concórdia primeiro ano - Colégio Luterano Concórdia

COLÉGIO LUTERANO CONCÓRDIA
“67 Anos Educando com o Coração”
Mantenedora: Comunidade Evangélica Luterana Cristo- Niterói
Material de apoio para as aulas de
Física do primeiro ano
Professor Rafael Frank de Rodrigues
Sistema Internacional de Unidades (SI)
Desde os primórdios, o ser humano se preocupou em entender e dominar o
Universo que o cerca. Interessou-se em explicar, por exemplo, o som de um trovão, a
luz de um relâmpago, por que os corpos têm cores diferentes, como é o movimento da
Lua em relação à Terra, como a Terra e os demais planetas se movem em relação ao Sol
ou como são os movimentos dos objetos nas proximidades da superfície terrestre. Todas
essas questões, por diferentes que sejam, são estudadas em Física, uma ciência tão
presente em nossa vida que não podemos menosprezá-la.
O que é Física: A palavra física tem origem grega e significa natureza. Assim, a física é
a ciência que estuda a Natureza; daí o nome ciência natural. Em qualquer ciência,
acontecimentos ou ocorrências são chamados fenômenos, ainda que não sejam
extraordinários ou excepcionais. A física é o campo da ciência que estuda os fenômenos
naturais.
O Sistema Internacional de Unidades (SI): Foi criado para evitar divergências quanto
ao uso das unidades entre pesquisadores e profissionais.
O sistema de Unidades adotado oficialmente no Brasil é o Sistema Internacional
De Unidades, ratificado pela 11a Conferência Geral de Pesos e Medidas de 1960 e
atualizado nas seguintes até a 21a Conferência, de 1999.
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI) existem sete unidades
fundamentais, cada uma delas correspondendo a uma grandeza:
Unidades
metro
quilograma
segundo
ampère
kelvin
mol
candela
Símbolo
m
kg
s
A
K
mol
cd
Grandeza
comprimento
massa
tempo
intensidade de corrente elétrica
temperatura termodinâmica
quantidade de matéria
intensidade luminosa
As unidades derivadas são as que podem ser deduzidas, direta ou indiretamente,
das fundamentais. Dado o seu grande número, não as reproduziremos aqui.
Não se devem misturas unidades por extenso com símbolos. Assim, é errado
escrever quilômetro/h ou km/hora. O certo é quilômetro por hora ou km/h.
Todas as unidades, derivadas ou fundamentais, admitem múltiplos e
submúltiplos, que são obtidos pela adição de um prefixo anteposto à unidade.
Por razões históricas, a unidade fundamental de massa é o quilograma, obtido
pelo acréscimo do prefixo “quilo” à unidade grama. Por isso, as unidades de massa
múltiplas e submúltiplos são obtidas pelo acréscimo do prefixo ao grama e não ao
quilograma.
Os prefixos usados, seus símbolos e os fatores pelos quais a unidades fica
multiplicada são os seguintes:
1
Nome
tera
giga
mega
quilo
hecto
deca
deci
centi
mili
micro
nano
pico
Símbolo
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
Fator multiplicador
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Os prefixos não devem ser misturados. Assim, para indicar 8.10-9m deve-se
escrever 8 nanometros ou 8 nm e não 8 milimicrometros ou 8 mµm.
Há unidades que não pertencem ao SI mas são aceitas para uso conjunto, sem
restrições de prazo. São elas: o minuto(min), a hora(h), o dia(d), o grau(o), o litro(l) e a
tonelada(t).
Estudo do Movimento
Referencial
Referencial ou sistema referencial é o corpo em relação ao qual identificamos o
estado de repouso ou movimento de um móvel.
Dizemos que um corpo está em repouso quando a distância entre este corpo e o
referencial não varia com o tempo. Um corpo está em movimento quando a distância
entre este corpo e o referencial varia com o tempo.
Exercícios
1) Um ônibus está andando à velocidade de 40 km/h. Seus passageiros estão em
movimento ou repouso? Por quê?
2) Uma pessoa, em um carro, observa um poste na calçada de uma rua, ao passar por
ele. O poste está em repouso ou em movimento? Explique.
3) Considere o livro que você está lendo.
a) Ele está em repouso em relação a você?
b) E em relação a um observador na Lua?
4) Enquanto o professor escreve na lousa.
a) O giz está em repouso ou em movimento em relação à lousa?
b) A lousa está em repouso ou em movimento em relação ao chão?
c) A lousa está em repouso ou em movimento em relação ao giz?
5) Quando escrevemos no caderno, a caneta que usamos está em:
a) Movimento em relação a que?
b) Repouso em relação a que?
6) Se dois carros movem-se sempre um ao lado do outro, pode-se afirmar que um está
parado em relação ao outro?
2
Trajetória
"Trajetória é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no
decorrer do tempo."
t=9s
t=8s
t=10
t=6s
t=7s
t=1s
t=2s
t=5s
t=4s
t=3s
Exercícios
7) Sobre o chão de um elevador coloca-se um trenzinho de brinquedo, em movimento
circular. O elevador sobe com velocidade constante. Que tipo de trajetória descreve
o trenzinho, em relação:
a) Ao elevador?
a) Ao solo?
8) Um avião em vôo horizontal abandona um objeto. Desenhe a trajetória que o objeto
descreve nos seguintes casos:
a) Tomando como referencial uma casa fixa à Terra.
b) Tomando como referencial o avião?
Espaço percorrido e Deslocamento
x0
∆x = x − x0
∆x = deslocamento (m, km)
x = posição final (m, km)
x0 = posição inicial (m, km)
x
Deslocamento ∆x é a diferença
entre o espaço final e espaço inicial do
móvel.
Espaço percorrido é a medida
algébrica, ao longo de uma determinada
trajetória, da distância do ponto onde se
encontra o móvel ao ponto de
referência adotado como origem.
Exercícios
9) Um carro parte do km 12 de uma rodovia e desloca-se sempre no mesmo sentido até
o km 90. Determine o deslocamento do carro.
10) Um automóvel deslocou-se do km 20 até o km 65 de uma rodovia, sempre no
mesmo sentido. Determine o deslocamento do automóvel.
11) Um caminhão fez uma viagem a partir do km 120 de uma rodovia até o km 30 da
mesma. Qual foi o deslocamento do caminhão?
12) Um carro vai do km 40 ao km 70. Determine:
a) a posição inicial e a posição final.
b) O deslocamento entre as duas posições.
13) Um carro retorna do km 100 ao km 85. Determine:
a) a posição inicial e a posição final.
b) O deslocamento entre as duas posições.
14) Um carro percorre uma rodovia passando pelo km 20 às 9 horas e pelo km 45 às 10
horas. Determine:
a) as posições nos instantes dados.
b) O deslocamento entre os instantes dados.
3
Velocidade escalar média
vm =
t1
t2
xo
x
∆x x − x0
=
∆t
t − t0
∆x = x − x0
∆t = t − t 0
A velocidade escalar média
de um móvel representa a
rapidez com que ele muda de
posição num intervalo de
tempo.
