ax na equação (5) é de fato o componente x do vetor aceleração instantânea; no movimento retilíneo,
todos os demais componentes deste vetor são iguais a zero. A partir de agora, quando usarmos o termo ‘aceleração’
estaremos designando a aceleração instantânea, não a aceleração média.
CÁLCULO DA ACELERAÇÃO USANDO UM GRÁFICO vxt OU UM GRÁFICO xt
Já interpretamos a velocidade média e a velocidade instantânea de uma partícula em termos da inclinação em
um gráfico de posição em função do tempo.
Analogamente, podemos ter melhor noção dos conceitos de aceleração média e de aceleração instantânea
usando um gráfico com a velocidade instantânea vx no eixo vertical e o tempo t no eixo horizontal, ou seja, um gráfico
vxt (figura 7).
FIGURA 7 Gráfico vx t do movimento indicado
na figura 6.
Os pontos nesse gráfico designados por p1 e p2 correspondem aos pontos P1 e P2 indicados na figura 6. A
aceleração média amx = Δvx/Δt durante esse intervalo é a inclinação da linha p1 p2. À medida que o ponto P2 da figura 6 se
aproxima do ponto P1, o ponto p2 no gráfico vxt indicado na figura 7 se aproxima do ponto p1 e a inclinação da linha reta
p1 p2 torna-se igual à inclinação da tangente da curva no ponto p1. Portanto, em um gráfico da velocidade em função do
tempo, a aceleração instantânea em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto. Na figura 7,
tangentes traçadas em diferentes pontos ao longo da curva possuem diferentes inclinações, de modo que a aceleração
instantânea varia com o tempo.
5
ATENÇÃO Os sinais de aceleração e velocidade. Note que o sinal algébrico da aceleração não é suficiente para informar
a você se um corpo está em movimento acelerado ou retardado. Você deve comparar o sinal da velocidade com o sinal
da aceleração. Quando vx e ax possuem o mesmo sinal, o movimento do corpo está sendo acelerado. Quando ambos
forem positivos, o corpo estará se movendo no sentido positivo com uma velocidade crescente. Quando ambos forem
negativos, o corpo estará se movendo no sentido negativo com uma velocidade que se torna cada vez mais negativa, e
novamente a velocidade é crescente. Quando vx e ax possuem sinais opostos, o movimento do corpo é retardado.
Quando vx é positivo e ax é negativo, o corpo se desloca no sentido positivo com velocidade decrescente; quando vx é
negativo e ax é positivo, ele se desloca no sentido negativo com uma velocidade que se torna menos negativa, e
novamente o movimento do corpo é retardado. A figura 8 ilustra algumas dessas possibilidades.
FIGURA 8 (a) Gráfico vx t do movimento de uma partícula diferente daquela mostrada na figura 5. A inclinação da
tangente em qualquer ponto é igual à aceleração do ponto considerado. (b) Diagrama do movimento mostrando a
posição, a velocidade e a aceleração da partícula em cada um dos instantes indicados no gráfico vx t. As posições estão
de acordo com o gráfico vx t; por exemplo, de tA a tB a velocidade é negativa, de modo que em tB a partícula possui um
valor de x mais negativo do que em tA.
O termo ‘desaceleração’ é algumas vezes usado para designar diminuição de velocidade. Como isso pode
corresponder a um valor de ax positivo ou negativo, dependendo do sinal de vx, evitamos esse termo.
Podemos também estudar a aceleração de uma partícula a partir do gráfico de sua posição versus tempo.
Como ax = dvx/dt e vx = dx/dt, podemos escrever:
ax 
dv x d  dx  d2 x


dt dt  dt  dt2
[6]
Ou seja, ax é a derivada de segunda ordem de x em relação a t. A derivada de segunda ordem de qualquer
função é relacionada com a concavidade ou curvatura do gráfico dessa função. Em um ponto no qual o gráfico xt seja
côncavo para cima (encurvado para cima), a aceleração é positiva e vx é crescente. Em um ponto no qual o gráfico xt
seja côncavo para baixo (encurvado para baixo), a aceleração é negativa e vx é decrescente. Em um ponto no qual o
gráfico xt não possui nenhuma curvatura, como, por exemplo, em um ponto de inflexão, a aceleração é igual a zero e a
velocidade é constante. Essas três possibilidades são indicadas na figura 9.
6
FIGURA 9 a) O mesmo gráfico xt indicado na figura 5a. A velocidade é igual à inclinação do gráfico, e a aceleração é dada
pela concavidade ou curvatura do gráfico. b) Diagrama do movimento mostrando a posição, a velocidade e a aceleração
da partícula em cada um dos instantes indicados no gráfico xt.
Examinando a curvatura de um gráfico xt torna-se fácil determinar o sinal da aceleração. Essa técnica é menos
útil para a determinação do módulo da aceleração, visto que a curvatura de um gráfico é difícil de ser determinada com
exatidão.
5 MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE
O movimento acelerado mais simples é o movimento retilíneo com aceleração constante. Neste caso, a
velocidade varia com a mesma taxa durante o movimento. É um caso especial, embora ocorra frequentemente na
natureza. Um corpo em queda livre possui uma aceleração constante quando os efeitos da resistência do ar são
desprezados. O mesmo ocorre quando um corpo escorrega ao longo de um plano inclinado ou ao longo de uma
superfície horizontal com atrito. Um movimento retilíneo com aceleração quase constante também ocorre em situações
artificiais ou tecnológicas, como no caso do movimento de um caça a jato sendo lançado pela catapulta de um porta
aviões.
A figura 10 é um diagrama do movimento que mostra a posição, a velocidade e a aceleração para uma partícula
que se move com aceleração constante.
FIGURA 10 Diagrama do movimento para uma partícula
que se move em linha reta na direção positiva de x com
aceleração constante positiva a. A posição, a velocidade e a
aceleração são indicadas em cinco intervalos de tempo
iguais.
Nas figuras 11 e 12 mostramos esse mesmo diagrama por meio de gráficos. Como a aceleração a é constante, o
gráfico at (gráfico da aceleração versus o tempo) indicado na figura 11 é uma linha horizontal. O gráfico da velocidade
versus o tempo possui uma inclinação constante, e, portanto, o gráfico vt é uma linha reta (figura 11). O gráfico da
velocidade versus tempo, ou vxt, tem inclinação constante porque a aceleração é constante, então seu gráfico é uma
linha reta (figura 12).
FIGURA 11 Gráfico da aceleração versus tempo (at) para uma
partícula que se move em linha reta com aceleração
constante positiva ax.
FIGURA 12 Gráfico da velocidade versus tempo (vxt) para
uma partícula que se move em linha reta com aceleração
constante positiva ax. A velocidade inicial v0x também é
positiva neste caso.
7
Quando a aceleração ax é constante, a aceleração média amx para qualquer intervalo de tempo é a mesma que
ax. Assim é fácil deduzir equações para a posição x e para a velocidade vx em função do tempo. Para encontrar uma
expressão para vx, primeiro substituímos amx na equação (4) por ax:
v v
ax  2x 1x
[7]
t2  t1
Agora faça t1 = 0 e suponha que t2 seja um instante posterior arbitrário t. Usamos o símbolo v0x para a
velocidade no instante t = 0; a velocidade para qualquer instante t é vx. Então, a equação (7) torna-se:
v x  v 0x
t0
v x  v 0x  ax t
ax 
ou
[8]
Podemos interpretar essa equação do seguinte modo: a aceleração ax é a taxa constante da variação da
velocidade, isto é, a variação da velocidade por unidade de tempo. O termo axt é o produto da variação da velocidade
por unidade de tempo, ax, multiplicada pelo tempo t. Portanto, indica a variação total da velocidade desde o instante
inicial t = 0 até um instante posterior t. A velocidade vx em qualquer instante t é igual à velocidade inicial v0x (para t = 0)
mais a variação da velocidade axt (figura 12).
Outra interpretação da equação (8) é que a variação da velocidade vx - v0x da partícula desde t = 0 até um
instante posterior t é igual à área sob a curva entre esses limites em um gráfico axt. Na figura 11, a área sob a curva no
gráfico de aceleração versus o tempo é indicada pelo retângulo com altura ax e comprimento t. A área desse retângulo é
igual a axt, que pela equação (8) é igual à variação da velocidade vx - v0x. Vimos que mesmo no caso em que a aceleração
não seja constante, a variação da velocidade continua sendo dada pela área sob a curva em um gráfico axt, embora
nesse caso a equação (8) não seja válida.
A seguir queremos deduzir uma expressão para a posição x da partícula que se move com aceleração constante.
Para isso usaremos duas diferentes expressões para a velocidade média vmx da partícula desde t = 0 até um instante
posterior t. A primeira expressão resulta da definição de vmx, equação (2), que permanece válida tanto no caso de
aceleração constante quanto no caso de aceleração variável. Denominamos a posição no instante t = 0 de posição inicial
e a representamos por x0. Designamos simplesmente por x a posição em um instante posterior t. Para o intervalo de
tempo Δt = t - 0 e para o deslocamento correspondente Δx = x - x0, a equação (2) fornece
vmx 
x  x0
t
[9]
Podemos também deduzir uma segunda expressão para vmx válida somente no caso de aceleração constante, de
modo que o gráfico vxt seja uma linha reta (como na figura 12) e a velocidade varie com uma taxa constante. Nesse
caso, a velocidade média durante qualquer intervalo de tempo é simplesmente a média aritmética desde o início até o
instante final. Para o intervalo de tempo de 0 a t,
vmx 
v 0x  v x
2
[10]
(Essa equação não vale quando a aceleração varia e o gráfico vxt é uma curva, como indica a figura 8.) Sabemos
também que no caso de aceleração constante, a velocidade vx em qualquer instante t é dada pela equação (8).
Substituindo esta expressão por vx na equação (10), encontramos:
1
1
vmx  (v 0x  v 0x  ax t)  v 0x  ax t
2
2
[11]
x  x0
1
v 0x  ax t 
2
t
1 2
x  x 0  v 0x t  ax t
2
[12]
Finalmente, igualando a equação (9) com a equação (11) e simplificando o resultado, obtemos:
ou
Esta equação (12) mostra que, se para um instante inicial t = 0 a partícula está em uma posição x0 e possui
velocidade v0x, sua nova posição em qualquer instante t é dada pela soma de três termos — a posição inicial x0, mais a
distância v0xt que ela percorreria caso a velocidade permanecesse constante, mais uma distância adicional ½ axt2
produzida pela variação da velocidade.
Um gráfico da equação (12), que é um gráfico xt para movimento com aceleração constante (figura 13a), é
sempre uma parábola. A figura 13b mostra esse gráfico. A curva intercepta o eixo vertical (eixo Ox) em x0, na posição t =
0. A inclinação da tangente em t = 0 é igual a v0x, a velocidade inicial, e a inclinação da tangente para qualquer tempo t é
igual à velocidade vx em qualquer tempo. A inclinação e a velocidade são continuamente crescentes, de modo que a
aceleração ax é positiva; também se pode verificar isso porque o gráfico na figura 13b é côncavo para cima (encurvado
para cima). Se ax é negativo, o gráfico xt é uma parábola que é côncava para baixo (encurvada para baixo).
8
FIGURA 13 a) Movimento em linha reta com aceleração constante. b) Gráfico de posição versus tempo (xt) para esse
movimento (o mesmo que o mostrado nas figuras 10, 11 e 12). Para esse movimento, a posição inicial x0, a velocidade
inicial v0x e a aceleração ax são todas positivas.
Quando a aceleração é zero, o gráfico xt é uma linha reta; quando a aceleração é constante, o termo adicional ½
axt na equação (12) para x em função de t encurva o gráfico para formar uma parábola (figura 14a). Podemos analisar o
gráfico vxt da mesma forma. Quando a aceleração é zero, esse gráfico é uma linha horizontal (a velocidade é constante);
acrescentando-se uma aceleração constante, temos uma inclinação para o gráfico vxt (figura 14b).
2
FIGURA 14 Como uma aceleração constante afeta a) o gráfico xt e b) o gráfico vx t de um corpo.
Do mesmo modo que a velocidade é dada pela área sob um gráfico axt, o deslocamento — isto é, a variação da
posição — é igual à área sob um gráfico vxt. Ou seja, o deslocamento x - x0 de uma partícula desde t = 0 até um instante
posterior t é igual à área sob um gráfico vxt entre esses dois limites de tempo. Na figura 12, a área sob o gráfico é
composta pela soma da área do retângulo de lado vertical v0x e lado horizontal t e com a área do triângulo retângulo
com um lado vertical axt e um lado horizontal t. A área do retângulo é v0xt e a área do triângulo é (½ axt)(t) = ½ axt2 de
modo que a área total sob gráfico vxt é:
1
x  x 0  v 0x t  ax t2
2
de acordo com a equação (12).
O deslocamento durante um dado intervalo de tempo pode ser sempre calculado pela área sob a curva vxt. Isso
é verdade mesmo quando a aceleração não é constante, embora para esses casos a equação (12) não possa ser
aplicada.
Podemos testar as equações (8) e (12) para verificar se elas estão coerentes com a hipótese da aceleração
constante derivando a equação (12). Encontramos
vx 
dx
 v 0x  ax t
dt
que é a equação (8). Derivando mais uma vez, encontramos simplesmente
dv x
 ax
dt
que concorda com a definição de aceleração instantânea.
Em muitos problemas, é conveniente usar uma equação que envolva a posição, a velocidade e a (constante)
aceleração que não leve em conta o tempo. Para obtê-la, inicialmente explicitamos t na equação (8); a seguir, a
expressão obtida deve ser substituída na equação (12) e simplificada:
v  v 0x
t x
ax
9
 v  v 0x  1  v x  v 0x 
x  x 0  v 0x  x
  ax 

