Circuitos RL Série

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Circuitos RC série
Quando aplicamos uma voltagem CC em uma
associação série de um resistor e um capacitor, o
capacitor é carregado até a tensão da fonte
seguindo um crescimento exponencial e satura
neste valor. Este não é o caso quando uma
voltagem CA é aplicada a esta associação. Como
a voltagem está constantemente mudando, o
capacitor
irá
constantemente
carregar
e
descarregar e irá continuamente tentar se opor às
mudanças.
Essencialmente, R e C neste circuito formam
um divisor de voltagem CC. Podemos esperar que parte da voltagem
aplicada estivesse sobre R e parte sobre C. Como a voltagem se
distribuirá sobre estes componentes é a questão.
Aplicando a Lei das Malhas temos:
+
=
sen
sen
cos
=
= .
=
+
+
[ .
1
+ ]
=
+
Analisando o circuito em busca de uma solução plausível vemos
que, fora algum comportamento transitório inicial a corrente deve
oscilar na frequência da fonte, como ocorre para cada um dos
elementos isoladamente quando ligados a uma fonte. Mas, sabemos
que enquanto os resistores não alteram a fase da corrente em
relação à fase da fonte, nos capacitores a corrente está adiantada de
90° em relação à tensão. Podemos então concluir que, pelo efeito dos
dois elementos a corrente deve apresentar uma defasagem
intermediária entre estes dois extremos. Propomos então uma
solução do tipo:
=
+
Substituindo na equação diferencial para ao circuito temos:
2
cos
=
cos
cos
=
+
cos
+
+
+
+
+
Desenvolvendo sen(ωt+φ) e cos(ωt+φ) temos:
cos
=
+ cos
[cos
cos
−
]
]+
[
cos
Isolando e igualando a zero os coeficientes de sen(ωt) temos:
−
]+
cos
=0
o que nos dá
1
" =
e fazendo o mesmo para o coeficiente de cos(ωt) temos:
−
cos
−
=0
de onde tiramos que
[
=
1
#$
+
cos
+
]=
=
"
#$
Usando a equação para tgφ e a relação 1/cos2φ- tg2φ = 1 temos
que
#$
=
%
&
1
+
&
e portanto
=
%
&
+
1
&
3
Na figura ao lado podemos ver a
defasagem entre a corrente e a tensão
aplicada no circuito RC em corrente
alternada.
Circuitos RL série
Quando aplicamos uma voltagem CA a um
circuito RL série como mostrado ao lado, o
circuito se comporta de algum modo como o
circuito RC série e de outro como um tipo de
reflexo dele.
Por exemplo, a corrente é sempre a
mesma em todos os elementos do circuito. VR
estará em fase com a corrente I e VL estará
90° fora de fase com I. Entretanto, VL estará
adiantado em relação a I, ou seja a defasagem
será de +90° em vez de -90°.
Da mesma maneira, o circuito pode ser resolvido pela aplicação
da Lei das Malhas e a escolha de uma solução adequada para a
corrente que atravessa o circuito de modo a satisfazer a equação
diferencial obtida pela aplicação da Lei das Malhas.
A resolução pormenorizada fica como exercício.
A solução a ser encontrada será:
" =−
'
e
=
√
&
+ '&
Na figura ao lado podemos ver a
defasagem entre a corrente e a tensão
aplicada no circuito RL em corrente
alternada.
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Circuitos RC série – Representação fasorial
Como um exemplo prático, assumimos que εrms=10V na
frequência de 1kHz, C=0.01µF e R=15kΩ. Se construirmos este
circuito com um bom gerador de áudio, iremos medir Vrms=6.855V
sobre o resistor e Vrms=7.275V sobre o capacitor. A soma é
evidentemente maior do que os 10V fornecidos pelo gerador. Como
isso é possível?
A razão desta aparente discrepância é o fato de que, como vimos
anteriormente, C causará uma defasagem entre a voltagem e a
corrente. Uma vez que temos um circuito em série, a corrente deve
necessariamente ser a mesma em todo o circuito. Portanto, a
voltagem sobre o capacitor irá se atrasar de 90° em relação à
corrente, enquanto que ao mesmo tempo a voltagem sobre o resistor
estará em fase com a corrente. Como podemos lidar com esta
aparente confusão?
Representando voltagens como vetores
O problema real aqui é a diferença de fase de 90° entre VC e VR.
Uma vez que não estão em fase e uma certa quantidade de voltagem
é depositada sobre cada componente, a relação de fase entre a
voltagem e a corrente do gerador deve estar em algum valor entre os
extremos. Precisamos então poder determinar esta relação de fase,
assim como determinar o efeito combinado de R e XC neste circuito.
Uma solução é mapear as componentes da
voltagem graficamente, como mostrado na figura.
Usando coordenadas X e Y, o eixo positivo de X é
definido como referência para a marcação da fase,
com o sentido anti-horário tomado como a direção
positiva para a marcação dos ângulos.
Uma vez que a corrente no circuito é necessariamente a mesma
em todo o circuito, ela é usada como a referência para a medida dos
ângulos de fase. A voltagem sobre o resistor VR, em fase com a
corrente é mostrada em vermelho. A Voltagem capacitiva VC, está a 90°, como mostrado em azul. Desta maneira podemos representar as
voltagens sobre R e C como vetores, possuindo magnitude e direção.
Agora está claro que a voltagem composta por VR e VC deve ser um
vetor soma, como mostrado em violeta.