A velocidade escalar média
(Vm) é a razão entre os
deslocamentos ( ∆x ) e o
correspondente intervalo de
tempo ( ∆t ).
Vm = velocidade média (unidade: m/s, km/h)
∆s = deslocamento (m, km)
∆t = tempo (s, h)
Exercícios
16) Quando o brasileiro Joaquim Cruz ganhou a medalha de ouro nas Olimpíadas de
Los Angeles, correu 800m em 100s. Qual foi sua velocidade média?
17) Um nadador percorre uma piscina de 50m de comprimento em 25s. Determine a
velocidade média desse nadador.
18) Suponha que um trem-bala, gaste 3 horas para percorrer a distância de 750km. Qual
a velocidade média deste trem?
19) Um automóvel passou pelo marco 30km de uma estrada às 12 horas. A seguir,
passou pelo marco 150km da mesma estrada às 14 horas. Qual a velocidade média
desse automóvel entre as passagens pelos dois marcos?
20) Um motorista de uma transportadora recebeu seu caminhão e sua respectiva carga
no km 340 de uma rodovia às 13 horas, entrou a carga no km 120 da mesma rodovia
às 16 horas. Qual foi a velocidade média desenvolvida pelo caminhão?
21) No verão brasileiro, andorinhas migram do hemisfério norte para o hemisfério sul
numa velocidade média de 25km/h . Se elas voam 12 horas por dia, qual a distância
percorrida por elas num dia?
22) Uma pessoa, andando normalmente, desenvolve uma velocidade média da ordem de
1 m/s. Que distância, aproximadamente, essa pessoa percorrerá, andando durante
120 segundos?
23) Um foguete é lançado à Lua com velocidade média de 17500km/h, gastando 22
horas na viagem. Calcule, com esses dados, a distância da Terra à Lua em
quilômetros.
24) Um trem viaja com velocidade média de 50km/h. Quantas horas ele gasta para
percorrer 200km?
25) Uma motocicleta percorre uma distância de 150m com velocidade média de 25 m/s.
Qual o tempo gasto para percorrer essa distância?
26) Se um ônibus andar à velocidade de 50km/h e percorrer 100km, qual será o tempo
gasto no percurso?
27) Uma tartaruga consegue percorrer a distância de 4m em 200s. Qual sua velocidade
média em m/s?
4
28) Um atleta percorre uma pista passando pelo ponto de posição 20m no instante 7s e
pelo ponto de posição 12m no instante 9s. Calcule a velocidade média do atleta no
intervalo de tempo dado.
29) Se você pegasse carona em um foguete, que viaja com velocidade média de
aproximadamente 60000 km/s, quanto tempo você gastaria para chegar à Lua? (A
distância da Terra à Lua é de 184000km, aproximadamente).
30) Um navio está em alto-mar e navega com velocidade constante de 35km/h entre 8h e
18h. Qual a distância que ele percorre nesse intervalo de tempo?
31) A velocidade média de um homem andando normalmente é de 4km/h. Em quanto
tempo ele anda do km 12 ao km 18 de uma estrada?
32) Viajando em um carro, como você determinaria o comprimento de certo trecho de
uma estrada baseando-se no velocímetro e usando um cronômetro?
Vetores
Grandezas escalares e Grandezas vetoriais
Existem grandezas que ficam perfeitamente caracterizadas quando delas se
conhece o valor numérico e a correspondente unidade.
Por exemplo, a massa de uma pessoa é m = 80 kg. Tais grandezas são ditas
grandezas escalares. Além da massa, são grandezas escalares: tempo, volume,
densidade, energia, etc.
No entanto, há grandezas que, para sua perfeita caracterização, exigem que se
determine sua direção e seu sentido, além do módulo que corresponde ao valor
numérico acompanhado da unidade, essas grandezas são as grandezas vetoriais.
Vetor
A fim de que as operações envolvendo grandezas vetoriais se tornem mais
simples, utilizamos a entidade matemática denominada vetor.
O vetor se caracteriza por possuir módulo, direção e sentido. Graficamente o
vetor é representado por um segmento de reta orientado, indicado por uma letra sobre a
qual colocamos uma seta.
direção
→
b
→
a
sentido
módulo
→
→
O módulo do vetor é indicado da seguinte forma: a ; b . No exemplo anterior, o
módulo da grandeza vetorial vale:
→
a = 10 N
→
b = 6 m/s2
5
Na representação gráfica, o comprimento do segmento orientado numa certa
escala corresponde ao módulo do vetor, a orientação da reta nos dá a direção
(horizontal, vertical, etc.) e a seta o sentido (direita, esquerda, etc.).
Adição de vetores
→
→
→
→
→
→
Dados os vetores x e y vamos obter o vetor soma R , tal que R = x + y .
→
y
θ
→
O
x
→
O vetor soma ou resultante R tem origem no ponto O e extremidade no ponto de
cruzamento das duas paralelas traçadas. Este método é chamado de método do
paralelogramo.
P
P
→
→
y
y
θ
θ
→
O
x
→
R
→
O
x
→
O vetor soma R tem módulo igual a:
→
R = x + y + 2 xy cos θ
2
2
Casos particulares de adição de vetores
Vetores de mesma direção e sentido
(θ = 0o):
→
→
→
R=x+y
Vetores de mesma direção e opostos
(θ = 180o):
→
→
→
→
x
y
x
y
→
→
→
→
R=x-y
→
R
R
Vetores de direção ortogonais (θ = 90o):
→
R = x2 + y2
→
x
→
→
→
y
x
R
→
y
6
Exercícios:
33) Determine o vetor resultante em cada um dos casos:
a)
b)
6u
4u
5u
c)
3u
d)
2u
2u
2u
4u
3u
e)
f)
7u
3u
2u
2u
10u
6u
34) Determine o vetor resultante graficamente nos casos seguintes e calcule seu
módulo:
a)
b)
a
a
θ
θ
b
b
cos 60o=0,5
a = 6 unidades
b = 8 unidades
a = b = 3 unidades
cos 60o=0,5
35) Um jogador se desloca 5 metros para o sul e, a seguir, 12 metros para o leste.
Determine o módulo do deslocamento resultante.
36) Aline anda 40m para o leste e certa distância x para o norte, de tal forma que fica
afastada 50m do ponto de partida. Qual foi a distância percorrida para o norte?
37) Uma pessoa se desloca sucessivamente: 5 metros de norte para o sul, 12 metros de
leste para oeste e 10 metros de sul para norte. Qual é o módulo do vetor
deslocamento resultante?
OBS:
Norte
O este
Leste
Sul
7
r r r
r
r
38) Dados os vetores A e B , faça um desenho obtendo a soma S = A + B :
a)
b)
c)
r
A
r
A
r
A
r
B
r
B
r
B
r
r
39) Determine o módulo da soma de dois vetores perpendiculares, A e B , de módulos
A= 12 e B= 5.
