x - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA III
CONCEITOS BÁSICOS
pág 379
© 2015 EFMN
Prof. Eloy Machado
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Razões trigonométricas
Op
Hip

Ad
Op
sen  =
Hip
Ad
cos  =
Hip
Teorema de Pitágoras
tan  =
Hip2 = Op2 + Ad2
Op
Ad
TRIÂNGULO RETÂNGULO
a
b
=
b
a
........... =
b
a
sen
20o
20o
c
b
70o
a
c
TRIÂNGULO RETÂNGULO
a
b
=
b
a
cos 70o =
b
a
sen
20o
20o
c
b
70o
a
c
Conclusão: cos 70o = sen 20o
TRIÂNGULO RETÂNGULO
(90o – )

Os ângulos agudos do
triângulo retângulo são
sempre complementares!
sen  = cos (90o – )
cos  = sen (90o – )
Cosseno de  = seno do complementar de 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
sen 25o = cos 65º
.....
89º
sen 1o = cos .....
cos 12o = sen 78º
.....
60º
cos 30o = sen .....
sen 45o = cos 45º
.....
– x)
sen x = cos (90º
............
2
sen (90o – 2) = cos ........
x2 = 52 + 122  x2 = 169
 x = 13
x
5
sen  =
13
12
sen  =
13
12
cos  =
13
5
cos  =
13
5
tan  =
12
tan  =
12
5

x
x
= 0,96
25
cos  =
25
x = 250,96
x = 24
x = 24

y
24
= 0,75 
tan  =
y
3y = 96  y = 32
24
3
=
y
4
tan 24º =
a
= 0,45
x
a = 0,45x
a
x
(1)
tan 24º =
a
= 0,45
x
a = 0,45x
(1)
a
= 0,36
tan 20º =
x + 10
a = 0,36(x + 10)
a
a = 0,36x + 3,6
(2)
(1) e (2): 0,45x = 0,36x + 3,6
x
0,09x = 3,6 100
9x = 360
 x = 40
Resp: 40 m
ÂNGULOS NOTÁVEIS
“meio triângulo equilátero”:
l
l
lado
30º
l
l
hEQ
60º
l
l
hEQ
l
=
2
3
2
meio
lado
3
2
meio
3
lado
ÂNGULOS NOTÁVEIS
“meio quadrado”:
dQ
l
45º
l
l
2
lado
45º
l
dQ = l 2
l
lado
lado 2
ÂNGULOS NOTÁVEIS
30o
45o
60o
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tan
3
3
1
3
ÂNGULOS NOTÁVEIS
Praticando os “triângulos bons”:
5
10
30o
53
6 2
8
6
16
30o
8 3
45o
6
9 3
x=9
9
8
16
x=8
1º modo: clássico
sen 30º =
y
6
1
=
y
2
 y = 12
12
2
sen 45º =
=
x
2
 x 2 = 24
24 2
24 2
x=
=
2
2 2
= 12 2
2º modo: percebendo os triângulos bons
“meio triângulo equilátero”:  y = 12
12 2
12
“meio quadrado”:
 x = 12 2
1º modo: padrão
30º
60º
A
B
C
30º
D
Siga exatamente os
mesmos passos do
exercício 3
2º modo: específico para
esse caso:
1º modo: padrão
C
30º
10
A
B
D
Siga exatamente os
mesmos passos do
exercício 3
2º modo: específico para
esse caso:
OBS: finalizando do modo clássico:
ABC é isósceles!
BC = BA = 10
BCD: “meio triângulo equilátero”
lado = 10  x = meio lado  x = 5
 y = meio lado 3  y = 5 3
BC = BA = 10:
x
1
 x=5
cos 60º =
=
10 2
sen 60º =
y
3 y=5 3
=
10 2
y
3
3
1
C
B
“meio quadrado”
 
45º
A
1
3
= 3
tan  =
1
  = 60º
45º +  = 60º
 = 15º
x
Pág 384
R
sen =
R+h
sen(R + h) = R
Rsen + hsen = R
hsen = R – Rsen
R+h
hsen  = R(1 – sen)
hsen
R=
1 – sen
Pág 385
45º
Pág 385
45º
30º
60º
Pág 385
tg 30º =
“meio quadrado”
45º
x
1–x
30º
x
3
=
1–x
3
3x = 3 – 3 x
3x + 3 x = 3
x (3 + 3 ) = 3
x=
3
3+ 3
Pág 385
2ª maneira:
“meio quadrado”
45º
x (1 + 3 ) = 1
x
1 (1 – 3 )
x=
1 + 3 (1 – 3 )
x 3
30º
x+x 3 =1
“meio triang. eq.”
1– 3
x=
=
–2
3 –1
2