 ax  2  ax 
2
Transferindo o termo x0 para o membro esquerdo e multiplicando por 2ax:
2ax (x  x 0 )  2v 0x vx  2v20x  v2x  2v 0x vx  v20x
Finalmente, ao simplificar obtemos
2
2
v x  v 0x  2ax (x  x 0 )
[13]
Podemos obter uma outra equação útil igualando as duas expressões de vmx, dadas pelas equações (9) e (10), e
multiplicando os dois membros por t. Ao fazer isto, encontramos
 v  vx 
x  x 0   0x
t
 2 
[14]
Note que a equação (14) não contém a aceleração ax. Essa equação pode ser útil quando ax possuir um valor
constante, porém desconhecido.
As equações (8), (12), (13) e (14) são as equações do movimento com aceleração constante. Usando essas
equações, podemos resolver qualquer problema que envolva o movimento retilíneo com aceleração constante.
Para o caso específico do movimento com aceleração constante esquematizado na figura 10 e cujos gráficos são
apresentados nas figuras 11, 12 e 13, os valores x0, v0x e ax são todos positivos.
Um caso especial de movimento com aceleração constante ocorre quando a aceleração é igual a zero. Nesse
caso, a velocidade é constante e as equações do movimento tornam-se simplesmente
v x  v 0x  cons tante
x  x0  vx t
6 QUEDA LIVRE DE CORPOS
O exemplo mais familiar de um movimento com aceleração (aproximadamente) constante é a queda livre de um
corpo atraído pela força gravitacional da Terra. Tal movimento despertou a atenção de filósofos e cientistas desde
tempos remotos. No século IV a.C., Aristóteles pensou (erroneamente) que objetos mais pesados caíam mais
rapidamente do que objetos leves, com velocidades proporcionais aos respectivos pesos. Dezenove séculos mais tarde,
Galileu afirmou que um corpo deveria cair com aceleração constante independentemente do seu peso.
Experiências demonstram que, quando os efeitos do ar podem ser desprezados, Galileu está correto; todos os
corpos em um dado local caem com a mesma aceleração, independentemente das suas formas e dos seus respectivos
pesos. Além disso, quando a distância da queda livre é pequena em comparação com o raio da Terra, e ignoramos os
pequenos efeitos exercidos pela rotação da Terra, a aceleração é constante. O movimento ideal resultante de todos
esses pressupostos denomina-se queda livre, embora ele inclua também a ascensão de um corpo. (No próximo capítulo
estenderemos a discussão da queda livre para incluir o movimento de projéteis, que possuem componentes do
movimento na horizontal e na vertical.)
A figura 15 é uma fotografia de múltipla exposição da queda livre de uma bola feita com auxílio de um
estroboscópio luminoso que produz uma série de flashes com intervalos de tempo iguais. Para cada flash disparado, a
imagem da bola fica gravada no filme neste instante. Como o intervalo entre dois flashes consecutivos é sempre o
mesmo, a velocidade média da bola é proporcional à distância das imagens da bola correspondentes a dois flashes
consecutivos. A distância crescente entre duas imagens consecutivas mostra que a velocidade está aumentando e que a
bola acelera para baixo. Medidas cuidadosas mostram que a variação da velocidade é sempre a mesma entre os
intervalos, de modo que a aceleração de uma bola em queda livre é constante.
FIGURA 15 Fotografia de múltipla exposição de uma bola em
queda livre.
10
A aceleração constante de um corpo em queda livre denomina-se aceleração da gravidade, e seu módulo é
designado por g. Sempre usaremos o valor aproximado de g na superfície terrestre ou próximo a ela:
g = 9,8 m/s2 = 980 cm/s2
O valor exato varia de um local para outro, de modo que normalmente fornecemos o valor de g na superfície
terrestre com somente dois algarismos significativos. Como g é o módulo de uma grandeza vetorial, ele é sempre um
número positivo. Na superfície da Lua, como a atração gravitacional é da Lua e não da Terra, g = 1,6 m/s2. Próximo à
superfície do Sol, g = 270 m/s2. Nos exemplos seguintes usaremos as equações do movimento com aceleração
constante.
7 VELOCIDADE E POSIÇÃO POR INTEGRAÇÃO
Esta seção opcional destina-se a estudantes que já tenham aprendido um pouco de cálculo integral. Já
analisamos o caso especial do movimento retilíneo com aceleração constante. Quando ax não é constante, como ocorre
frequentemente, as equações que foram deduzidas nessa seção não são mais válidas. Contudo, mesmo quando ax varia
com o tempo, ainda podemos usar a relação vx = dx/dt para achar a velocidade vx em função do tempo quando a posição
x da partícula for conhecida em função do tempo. E ainda podemos usar a relação ax = dvx/dt para achar a aceleração ax
em função do tempo quando a velocidade vx for conhecida em função do tempo.
Entretanto, em muitas situações, embora sabendo a aceleração em função do tempo, não conhecemos nem a
posição nem a velocidade em função do tempo. Como determinar a posição e a velocidade a partir da aceleração em
função do tempo ax(t)? Esse problema pode ser ilustrado pela viagem de uma aeronave entre os Estados Unidos e a
Europa. A tripulação da aeronave deve conhecer sua posição com precisão em todos os instantes, mas, sobre o oceano,
em geral uma aeronave fica fora do alcance dos radiofaróis de terra ou do radar das torres de controle de tráfego aéreo.
Para determinar a posição da aeronave, os pilotos usam um instrumento conhecido pela sigla INS (inertial navigation
system - sistema de navegação inercial), que mede a aceleração da aeronave. A forma como isso é feito se parece muito
com o modo pelo qual você sente as mudanças de aceleração de um automóvel quando viaja nele, mesmo estando de
olhos fechados. Conhecendo essa informação, juntamente com a posição inicial da aeronave (digamos, um dado portão
no Aeroporto Internacional de Miami), o INS calcula e indica no mostrador para a tripulação a velocidade e a posição da
aeronave em cada instante durante o voo. (As aeronaves também usam o GPS — Global Positioning System — para
navegação, de forma complementar ao INS e não em substituição a ele.) Nosso objetivo no restante desta seção é
verificar como esses cálculos são feitos para o simples caso de um movimento retilíneo com uma aceleração que varia
com o tempo. Inicialmente apresentaremos um método gráfico. A figura 16 mostra um gráfico de aceleração versus
tempo para um corpo cuja aceleração não é constante. Podemos dividir o intervalo de tempo entre t1 e t2 em intervalos
muito menores e designar por Δt cada um deles.
FIGURA 16 Um gráfico axt para um corpo cuja
aceleração t não é constante.
Seja amx a aceleração média durante Δt. Pela equação (4), a variação da velocidade Δvx durante t é dada por
v x  amx t
Graficamente, Δvx é a área sombreada do retângulo que possui altura amx e largura Δt, ou seja, a área sob a
curva entre a extremidade esquerda e a extremidade direita de Δt. A variação total da velocidade em qualquer intervalo
de tempo (digamos, de t1 a t2) é a soma das variações de Δvx de todos os pequenos intervalos. Logo, a variação total da
velocidade é dada graficamente pela área total sob a curva axt delimitada entre t1 até t2. (Já mostramos que isso é
verdade para o caso específico do movimento com aceleração constante.)
No limite em que todos os intervalos Δt tornam-se muito pequenos e muito numerosos, o valor de amx para o
intervalo de tempo entre t e t + Δt se aproxima da aceleração ax no tempo t. Nesse limite, a área sob a curva axt é dada
pela integral de ax (que geralmente é função de t) de t1 a t2. Se v1x for a velocidade do corpo no tempo t1 e v2x for a
velocidade no tempo t2, então
11
v2 x
v2x  v1x 
t2
 dv   a dt
x
v1x
x
[15]
t1
A variação da velocidade vx é obtida pela integral da aceleração ax em relação ao tempo.
Podemos fazer exatamente o mesmo procedimento com a curva da velocidade versus tempo, onde v é uma
função arbitrária de t. Se x1 for a posição do corpo no tempo t1 e x2 for a posição no tempo t2, pela equação (2) o
deslocamento Δx durante um pequeno intervalo de tempo Δt será igual a vmx Δt, onde vmx é a velocidade média durante
Δt. O deslocamento total x2 - x1 durante o intervalo t2 - t1 é dado por:
x2
t2