40) Dois vetores de módulos 100 e 10 tem mesma direção e sentidos opostos. Qual o
módulo da soma vetorial desses dois vetores?
r
r
r
r
r
41) Dados os vetores A e B , construa o vetor C = 2 A + 2 B .
r
A
r
B
r r
r
r
42) Dados os vetores i e j , de módulos iguais a 1, construa o vetor 2i + 3 j :
r
i
r
j
r
r
43) Dois vetores, A e B , tem módulos A= 100 e B= 40. Determine o módulo do vetor
r r r
S = A + B nos seguintes casos:
r
r
a) A e B com a mesma direção e o mesmo sentido;
r
r
b) A e B com a mesma direção e sentido opostos.
44) Considere dois vetores: um de módulo 30 e outro de módulo 40. Mostre como
devem ser os vetores para que sua soma tenha módulo:
a) 70
b) 10
8
Movimento Retilíneo Uniforme
(MRU)
t
v
x0
x
x = x0 + vt
x = posição em um instante qualquer (m)
x0 = posição inicial (m)
v = velocidade (m/s)
t = tempo (s)
Um movimento uniforme é
caracterizado pela função horária x =
x0 + vt, sendo as grandezas medidas
em unidades do Sistema Internacional
(SI).
OBS: Se a velocidade for positiva,
o movimento é progressivo, se
negativa o movimento é retrógrado.
Exercícios
45) Uma bicicleta movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária
x=10+2t (no SI). Pede-se:
a) sua posição inicial;
b) sua velocidade.
46) A posição de um móvel varia com o tempo, obedecendo à função horária x = 30 +
10t, no S.I. Determine a posição inicial e a velocidade do móvel.
47) Uma partícula move-se em linha reta, obedecendo à função horária x = -5 + 20t, no
S.I. Determine:
a) a posição inicial da partícula;
b) a velocidade da partícula;
c) a posição da partícula no instante t = 5 s.
48) Um móvel movimenta-se de acordo com a função horária x = 20 + 4 t, sendo a
posição medida em metros e o tempo, em segundos. Determine sua posição depois
de 10 segundos.
49) Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função
horária x = 10 + 2t (no SI). Determine o instante em que o ponto material passa pela
posição 36 m?
50) Um ponto material movimenta-se segundo a função horária x = 8 + 3t (no SI).
Determine o instante em que o ponto material passa pela posição 35 m.
51) Um móvel obedece a função horária x = 5 + 2t (no S.I).
a) Determine a posição do móvel quando t = 7 s.
b) Em que instante o móvel passa pela posição s = 25 m?
52) A função horária x = 50 - 10t (no S.I) é válida para o movimento de um ponto
material.
a) Determine em que instante o ponto material passa pela origem da trajetória.
b) Determine a posição quando t = 10 s.
53) Um móvel passa pela posição 10 m no instante zero (t0 = 0) com a velocidade de +5
m/s. Escreva a função horária desse movimento.
54) Um móvel movimenta-se sobre uma trajetória retilínea, no sentido da trajetória, com
velocidade constante de 2 m/s. Sabe-se que no instante inicial o móvel se encontra
9
numa posição a 40 m do lado positivo da origem. Determine a função horária das
posições para este móvel.
Encontro de móveis em movimento uniforme
"Para determinar o instante em que dois móveis se encontram devemos igualar as
posições dos móveis. Substituindo o instante encontrado, numa das funções horárias,
determinaremos a posição onde o encontro ocorreu."
A
B
A
B
55) Dois móveis, A e B, movimentam-se de acordo com as equações horárias xA = -20 +
4t e xB = 40 + 2t, no S.I. Determine o instante e a posição de encontro dos móveis.
56) Dois móveis, A e B, movimentam-se de acordo com as equações horárias xA = 10 +
7t e xB = 50 - 3t, no S.I. Determine o instante e a posição de encontro dos móveis.
57) Dois móveis percorrem a mesma trajetória e suas posições em função do tempo são
dadas pelas equações: xA = 30 - 80t e xB = 10 + 20t (no SI). Determine o instante e
a posição de encontro dos móveis.
58) Dois móveis A e B caminham na mesma trajetória e no instante em que se dispara o
cronômetro, suas posições são indicadas na figura abaixo. As velocidades valem,
respectivamente, 20 m/s e -10 m/s, determine o instante e a posição de encontro dos
móveis.
0
15
45
A
B
x(m)
59) Numa noite de neblina, um carro, sem nenhuma sinalização, percorre um trecho
retilíneo de uma estrada com velocidade constante de 6 m/s. Em um certo instante,
uma moto com velocidade constante de 8 m/s está 12 m atrás do carro. Quanto
tempo após esse instante a moto poderá chocar-se com o carro?
60) Num dado instante, dois ciclistas estão percorrendo a mesma trajetória, obedecendo
às funções horárias x1 = 20 + 2t e x2 = -40 + 3t (SI). Determine o instante e a
posição do encontro.
61) Dois corpos se deslocam sobre a mesma trajetória, obedecendo às funções horárias
x1 = 3 - 8t e x2 = 1 + 2t (SI). Determine o instante e a posição do encontro.
62) Dois ônibus com velocidade constante de 15 m/s e 20 m/s percorrem a mesma
estrada retilínea, um indo ao encontro do outro. Em um determinado instante, a
distância que os separa é de 700 m. Calcule, a partir desse instante, o tempo gasto
até o encontro.
63) A distância entre dois automóveis num dado instante é 450 km. Admita que eles se
deslocam ao longo de uma mesma estrada, um de encontro ao outro, com
movimentos uniformes de velocidades de valores absolutos 60 km/h e 90 km/h.
Determine ao fim de quanto tempo irá ocorrer o encontro e a distância que cada um
percorre até esse instante.
10
Movimento retilíneo uniformemente variado
(MRUV)
Aceleração Escalar: Em movimentos nos quais as velocidades dos móveis variam com
o decurso do tempo, introduz-se o conceito de uma grandeza cinemática denominada
aceleração.
Aceleração Escalar (am): variação da velocidade escalar numa unidade de tempo,
é definida por:
a =
∆v
∆t
Quando o intervalo de tempo ∆t é infinitamente pequeno, a aceleração escalar
média passa a se chamar aceleração escalar instantânea (a).
∆v = v – v o
∆v = variação da velocidade (m/s)
∆t = t – t o
∆t = variação do tempo (s)
2
a= aceleração (m/s )
A classificação de um movimento com variação de velocidade escalar, num
determinado instante, é feita deste modo:
Movimento progressivo
Acelerado: v > 0 e a > 0
Retardado: v > 0 e a < 0
Movimento Retrógrado
Acelerado: v < 0 e a < 0
Retardado: v < 0 e a > 0
Exercícios
64) Entre 0 e 3s, a velocidade de um
helicóptero em MUV varia de 4 m/s
para 21 m/s. Qual a sua aceleração?