Para encontrarmos a voltagem resultante, devemos então usar as
relações de soma de vetores:
5
)
)
=%
&
+
&
= *6,855& + 7,273& = √47 + 53 = √100
)
= 10
Como nosso gerador produz uma tensão de saída de 10V, isto
confirma nossas medidas.
Representando voltagens como fasores
Este tipo de representação geométrica das tensões e correntes
num circuito CA pode ser mais completa se permitirmos na nossa
representação que os vetores desenvolvam um movimento de
rotação ao redor de um eixo perpendicular ao plano XY, no sentido
anti-horário, com frequência ω.
Ao fazermos isso, estamos introduzindo na representação a
evolução temporal das tensões e correntes e, portanto nos permite
calcular o valor das tensões e das correntes em qualquer instante. O
módulo do vetor, que não se altera pela rotação aplicada será sempre
representativo dos valores das amplitudes das tensões e correntes
representadas e a projeção dos vetores no eixo vertical (quando a
corrente é descrita por uma função seno) nos dará o valor das
grandezas representadas num determinado instante, transcorrido um
tempo t.
Esta representação geométrica é chamada de representação
fasorial e os vetores representados são chamados de fasores.
Representação fasorial da corrente I
(vermelho), da tensão na resistência VR
(azul), da tensão no capacitor VC (verde)
e da tensão da fonte V (margenta) em
um circuito RC, no instante t= -φ/ω.
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Representação fasorial da corrente
I (vermelho), da tensão na resistência
VR (azul), da tensão no capacitor VC
(verde) e da tensão da fonte V
(margenta) em um circuito RC, e os
correspondentes valores instantâneos,
depois de transcorrido um tempo t=tφ/ω.
Impedância
Outro ponto a considerar aqui é que o circuito contém a
combinação de uma resistência (R) e de uma reatância (XC). Isto não
é nem uma resistência pura nem uma reatância pura. Precisamos um
nome para esta característica combinada e uma maneira de calculála.
O nome é simples: impedância, e é representada pela letra Z.
Para calcular Z, devemos primeiro notar que, de acordo com a Lei de
Ohm, R = VR/I e XC = VC/I. Entretanto, já sabemos que estas
voltagens estão defasadas de 90°. Uma vez que a corrente I no
circuito é a mesma em qualquer elemento, então R e XC devem estar
defasadas de 90° também. Então, devemos aplicar o mesmo método
que usamos para calcular VG para calcular Z, como fazemos abaixo:
3 =
3 =
1
245
1
1
=
6,28. 1000. 0,00000001 6,28. 1067
3 = 15,929:
|<| = %
&
+3
&
|<| = *15& + 15,92& = *225 + 253,45 + *478,45
|<| = 21,879:
7
=>?
=>?
=>?
=
=
) =>?
<
=>?
10
21,879
=>?
=>? .
= 0,[email protected]:
=>?
= 0,457@A
=
= 6,855
=>?
=>?
=
=>? . 3
= 0,[email protected],929:
=>?
= 7,275
O ângulo de fase entre corrente e a voltagem no gerador é (com a
voltagem atrasada em relação à corrente):
B = "6C
3
= "6C
15,929
= "6C 1,061 = 46,7°
159
Então, todos os cálculos e valores relativos ao circuito
permanecem consistentes uns com os outros assim como com as
medidas experimentais realizadas.
Circuitos RL Série – Representação fasorial
Para este circuito assumiremos valores experimentais como
segue: R = 560 , L = 100 mH, e ε0 = 10 V. Medidas cuidadosas no
circuito mostram 7.464 V sobre L e 6.656 V sobre R. Como podemos
ver, a somas destes valores excedem substancialmente a voltagem
da fonte, e a defasagem é a razão disto.
Os vetores em um circuito RL série
Os vetores para este exemplo estão mostrados ao
lado. Desta vez o ângulo de fase é positivo e não
negativo como no circuito RC porque VL está
adiantado em relação a IL. Para determinar Quanto é
o ângulo de fase, devemos começar determinando XL
e então calcular os outros parâmetros do circuito.
3D = 245'
3D = 6,28.1000.0,1
3D = 628:
8
|<| = %
&
+ 3D &
|<| = *560& + 628& = √313600 + 394384 + √707984
|<| = 841,4:
=>?
=
=>?
=
=>?
) =>?
<
=>?
10
841,4
=>?
B = "6C
= 0,0119A. 560:
=>?
= 11,9@A
3D
= .
= "6C
= 6,656
D =>?
D =>?
=
=>? . 3D
= 11,9@A. 628:
D =>?
= 7,464
628
= "6C 1,121 = 48,28°
560
Os fasores em um circuito RL série
Representação fasorial da corrente I
(vermelho), da tensão na resistência VR
(azul), da tensão no indutor VL (verde) e da
tensão da fonte V (margenta) em um circuito
RL, no instante t= t= -φ/ω.
Representação fasorial da corrente I
(vermelho), da tensão na resistência VR
(azul), da tensão no indutor VL (verde) e
da tensão da fonte V (margenta) em um
circuito RL, e os correspondentes valores
instantâneos, depois de transcorrido um
tempo t= t-φ/ω.
Assim temos uma completa descrição do circuito RL série com um
sinal CA aplicado nele. Começando com o valor dos componentes e
da frequência da voltagem CA aplicada, descrevemos os diferentes
aspectos do comportamento do circuito naquela frequência e os
valores instantâneos das correntes e tensões no circuito.