x2  x1  dx  v x dt
x1
[16]
t1
A variação da posição x — isto é, o deslocamento — é dada pela integral da velocidade vx em relação ao tempo.
Graficamente, o deslocamento durante o intervalo t1 e t2 é dado pela área sob a curva vxt entre esses dois limites. [Este
resultado é semelhante ao obtido anteriormente para o caso específico no qual vx era dada pela equação (8).]
Quando t1 = 0 e t2 for t em algum instante posterior, e quando x0 e v0x corresponderem, respectivamente, à
posição e à velocidade, para t = 0, então podemos reescrever as equações (15) e (16) do seguinte modo:
t

v x  v 0x  ax dt
[17]
0
t

x  x 0  v x dt
[18]
0
Aqui, x e vx são, respectivamente, a posição e a velocidade para um tempo t. Conhecendo a aceleração ax em
função do tempo e a velocidade inicial v0x, podemos usar a equação (17) para achar a velocidade vx em qualquer tempo;
em outras palavras, podemos achar vx em função do tempo. Conhecendo essa função e sabendo a posição inicial x0,
podemos usar a equação (18) para achar a posição x em qualquer tempo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01 Cada uma das seguintes viagens de automóvel leva uma hora. A direção x é do oeste para leste.
i) O automóvel A segue a 50 km para leste.
ii) O automóvel B segue a 50 km para oeste.
iii) O automóvel C segue a 60 km para leste, dá meia-volta e segue a 10 km para oeste.
iv) O automóvel D segue a 70 km para leste.
v) O automóvel E segue a 20 km para oeste, dá meia-volta e segue a 20 km para leste.
a) Classifique as cinco viagens por ordem de velocidade média, da mais positiva para a mais negativa.
b) Há viagens com a mesma velocidade média?
c) Há alguma viagem com velocidade média igual a zero?
SOLUÇÃO
a): iv), i) e iii) (empate), v), ii);
b): i) e iii);
c): v) Em a) a velocidade média é vmx = Δx/Δt. Para todas as cinco viagens, Δt = 1h. Para cada uma das viagens, temos i)
Δx = +50 km, vmx = +50 km/h; ii) Δx = - 50 km, vmx = - 50 km/h; iii) Δx = 60 km - 10 km = +50 km, vmx = +50 km/h; iv) Δx =
+70 km, vmx= +70 km/h; v) Δx = -20 km + 20 km = 0, vmx = 0. Em b) ambos possuem vmx = +50 km/h.
02 Dois irmãos saem ao mesmo tempo de casa com velocidades de 4 m/s e 5 m/s, em direção à universidade. Um chega
um quarto de hora antes do outro. Encontre a distância entre a casa e a universidade.
SOLUÇÃO
Seja x a distância entre a casa e a universidade. Com t = x/v.
Como a diferença de tempo para chegar a universidade é 15 min, teremos:
x/v1 - x/v2 = 15
x/4 - x/5 = 15 x 60, resolvendo temos: x = 18000 m ou 18 km
03 Um móvel que vai a 15 km/h chega ao seu destino no tempo "t". Se vai a 10 km/h, leva 2 horas a mais. A que
velocidade tem que ir para chegar no tempo (t + 1)?
SOLUÇÃO
A distância percorrida é a mesma nos 3 casos.
12
x = 15t = 10(t + 2) ⇒ t = 4 h
Então a distância percorrida será: x = 60 km.
No terceiro caso v = x/(t + 1) = 60/5 = 12 km/h
04 Dois móveis A e B se movimentam em sentidos opostos ao longo de linhas paralelas L1 e L2 afastados de uma
distância de 3 m. Se depois de 1,5 s do instante mostrando na figura a distância de separação entre os móveis é de 3 2
m, o Professor Gomes pede que se determine depois de que intervalo de tempo a distância de separação é de 5 m. Os
móveis se movem com a mesma velocidade.
SOLUÇÃO
Da figura teremos:
2vt = 3, com t = 1,5 s ⇒ v = 1 m/s.
A distância de separação será 5 m quando a soma dos seus espaços for igual a 4 m.
Então: 2v.t1 = 4 com v = 1m/s ⇒ t1 = 2 s.
05 Um móvel A que se move com velocidade de 30 m/s se encontra atrás de um móvel B, a uma distância de 50 m. Se a
velocidade de B é de 20 m/s, depois de quanto tempo A estará 50 m a frente de B?
SOLUÇÃO
Observe a figura:
Da figura dA = 50 + dB + 50
Más d = vt
30t = 100 + 20t
t = 10 s
06 Uma pessoa dispõe de 5 h para um passeio. Por qual distância pode ir dirigindo um carro a 54 km/h, sabendo que ela
deve retornar caminhando a uma velocidade de 6 km/h?
SOLUÇÃO
Seja x a máxima distância.
t1 = tempo de ida ⇒ t1 = x/v1
t2 = tempo de volta ⇒ t2 = x/v2
Pela condição do problema: ttotal = 5 h
13
t1 + t 2 = 5
x/v1 + x/v2 = 5
x/54 + x/6 = 5
x = 27 km
07 Um trem e um automóvel caminham paralelamente e no mesmo sentido, num trecho retilíneo. Os seus movimentos
são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da velocidade do trem. Supondo desprezível o comprimento do
automóvel e sabendo que o comprimento do trem é de 100 m, qual é a distância percorrida pelo automóvel desde o
instante em que alcança o trem até o término da ultrapassagem?
SOLUÇÃO
x  2vt
x  x 0  vt  A
x T  100  vt
2vte  100  vte
te 
100
v
x A  2vte  2v
100
 200m
v
08 A figura abaixo é um gráfico xt do movimento de uma partícula.
a) Classifique os valores da velocidade vx da partícula nos pontos P, Q, R e S, do mais positivo para o mais negativo.
b) Em quais pontos vx é positiva?
c) Em quais pontos vx é negativa?
d) Em quais pontos vx é nula?
e) Classifique os valores da velocidade escalar da partícula nos pontos P, Q, R e S, do mais rápido para o mais lento.
SOLUÇÃO
a) P, Q e S (empatadas), R; a velocidade é b) positiva, quando a inclinação do gráfico xt é positiva (P); c) negativa,
quando a inclinação é negativa (R); e d) zero, quando a inclinação é zero (Q) e (S); e) R, P, Q e S (empatadas). A
velocidade é maior quando a inclinação do gráfico xt é a máxima (seja positiva ou negativa) e zero, quando a inclinação
é zero.
09 A posição de um ponto material em função do tempo está representada graficamente a seguir:
Trace o gráfico da velocidade escalar em função do tempo, de t0 = 0 até t = 10 s.
SOLUÇÃO
O que dá:
26

De 0 a 4s : v x  4  0  v x  1m / s (cons tante)

x 
22
vx 
 v x  0 (constante)
De 4s a 8s : v x 
t 
84
62

De 8s a 10s : v x  10  8  v x  2m / s (constante)

14
10 Dois tratores, I e II, percorrem a mesma rodovia e suas posições variam com o tempo, conforme o gráfico a seguir:
Determine o instante do encontro desses veículos.
SOLUÇÃO
x 0  0