65) Durante
as
experiências
no
laboratório, um grupo de alunos
verificou que, entre os instantes 2s e
10s, a velocidade de um carrinho
varia de 3 m/s a 19 m/s. Calcule o
valor
da
aceleração
desse
movimento.
66) Em 4s, a velocidade de um carro
passa de 8 m/s para 18 m/s. Qual a
sua aceleração?
67) Em 2 horas, a velocidade de um
carro aumenta de 20 km/h a 120
km/h. Qual a aceleração nesse
intervalo de tempo?
68) Um rapaz estava dirigindo uma
motocicleta a uma velocidade de 20
m/s quando acionou os freios e
parou em 4s. Determine a
aceleração imprimida pelos freios à
motocicleta.
69) O que significa dizer que um corpo
tem aceleração de 10 m/s2?
70) Qual a diferença entre movimento
acelerado e retardado?
71) Qual a diferença entre o movimento
uniforme
e
o
movimento
uniformemente variado?
Função Horária da Velocidade do MRUV
v = vo + a.t
v = velocidade em um instante qualquer
(m/s)
vo = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s2)
t = tempo (s)
11
Exercícios
72) Um carro em movimento adquire
velocidade que obedece à expressão
v=10-2t (no SI). Pede-se: a) a
velocidade inicial; b) a aceleração;
c) a velocidade no instante 6s.
73) Um automóvel em movimento
retilíneo adquire velocidade que
obedece à função v=15-3t (no SI).
Determine: a) a velocidade inicial;
b) a aceleração; c) a velocidade no
instante 4s.
74) É dada a seguinte função horária da
velocidade de uma partícula em
movimento uniformemente variado:
v=15+20t (no SI). Determine o
instante em que a velocidade vale
215 m/s.
75) Um
automóvel
parte
do
estacionamento e é acelerado à
razão de 5m/s2. Calcule a sua
velocidade 30s após a sua partida.
Função Horária das Posições MRUV
at 2
x = xo + vot +
2
76) Um automóvel parte do repouso
com aceleração constante de 2 m/s2.
Depois de quanto ele atinge a
velocidade de 40 m/s?
77) Um trem de carga viaja com
velocidade de 20 m/s quando,
repentinamente, é freado e só
consegue parar 70s depois. Calcular
a aceleração.
78) Um automóvel tem velocidade de
25 m/s e freia com aceleração de 5m/s2. Depois de quanto tempo ele
pára?
79) Um veículo parte do repouso e
adquire aceleração de 2 m/s2.
Calcule a sua velocidade no instante
t = 5s.
80) Um carro parte do repouso com
aceleração de 6 m/s2. Quanto tempo
ele gasta para atingir 30 m/s?
ou
∆x = vot +
at 2
2
x = posição em um instante qualquer (m)
vo = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s2)
xo = posição no instante inicial (m)
t = tempo (s)
∆s = distância percorrida (m)
Exercícios
81) Um móvel descreve um MUV numa
trajetória retilínea e sua posição
varia no tempo de acordo com a
expressão : x = 9 + 3t - 2t2. (SI)
Determine: a posição inicial, a
velocidade inicial e a aceleração.
82) É dado um movimento cuja função
horária é: x = 13 - 2t + 4t2. (SI)
Determine: a posição inicial, a
velocidade inicial e a aceleração.
83) A função horária de um móvel que
se desloca numa trajetória retilínea é
x=20+4t+5t2, onde s é medido em
metros e t em segundos. Determine
a posição do móvel no instante t=5s.
84) Um móvel parte do repouso da
origem
das
posições
com
movimento uniformemente variado
e aceleração igual a 2 m/s2.
Determine sua posição após 6 s.
85) Um móvel parte com velocidade de
10 m/s e aceleração de 6 m/s2 da
posição 20 metros de uma trajetória
retilínea. Determine sua posição no
instante 12 segundos.
86) Um ponto material parte do repouso
com aceleração constante e 10 s
após encontra-se a 40 m da posição
inicial. Determine a aceleração do
ponto material.
87) É dada a função horária do M.U.V
de uma partícula, x = -24 + 16t - t2.
Determine (no S.I): a) o espaço
inicial, a velocidade inicial e a
aceleração da partícula; b) a
posição da partícula no instante t =
5s.
12
88) Ao deixar o ponto de parada, o
ônibus percorre uma reta com
aceleração de 2 m/s2. Qual a
distância percorrida em 5s?
Equação de Torricelli
v2 = vo2 + 2.a. ∆ x
v = velocidade em um instante
qualquer (m/s)
vo = velocidade inicial (m/s)
a = aceleração (m/s2)
Exercícios
89) Um automóvel possui num certo
instante velocidade de 10 m/s. A
partir desse instante o motorista
imprime ao veículo uma aceleração
de 3 m/s2. Qual a velocidade que o
automóvel adquire após percorrer 50
m?
90) Um automóvel parte do repouso e
percorre 256 m de uma rodovia com
uma aceleração igual a 8 m/se.
Determine sua velocidade no final
do percurso.
91) Um veículo tem velocidade inicial
de 4 m/s, variando uniformemente
para 10 m/s após um percurso de
7m. Determine a aceleração do
veículo.
92) A velocidade de um corpo em MUV
varia de 6 m/s a 9 m/s, num trajeto
de 3 m. Calcule a aceleração do
corpo.
93) Um carro de corrida inicialmente
em repouso é sujeito a aceleração de
∆x = distância
percorrida(m)
94) 5 m/s2. Determine a distância
percorrida pelo carro até atingir a
velocidade de 10 m/s.
95) Um trem trafega com velocidade de
15 m/s. Em determinado instante, os
freios produzem um retardamento
de -1,5 m/s2. Quantos metros o trem
percorre durante a freagem, até
parar?
96) Uma composição do metrô parte de
uma estação, onde estava em
repouso e percorre 100m, atingindo
a velocidade de 20 m/s. Determine a
aceleração durante o processo.
97) Um carro está se movendo com uma
velocidade de 16 m/s. Em um certo
instante, o motorista aciona o freio,
fazendo com que o carro adquira um
movimento uniformemente variado,
com aceleração de -0,8 m/s2.
Calcule
a
velocidade
desse
automóvel após percorrer uma
distância de 70 m a partir do início
da freada.
Exercícios de fixação:
98) Um carro de corrida, que estava parado, arranca com movimento retilíneo
uniformemente acelerado. O valor da sua aceleração é de 4 m/s2. Quanto tempo o
carro gasta para atingir a velocidade de 12 m/s ?
99) Ao pousar, um avião toca a pista de aterrissagem com uma velocidade de 70 m/s.
Suponha que seu movimento, a partir desse instante, seja retilíneo uniformemente
retardado, com aceleração a = - 5 m/s2. Qual será a velocidade do avião 10 s após
ele tocar o solo?
100) Um carro, com movimento retilíneo uniformemente acelerado, de aceleração a =
1,5 m/s2, partiu do repouso. Qual a distância que o carro percorre em 4 s ?
101) Uma moto com velocidade inicial de 20 m/s freia com aceleração igual a -2
m/s2. Escreva a função horária da velocidade para esta moto.
102) Uma ave voa, a partir do repouso, com aceleração de 8 m/s2. Qual é a velocidade
atingida em 20 s?
13
103) Para decolar numa pista de 2 km, a partir do repouso, um avião precisa atingir a
velocidade de 360 km/h. Qual a aceleração do avião?
104) O tempo de reação de um motorista é de aproximadamente 1s (intervalo de
tempo decorrido entre a percepção de um sinal para parar e a efetiva aplicação dos
freios). Se os freios de um automóvel podem garantir uma aceleração de
retardamento de -5m/s2, calcule a distância percorrida por ele até parar, supondo que
sua velocidade era de 20 m/s ao perceber o sinal para parar.
Movimento de queda livre
(MQL)
Queda livre é o movimento dos corpos ( para cima ou para baixo) sem sofrer a
ação do ar ou qualquer outra interferência. A única força atuante é a gravidade ou força
gravitacional (peso do corpo). A causa da gravidade é o campo gravitacional que existe
em torno de qualquer massa, cujos estudos, por Newton, resultou na Lei da Gravitação
Universal.
Todos os corpos independentes de suas massas, num mesmo lugar, caem
com a mesma aceleração.
Para propósitos práticos, qualquer corpo independente de sua massa cai em
direção ao centro da terra com uma aceleração que pode ser considerada constante.
Quando existe a influência do ar, a velocidade de queda pode depender do peso e da
forma do corpo.. Mas se a queda for no “vácuo” a pena e a esfera de aço atingem o solo
ao mesmo tempo ou caem com a mesma aceleração. Esta aceleração recebe o nome de
aceleração da gravidade e é representada pela letra (g).
Aceleração da Gravidade
Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da terra fica sujeito
a uma aceleração constante, orientada sempre para baixo, na direção vertical. O valor da
aceleração da gravidade (g) varia de acordo com a altitude e a latitude do local, mas
para nossos fins, vamos tomá-la como constante, cujo valor arredondado é:
gTerra ≅ 10 m/s2
g = aceleração da gravidade no local (m/s2)
O movimento de queda livre é um caso particular de MRUV onde a aceleração
vale sempre 10 m/s2. Assim podemos usar as equações do MRUV, fazendo apenas
algumas mudanças de letras. No MRUV usamos (x) para posição, no lançamento
vertical usamos (y) para altura e onde usávamos aceleração (a) agora usamos aceleração
da gravidade (g). Como nosso referencial vai ser a superfície da terra, adotamos uma
velocidade positiva para subida e uma velocidade negativa para decida. Por isso nas
formula abaixa aparece um sinal de menos na frente da aceleração gravitacional (g), já
que seu sentido é para baixo.
v = vo -gt
g
y = yo + vot - .t2
2
v2 = vo2 - 2.g. ∆ y
14
Exemplo:
Uma pedra foi solta do alto de um prédio de 20m de altura. Calcular, assumindo queda
livre (g = 10m/s2):
a) tempo para atingir o solo;
b) a velocidade com que a pedra atinge o solo.
Exercícios
105) Dois objetos, uma pedra e uma pena, são abandonados simultaneamente da
mesma altura. Determine qual deles chega primeiro ao chão, admitindo que a
experiência se realize: a) no ar; b) no vácuo.
106) Se não existisse a aceleração da gravidade, qual seria a trajetória para um tiro de
canhão?
107) Um objeto cai do alto de um edifício, gastando 7s na queda. Calcular com que
velocidade atinge o solo (g=10 m/s2).
108) De uma ponte deixa-se cair uma pedra que demora 2s para chegar à superfície da
água. Sendo a aceleração local da gravidade igual a g=10 m/s2 , determine a altura
da ponte.
109) Num planeta fictício, a aceleração da gravidade vale g=25 m/s2. Um corpo é
abandonado de certa altura e leva 7s para chegar ao solo. Qual sua velocidade no
instante que chega ao solo?
110) Um gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade
com a qual ele possa atingir o solo sem se machucar seja 8 m/s. Então, desprezando
a resistência do ar, qual a altura máxima de queda para que o gato nada sofra? (
g=10 m/s2).
111) Um objeto é lançado verticalmente para baixo com uma velocidade de 20m/s,
levando 4s para atingir o solo. Assumir movimento de queda livre MQL, g = 10
m/s2: a) qual a altura de que foi lançado? b) qual a velocidade ao atingir o solo?
112) Uma pedra de 20 kg é lançada verticalmente para cima a 80 m/s. Supor MQL e g
= 10 m/s2: a) qual a altura máxima atingida pela pedra? b) qual o tempo para voltar
ao ponto de lançamento? c) qual a velocidade de retorno ao ponto de lançamento?
113) Um pára-quedista desce com velocidade constante, quando a 120m do solo,
deixa cair uma bomba em queda livre. Esta leva 4s para atingir o solo. Qual a
velocidade de descida do pára-quedista? Adote g = 10m/s².
114) Um balão tripulado se move verticalmente com velocidade constante. Num dado
instante um passageiro do balão abandona uma pedra quando ele está a uma altura
de 90m do solo. A pedra gasta 3s para atingir o solo. Despreze, no movimento da
pedra, o efeito do ar e adote g = 10m/s². Determine, justificando: a)o módulo da
velocidade do balão. b)o sentido do movimento do balão (subindo ou descendo).
115) Maria abandona do alto de uma torre, um corpo a partir do repouso. Durante a
queda livre, com g=10m/s² e constante, ela observa que nos dois primeiros segundos
o corpo percorre uma distância de 20m. À distância percorrida pelo corpo nos 4s
segundos seguintes será de:
116) Um pequeno objeto é largado do 15º andar de um edifício, passando, 1 segundo
após o lançamento, pela janela do 14º andar. Por qual andar ele passará 2 segundos
após o lançamento? Admita g =10m/s² e despreze o atrito com o ar.
117) Um foguete é lançado verticalmente de uma base. Ao atingir uma altura de 480
m, o combustível do primeiro estágio acaba e ele é desacoplado do foguete. Nesse
instante sua velocidade é de 100m/s. Usando g = 10 m/s², calcule o módulo da
velocidade com que o primeiro estágio atingirá o solo.
15
Dinâmica
Força (F) é o resultado da interação entre corpos. A força provoca uma deformação
ou uma variação no estado de movimento de um corpo, isto é:
•
•
•
põe em movimento um corpo que está em repouso
pára um corpo em movimento
muda a direção de um corpo.
Tipos de Força:
•
•
Forças de Contato: são aquelas aplicadas através do contato entre os corpos, por exemplo, um
empurrão que damos em uma mesa.
Forças de Campo: são as que atuam nos corpos ainda que separados por uma certa distância. Não
precisamos estar em contato com o chão para que sejamos puxados contra ele, tanto que se
jogarmos uma pedra para cima ela voltará a cair. Da mesma forma, podemos notar que ao
aproximarmos um ímã de um prego, este será atraído pelo ímã.