Trator I 
 xI  20t
60  0
 v x  3  0  v x  20km / h

x 0  300km

Trator II 
 xII  300  10t
270  300
v x  3  0  v x  10km / h

xI  xII
20t  300  10t
t  10h
11 Suponha que a velocidade vx do carro na figura 6 em qualquer instante t seja dada pela equação
vx = 60 m/s + (0,50 m/s3) t2
a) Ache a variação da velocidade média do carro no intervalo de tempo entre t1 = 1,0 s e t2 = 3,0 s.
b) Ache a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo.
c) Ache a aceleração instantânea do carro para t1 = 1,0 s, considerando Δt = 0,1 s, Δt = 0,01 s e Δt = 0,001 s.
d) Deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule a aceleração
para t = 1,0 s e t = 3,0 s.
SOLUÇÃO
Usaremos a equação (4) para aceleração média e a equação (5) para aceleração instantânea.
a) inicialmente achamos a velocidade em cada instante substituindo cada valor de t na equação. Para t1 = 1,0 s,
v1x = 60 m/s + (0,50 m/s3) (1,0 s)2 = 60,5 m/s
Para t2 = 3,0 s,
v2x = 60 m/s + (0,50 m/s3) (3,0 s)2 = 64,5 m/s
A variação da velocidade Δvx é dada por
Δvx = v2x - v1x = 64,5 m/s - 60,5 m/s = 4,0 m/s
O intervalo de tempo é de Δt = 3,0 s - 1,0 s = 2,0 s.
b) A aceleração média durante esse intervalo de tempo é
v v
4m / s
amx  2x 1x 
 2m / s
t2  t1
2s
Durante o intervalo de tempo de t1 = 1,0 s a t2 = 3,0 s, a velocidade e a aceleração média possuem o mesmo sinal (nesse
caso, positivo) e o carro acelera.
c) Quando Δt = 0,1 s, t2 = 1,1 s e nós encontramos:
v2x = 60 m/s + (0,50 m/s3)( 1,1 s)2 = 60,605 m/s
Δvx = 0,105 m/s
amx 
v x 0,105m / s

 1,05m / s2
t
0,1s
Convidamos você a seguir o mesmo raciocínio e refazer os cálculos para os intervalos Δt = 0,01 s e Δt = 0,001 s; os
resultados são amx = 1,005 m/s2 e amx = 1,0005 m/s2, respectivamente. À medida que Δt se torna cada vez menor, a
aceleração média fica cada vez mais próxima do valor 1,0 m/s2. Logo, concluímos que a aceleração instantânea para t =
1,0 s é igual a 1,0 m/s2.
d) A aceleração instantânea é ax = dvx/dt, a derivada de uma constante é igual a zero e a derivada de t2 é 2t. Usando
estes valores, obtemos:
ax 
dv x d
 [60m / s  (0,50m / s3 )t2 ]  (0,50m / s3 )(2t)  (1m / s3 )t
dt dt
Para t = 1,0 s,
ax = (1,0 m/s3)(1,0 s) = 1,0 m/s2
Para t = 3,0 s,
ax = (1,0 m/s3) (3,0 s) = 3,0 m/s2
15
Note que nenhuma dessas acelerações possui valor igual ao da aceleração média obtida no item b). Isso porque a
aceleração instantânea desse carro varia com o tempo.
12 É dada a seguinte função horária da velocidade escalar de uma partícula em movimento uniformemente variado:
v = 15 + 20t (SI)
Determine:
a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar da partícula;
b) a velocidade escalar no instante 4 s;
c) o instante em que a velocidade escalar vale 215 m/s.
SOLUÇÃO
v  v 0x  ax t
a)  x
 v 0x  15m / s e ax  20m / s2
v

15

20t
 x
b) v  15  20.4  95m / s
c) 215  15  20t  t  10s
13 Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma estrada e acelera a moto depois de passar pela placa que
indica os limites da cidade (ver figura abaixo). Sua aceleração é constante e igual a 4,0 m/s2. No instante t = 0 ele está a
5,0 m a leste do sinal, movendo-se para leste a 15 m/s.
a) Determine sua posição e velocidade para t = 2,0 s.
b) Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s?
SOLUÇÃO
a) podemos determinar a posição x em t = 2,0 s usando a equação (12), que fornece a posição x em função do tempo t:
1
x  x 0  v 0x t  ax t2
2
1 2
x  5  15.2  4.2
2
x  43m
Podemos achar a velocidade vx no mesmo instante, usando a equação (8), que fornece a velocidade vx em função do
tempo t:
v x  v 0x  ax t
v x  15  4.2  23m / s
b) Queremos encontrar o valor de x para vx = 25 m/s, mas não sabemos quando a motocicleta possui essa velocidade.
Então usamos a equação (13), que envolve x, vx e ax, mas não envolve t:
v2x  v20x  2ax (x  x 0 )
Explicitando x e substituindo os valores numéricos conhecidos, obtemos
x  x0 
v 2x  v20x
252  152
 x  5
2ax
2.4
x  55m
Como alternativa, podemos usar a equação (8) para achar o tempo quando vx = 25 m/s:
v x  v 0x  ax t
então
v x  v 0x 25  15
t

 2,5s
ax
4
Tendo obtido o tempo t, podemos encontrar x usando a equação (12):
1
x  x 0  v 0x t  ax t2
2
1
x  5  15.2,5  4.(2,5)2
2
x  55m
16
14 Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15 m/s quando passa em frente a uma escola, onde a placa de
limite de velocidade indica 10 m/s. Um policial que estava parado no local da placa acelera sua motocicleta e persegue o
motorista com uma aceleração constante de 3,0 m/s2 (ver figura abaixo).
a) Qual o intervalo de tempo desde o início da perseguição até o momento em que o policial alcança o motorista?
b) Qual é a velocidade do policial nesse instante?
c) Que distância cada veículo percorreu até esse momento?
SOLUÇÃO
a) Para calcular o tempo t no momento em que o motorista e o policial estão na mesma posição, aplicamos a equação
(12), x = x0 + v0x + ½axt2 para cada veículo:
1
xm  0  vm0x t  0.t2  vm0x t
2
1
1
xp  0  0.t  apx .t2  apx .t2
2
2
Como xM = xP no instante t, igualamos as duas expressões anteriores e obtemos a seguinte solução para t:
1
vm0x t  apx .t2
2
t  0 ou
t
2vm0x 2.15

 10s
apx
3
Existem dois instantes nos quais os dois veículos possuem o mesmo valor de x. O primeiro, t = 0, corresponde ao ponto
em que o motorista passa pela placa onde o policial estava. O segundo, t = 10 s, corresponde ao momento em que o
policial alcança o motorista.
b) Queremos o módulo da velocidade do policial vPx no instante t encontrado na parte a). Sua velocidade em qualquer
instante é dada pela equação (8):
vpx  vp0x  apx t  0  3t
Logo, quando t = 10 s, achamos vPx = 30 m/s. No momento em que o policial alcança o motorista, sua velocidade é o
dobro da do motorista.
c) Em 10 s, a distância percorrida pelo motorista é
xm  xm0x t  15.10  150m
e a distância percorrida pelo policial é
1
1
xp  apx t2  3.(10)2  150m
2
2
Isso confirma que, no momento em que o policial alcança o motorista, eles percorreram distâncias iguais.
15 Um móvel parte do repouso e se desloca com uma aceleração constante percorrendo 18 m nos três primeiros
segundos. Calcular a distância que percorrerá durante os 7 s seguintes.
SOLUÇÃO
Considere o esquema:
Trecho AB:
1
S  v 0  at2
2
1
18  a(3)2
2
a  4m / s2
Trecho AC
1
S  v 0  at2
2
1
18  S  4(10)2
2
S  182m
17
16 Um carro tem uma aceleração máxima a, constante para velocidades mais altas, e uma desaceleração máxima 2a.
Você deve percorrer uma distância curta L, começando e terminando a viagem em repouso em tempo mínimo T. Em
que posição deve começar a desacelerar, e em que fração do tempo total deve manter a desaceleração?
SOLUÇÃO
Como começa e finaliza o movimento em repouso: at1 = 2at2 ⇒ t1 = 2t2
A distância L será percorrida acelerando e desacelerando:
L = ½ at12 + ½ 2at22
Das expressões anteriores deduzimos que:
L = ¾ at12
Começará a desacelerar quando deixa de acelerar, e tendo percorrido uma distância d:
d = ½ at12
dividindo membro a membro, temos:
d = 2/3 L
Se o tempo total é T = t1 + t2 com t1 = 2t2 teremos então:
T = 3/2 t1 ⇒ t1 = 2/3 T
17 Dois pontos A e B estão em repouso, separados por uma distância s entre si. Na linha que os une há outro ponto C,
também em repouso, que dista de A o dobro do que dista de B. Os pontos A e B são postos em movimento sobre sua
reta suporte com acelerações de 4 e 1 m/s2 respectivamente. O Professor Gomes Pede que se determine a aceleração
do ponto C para que ele sempre se mantenha a uma distância de A duas vezes maior que de B.
SOLUÇÃO
Observe a ilustração:
Do enunciado, temos:
AC A'C'

2
BC B'C'
Más
A’C’ = AC + x – s1
B’C’ = BC + s2 – x
Então
AC  x  s1
2
BC  s2  x
Sabendo que AC = 2 BC, calculamos x:
s  2s2
x 1
3
Substituindo x = ½ at2, s1 = ½ a1t2 e s2 = ½ a2t2 e simplificando, obtemos:
a  2a2 4  2.1
a 1

 2m / s2
3
3
18 Um móvel parte do repouso e acelera uniformemente, de tal forma que nos primeiros 2 segundos de movimento
percorre 6 m. Que distância percorre nos 4 segundos seguintes?
SOLUÇÃO
Observe a figura:
Trecho AB:
v0 = 0, x = 6 m e t = 2 s. Logo da relação x = v0.t + ½ at2 ⇒ 6 = 0.2 + ½ a(2)2
18
a = 3 m/s2
Trecho AC:
v0 = 0, a = 3 m/s2, x = 6 + L e t = 6 s. Logo da relação x = v0.t + ½ at2 ⇒ 6 + L = 0.6 + ½ 3.(6)2
L = 48 m
Podemos resolver esse problema usando os que chamamos números de Galileo para o MRUV. Dizemos que no
movimento analisado, o móvel percorre espaços proporcionais aos números 1, 3, 5, 7, etc durante intervalos de tempos
iguais, isso também se deve ao fato do móvel partir do repouso. Na figura abaixo temos a proporcionalidade indicada:
Assim 1k = 6 m ⇒ x = 8k = 8.(6 m ) = 48 m
19 A figura abaixo é um gráfico xt do movimento de uma partícula.
a) Em quais dos pontos P, Q, R e S a aceleração ax é positiva?
b) Em quais dos pontos a aceleração é negativa?
c) Em quais pontos a aceleração parece ser zero?
d) Em cada ponto afirme se a velocidade está aumentando, diminuindo ou constante.
SOLUÇÃO
a) S, onde o gráfico xt tem curvatura para cima;
b) Q, onde o gráfico xt tem curvatura para baixo;
c) P e R, onde o gráfico xt não é encurvado nem para cima nem para baixo;
d) em P, vx > 0 e ax = 0 (velocidade não varia); em Q, vx > 0 e ax < 0 (velocidade está diminuindo); em R, vx < 0 e ax = 0
(velocidade não varia); em S, vx < 0 e ax > 0 (velocidade está diminuindo).
20 A velocidade escalar de um corpo é dada em função do tempo pelo gráfico a seguir:
a) Calcule a aceleração escalar do corpo em cada trecho (I, II e III).
b) Calcule a distância percorrida nos 15 segundos.
SOLUÇÃO
a)
aI  0 (movimento uniforme)
20  10
aII 
 2m / s2
10  5
0  20
aIII 
 4m / s2
15  10
b) d = Δx = “área”
d  5.10 
(20  10).5 5.20

 175m
2
2
19
21 Em certo instante passam pela origem de uma trajetória retilínea os móveis A, em movimento uniforme, e B, em
movimento uniformemente variado. A partir desse instante, constrói-se o diagrama abaixo. Em que instante o móvel B
está 32 m à frente de A?
SOLUÇÃO
ax 
v x 10  6

 2m / s2
t
20
Seja t’ o instante procurado. Nesse instante: vB = 6 + 2t’
xB  x A  32
[(6  2t')  6]t'
 10t  32
2
t'  8s
22 Na figura abaixo se tem o gráfico aceleração x tempo de um móvel que se desloca sobre uma reta. Se para t = 0 a
velocidade é v, e para t = 4 s a velocidade é 3v, determine sua velocidade para t = 6 s.
SOLUÇÃO
De 0 s a 4 s: Àrea = Δv
½ (8 + 12).4 = v(4) – v(0)
40 = 3v – v ⇒ v = 20 m/s
Então a velocidade em v(4) = 3v = 60 m/s
De 4 s a 6 s: Àrea = Δv
12.2 = v(6) – v(4)
24 = v(6) – 60 ⇒ v(6) = 84 m/s
23 O Gráfico V versus T mostrado abaixo representa o movimento de dois móveis A e B. Se os móveis se encontram no
instante t = 6 s, qual distância os separam inicialmente?
20
SOLUÇÃO
A distância de separação inicial é igual a diferença de espaços percorridos:
d = ½ bh = ½ (4)(8) = 16 m
24 Uma moeda de 1 euro é largada da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e se move em queda livre. Calcule sua posição
e sua velocidade nos instantes 1,0 s, 2,0 s e 3,0 s.
SOLUÇÃO
Em um instante t após a moeda ser largada, sua posição e velocidade são:
1
1
y  y 0  v 0y t  ay .t2  0  0  (g)t2  (4,9)t2
2
2
v y  v 0y  ay t  0  (g)t  (9,8)t
Quando t = 1,0 s, y = (- 4,9 m/s2)(1,0 s)2 = - 4,9 m e vy = (- 9,8 m/s2) (1,0 s) = - 9,8 m/s; depois de 1 s, a moeda está a 4,9
m abaixo da origem (y é negativo) e possui uma velocidade orientada para baixo (vy é negativa) com módulo igual a 9,8
m/s. A posição e a velocidade nos instantes 2,0 s e 3,0 s são encontradas da mesma forma. Você poderia demonstrar
que y = - 19,6 m e vy = - 19,6 m/s em t = 2,0 s, e que y = - 44,1 m e vy = -29,4 m/s em t = 3,0 s?
25 Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edifício alto. Abola deixa sua mão com velocidade de 15
m/s em um ponto que coincide com a extremidade superior do parapeito do edifício; a seguir ela passa a se mover em
queda livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e continua a queda. No local do edifício, g = 9,8
m/s2. Calcule
a) a posição e a velocidade da bola 1,0 s e 4,0 s depois que ela deixa sua mão;
b) a velocidade quando a bola está a 5,0 m acima do parapeito;
c) a altura máxima atingida e o tempo que ela leva para atingir essa altura; e
d) a aceleração da bola quando ela se encontra na altura máxima.
SOLUÇÃO
a) A posição y e a velocidade vy em qualquer instante t depois de a bola deixar sua mão são dadas pelas equações (8) e
(12), substituindo-se x por y, portanto:
1
1
1
y  y 0  v 0y t  ay .t2  y 0  v 0y t  (g)t2  0  15t  (9,8)t2
2
2
2
v y  v 0y  ay t  v 0y  (g)t  15  (9,8)t
Quando t = 1,0 s, essas equações fornecem y = +10,1 m vy = +5,2 m/s.
A bola está a 10,1 m acima da origem (y é positivo) e se move de baixo para cima (vy é positiva) com um módulo igual a
5,2 m/s. Esse valor é menor do que a velocidade inicial, já que a bola perde velocidade conforme ascende.
Quando t = 4,0 s, as equações para y e vy em função de t fornecem y = -18,4m e vy = -24,2m/s.
A bola já passou pela altura máxima e está 18,4 m abaixo da origem (y é negativo). Ela possui uma velocidade orientada
de cima para baixo (vy é negativa), cujo módulo é igual a 24,2 m/s. A bola perde velocidade enquanto sobe e depois
ganha velocidade enquanto desce; ela se move na velocidade inicial de 15,0 m/s enquanto se move de cima para baixo,
passando pelo ponto de lançamento (a origem), e continua a ganhar velocidade enquanto desce abaixo desse ponto.
b) A velocidade vy em qualquer posição y é dada pela equação (13), substituindo-se x por y, portanto:
v 2y  v 20y  2ay (y  y 0 )  v 2  2(g)(y  0)  152  2(9,8)y
0y
Quando a bola está 5,0 m acima da origem, y = +5,0 m, logo
v2y  152  2(9,8)(5)  127m2 / s2
v y  11,3m / s
21
Obtivemos dois valores de vy, um positivo e outro negativo porque a bola passa duas vezes pelo ponto y = +5,0 m (figura
abaixo), uma vez durante a ascensão, quando vy é positivo, e a outra durante a queda, quando vy é negativo.
c) No exato instante em que ela atinge seu ponto mais elevado, vy = 0. A altura máxima y1 pode então ser calculada de
dois modos. O primeiro modo consiste em usar a equação (13) e substituir os valores vy = 0, y0 = 0 e ay = g:
0  v20y  2(g)(y1  0)
y1 
v20 y
2g

152
 11,5m
2(9,8)
O segundo modo consiste em achar o tempo para o qual vy = 0 usando a equação (8), vy = v0y + ayt e, a seguir, substituir
esse valor de t na equação (12) para obter a posição nesse instante. Pela equação (8), o tempo t1 para a bola atingir seu
ponto mais elevado é dado por:
v y  0  v 0y  (g)t1
t1 
v 0y
g

15
 1,53s
9,8
Substituindo esse valor de t na equação (12), encontramos
1
1
y  y 0  v 0y t  ay .t2  0  (15)(1,53)  (9,8)(1,53)2  11,5m
2
2
Note que pelo primeiro método da determinação da altura máxima não é necessário calcular o tempo antes.
26 Um homem lança uma bola verticalmente para cima. Dois segundos depois lança uma segunda bola com a mesma
velocidade inicial da primeira e observa que as bolas colidem 0,4 s após a segunda bola ser lançada. O Professor Gomes
pede que se determine a velocidade inicial de lançamento das bolas.
SOLUÇÃO
Pelo enunciado percebe-se que o primeiro corpo demorou 2,4 s para o choque e o segundo corpo demorou apenas 0,4
s.
Logo, utilizando a relação h = v0t - ½ gt2, teremos:
Corpo 1: h = v0(2,4) - ½ 5.(2,4)2
Corpo 2: h = v0(0,4) - ½ 5.(0,4)2
Igualando: v0(2,4) - ½ 5.(2,4)2 = v0(0,4) - ½ 5.(0,4)2
22
v0 = 14 m/s
27 Um objeto é lançado na vertical para cima a partir do topo de um edifício de 240 m de altura. Se depois de 5 s sua
velocidade quadruplica, determine a velocidade com que o objeto impacta sobre a base do edifício? (g = 10 m/s2).
SOLUÇÃO
Da figura abaixo, teremos:
tAB = 5s
Equação vetorial de A → B
  
vB  v A  g(t AB )
(4v)  ( v)  10(5)
v  10m / s
No trecho A’P (equação escalar)
v 2f  v 2A'  2g(dA'P )
v 2f  102  2(10)(240)
v f  70m / s
28 O Professor Gomes está dirigindo um carro em um trecho retilíneo de uma estrada. No tempo t = 0, quando está se
movendo a 10 m/s no sentido positivo do eixo Ox, ele passa por um poste de sinalização a uma distância x = 50 m. Sua
aceleração em função do tempo é dada por:
ax  2m / s2  (0,10m / s3 ).t
a) Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em função do tempo.
b) Qual é o instante em que sua velocidade atinge o valor máximo?
c) Qual é a velocidade máxima?
d) Onde está o carro quando a velocidade atinge seu valor máximo?
SOLUÇÃO
a) No tempo t = 0, a posição do Professor Gomes é x0 = 50 m e sua velocidade é v0x = 10 m/s. Como é dada a aceleração
ax em função do tempo, inicialmente usamos a equação (17) para achar a velocidade vx em função do tempo t. A

integral de tn é tndt 
1 n1
t considerando n  -1 de modo que
n1
t
1
v x  10  [2  0,10t]dt  10  2t  (0,10)t2
2
0