Massa (m) é a quantidade de matéria contida em um corpo e é uma propriedade
que não varia de um lugar para outro.
Peso (Fp) é a força com que os planetas puxam a matéria dos corpos para si. Na
Terra esta força é maior do que na Lua, logo pode variar de um local para outro. Por
exemplo, no Pólo Sul e no Equador 1kg de ouro, não pesa a mesma coisa, apesar de
possuir a mesma massa, aceleração gravitacional (g) do equador e menor do que nos
pólos.
Inércia: Se um corpo estiver em repouso, é necessária a ação de uma força sobre
ele para coloca-lo em movimento. Uma vez iniciado o movimento, cessando a ação das
forças, o corpo continuará a se mover indefinidamente em linha reta, com velocidade
constante.
F=0
Movimento retilíneo uniforme
Leis de Newton
Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia): Qualquer corpo em repouso ou em MRU
tende a permanecer nesse estado, a menos que seja obrigado a alterá-lo por aplicação de
uma força externa.
Segunda Lei de Newton: A aceleração que um corpo adquire é diretamente
proporcional à força que atua sobre ele e tem a mesma direção e o mesmo sentido desta
força.
v
r
F = m×a
A resultante das forças que agem sobre um corpo é igual ao produto de sua
massa pela aceleração adquirida.
Terceira Lei de Newton (Ação e Reação): Quando um corpo A exerce uma força
sobre um corpo B, o corpo B reage sobre A, exercendo nele uma força de mesmo
módulo, de mesma direção e sentido contrário.
16
Observação
• Força resultante: É a soma de todas as forças que atuam no corpo.
• Corpo em e equilíbrio: A condição para que um corpo esteja em equilíbrio é
que seja nula a resultante das forças que atuam sobre ele.
Exercícios
118) Calcule o valor da aceleração:
a)
6Kg
b)
6N
c)
10N
4Kg
26N
d)
30N
2Kg
10N
e)
6N
10Kg
10N
4N
f)
8N
8Kg
2N
3N
5Kg
6N
119) Um corpo tem massa de 5 kg e adquire uma aceleração de 3 m/s2. Determine o
valor da força aplicada.
120) Uma força de 20N aplicada em um corpo provoca uma aceleração de 5 m/s2.
Determine a massa do corpo.
121) Determine a aceleração adquirida por um corpo de massa de 2000g, sabendo que
sobre ele atua uma força resultante de intensidade 8N.
122) Calcule a força com que a Terra puxa um corpo de 20g de massa quando ele está
em sua superfície. (Dado: g=10 m/s2)
123) Na Terra, a aceleração da gravidade é em média 9,8 m/s2, e na Lua 1,6 m/s2.
Para um corpo de massa 5kg, determine:
a) o peso desse corpo na Terra.
b) a massa e o peso desse corpo na Lua.
124) Um astronauta com o traje completo tem uma massa de 120kg. Determine a sua
massa e o seu peso quando for levado para a Lua, onde a gravidade é aproximadamente
1,6m/s2.
125) Na Terra, num local em que a aceleração da gravidade vale 9,8 m/s2, um corpo
pesa 98N. Esse corpo é, então levado para a Lua, onde a aceleração da gravidade
vale 1,6m/s2?. Determine sua massa e o seu peso na Lua.
126) Em Júpiter, a aceleração da gravidade vale 26 m/s2, enquanto na Terra é de 10
m/s2. Qual seria, em Júpiter, o peso de um astronauta que na Terra corresponde a
800 N?
17
127) Qual é o peso, na Lua, de um astronauta que na Terra tem peso 784N? Considere
gT=9,8 m/s2 e gL = 1,6 m/s2.
128) Um corpo com massa de 0,6kg foi empurrado por uma força que lhe comunicou
uma aceleração de 3 m/s2. Qual o valor da força?
129) Um caminhão com massa de 4000kg está parado diante de um sinal luminoso.
Quando o sinal fica verde, o caminhão parte em movimento acelerado e sua
aceleração é de 2 m/s2. Qual o valor da força aplicada pelo motor?
130) Sobre um corpo de 2kg atua uma força horizontal de 8 N. Qual a aceleração que
ele adquire?
131) Uma força horizontal de 200 N age corpo que adquire a aceleração de 2 m/s2.
Qual é a sua massa?
132) Partindo do repouso, um corpo de massa 3kg atinge a velocidade de 20 m/s em
5s. Descubra a força que agiu sobre ele nesse tempo.
133) A velocidade de um corpo de massa 1kg aumentou de 20 m/s para 40 m/s em 5s.
Qual a força que atuou sobre esse corpo?
134) Uma força de12N é aplicada em um corpo de massa 2kg. a) Qual é a aceleração
produzida por essa força? b) Se a velocidade do corpo era 3 m/s quando se iniciou a
ação da força, qual será o seu valor 5 s depois?
135) Sobre um plano horizontal perfeitamente polido está apoiado, em repouso, um
corpo de massa m=2 kg. Uma força horizontal de 20N, passa a agir sobre o corpo.
Qual a velocidade desse corpo após 10s?
136) Um corpo de massa 2kg passa da velocidade de 7 m/s à velocidade de 13m/s
num percurso de 52m. Calcule a força que foi aplicada sobre o corpo nesse percurso.
137) Um automóvel, a 20 m/s, percorre 50m até parar, quando freado. Qual a força
que age no automóvel durante a frenagem? Considere a massa do automóvel igual a
1000kg.
138) Sob a ação de uma força constante, um corpo de massa 7kg percorre 32m em 4
s, a partir do repouso. Determine o valor da força aplicada no corpo.
139) Um corpo de 3,0 kg está se movendo sobre uma superfície horizontal sem atrito
com velocidade v0. Em um determinado instante (t = 0) uma força de 9,0 N é
aplicada no sentido contrário ao movimento. Sabendo-se que o corpo atinge o
repouso no instante t = 9,0 s, qual a velocidade inicial v0, em m/s, do corpo?
140) Uma partícula de massa igual a 0,5 kg teve sua velocidade aumentada
linearmente de 4,0 m/s para 8,0 m/s durante 2,0 segundos. Nesse caso, a força
resultante que atuou sobre ela foi de:
18
Dinâmica II
(Aplicações das Leis de Newton)
141) Dois blocos de massas mA = 2 kg e mB = 3 kg, apoiados sobre uma superfície
horizontal perfeitamente lisa, são empurrados por uma força F de 20 N, conforme
indica a figura abaixo. Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a força que o corpo A exerce no corpo B.
r
F
B
A
142) Os corpos A e B encontram-se apoiados sobre uma superfície horizontal plana
perfeitamente lisa. Uma força F de 40 N é aplicada em A conforme indica a figura.
Dados: mA= 2kg e mB= 8kg. Determine:
a) aceleração dos corpos A e B;
b) a força que A exerce em B.
r
F
B
A
143) Dois corpos A e B, de massas mA= 10 kg e mB= 5 kg estão interligados por um
fio ideal. A superfície de apoio é horizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B
uma força horizontal de 30 N, conforme indica a figura abaixo. Determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a força de tração no fio.