A seguir, usamos a equação (18) para achar x em função do tempo t:
t
1
1
1
x  50  [10  (2)t  (0,10)t2 ]dt  50  10t  (2)t2  (0,10)t3
2
2
6
0

A figura abaixo mostra gráficos de ax, vx e x em função do tempo. Note que para qualquer tempo t a inclinação do
gráfico vxt fornece o valor de ax e a inclinação do gráfico xt fornece o valor de vx.
23
b) O valor máximo de vx ocorre quando v para de crescer e começa a decrescer. Para esse instante, dvx/dt = ax = 0.
Igualando a zero a expressão de ax, obtemos
0  2  0,10t
t  20s
c) Para achar a velocidade máxima, substituímos t = 20 s (quando a velocidade é máxima) na equação para vx da parte
a):
1
vmáx  x  10  (2)(20)  (0,10)(20)  30m / s
2
d) O valor máximo de vx ocorre para t = 20 s. Obtemos a posição do carro (isto é, o valor de x) nesse instante
substituindo t = 20 s na equação geral de x da parte a):
1
1
x  50  (10)(20)  (2)(20)2  (0,10)(20)3  517m
2
6
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER
01 Uma pessoa tem 6 horas para dar um passeio. Determine a distância que ela pode dirigir um carro a 12 km/h,
sabendo que tem que voltar a pé a 4 km/h?
02 A vela da figura abaixo é consumida uniformemente com a velocidade de 0,8 cm/s. Com que velocidade se desloca o
extremo da sombra projetada na parede vertical devido ao obstáculo B? (No início a vela e o obstáculo B tem as
mesmas dimensões).
03 Um automóvel, em movimento uniforme por uma rodovia, passou pelo km AB às 4 horas, pelo BA às 5 horas e pelo
km A0B às 6 horas. Determine a velocidade escalar do automóvel. (A e B são algarismos desconhecidos e 0 é o zero.)
04 Uma lebre e uma tartaruga começam uma corrida de 10 km no instante t = 0. A lebre corre a 4 m/s e rapidamente se
distancia da tartaruga que vai a 1m/s (?!). Depois de cinco minutos a lebre para e resolve dormir um pouco. A soneca
dura 135 minutos. Ela acorda e retoma a corrida a 4m/s, mas perde para tartaruga. Qual a distância entre as duas,
quando a tartaruga cruza a linha de chegada? Quanto tempo poderia a lebre dormir e ainda vencer a corrida?
05 Três móveis A, B e C, partem simultaneamente em movimento uniforme e retilíneo, dos pontos a, b e c, com
velocidade constante e de mesmo sentido respectivamente iguais a:
VA = 15m/s
VB = 4,5m/s
VC = 7,5m/s
Pede-se o triplo do instante em que o móvel “A” estará entre os móveis B e C, e a igual distância de ambos.
24
06 Quatro automóveis A, B, C, e D movem-se em uma estrada, todos com velocidade constante. A ultrapassa B às 8:00h,
ultrapassa C às 9:00h e cruza com D às 10:00h. D cruza com B às 12:00h e com C às 14:00h. Determine a que horas B
ultrapassa C.
07 Dois vagões viajam a 10 km/h e se aproximam um do outro. No instante em que distam 20 km, uma mosca sai de um
deles e voa na direção do outro com velocidade de 25 km/h. Quando toca o outro vagão, ela imediatamente dá a volta e
se dirige para o vagão anterior, com a mesma velocidade de antes. A partir daí, ela repete esses movimentos até que os
vagões se chocam e ela vai direto para o céu das moscas. Quantos quilômetros ela voou durante todas essas idas e
vindas até ser tragicamente esmagada?
08 Dois carros saíram ao mesmo tempo: Um de A em direção a B, e outro de B em direção a A. Quando eles se
encontraram, o primeiro tinha viajado 36 km a mais do que o segundo. A partir deste ponto (onde eles se encontraram),
o primeiro levou uma hora para chegar em B, e o segundo 4 horas para chegar em A. O Professor Gomes pede que se
determine a distância entre os pontos A e B.
09 Gabriel vence Caio por 10 m numa corrida de 100 m. Gabriel dizendo que vai dar a ele a mesma chance, concorda
disputar uma segunda corrida, mas parte 10 m antes da linha de largada. Isto realmente dá a Caio a chance de vitória?
Justifique.
10 Dois pontos A e B situados em uma linha reta estão separados por 120 km. Do ponto A parte um móvel M1 que se
move em direção a B a 5 km/h. Duas horas depois, de B sai outro móvel M2 que vai ao encontro do móvel M1 a 8km/h.
Depois de quanto tempo da partida de M2 os móveis se encontrarão a 20 km um do outro ?
11 Um trem de 60 m de comprimento se desloca em linha reta a uma velocidade constante de 40 m/s e demora t
segundos para cruzar uma ponte. Se tivesse o dobro de sua velocidade, ele teria gasto dois segundos a menos para
atravessá-la. Determinar o comprimento da ponte.
12 Um homem viajando em MRU, deve chegar ao seu destino as 7:00 p.m. Se viajar a 40 km/h chegará 1 h mais tarde, e
se viajar a 60 km/h chegará 1 h antes. Que velocidade deve ter para chegar ao seu destino na hora marcada?
13 Pilotos de caça exercitam-se atirando em avião tele-guiado. O avião de caça F (fonte) percorre com velocidade f
uma reta horizontal r. A metralhadora dispara projéteis com velocidade p (sendo p > f ) em instantes regularmente
intervalados pelo período T. O alvo A percorre a mesma reta r com velocidade a. Os projéteis percorrem sensivelmente
a mesma reta r. As velocidades são dadas em relação à Terra, e são supostas invariáveis. O Professor Gomes pede que
se determine o intervalo de tempo T’ entre os impactos consecutivos dos projéteis no alvo.
14 A figura abaixo representa quarteirões de 100 m de comprimento de uma certa cidade e os veículos A e B, que se
movem com velocidades de 43,2 km/h e 57,6 km/h, respectivamente, a partir dos pontos ali representados, no
momento inicial.
25
Calcule o instante em que a distância entre os dois carros será mínima e de quanto ela será?
15 De Fortaleza a Juazeiro do Norte com um intervalo t = 10 min saíram dois trens elétricos com velocidades v = 30
km/h. Com que velocidade u movia-se um trem em direção a Fortaleza, uma vez que encontrou os trens elétricos a um
intervalo T = 4 min, um depois do outro?
16 Um móvel parte de um certo ponto com um movimento que obedece à lei horária S = 4t2,válida no SI. S é a abscissa
do móvel e t é o tempo. Um segundo depois parte outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme
e seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar o
primeiro?
17 Um ônibus move-se numa estrada com velocidade v1 = 16 m/s. Um homem encontra-se a uma distância a = 60 m da
estrada e b = 400 m do ônibus. Em que direção deve correr o homem para chegar a algum ponto da estrada
simultaneamente com o ônibus ou antes dele? O homem pode correr com uma velocidade v2 = 4 m/s.
18 Qual é a mínima velocidade que deve ter o homem (ver o problema anterior) para alcançar o ônibus? Em que direção
deve correr o homem nesse caso?
19 Considere dois carros que estejam participando de uma corrida. O carro A consegue realizar cada volta em 80s
enquanto o carro B é 5,0% mais lento. O carro A é forçado a uma parada nos boxes ao completar a volta de número 6.
Incluindo aceleração, desaceleração e reparos, o carro A perde 135s. Qual deve ser o número mínimo de voltas
completas da corrida para que o carro A possa vencer?
20 Alguns atletas disputaram uma prova de velocidade na qual correram por 150 minutos. Verificou-se que as
velocidades escalares médias dos três primeiros colocados formavam uma progressão aritmética e que a soma das
velocidades escalares médias do 1° e do 3° colocado era 24 km/h. Calule, para o 2° colocado, a distância percorrida
durante os 150 min.
21 Um carro de corrida participa de uma prova eliminatória de duas voltas e percorre a primeira com a velocidade
média de 145 km/h. O piloto pretende manter na segunda volta uma velocidade muito maior, de modo que a
velocidade média nas duas voltas seja de 290 km/h. Demonstre que isso é impossível.
22 Um corpo parte do repouso com aceleração constante. Após se mover durante um tempo ∆t, nota-se que ele
percorre 10 cm em 1 s e, 20 cm no segundo seguinte. O Professor Gomes pede para você determinar:
a) o intervalo de tempo ∆t inicial em segundos;
26
b) a distância percorrida pelo móvel no intervalo de tempo ∆t inicial.
23 No arranjo mostrado a seguir, do ponto A largamos com velocidade nula duas pequenas bolas que se moverão sob a
influência da gravidade em um plano vertical, sem rolamento ou atrito, uma pelo trecho ABC e outra pelo trecho ADC.
As partes AD e BC dos trechos são paralelas e as partes AB e DC também. Os vértices B de ABC e D de ADC são
suavemente arredondados para que cada bola não sofra uma brusca mudança na sua trajetória.
Por qual trecho ABC ou ADC a bola chega ao ponto C primeiro? Justifique.
24 Um carro para em um semáforo. A seguir ele percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância ao sinal é dada
por x(t) = bt2 - ct3, onde b = 2,40 m/s2 e c = 0,120 m/s3.
a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo de tempo t = 0 até t = 10,0 s.
b) Calcule a velocidade instantânea do carro para i) t = 0; ii) t = 5,0 s; iii) t = 10,0 s.
c) Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso?
25 O Professor Gomes sai de sua casa e se dirige a pé para o campus. Depois de 5 min começa a chover e ela retorna
para casa. Sua distância da casa em função do tempo é indicada pelo gráfico da figura a seguir:
Em qual dos pontos indicados sua velocidade é:
a) zero?
b) constante e positiva?
c) constante e negativa?
d) crescente em módulo?
e) decrescente em módulo?
26 Em um teste de um novo modelo de automóvel da empresa Motores Incríveis, o velocímetro é calibrado para ler m/s
em vez de km/h. A série de medidas a seguir foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada retilínea muito
longa:
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22
a) Calcule a aceleração média durante cada intervalo de 2,0 s. A aceleração é constante? Ela é constante em algum
trecho do teste?
b) Faça um gráfico vxt dos dados tabelados usando escalas de 1 cm = 1 s no eixo horizontal e de 1 cm = 2 m/s no eixo
vertical. Desenhe uma curva entre os pontos plotados. Medindo a inclinação dessa curva, calcule a aceleração
instantânea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e t = 15 s.
27 Um móvel parte do repouso com MRUV e avança 54 m nos 6 primeiros segundos. Quantos metros avança nos 4
segundos seguintes?
28 Um móvel parte do repouso em MRUV e durante o décimo terceiro segundo percorre 10 m. Determine a distância
percorrida no oitavo segundo.
27
29 Uma locomotiva parte de uma estação A e para numa estação B, distante de 1.200 m de A. O máximo módulo da
aceleração que ela consegue manter é de 3m/s2, tanto na fase de aceleração como na de retardamento. Sabendo que é
proibido trafegar nessa região com velocidade superior a 30 m/s, calcule o mínimo intervalo de tempo possível para ir
de A a B, sem problemas com a fiscalização.
30 Resolva novamente a questão anterior, supondo que não houvesse limitação para a velocidade.
31 Três pontos A, B e C, no momento inicial estão situados na mesma reta horizontal, a igual distância um do outro. O
ponto A começa a mover-se verticalmente para cima com velocidade constante v, e o ponto C, sem velocidade inicial,
verticalmente para baixo com aceleração constante a. Como deve-se mover o ponto B na direção vertical, para que os
três pontos se encontrem o tempo todo numa mesma reta? Os pontos começam a mover-se simultaneamente.
32 Um pedestre corre com velocidade constante v = 5,0 m/s para alcançar um ônibus estacionado. No instante em que
a distância do pedestre ao ônibus é d = 20 m, o ônibus parte com aceleração constante a = 1,0 m/s2 no mesmo sentido
da corrida do pedestre; este continua correndo com a velocidade v. Demonstrar que o pedestre não alcança o ônibus, e
determinar a menor distância x entre ambos.
33 Numa corrida de 100 m, entre dois atletas, um deles, Gabriel, chega aos 70 m com velocidade de 11 m/s, mas
começa a perder velocidade à taxa de 1 m/s2. Quando Gabriel está na marca dos 70 m, o outro corredor, Caio, está 10 m
atrás dele, com velocidade de 10 m/s, e continua assim até o final da corrida. Quem ganhou a corrida?
34 Um móvel que se desloca com movimento retilíneo uniformemente desacelerado percorre 35 m em t segundos de
movimento, e nos seguintes t segundos 25 m. Se todo o movimento dura 4t segundos, determine o espaço percorrido
nos últimos t segundos antes de parar?
35 Uma lagarta de comprimento L se move com velocidade v sobre uma superfície horizontal em linha reta e num dado
instante muda a direção de seu movimento em 90°. Determinar a partir desse momento o tempo que decorre até que a
distância entre suas extremidades seja mínima e determine esta distância.
36 Um carro move-se em linha reta com uma velocidade constante avançando uma distância d para logo adquirir uma
aceleração constante de módulo a, diminuindo sua velocidade até ser parado. Determinar o tempo de movimento do
carro, sabendo que é mínimo.
37 Um móvel A partiu do repouso, em MRUV, animado de aceleração a = 8 m/s2. Um segundo depois, parte do mesmo
ponto outro móvel B, em MRU, com velocidade v. Qual o menor valor de v de forma que B ainda consiga alcançar A?
38 Uma carreta, usada em demonstrações, movia-se ao longo de uma régua com aceleração constante. No momento
em que o cronometro mostrava t1 = 7 s, a carreta encontrava-se no ponto x1 = 70 cm; no momento t2 = 9 s no ponto x2 =
80 cm e no momento t3 = 15 s no ponto x3 = 230 cm. Qual é a aceleração da carreta?
39 Na figura estão representados os diagramas de velocidade de dois móveis em função do tempo. Esses móveis partem
de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem a mesma trajetória retilínea. Em que instante(s) eles se
encontram?
28
40 O gráfico espaço x tempo a seguir está contido em um quarto de circunferência. Determine o instante t em que a
velocidade v do móvel em questão é igual a 1 m/s.
41 O gráfico da figura abaixo mostra como varia a posição em função do tempo para uma partícula que se movimenta
em linha reta com aceleração constante a = 8 cm/s2. Qual é a velocidade em um instante t em que a área sombreada
seja de 64 cm.s?
42 Um móvel parte do repouso com uma aceleração constante de 10 m/s2. Após passar certo tempo, o móvel começa a
desacelerar a uma taxa de 5 m/s2 até parar. Se o tempo total em movimento é de 30 s, calcule a distância total
percorrida pelo móvel.
43 A figura abaixo mostra os gráficos v - versus - t dos movimentos retilíneos de dois moveis A e B. Com que velocidade
inicial partiu B, se quando as suas velocidades se igualaram pela segunda vez os seus deslocamentos também se
igualaram? Considere π = 22/7.
44 A aceleração de um ônibus é dada por ax(t) = αt, onde α = 1,2 m/s3.
a) Se a velocidade do ônibus para t = 1,0 s é igual a 5,0 m/s, qual é sua velocidade para t = 2,0 s?
b) Se a posição do ônibus para t = 1,0 s é igual a 6,0 m, qual sua posição para t = 2,0 s?
c) Faça gráficos at, vt e xt para esse movimento.
45 A aceleração de uma motocicleta é dada por ax(t) = At - Bt2, onde A = 1,5 m/s3 e B = 0,120 m/s4. A motocicleta está
em repouso na origem no instante t = 0.
a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.
b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.
46 Uma corrente leve de comprimento L = 250 cm pende verticalmente de um ponto fixo e tem a extremidade inferior
encostada ao piso. A essa corrente prendem-se N = 10 esferas maciças de chumbo, intervaladas segundo certa lei. A
gravidade local tem intensidade g = 1000 cm/s2. Desprezar efeitos do ar. Abandonando o sistema em repouso, constatase de ouvido que as esferas batem no piso em cadência regular. Determinar os intervalos entre esferas consecutivas.
29
47 É dado um elevador vertical de altura L (distância entre o teto e o piso). Durante o fenômeno em causa neste
problema, ele é animado de aceleração a vertical, ascendente e constante, porém incógnita. A aceleração local da
gravidade é g. Uma partícula que se desprende do teto do elevador cai ao piso em tempo t. Desprezam-se os efeitos do
ar ambiente, determine a aceleração do elevador.
48 Do teto de um elevador de 3,50 m de altura, subindo com uma aceleração de retardamento de 2 m/s2, cai um
parafuso no momento em que sua velocidade é de 3 m/s. Determine depois de quanto tempo o parafuso toca o chão do
elevador.
49 Uma partícula é abandonada de uma certa altura a partir do repouso, passando a cair em queda livre. Sabe-se que a
partícula percorre a metade de seu percurso total até atingir o solo durante o último segundo de sua queda.
a) Calcule o tempo total de queda.
b) No item a) duas soluções matematicamente corretas podem ser encontradas. Ambas as soluções são fisicamente
aceitáveis? Justifique sua resposta.
50 Uma bolinha de aço, abandonada a 1 m de altura de um piso muito duro, realiza um movimento periódico de subida
e descida, por tempo indeterminado se desconsiderarmos as perdas de energia na resistência do ar e nas colisões com o
solo. De que altura deve-se abandonar, simultaneamente com a primeira, uma segunda bolinha para que a sua terceira
colisão com o solo coincida com a quinta colisão da primeira bolinha?
51 Um chuveiro, situado a uma altura de 1,8 m do solo, indevidamente fechado, deixa cair pingos de água a uma razão
constante de 4 pingos/segundo. No instante em que um dado pingo toca o solo, determine o número de pingos, atrás
dele, que já estão a caminho. (valor da aceleração da gravidade: g = 10 m/s2)
52 Duas esferas são lançadas simultaneamente como mostrado na figura abaixo. Depois de quanto tempo a partir do
lançamento, as esferas estarão separadas de 5m pela segunda vez? (Despreze a resistência do ar e considere g = 10
m/s2)
53 Uma esfera foi solta de uma certa altura e no sétimo segundo de sua queda percorre 1/13 do percurso total.
Determine a velocidade da esfera no instante em que ela bate no chão? (g = 10 m/s2)
54 Num determinado planeta se lança verticalmente para cima uma pedra de modo que no terceiro e no quarto
segundo de movimento a pedra percorre 21 m e 15 m, respectivamente. Determine a velocidade com que a pedra foi
lançada.
55 Uma partícula é abandonada a partir do repouso de um ponto situado a 270m acima do solo. O Professor Gomes
pede para você divida essa altura em três partes tais que sejam percorridas em intervalos de tempo iguais.
56 Uma bola cai livremente de uma altura H sobre um suporte elástico horizontal. Construir o gráfico da variação da
coordenada e da velocidade da bola em função do tempo, considerando, que o tempo de choque pode ser desprezado.
O choque é absolutamente elástico.
30
57 Um elevador parte do repouso e sobe com aceleração constante a = 2 m/s2 em relação a um observador fixo.
Quando sua velocidade atinge o valor v = 6 m/s em relação a este observador fixo fora do elevador, uma pessoa que
esta dentro do elevador larga um pacote de uma altura h = 2,16 m em relação ao piso do elevador.
a) Qual é o tempo que o pacote leva para atingir o piso do elevador, medido por uma pessoa que está dentro do
elevador?
b) Qual é o tempo de queda medido por um observador fixo que está fora do elevador?
c) Qual é o espaço percorrido pelo pacote em relação a um observador situado fora do elevador? Qual é o espaço
percorrido em relação a um observador dentro do elevador?
d) O pacote entra em movimento descendente?
58 Um filme mostra um objeto caindo verticalmente sob a ação da gravidade. Portanto, mostra o objeto acelerando de
cima para baixo. Se esse filme for projetado de trás para frente, mostrará o objeto acelerando para cima ou o objeto
acelerando para baixo? Justifique sua resposta.
59 Um balão está subindo a 12,4 m/s à altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote.
a) Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo?
b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo?
60 Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com 1,1 m de altura. O
tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s. Determine a altura alcançada pelo pote acima do topo da janela.
61 Se você arremessa uma bola de baixo para cima com certa velocidade inicial, ela cai livremente e atinge uma altura
máxima h em um instante t, após deixar sua mão.
a) Se você jogar a bola para cima com o dobro da velocidade inicial, que nova altura máxima a bola atingirá?
b) Se você jogar a bola para cima com o dobro da velocidade inicial, quanto tempo levará para ela atingir a sua nova
altura máxima?
62 Se um objeto percorre metade de seu percurso total no último segundo de sua queda a partir do repouso, determine
o tempo e a altura da queda.
63 Qual é o tempo necessário a um corpo, que cai livremente, sem velocidade inicial, para percorrer o enésimo
centímetro do seu trajeto?
64 Uma pedra cai de uma altura h e os últímos 196 m são percorridos em 4,0 s. Desprezando a resistência do ar e
fazendo g = 10 m/s2, calcule h.
65 Uma bolinha de chumbo é lançada verticalmente para cima, realizando uma ascensão praticamente livre, de duração
pouco maior que 2s. Considerando g = 9,8 m/s2, responda:
a) qual é a distância percorrida pela bolinha durante o último segundo da subida?
b) A resposta do item a depende do módulo da velocidade de lançamento?
c) A distância percorrida no último segundo de queda, no retorno ao ponto de partida, depende do módulo da
velocidade de lançamento?
66 A lâmpada do teto do elevador se desprende quando este sobe com aceleração constante de 2,5 m/s². Sabendo que
a lâmpada atinge o piso do elevador em 0,6 s, o Professor Gomes pede que se determine a distância entre o teto e o
piso do elevador.
Dado: aceleração gravitacional g = 10 m/s²
67 Uma pedra cai de um balão, que sobe com velocidade constante de 10 m/s. Se a pedra demora 10 s para atingir o
solo, a que altura estava o balão no instante em que se iniciou a queda da pedra? (g = 10 m/s2).
68 Um bloco de chumbo cai do topo de uma torre. Considerando desprezível a influência do ar e sendo g a intensidade
do campo gravitadonal, calcule a distância percorrida pelo bloco durante o enésimo segundo de queda livre.
31
69 De um telhado caem gotas de chuva separadas por intervalos de tempo iguais entre si. No instante em que a quinta
gota se desprendia a primeira toca solo. Qual a distância que separa as duas últimas gotas consecutivas, neste instante,
se a altura do telhado é de 16 m? Não considere a resistência do ar e adote g = 10 m/s2.
70 No instante t0 = 0, duas bolinhas de chumbo, A e B, são lançadas verticalmente de um mesmo local situado a uma
certa altura do solo, com velocidades iniciais de mesmo módulo v0. A é lançada para cima e B, para baixo. Desprezando
a influência do ar e sendo g a intensidade do campo gravitacional, determine a distância d entre as bolinhas em função
do tempo t, antes que alguma delas toque o solo.
Respostas
01 18 km
02 1,2 cm/s
03 45 km/h
04 a) a tartaruga vence a corrida
b) t = 20 min
c) A lebre está ≈ 2, 4 km atrás da tartaruga, depois de 10 km de pista.
d) Se a lebre tirar uma soneca de 125 minutos ela chega junto com a tartaruga. Portanto, o tempo máximo da soneca
deve ser um pouco menor que 125 minutos.
05 10 s
06 10h 40min
07 25 km
08 108 km
09 Não
10 10 h
11 100 m
12 48 km/h
13
 v  vC 
T'  T.  P