A
B
r
F
144) Dois corpos A e B de massas respectivamente iguais à 5kg e 3kg, interligados
por um fio de massa desprezível, são puxadas sobre um plano horizontal liso por
uma força horizontal F. A aceleração do conjunto é de 6 m/s2. Determine:
a) a força F;
b) a força de tração no fio.
A
B
r
F
145) Na situação do esquema abaixo, não há atrito entre os blocos e o plano, mA=2kg
e mB=8kg. Sabe-se que o fio que une A com B suporta, sem romper-se uma tração
de 32N. Calcule a força admissível à força F, para que o fio não se rompa.
B
A
r
F
19
146) No salvamento de um homem em alto mar, uma bóia é largada de um
helicóptero e leva 2,0 s para atingir a superfície da água. Considerando a aceleração
da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando o atrito com o ar, determine:
a) a velocidade da bóia ao atingir a superfície da água;
b) a tração sobre o cabo usado para içar o homem, sabendo que a massa deste é igual a
120 kg e que a aceleração do conjunto é 0,5 m/s2.
147) Determine a aceleração do conjunto da figura e a intensidade de tração na corda,
supondo que não há atritos. Despreze a massa da corda e considere g=10m/s2.
148) Na figura temos três corpos A, B
e C interligados e suspensos através
de fios ideais. Se suas massas são,
respectivamente, iguais a 1,0 kg, 1,5
kg e 0,80 kg e a aceleração da
gravidade no local vale 10 m/s2, o
módulo da tração no fio que liga os
corpos A e B é de:
149) O dispositivo representado na
figura é denominado “máquina de
Atwood”. A polia tem inércia de
rotação desprezível e os atritos não
devem ser considerados. O fio é
inextensível e de massa desprezível
e, no local, a aceleração da
gravidade tem módulo 10 m/s2. A
massa do corpo A é 100 g e a massa
do corpo B é 50 g. Se, em
determinado instante, a máquina é
destravada, o módulo da aceleração
de
cada
bloco
é:
20
150) No esquema da figura, despreza-se qualquer forma de atrito. Tomando g = 10 m/s2,
calcule:
a) a intensidade da força de
tração na corda, antes de se
retirar o pino;
b) a aceleração do sistema
em conseqüência da retirada
do pino;
c) o tempo gasto pelo bloco até
atingir a polia.
151) O bloco A da figura tem massa ma= 80kg e o bloco B tem massa mb= 20 kg. A
força F tem intensidade de 600N. Os atritos e a inércia do fio e da polia são
desprezíveis. Admitindo g=10m/s2, determine:
a) a aceleração do bloco B;
b) a intensidade da força que traciona o fio.
152) Considere o esquema representado na figura abaixo. As roldanas e a corda são
ideais. O corpo suspenso da roldana móvel tem peso P = 500N.
a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o homem deve
exercer sobre a corda para equilibrar o sistema ?
b) Para cada 1 metro de corda que o homem puxa, de quanto se eleva o
corpo suspenso ?
153) Na figura abaixo , os corpos A, B e C têm massas respectivamente iguais a 2 kg,
5 kg e 3kg.
a) Com os dados acima diga qual é a aceleração do
sistema;
b) O valor da tração T1, no cabo que liga C a B, vale;
c) O valor da tração T2 vale.
21
Dinâmica III
(Aplicações das Leis de Newton)
Força Normal: Força de reação da superfície de contato com o corpo.
Fn (Normal)
Fp (Peso)
Obs.: Força Normal como o próprio nome diz é normal (perpendicular) à superfície. E
está uniformemente distribuída num corpo com massa uniformemente distribuída e
portanto deve estar localizada, exatamente, no centro deste corpo.
Para o plano horizontal podemos sempre considerar, força peso igual a força
normal.
Fn = Fp
Força de Atrito: o fato de tentarmos fazer um corpo deslizar sobre um superfície sem
consegui-lo é justificado pelo aparecimento de uma força entre as superfícies de
contato, o que impede o movimento deste corpo é a força de atrito estático.
Uma vez iniciado o movimento, a força de atrito estático deixa de existir,
passando a atuar a força de atrito cinético de valor sempre inferior ao da força de atrito
estático.
A força de atrito depende da Normal (N) e independe da área de contato entre os
corpos.
Fae = µe.N , onde µe é o coeficiente de atrito estático (quando é estática).
Fac = µc. N , onde µc é o coeficiente de atrito cinético (quando é cinética).
Fn
F
Fat
Fp
Fat = µ .FN
Fat = força de atrito (N)
µ = coeficiente de atrito
Fn= normal (N)
Exercícios
154) Um bloco de massa 8 kg é puxado por uma força horizontal de 20N. Sabendo
que a força de atrito entre o bloco e a superfície é de 2N, calcule a aceleração a que
fica sujeito o bloco. Dado: g = 10 m/s2.
155) Um bloco de massa 10 kg movimenta-se numa mesa horizontal sob a ação de
uma força horizontal de 30 N. A força de atrito entre o bloco e a mesa vale 20 N.
Determine a aceleração do corpo.
156) Um corpo de massa m = 5 kg é puxado horizontalmente sobre uma mesa por
uma força F = 15 N. O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa é µ = 0,2.
Determine a aceleração do corpo. Considere g = 10 m/s3.
157) Um bloco de massa 2 kg é deslocado horizontalmente por uma força F = 10 N,
sobre um plano horizontal. A aceleração do bloco é 0,5 m/s2. Calcule a força de
atrito.
22
158) Um sólido de massa 5 kg é puxado sobre um plano horizontal por uma força
horizontal de 25 N. O coeficiente de atrito entre o sólido e o plano é 0,2. A) Qual a
força de atrito? B) Qual é a aceleração do corpo? Dado: g = 10 m/s2.
159) Um corpo de massa igual a 5 kg, repousa sobre um plano horizontal. O
coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é 0,1. Que força horizontal deve ser
aplicada para se obter uma aceleração de 3 m/s2?
160) Um corpo de massa 6 kg é lançado com velocidade inicial de 8 m/s. Determine a
distância que o corpo percorrerá até parar, sabendo que o coeficiente de atrito entre
o corpo e a superfície é 0,1. Adote g = 10 m/s2.
161) Um pequeno bloco de massa 20 kg, em movimento com a velocidade de 20 m/s,
atinge uma superfície áspera onde a força de atrito vale 8 N. Determine a distância
percorrida pelo bloco até parar.
162) Um carro de massa 900 kg e velocidade de 30 m/s freia bruscamente e pára em 3
s. Calcule a força de atrito.
163) Uma força horizontal de 10 N arrasta um corpo de massa 2,5 kg, que estava
inicialmente em repouso, deslocando-o 3 m, em uma superfície horizontal. A
velocidade final do corpo é 2 m/s. Qual a força de atrito entre o corpo e a superfície?
Movimento circular uniforme
(MCU)
O Movimento Circular Uniforme (MCU) consiste num tipo de movimento de
trajetória circular em que o módulo da velocidade é constante, variando apenas a
direção do vetor velocidade uma vez que o somatório das forças no corpo é não nulo
apenas na componente normal.
Período:
"É o tempo gasto por um corpo para
efetuar uma volta completa no circulo."
Freqüência:
"'É o número de voltas efetuadas no
circulo na unidade de tempo."
Relação entre período e freqüência
f=
1
T
f = freqüência (Hz)
T = período (s)
Exercícios
164) Qual o período do ponteiro das
horas de um relógio?
165) Qual o período de rotação da
Terra?
166) Qual o período de translação da
Terra ao redor do Sol?
167) Um garoto num gira-gira
descreve um movimento circular
uniforme executando 5 voltas em 20
s. Determine o período e a
freqüência do movimento.
168) Um carrinho de um autorama
realiza um movimento circular
uniforme completando 10 voltas em
5 s. Determine seu período e sua
freqüência.
169) Um corpo em movimento
circular uniforme completa 20
voltas em 10 segundos. Determine o
período e a freqüência do corpo.
170) Um
carrossel
gira
uniformemente, efetuando uma
23
rotação completa a cada 4 s.
Determine a freqüência com que
cada cavalo executa o movimento
circular uniforme.
Velocidade angular: É a razão entre o
ângulo descrito “∆ϕ” em relação ao
centro da circunferência e o intervalo de
tempo gasto em descrevê-lo. Ela indica
a rapidez com que o móvel descreve
ângulos.
ω=
∆ϕ
∆t
ω=
2.π
T
ω = velocidade angular (rad/s)
∆ϕ = ângulo percorrido (rad)
∆t = tempo (s)
Exercícios
171) Um ponto percorre uma
circunferência e descreve um ângulo
central de 2 rad em 5 s. Determine a
velocidade angular nesse intervalo
de tempo.
172) Uma partícula percorre uma
circunferência, descrevendo um
ângulo central de 3 rad em 2 s.
Determine a velocidade angular
neste intervalo de tempo.
Relação entre a velocidade escalar e a
velocidade angular
É a razão entre a variação de
posição ( arco percorrido , distância
percorrida ) e o intervalo de tempo em
que esta variação ocorreu. Ela indica a
rapidez com que o móvel percorre a
circunferência.
v = ω. R
v=
2.π .R
T
v = velocidade escalar (m/s)
ω = velocidade angular (rad/s)
R = raio (m)
Exercícios
173) Um ponto percorre uma
circunferência com
velocidade
angular ω = 10 rad/s. Sendo R = 2
m o raio da circunferência,
determine a velocidade escalar v.
174) Uma partícula descreve um
movimento circular uniforme com
velocidade escalar v = 5 m/s. Sendo
R = 2 m o raio da circunferência,
determine a velocidade angular.
175) Uma partícula descreve uma
trajetória circular de raio 5 m. Ao
percorrer o arco de circunferência
∆ϕ , ela desenvolve uma velocidade
escalar de 10 m/s, gastando 0,5
segundo nesse percurso. Determine
o ângulo descrito ∆ϕ .
176) Uma partícula percorre uma
circunferência de raio 10 m, com
velocidade escalar de 20 m/s.
Quanto tempo a partícula demora
para percorrer um arco de
circunferência de 1 rad?
Aceleração centrípeta
A aceleração centrípeta, também chamada de aceleração normal ou radial, é a
aceleração originada pela variação da direção do vetor velocidade de um móvel,
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característico de movimentos curvilíneos ou circulares. Ela é perpendicular à velocidade
e aponta para o centro da curvatura da trajetória.
A aceleração centrípeta pode ser calculada como:
a = aceleração centrípeta (m/s2)
v = velocidade escalar (m/s)
r = raio da circunferência (m)
v2
ac =
R
Exercícios
177) Um móvel realiza um movimento circular e uniforme, com velocidade de 5 m/s.
Sendo a aceleração centrípeta igual a 10 m/s2, determine o raio de sua trajetória.
178) Uma pedra amarrada em um barbante realiza um movimento circular e uniforme,
em um plano horizontal, com velocidade de 3 m/s. Sendo o raio da circunferência
igual a 0,5 m , determine o valor da aceleração centrípeta.
179) Um corpo realiza um movimento circular e uniforme, em uma circunferência
com raio de 2 metros. Determine a velocidade do corpo, sabendo que sua aceleração
centrípeta é igual a 8 m/s2.
180) A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e
uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a 400000
quilômetros, determine sua aceleração centrípeta.
Força centrípeta
É a força resultante que puxa o corpo para o centro da trajetória em um
movimento curvilíneo ou circular. Objetos que se deslocam em movimento retilíneo
uniforme possuem velocidade modular constante. Entretanto, um objeto que se desloca
em arco, com o valor da velocidade constante, possui uma variação na direção do
movimento; como a velocidade é um vetor de módulo, direção e sentido, uma alteração
na direção implica uma mudança no vetor velocidade. A razão dessa mudança na
velocidade é a aceleração centrípeta
Como força é dada pela fórmula:
F = ma
v2
F =m
R
e a aceleração, neste caso particular,
corresponde à aceleração centrípeta
dada pela fórmula:
v2
ac =
R
temos a força centrípeta que pode ser
calculada como:
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Exercícios
181) Considere um corpo de massa 3 kg descrevendo uma trajetória circular de raio 2
m, com velocidade escalar constante de 10 m/s. Calcule a força centrípeta que atua
no corpo.
182) Determine a intensidade da força centrípeta necessária para manter um
automóvel de massa 1000 kg numa trajetória circular de raio 100 m, à velocidade de
10 m/s.
183) Se num movimento circular reduzirmos o raio e a velocidade à metade, a força
centrípeta será:
a) igual à anterior;
b) o quádruplo da anterior;
c) a metade da anterior;
d) a quarta parte da anterior;
e) n.d.a.
184) A força centrípeta que age numa partícula de massa 4 kg num movimento
circular uniforme tem intensidade de 32 N. Se o raio da trajetória for 200 cm,
determine a velocidade adquirida pela partícula.
185) Um corpo de massa igual a 1,0 kg, descreve, sobre uma mesa bem polida, uma
circunferência horizontal de raio 1,0 m, quando preso mediante um fio a um ponto
fixo na mesa. O corpo efetua 60 rpm. Qual a intensidade da força tensora no fio
(força tração)? Adote π² = 10.
Referências:
• Física básica – volume único – Atual Editora
Autores: Nicolau e Toledo
• Física Ensino Médio – volume único – Editora Scipione
Autor: Chiquetto, Marcos José
• Física – volume único – Editora Ática
Autor: Alberto Gaspar
• Física – volume único – Editora Ática
Autor: Alberto Gaspar
• Física – volume único – Editora Scipione
Autores: Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga
• Imagens da Física – volume único – Editora Scipione
Autores: Ugo Amaldi
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