 vP  v A 
14 24 s e 140 m
15 45 km/h
16 16 m/s
17 36°45’ ≤ α ≤ 143°15’
18 2,4 m/s na direção perpendicular a direção do ônibus
19 36 voltas
20 30 km
21 Demonstração
22 a) 0,5 s b) 5/4m = 1,25 m
23 ΔtABC > ΔtADC
24 a) 12 m/s
b) i) 0 ii) 15 m/s iii) 12 m/s
c) 13,3 s
25 a) A velocidade é zero, quando o gráfico está na horizontal; Ponto IV.
b) A velocidade é constante e positiva quando o gráfico é uma linha reta com uma inclinação positiva; Ponto I.
c) A velocidade é constante e negativa quando o gráfico é uma linha reta com uma inclinação negativa; ponto V.
d) A inclinação é positiva e aumentando no ponto II.
e) A inclinação é positiva e diminuindo no ponto III.
26 a) 0 s a 2 s: aav,x = 0;
32
2 s a 4 s: aav,x = 1,0 m/s2
4 s a 6 s: aav,x = 1,5 m/s2
6 s a 8 s: aav,x = 2,5 m/s2
8 s a 10 s: aav,x = 2,5 m/s2
10 s a 12 s: aav,x = 2,5 m/s2
12 s a 14 s: aav,x = 1,0 m/s2
14 s a 16 s: aav,x = 0
A aceleração não é constante ao longo de todo o intervalo de tempo dos 16 s. A aceleração é constante entre 6 s e 12 s.
b) Observe o gráfico:
Em t = 9 s ax = 2,5 m/s2
Em t = 13 s ax = 1,0 m/s2
Em t = 15 s ax = 0
27 96 m
28 6 m
29 50 s
30 40 s
31
BB' 
vt at2

2
4
32 Demonstração x = 7,5 m
33 Gabriel
34 5 m
35
dmín 
36
tmín  2
2
L
L et=
2
2v
d
a
37 16 m/s
38 5 cm/s2
39 6 s
40 3 s
41 32 cm/s
42 1500 m
43 18 m/s
33
44 a) t = 2,0 s , vx = 6.8 m/s.
b) t = 1,0 s 0 x = 1,4 m. t = 2,0 s , x = 11,8 m.
c) x(t) = 1,4 m + (4,4 m/s)t + (0,20 m/s3 )t3, vx (t) = 4,4 m/s + (0,60 m/s3)t2 e ax (t) = (1,20m/s3)t
45 a) x(t) = (0,25 m/s3)t3 - (0,010 m/s4)t4, vx (t) = (0,75 m/s3)t2 - (0,040 m/s4)t3 b) 39,1 m/s
46 As distâncias entre as esferas consecutivas variam em progressão aritmética de termo inicial -2,5 e razão 5.
47
a
2L
g
t2
48 0,94 s
49
a) 2  2
b) Não. O tempo total de queda tem que ser maior que 1.
50 3,24 m
51 Dois pingos
52 0,8 s
53 130 m/s
54 36 m/s
55 30 m, 90 m e 150 m
56 Graficamente
57 a) e b) 0,6s em relação a ambos os referenciais.
c) Observador fixo: 1,8 m.
Observador no elevador: 2,16 m.
d) Observador fixo: nunca, pois quando v = 0 (iria começar a descer) encontra o piso.
Observador no elevador: desde o início o movimento é descendente.
58 Se o filme for exibido de trás para diante, o objeto aparecerá subindo, mas, sua aceleração será ainda para baixo. A
velocidade do objeto estará diminuindo enquanto ele sobe, logo a aceleração é contrária ao movimento. Na verdade, se
o filme passar para frente ou para trás, a aceleração do objeto será sempre a aceleração da gravidade, que é vertical
para baixo.
59 a) – 41,8 m/s
b) 5,53 s
60 6,8 cm
61 a) 4h
b) 2t
62 t = 2  2
h = 58,2 m
63
t=
n
490
64 238 m
65 a) 4,9 m
66 2,25 m
67 400 m
68
d
b) Não
c) Sim
g(2n  1)
2
69 1 m
70 2v0t
34